Kökləri müxtəlif göstəricilərlə necə çoxaltmaq olar. Kökləri çoxaltmaq: əsas qaydalar

Mövcudluq kvadrat köklər ifadədə bölmə prosesini çətinləşdirir, lakin kəsrlərlə işləməyi xeyli asanlaşdıran qaydalar var.

Hər zaman yadda saxlamalı olduğunuz yeganə şey- radikal ifadələr radikal ifadələrə, amillər isə amillərə bölünür. Kvadrat köklərin bölünməsi prosesində kəsri sadələşdiririk. Həm də xatırlayın ki, kök məxrəcdə ola bilər.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Metod 1. Radikal ifadələrin bölünməsi

Hərəkətlərin alqoritmi:

Kəsr yazın

İfadə kəsr kimi göstərilmirsə, onu belə yazmaq lazımdır, çünki kvadrat köklərin bölünməsi prinsipinə əməl etmək daha asandır.

Misal 1

144 ÷ 36, bu ifadə aşağıdakı kimi yenidən yazılmalıdır: 144 36

Bir kök işarəsindən istifadə edin

Əgər həm payda, həm də məxrəcdə kvadrat köklər varsa, həll prosesini asanlaşdırmaq üçün onların radikal ifadələrini eyni kök işarəsi altında yazmaq lazımdır.

Xatırladırıq ki, radikal ifadə (və ya rəqəm) kök işarəsi altındakı ifadədir.

Misal 2

144 36. Bu ifadə aşağıdakı kimi yazılmalıdır: 144 36

Radikal ifadələri ayırın

Sadəcə bir ifadəni digərinə bölün və nəticəni kök işarəsi altına yazın.

Misal 3

144 36 = 4, bu ifadəni belə yazaq: 144 36 = 4

Radikal ifadəni sadələşdirin (lazım olduqda)

Əgər radikal ifadə və ya amillərdən biri mükəmməl kvadratdırsa, ifadəni sadələşdirin.

Xatırladaq ki, mükəmməl kvadrat hansısa tam ədədin kvadratı olan ədəddir.

Misal 4

4 mükəmməl kvadratdır, çünki 2 × 2 = 4. Bundan belə çıxır:

4 = 2 × 2 = 2. Buna görə də 144 36 = 4 = 2.

Metod 2. Radikal ifadənin faktorinqi

Hərəkətlərin alqoritmi:

Kəsr yazın

İfadəni kəsr kimi yenidən yazın (əgər bu şəkildə göstərilibsə). Bu, xüsusilə faktorinq zamanı kvadrat kökləri olan ifadələrin bölünməsini çox asanlaşdırır.

Misal 5

8 ÷ 36, bunu belə yenidən yazın 8 36

Radikal ifadələrin hər birini nəzərə alın

Kök altındakı ədədi digər tam ədədlər kimi çarpanlayın, yalnız kök işarəsinin altındakı faktorları yazın.

Misal 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Kəsirin payını və məxrəcini sadələşdirin

Bunun üçün kök işarəsinin altından mükəmməl kvadratları təmsil edən amilləri çıxarın. Beləliklə, kök işarəsindən əvvəl radikal ifadə faktoru olacaq.

Misal 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, belə olur: 8 36 = 2 2 6

Məxrəci rasionallaşdırın (kökdən qurtulun)

Riyaziyyatda məxrəcdə kök buraxmaq pis formanın əlaməti olan qaydalar var, yəni. qadağandır. Məxrəcdə kvadrat kök varsa, ondan qurtulun.

Numeratoru və məxrəci silmək istədiyiniz kvadrat kökə vurun.

Misal 8

6 2 3 ifadəsində məxrəcdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci 3-ə vurmaq lazımdır:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Nəticə ifadəsini sadələşdirin (lazım olduqda)

Əgər say və məxrəcdə azaldıla bilən və edilməli olan ədədlər varsa. İstənilən kəsr kimi ifadələri sadələşdirin.

Misal 9

2 6 1 3-ə qədər sadələşdirir; beləliklə, 2 2 6 1 2 3 = 2 3-ə qədər sadələşir

Metod 3: Kvadrat kökləri amillərlə bölmək

Hərəkətlərin alqoritmi:

Faktorları sadələşdirin

Xatırladaq ki, faktorlar kök işarəsindən əvvəlki rəqəmlərdir. Faktorları sadələşdirmək üçün onları bölmək və ya azaltmaq lazımdır. Radikal ifadələrə toxunmayın!

Misal 10

4 32 6 16 . Əvvəlcə 4 6-nı azaldırıq: həm payı, həm də məxrəci 2-yə bölün: 4 6 = 2 3.

Kvadrat kökləri sadələşdirin

Əgər pay məxrəcə bərabər bölünürsə, onda bölün. Yoxdursa, radikal ifadələri başqaları kimi sadələşdirin.

Misal 11

32 16-ya bölünür, deməli: 32 16 = 2

Sadələşdirilmiş amilləri sadələşdirilmiş köklərə çarpın

Qaydanı xatırlayın: məxrəcdə kök qoymayın. Ona görə də biz sadəcə olaraq bu kökə pay və məxrəci vururuq.

