Qual è il raggio di un esagono? Esagono regolare: perché è interessante e come costruirlo

Il tema dei poligoni è trattato nel curriculum scolastico, ma non gli viene prestata sufficiente attenzione. Nel frattempo, è interessante, e questo è particolarmente vero per un esagono o un esagono regolare: dopotutto, molti oggetti naturali hanno questa forma. Questi includono favi e molto altro. Questo modulo funziona molto bene nella pratica.

Definizione e costruzione

Un esagono regolare è una figura piana che ha sei lati di uguale lunghezza e lo stesso numero di angoli uguali.

Se ricordiamo la formula per la somma degli angoli di un poligono

risulta che in questa figura è pari a 720°. Ebbene, poiché tutti gli angoli della figura sono uguali, non è difficile calcolare che ciascuno di essi è pari a 120°.

Disegnare un esagono è molto semplice; tutto ciò di cui hai bisogno è un compasso e un righello.

Istruzioni passo passo sarà simile a questo:

Se lo desideri, puoi fare a meno della linea disegnando cinque cerchi di uguale raggio.

La figura così ottenuta sarà un esagono regolare, e ciò potrà essere dimostrato di seguito.

Le proprietà sono semplici e interessanti

Per comprendere le proprietà di un esagono regolare, ha senso dividerlo in sei triangoli:

Ciò aiuterà in futuro a visualizzare più chiaramente le sue proprietà, le principali delle quali sono:

1. diametro del cerchio circoscritto;
2. diametro del cerchio inscritto;
3. piazza;
4. perimetro.

Cerchio circoscritto e costruibilità

Un cerchio può essere descritto attorno a un esagono e solo uno. Poiché questa figura è regolare, puoi farlo in modo molto semplice: disegna una bisettrice verso l'interno da due angoli adiacenti. Si intersecano nel punto O e insieme al lato tra loro formano un triangolo.

Gli angoli tra il lato dell'esagono e le bisettrici saranno 60°, quindi possiamo dire con certezza che un triangolo, ad esempio AOB, è isoscele. E poiché anche il terzo angolo sarà pari a 60°, anch'esso sarà equilatero. Ne consegue che i segmenti OA e OB sono uguali, il che significa che possono fungere da raggio di un cerchio.

Successivamente, puoi spostarti sul lato successivo e anche disegnare una bisettrice dall'angolo nel punto C. Il risultato sarà un altro triangolo equilatero, e il lato AB sarà comune a entrambi, e OS sarà il raggio successivo attraverso il quale passa lo stesso cerchio. Ci saranno sei di questi triangoli in totale e avranno un vertice comune nel punto O. Risulta che sarà possibile descrivere un cerchio, e ce n'è solo uno, e il suo raggio è uguale al lato di l'esagono:

Ecco perché è possibile costruire questa figura utilizzando compasso e righello.

Bene, l'area di questo cerchio sarà standard:

Cerchio inscritto

Il centro della circonferenza circoscritta coinciderà con il centro della circonferenza inscritta. Per verificarlo, puoi tracciare le perpendicolari dal punto O ai lati dell'esagono. Saranno le altezze dei triangoli che compongono l'esagono. E in un triangolo isoscele l'altezza è la mediana rispetto al lato su cui poggia. Quindi tale altezza non è altro che la bisettrice perpendicolare, che è il raggio del cerchio inscritto.

L'altezza di un triangolo equilatero si calcola semplicemente:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

E poiché R=ae r=h, risulta che

r=R(√3)/2.

Pertanto la circonferenza passa per i centri dei lati di un esagono regolare.

La sua area sarà:

S=3πa²/4,

cioè tre quarti di quanto descritto.

Perimetro e area

Tutto è chiaro con il perimetro, è la somma delle lunghezze dei lati:

P=6a, O P=6R

Ma l'area sarà uguale alla somma di tutti e sei i triangoli in cui è possibile dividere l'esagono. Poiché l'area di un triangolo è calcolata come la metà del prodotto della base per l'altezza, allora:

S=6(à/2)(à(√3)/2)= 6à²(√3)/4=3à²(√3)/2 O

S=3R²(√3)/2

Chi volesse calcolare quest'area passante per il raggio del cerchio inscritto può farlo:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Costruzioni divertenti

Puoi inserire un triangolo in un esagono, i cui lati collegheranno i vertici attraverso uno:

Ce ne saranno due in totale e la loro sovrapposizione darà la Stella di David. Ciascuno di questi triangoli è equilatero. Ciò non è difficile da verificare. Se guardi il lato AC, appartiene a due triangoli contemporaneamente: BAC e AEC. Se nel primo di essi AB = BC, e l'angolo tra loro è 120°, allora ciascuno dei restanti sarà 30°. Da ciò possiamo trarre conclusioni logiche:

1. L'altezza ABC dal vertice B sarà pari alla metà del lato dell'esagono, poiché sin30°=1/2. A chi volesse verificarlo si può consigliare di ricalcolare utilizzando il teorema di Pitagora che qui calza perfettamente;
2. Il lato AC sarà uguale a due raggi del cerchio inscritto, che si calcola nuovamente utilizzando lo stesso teorema. Cioè AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. I triangoli ABC, CDE e AEF sono uguali in due lati e nell'angolo compreso tra loro, e da ciò segue che i lati AC, CE e EA sono uguali.

Intersecandosi tra loro, i triangoli formano un nuovo esagono, anch'esso regolare. Ciò è dimostrato semplicemente:

Pertanto, la figura soddisfa le caratteristiche di un esagono regolare: ne ha sei lati uguali e angoli. Dall'uguaglianza dei triangoli ai vertici è facile dedurre la lunghezza del lato del nuovo esagono:

d=a(√3)/3

Sarà anche il raggio del cerchio descritto attorno ad esso. Il raggio inscritto sarà la metà del lato di un grande esagono, come dimostrato considerando il triangolo ABC. La sua altezza è esattamente la metà del lato, quindi la seconda metà è il raggio del cerchio inscritto nell'esagono piccolo:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(à(√3)/3)²=à(√3)/2

Si scopre che l'area dell'esagono all'interno della Stella di David è tre volte più piccola di quella grande in cui è inscritta la stella.

Dalla teoria alla pratica

Le proprietà dell'esagono sono utilizzate molto attivamente sia in natura che in vari campi dell'attività umana. Prima di tutto, questo vale per bulloni e dadi: le teste del primo e del secondo non sono altro che un esagono regolare, se non si tiene conto degli smussi. La dimensione delle chiavi corrisponde al diametro del cerchio inscritto, cioè alla distanza tra i bordi opposti.

Anche le piastrelle esagonali hanno trovato il loro utilizzo. È molto meno comune di quello quadrangolare, ma è più comodo posarlo: tre tessere si incontrano in un punto, anziché quattro. Le composizioni possono rivelarsi molto interessanti:

Vengono prodotte anche piastrelle in cemento per pavimentazioni.

La prevalenza degli esagoni in natura è spiegata semplicemente. Pertanto, è più semplice adattare saldamente cerchi e sfere su un piano se hanno lo stesso diametro. Per questo motivo, i favi hanno questa forma.

Sai che aspetto ha un esagono regolare?
Questa domanda non è stata posta per caso. La maggior parte degli studenti dell'undicesimo anno non conosce la risposta a questa domanda.

Un esagono regolare è quello in cui tutti i lati sono uguali e anche tutti gli angoli sono uguali..

Noce di ferro. Fiocco di neve. Cella di un favo in cui vivono le api. Molecola di benzene. Cosa hanno in comune questi oggetti? - Il fatto che abbiano tutti una forma esagonale regolare.

Molti scolari si confondono quando vedono problemi che coinvolgono un esagono regolare e credono che siano necessarie alcune formule speciali per risolverli. È vero?

Disegniamo le diagonali di un esagono regolare. Abbiamo sei triangoli equilateri.

Sappiamo che l'area di un triangolo regolare è: .

Quindi l'area di un esagono regolare è sei volte maggiore.

Dov'è il lato di un esagono regolare.

Tieni presente che in un esagono regolare, la distanza dal suo centro a uno qualsiasi dei vertici è la stessa ed è uguale al lato dell'esagono regolare.

Ciò significa che il raggio di un cerchio circoscritto ad un esagono regolare è uguale al suo lato.
Il raggio di un cerchio inscritto in un esagono regolare non è difficile da trovare.
È uguale.
Ora puoi risolverne facilmente qualsiasi Compiti dell'Esame di Stato Unificato, in cui appare un esagono regolare.

Trovare il raggio di un cerchio inscritto in un esagono regolare di lato .

Il raggio di tale cerchio è uguale a .

Risposta: .

Qual è il lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio 6?

Sappiamo che il lato di un esagono regolare è uguale al raggio del cerchio ad esso circoscritto.

La figura più famosa con più di quattro angoli è un esagono regolare. In geometria è spesso usato nei problemi. E nella vita, questo è esattamente l'aspetto dei favi quando vengono tagliati.

