Как извлекать корень из больших чисел. Извлечение корня из большого числа

Как извлечь корень из числа. В этой статье мы будем учиться извлекать квадратный корень из четырехзначных и пятизначных чисел.

Давайте, для примера, извлечем квадратный корень из числа 1936.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 1936 - цифра 6. На 6 заканчивается квадрат числа 4 и числа 6. Следовательно, 1936 может быть квадратом числа 44 или числа 46. Осталось проверить с помощью умножения.

Значит,

Извлечем квадратный корень из числа 15129.

Следовательно, .

Последняя цифра в числе 15129 - цифра 9. На 9 заканчивается квадрат числа 3 и числа 7. Следовательно, 15129 может быть квадратом числа 123 или числа 127. Проверим с помощью умножения.

Значит,

Как извлечь корень - видео

А теперь предлагаю вам посмотреть видео Анны Денисовой - "Как извлечь корень ", автора сайта " Простая физика ", в котором она рассказывает, как извлекать квадратные и кубические корни без калькулятора.

В видео рассматривается несколько способов извлечения корней:

1. Самый простой способ извлечения квадратного корня.

2. Подбором, используя квадрат суммы.

3. Вавилонский способ.

4. Способ извлечения квадратного корня в столбик.

5. Быстрый способ извлечения кубического корня.

6. Способ извлечения кубического корня в столбик.

Что такое квадратный корень?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Это понятие очень простое. Естественное, я бы сказал. Математики на каждое действие стараются найти противодействие. Есть сложение - есть и вычитание. Есть умножение - есть и деление. Есть возведение в квадрат... Значит есть и извлечение квадратного корня! Вот и всё. Это действие (извлечение квадратного корня ) в математике обозначается вот таким значком:

Сам значок называется красивым словом "радикал ".

Как извлечь корень? Это лучше рассмотреть на примерах .

Сколько будет квадратный корень из 9? А какое число в квадрате даст нам 9? 3 в квадрате даст нам 9! Т.е:

А вот сколько будет квадратный корень из нуля? Не вопрос! Какое число в квадрате ноль даёт? Да сам же ноль и даёт! Значит:

Уловили, что такое квадратный корень? Тогда считаем примеры :

Ответы (в беспорядке): 6; 1; 4; 9; 5.

Решили? Действительно, уж куда проще-то?!

Но... Что делает человек, когда видит какое-нибудь задание с корнями?

Тосковать начинает человек... Не верит он в простоту и лёгкость корней. Хотя, вроде, и знает, что такое квадратный корень ...

Всё потому, что человек проигнорировал несколько важных пунктиков при изучении корней. Потом эти пунктики жестоко мстят на контрольных и экзаменах...

Пунктик первый. Корни надо узнавать в лицо!

Сколько будет корень квадратный из 49? Семь? Верно! А как вы узнали, что семь? Возвели семёрку в квадрат и получили 49? Правильно! Обратите внимание, чтобы извлечь корень из 49 нам пришлось проделать обратную операцию - возвести 7 в квадрат! И убедиться, что мы не промахнулись. А могли и промахнуться...

В этом и есть сложность извлечения корней . Возвести в квадрат можно любое число без особых проблем. Умножить число само на себя столбиком - да и все дела. А вот для извлечения корня такой простой и безотказной технологии нет. Приходится подбирать ответ и проверять его на попадание возведением в квадрат.

Этот сложный творческий процесс - подбор ответа - сильно упрощается, если вы помните квадраты популярных чисел. Как таблицу умножения. Если, скажем, надо умножить 4 на 6 - вы же не складываете четверку 6 раз? Сразу выплывает ответ 24. Хотя, не у всех он выплывает, да...

Для свободной и успешной работы с корнями достаточно знать квадраты чисел от 1 до 20. Причём туда и обратно. Т.е. вы должны легко называть как, скажем, 11 в квадрате, так и корень квадратный из 121. Чтобы добиться такого запоминания, есть два пути. Первый - выучить таблицу квадратов. Это здорово поможет решать примеры. Второй - решать побольше примеров. Это здорово поможет запомнить таблицу квадратов.

И никаких калькуляторов! Только для проверки. Иначе на экзамене будете тормозить нещадно...

Итак, что такое квадратный корень и как извлекать корни - думаю, понятно. Теперь выясним ИЗ ЧЕГО можно их извлекать.

Пунктик второй. Корень, я тебя не знаю!

Из каких чисел можно извлекать квадратные корни? Да почти из любых. Проще понять, из чего нельзя их извлекать.

Попробуем вычислить вот такой корень:

Для этого нужно подобрать число, которое в квадрате даст нам -4. Подбираем.

Что, не подбирается? 2 2 даёт +4. (-2) 2 даёт опять +4! Вот-вот... Нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дадут нам отрицательное число! Хотя я такие числа знаю. Но вам не скажу). Поступите в институт - сами узнаете.