Misal 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Məxrəci rasionallaşdırın (məxrəcdəki kökdən xilas olun)

Misal 13

4 3 2 7 . Məxrəcdəki kökdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci 7-yə vurmalısınız.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Metod 4: Kvadrat köklə binom ilə bölmə

Hərəkətlərin alqoritmi:

Binomun məxrəcdə olub-olmadığını müəyyənləşdirin

Xatırladaq ki, binom 2 monomial ehtiva edən ifadədir. Bu üsul yalnız məxrəcin kvadrat köklü binomial olduğu hallarda işləyir.

Misal 14

1 5 + 2 - iki monomial olduğu üçün məxrəcdə binom var.

Binomun qoşma ifadəsini tapın

Xatırladaq ki, qoşma binom eyni monomialları olan, lakin işarələri əks olan binomdur. İfadəni sadələşdirmək və məxrəcdəki kökdən xilas olmaq üçün birləşmə binomlarını çoxaltmalısınız.

Misal 15

5 + 2 və 5 - 2 birləşmə binomudur.

Sax və məxrəci məxrəcdəki binomun birləşməsi olan binom ilə çarpın

Bu seçim məxrəcdəki kökdən qurtulmağa kömək edəcək, çünki birləşmiş binomialların məhsulu binomların hər bir müddətinin kvadratlarının fərqinə bərabərdir: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Misal 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Buradan belə çıxır: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

məsləhət:

1. Qarışıq ədədlərin kvadrat kökləri ilə işləyirsinizsə, onları düzgün olmayan kəsrlərə çevirin.
2. Bölmədən toplama və çıxma arasındakı fərq ondadır ki, bölünmə halında radikal ifadələrin sadələşdirilməsi tövsiyə edilmir (tam kvadratlar hesabına).
3. Məxrəcdə heç vaxt (!) kök qoymayın.
4. Kökdən əvvəl ondalıq və ya qarışıq yoxdur - onları çevirmək lazımdır adi fraksiya, sonra isə sadələşdirin.
5. Məxrəc iki monomialın cəmidir, yoxsa fərqi? Belə binomialın qoşma binomuna çarpın və məxrəcdəki kökdən xilas olun.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Dərəcə formulları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.

Nömrə c edir n- ədədin gücü a Nə vaxt:

Dərəcələrlə əməliyyatlar.

1. c-nin çarpma səlahiyyətləri eyni əsas onların göstəriciləri əlavə olunur:

a m·a n = a m + n .

2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır:

3. 2 və daha çox amilin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Kəsirin dərəcəsi dividend və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:

(a/b) n = a n /b n .

5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:

(a m) n = a m n .

Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə istiqamətlərdə doğrudur.

Məsələn. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklərlə əməliyyatlar.

1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:

2. Nisbətin kökü dividend və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:

3. Bir gücə kök qaldırarkən, bu gücə radikal rəqəmi qaldırmaq kifayətdir:

4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n inci güc radikal bir rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:

5. Əgər kökün dərəcəsini azaldırsanız n eyni zamanda kökü çıxarın n- radikal ədədin ci gücü, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:

Mənfi eksponentli dərəcə. Qeyri-müsbət (tam) göstəricisi olan müəyyən bir ədədin gücü, göstəricisi bərabər olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir. mütləq dəyər qeyri-müsbət göstərici:

Formula a m:a n =a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də ilə m< n.

Məsələn. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Formula üçün a m:a n =a m - n zaman ədalətli oldu m=n, sıfır dərəcəsinin olması tələb olunur.

Sıfır indeksi olan dərəcə. Sıfır eksponenti ilə sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədin gücü birə bərabərdir.

Məsələn. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kəsrə göstərici ilə dərəcə. Həqiqi rəqəmi artırmaq üçün A dərəcəyə qədər m/n, kökü çıxarmaq lazımdır n ci dərəcə m-bu ədədin gücü A.

1. Məhsulun gücünün kökü deyil mənfi ədədlər amillərdən eyni dərəcədə olan köklərin hasilinə bərabərdir: burada (məhsuldan kök çıxarmaq qaydası).

2. Əgər , onda y (kəsirin kökünün çıxarılması qaydası).

3. Əgər onda (kökdən kök çıxarmaq qaydası).

4. Əgər onda kökü bir gücə qaldırmaq qaydası).

5. Əgər onda haradadır, yəni kökün göstəricisi və radikal ifadənin göstəricisi eyni ədədə vurula bilər.

6. Əgər onda 0, yəni daha böyük müsbət radikal ifadəyə uyğun gəlir və daha yüksək dəyər kök

7. Yuxarıdakı bütün düsturlar tez-tez tərs qaydada tətbiq olunur (yəni sağdan sola). Məsələn,

(köklərin çoxaldılması qaydası);

(kökün bölünməsi qaydası);

8. Kök işarəsinin altından çarpanın çıxarılması qaydası. At

9. Tərs məsələ kökün işarəsi altında çarpan daxil etməkdir. Məsələn,

10. Kəsirin məxrəcində irrasionallığın aradan qaldırılması.

Bəzi tipik hallara baxaq.