In cosa è diverso da quello sbagliato?

Innanzitutto, un esagono è una figura con 6 vertici. In secondo luogo, può essere convesso o concavo. Il primo differisce in quanto quattro vertici giacciono su un lato di una linea retta passante per gli altri due.

In terzo luogo, un esagono regolare è caratterizzato dal fatto che tutti i suoi lati sono uguali. Inoltre, anche ogni angolo della figura ha lo stesso significato. Per determinare la somma di tutti i suoi angoli, dovrai utilizzare la formula: 180º * (n - 2). Qui n è il numero di vertici della figura, cioè 6. Un semplice calcolo dà un valore di 720º. Cioè, ogni angolo è uguale a 120 gradi.

IN attività quotidiane nel fiocco di neve e nella noce si trova un esagono regolare. I chimici lo vedono anche nella molecola del benzene.

Quali proprietà devi conoscere quando risolvi i problemi?

A quanto sopra esposto vanno aggiunti:

• le diagonali della figura tracciata per il centro la dividono in sei triangoli equilateri;
• il lato di un esagono regolare ha un valore che coincide con il raggio del cerchio ad esso circoscritto;
• Usando una figura del genere, è possibile riempire l'aereo e non ci saranno spazi tra loro né sovrapposizioni.

Designazioni introdotte

Tradizionalmente, viene designato il lato di una figura geometrica regolare Lettera latina"UN". Per risolvere i problemi sono necessari anche l'area e il perimetro, rispettivamente S e P. Un cerchio può essere inscritto in un esagono regolare oppure descritto attorno ad esso. Quindi vengono inseriti i valori per i loro raggi. Sono designati rispettivamente dalle lettere r e R.

Alcune formule includono un angolo interno, un semiperimetro e un apotema (che è perpendicolare al centro di qualsiasi lato dal centro del poligono). Le lettere utilizzate per loro sono: α, р, m.

Formule che descrivono una figura

Per calcolare il raggio di una circonferenza inscritta avrai bisogno di: r = (a*√3)/2, con r = m. Cioè, la stessa formula sarà per l'apotema.

Poiché il perimetro di un esagono è la somma di tutti i lati, verrà determinato come segue: P = 6 * a. Tenendo conto del fatto che il lato è uguale al raggio del cerchio inscritto, per il perimetro vale la seguente formula per un esagono regolare: P = 6 * R. Da quella data per il raggio del cerchio inscritto, la viene derivata la relazione tra a e r. Allora la formula assume la seguente forma: P = 4 r * √3.

Per l'area di un esagono regolare può essere utile: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Compiti

N. 1. Condizione. C'è un prisma esagonale regolare, ciascun lato del quale è lungo 4 cm. In esso è inscritto un cilindro, il cui volume deve essere trovato.

Soluzione. Il volume di un cilindro è definito come il prodotto dell'area della base e dell'altezza. Quest'ultimo coincide con il bordo del prisma. Ed è uguale al lato di un esagono regolare. Cioè, anche l'altezza del cilindro è di 4 cm.

Per scoprire l'area della sua base, dovrai calcolare il raggio del cerchio inscritto nell'esagono. La formula per questo è data sopra. Ciò significa r = 2√3 (cm). Quindi l'area del cerchio: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).

Risposta. V = 150,72 cm3.

N. 2. Condizione. Calcola il raggio di una circonferenza inscritta in un esagono regolare. È noto che il suo lato è √3 cm A quanto sarà uguale il suo perimetro?

Soluzione. Questo problema richiede l'uso di due delle seguenti formule. Inoltre vanno applicati senza nemmeno modificarli, basta sostituire il valore del lato e calcolare.

Pertanto il raggio del cerchio inscritto è pari a 1,5 cm. Per il perimetro risulta corretto il seguente valore: 6√3 cm.

Risposta. r = 1,5 cm, P = 6√3 cm.

N. 3. Condizione. Il raggio del cerchio circoscritto è 6 cm. Che valore avrà in questo caso il lato di un esagono regolare?

Soluzione. Dalla formula del raggio di un cerchio inscritto in un esagono si ottiene facilmente quella con cui bisogna calcolare il lato. È chiaro che il raggio viene moltiplicato per due e diviso per la radice di tre. È necessario eliminare l'irrazionalità nel denominatore. Pertanto, il risultato delle azioni assume la seguente forma: (12 √3) / (√3 * √3), cioè 4√3.

Risposta. a = 4√3 cm.