Такая же история будет с любым отрицательным числом. Отсюда вывод:

Выражение, в котором под знаком квадратного корня стоит отрицательное число - не имеет смысла ! Это запретная операция. Такая же запретная, как и деление на ноль. Запомните этот факт железно! Или, другими словами:

Квадратные корни из отрицательных чисел извлечь нельзя!

Зато из всех остальных - можно. Например, вполне можно вычислить

На первый взгляд это очень сложно. Подбирать дроби, да в квадрат возводить... Не волнуйтесь. Когда разберёмся со свойствами корней, такие примеры будут сводиться к всё той же таблице квадратов. Жизнь станет проще!

Ну ладно дроби. Но нам ведь ещё попадаются выражения типа:

Ничего страшного. Всё то же самое. Корень квадратный из двух - это число, которое при возведении в квадрат даст нам двойку. Только число это совсем неровное... Вот оно:

Что интересно, эта дробь не кончается никогда... Такие числа называются иррациональными. В квадратных корнях это - самое обычное дело. Кстати, именно поэтому выражения с корнями называют иррациональными . Понятно, что писать всё время такую бесконечную дробь неудобно. Поэтому вместо бесконечной дроби так и оставляют:

Если при решении примера у вас получилось что-то неизвлекаемое, типа:

то так и оставляем. Это и будет ответ.

Нужно чётко понимать, что под значками

Конечно, если корень из числа извлекается ровно , вы обязаны это сделать. Ответ задания в виде, например

вполне себе полноценный ответ.

И, конечно, надо знать на память приблизительные значения:

Это знание здорово помогает оценить ситуацию в сложных заданиях.

Пунктик третий. Самый хитрый.

Основную путаницу в работу с корнями вносит как раз этот пунктик. Именно он придаёт неуверенность в собственных силах... Разберёмся с этим пунктиком как следует!

Для начала опять извлечём квадратный корень их четырёх. Что, уже достал я вас с этим корнем?) Ничего, сейчас интересно будет!

Какое число даст в квадрате 4? Ну два, два - слышу недовольные ответы...

Верно. Два. Но ведь и минус два даст в квадрате 4... А между тем, ответ

правильный, а ответ

грубейшая ошибка. Вот так.

Так в чём же дело?

Действительно, (-2) 2 = 4. И под определение корня квадратного из четырёх минус два вполне подходит... Это тоже корень квадратный из четырёх.

Но! В школьном курсе математики принято считать за квадратные корни только неотрицательные числа! Т.е ноль и все положительные. Даже термин специальный придуман: из числа а - это неотрицательное число, квадрат которого равен а . Отрицательные результаты при извлечении арифметического квадратного корня попросту отбрасываются. В школе все квадратные корни - арифметические . Хотя особо об этом не упоминается.

Ну ладно, это понятно. Это даже и лучше - не возиться с отрицательными результатами... Это ещё не путаница.

Путаница начинается при решении квадратных уравнений. Например, надо решить вот такое уравнение.

Уравнение простое, пишем ответ (как учили):

Такой ответ (совершенно правильный, кстати) - это просто сокращённая запись двух ответов:

Стоп-стоп! Чуть выше я написал, что квадратный корень - число всегда неотрицательное! А здесь один из ответов - отрицательный ! Непорядок. Это первая (но не последняя) проблемка, которая вызывает недоверие к корням... Решим эту проблемку. Запишем ответы (чисто для понимания!) вот так:

Скобки сути ответа не меняют. Просто я отделил скобками знаки от корня . Теперь наглядно видно, что сам корень (в скобках) - число всё равно неотрицательное! А знаки - это результат решения уравнения . Ведь при решении любого уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат. В наше уравнение подходит корень из пяти (положительный!) как с плюсом, так и с минусом.

Вот так. Если вы просто извлекаете квадратный корень из чего-либо, вы всегда получаете один неотрицательный результат. Например:

Потому, что это - арифметический квадратный корень .

Но если вы решаете какое-нибудь квадратное уравнение, типа:

то всегда получается два ответа (с плюсом и минусом):

Потому, что это - решение уравнения.

Надеюсь, что такое квадратный корень со своими пунктиками вы уяснили. Теперь осталось узнать, что можно делать с корнями, каковы их свойства. И какие там пунктики и подводные кор... извините, камни!)

Всё это - в следующих уроках.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Корнем n -ой степени натурального числа a называется такое число, n -ая степень которого равна a . Корень обозначается так: . Символ √ называется знаком корня или знаком радикала , число a - подкоренное число , n - показатель корня .

Действие, посредством которого находится корень данной степени, называется извлечением корня .

Так как, согласно определению понятия о корне n -ой степени

то извлечение корня - действие, обратное возведению в степень , при помощи которого по данной степени и по данному показателю степени находят основание степени.

Квадратный корень

Квадратным корнем из числа a называется число, квадрат которого равен a .

Действие, с помощью которого вычисляется квадратный корень, называется извлечением квадратного корня.

Извлечение квадратного корня - действие обратное возведению в квадрат (или возведению числа во вторую степень). При возведении в квадрат известно число, требуется найти его квадрат. При извлечении квадратного корня известен квадрат числа, требуется по нему найти само число.