Məsələn,

11. Arifmetik köklərlə əməliyyatlara qısaldılmış vurma eyniliklərinin tətbiqi:

12. Kökün qarşısında duran amilə onun əmsalı deyilir. Məsələn, Burada 3 əmsaldır.

13. Köklər (radikallar) eyni kök indekslərinə və eyni radikal ifadələrə malik olduqda və yalnız əmsalda fərqləndikdə oxşar deyilir. Bu köklərin (radikalların) oxşar olub-olmadığını mühakimə etmək üçün onları ən sadə formaya salmaq lazımdır.

Məsələn, və oxşardır, çünki

HƏLL İLƏ MƏŞQLƏR

1. İfadələri sadələşdirin:

Həll. 1) Radikal ifadəni vurmağın mənası yoxdur, çünki amillərin hər biri tam ədədin kvadratını təmsil edir. Məhsulun kökünü çıxarmaq üçün qaydadan istifadə edək:

Gələcəkdə bu cür hərəkətləri şifahi şəkildə həyata keçirəcəyik.

2) Mümkünsə, radikal ifadəni hər biri tam ədədin kubu olan amillərin hasili kimi təqdim etməyə çalışaq və hasilin kökü ilə bağlı qaydanı tətbiq edək:

2. İfadənin qiymətini tapın:

Həll. 1) Kəsrin kökünü çıxarmaq qaydasına görə, bizdə:

3) Radikal ifadələri çevirin və kökü çıxarın:

3. Nə vaxtsa sadələşdirin

Həll. Kökdən kök çıxararkən köklərin göstəriciləri çoxalır, lakin radikal ifadə dəyişməz qalır.

Kökün altında yerləşən kökün qarşısında bir əmsal varsa, kökün çıxarılması əməliyyatını yerinə yetirməzdən əvvəl bu əmsalı qarşısında görünən radikalın işarəsi altına daxil edin.

Yuxarıdakı qaydalara əsaslanaraq, son iki kökü çıxaraq:

4. Gücü artırın:

Həll. Kökü bir gücə qaldırarkən, kökün göstəricisi dəyişməz qalır və radikal ifadənin göstəriciləri eksponentə vurulur.

(müəyyən olunduğuna görə, onda );

Əgər kök verilmişdirəmsala malikdir, onda bu əmsal ayrıca bir gücə qaldırılır və nəticə kökün əmsalı kimi yazılır.

Burada kökün göstəricisi ilə radikal ifadənin göstəricisinin eyni ədədə vurulması qaydasından istifadə etdik (biz vururuq, yəni 2-yə bölürük).

Məsələn, və ya

4) Mötərizədə iki müxtəlif radikalın cəmini ifadə edən ifadə kub şəklində və sadələşdirilmişdir:

Bizdə olduğundan:

5. Məxrəcdə irrasionallığı aradan qaldırın:

Həll. Kəsrin məxrəcində irrasionallığı aradan qaldırmaq (məhv etmək) üçün məxrəcli hasildə rasional ifadə verən ən sadə ifadələri tapmaq və bu kəsrin payını və məxrəcini tapılan əmsala vurmaq lazımdır.

Məsələn, kəsrin məxrəcində binom varsa, onda kəsrin payı və məxrəci məxrəcə qovuşmuş ifadə ilə vurulmalıdır, yəni cəmi müvafiq fərqə vurulmalıdır və əksinə.

Daha çox çətin hallar Onlar irrasionallığı dərhal yox, bir neçə addımda məhv edirlər.

1) İfadə olmalıdır

Kəsrin payını və məxrəcini vuraraq, əldə edirik:

2) Kəsrin payını və məxrəcini cəmin qismən kvadratına vuraraq, əldə edirik:

3) Kəsrləri ortaq məxrəcə gətirək:

Qərar vermək bu misal, nəzərə almalıyıq ki, hər kəsr məna daşıyır, yəni hər kəsrin məxrəci sıfırdan fərqlidir. Bundan başqa,

Tərkibində radikallar olan ifadələri çevirərkən çox vaxt səhvlərə yol verilir. Onlar arifmetik kök və mütləq qiymət anlayışını (tərifini) düzgün tətbiq edə bilməməkdən yaranır.

Köklərin çoxaldılması qaydaları

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox olanlar üçün “çox deyil. »
Və "çox belə" olanlar üçün. ")

Əvvəlki dərsdə kvadrat kökün nə olduğunu anladıq. Hansının mövcud olduğunu anlamaq vaxtıdır köklər üçün düsturlar nələrdir köklərin xüsusiyyətləri, və bütün bunlarla nə etmək olar.

Köklərin düsturları, köklərin xüsusiyyətləri və köklərlə işləmə qaydaları- bu mahiyyətcə eyni şeydir. Kvadrat köklər üçün təəccüblü dərəcədə az düstur var. Bu, şübhəsiz ki, məni xoşbəxt edir! Daha doğrusu, çoxlu müxtəlif düsturlar yaza bilərsiniz, amma köklərlə praktik və inamlı iş üçün yalnız üçü kifayətdir. Qalan hər şey bu üçündən qaynaqlanır. Bir çox insanlar üç kök düsturunda çaşqın olsalar da, bəli.

