IX fəsil. Balıq populyasiyasının dinamikasının riyazi modelləşdirilməsinin bioloji əsasları

Bu bölmədə analitik modelləri nəzərdən keçirəcəyik. Analitik modellərdə giriş. və çıxın. Parametrlər açıq ifadələrlə əlaqələndirilir: tənliklər, bərabərsizliklər və s. Kolmoqorov-Erlanq tənlikləri sistemlərini həll etsək, bu, analitik modelləşdirmədir, ancaq qrafik modelinə diqqət yetirsək və sistemin tətbiqlər axınına necə xidmət etdiyini müəyyən edən statistik eksperiment aparırıqsa, bu, simulyasiya modelləşdirməsidir. Analitik modeli həll etmək üçün adətən problemlərin həlli üçün ədədi üsullardan istifadə etməli olursunuz, lakin bəzi modellər də analitik həlli təmin edir, çünki müxtəlif riyazi məsələlərin həlli üçün müxtəlif üsullardan istifadə olunur, bəzən analitik modellər metodlara (inteqral, diferensial, xətti və s.), lakin adətən tətbiq sahələrinə (fiziki, kimyəvi, bioloji, pedaqoji, texniki) görə bölünür; Analitik riyaziyyatın bəzi nümunələrinə baxaq. ən sadə və eyni zamanda klassik olan modellər.

Fizika və texnologiyada riyazi modellər

Fizikada modelləşdirmə ilk növbədə diferensial tənliklərin və qismən törəmələrin həllini əhatə edən sənaye proseslərini təsvir etmək üçün istifadə olunur. Bütün digər modellər adətən bu proseslərin sadələşdirilmiş versiyasıdır. Modellərin qurulması üçün əsaslar aşağıdakılardır: qanunlar və tənliklər:

Tənliklərin bəziləri birölçülü formada və ya radius vektorundan istifadə etməklə yazılır

;

2. Salınan sistemin modeli

Gəlin sadədən mürəkkəbə baxaq. Nümunə olaraq, ətrafımızda vibrasiyanın vacib olduğu bir çox obyekt var (mühərriklər). Salınımlar elektrik sistemlərində də yaygındır. Birölçülü rəqslərimizin (bir ox boyunca) olduğunu fərz edəcəyik.

Obyektin mövqeyi bir x koordinatı ilə müəyyən edilir, tənlik olacaq
.

Bu diferensialın həlli. tənlik yaxşı məlumdur, belədir

Salınımlar Faza sürüşməsi ilə harmonik, sönümsüz.

Modeli çətinləşdiririk - zəifləmə təqdim edirik

(K- zəifləmə əmsalı)

K kiçikdirsə (K<<1), то решение не будет сильно отличаться. Решение системы приводит к возникновению
.

K=0,1 - zəifləmə aydın görünür (dövri). artan K ilə (
) - aperiodik sönümləmə, tək bir dövr olmadıqda.

Təbii tezlik
, qüvvə daxilində tezlik r. Tezliklər bərabər olduqda, salınımların amplitudasında kəskin artım əldə edirik - rezonans, . Əgər rəqs zamanı rezonans yaranarsa, təbii rəqslər sönəcək və məcburi qüvvənin tezliyində məcburi rəqslər qalacaq.

TO<<1, W>>səh.

Modulyasiya. İçəridə təbii salınımlar var, onların amplitudası təbii salınımların (vuruşların) tezliyi ilə modelləşdirilmişdir.

Əgər K<0, м.б. (т.к. она только мешает) – параметрический резонанс.

Misal: avtomobil yayları (adətən sallanan vibrasiya üçün faydalıdır).

Rezonans dəyər baxımından mənfi və ya müsbət ola bilər. Elektromaqnit dalğalarının emissiyası həm adi, həm də parametrik rezonanslara əsaslanır. Elektromaqnit dalğalarının emissiyası və qəbulu rezonanslıdır. Parametrik rezonans faydalıdır, çünki adi haldan daha güclüdür. Bu, məsələn, mikrodalğalı salınımlar (maqnitofon) yaratmaq üçün əlverişli bir vasitədir. Parametrik rezonans üçün təbii tezliyə ehtiyac yoxdur, buna görə də bu rezonator məhv olana qədər enerji vura bilərsiniz. Ancaq xoşagəlməz olan zərər, məhv də ola bilər.

Modulyasiya- radiorabitənin əsasını. Modulyasiya edilən və sonra demodulyasiya edilən daşıyıcı tezliyi var. Səs aşağı tezliklidir (36 kHz) və radio dalğaları yüksək tezliklərdə yayılır, bu da megahertz tələb olunur. Amplituda, faza və tezlik modulyasiyası var. Döyüş təsiri adətən zərərlidir, narahat edir - səs-küy mənbəyidir. Bəzən vuruşlardan istifadə edərək xüsusi səs-küy generatorları hazırlanır.

Nazik təbəqənin istilik keçiriciliyi modeli

şüşə (nazik, uzun),
- buna görə də temperatur vahid olacaq
.
sərhəd
Adətən bu tənlik açıq şəkildə həll edilmir, lakin mobil yaxınlaşmadan istifadə edilir. Bu tənliklər sistemini həll edərək, şəbəkə qovşaqlarında dəyərləri tapırıq. İstilik keçiriciliyinin, elektrostatikanın və elektrodinamikanın digər problemləri oxşar şəkildə modelləşdirilir. Əsas problem hesablamanın mürəkkəbliyidir, buna görə də güclü kompüterlər tələb olunur.

Digər bir model, üfüqi bir açı ilə atılan bir cismin hərəkətidir. Onu həll etmək üçün sözdə çəkiliş üsulu istifadə olunur, o, artıq simulyasiya modelləşdirməsinə yaxındır.

Həmçinin, raketin hərəkət modeli:

- Tsiolkovski tənliyi.

Kimyada kinetik və struktur modellər

Kimyada kimyəvi reaksiyaların modelləri və kimyəvi modelin quruluşu əsasən geniş yayılmışdır. əlaqələri. Kimya üçün. reaksiyalar, ən vacib şey kinetikdir, yəni. zamanla reaksiyaların gedişatının dəyişməsi, yəni. Reaksiya nə qədər tez gedirsə, bir o qədər az reaktiv qalır və əksinə. XX əsrin əvvəllərində Adolf Lotka kinetik reaksiyalar modelini tərtib etdi və bu model Volterra-Lotka modeli adlandı. Maddələrin çevrilmə zənciri:

Diferensial sistem əldə edilmişdir. tənliklər. Bu tənliklər mənaca Kolmoqorov-Erlanq tənliklərinə bənzəyir. Bu onu göstərir ki, bunlar da kinetik tənliklər idi və bütün kinetik proseslər bir-birinə bənzəyir.

Kimyada kinetik tənliklər kəmiyyətlərin sabit olmadığı, lakin aşağıdakı kimi kəmiyyətlərdən asılı olması ilə çətinləşir.

maddələrin kimyəvi tərkibi (temperatur istilik tutumu qanununa tabedir, r tənliklə verilən diffuziyadan asılıdır
- Fickin diffuziya qanunu. Darsinin filtrasiya ötürülməsi qanunu oxşar əlaqəyə malikdir). Nəticədə bu mürəkkəb tənlikləri kinetik tənliklə eyni vaxtda həll etməliyik.

Kimyada molekulların struktur modelləri böyük əhəmiyyət kəsb edir: H-O-H, xüsusilə üzvi maddələr üçün əlverişlidir (çox mürəkkəb quruluşa malikdirlər).

Yeni bir kimyəvi maddəni öyrənərkən. maddələr yeni kimyəvi maddə əmələ gətirir. analiz - müəyyən maddələri ehtiva edən nisbətləri müəyyənləşdirin. O zaman molekulun hansı atomlardan ibarət olduğunu, həm də onların necə birləşdiyini müəyyən edə bilərsiniz. Valentlik bağı təqdim olunur. Bəzi atomlarda 1-ci valent rabitə, digərlərində 2-ci və s. Maddənin izomerləri eyni sayda molekullarla, lakin fərqli xassələrlə kəşf edilmişdir.

2 tapşırıq:

Molekulun daxili quruluşunu təyin edin və onun quruluşunu və kimyəvi xassələrini əlaqələndirin. xassələri, yəni. izomerlərin öyrənilməsi.

İzomerlərin layihələndirilməsi - müxtəlif növ molekullar üçün sabit strukturlar yaratmağı və onlara fərziyyələr verməyi öyrənin. xassələri.

Bu problemlərin hər ikisi üzvi kimyada o qədər populyarlaşdı ki, molekulların modelləşdirilməsi üçün xüsusi sistemlər belə yaradıldı.

Biologiyada riyazi modellər

Biologiya kimya və biokimya ilə son dərəcə əlaqəlidir => Struktur modelləşdirmə kimyadan biologiyaya keçdi. Bioloji strukturlar çox mürəkkəb kimyəvi strukturlardır => bioloji strukturların kimyasını öyrənən biokimya elmi yaranmışdır. Burada struktur modelləşdirmə üsullarının çox faydalı olduğu sübut edilmişdir. Gen modelləşdirmə ilə əlaqəli ən məşhur problemlər.

Genlər canlıların sözdə informasiya komponentlərinin - DNT, RNT-nin əmələ gəldiyi molekullardır. Əsasən, genlər artıq öyrənilib və məlum olub, lakin bu və ya digər DNT-yə hansı genlərin daxil olması və onların bir-biri ilə necə bağlı olması ilə bağlı suallar qalır. Çünki ən sadə DNT-də belə on minlərlə gen var, dünya layihəsi “DNT modeli” ilk olaraq ən sadə canlılarda, indi insanlarda (tamamlama) yaranıb. Struktur modelləşdirmə biokimyada liderdir.

Növlərarası mübarizənin modelləri

Eyni növün fərdləri bir-biri ilə rəqabət aparır. Başlanğıcda fərdlərin az olduğu və şəraitin əlverişli olduğu və populyasiyanın sürətlə artdığı zaman eyni növdən olan fərdlərin mübarizəsi səbəbindən məhdudiyyətlər yaranır. Ən ilk sadə model böyümə modeli idi - cilovsuz böyümə modeli. Bu modeldə heç bir növ daxili rəqabət yoxdur;

Daha çox a, lakin daha az artım və bu model real ekosistemlərdə baş verən bəzi hadisələri təsvir edə bilmədi. Bəzi sistemlərdə ildən-ilə rəqəmlərdə dalğalanmalar olub. Daha bir parametr təqdim etdik və modeli mürəkkəbləşdirdik

Əmsal b artım tempinin qeyri-xətti asılılığını müəyyən edir R nömrədən. Bu modelin ədədi tədqiqi 4 xarakterik vəziyyəti aşkar etdi:

Monoton böyümə

Söndürülmüş salınımların vəziyyəti

Söndürülməmiş salınımların vəziyyəti

Dəyişmələrin vəziyyəti (təsadüfi dəyişikliklər)

Bu modellər diskretdir, lakin davamlı, kinetik bir tənlik qurmaq da mümkündür:

. eyni zamanda r- sürətin bir növ analoqu. Bu iki parametrli model logistik kinetik model (Voltaire-Lottky modeli) adlanır.

Növlərarası rəqabətin modelləri

Əgər iki növ bir yerdə yaşayırsa və bir-birinə fəal təsir göstərirsə, onda növlərarası rəqabət və mübarizə prosesləri yaranır. Volterin ən məşhur modeli (kinetik) iki növ rəqabət olan Tablalardır:

Əmsallar 2 növ arasındakı əlaqəni müəyyən edir. Əgər, onda ikinci növün fərdlərinin artması birinci növün fərdlərinin azalmasına səbəb olur. İkinci növ birincini sıxışdırır. Əgər, onda ikinci növün fərdləri təsir etmir. Aydındır ki, nə qədər çox canavar, bir o qədər az dovşan. Modelin 6 parametri var - onun öyrənilməsi çox çətindir, buna görə də adətən bəzi parametrlər sabitlənir. Ümumiyyətlə, bu parametrik modelin tədqiqatları göstərdi ki, yırtıcı və yırtıcı populyasiyalar dövri dəyişikliklərə məruz qalır. Biologiyada simulyasiya modelləşdirmə də çox tez-tez istifadə olunur.

Biologiyada simulyasiya modelləşdirmə

Həyat modeli

O, ən sadə canlıların çoxalmasını simulyasiya edir, çoxalma, ölüm və s.-yə bəzi məhdudiyyətlər qoyur, sonra təcrübə aparır və zamanla dinamikanı izləyir. Ən sadə seçim (məktəb). Boş və dolu (canlı) hüceyrələrdən ibarət bir cədvəl götürün. Qaydalar müəyyən edilir, məsələn, əgər canlı hüceyrə 4 və ya daha çox canlı ilə əhatə olunubsa, o, həddindən artıq çoxluqdan ölür, yanında yalnız biri varsa, yoxsa tənhalıqdan ölür. Əgər ölü 3 diri ilə qonşudursa, o, dirilir. Təcrübə:

Canlı hüceyrələrin ilkin təsadüfi konfiqurasiyası müəyyən edilir

İzlənəcək vaxt nöqtələrinin sayını müəyyən edir

Dövrdə cədvəl verilmiş qaydalara uyğun olaraq zamanla yenilənir və şəkil dəyişiklikləri müşahidə olunur. Oxşar sistemlər tədqiq edildi və məlum oldu ki, belə bir cədvəl çökməyən sabit konfiqurasiyaları ehtiva edə bilər.