Поэтому для проверки правильности проведённого действия, можно найденный корень возвести во вторую степень и, если степень будет равна подкоренному числу, значит корень был найден правильно.

Рассмотрим извлечение квадратного корня и его проверку на примере. Вычислим или (показатель корня со значением 2 обычно не пишут, так как 2 - это самый маленький показатель и следует помнить, что если над знаком корня нет показателя, то подразумевается показатель 2), для этого нам нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получится 49. Очевидно, что таким числом является 7, так как

7 · 7 = 7 2 = 49.

Вычисление квадратного корня

Если данное число равно 100 или меньше, то квадратный корень из него можно вычислить с помощью таблицы умножения . Например квадратный корень из 25 - это 5, потому что 5 · 5 = 25.

Теперь рассмотрим способ нахождения квадратного корня из любого числа без использования калькулятора. Для примера возьмём число 4489 и начнём поэтапно вычислять.

1. Определим, из каких разрядов должен состоять искомый корень. Так как 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, то становится ясно, что искомый корень должен быть больше 10 и меньше 100, т.е. состоять из десятков и единиц.
2. Находим число десятков корня. От перемножения десятков получаются сотни, в нашем числе их 44, поэтому корень должен содержать столько десятков, чтобы квадрат десятков давал приблизительно 44 сотни. Следовательно в корне должно быть 6 десятков, потому что 60 2 = 3600, а 70 2 = 4900 (это слишком много). Таким образом мы выяснили, что наш корень содержит 6 десятков и несколько единиц, так как он находится в в диапазоне от 60 до 70.
3. Определить число единиц в корне поможет таблица умножения. Посмотрев на число 4489, мы видим, что последняя цифра в нём 9. Теперь смотрим в таблицу умножения и видим что 9 единиц может получится только при возведении в квадрат чисел 3 и 7. Значит корень числа будет равен 63 или 67.
4. Проверяем полученные нами числа 63 и 67 возводя их в квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

А у вас есть зависимость от калькулятора ? Или вы считаете, что кроме как с калькулятором или при помощи таблицы квадратов очень сложно вычислить, например, .

Случается, школьники привязаны к калькулятору и даже 0,7 на 0,5 умножают, нажимая на заветные кнопочки. Говорят, ну я все равно знаю как посчитать, а сейчас сэкономлю время… Вот будет экзамен… тогда и напрягусь…

Так дело в том, что на экзамене и так будет предостаточно «напряжных моментов»… Как говорится, вода камень точит. Вот и на экзамене мелочи, если их много, способны подкосить…

Давайте минимизируем количество возможных неприятностей.

Извлекаем квадратный корень из большого числа

Мы будем говорить сейчас только о случае, когда результат извлечения корня квадратного – целое число.

Случай 1.

Итак, пусть нам во что-бы то ни стало (например, при вычислении дискриминанта) нужно вычислить корень квадратный из 86436.

Мы будем раскладывать число 86436 на простые множители. Делим на 2, – получаем 43218; снова делим на 2, – получаем 21609. На 2 больше нацело число не делится. Но так как сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3 (вообще говоря, видно, что оно и на 9 делится). . Еще раз делим на 3, – получаем 2401. 2401 на 3 нацело не делится. На пять не делится (не оканчивается цифрой 0 или 5).

Подозреваем делимость на 7. Действительно, а ,

Итак, Полный порядок!

Случай 2.

Пусть нам нужно вычислить . Действовать так же, как описано выше, неудобно. Пытаемся разложить на простые множители…

На 2 число 1849 нацело не делится (не является четным)…

На 3 нацело не делится (сумма цифр не кратна 3)…

На 5 нацело не делится (последняя цифра – не 5 и не 0)…

На 7 нацело не делится, на 11 не делится, на 13 не делится… Ну и долго нам так перебирать все простые числа?

Будем рассуждать несколько иначе.

Мы понимаем, что

Мы сузили круг поиска. Теперь перебираем числа от 41 до 49. Причем ясно, что раз последняя цифра числа – 9, то останавливаться стоит на вариантах 43 или 47, – только эти числа при возведении в квадрат дадут последнюю цифру 9.

Ну и тут уже, конечно, мы останавливаемся на 43. Действительно,

P.S. А как, ксатати, мы умножаем 0,7 на 0,5?

Следует умножить 5 на 7, не обращая внимание на нули и знаки, а потом отделить, идя справа налево, два знака запятой. Получаем 0,35.

Глава первая.

Извлечение из данного целого числа наибольшего целого квадратного корня.

170. Предварительные замечания.

а) Так как мы будем говорить об извлечении только квадратного корня, то для сокращения речи в этой главе мы вместо „квадратный" корень будем говорить просто „корень".