Ən sadəindən başlayaq. Budur:

Sizə xatırlatmaq istəyirəm (əvvəlki dərsdən): a və b mənfi olmayan ədədlərdir! Əks təqdirdə formulun mənası yoxdur.

Bu köklərin mülkiyyəti , gördüyünüz kimi, sadə, qısa və zərərsizdir. Ancaq bu kök düsturu ilə edə biləcəyiniz çox gözəl şeylər var! Gəlin baxaq misallar bütün bu faydalı şeylər.

İlk faydalı şey. Bu formula bizə imkan verir kökləri çoxaldır.

Kökləri necə çoxaltmaq olar?

Bəli, çox sadə. Düz düstura. Məsələn:

Deyəsən, onu çoxaldıblar, bəs necə? Çox sevinc varmı?! Razıyam, bir az. Bu necə xoşunuza gəlir misal?

Köklər faktorlardan tam olaraq çıxarılmır. Və nəticə əladır! Bu daha yaxşıdır, elə deyilmi? Hər halda, sizə deyim ki, istədiyiniz qədər çarpan ola bilər. Kökləri çoxaltmaq üçün formula hələ də işləyir. Məsələn:

Beləliklə, vurma ilə hər şey aydındır, bu niyə lazımdır? köklərin mülkiyyəti- həm də başa düşüləndir.

İkincisi faydalıdır. Kök işarəsi altında nömrə daxil edilir.

Kökün altına nömrəni necə daxil etmək olar?

Tutaq ki, bizdə bu ifadə var:

Kökün içərisində ikiliyi gizlətmək mümkündürmü? Asanlıqla! İkidən bir kök düzəltsəniz, kökləri çoxaltmaq üçün formula işləyəcək. İkidən kök necə düzəldə bilərsiniz? Bəli, sual da yoxdur! İkidir dördün kvadrat kökü!

Yeri gəlmişkən, hər hansı bir mənfi olmayan rəqəmdən kök edilə bilər! Bu ədədin kvadratının kvadrat kökü olacaq. 3 - 9-un kökü. 8 - 64-ün kökü. 11 - 121-in kökü. Yaxşı və s.

Təbii ki, bu qədər ətraflı təsvir etməyə ehtiyac yoxdur. Yaxşı, başlanğıc üçün. Kökə vurulan istənilən qeyri-mənfi ədədin kök altına əlavə oluna biləcəyini başa düşmək kifayətdir. Amma unutma! - kök altında bu rəqəm olacaq kvadratözünüz. Bu hərəkəti - kökün altına nömrə daxil etmək - rəqəmin kökə vurulması da adlandırıla bilər. IN ümumi görünüş yazmaq olar:

Gördüyünüz kimi prosedur sadədir. Niyə lazımdır?

Hər hansı transformasiya kimi, bu prosedur imkanlarımızı genişləndirir. Qəddar və narahat ifadəni yumşaq və tüklü ifadəyə çevirmək imkanları). Budur sizin üçün sadə misal:

Gördüyünüz kimi, köklərin mülkiyyəti, kökün işarəsi altında çarpan daxil etməyə imkan verən, sadələşdirmə üçün olduqca uyğundur.

Bundan əlavə, kökə bir amil əlavə etmək müxtəlif köklərin dəyərlərini müqayisə etməyi asanlaşdırır. Heç bir hesablama və ya kalkulyator olmadan! Üçüncü faydalı şey.

Kökləri necə müqayisə etmək olar?

Bu bacarıq ciddi tapşırıqlarda, modulları və digər gözəl şeyləri aşkar edərkən çox vacibdir.

Bu ifadələri müqayisə edin. Hansı daha böyükdür? Kalkulyator olmadan! Hər birində kalkulyator var. uh-uh. Bir sözlə, hər kəs bacarır!)

Bunu dərhal deyə bilməzsən. Kök işarəsi altında rəqəmlər daxil etsəniz nə olacaq?

Gəlin xatırlayaq (bilməsəydin necə?): kök işarəsinin altındakı rəqəm böyükdürsə, kökün özü də böyükdür! Beləliklə, heç bir mürəkkəb hesablamalar və hesablamalar olmadan dərhal düzgün cavab:

Əla, hə? Ancaq bu, hamısı deyil! Unutmayın ki, bütün düsturlar həm soldan sağa, həm də sağdan sola işləyir. İndiyə qədər kökləri soldan sağa vurmaq üçün düsturdan istifadə etdik. Köklərin bu xassəsini sağdan sola tərsinə işləyək. Bu kimi:

Və nə fərqi var? Bu nəsə verirmi? Əlbəttə! İndi özünüz görəcəksiniz.

Tutaq ki, 6561 rəqəminin kvadrat kökünü (kalkulyator olmadan!) çıxarmaq lazımdır. Bu mərhələdə bəzi insanlar tapşırıqla qeyri-bərabər mübarizə aparacaqlar. Amma biz israrlıyıq, təslim deyilik! Dördüncü faydalı şey.