İqtisadiyyatda modellər

İqtisadiyyat elmləri modelləşdirmənin tətbiqinin ən vacib sahələrindən biridir, burada modellər ən böyük səmərəliliyi təmin edir, məsələn, bir modeldə bütün dövlətin xərclərini optimallaşdırsanız, təsir milyardlarla dollarla ifadə ediləcəkdir. Aşağıdakı model növlərini ayırd etmək olar:

LP modeli (xətti) – resursların, ehtiyatların modeli və s.

Nəqliyyat problemi üzərində qurulmuş modellər (malların paylanması və daşınması)

Tam ədədli proqramlaşdırma modelləri (nəticə tam ədədlər sahəsinə, adamların sayına, zavodların sayına və s. aiddir) tam ədəd parametrli birinci tip modellərdir.

Dinamik proqramlaşdırma modelləri - əsasən hər hansı bir istehsalın, şirkətin inkişafı ilə bağlı və s.

Qarşıdurma və rəqabətlə əlaqəli oyun modelləri.

Məlumat çatışmazlığı və ya təsadüfi hadisələrin proqnozlaşdırılması ilə əlaqəli proqnozlaşdırıcı modellər.

Avtomatik idarəetmə modelləri (nəzarət sistemini optimallaşdırmaq üçün)

qeyri-xətti modellər yalnız seçilmiş hallarda həll edilir.

34. Stokastik modelləşdirmə. Simulyasiyada Monte Karlo üsulu. Təsadüfi və psevdo-təsadüfi ədədlərin yaradılması. Yaratma üsulları və alqoritmləri. Eksponensial, normal və ixtiyari paylanma qanunlarına uyğun olaraq paylanmış təsadüfi ədədlərin yaradılması.

Stokastik proqramlaşdırma– riyazi proqramlaşdırma bölməsi, ehtimal xarakterli optimallaşdırma məsələlərinin həlli üçün metodlar toplusu. Bu o deməkdir ki, ya məsələnin məhdudiyyətlərinin (şərtlərinin) parametrləri, ya da məqsəd funksiyasının parametrləri, ya da hər ikisi təsadüfi dəyişənlərdir (təsadüfi komponentləri ehtiva edir).

Optimallaşdırma problemi- iqtisadi və riyazi problem, məqsədi mövcud resursların ən yaxşı paylanmasını tapmaqdır. Riyazi proqramlaşdırma metodlarından istifadə edərək optimal modeldən istifadə etməklə, yəni verilmiş məhdudiyyətlər (şərti optimallaşdırma) və məhdudiyyətsiz (şərtsiz optimallaşdırma) bəzi funksiyaların maksimum və ya minimumunu axtarmaqla həll edilir. Optimallaşdırma məsələsinin həlli optimal həll, optimal plan və ya optimal nöqtə adlanır.

Təsadüfi dəyişənlər vasitələr, dispersiya, korrelyasiya, reqressiya, paylanma funksiyası və s.

Statistik Modelləşdirmə– təsadüfi proseslər və hadisələrdən istifadə edərək modelləşdirmə.

Statistik modelləşdirmədən istifadə etmək üçün 2 seçim var:

– stoxastik modellərdə təsadüfi parametrlər və ya qarşılıqlı təsirlər ola bilər. Parametrlər arasındakı əlaqə təsadüfi və ya çox mürəkkəbdir.

– hətta deterministik modellər üçün statistik metodlardan istifadə edilə bilər. Statik modelləşdirmə demək olar ki, həmişə simulyasiya modellərində istifadə olunur

Modellər, parametrlər arasında bir-bir əlaqənin olduğu və təsadüfi parametrlərin olmadığı yerlərdə deyilir deterministik.

Deterministik Proseslər- bütün proseslərin qanunlarla müəyyən edildiyi müəyyən proseslər.

İnsan bütün prosesləri determinist hesab edir, lakin zaman keçdikcə təsadüfi proseslər kəşf edilir. Təsadüfi proses- bu, gedişatdan asılı olaraq fərqli ola bilən və bu və ya digər gedişin ehtimalı müəyyən edilən prosesdir.

Proseslərin tədqiqi onların 2 növ olduğunu göstərdi:

a) Təsadüfi xarakter daşıyan proseslər;

b) Çox mürəkkəb deterministik proseslər;

Mərkəzi teorem sübut edilmişdir ki, ona əsasən müxtəlif proseslərin əlavə edilməsi təsadüfi təbiəti artırır. Beləliklə, bir-biri ilə əlaqəli olmayan tamamilə fərqli ardıcıllıqlar əlavə etsəniz, limitdəki nəticə normal paylanmaya meyllidir. Amma məlumdur ki, normal paylanma müstəqil hadisələrdir, buna görə də deterministik hadisələrin limitdə birləşməsi onların təsadüfi olmasına gətirib çıxarır.

Bu. təbiətdə tamamilə sırf deterministik proseslər yoxdur; həmişə deterministik və təsadüfi proseslərin qarışığı olur; Təsadüfi faktorun təsiri “səs-küy” adlanır. Səs-küy mənbələri mürəkkəb deterministik proseslərdir (molekulların Broun hərəkəti).

Simulyasiya modelləşdirməsində mürəkkəb proseslər çox vaxt təsadüfi olanlarla əvəz olunur, buna görə də simulyasiya modeli yaratmaq üçün statik modelləşdirmə metodlarından istifadə edərək təsadüfi prosesləri modelləşdirməyi öyrənməlisiniz. Kvant mexanikasında təsadüfi proseslər, dəyəri təsadüfi olaraq dəyişən təsadüfi ədədlər ardıcıllığı ilə təmsil olunur.

Statistik modelləşdirmədə Monte Karlo statistik test metodundan çox istifadə olunur. Monte Karlo üsulu təsadüfi dəyişənlərin modelləşdirilməsindən istifadə etməklə riyazi məsələlərin həlli üçün ədədi üsuldur.

Metodun mahiyyəti: prosesin sabit və ya deterministik xarakteristikasını təyin etmək üçün parametrləri həddə müəyyən edilən kəmiyyətlə əlaqəli olan statik təcrübədən istifadə edə bilərsiniz. Metodun mahiyyəti Monte Karlo aşağıdakılardan ibarətdir: hansısa öyrənilmiş kəmiyyətin a-nın qiymətini tapmaq lazımdır. Bunun üçün aşağıdakı təsadüfi dəyişəni seçin
, riyazi gözləntisi bərabərdir :
. Praktikada bunu edirlər: istehsal edirlər testlər, bunun nəticəsində əldə edirlər mümkün dəyərlər
; onların arifmetik ortasını hesablayın
və qəbul edin təxmin olaraq (təxmini dəyər) tələb olunan nömrə :
.

Üzərində metodun mahiyyətini nəzərdən keçirək misallar onun istifadəsi.

Artıq dedik ki, real aləmin müəyyən hadisələrinin tədqiqinə riyazi yanaşma adətən müvafiq ümumi anlayışların yaradılmasından, yəni bizim üçün vacib xüsusiyyətlərə malik olan sistem və proseslərin riyazi modellərinin qurulmasından başlayır. oxuyuruq. Biologiyada belə modellərin qurulması ilə bağlı çətinlikləri, bioloji sistemlərin hədsiz mürəkkəbliyindən yaranan çətinlikləri də qeyd etdik. Lakin bu çətinliklərə baxmayaraq, bioloji problemlərə “model” yanaşma hazırda uğurla inkişaf edir və artıq müəyyən nəticələr verib. Müxtəlif bioloji proseslər və sistemlərlə bağlı bəzi modellərə baxacağıq.

Bioloji tədqiqatlarda modellərin rolundan danışarkən aşağıdakıları qeyd etmək vacibdir. Baxmayaraq ki, biz “model” terminini mücərrəd mənada - real fiziki cihaz kimi deyil, müəyyən məntiqi anlayışlar sistemi kimi başa düşsək də, model hələ də fenomenin sadə təsvirindən və ya sırf keyfiyyət fərziyyəsindən əhəmiyyətli dərəcədə daha çox şeydir. müxtəlif qeyri-müəyyənliklər və subyektiv fikirlər üçün hələ də kifayət qədər yer var. Olduqca uzaq keçmişə aid aşağıdakı nümunəni xatırlayaq. Bir vaxtlar Helmholtz eşitmə qabiliyyətini öyrənərkən sırf keyfiyyət baxımından inandırıcı görünən rezonans nəzəriyyəsini irəli sürdü. Bununla belə, sonradan eşitmə sistemini təşkil edən komponentlərin kütlələrinin, elastiklik və özlülüyünün real dəyərləri nəzərə alınmaqla aparılan kəmiyyət hesablamaları bu fərziyyənin uyğunsuzluğunu göstərdi. Başqa sözlə, sırf keyfiyyət fərziyyəsini onun riyazi üsullarla tədqiqinə imkan verən dəqiq modelə çevirmək cəhdi ilkin prinsiplərin uyğunsuzluğunu dərhal ortaya qoydu. Təbii ki, əgər biz müəyyən bir model qurmuşuqsa və hətta bu modellə müvafiq bioloji təcrübənin nəticələri arasında yaxşı razılıq əldə etmişiksə, bu hələ modelimizin düzgünlüyünü sübut etmir. İndi əgər modelimizin tədqiqi əsasında modelləşdirdiyimiz bioloji sistem haqqında bəzi proqnozlar verə bilsək və sonra bu proqnozları real təcrübə ilə təsdiqləsək, o zaman bu, daha çox dəyərli sübut olacaq. model.

Ancaq konkret misallara keçək.

2. Qan dövranı

Bioloji proseslərin riyazi modelləşdirilməsinə dair ilk işlərdən biri, hətta birincisi, Leonhard Eylerin işi hesab edilməlidir ki, o, qan dövranının riyazi nəzəriyyəsini inkişaf etdirərək, ilk təqribən, bütün qan dövranı sistemi kimi nəzərə alınmalıdır. elastik divarları, periferik müqaviməti və nasosu olan rezervuardan ibarətdir. Eylerin bu fikirləri (eləcə də onun bəzi digər əsərləri) əvvəlcə tamamilə unudulmuş, sonra digər müəlliflərin sonrakı əsərlərində yenidən canlandırılmışdır.

3. Mendel qanunları

Kifayət qədər köhnə və tanınmış, lakin buna baxmayaraq, biologiyada çox diqqətəlayiq bir model Mendel irsiyyət nəzəriyyəsidir. Ehtimal nəzəri konsepsiyalarına əsaslanan bu model, ana hüceyrələrin xromosomlarında mayalanma zamanı bir-biri ilə müstəqil və təsadüfi birləşən müəyyən xüsusiyyətlər dəstini ehtiva edir. Sonradan bu əsas fikir çox əhəmiyyətli dəqiqləşdirmələrə məruz qaldı; məsələn, müxtəlif əlamətlərin həmişə bir-birindən asılı olmadığı aşkar edilmişdir; əgər onlar eyni xromosomla əlaqəlidirlərsə, onda onlar yalnız müəyyən birləşmədə ötürülə bilər. Bundan əlavə, müxtəlif xromosomların müstəqil şəkildə birləşmədiyi, lakin bu müstəqilliyi pozan xromosom yaxınlığı adlı bir xüsusiyyətin olduğu və s. genetika” “tam vətəndaşlıq hüquqlarını aldı. Hazırda bu sahədə intensiv iş aparılır, həm bioloji, həm də sırf riyazi baxımdan maraqlı olan bir çox nəticələr əldə edilmişdir. Ancaq bu tədqiqatların əsasını Mendel tərəfindən 100 ildən çox əvvəl yaradılmış model təşkil edir.

4. Əzələ modelləri

Fizioloji tədqiqatın ən maraqlı obyektlərindən biri əzələdir. Bu obyekt çox əlçatandır və eksperimentator yalnız nisbətən sadə avadanlıqlara malik olmaqla sadəcə özü üzərində çoxlu tədqiqatlar apara bilər. Əzələlərin canlı orqanizmdə yerinə yetirdiyi funksiyalar da kifayət qədər aydın və müəyyəndir. Bütün bunlara baxmayaraq, əzələ funksiyasının qənaətbəxş modelini qurmaq üçün edilən çoxsaylı cəhdlər qəti nəticə verməmişdir. Aydındır ki, əzələ yay kimi uzanıb büzülə bilsə də, onların xassələri tamamilə fərqlidir və hətta ilk yaxınlaşmada yay əzələ oxşayışı sayıla bilməz. Bir yay üçün onun uzanması ilə ona tətbiq olunan yük arasında ciddi əlaqə var. Əzələ üçün belə deyil: əzələ gərginliyi saxlayaraq öz uzunluğunu dəyişə bilər və əksinə uzunluğunu dəyişmədən dartma qüvvəsini dəyişə bilər. Sadəcə olaraq, eyni uzunluqda əzələ rahat və ya gərgin ola bilər.

Əzələ üçün mümkün olan müxtəlif iş rejimləri arasında ən əhəmiyyətlisi izotonik daralma (yəni, əzələ gərginliyinin sabit qaldığı bir daralma) və əzələ uzunluğunun dəyişmədiyi izometrik gərginlikdir (hər ikisi). ucları sabitlənir). Bu rejimlərdə əzələnin öyrənilməsi onun iş prinsiplərini başa düşmək üçün vacibdir, baxmayaraq ki, təbii şəraitdə əzələ fəaliyyəti nə sırf izotonik, nə də sırf izometrikdir.

İzotonik əzələ daralma sürəti ilə yükün böyüklüyü arasındakı əlaqəni təsvir etmək üçün müxtəlif riyazi düsturlar təklif edilmişdir. Onlardan ən məşhuru xarakterik Hill tənliyi adlanır. Belə görünür

(P+a)V=b(P 0 -P),

- büzülmə sürəti, a, b Və P 0- daimi.