б) Если возвысим в квадрат числа натурального ряда: 1,2,3,4,5 . . . , то получим такую таблицу квадратов: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Очевидно, имеется очень многo целых чисел, которые в этой таблице не находятся; из таких чисел, конечно, нельзя извлечь целый корень. Поэтому, если требуется извлечь корень из какого-нибудь целого числа, напр. требуется найти √4082 , то мы условимся это требование понимать так: извлечь целый корень из 4082, если это возможно; если же нельзя, то мы должны найти наибольшее целое число, квадрат которого заключается в 4082 (такое число есть 63, так как 63 2 = 39б9, а 64 2 = 4090).

в) Если данное число меньше 100, то корень из него находится по таблице умножения; так, √60 будет 7, так как семью 7 равно 49, что меньше 60, а восемью 8 составляет 64, что больше 60.

171. Извлечение корня из числа, меньшего 10000, но большего 100. Пусть надо найти √4082 . Так как это число меньше 10 000, то корень из него меньше √l0 000 = 100. С другой стороны, данное число больше 100; значит, корень из него больше (или равен 10) . (Если бы, напр., требовалось найти √ 120 , то хотя число 120 > 100, однако √ 120 равен 10, т.к. 11 2 = 121.) Но всякое число, которое больше 10, но меньше 100, имеет 2 цифры; значит, искомый корень есть сумма:

десятки + единицы,

и поэтому квадрат его должен равняться сумме:

Сумма эта должна быть наибольшим квадратом, заключающимся в 4082.

Возьмем из них наибольший, 36, и допустим,что квадрат десятков корня будет равен именно этому наибольшему квадрату. Тогда число десятков в корне должно быть 6. Проверим теперь, что это всегда должно быть так, т. е. всегда число десятков корня равно наибольшему целому корню из числа сотен подкоренного числа.

Действительно, в нашем примере число десятков корня не может быть больше 6, так как (7 дес.) 2 = 49 сотен, что превосходит 4082. Но оно не может быть и меньше 6, так как 5 дес. (с единицами) меньше 6 дес, а между тем (6 дес.) 2 = 36 сотен, что меньше 4082. А так как мы ищем наибольший целый корень, то мы не должны брать для корня 5 дес, когда и 6 десятков оказывается не много.

Итак, мы нашли число десятков корня, именно 6. Пишем эту цифру направо от знака =, запомнив, что она означает десятки корня. Возвысив ее в квадрат, получим 36 сотен. Вычитаем эти 36 сотен из 40 сотен подкоренного числа и сносим две остальные цифры данного числа. В остатке 482 должны содержаться 2 (6 дес.) (ед.) + (ед.)2. Произведение (6 дес.) (ед.) должно составлять десятки; поэтому удвоенное произведение десятков на единицы надо искать в десятках остатка, т. е. в 48 (мы получим число их, отделив в остатке 48"2 одну цифру справа). Удвоенные десятки корня составляют 12. Значит, если 12 умножим на единицы корня (которые пока неизвестны), то мы должны получить число, содержащееся в 48. Поэтому мы разделим 48 на 12.

Для этого налево от остатка проводим вертикальную черту и за нею (отступив от черты на одно место влево для цели, которая сейчас обнаружится) напишем удвоенную первую цифру корня, т. е. 12, и на нее разделим 48. В частном получим 4.

Однако, заранее нельзя ручаться, что цифру 4 можно принять за единицы корня, так как мы сейчас разделили на 12 все число десятков остатка, тогда как некоторая часть из них может и не принадлежать удвоенному произведению десятков на единицы, а входит в состав квадрата единиц. Поэтому цифра 4 может оказаться велика. Надо ее испытать . Она, очевидно, годится в том случае, если сумма 2 (6 дес.) 4 + 4 2 окажется не больше остатка 482.

В результате получаем сразу сумму того и другого. Полученное произведение оказалось 496, что больше остатка 482; значит, цифра 4 велика. Тогда испытаем таким же образом следующую меньшую цифру 3.

Примеры.

В примере 4-м при делении 47 десятков остатка на 4, мы получаем в частном 11. Но так как цифра единиц корня не может быть двузначным числом 11 или 10, то надо прямо испытать цифру 9.

В примере 5-м после вычитания из первой грани квадрата 8 остаток оказывается 0, и следующая грань тоже состоит из нулей. Это показывает, что искомый корень состоит только из 8 десятков, и потому на место единиц надо поставить нуль.

172. Извлечение корня из числа, большего 10000 . Пусть требуется найти √35782 . Так как подкоренное число превосходит 10 000, то корень из него больше √10000 = 100 и, следовательно, он состоит из 3 цифр или более. Из скольких бы цифр он ни состоял, мы можем его всегда рассматривать как сумму только десятков и единиц. Если, напр., корень оказался бы 482, то мы можем его считать за сумму 48 дес. + 2 ед. Тогда квадрат корня будет состоять из 3 слагаемых:

(дес.) 2 + 2 (дес.) (ед.) + (ед.) 2 .