Böyük ədədlərdən kökləri necə çıxarmaq olar?

Məhsuldan kök çıxarmaq üçün formulanı xatırlayaq. Yuxarıda yazdığım. Bəs bizim işimiz haradadır!? Bizdə çox böyük 6561 nömrə var və budur. Bəli, iş burada deyil. Ancaq ehtiyacımız varsa, edəcəyik gəlin bunu edək! Gəlin bu rəqəmi hesablayaq. Bizim haqqımız var.

Əvvəlcə bu ədədin tam olaraq nəyə bölündüyünü anlayaq? Nə, bilmirsən!? Bölünmə əlamətlərini unutmusunuz!? Boş yerə. Xüsusi Bölmə 555-ə, “Kəsrlər” mövzusuna gedin, onlar oradadır. Bu ədəd 3 və 9-a bölünür. Çünki ədədlərin cəmi (6+5+6+1=18) bu ədədlərə bölünür. Bu bölünmə əlamətlərindən biridir. Üçə bölmək lazım deyil (indi bunun səbəbini başa düşəcəksiniz), amma 9-a böləcəyik. Heç olmasa bir küncdə. 729 alırıq. Beləliklə, iki amil tapdıq! Birincisi doqquzdur (onu özümüz seçmişik), ikincisi isə 729-dur (belə oldu). Artıq yaza bilərsiniz:

Fikriniz varmı? 729 nömrəsi ilə də eyni şeyi edəcəyik. O da 3-ə və 9-a bölünür. Yenə 3-ə bölmürük, 9-a bölürük. 81-i alırıq. Və bu rəqəmi bilirik! Yazırıq:

Hər şey asan və zərif çıxdı! Kökü hissə-hissə çıxarmaq lazım idi, amma yaxşı. Bunu hər kəslə edə bilərsiniz böyük rəqəmlər. Onları çoxaldın və davam edin!

Yeri gəlmişkən, niyə 3-ə bölmək lazım deyildi? Bəli, çünki üçünün kökünü tam olaraq çıxarmaq mümkün deyil! Onu elə amillərə daxil etmək məntiqlidir ki, kök ən azı birindən yaxşı çıxarılsın. Bunlar 4, 9, 16 quyu və s. Nəhəng nömrənizi bu rəqəmlərə bir-bir bölün və şanslı olacaqsınız!

Amma mütləq deyil. Ola bilər ki, bəxtiniz gətirməyəcək. Tutaq ki, 432 rəqəmi faktorlara ayrıldıqda və məhsulun kök düsturundan istifadə edildikdə aşağıdakı nəticəni verəcəkdir:

Oh yaxşı. Hər halda, ifadəni sadələşdirdik. Riyaziyyatda kökün altında mümkün olan ən kiçik ədədi buraxmaq adətdir. Həll prosesində hər şey nümunədən asılıdır (bəlkə də hər şeyi sadələşdirmədən qısaltmaq olar), lakin cavabda daha da sadələşdirilə bilməyən bir nəticə vermək lazımdır.

Yeri gəlmişkən, 432-nin kökü ilə nə etdiyimizi bilirsinizmi?

Biz amilləri kök işarəsinin altından çıxardı ! Bu əməliyyat belə adlanır. Əks təqdirdə bir tapşırıq alacaqsınız - " kök işarəsinin altından faktoru çıxarın"Amma kişilər belə bilmirlər.) Budur sizin üçün başqa bir proqram köklərin xüsusiyyətləri. Faydalı şey beşinci.

Kök altından çarpanı necə çıxarmaq olar?

Asanlıqla. Radikal ifadəni faktorlayın və çıxarılan kökləri çıxarın. Baxaq:

Fövqəltəbii heç nə. Doğru çarpanları seçmək vacibdir. Burada 72-ni 36·2 kimi genişləndirdik. Və hər şey yaxşı oldu. Yaxud fərqli şəkildə genişləndirə bilərdilər: 72 = 6·12. Və nə!? Kök nə 6, nə də 12-dən çıxarıla bilməz. Nə etməli?!

Hər şey qaydasındadır. Ya digər parçalanma variantlarını axtarın, ya da hər şeyi dayanana qədər parçalamağa davam edin! Bu kimi:

Gördüyünüz kimi, hər şey alındı. Bu, yeri gəlmişkən, ən sürətli deyil, ən etibarlı yoldur. Nömrəni ən kiçik amillərə bölün və sonra eyni olanları yığınlara yığın. Metod əlverişsiz kökləri çoxaltarkən də uğurla istifadə olunur. Məsələn, hesablamaq lazımdır:

Hər şeyi çoxaltın - bir dəli nömrə alırsınız! Bəs onda kökü necə çıxarmaq olar?! Yenə faktorinq? Xeyr, bizim əlavə işə ehtiyacımız yoxdur. Biz onu dərhal faktorlara ayırırıq və eyni olanları qruplarda toplayırıq:

bu qədər. Təbii ki, onu hərtərəfli genişləndirmək lazım deyil. Hər şey şəxsi qabiliyyətlərinizlə müəyyən edilir. Məsələni o yerə çatdırdıq hər şey sənə aydındır Bu o deməkdir ki, biz artıq saya bilərik. Əsas odur ki, səhv etmə. Riyaziyyat üçün insan yox, insan üçün riyaziyyat!)