Eyni əlaqəni təsvir etmək üçün digər tanınmış düsturlar Ober tənliyidir

P = P 0 e- V⁄P ±F

və Polissar tənliyi

V=sabit (A 1-P/P 0 - B 1-P/P 0).

Hill tənliyi fiziologiyada geniş yayılmışdır; o, müxtəlif növ heyvanların əzələləri üçün eksperimentlə kifayət qədər yaxşı razılıq verir, baxmayaraq ki, əslində o, hansısa modeldən gələn nəticədən daha çox "uyğunluğun" nəticəsini təmsil edir. Hill tənliyi ilə kifayət qədər geniş yük diapazonundan təxminən eyni asılılıq verən iki digər tənlik onların müəllifləri tərəfindən əzələlərin daralmasının fiziki-kimyəvi mexanizmi haqqında müəyyən fikirlərdən əldə edilmişdir. Əzələ işinin modelini qurmaq üçün bir sıra cəhdlər var, sonuncunu elastik və viskoz elementlərin bəzi kombinasiyası hesab edir. Bununla belə, müxtəlif rejimlərdə əzələ işinin bütün əsas xüsusiyyətlərini əks etdirən kifayət qədər qənaətbəxş bir model hələ də yoxdur.

5. Neyron modelləri, neyron şəbəkələri

Sinir hüceyrələri və ya neyronlar sinir sistemini təşkil edən və heyvan və ya insan orqanizminin xarici siqnalları qəbul etmək və bədənin müxtəlif hissələrini idarə etmək üçün bütün qabiliyyətlərinə borclu olduğu "işçi vahidlər"dir. Sinir hüceyrələrinin xarakterik xüsusiyyəti belə bir hüceyrənin iki vəziyyətdə ola bilməsidir - istirahət və həyəcan. Bu vəziyyətdə sinir hüceyrələri radio boruları və ya yarımkeçirici tetikler kimi elementlərə bənzəyir, onlardan kompüterlərin məntiqi sxemləri yığılır. Son 15-20 il ərzində ümumi təyinatlı kompüterlərin işinin əsaslandığı eyni prinsiplər əsasında sinir sisteminin fəaliyyətinin modelləşdirilməsinə çoxlu cəhdlər edilmişdir. Hələ 40-cı illərdə amerikalı tədqiqatçılar McCulloch və Pitts "formal neyron" anlayışını təqdim edərək, onu müəyyən sayda "həyəcanverici" və müəyyən sayda "qıcıqlandırıcı" ilə təchiz edilmiş bir element (fiziki təbiəti fərq etməz) kimi təyin etdilər. inhibitor” girişləri. Bu elementin özü iki vəziyyətdə ola bilər - "istirahət" və ya "həyəcan". Həyəcanlı vəziyyət, neyron kifayət qədər həyəcan siqnalları qəbul etdikdə və maneə törədici siqnallar olmadıqda baş verir. McCulloch və Pitts göstərdilər ki, belə elementlərdən ibarət sxemlərin köməyi ilə, prinsipcə, canlı orqanizmdə baş verən hər hansı bir məlumat emalı növünü həyata keçirmək mümkündür. Ancaq bu, heç də o demək deyil ki, biz bununla sinir sisteminin aktual prinsiplərini öyrənmişik. Əvvəla, sinir hüceyrələri "hamısı və ya heç nə" prinsipi ilə xarakterizə olunsa da, yəni. aydın şəkildə müəyyən edilmiş iki vəziyyətin - istirahət və həyəcanın mövcudluğu, heç də belə nəticə vermir ki, bizim sinir sistemimiz universal kompüter kimi ikili sistemdən istifadə edir. sıfır və birlərdən ibarət rəqəmsal kod. Məsələn, sinir sistemində, yəqin ki, tezlik modulyasiyası əhəmiyyətli rol oynayır, yəni impulslar arasındakı vaxt intervallarının uzunluğundan istifadə edərək məlumat ötürülməsi. Ümumiyyətlə, sinir sistemində, görünür, müasir kompüter texnologiyasında mövcud olan məlumat kodlaşdırma üsullarının "rəqəmsal" diskret) və "analoq" (davamlı) bölünməsi yoxdur.

Bir neyron sisteminin bütövlükdə işləməsi üçün bu neyronlar arasında müəyyən əlaqənin olması lazımdır: bir neyron tərəfindən yaradılan impulslar digər neyronların girişlərinə gəlməlidir. Bu əlaqələr düzgün, nizamlı bir quruluşa malik ola bilər və ya yalnız statistik qanunauyğunluqlarla müəyyən edilə və müəyyən təsadüfi dəyişikliklərə məruz qala bilər. Hal-hazırda mövcud hesablama cihazlarında elementlər arasında əlaqənin təsadüfi olmasına yol verilmir, bununla belə, elementlər arasında təsadüfi əlaqə prinsipləri əsasında hesablama qurğularının qurulmasının mümkünlüyünə dair bir sıra nəzəri tədqiqatlar aparılır. Sinir sistemindəki həqiqi neyronlar arasındakı əlaqələrin də ciddi şəkildə müntəzəm deyil, əsasən statistik olmasının lehinə kifayət qədər ciddi arqumentlər var. Lakin bu məsələ ilə bağlı fikirlər fərqlidir.

Ümumiyyətlə, sinir sisteminin modelləşdirilməsi problemi haqqında aşağıdakıları söyləmək olar. Neyronların işinin xüsusiyyətləri, yəni sinir sistemini təşkil edən elementlər haqqında artıq çox şey bilirik. Üstəlik, həqiqi sinir hüceyrələrinin əsas xassələrini simulyasiya edən formal neyron sistemlərinin (McCulloch və Pitts mənasında və ya başqa mənada başa düşülür) köməyi ilə, artıq qeyd edildiyi kimi, çox müxtəlif emal üsullarını simulyasiya etmək mümkündür. məlumat. Buna baxmayaraq, biz hələ də sinir sisteminin və onun ayrı-ayrı hissələrinin fəaliyyətinin əsas prinsiplərini aydın başa düşməkdən və nəticədə onun qənaətbəxş modelini yaratmaqdan kifayət qədər uzağıq.

* (Əgər hər hansı digər sistemlə eyni problemləri həll edə biləcək bir növ sistem yarada bilsək, bu, hər iki sistemin eyni prinsiplərə uyğun işləməsi demək deyil. Məsələn, rəqəmsal kompüterdə diferensial tənliyi ona müvafiq proqramı verməklə ədədi yolla həll edə bilərsiniz və ya eyni tənliyi analoq kompüterdə həll edə bilərsiniz. Eyni və ya demək olar ki, eyni nəticələr əldə edəcəyik, lakin bu iki növ maşında məlumatların işlənməsi prinsipləri tamamilə fərqlidir.)

6. Vizual təsvirlərin qavranılması. Rəng görmə

Görmə xarici dünya haqqında məlumat aldığımız əsas kanallardan biridir. Tanınmış ifadə - yüz dəfə eşitməkdənsə, bir dəfə görmək yaxşıdır - yeri gəlmişkən, sırf informasiya baxımından da doğrudur: görmə vasitəsilə qəbul etdiyimiz məlumatların miqdarı qəbul ediləndən müqayisə olunmayacaq dərəcədə çoxdur. digər hisslərlə. Vizual sistemin canlı orqanizm üçün bu əhəmiyyəti digər mülahizələrlə (funksiyaların spesifikliyi, sistemə heç bir ziyan vurmadan müxtəlif tədqiqatların aparılmasının mümkünlüyü və s.) onun öyrənilməsinə və xüsusən də, onun öyrənilməsinə nümunəvi yanaşma cəhdlərinə təkan verdi. bu problem.

Göz həm optik sistem, həm də məlumat emal cihazı kimi xidmət edən orqandır. Hər iki nöqteyi-nəzərdən bu sistem bir sıra heyrətamiz xüsusiyyətlərə malikdir. Gözün çox geniş işıq intensivliyi diapazonuna uyğunlaşmaq və bütün rəngləri düzgün qavramaq qabiliyyəti diqqətəlayiqdir. Məsələn, zəif işıqlandırılmış otaqda bir təbaşir parçası parlaq günəş işığında yerləşdirilmiş bir kömür parçasından daha az işıq əks etdirir, lakin bu halların hər birində müvafiq obyektlərin rənglərini düzgün qəbul edirik. Göz işıqlandırma intensivliyindəki nisbi fərqləri yaxşı çatdırır və hətta onları bir qədər “şişirdir”. Beləliklə, parlaq ağ fonda boz xətt bizə eyni boz rəngli bərk sahədən daha qaranlıq görünür. Gözün işıqlandırmada təzadları vurğulamaq qabiliyyəti vizual neyronların bir-birinə tormozlayıcı təsir göstərməsi ilə əlaqədardır: əgər iki qonşu neyrondan birincisi ikincisindən daha güclü siqnal alırsa, deməli, o, neyronlara güclü inhibitor təsir göstərir. ikincisi və bu neyronların çıxışındakı fərq, intensivliyin giriş siqnallarının intensivliyindəki fərqdən daha böyük olmasıdır. Həm həyəcanverici, həm də tormozlayıcı əlaqələrlə bağlanmış formal neyronlardan ibarət modellər həm fizioloqların, həm də riyaziyyatçıların diqqətini cəlb etmişdir. Burada həm maraqlı nəticələr, həm də həll olunmamış suallar var.

Gözün müxtəlif rəngləri qəbul etmə mexanizmi böyük maraq doğurur. Bildiyiniz kimi, gözlərimiz tərəfindən qəbul edilən bütün rəng çalarları üç əsas rəngin birləşmələri kimi təqdim edilə bilər. Tipik olaraq, bu əsas rənglər qırmızı, mavi və sarıdır, 700, 540 və 450 Å dalğa uzunluğuna uyğundur, lakin bu seçim birmənalı deyil.

Görmə qabiliyyətimizin "üçrəngli" təbiəti insan gözünün üç növ reseptora malik olması ilə əlaqədardır ki, bunlar müvafiq olaraq sarı, mavi və qırmızı zonalarda maksimum həssaslığa malikdir. Bu üç reseptorun köməyi ilə çoxlu sayda rəng çalarlarını necə ayırd etdiyimiz sualı çox sadə deyil. Məsələn, bu və ya digər rəngin gözümüzdə tam olaraq nəyin kodlandığı hələ kifayət qədər aydın deyil: sinir impulslarının tezliyi, əsasən müəyyən bir rəng çalarına reaksiya verən neyronun lokalizasiyası və ya başqa bir şey. Kölgələrin qavranılması prosesi ilə bağlı bəzi model fikirlər var, lakin onlar hələ də ilkindir. Bununla belə, şübhəsiz ki, burada da həm həyəcanverici, həm də tormozlayıcı əlaqə ilə bir-birinə bağlı olan neyron sistemləri mühüm rol oynamalıdır.

Nəhayət, göz də kinematik sistem kimi çox maraqlıdır. Bir sıra dahiyanə eksperimentlər (onların çoxu Moskvadakı İnformasiya Ötürmə Problemləri İnstitutunun görmə fiziologiyası laboratoriyasında aparılmışdır) ilk baxışdan aşağıdakı gözlənilməz faktı ortaya qoydu: əgər hansısa təsvir hərəkətsizdirsə. göz, ​​sonra göz onu dərk etməz. Bir obyekti yoxlayan gözümüz onu sözün əsl mənasında “hiss edir” (bu göz hərəkətləri müvafiq avadanlıqdan istifadə etməklə dəqiq qeyd oluna bilər). Gözün motor aparatının tədqiqi və müvafiq model təsvirlərinin işlənməsi həm özlüyündə, həm də görmə sistemimizin digər (optik, informasiya və s.) xassələri ilə əlaqədar olduqca maraqlıdır.

Xülasə etmək üçün deyə bilərik ki, biz vizual sistemin bütün əsas xüsusiyyətlərini yaxşı təsvir edən tamamilə qənaətbəxş modellərini yaratmaqdan hələ də uzağıq. Bununla belə, onun işinin bir sıra mühüm aspektləri və prinsipləri artıq kifayət qədər aydındır və kompüter üçün kompüter proqramları şəklində və ya hətta texniki qurğular şəklində modelləşdirilə bilər.

7. Aktiv orta model. Həyəcan yayılması

Bir çox canlı toxumaların, ilk növbədə sinir toxumasının çox xarakterik xüsusiyyətlərindən biri onların həyəcanlandırmaq və həyəcanı bir bölgədən digərinə ötürmək qabiliyyətidir. Təxminən saniyədə bir dəfə ürək əzələmizdən bir həyəcan dalğası keçir və onun büzülməsinə və bütün bədənə qan sürməsinə səbəb olur. Sinir lifləri boyunca periferiyadan (hiss orqanlarından) onurğa beyninə və beyinə yayılan həyəcan bizə xarici aləm haqqında məlumat verir və əks istiqamətdə əzələlərə müəyyən hərəkətlər təyin edən həyəcan əmrləri var.