Теперь мы можем рассуждать совершенно так же, как и при нахождении √4082 (в предыдущем параграфе). Разница будет только та, что для нахождения десятков корня из 4082 мы должны были извлечь корень из 40, и это можно было сделать по таблице умножения; теперь же для получения десятков√35782 нам придется извлечь корень из 357, что по таблице умножения нельзя выполнить. Но мы можем найти√357 тем приемом, который был описан в предыдущем параграфе, так как число 357 < 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Далее поступаем так, как мы поступали при нахождении √4082 , a именно: налево от остатка 3382 проводим вертикальную черту и за нею пишем (отступив от черты на одно место) удвоенное число найденных десятков корня, т. е. 36 (дважды 18). В остатке отделяем одну цифру справа и делим число десятков остатка, т. е. 338, на 36. В частном получаем 9. Эту цифру испытываем, для чего ее приписываем к 36 справа и на нее же умножаем. Произведение оказалось 3321, что меньше остатка. Значит, цифра 9 годится, пишем ее в корне.

Вообще, чтобы извлечь квадратный корень из какого угодно целого числа, надо сначала извлечь корень из числа его сотен; если это число более 100, то придется искать корень из числа сотен этих сотен, т. е. из десятков тысяч данного числа; если и это число более 100, придется извлекать корень из числа сотен десятков тысяч, т. е. из миллионов данного числа, и т. д.

Примеры.

В последнем примере, найдя первую цифру и вычтя квадрат ее, получаем в остатке 0. Сносим следующие 2 цифры 51. Отделив десятки, мы получаем 5 дес, тогда как удвоенная найденная цифра корня есть 6. Значит, от деления 5 на 6 мы получаем 0. Ставим в корне 0 на втором месте и к остатку сносим следующие 2 цифры; получаем 5110. Далее продолжаем как обыкновенно.

В этом примере искомый корень состоит только из 9 сотен, и потому на месте десятков и на месте единиц надо поставить нули.

Правило. Чтобы, извлечь квадратный корень из данною целого числа, разбивают его, от правой руки к левой, на грани, по 2 цифры в каждой, кроме последней, в которой может быть и одна цифра.
Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число подвергают испытанию.
Испытание это производится так: за вертикальной чертой (налево от остатка) пишут удвоенное ранее найденное число корня и к нему, с правой стороны, приписывают испытуемую цифру, получившееся, после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, большее остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
Следующие, цифры корня находятся по тому же приему.
Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т. е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.

173. Число цифр корня. Из рассмотрения процесса нахождения корня следует, что в корне столько цифр, сколько в подкоренном числе заключается граней по 2 цифры каждая (в левой грани может быть и одна цифра).

Глава вторая.

Извлечение приближенных квадратных корней из целых и дробных чисел .

Извлечение квадратного корня из многочленов см. в дополнениях ко 2-й части § 399 и след.

174. Признаки точного квадратного корня. Точным квадратным корнем из данного числа называется такое число, квадрат которого в точности равняется данному числу. Укажем некоторые признаки, по которым можно судить, извлекается ли из данного числа точный корень, или нет:

а) Если из данного целого числа не извлекается точный целый корень (получается при извлечении остаток), то из такого числа нельзя найти и дробный точный корень, так как всякая дробь, не равная целому числу, будучи умножена сама на себя, дает в произведении тоже дробь, а не целое число.

б) Так как корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя, то точный корень из несократимой дроби не может быть найден в том случае, если его нельзя извлечь из числителя или из знаменателя. Напр, из дробей 4 / 5 , 8 / 9 и 11 / 15 нельзя извлечь точный корень, так как в первой дроби нельзя его извлечь из знаменателя, во второй - из числителя и в третьей - ни из числителя, ни из знаменателя.

Из таких чисел, из которых нельзя извлечь точный корень, можно извлекать лишь приближенные корни.

175. Приближенный корень с точностью до 1 . Приближенным квадратным корнем с точностью до 1 из данного числа (целого или дробного - все равно) называется такое целое число, которое удовлетворяет следующим двум требованиям:

1) квадрат этого числа не больше данного числа; 2) но квадрат этого числа увеличенного на 1, больше данного числа. Другими словами, приближенным квадратным корнем с точностью до 1 называется наибольший целый квадратный корень из данного числа, т. е.тот корень, который мы научились находить в предыдущей главе. Корень этот называется приближенным с точностью до 1, потому что для получения точного корня к этому приближенному корню надо было бы добавить еще некоторую дробь, меньшую 1, так что если вместо неизвестного точного корня мы возьмем этот приближенный, то сделаем ошибку, меньшую 1.

Правило. Чтобы извлечь приближенный квадратный корень с точностью до 1, надо извлечь наибольший целый корень из целой части данного числа.

Найденное по этому правилу число есть приближенный корень с недостатком , так как в нем недостает до точного корня некоторой дроби (меньшей 1). Если этот корень увеличим на 1, то получим другое число, в котором есть некоторый избыток над точным корнем, и избыток этот меньше 1. Этот увеличенный на 1 корень можно назвать тоже приближенным корнем с точностью до 1, но с избытком. (Названия: „с недостатком" или „с избытком" в некоторых математических книгах заменены другими равносильными: „по недостатку" или „по избытку".)