Proprietà matematiche

La particolarità di un esagono regolare è l'uguaglianza del suo lato e del raggio del cerchio circoscritto, poiché

Tutti gli angoli sono uguali a 120°.

Il raggio del cerchio inscritto è uguale a:

Il perimetro di un esagono regolare è:

L'area di un esagono regolare viene calcolata utilizzando le formule:

Gli esagoni affiancano un piano, cioè possono riempire un piano senza vuoti o sovrapposizioni, formando il cosiddetto parquet.

Parquet esagonale (parquet esagonale)- piastrellatura di un piano con esagoni regolari uguali disposti affiancati.

Il parquet esagonale è duale rispetto al parquet triangolare: se colleghi i centri di esagoni adiacenti, i segmenti disegnati daranno un parquet triangolare. Il simbolo Schläfli per un parquet esagonale è (6,3), il che significa che su ciascun vertice del parquet si incontrano tre esagoni.

Il parquet esagonale è l'imballaggio più denso di cerchi su un piano. Nello spazio euclideo bidimensionale, il riempimento migliore consiste nel posizionare i centri dei cerchi ai vertici di un parquet formato da esagoni regolari, in cui ogni cerchio è circondato da altri sei. La densità di questo pacchetto è .

Nel 1940 fu dimostrato che questo imballaggio è il più denso.

Un esagono regolare con un lato è una copertura universale, cioè qualsiasi insieme di diametri può essere coperto da un esagono regolare con un lato (lemma di Pala).

Un esagono regolare può essere costruito utilizzando compasso e righello. Di seguito è riportato il metodo di costruzione proposto da Euclide negli Elementi, Libro IV, Teorema 15.

Esagono regolare nella natura, nella tecnologia e nella cultura

mostrano la divisione del piano in esagoni regolari. La forma esagonale consente di risparmiare sui muri più di altri, ovvero sui favi con tali celle verrà spesa meno cera. Alcuni cristalli e molecole complessi

Si forma quando microscopiche goccioline d'acqua nelle nuvole vengono attratte dalle particelle di polvere e si congelano. I cristalli di ghiaccio che compaiono, inizialmente non superiori a 0,1 mm di diametro, cadono e crescono a causa della condensazione dell'umidità dell'aria su di essi. Questo produce forme cristalline a sei punte. A causa della struttura delle molecole d'acqua, tra i raggi del cristallo sono possibili angoli di soli 60° e 120°. Il cristallo d'acqua principale ha la forma di un esagono regolare nel piano. Nuovi cristalli vengono quindi depositati sui vertici di tale esagono, e nuovi cristalli su di essi, ed è così che si ottengono varie forme di stelle fiocco di neve.

Gli scienziati dell'Università di Oxford sono stati in grado di simulare l'aspetto di un simile esagono in condizioni di laboratorio. Per scoprire come avviene questa formazione, i ricercatori hanno posizionato una bottiglia d'acqua da 30 litri su un tavolo rotante. Simulava l'atmosfera di Saturno e la sua normale rotazione. All'interno, gli scienziati hanno posizionato piccoli anelli che ruotano più velocemente del contenitore. Ciò ha generato vortici e getti in miniatura, che gli sperimentatori hanno visualizzato utilizzando vernice verde. Quanto più velocemente l'anello ruotava, tanto più grandi diventavano i vortici, facendo deviare il flusso vicino dalla sua forma circolare. In questo modo, gli autori dell'esperimento sono riusciti a ottenere varie forme: ovali, triangoli, quadrati e, ovviamente, l'esagono desiderato.

Un monumento naturale di circa 40.000 colonne di basalto (meno spesso andesite) interconnesse formatesi a seguito di un'antica eruzione vulcanica. Situato nel nord-est Irlanda del Nord 3 km a nord della città di Bushmills.

Le sommità delle colonne formano una sorta di trampolino di lancio, che inizia ai piedi della scogliera e scompare sotto la superficie del mare. La maggior parte delle colonne sono esagonali, anche se alcune hanno quattro, cinque, sette e otto angoli. La colonna più alta è alta circa 12 m.

Circa 50-60 milioni di anni fa, durante il periodo Paleogene, il sito di Antrim fu soggetto ad un'intensa attività vulcanica poiché il basalto fuso penetrò nei sedimenti per formare estesi altipiani lavici. Man mano che la sostanza si raffreddava rapidamente, il volume della sostanza diminuiva (una cosa simile si osserva quando il fango si asciuga). La compressione orizzontale ha prodotto una caratteristica struttura a pilastri esagonali.

La sezione trasversale del dado ha la forma di un esagono regolare.