Sinir hüceyrəsində həyəcan öz-özünə (necə deyərlər, “kortəbii”), həyəcanlı qonşu hüceyrənin təsiri altında və ya hansısa xarici siqnalın, məsələn, hansısa cərəyan mənbəyindən gələn elektrik stimullaşdırılmasının təsiri altında baş verə bilər. Həyəcanlı bir vəziyyətə girərək hüceyrə bir müddət orada qalır və sonra həyəcan yox olur, bundan sonra yeni stimullara qarşı hüceyrə toxunulmazlığının müəyyən bir dövrü başlayır - sözdə odadavamlı dövr. Bu dövrdə hüceyrə qəbul etdiyi siqnallara cavab vermir. Sonra hüceyrə orijinal vəziyyətinə qayıdır, ondan həyəcan vəziyyətinə keçid mümkündür. Beləliklə, sinir hüceyrələrinin həyəcanlanması bir sıra dəqiq müəyyən edilmiş xüsusiyyətlərə malikdir, onlardan başlayaraq bu fenomenin aksiomatik modelini qurmaq mümkündür. Bundan əlavə, bu modeli öyrənmək üçün sırf riyazi üsullardan istifadə edilə bilər.

Belə bir model haqqında fikirlər bir neçə il əvvəl İ.M.Gelfand və M.L.Tsetlinin əsərlərində işlənib hazırlanmış və sonralar bir sıra başqa müəlliflər tərəfindən davam etdirilmişdir. Sözügedən modelin aksiomatik təsvirini formalaşdıraq.

“Həyəcanlı mühit” dedikdə biz müəyyən dəsti nəzərdə tuturuq X aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik elementlər (“hüceyrələr”):

1.Hər bir element üç vəziyyətdən birində ola bilər: istirahət, həyəcan və refrakterlik;

2. Həyəcanlanan hər bir elementdən müəyyən sürətlə bir çox elementlər arasında həyəcan yayılır v;

3. Əgər maddə X müəyyən bir müddət üçün həyəcanlı deyil T(x), sonra bu müddətdən sonra spontan olaraq həyəcanlı vəziyyətə keçir. Vaxt T(x) elementin kortəbii fəaliyyət dövrü adlanır X. Bu halı istisna etmir T(x)= ∞, yəni spontan fəaliyyət əslində olmadıqda;

4. Həyəcan vəziyyəti bir müddət davam edir τ (asılı ola bilər X), sonra element bir müddət hərəkət edir R(x) odadavamlı vəziyyətə keçir, bundan sonra istirahət vəziyyəti başlayır.

Oxşar riyazi modellər tamamilə başqa sahələrdə, məsələn, yanma nəzəriyyəsində və ya qeyri-homogen mühitdə işığın yayılması problemlərində yaranır. Bununla belə, “oddadavamlı dövr”ün olması bioloji proseslərin xarakterik xüsusiyyətidir.

Təsvir edilən modeli ya analitik üsullarla, ya da kompüterdə tətbiq etməklə öyrənmək olar. Sonuncu vəziyyətdə, biz, əlbəttə ki, dəsti güman etmək məcburiyyətindəyik X(həyəcanlı mühit) müəyyən məhdud sayda elementlərdən ibarətdir (mövcud kompüter texnologiyasının imkanlarına uyğun olaraq - bir neçə min sifarişlə). Analitik tədqiqat üçün bunu güman etmək təbiidir X bəzi davamlı müxtəliflik (məsələn, bunu nəzərə alın X- bu təyyarə parçasıdır). Belə bir modelin ən sadə halı götürsək əldə edilir X bəzi seqment (sinir lifinin prototipi) və hər bir elementin həyəcanlı vəziyyətdə olduğu vaxtın çox qısa olduğunu fərz edin. Sonra belə bir "sinir lifi" boyunca impulsların ardıcıl yayılması prosesi adi birinci dərəcəli diferensial tənliklər zənciri ilə təsvir edilə bilər. Artıq bu sadələşdirilmiş modeldə çoxalma prosesinin real bioloji təcrübələrdə də rast gəlinən bir sıra xüsusiyyətləri əks olunub.

Belə bir model aktiv mühitdə sözdə fibrilasiyanın baş verməsi üçün şərtlər məsələsi həm nəzəri, həm də tətbiqi tibbi baxımdan çox maraqlıdır. Eksperimental olaraq, məsələn, ürək əzələsində müşahidə edilən bu fenomen, ürəkdə ritmik əlaqələndirilmiş daralmaların əvəzinə, dövriliyi olmayan və fəaliyyətini pozan təsadüfi yerli həyəcanların meydana çıxmasından ibarətdir. Bu problemin ilk nəzəri tədqiqi 50-ci illərdə N. Wiener və A. Rosenbluthun işlərində aparılmışdır. Hazırda ölkəmizdə bu istiqamətdə işlər intensiv şəkildə aparılır və artıq bir sıra maraqlı nəticələr də verilib.

Yaxşı işinizi bilik bazasına təqdim etmək asandır. Aşağıdakı formadan istifadə edin

Tədris və işlərində bilik bazasından istifadə edən tələbələr, aspirantlar, gənc alimlər Sizə çox minnətdar olacaqlar.

http://www.allbest.ru/ saytında yerləşdirilib

Giriş

Müasir biologiya canlı cisimlərin quruluşu və fəaliyyət prinsipləri haqqında fikirləri rəsmiləşdirmək üçün riyaziyyatın müxtəlif sahələrindən fəal şəkildə istifadə edir: ehtimal nəzəriyyəsi və statistika, diferensial tənliklər nəzəriyyəsi, oyun nəzəriyyəsi, diferensial həndəsə və çoxluqlar nəzəriyyəsi.

Bir çox elm adamları belə bir fikri ifadə etmişlər ki, bilik sahəsi ancaq öz qanunlarını riyazi əlaqələr şəklində ifadə etdikdə elm olur. Buna uyğun olaraq, ən "elmi" elm fizikadır - təbiətin əsas qanunları haqqında elm, onun üçün riyaziyyat təbii bir dildir. Ayrı-ayrı canlı sistemlərinin öyrənildiyi biologiyada vəziyyət daha mürəkkəbdir. Yalnız bizim əsrdə in vitroda təkrarlana bilən hadisələri öyrənən və fiziki, kimyəvi və riyazi üsullardan fəal istifadə edən eksperimental biokimya, biofizika, molekulyar biologiya, mikrobiologiya və virusologiya meydana çıxdı.

Bioloji hadisələrin fərdiliyinə görə biz xüsusi olaraq biologiyada riyazi modellərdən danışırıq (yalnız riyazi dil haqqında deyil). Buradakı model sözü bir faktı vurğulayır ki, söhbət abstraksiyadan, idealizasiyadan və riyazi təsvirdən gedir, daha doğrusu, canlı sistemin özündən deyil, onda baş verən proseslərin bəzi keyfiyyət xüsusiyyətlərindən. Eyni zamanda, bəzən statistik qanunauyğunluqlar şəklində kəmiyyət proqnozları vermək mümkündür. Bəzi hallarda, məsələn, biotexnologiyada, mühəndislikdə olduğu kimi, optimal istehsal rejimlərinin işlənib hazırlanması üçün riyazi modellərdən istifadə olunur.

1. Məsələlərin sinifləri və riyazi aparat

Hər hansı modeli hazırlayarkən modelləşdirmə obyektini, modelləşdirmənin məqsədini və modelləşdirmə vasitələrini müəyyən etmək lazımdır. Obyekt və məqsədlərə uyğun olaraq biologiyada riyazi modelləri üç böyük sinfə bölmək olar. Birinci reqressiya modellərinə tədqiq olunan prosesin mexanizmini aşkar etməyə iddia etməyən empirik şəkildə qurulmuş asılılıqlar (düsturlar, diferensial və fərq tənlikləri, statistik qanunlar) daxildir. Belə modellərə iki nümunə verək.

1. Azov dənizi balıq ehtiyatının dinamikasının böyük simulyasiya modelində hamsi kürüləyənlərin S sayı ilə hər bir kürü tökəndən olan yeniyetmələrin sayı arasında əlaqə empirik düsturla ifadə edilir (Gorstko et al, 1984).

Burada S hər kürütökən kürü üçün barmaq balalarının (parçaların) sayıdır; x - yazda Qara dənizdən Azov dənizinə gələn hamsi istehsalçılarının sayı (milyard ədəd); - standart sapma.

1. Yarpaq zibilinin oksigenin udulma dərəcəsini oksigen udma dərəcəsinin loqarifmi üçün düsturla kifayət qədər yaxşı təsvir etmək olar:

Burada Y µl(0,25 q)-1h-1 ilə ölçülən oksigen qəbuludur; D - nümunələrin saxlandığı günlərin sayı; B - nümunələrdə rütubətin faizi; T dərəcə C ilə ölçülən temperaturdur.

Bu düstur oksigen qəbulunda standart sapma =0,3190,321 olmaqla, təcrübədə müşahidə edilən bütün günlər, temperatur və rütubət üzrə oksigen qəbulunun sürəti üçün qərəzsiz qiymətləndirmələr təqdim edir.

(Kitabdan: D. Jeffers "Sistem analizinə giriş: ekologiyada tətbiq", M., 1981)

Reqressiya modellərində əmsallar adətən eksperimental məlumatlardan model parametrlərinin müəyyən edilməsi prosedurlarından istifadə etməklə müəyyən edilir. Bu halda, bütün ölçmə nöqtələri üçün nəzəri əyrinin eksperimental əyridən kvadrat sapmalarının cəmi ən çox minimuma endirilir. Bunlar. Model əmsalları funksionallığı minimuma endirəcək şəkildə seçilir:

Burada i ölçmə nöqtəsinin nömrəsidir; xe - "dəyişənlərin eksperimental dəyərləri; xt - dəyişənlərin nəzəri dəyərləri; a1, a2... - təxmin ediləcək parametrlər; wi - i-ci ölçmənin "çəkisi"; N - ölçmə nöqtələrinin sayı.

İkinci sinif, bir qayda olaraq, obyekt haqqında mövcud məlumatları mümkün qədər nəzərə alan xüsusi mürəkkəb yaşayış sistemlərinin simulyasiya modelləridir. Simulyasiya modelləri canlı maddənin təşkilinin müxtəlif səviyyələrində obyektləri təsvir etmək üçün istifadə olunur - biomakromolekullardan biogeosenoz modellərinə qədər. Sonuncu halda, modellərə həm canlı, həm də “inert” komponentləri təsvir edən bloklar daxil edilməlidir (Riyazi ekologiyaya baxın). Simulyasiya modellərinin klassik nümunəsi molekulyar dinamika modelləridir ki, burada biomakromolekulu təşkil edən bütün atomların koordinatları və momentləri və onların qarşılıqlı təsir qanunları dəqiqləşdirilir. Sistemin “həyatının” kompüter vasitəsilə təsviri fiziki qanunların ən sadə bioloji obyektlərin – biomakromolekulların və onların ətraf mühitinin fəaliyyətində necə təzahür etdiyini izləməyə imkan verir. Elementlərin (tikinti bloklarının) artıq atomlar deyil, atom qrupları olduğu oxşar modellər müasir kompüter texnologiyasında biotexnoloji katalizatorların və mikroorqanizmlərin, virusların membranlarının müəyyən aktiv qruplarına təsir edən və ya təsir göstərən dərmanların dizaynı üçün istifadə olunur. digər məqsədyönlü tədbirlər.

Fizioloji prosesləri təsvir etmək üçün simulyasiya modelləri yaradılır. Həyati vacib orqanlarda meydana gəlir: sinir lifi, ürək, beyin, mədə-bağırsaq traktında, qan dövranında. Onlar normal və müxtəlif patologiyalarda baş verən proseslərin “ssenarilərini” oynayır, müxtəlif xarici təsirlərin, o cümlədən dərmanların proseslərə təsirini öyrənirlər. Simulyasiya modelləri bitkilərin istehsal prosesini təsvir etmək üçün geniş istifadə olunur və maksimum məhsul əldə etmək və ya meyvələrin zamanla ən bərabər paylanmış yetişməsini əldə etmək üçün bitkilərin yetişdirilməsinin optimal rejiminin işlənib hazırlanmasında istifadə olunur. Bu cür inkişaflar bahalı və enerji tutumlu istixana təsərrüfatı üçün xüsusilə vacibdir.

2. Yüksək keyfiyyətli (əsas) modellər

İstənilən elmdə analitik şəkildə təhlil edilə bilən və təbiət hadisələrinin bütün spektrini təsvir etməyə imkan verən xüsusiyyətlərə malik sadə modellər var. Belə modellər əsas adlanır. Fizikada klassik əsas model harmonik osilatordur (top - material nöqtəsi - sürtünməsiz yayda). Əsas modellər, bir qayda olaraq, müxtəlif modifikasiyalarda ətraflı öyrənilir. Osilator vəziyyətində top özlü mühitdə ola bilər, dövri və ya təsadüfi təsirlərə məruz qala bilər, məsələn, nasos enerjisi və s. daha mürəkkəb hadisələrdə baş verən hadisələr aydın real sistemlərə çevrilir. Məsələn, biomakromolekulun təsdiqedici vəziyyətlərinin relaksasiyası viskoz mühitdəki osilator kimi qəbul edilir. Beləliklə, sadəliyi və aydınlığı sayəsində əsas modellər müxtəlif sistemlərin öyrənilməsində son dərəcə faydalı olur.

Biomakromolekullardan tutmuş populyasiyalara qədər müxtəlif səviyyəli təşkilatların bütün bioloji sistemləri termodinamik cəhətdən qeyri-tarazdır, maddə və enerji axınlarına açıqdır. Buna görə də qeyri-xəttilik riyazi biologiyanın əsas sistemlərinin ayrılmaz xüsusiyyətidir. Canlı sistemlərin böyük müxtəlifliyinə baxmayaraq, biz onlara xas olan ən vacib keyfiyyət xüsusiyyətlərini qeyd edə bilərik: böyümə, böyümənin özünü məhdudlaşdırması, keçid qabiliyyəti - iki və ya daha çox stasionar rejimdə mövcudluq, öz-özünə salınan rejimlər (biorhythms), məkan heterojenliyi, kvazistoxastiklik. Bütün bu xassələri riyazi biologiyanın əsas modelləri kimi çıxış edən nisbətən sadə qeyri-xətti dinamik modellərdən istifadə etməklə nümayiş etdirmək olar.