176. Приближенный корень с точностью до 1 / 10 . Пусть требуется найти √2,35104 с точностью до 1 / 10 . Это значит, что требуется найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых единиц и десятых долей и которая удовлетворяла бы двум следующим требованиям:

1) квадрат этой дроби не превосходит 2,35104, но 2) если увеличим ее на 1 / 10 , то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 2,35104.

Чтобы найти такую дробь, мы сначала нaйдем приближенный корень с точностью до 1, т. е. извлечем корень только из целого числа 2. Получим 1 (и в остатке 1). Пишем в корне цифру1 и ставим после нее запятую. Теперь будем искать цифру десятых. Для этого сносим к остатку 1 цифры 35, стоящие направо от запятой, и продолжаем извлечениетак, как будто мы извлекали корень из целого числа 235. Полученную цифру 5 пишем в корне на месте десятых. Остальные цифры подкоренного числа (104) нам не нужны. Что полученное число 1,5 будет действительно приближенный корень с точностью до 1 / 10 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый корень из 235 с точностью до 1, то получили бы 15. Значит:

15 2 < 235, но 16 2 >235.

Разделив все эти числа на 100, получим:

Значит, число 1,5 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 / 10 .

Найдем еще этим приемом следующие приближенные корни с точностью до 0,1:

177. Приближенный квадратный корень с точностью до 1 / 100 до 1 / 1000 и т. д.

Пусть требуется найти с точностью до 1 / 100 приближенный √248 . Это значит: найти такую десятичную дробь, которая состояла бы из целых, десятых и сотых долей и которая удовлетворяла бы двум требованиям:

1) квадрат ее не превосходит 248, но 2) если увеличим эту дробь на 1 / 100 то квадрат этой увеличенной дроби превосходит 248.

Такую дробь мы найдем в такой последовательности: сначала отыщем целое число, потом цифру десятых, затем и цифру сотых. Корень из целого числа будет 15 целых. Чтобы получить цифру десятых, надо как мы видели, снести к остатку 23 еще 2 цифры, стоящие направо от запятой. В нашем примере этих цифр нет вовсе, ставим на их место нули. Приписав их к остатку и продолжая действие так, как будто находим корень из целого числа 24 800, мы найдем цифру десятых 7. Остается найти цифру сотых. Для этого приписываем к остатку 151 еще 2 нуля и продолжаем извлечение, как будто мы находим корень из целого числа 2 480 000. Получаем 15,74. Что это число действительно есть приближенный корень из 248 с точностью до 1 / 100 видно из следующего. Если бы мы находили наибольший целый квадратный корень из целого числа 2 480 000, то получили бы 1574; значит:

1574 2 < 2 480 000, но 1575 2 > 2 480 000.

Разделив все числа на 10 000 (= 100 2), получим:

Значит, 15,74 есть та десятичная дробь, которую мы назвали приближенным корнем с точностью до 1 / 100 из 248.

Применяя этот прием к нахождению приближенного корня с точностью до 1 / 1000 до 1 / 10000 и т. д. найдем следующее.

Правило. Чтобы извлечь из данного целою числа или из данной десятичной дроби приближенный корень с точностью до 1 / 10 до 1 / 100 до 1 / 100 и т. д., находят сначала приближенный корень с точностью до 1, извлекая корень из целого числа (если его нет, пишут о корне 0 целых).

Потом находят цифру десятых. Для этого к остатку сносят,2 цифры подкоренного числа, стоящие направо от запятой (если их нет, приписывают к остатку два нуля), и продолжают извлечение так, как это делается при извлечении корня из целого числа. Полученную цифру пишут в корне на месте десятых.

Затем находят цифру сотых. Для этого к остатку сносят снова две цифры, стоящие направо от тех, которые были только что снесены, и т. д.

Таким образом, при извлечении корня из целого числа с десятичной дробью, надо делить на грани по 2 цифры в каждой, начиная от запятой, как влево (в целой части числа), так и вправо, (в дробной части).

Примеры.

1) Найти до 1 / 100 корни: а) √2 ; б) √0,3 ;

В последнем примере мы обратили дробь 3 / 7 в десятичную, вычислив 8 десятичных знаков, чтобы образовались 4 грани, потребные для нахождения 4 десятичных знаков корня.

178. Описание таблицы квадратных корней. В конце этой книги приложена таблица квадратных корней, вычисленных с четырьмя цифрами. По этой таблице можно быстро находить квадратный корень из целого числа (или десятичной дроби), которое выражено не более, чем четырьмя цифрами. Прежде чем объяснить, как эта таблица устроена, заметим, что первую значащую цифру искомого корня мы всегда можем найти без помощи таблиц по одному взгляду на подкоренное число; мы легко также определим, какой десятичный разряд означает первая цифра корня и, следовательно, где в корне, когда найдем его цифры, надо поставить запятую. Приведем несколько примеров:

1) √5"27,3 . Первая цифра будет 2, так как левая грань подкоренного числа есть 5; а корень из 5 равен 2. Кроме того, так как в целой части подкоренного числа всех граней только 2, то в целой части искомого корня должно быть 2 цифры и, следовательно, первая его цифра 2 должна означать десятки.