Gəlin biliyi təcrübədə tətbiq edək? Sadə bir şeylə başlayaq:

RATİONAL GÖSTƏRİŞLİ DƏRƏCƏ,

GÜÇ FUNKSİYASI IV

§ 82. Köklərin çoxaldılması və bölünməsi

1. Köklərin çoxaldılması.§ 79-da köklərin çoxaldılması qaydası eyni göstəricilər:

Kökləri müxtəlif göstəricilərlə çoxaltmaq üçün əvvəlcə onları azaltmaq lazımdır ümumi göstərici, və sonra eyni eksponentlərlə köklər kimi çoxalın.

Məsələn, çoxalmaq lazımdır n √ a haqqında m √ b . §80-in 3-cü teoremindən istifadə edərək yaza bilərik:

Məsələn, √ 3 3 √ 9 = 6 √ 3 3 6 √ 9 2 = 6 √ 3 3 9 2 = 6 √ 3 3 3 4 = 6 √ 3 7 = 3 6 √ 3

Köklər üçün ümumi göstərici kimi n √ a haqqında m √ b Rəqəmlərin ən az ümumi çoxluğunu seçmək ən əlverişlidir n Və m . Məsələn, 4 √ 2-ni 6 √ 32-yə vurmaq lazımdırsa, bu köklər üçün ümumi göstərici kimi 4 və 6 rəqəmlərinin ən kiçik ümumi çoxluğu olan 12 rəqəmini seçmək rahatdır.

Teorem 3 § 80 verir: 4 √ 2 = 12 √ 2 3 ; 6 √ 32 = 12 √ 32 2 = 12 √ 2 10.

4 √ 2 6 √ 32 = 12 √ 2 3 12 √ 2 10 = 12 √ 2 13 = 2 12 √ 2

2. Köklərin bölünməsi.§ 79-da eyni eksponentlərlə kökləri bölmək üçün bir qayda əldə edildi:

Müxtəlif göstəricilərə malik kökləri ayırmaq üçün əvvəlcə ümumi göstəriciyə gətirilməli, sonra isə eyni göstəricilərə malik köklər kimi bölünməlidir.

oldskola1.narod.ru

Kökləri çoxaltmaq: əsas qaydalar

Salam, pişiklər! Keçən dəfə köklərin nə olduğunu ətraflı müzakirə etdik (xatırlamırsınızsa, oxumağı məsləhət görürəm). Bu dərsdən əsas nəticə: köklərin yalnız bir universal tərifi var, bilməli olduğunuz şey budur. Qalanları cəfəngiyatdır və vaxt itkisidir.

Bu gün daha da irəliləyirik. Kökləri çoxaltmağı öyrənəcəyik, vurma ilə bağlı bəzi məsələləri öyrənəcəyik (əgər bu problemlər həll olunmasa, imtahanda ölümcül ola bilər) və düzgün məşq edəcəyik. Beləliklə, popkorn yığın, özünüzü rahatlaşdırın - və başlayaq.

Siz də hələ siqaret çəkməmisiniz, eləmi?

Dərs olduqca uzun oldu, ona görə də onu iki hissəyə ayırdım:

Əvvəlcə vurma qaydalarına baxacağıq. Qapaq işarə edir: bu, iki kök olduqda, onların arasında "çoxalmaq" işarəsi var - və biz onunla bir şey etmək istəyirik.

O zaman gəlin əks vəziyyətə baxaq: bir böyük kök var, amma biz onu iki sadə kökün məhsulu kimi təqdim etməkdən ilham almışıq. Bu niyə lazımdır, ayrı sualdır. Biz yalnız alqoritmi təhlil edəcəyik.

Birbaşa ikinci hissəyə keçməyi gözləyə bilməyənlər üçün xoş gəlmisiniz. Qalanları sıra ilə başlayaq.

Vurmanın əsas qaydası

Ən sadə şeydən - klassik kvadrat köklərdən başlayaq. $\sqrt$ və $\sqrt təyin olunanlar eynidir $. Onlara hər şey aydındır:

Vurma qaydası. Bir kvadrat kökü digərinə vurmaq üçün sadəcə onların radikal ifadələrini çoxaltmalı və nəticəni ümumi radikalın altına yazmalısınız:

Sağda və ya solda olan nömrələrə əlavə məhdudiyyətlər qoyulmur: kök amillər varsa, məhsul da mövcuddur.

Nümunələr. Nömrələrlə eyni anda dörd nümunəyə baxaq:

Göründüyü kimi, bu qaydanın əsas mənası irrasional ifadələri sadələşdirməkdir. Əgər birinci misalda özümüz heç bir yeni qaydalar olmadan 25 və 4-ün köklərini çıxarsaydıq, onda işlər çətinləşir: $\sqrt $ və $\sqrt $ öz-özünə hesab edilmir, lakin onların hasilinin mükəmməl kvadrat olduğu ortaya çıxır, buna görə də onun kökü rasional ədədə bərabərdir.