3. Limitsiz artım. Eksponensial artım. Avtokataliz

riyazi biologiya molekulyar əhali

Bütün modellər müəyyən fərziyyələrə əsaslanır. Bu fərziyyələr əsasında qurulan model riyazi metodların arsenalından istifadə etməklə öyrənilə bilən müstəqil riyazi obyektə çevrilir. Modelin dəyəri modelin xüsusiyyətlərinin modelləşdirilmiş obyektin xüsusiyyətlərinə nə dərəcədə uyğun olması ilə müəyyən edilir. Bütün böyümə modellərinin əsasını təşkil edən əsas fərziyyələrdən biri ondan ibarətdir ki, istər dovşan populyasiyası olsun, istərsə də hüceyrə populyasiyası olsun, populyasiyanın artım sürəti artım sürəti ilə mütənasibdir. Bu fərziyyə canlı sistemlərin ən mühüm xüsusiyyətinin onların çoxalma qabiliyyəti olduğu məlum faktına əsaslanır. Hüceyrə toxumalarını təşkil edən bir çox təkhüceyrəli orqanizmlər və ya hüceyrələr üçün bu, sadəcə bölünmədir, yəni xarakterik bölünmə vaxtı adlanan müəyyən vaxt intervalından sonra hüceyrələrin sayının ikiqat artmasıdır. Mürəkkəb mütəşəkkil bitki və heyvanlar üçün çoxalma daha mürəkkəb qanuna əsasən baş verir, lakin ən sadə modeldə bir növün çoxalma sürətinin bu növün sayı ilə mütənasib olduğunu güman etmək olar.

Riyazi olaraq, bu, populyasiyadakı fərdlərin sayını (konsentrasiyasını) xarakterizə edən x dəyişəninə münasibətdə xətti diferensial tənlikdən istifadə edərək yazılır:

Burada R ümumi halda həm ədədin özünün, həm də zamanın funksiyası ola bilər və ya digər xarici və daxili amillərdən asılı ola bilər.

Əhalinin artım tempinin onun ölçüsünə mütənasib olması fərziyyəsi hələ XVIII əsrdə Tomas Robert Maltus (1766-1834) tərəfindən “Əhali artımı haqqında” (1798) kitabında ifadə edilmişdir. Qanuna (1) görə, əgər mütənasiblik əmsalı R=r=const olarsa (Maltusun fərz etdiyi kimi), say hədsiz dərəcədə eksponensial artacaq.

Maltus öz əsərlərində bu qanunun təsirlərini qida və digər malların istehsalının xətti şəkildə artması və buna görə də eksponent olaraq artan əhalinin aclığa məhkum olması fonunda müzakirə edir.

Əksər populyasiyalar üçün məhdudlaşdırıcı amillər var və bu və ya digər səbəbdən əhalinin artımı dayanır. Yeganə istisna, tarix boyu eksponentdən daha sürətlə artan insan əhalisidir. (Riyazi ekologiya, İnsan əhalisinin artımı bölməsinə baxın). Maltusun tədqiqatları həm iqtisadçılara, həm də bioloqlara böyük təsir göstərmişdir. Xüsusən də Çarlz Darvin öz gündəliklərində yazır ki, Maltus modelinin əsasını təşkil edən fərziyyələr və onun böyüklüyünə görə əhalinin artım sürətinin mütənasibliyi çox inandırıcı görünür və buradan sayların qeyri-məhdud eksponensial artımı gəlir. Eyni zamanda təbiətdəki populyasiyaların heç biri sonsuza qədər böyümür. Ona görə də belə artımın qarşısını alan səbəblər var. Darvin bu səbəblərdən birini növlərin varlıq mübarizəsində görür.

Eksponensial böyümə qanunu toxuma, yosun və ya mədəniyyətdəki bakteriyaların populyasiyaları üçün böyümənin müəyyən mərhələsində etibarlıdır. Modellərdə kəmiyyətin dəyişmə sürətinin bu kəmiyyətin artması ilə artmasını təsvir edən riyazi ifadə avtokatalitik termin adlanır (avtomatik - öz, kataliz - reaksiya sürətinin modifikasiyası, adətən sürətlənməsi, köməyi ilə reaksiyada iştirak etməyən maddələr) Beləliklə, avtokataliz “özünü sürətləndirən” reaksiyalardır.

4. Məhdud artım. Verhulst tənliyi

Məhdud böyüməni təsvir edən əsas model Verhulst modelidir (1848):

Burada K parametri “əhali tutumu” adlanır və say (və ya konsentrasiya) vahidləri ilə ifadə edilir. Onun heç bir sadə fiziki və ya bioloji mənası yoxdur və sistem xarakteri daşıyır, yəni mikroorqanizmlər üçün substratın miqdarına, toxuma hüceyrələrinin populyasiyası üçün mövcud həcmə, qida təchizatına məhdudiyyətlər daxil olmaqla bir sıra müxtəlif şərtlərlə müəyyən edilir. və ya daha yüksək heyvanlar üçün sığınacaqlar.

(2) tənliyinin sağ tərəfinin x ölçüsündən və populyasiyanın vaxtından asılılığının qrafiki Şek. 1 (a və b).

düyü. 1 Məhdud böyümə. Logistik tənlik üçün artım sürətinin saydan (a) və zamandan (b) sayından asılılığı

Son onilliklərdə Verhulst tənliyi ikinci gəncliyi yaşadı. (2) tənliyinin diskret analoqunun tədqiqi tamamilə yeni və diqqətəlayiq xüsusiyyətlər aşkar etdi. Gəlin zamanın ardıcıl nöqtələrində əhalinin sayını nəzərdən keçirək. Bu, populyasiyada fərdlərin (və ya hüceyrələrin) sayılması üçün faktiki prosedura uyğundur. Ən sadə formada, n+1 zaman addımında əhalinin əvvəlki n addımındakı əhalidən asılılığı belə yazıla bilər:

Dəyişən xn-in zaman davranışı davamlı model (2) üçün olduğu kimi təkcə məhdud artım deyil, həm də salınımlı və ya kvazistoxastik ola bilər (şək. 2).

düyü. 2 Növbəti addımdakı nömrənin əvvəlki addımdakı nömrədən asılılığının funksiyası növü (a) və r parametrinin müxtəlif dəyərləri üçün nömrənin zamanla davranışı (b): 1 - məhdud artım; 2 - dalğalanmalar, 3 - xaos

Davranış növü daxili artım sürəti sabitinin dəyərindən asılıdır r. Verilmiş vaxtda (t+1) əhali dəyərinin əvvəlki t zamanındakı əhali dəyərindən asılılığını əks etdirən əyrilər Şəkil 1-də verilmişdir. 2 solda. Sağda populyasiya dinamikasının əyriləri var - populyasiyadakı fərdlərin sayının vaxtından asılılığı. Yuxarıdan aşağıya doğru daxili artım sürəti parametrinin qiyməti r artır.

Əhali dinamikasının xarakteri F(t+1) F(t)-dən asılılıq əyrisinin forması ilə müəyyən edilir. Bu əyri əhalinin özündən əhalinin artım tempinin dəyişməsini əks etdirir. Şəkildə təqdim olunanların hamısı üçün. 2 əyrilərin solunda, bu sürət kiçik ədədlərdə artır və azalır, sonra isə çox sayda sıfır olur. Əhalinin artım əyrisinin dinamik növü böyümənin kiçik sayda nə qədər sürətlə baş verməsindən asılıdır, yəni. törəmə ilə (bu əyrinin yamacının tangensi) sıfırda müəyyən edilir ki, bu da r əmsalı - öz artım sürətinin dəyəri ilə müəyyən edilir. Kiçik r üçün (r<3) численность популяции стремится к устойчивому равновесию. Когда график слева становится более крутым, устойчивое равновесие переходит в устойчивые циклы. По мере увеличения численности длина цикла растет, и значения численности повторяются через 2, 4, 8,..., 2n поколений. При величине параметра r>5.370 qərarların xaotizasiyası var. Kifayət qədər böyük r-də populyasiya dinamikası xaotik partlayışlar (böcəklərin sayında alovlanma) nümayiş etdirir.

Bu tipli tənliklər üst-üstə düşməyən nəsillərlə mövsümi çoxalmış həşəratların populyasiya dinamikasının yaxşı təsvirini verir. Eyni zamanda, kvazistoxastik davranış nümayiş etdirən populyasiyaların kifayət qədər sadə ölçülə bilən bəzi xüsusiyyətləri müntəzəm xarakter daşıyır. Müəyyən mənada əhalinin davranışı nə qədər xaotik olarsa, bir o qədər proqnozlaşdırıla biləndir. Məsələn, böyük x-də flaş amplitüdü flaşlar arasındakı vaxtla düz mütənasib ola bilər.

Diskret təsvirin müxtəlif təbiətli sistemlər üçün məhsuldar olduğu sübut edilmişdir. Bir müstəvidə sistemin dinamik davranışını koordinatlarda təmsil etmək üçün aparat müşahidə olunan sistemin salınımlı və ya kvazistoxastik olduğunu müəyyən etməyə imkan verir. Məsələn, elektrokardioqram məlumatlarının təqdimatı insan ürəyinin daralmalarının normal olaraq qeyri-müntəzəm olduğunu müəyyən etməyə imkan verdi, lakin angina hücumları zamanı və ya infarktdan əvvəlki vəziyyətdə ürəyin daralma ritmi ciddi şəkildə nizamlı olur. Rejimin bu "sıxılması" stresli vəziyyətdə bədənin qoruyucu reaksiyasıdır və sistemin həyatı üçün təhlükə olduğunu göstərir.

Qeyd edək ki, fərq tənliklərinin həlli istənilən real bioloji proseslərin modelləşdirilməsi üçün əsasdır. Fərqli tənliklərin model trayektoriyalarının dinamik davranışının zənginliyi onların mürəkkəb təbiət hadisələrini təsvir etmək üçün uğurlu tətbiqi üçün əsasdır. Eyni zamanda, müəyyən bir rejimin mövcudluğunun parametrik bölgələrinin məhdud xarakteri təklif olunan modelin adekvatlığını qiymətləndirmək üçün əlavə əsas kimi xidmət edir.

(3) tənliyini aşağıdakı formada yenidən yazsaq, daha da maraqlı riyazi obyektlər əldə edilir:

və kompleks sahəsində c sabitini nəzərdən keçirin. Bu, Mandelbrot dəstləri adlanan obyektləri yaradır. Siz bu dəstlər haqqında daha çox "Fraktalların Gözəlliyi" (Mürəkkəb Dinamik Sistemlərin Şəkilləri) kitabında oxuya bilərsiniz, burada onların çoxsaylı rəngli təsvirləri də verilir. Bu obyektlərin daha dərin mənası olan bioloji təfsiri var, yoxsa əsas sistemin bizə verdiyi gözəl “sürpriz”dir? Bu suala hələlik dəqiq cavab yoxdur.

5. Substrat məhdudiyyətləri. Monod və Michaelis-Menten modelləri

Böyümənin məhdudlaşdırılmasının səbəblərindən biri qida çatışmazlığı ola bilər (mikrobioloji dildə substrat məhdudiyyəti). Mikrobioloqlar çoxdan qeyd ediblər ki, substratın məhdudlaşdırılması şəraitində böyümə sürəti substratın konsentrasiyasına mütənasib olaraq artır və kifayət qədər substrat varsa, əhalinin genetik imkanları ilə müəyyən edilmiş sabit dəyərə çatır. Bir müddət əhali artım tempi bəzi digər amillərlə məhdudlaşdırılmağa başlayana qədər eksponent olaraq artır. Bu o deməkdir ki, düstur (1)-də R artım sürətinin substratdan asılılığı aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:

Burada KS, böyümə sürətinin maksimumun yarısı olduğu substrat konsentrasiyasına bərabər sabitdir. 0, (2) düsturunda r dəyərinə bərabər olan maksimum artım sürətidir. Bu tənliyi ilk dəfə böyük bir fransız biokimyaçısı yazmışdır. Jak Monod (1912-1976). Fransua Yakobla birlikdə o, hüceyrə çoxalma aparatında nəqliyyat ribonuklein turşusunun (mRNT) rolu haqqında fikirlər inkişaf etdirdi. Operonlar adlandırdıqları gen kompleksləri ideyasını inkişaf etdirərkən, Yakob və Monod transfer RNT-nin sintezinə təsir edərək digər genlərin fəaliyyətini tənzimləyən genlər sinfinin mövcudluğunu irəli sürdülər. Genlərin tənzimlənməsinin bu mexanizmi sonradan bakteriyalar üçün tam təsdiqləndi və bunun üçün hər iki alim (eləcə də Andre Lvov) 1965-ci ildə Nobel mükafatına layiq görüldülər. Aşağıda trigger adlanan iki fermentin sintezinin gen tənzimlənməsinin məşhur modelini nəzərdən keçiririk. Yaqub və Monodun modeli.

Jak Monod həm də elm filosofu və qeyri-adi yazıçı idi. Monod 1971-ci ildə yazdığı məşhur "Şans və zərurət" kitabında həyatın və təkamülün meydana gəlməsinin təsadüfi olması, eləcə də insanın rolu və yer üzündə baş verən proseslərə görə məsuliyyəti haqqında fikirlərini ifadə edir.