2) √9,041 . Очевидно, в этом корне первая цифра будет 3 простые единицы .

3) √0,00"83"4 . Первая значащая цифра есть 9, так как грань, из которой пришлось бы извлекать корень для получения первой значащей цифры, есть 83, а корень из 83 равен 9. Так как в искомом числе не будет ни целых, ни десятых, то первая цифра 9 должна означать сотые.

4) √0,73"85 . Первая значащая цифра есть 8 десятых .

5) √0,00"00"35"7 . Первая значащая цифра будет 5 тысячных .

Сделаем еще одно замечание. Положим, что требуется извлечь корень из такого числа, которое, после отбрасывания в нем занятой, изображается рядом таких цифр: 5681. Корень этот может быть один из слелуюших:

Если возьмем корни, подчеркнутые нами одной чертою, то все они будут выражены одним и тем же рядом цифр, именно теми цифрами, которые получаются при извлечении корня из 5681 (это будут цифры 7, 5, 3, 7). Причина этому та, что грани, на которые приходится разбивать подкоренное число при нахождении цифр корня, будут во всех этих примерах одни и те же, поэтому и цифры для каждого корня окажутся одинаковые (только положение запятой будет, конечно, различное). Точно так же во всех корнях, подчеркнутых нами двумя чертами, должны получиться одинаковые цифры, именно те, которыми выражается √568,1 (эти цифры будут 2, 3, 8, 3), и по той же причине. Таким образом, цифры корней из чисел, изображаемых (по отбрасывании запятой) одним и тем же рядом цифр 5681, будут двоякого (и только двоякого) рода: либо это ряд 7, 5, 3, 7, либо ряд 2, 3, 8, 3. То же самое, очевидно, может быть сказано о всяком другом ряде цифр. Поэтому, как мы сейчас увидим, в таблице каждому ряду цифр подкоренного числа соответствуют 2 ряда цифр для корней.

Теперь мы можем объяснить устройство таблицы и способ ее пользования. Для ясности объяснения мы изобразили здесь начало первой страницы таблицы.

Таблица эта расположена на нескольких страницах. На каждой из них в первой слева колонке помещены числа 10, 11, 12... (до 99). Эти числа выражают первые 2 цифры числа, из которого ищется квадратный корень. В верхней горизонтальной строчке (а также и в нижней) размещены числа: 0, 1, 2, 3... 9, представляющие собою 3-ю цифру данного числа, а затем далее направо помещены цифры 1, 2, 3 . . . 9, представляющие собою4-ю цифру данного числа. Во всех других горизонтальных строчках помещены по 2 четырехзначных числа, выражающие квадратные корни из соответствующих чисел.

Пусть требуется найти квадратный корень из какого-нибудь числа, целого или выраженного десятичною дробью. Прежде всего находим без помощи таблиц первую цифру корня и ее разряд. Затем отбросим в данном числе запятую, если она есть. Положим сначала, что после отбрасывания запятой останутся только 3 цифры, напр. 114. Находим в таблицах в левой крайней колонке первые 2 цифры, т. е. 11, и продвигаемся от них направо по горизонтальной строке до тех пор, пока не дойдем до вертикальной колонки, наверху (и внизу) которой стоит 3-я цифра числа, т. е. 4. В этом месте мы находим два четырехзначных числа: 1068 и 3376. Которое из этих двух чисел надо взять и где поставить в нем запятую, это определяется первою цифрою корня и ее разрядом, которые мы нашли раньше. Так, если надо найти √0,11"4 , то первая цифра корня есть 3 десятых, и потому мы должны взять для корня 0,3376. Если бы требовалось найти √1,14 , то первая цифра корня была бы 1, и мы взяли бы тогда 1,068.

Таким образом мы легко найдем:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 и т.п.

Положим теперь, что требуется найти корень из числа, выраженного (по отбрасывании запятой) 4 цифрами, напр.√7"45,6 . Заметив, что первая цифра корня есть 2 десятка, находим для числа 745 так, как сейчас было объяснено, цифры 2729 (это число только замечаем пальцем, но его не записываем). Потом продвигаемся от этого числа еще направо до тех пор, пока в правой части таблицы (за последнею жирною чертою) не встретим ту вертикальную колонку, которая отмечена наверху (и внизу) 4-й цифрой данного числа, т. е. цифрой 6, и находим там число 1. Это будет поправка, которую надо приложить (в уме) к ранее найденному числу 2729; получим 2730. Это число записываем и ставим в нем запятую на надлежащем месте: 27,30.

Таким путем найдем, напр:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 и т.д.

Если подкоренное число выражается только одной или двумя цифрами, то мы можем предположить, что после этих цифр стоит один или два нуля, и затем поступать так, как было объяснено для трехзначного числа. Напр.√2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 и т.п..

Наконец, если подкоренное число выражено более, чем 4 цифрами, то из них мы возьмем только первые 4, а остальные отбросим, причем для уменьшения ошибки, если первая из отбрасцваемых цифр есть 5 или более 5, то мы увеличим на l четвертую из удержанных цифр. Так:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; и т.п.