Xüsusilə sonuncu sətri vurğulamaq istərdim. Orada hər iki radikal ifadə kəsrdir. Məhsul sayəsində bir çox amillər ləğv edilir və bütün ifadə adekvat bir rəqəmə çevrilir.

Təbii ki, hər şey həmişə belə gözəl olmayacaq. Bəzən köklərin altında tam bir axmaqlıq olacaq - bununla nə edəcəyi və çarpmadan sonra onu necə çevirəcəyi aydın deyil. Bir az sonra oxumağa başlayanda irrasional tənliklər və bərabərsizliklər, ümumiyyətlə hər cür dəyişənlər və funksiyalar olacaq. Və çox vaxt problem müəllifləri bəzi ləğvedici şərtləri və ya amilləri kəşf edəcəyinizə inanırlar, bundan sonra problem dəfələrlə sadələşdiriləcəkdir.

Bundan əlavə, tam olaraq iki kökü çoxaltmaq lazım deyil. Siz eyni anda üç, dörd və ya hətta on vura bilərsiniz! Bu qaydanı dəyişməyəcək. Baxın:

Və ikinci misalda yenə kiçik bir qeyd. Gördüyünüz kimi, kök altındakı üçüncü amildə onluq kəsr var - hesablamalar zamanı biz onu adi biri ilə əvəz edirik, bundan sonra hər şey asanlıqla azalır. Beləliklə: İstənilən hissədə onluq kəsrlərdən qurtulmağı çox tövsiyə edirəm irrasional ifadələr(yəni ən azı bir radikal simvolu ehtiva edir). Bu, gələcəkdə çox vaxt və əsəblərə qənaət edəcək.

Amma bu, lirik bir kənarlaşma idi. İndi daha ümumi bir halı nəzərdən keçirək - kök eksponentdə yalnız "klassik" iki deyil, ixtiyari $n$ ədədi olduqda.

İxtiyari göstərici halı

Beləliklə, biz kvadrat kökləri sıraladıq. Kub olanlarla nə etmək lazımdır? Və ya hətta $n$ ixtiyari dərəcədə kökləri ilə? Bəli, hər şey eynidir. Qayda eyni olaraq qalır:

$n$ dərəcəsinin iki kökünü vurmaq üçün onların radikal ifadələrini çoxaltmaq və nəticəni bir radikalın altına yazmaq kifayətdir.

Ümumiyyətlə, mürəkkəb bir şey yoxdur. Bundan başqa, hesablamaların məbləği daha çox ola bilər. Gəlin bir neçə misala baxaq:

Nümunələr. Məhsulları hesablayın:

Yenə də ikinci ifadəyə diqqət yetirin. Biz kub köklərini çoxaldırıq, onluq kəsrdən xilas oluruq və məxrəcdə 625 və 25 rəqəmlərinin məhsulu ilə nəticələnirik çox sayda- Şəxsən mən onun nəyə bərabər olduğunu dərhal hesablaya bilmirəm.

Beləliklə, biz sadəcə olaraq dəqiq kubu pay və məxrəcdə təcrid etdik və sonra $n$th kökünün əsas xassələrindən (yaxud istəsəniz tərifindən) birini istifadə etdik:

Bu cür "maxinasiyalar" imtahanda və ya vaxtınıza çox qənaət edə bilər sınaq işi, buna görə də unutmayın:

Radikal ifadələrdən istifadə edərək rəqəmləri çoxaltmağa tələsməyin. Birincisi, yoxlayın: hər hansı bir ifadənin dəqiq dərəcəsi orada "şifrələnmişdirsə" necə?

Bu qeydin açıq-aşkar olmasına baxmayaraq, etiraf etməliyəm ki, hazırlıqsız tələbələrin əksəriyyəti dəqiq dərəcələri boşluqda görmürlər. Bunun əvəzinə hər şeyi çoxaldırlar və sonra təəccüblənirlər: niyə belə qəddar rəqəmlər əldə etdilər?

Ancaq bütün bunlar indi öyrənəcəyimizlə müqayisədə körpə söhbətidir.

Müxtəlif eksponentlərlə köklərin vurulması

Yaxşı, indi eyni göstəricilərlə kökləri çoxalda bilərik. Əgər göstəricilər fərqlidirsə? Tutaq ki, adi bir $\sqrt $-ı $\sqrt $ kimi bir axmaqlıqla necə çoxaltmaq olar? Hətta bunu etmək mümkündürmü?

Bəli, əlbəttə edə bilərsiniz. Hər şey bu düstura görə aparılır:

Lakin, bu formula yalnız əgər işləyir radikal ifadələr mənfi deyil. Bu, bir az sonra qayıda biləcəyimiz çox vacib bir qeyddir.

Hələlik bir neçə misala baxaq:

Gördüyünüz kimi, mürəkkəb bir şey yoxdur. İndi qeyri-mənfi tələbin haradan gəldiyini və onu pozsaq nə olacağını anlayaq.