Maraqlıdır ki, Monod modelinin (5) ferment molekullarının ümumi sayının olması şərtilə, fermentativ reaksiyanın sürətinin substratın konsentrasiyasından asılılığını təsvir edən Michaelis-Menten tənliyi (1913) ilə formada üst-üstə düşür. sabit və substrat molekullarının sayından əhəmiyyətli dərəcədə azdır:

Burada KM, reaksiya sürətinin maksimumun yarısına bərabər olduğu substrat konsentrasiyasının mənası və ölçüsünə malik olan, eksperimental olaraq təyin edilmiş fermentativ reaksiyalar üçün ən vacib kəmiyyətlərdən biri olan Michaelis sabitidir.

Michaelis-Menten qanunu kimyəvi kinetikanın tənliklərindən alınır və sxemə uyğun olaraq məhsulun əmələ gəlmə sürətini təsvir edir:

(5) və (6) tənliklərinin oxşarlığı təsadüfi deyil. Michaelis-Menten düsturu (5) fermentativ reaksiyaların kinetikasının daha dərin nümunələrini əks etdirir, bu da öz növbəsində mikroorqanizmlərin həyati fəaliyyətini və inkişafını müəyyən edir, empirik düstur (5) ilə təsvir olunur.

6. Əsas qarşılıqlı əlaqə modeli. Müsabiqə. Seçim.

Bioloji sistemlər, istər biokimyəvi reaksiyalar prosesində biomakromolekulların qarşılıqlı təsiri, istərsə də populyasiyalarda növlərin qarşılıqlı təsiri olsun, bütün səviyyələrdə bir-biri ilə qarşılıqlı əlaqədə olur. Qarşılıqlı təsir strukturlarda baş verə bilər, sonra sistem müəyyən dövlətlər dəsti ilə xarakterizə edilə bilər, bu, hüceyrəaltı, hüceyrə və orqanizm strukturları səviyyəsində baş verir. Riyazi modellərdə strukturlarda proseslərin kinetikası adətən komplekslərin vəziyyətlərinin ehtimalları üçün tənliklər sistemlərindən istifadə etməklə təsvir olunur.

Qarşılıqlı təsir təsadüfi baş verdikdə, onun intensivliyi qarşılıqlı təsir göstərən komponentlərin konsentrasiyası və ümumiləşdirilmiş diffuziya ilə onların hərəkətliliyi ilə müəyyən edilir. Bunlar növlərin qarşılıqlı əlaqəsinin əsas modellərində qəbul edilən fikirlərdir. Növlərin qarşılıqlı təsirinin riyazi modellərindən bəhs edən klassik kitab Vito Volterranın “Varlıq uğrunda mübarizənin riyazi nəzəriyyəsi” (1931) kitabıdır. Kitab riyazi traktat kimi qurulmuşdur, burada bioloji obyektlərin xassələri və onların qarşılıqlı təsiri riyazi formada postulatlanır və sonra bu qarşılıqlı təsirlər riyazi obyektlər kimi öyrənilir, məhz V.Volterranın bu işi ilə müasir riyazi biologiya və riyazi ekologiya yaranmışdır .

Vito Volterra (1860-1940) inteqral tənliklər və funksional analiz sahəsindəki işinə görə dünya şöhrəti qazanmışdır. O, xalis riyaziyyatla yanaşı, biologiya, fizika və ictimai elmlərdə riyazi metodların tətbiqi ilə daim maraqlanırdı. İtaliyada Hərbi Hava Qüvvələrində xidmət etdiyi illərdə o, hərbi texnika və texnologiya məsələləri (balistika, bombardman, exolocation problemləri) üzərində çox çalışıb. Bu insan alim istedadı ilə fəal siyasətçi, faşizmin prinsipial əleyhdarı xasiyyətini özündə cəmləşdirirdi. O, hakimiyyətin Mussoliniyə keçməsinin əleyhinə səs verən yeganə italyan senator idi. İtaliyada faşist diktaturası illərində Volterra Fransada işləyərkən Mussolini dünya şöhrətli alimə qalib gəlmək istəyən ona faşist İtaliyasında müxtəlif yüksək vəzifələr təklif etsə də, həmişə qəti şəkildə rədd edilib. Volterranın antifaşist mövqeyi onu Roma Universitetindəki kafedrasından və İtaliya elmi cəmiyyətlərinə üzvlükdən imtina etməyə vadar etdi.

V. Volterra 1925-ci ildə qızının gələcək əri Luiza D'Ankonanın Adriatik dənizində qul bazarlarının statistikasını öyrənərkən gənc zooloq Umberto D'Ankona ilə söhbətlərindən sonra əhalinin dinamikası məsələləri ilə ciddi maraqlandı maraqlı fakt: Birinci Dünya Müharibəsi zamanı Müharibədən bəri (və ondan dərhal sonra) balıq ovu intensivliyi kəskin şəkildə azaldıqda, yırtıcı balıqların ovda nisbi payı artdı. Bu təsir Volterra tərəfindən təklif edilən yırtıcı-yırtıcı model tərəfindən proqnozlaşdırıldı. Bu modeli aşağıda nəzərdən keçirəcəyik. Əslində bu, riyazi biologiyanın ilk uğuru idi.

Volterra, statistik fizikaya bənzətməklə, qarşılıqlı təsirin intensivliyinin qarşılaşma ehtimalı (molekulların toqquşma ehtimalı), yəni konsentrasiyaların məhsulu ilə mütənasib olduğunu təklif etdi. Bu və bəzi digər fərziyyələr (Bax Əhali dinamikası) eyni trofik səviyyəli (rəqabət) və ya müxtəlif trofik səviyyəli (yırtıcı-yırtıcı) populyasiyalar arasında qarşılıqlı əlaqənin riyazi nəzəriyyəsini qurmağa imkan verdi.

Volterranın tədqiq etdiyi sistemlər bir neçə bioloji növdən və sözügedən növlərin bəziləri tərəfindən istifadə edilən qida ehtiyatından ibarətdir. Sistem komponentləri ilə bağlı aşağıdakı fərziyyələr formalaşdırılır.

1. Ərzaq ya qeyri-məhdud miqdarda olur, ya da onun tədarükü zamanla ciddi şəkildə tənzimlənir.

2. Hər bir növün fərdləri elə ölür ki, vahid vaxtda mövcud fərdlərin sabit nisbəti ölür.

3. Yırtıcı növlər ov yeyirlər və vahid vaxtda yeyilən yırtıcıların sayı həmişə bu iki növün fərdləri ilə qarşılaşma ehtimalı ilə mütənasibdir, yəni. yırtıcıların sayının və yırtıcıların sayının hasilidir.

4. Əgər qeyri-məhdud miqdarda qida və onu istehlak etmək qabiliyyətinə malik olan bir neçə növ varsa, onda hər bir növün vaxt vahidində istehlak etdiyi qidanın payı bu növün fərdlərinin sayına mütənasibdir və müəyyən əmsalla qəbul edilir. növlər (növlərarası rəqabət modelləri).

5. Əgər növ qeyri-məhdud miqdarda mövcud olan qida ilə qidalanırsa, zaman vahidində növlərin sayının artması növlərin sayı ilə mütənasibdir.

6. Əgər növ məhdud miqdarda mövcud olan qida ilə qidalanırsa, onda onun çoxalması qida istehlakı dərəcəsi ilə tənzimlənir, yəni. Vahid vaxtda artım yeyilən qida miqdarı ilə mütənasibdir.

Sadalanan fərziyyələr adi diferensial tənliklər sistemlərindən istifadə edərək mürəkkəb canlı sistemlərini təsvir etməyə imkan verir, onların sağ tərəfində xətti və ikixətli terminlərin cəmi var. Məlum olduğu kimi, belə tənliklər kimyəvi reaksiyalar sistemlərini də təsvir edir.

Həqiqətən də, Volterranın fərziyyələrinə görə, hər bir növün nəsli kəsilmə sürəti növlərin sayı ilə mütənasibdir. Kimyəvi kinetikada bu, müəyyən maddənin parçalanmasının monomolekulyar reaksiyasına, riyazi modeldə isə tənliklərin sağ tərəflərindəki mənfi xətti şərtlərə uyğun gəlir. Kimyəvi kinetika anlayışlarına görə, iki maddə arasında qarşılıqlı təsirin bimolekulyar reaksiyasının sürəti bu maddələrin toqquşma ehtimalı ilə mütənasibdir, yəni. onların konsentrasiyasının məhsulu. Eyni şəkildə, Volterranın fərziyyələrinə görə, yırtıcıların çoxalma sürəti (yırtıcının ölümü) yırtıcı və yırtıcı fərdlər arasında qarşılaşma ehtimalı ilə mütənasibdir, yəni. onların sayının hasilidir. Hər iki halda ikixətli terminlər model sistemində müvafiq tənliklərin sağ tərəflərində görünür. Nəhayət, qeyri-məhdud şəraitdə populyasiyaların artımına uyğun gələn Volterra tənliklərinin sağ tərəflərindəki xətti müsbət şərtlər kimyəvi reaksiyaların avtokatalitik şərtlərinə uyğundur. Kimyəvi və ətraf mühit modellərində tənliklərin bu oxşarlığı bizə kimyəvi reaksiyalar sistemləri kimi populyasiya kinetikasının riyazi modelləşdirilməsi üçün eyni tədqiqat metodlarını tətbiq etməyə imkan verir. Göstərmək olar ki, Volter tənliklərini təkcə statistik fizikadan qaynaqlanan yerli “görüş prinsipi”ndən deyil, həm də senozun hər bir komponentinin kütlə balansından və bu komponentlər arasında enerji axınlarından əldə etmək olar.

Volterra modellərindən ən sadəini, rəqabət münasibətlərinə əsaslanan seçim modelini nəzərdən keçirək. Bu model hər hansı bir təbiətin rəqabətə davamlı qarşılıqlı təsirlərini, müxtəlif optik fəaliyyət növlərinin biokimyəvi birləşmələrini, rəqabət aparan hüceyrələri, fərdləri, populyasiyaları nəzərə alaraq işləyir. Onun modifikasiyaları iqtisadiyyatda rəqabəti təsvir etmək üçün istifadə olunur.

Eyni çoxalma sürətinə malik iki tamamilə eyni növ olsun, onlar antaqonist olsunlar, yəni görüşdükləri zaman bir-birlərini sıxırlar. Onların qarşılıqlı əlaqə modeli aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Bu modelə görə, hər iki növün simmetrik mövcudluğu qeyri-sabitdir, qarşılıqlı təsirdə olan növlərdən biri mütləq öləcək, digəri isə qeyri-müəyyən müddətə çoxalacaq.

Substrata məhdudiyyətin (5-ci tip) və ya hər bir növün sayını məhdudlaşdıran sistemli amilin (tip 2) tətbiqi növlərdən birinin sağ qaldığı və müəyyən sabit sayına çatdığı modelləri qurmağa imkan verir. Onlar eksperimental ekologiyada tanınan rəqabətin Gause prinsipini təsvir edirlər, buna görə hər ekoloji nişdə yalnız bir növ sağ qalır.

Növlərin müxtəlif daxili böyümə sürətləri olduğu halda, tənliklərin sağ tərəflərindəki avtokatalitik şərtlər üçün əmsallar fərqli olacaq və sistemin faza portreti asimmetrik olur. Belə bir sistemdə parametrlərin fərqli nisbətləri ilə həm iki növdən birinin sağ qalması, həm də ikincisinin yoxa çıxması (əgər qarşılıqlı təzyiq rəqəmlərin özünü tənzimləməsindən daha güclü olarsa) və hər iki növün birgə mövcudluğu mümkündür. , qarşılıqlı zülmün hər bir növün sayının özünü məhdudlaşdırmasından az olduğu halda.

düyü. 4 İki fermentin Jacob və Monod sintezinin sxemi (a) və trigger sistemlərinin faza portreti (b)

Digər klassik trigger sistemi iki fermentin alternativ sintezinin Jacob və Monod modelidir. Sintez sxemi Şəkildə göstərilmişdir. 4a. Hər bir sistemin gen tənzimləyicisi qeyri-aktiv repressoru sintez edir. Bu repressor əks ferment sintez sisteminin məhsulu ilə birləşərək aktiv kompleks əmələ gətirir. Struktur gen operonunun bir bölgəsi ilə reversiv şəkildə reaksiya verən aktiv kompleks mRNT sintezini bloklayır. Beləliklə, ikinci sistemin məhsulu olan P2 birinci sistemin, P1 isə ikincinin nüvə təzyiqçisidir. Bu halda, bir, iki və ya daha çox məhsul molekulları corepression prosesində iştirak edə bilər. Aydındır ki, qarşılıqlı təsirlərin bu xarakteri ilə birinci sistem intensiv işlədikdə, ikincisi bloklanacaq və əksinə. Belə bir sistemin modeli təklif edilmiş və prof. D.S. Chernavsky Müvafiq sadələşdirmələrdən sonra P1 və P2 məhsullarının sintezini təsvir edən tənliklər formaya malikdir:

Burada P1, P2 məhsulların konsentrasiyasıdır, A1, A2, B1, B2 dəyərləri onların sistemlərinin parametrləri ilə ifadə edilir. m eksponenti mRNK sintezini bloklamaq üçün aktiv repressorun neçə molekulunun (məhsul molekullarının qeyri-aktiv repressorun molekulları ilə birləşmələri, artıq olması gözlənilir) operona bağlandığını göstərir.

m=2 üçün sistemin faza portreti (koordinat müstəvisində müxtəlif ilkin şərtlər altında sistemin trayektoriyalarının təsviri, oxları boyunca sistem dəyişənlərinin qiymətləri çəkilmişdir) Şəkil 4b-də göstərilmişdir. . O, iki rəqabət aparan sistemin faza portreti ilə eyni görünüşə malikdir. Oxşarlıq onu göstərir ki, sistemin keçid qabiliyyətinin əsasını rəqabət - növlər, fermentlər, vəziyyətlər təşkil edir.

düyü. 5 Kimyəvi reaksiyaların modeli. Söndürülmüş salınımlara uyğun gələn parametr dəyərləri üçün sistemin faza portreti

7. Trays və Volterra klassik modelləri

Daxili ritmlərin enerji ilə zəngin bir sistemdə onun komponentlərinin spesifik qarşılıqlı təsiri sayəsində mümkün olması haqqında ilk anlayış ən sadə qeyri-xətti qarşılıqlı təsir modellərinin - Lotka tənliklərində kimyəvi maddələrin və növlərin qarşılıqlı təsirinin - Volterra modellərində meydana çıxmasından sonra gəldi.