Замечание. В таблицах указан приближенный квадратный корень иногда с недостатком, иногда же с избытком, а именно тот из этих приближенных корней, который ближе подходит к точному корню.

179. Извлечение квадратных корней из обыкновенных дробей. Точный квадратный корень из несократимой дроби можно извлечь лишь тогда, когда оба члена дроби точные квадраты . В этом случае достаточно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, напр.:

Приближенный квадратный корень из обыкновенной дроби c какою-нибудь десятичною точностью проще всего можно находить, если предварительно обратим обыкновенную дробь в десятичную, вычислив в этой дроби такое число десятичных знаков после запятой, которое было бы вдвое больше числа десятичных знаков в искомом корне.

Впрочем можно поступать и иначе. Объясним это на следующем примере:

Найти приближенный √ 5 / 24

Сделаем знаменатель точным квадратом. Для этого достаточно было бы умножить оба члена дроби на знаменатель 24; но в этом примере можно поступить иначе. Разложим 24 на простые множители: 24 = 2 2 2 3. Из этого разложения видно, что если 24 умножить на 2 и еще на 3, то тогда в произведении каждый простой множитель будет повторяться четное число раз, и, следовательно, знаменатель сделается квадратом:

Остается вычислить √30 с какой-нибудь точностью и результат разделить на 12. При этом надо иметь в виду, что от деления на 12 уменьшится и дробь, показывающая степень точности. Так, если найдем √30 с точностью до 1 / 10 и результат разделим на 12, то получим приближенный корень из дроби 5 / 24 с точностью до 1 / 120 (а именно 54 / 120 и 55 / 120)

Глава третья.

График функции х = √ y .

180. Обратная функция. Пусть дано какое-нибудь уравнение, определяющее у как функцию от х , напр, такое: у = х 2 . Мы можем сказать, что оно определяет не только у как функцию от х , но и, обратно, определяет х как функцию от у , хотя и неявным образом. Чтобы сделать эту функцию явной, надо решить данное уравнение относительно х , принимая у за известное число; так, из взятого нами уравнения находим: у = х 2 .

Алгебраическое выражение, полученное для x после решения уравнения, определяющего у как функцию от x, называется функцией, обратной той, которая определяет у.

Значит, функция, х = √ y обратна функции у = х 2 . Если, как это принято, независимое переменное обозначим х , а зависимое у , то полученную сейчас обратную функцию можем выразить так: y = √ x . Таким образом, чтобы получить функцию, обратную данной (прямой), надо из уравнения, определяющего эту данную функцию, вывести х в зависимости от y и в полученном выражении заменить y на x , а х на y .

181. График функции y = √ x . Функция эта невозможна при отрицательном значении х , но ее возможно вычислить (с любою точностью) при всяком положительном значении x , причем для каждого такого значения функция получает два различных значения с одинаковой абсолютной величиной, но с противоположными знаками. Если знаком √ будем обозначать только арифметическое значение квадратного корня, то эти два значения функции можем выразить так: y = ± √ x Для построения графика этой функции надо предварительно составить таблицу ее значений. Всего проще эту таблицу составить из таблицы значений прямой функции:

у = х 2 .

x

y

если значения у примем за значения х , и наоборот:

y = ± √ x

Нанеся все эти значения на чертеже, получим следующий график.

На том же чертеже мы изобразили (прерывистой линией) и график прямой функции у = х 2 . Сравним эти два графика между собою.

182. Соотношение между графиками прямой и обратной функций. Для составления таблицы значений обратной функции y = ± √ x мы брали для х те числа, которые в таблице прямой функции у = х 2 служили значениями для у , а для у брали те числа; которые в этой таблице были значениями для x . Из этого следует, что оба графика одинаковы, только график прямой функции так расположен относительно оси у - ов, как график обратной функции расположен относительно оси х - ов. Вследствие этого, если мы перегнем чертеж вокруг прямой ОА , делящей пополам прямой угол xОу , так, чтобы часть чертежа, содержащая полуось Оу , упала на ту часть, которая содержит полуось Ох , то Оу совместится с Ох , все деления Оу совпадут c делениями Ох , и точки параболы у = х 2 совместятся с соответствующими точками графика y = ± √ x . Напр, точки М и N , у которых ордината 4 , а абсциссы 2 и -2 , совпадут с точками М" и N" , у которых абсцисса 4 , а ординаты 2 и -2 . Если же эти точки совпадут, то это значит, что прямые ММ" и NN" перпендикулярны к ОА и делятся этою прямою пополам. То же самое можно сказать о всех других соответствующих точках обоих графиков.

Таким образом, график обратной функции должен быть такой же, как и грaфик прямой функции, но расположены эти графики различно, а именно симметрично друг с другом относительно биссектрисы угла хОу . Можно сказать, что график обратной функции есть отображение (как в зеркале) графика прямой функции относительно биссектрисы угла хОу .