Lotka tənliyi 1926-cı ildə bir kitabda onun tərəfindən müzakirə edilmiş və aşağıdakı kimyəvi reaksiyalar sistemini təsvir etmişdir.

Müəyyən bir həcmdə A maddəsi artıqdır. X maddəsi Y maddəsinə çevrilə bilər və bu reaksiyanın sürəti daha çox olarsa, Y maddəsinin konsentrasiyası bir o qədər yüksək olar - ikinci dərəcəli reaksiya. Diaqramda bu, y simvolunun üstündəki geri ox ilə əks olunur. Y molekulları isə öz növbəsində dönməz şəkildə parçalanır və nəticədə B maddəsi (birinci dərəcəli reaksiya) əmələ gəlir.

Reaksiyanı təsvir edən tənliklər sistemini yazaq:

Burada X, Y, B kimyəvi komponentlərin konsentrasiyasıdır. Bu sistemin ilk iki tənliyi B-dən asılı deyil, ona görə də onları ayrıca nəzərdən keçirmək olar. Müəyyən parametr dəyərlərində sistemdə sönümlü salınımlar mümkündür.

Söndürülməmiş salınımların əsas modeli yırtıcı və yırtıcı növlərin qarşılıqlı təsirini təsvir edən klassik Volterra tənliyidir. Rəqabət modellərində (8) olduğu kimi, növ qarşılıqlı təsirləri kimyəvi kinetik prinsiplərə uyğun olaraq təsvir edilmişdir: yırtıcı itki sürəti (x) və yırtıcıların qazanma sürəti (y) onların məhsulu ilə mütənasibdir.

Şəkildə. Şəkil 6-da sistemin faza portreti göstərilir, onun oxları boyunca yırtıcı və yırtıcıların sayı - (a) və hər iki növün sayının kinetikası - ədədlərin zamandan asılılığı - (b). Yırtıcıların və yırtıcıların sayının antifazada dəyişdiyini görmək olar.

düyü. 6 Volterra yırtıcı-yırtıcı modeli, saylarda sönümsüz dalğalanmaları təsvir edir. A. Mərhələli portret. B. Yırtıcı və yırtıcı sayının vaxtından asılılığı

Volterra modelinin bir əhəmiyyətli çatışmazlığı var. Onun dəyişənlərinin rəqs parametrləri sistemin parametr və dəyişənlərindəki dalğalanmalarla dəyişir. Belə bir sistem qeyri-kobud adlanır.

Bu çatışmazlıq daha real modellərdə aradan qaldırılır. Monod formasında substratın məhdudlaşdırılmasını nəzərə alaraq (tənlik 5) və ədədlərin özünü məhdudlaşdırmasını nəzərə alaraq (2-ci tənlikdə olduğu kimi) Volterra modelinin modifikasiyası kitabda A.D.Bazykin tərəfindən ətraflı öyrənilmiş bir modelə gətirib çıxarır. “Qarşılıqlı təsir edən populyasiyaların biofizikası” (1985).

Sistem (11, əsas tənliklərdən (1, 2, 5, 10) ibarət olan və onların xassələrini birləşdirən bir növ kentavrdır. Həqiqətən, az sayda və yırtıcı olmadığı təqdirdə, yırtıcı (x) çoxalacaq. eksponensial qanun (1) Yırtıcı (y) qurbanlar olmadıqda, onlar da eksponent olaraq öləcəklər, əgər əsas modelə (2) uyğun olaraq, sistemli Verhulst faktoru işə salınır. birinci tənlikdə -Ex2, ikincidə -My2 - Növlərin qarşılıqlı təsirinin intensivliyi onların ədədlərinin hasilinə mütənasib hesab olunur (model (10)) və Monod şəklində (model 5) təsvir olunur. Burada substratın rolunu yırtıcı növlər, mikroorqanizmlərin rolunu isə (11) əsas modelləri nəzərə alır. 5), (10).

Lakin model (11) təkcə bu modellərin xassələrinin cəmi deyil. Onun köməyi ilə qarşılıqlı təsir göstərən növlərin daha mürəkkəb davranış növlərini təsvir etmək mümkündür: iki sabit stasionar vəziyyətin olması, sayların azaldılmış dalğalanması və s. Müəyyən parametr dəyərlərində sistem öz-özünə salınır. Orada, zaman keçdikcə, ilkin şərtlərdən asılı olmayaraq dəyişənlərin sabit dövr və amplituda ilə vaxtaşırı dəyişdiyi bir rejim qurulur.

8. Həyat dalğaları

İndiyə qədər canlı sistemlərin zamanla davranışının əsas modellərindən danışdıq. Böyümə və çoxalma arzusu kosmosda yayılmağa, yeni bir ərazinin işğalına və canlı orqanizmlərin genişlənməsinə səbəb olur. Həyat çöl yanğını zamanı çöldə alov kimi yayılır. Bu metafora yanğının (birölçülü halda, alovun qoruyucu boyunca yayılması) bir növün yayılması ilə eyni əsas modeldən istifadə edilərək təsvir edildiyini əks etdirir. Yanma nəzəriyyəsində məşhur olan PKP (Petrovski-Kolmoqorov-Piskunov) modeli ilk dəfə 1937-ci ildə onlar tərəfindən dominant növlərin kosmosda paylanması modeli kimi dəqiq bioloji formada təklif edilmişdir. Bu əsərin hər üç müəllifi aparıcı rus riyaziyyatçılarıdır. Akademik İvan Georgiyeviç Petrovski (1901-1973) - diferensial tənliklər nəzəriyyəsi, cəbr, həndəsə, riyazi fizika üzrə fundamental əsərlərin müəllifi, 20 ildən artıq Moskva Dövlət Universitetinin rektoru olub. M.V.Lomonosov. (1951-1973). Andrey Nikolayeviç Kolmoqorov (1903--) ehtimal nəzəriyyəsi və funksiyalar nəzəriyyəsi üzrə rus riyaziyyat məktəbinin rəhbəri, riyazi məntiq, topologiya, diferensial tənliklər nəzəriyyəsi, informasiya nəzəriyyəsi üzrə fundamental əsərlərin müəllifi, məktəb və universitet riyazi təhsilinin təşkilatçısı, bir sıra əsərlər yazmışdır. bioloji məhsullara əsaslanır. Xüsusilə, 1936-cı ildə o, yırtıcı və yırtıcı növlərin qarşılıqlı əlaqəsinin ümumiləşdirilmiş modelini təklif etdi və ətraflı öyrəndi (düzəliş edilmiş və genişləndirilmiş versiya 1972 (bax. Əhali dinamikası).

Enerji (qida) ilə zəngin aktiv mühitdə bir növün yayılması probleminin tərtibini nəzərdən keçirək. r>0 xəttinin istənilən nöqtəsində növlərin çoxalması f(x) = x(1-x) funksiyası ilə təsvir edilsin. Zamanın ilkin anında, sıfırın solunda olan bütün sahə, konsentrasiyası birliyə yaxın olan x növləri tərəfindən işğal edilir. t=0 zamanında növ diffuziya sabiti D ilə sağa doğru yayılmağa (diffuziya) başlayır. Proses tənliklə təsvir edilir:

Belə sistemdə t>0-da konsentrasiya dalğası r>0 bölgəsinə yayılmağa başlayır ki, bu da iki prosesin nəticəsidir: fərdlərin təsadüfi yerdəyişməsi (hissəciklərin diffuziyası) və f(x) funksiyası ilə təsvir edilən çoxalma. . Vaxt keçdikcə dalğa cəbhəsi sağa doğru hərəkət edir və onun forması müəyyən məhdudlaşdırıcı formaya yaxınlaşır. Dalğanın hərəkət sürəti diffuziya əmsalı və f(x) funksiyasının forması ilə müəyyən edilir və f(x) funksiyası üçün x=0 və x=1-də sıfıra bərabər, aralıq nöqtələrdə isə müsbətdir. sadə düsturla ifadə edilir: =2Df"(0).

Yırtıcı-yırtıcı modeldə (10) məkan hərəkətinin tədqiqi göstərir ki, belə bir sistemdə qeyri-məhdud məkanda “uçuş və təqib” dalğaları, məhdud məkanda isə stasionar məkan baxımından qeyri-bərabər strukturlar (dissipativ) yayılacaq. strukturlar) və ya avtomatik dalğalar sistem parametrlərindən asılı olaraq qurulacaq.

9. Avtodalğalar və dissipativ strukturlar. Əsas Brusselator modeli

Yuxarıda müzakirə edilən birölçülü model (14) göstərir ki, qeyri-xətti kimyəvi reaksiya və diffuziyanın qarşılıqlı təsiri qeyri-trivial rejimlərə gətirib çıxarır. Sistem komponentlərinin qarşılıqlı əlaqəsini təsvir edən ikiölçülü modellərdə daha mürəkkəb davranış gözlənilə bilər. İlk belə model Türinq tərəfindən “Morfogenezin kimyəvi əsasları” adlı məqalədə tədqiq edilmişdir. Alan M. Turing (1912-1954) İngilis riyaziyyatçısı və məntiqçisi, kompüter məntiqi və avtomatlar nəzəriyyəsi ilə bağlı işləri ilə məşhurlaşdı. 1952-ci ildə o, ilkin olaraq homojen sistemdə strukturların əmələ gəlməsinin riyazi nəzəriyyəsinə həsr olunmuş tədqiqatın birinci hissəsini nəşr etdi, burada kimyəvi reaksiyalar eyni vaxtda baş verir, o cümlədən enerji istehlakı ilə müşayiət olunan avtokatalitik proseslər və passiv ötürmə prosesləri - diffuziya. Homoseksuallıq ittihamı ilə cəza çəkdiyi həbsxanada müalicə etmək məcburiyyətində qaldığı depresanların təsiri altında intihar etdiyi üçün bu araşdırma yarımçıq qalmışdır.

Türinqin işi klassika çevrildi, onun ideyaları qeyri-xətti sistemlərin müasir nəzəriyyəsinin, özünütəşkiletmə və sinergetika nəzəriyyəsinin əsasını təşkil etdi. Tənliklər sistemi nəzərə alınır:

Bu tip tənliklərə reaksiya-diffuziya tənlikləri deyilir. Xətti sistemlərdə diffuziya bütün reaksiya həcmi boyunca konsentrasiyaların bərabərləşməsinə səbəb olan bir prosesdir. Bununla belə, x və y dəyişənlərinin qeyri-xətti qarşılıqlı təsiri zamanı sistemdə homogen stasionar vəziyyətin qeyri-sabitliyi yarana bilər və avtodalğalar və ya dissipativ strukturlar kimi mürəkkəb məkan-zaman rejimləri əmələ gələ bilər - konsentrasiyaların zaman baxımından stasionar və məkan baxımından qeyri-bərabər paylanması, mövcudluğu onların dissipasiya proseslərində sistemin sərf etdiyi enerji hesabına aktiv mühitdə saxlanılır. Belə sistemlərdə strukturların görünməsi şərti reagentlərin diffuziya əmsallarının fərqidir, yəni kiçik diffuziya əmsalı olan qısa diapazonlu “aktivatorun” və böyük diffuziyaya malik uzun mənzilli “inhibitorun” olmasıdır. əmsalı.

İki komponentli sistemdəki bu cür rejimlər, bu tədqiqatların ən intensiv şəkildə aparıldığı İ.R.Priqojinin rəhbərlik etdiyi Brüssel düşüncə məktəbinin adını daşıyan “Brüsselator” (Priqojine və Lefebvre, 1968) adlı əsas modeldən istifadə etməklə ətraflı şəkildə tədqiq edilmişdir. .

İlya Romanoviç Priqojin (1917-ci ildə Moskvada anadan olub) - ömrü boyu Belçikada işləyib. 1962-ci ildən Brüsseldəki Beynəlxalq Solvay Fiziki Kimya İnstitutunun direktoru, 1967-ci ildən isə Texas Universitetinin (ABŞ) Statistika Mexanika və Termodinamikası Mərkəzinin direktorudur.

1977-ci ildə o, qeyri-xətti termodinamika, xüsusən də dissipativ strukturlar nəzəriyyəsi - zaman baxımından sabit və məkanda qeyri-bərabər olan strukturlar üzrə işinə görə Nobel mükafatı alıb. Priqojin bir sıra kitabların ["Termodinamik quruluş, sabitlik və dalğalanmalar nəzəriyyəsi", "Xaosdan nizam", "Zamanın oxu" və s.] müəllifi və həmmüəllifidir, burada riyazi, fiziki qeyri-xətti sistemlərdə özünütəşkili nəzəriyyəsinin kimyəvi, bioloji və fəlsəfi ideyaları, termodinamik tarazlıqdan uzaq, termodinamik tarazlıqdan uzaq, materiya və enerji axınlarına açıq enerji ilə zəngin sistemlərdə “xaosdan nizam”ın yaranmasının səbəblərini və qanunauyğunluqlarını araşdırır. təsadüfi dalğalanmaların təsiri.

Klassik Brusselator modeli bənzəyir

və kimyəvi reaksiyaların hipotetik sxemini təsvir edir:

Əsas mərhələ iki molekulun x və bir molekul y-nin trimolekulyar reaksiya adlanan x-ə çevrilməsidir. Belə reaksiya iki katalitik mərkəzi olan fermentlərin iştirak etdiyi proseslərdə mümkündür. Bu reaksiyanın qeyri-xəttiliyi, maddənin diffuziya prosesləri ilə birləşərək, ilkin homojen morfogenez sistemində fəza strukturlarının formalaşması da daxil olmaqla, məkan-zaman rejimlərinin mümkünlüyünü təmin edir.

Nəticə

Müasir riyazi biologiya canlı sistemlərdə prosesləri modelləşdirmək və bioloji proseslərin əsasını təşkil edən mexanizmləri rəsmiləşdirmək üçün müxtəlif riyazi aparatlardan istifadə edir. Simulyasiya modelləri kompüterlərə termodinamik tarazlıqdan uzaq olan bütün canlı sistemlər olan qeyri-xətti mürəkkəb sistemlərdə prosesləri simulyasiya etməyə və proqnozlaşdırmağa imkan verir. Sadə riyazi tənliklər şəklində riyazi biologiyanın əsas modelləri canlı sistemlərin ən mühüm keyfiyyət xüsusiyyətlərini əks etdirir: böyümənin mümkünlüyü və onun məhdudiyyətləri, keçid qabiliyyəti, salınım və stokastik xassələr, məkan-zaman qeyri-bərabərliyi. Bu modellər sistemlərin davranışının məkan-zaman dinamikasının fundamental imkanlarını, onların qarşılıqlı əlaqəsini, müxtəlif xarici təsirlər - təsadüfi, dövri və s. İstənilən fərdi yaşayış sistemi dərin və təfərrüatlı tədqiq, eksperimental müşahidə və öz modelinin qurulmasını tələb edir, onun mürəkkəbliyi obyektdən və modelləşdirmənin məqsədlərindən asılıdır.

Ədəbiyyat

1. Volterra V. Varlıq uğrunda mübarizənin riyazi nəzəriyyəsi. M., Nauka, 1976, 286 s.

2. Peitgen H.-O., Richter P.H. Fraktalların gözəlliyi. Mürəkkəb dinamik sistemlərin şəkilləri. M., Mir, 1993, 176 s.

3. Rizniçenko G.Yu., Rubin A.B. Bioloji istehsal proseslərinin riyazi modelləri. M., Ed. Moskva Dövlət Universiteti, 1993, 301 s.

4. Romanovski Yu.M., Stepanova N.V., Çernavski D.S. Riyazi biofizika. M., Nauka, 1984, 304 s.

5. Rubin A.B., Pytyeva N.F., Rizniçenko G.Yu. Bioloji proseslərin kinetikası. M., MDU., 1988

6. Svirezhev Yu.M., Logofet. Bioloji icmaların sabitliyi M., Nauka, 1978, 352c

7. Bazykin A.D. Qarşılıqlı təsir göstərən populyasiyaların biofizikası. M., Nauka, 1985, 165 s.

8. J.D.Mürrey “Riyazi biologiya”, Springer, 1989, 1993.

Allbest.ru saytında yerləşdirilib

...

Oxşar sənədlər

Biologiyada riyazi modellərdən istifadənin xüsusiyyətləri. Nəslin kəmiyyəti və keyfiyyəti arasında əlaqənin müəyyən edilməsinə misal. Simulyasiyanın xüsusiyyətləri və orqanizmlərin məhdud böyüməsini, rəqabətini, seçimini və həyat dalğalarını təsvir etmək üçün əsas modellər.

mücərrəd, 10/09/2013 əlavə edildi


Bakteriya populyasiyasının spesifik artım sürətinin təyini. Birinci dərəcəli diferensial tənliyin həlli. Ümumi və xüsusi həllərin tapılması, sabit C. Məlum ədədlərin tənliyə əvəz edilməsi. 4 saatdan sonra bakteriya populyasiyasının ölçüsünün hesablanması.

təqdimat, 23/03/2014 əlavə edildi


Tədris mövzusu: molekulyar biologiya. DNT, mRNT, tRNT antikodonlarında nukleotidlərin ardıcıllığının qurulması məsələlərinin həlli üçün tələblər, hidrogen bağlarının sayının, DNT və RNT-nin uzunluğunun hesablanmasının xüsusiyyətləri. Protein biosintezi. Enerji mübadiləsi.

təqdimat, 05/05/2014 əlavə edildi


Biologiya elminin ümumi xarakteristikası. Biologiyanın inkişaf mərhələləri. İrsiyyətin əsas qanunlarının kəşfi. Hüceyrə nəzəriyyəsi, irsiyyət qanunları, biokimya, biofizika və molekulyar biologiyanın nailiyyətləri. Canlı maddənin funksiyaları haqqında sual.

test, 25/02/2012 əlavə edildi


Qarğanın morfoloji xüsusiyyətləri. Növlərin yaşayış yeri, həyat tərzi, qidalanması, çoxalması, böyüməsi və inkişafı. Lələk örtüyünün mövsümi dəyişməsinin xüsusiyyətləri. Tağ ədədlərinin dinamikası. Tədqiq olunan tavşan növlərinin biologiyasındakı oxşarlıqlar və fərqlər.

kurs işi, 02/12/2015 əlavə edildi


Əhalinin dinamik xüsusiyyətləri: məhsuldarlıq, ölüm, sağ qalma. Populyasiyaları təşkil edən fərdlərin məkan paylanması. Əhalinin dəyişməsinin avtomatik tənzimlənən proses kimi nəzərə alınması. Yaşayış üçün mövcud yerlərin sayı.

təqdimat, 25/03/2015 əlavə edildi


Şimal-Qərbi Qafqazda çöl donuzlarının yayılmasının və konsentrasiyasının ümumi xarakterinin müəyyən edilməsi. Ölçü və sıxlığın, yaş quruluşunun və cinsi əhalinin təyini. Qidalanma yerlərində qabanların davranış xüsusiyyətlərinin nəzərə alınması.

dissertasiya, 07/18/2014 əlavə edildi


Müasir biologiyanın metodologiyası. Biologiyanın fəlsəfi və metodoloji problemləri. Elmi biliklər sistemində biologiyanın yeri və rolu haqqında təsəvvürlərin çevrilməsi mərhələləri. Bioloji reallıq anlayışı. Həyat elmlərinin inkişafında fəlsəfi düşüncənin rolu.

mücərrəd, 30/01/2010 əlavə edildi


Elektroforez kimya, biokimya və molekulyar biologiyada maddələrin komponentlərinin ayrılması və təhlili üçün ən vacib üsullardan biridir. Poliakrilamid və agaroz geldə zülalların elektroforezi. Kapilyar elektroforez üçün avadanlıq.

mücərrəd, 31/08/2014 əlavə edildi


Təkamül biologiyasının banisi Çarlz Darvinin tərcümeyi-halı və elmi işinin tədqiqi. İnsanın meymunabənzər əcdaddan olması fərziyyəsinin əsaslandırılması. Təkamül təliminin əsas müddəaları. Təbii seçmənin əhatə dairəsi.

Kitab bioloji proseslərin riyazi modelləşdirilməsinə dair mühazirələrdən ibarətdir və Moskva Dövlət Universitetinin Biologiya fakültəsində tədris olunan kursların materialları əsasında yazılmışdır. M. V. Lomonosov.
24 mühazirə canlı sistemlərin modelləşdirilməsinin təsnifatı və xüsusiyyətlərini, biologiyada dinamik modellərin qurulması üçün istifadə olunan riyazi aparatın əsaslarını, populyasiyanın artımı və növlərin qarşılıqlı təsirinin əsas modellərini, biologiyada çoxstasionar, salınımlı və kvazistoxastik proseslərin modellərini əks etdirir. Bioloji sistemlərin məkan-zaman davranışının öyrənilməsi üsulları, avtodalğalı biokimyəvi reaksiyaların modelləri, sinir impulsunun yayılması, heyvan dərilərinin rənglənməsi modelləri və s. Biologiyada modelləşdirmə üçün vacib olan zamanların iyerarxiyası konsepsiyasına, fraktalların və dinamik xaosun müasir konsepsiyalarına xüsusi diqqət yetirilir. Ən son mühazirələr fotosintez proseslərinin riyazi və kompüter modelləşdirilməsinin müasir üsullarına həsr edilmişdir. Mühazirələr biologiyada riyazi modelləşdirmənin müasir əsasları ilə tanış olmaq istəyən bakalavrlar, aspirantlar və mütəxəssislər üçün nəzərdə tutulub.

Molekulyar dinamika.
Qərb elminin bütün tarixi boyunca bütün atomların koordinatlarını və onların qarşılıqlı əlaqə qanunlarını bilməklə Kainatda baş verən bütün prosesləri təsvir etmək mümkün olub-olmaması sual altındadır. Sual öz birmənalı cavabını tapmayıb. Kvant mexanikası qeyri-müəyyənlik anlayışını mikro səviyyədə qurdu. 10-12-ci mühazirələrdə biz görəcəyik ki, deterministik sistemlərdə kvazistoxastik davranış növlərinin mövcudluğu bəzi deterministik sistemlərin davranışını makro səviyyədə proqnozlaşdırmağı demək olar ki, qeyri-mümkün edir.

Birinci sualın nəticəsi ikincidir: “azaltma” məsələsi. Fizika qanunlarını, yəni bioloji sistemləri təşkil edən bütün atomların hərəkət qanunlarını və onların qarşılıqlı əlaqə qanunlarını bilməklə canlı sistemlərin davranışını təsvir etmək mümkündürmü? Prinsipcə, bu suala istənilən canlı sistemin bütün atomlarının hərəkət koordinatlarını və sürətlərini və onların qarşılıqlı əlaqə qanunlarını ehtiva edən simulyasiya modelindən istifadə etməklə cavab vermək olar. Hər hansı bir canlı sistem üçün belə bir model çoxlu sayda dəyişən və parametrləri ehtiva etməlidir. Bu yanaşmadan istifadə etməklə canlı sistemlərin elementlərinin - biomakromolekulların fəaliyyətini modelləşdirməyə cəhdlər 70-ci illərdən edilir.

Məzmun
İkinci nəşrə ön söz
Birinci nəşrə ön söz
Mühazirə 1. Giriş. Biologiyada riyazi modellər
Mühazirə 2. Tək birinci dərəcəli diferensial tənliklə təsvir edilən bioloji sistemlərin modelləri
Mühazirə 3. Əhalinin artım modelləri
Mühazirə 4. İki avtonom diferensial tənlik sistemləri ilə təsvir edilən modellər
Mühazirə 5. İkinci dərəcəli qeyri-xətti sistemlərin stasionar hallarının dayanıqlığının tədqiqi
Mühazirə 6. Sürətli və yavaş dəyişənlər məsələsi. Tixonov teoremi. Bifurkasiya növləri. Fəlakətlər
Mühazirə 7. Multistasionar sistemlər
Mühazirə 8. Bioloji sistemlərdə rəqslər
Mühazirə 9. İki növün qarşılıqlı təsir modelləri
Mühazirə 10. Dinamik xaos. Bioloji icmaların modelləri
Fraktal çoxluq nümunələri
Mühazirə 11. Mikrob populyasiyalarının modelləşdirilməsi
Mühazirə 12. Zəif elektrik sahəsinin transmembran ion nəqlinin qeyri-xətti sisteminə təsir modeli.
Mühazirə 13. Paylanmış bioloji sistemlər. Reaksiya-diffuziya tənliyi
Mühazirə 14. Diffuziya tənliyinin həlli. Homojen stasionar vəziyyətlərin sabitliyi
Mühazirə 15. Diffuziyalı sistemlərdə konsentrasiya dalğasının yayılması
Mühazirə 16. Reaksiya-diffuziya tipli iki tənlik sisteminin bircins stasionar məhlullarının sabitliyi. Dissipativ strukturlar
Mühazirə 17. Belousov-Jabotinsky reaksiyası
Mühazirə 18. Sinir impulslarının yayılması modelləri. Avtodalğalı proseslər və ürək aritmiyaları
Mühazirə 19. Paylanmış tətiklər və morfogenez. Heyvan dərisinin rənglənməsi nümunələri
Mühazirə 20. Növlərin qarşılıqlı təsirinin məkan-zaman modelləri
Mühazirə 21. Nəhəng yosun Chara corallina-nın hüceyrə membranı boyunca pH və elektrik potensialının dalğalanmaları və dövri məkan paylanması.
Mühazirə 22. Fotosintetik elektron nəqlinin modelləri. Multiferment kompleksində elektron ötürülməsi
Mühazirə 23. Fotosintetik elektron nəqli proseslərinin kinetik modelləri
Mühazirə 24. Fotosintetik membranda proseslərin birbaşa kompüter modelləri
Qeyri-xətti təbii elmi düşüncə və ətraf mühit şüuru
Mürəkkəb sistemlərin təkamül mərhələləri.

Elektron kitabı rahat formatda pulsuz yükləyin, baxın və oxuyun:
Kitabı yükləyin Biologiyada riyazi modellər üzrə mühazirələr, Riznichenko G.Yu., 2011 - fileskachat.com, sürətli və pulsuz yükləyin.