Kökləri çoxaltmaq asandır

Nə üçün radikal ifadələr mənfi olmamalıdır?

Təbii ki, kimi ola bilərsən məktəb müəllimləri və ağıllı bir görünüşlə dərslikdən sitat gətirin:

Qeyri-mənfilik tələbi cüt və tək dərəcələrin köklərinin müxtəlif tərifləri ilə əlaqələndirilir (müvafiq olaraq onların tərif sahələri də müxtəlifdir).

Yaxşı, daha aydın oldu? Şəxsən mən 8-ci sinifdə bu cəfəngiyyatı oxuyanda belə bir şey başa düşdüm: “Mənfi olmama tələbi *#&^@(*#@^#) ilə əlaqələndirilir.

%" - bir sözlə, mən o vaxt heç nə başa düşmədim. :)

İndi hər şeyi normal şəkildə izah edəcəyəm.

Əvvəlcə yuxarıdakı vurma düsturunun haradan gəldiyini öyrənək. Bunun üçün sizə bir şeyi xatırlatmaq istəyirəm mühüm əmlak kök:

Başqa sözlə, radikal ifadəni asanlıqla istənilən təbii gücə $k$ qaldıra bilərik - bu halda kökün göstəricisi eyni gücə vurulmalı olacaq. Buna görə də, hər hansı bir kökü asanlıqla ortaq göstəriciyə endirə bilərik və sonra onları çoxalda bilərik. Çarpma düsturu buradan gəlir:

Ancaq bütün bu düsturların istifadəsini kəskin şəkildə məhdudlaşdıran bir problem var. Bu rəqəmi nəzərə alın:

Bayaq verilən düstura görə istənilən dərəcəni əlavə edə bilərik. $k=2$ əlavə etməyə çalışaq:

Mənfi dəqiqliklə çıxardıq, çünki kvadrat mənfi (hər hansı digər dərəcə kimi) yandırır. İndi tərs çevrilmə həyata keçirək: ikisini eksponent və gücdə “azaldın”. Axı, istənilən bərabərliyi həm soldan sağa, həm də sağdan sola oxumaq olar:

Ancaq sonra bir növ axmaqlıq olduğu ortaya çıxır:

Bu baş verə bilməz, çünki $\sqrt \lt 0$ və $\sqrt \gt 0$. Bu o deməkdir ki, hətta güclər və mənfi ədədlər üçün formulamız artıq işləmir. Bundan sonra iki seçimimiz var:

1. Divara çırpmaq və riyaziyyatın axmaq bir elm olduğunu bildirmək, burada “bəzi qaydalar var, lakin bunlar qeyri-dəqiqdir”;
2. Düsturun 100% işləyəcəyi əlavə məhdudiyyətlər tətbiq edin.

Birinci seçimdə biz daim "işləməyən" halları tutmalı olacağıq - bu, çətin, vaxt aparan və ümumiyyətlə çətin. Ona görə də riyaziyyatçılar ikinci varianta üstünlük verdilər :)

Amma narahat olma! Praktikada bu məhdudiyyət heç bir şəkildə hesablamalara təsir göstərmir, çünki təsvir edilən bütün problemlər yalnız tək dərəcəli köklərə aiddir və onlardan mənfi cəhətlər götürülə bilər.

Buna görə də, ümumiyyətlə kökləri olan bütün hərəkətlərə aid olan daha bir qayda tərtib edək:

Kökləri çoxaltmadan əvvəl, radikal ifadələrin mənfi olmadığından əmin olun.

Misal. $\sqrt$ nömrəsində kök işarəsinin altından minusu silə bilərsiniz - onda hər şey normal olacaq:

Fərqi hiss edirsiniz? Kökün altında mənfi bir işarə qoyursan, o zaman radikal ifadə kvadrata çevrildikdə yox olacaq və pislik başlayacaq. Əgər əvvəlcə mənfini çıxarsanız, o zaman üzünüz mavi olana qədər kvadratı silə bilərsiniz - rəqəm mənfi olaraq qalacaq. :)

Beləliklə, kökləri çoxaltmağın ən düzgün və ən etibarlı yolu aşağıdakılardır:

3. Radikallardan bütün neqativləri çıxarın. Minuslar yalnız tək çoxluqlu köklərdə mövcuddur - onlar kökün önünə yerləşdirilə bilər və lazım olduqda azaldıla bilər (məsələn, bu mənfi cəhətlərdən ikisi varsa).
4. Bugünkü dərsdə yuxarıda müzakirə olunan qaydalara uyğun olaraq vurma əməliyyatını yerinə yetirin. Köklərin göstəriciləri eynidirsə, sadəcə radikal ifadələri çoxaldırıq. Əgər onlar fərqlidirsə, biz \[\sqrt[n]\cdot \sqrt[p] şər düsturundan istifadə edirik. =\sqrt>\cdot ^ >>\].
5. 3.Nəticədən və yaxşı qiymətlərdən həzz alın. :)

Yaxşı? Məşq edək?

Misal 1: İfadəni sadələşdirin:

Bu, ən sadə variantdır: köklər eyni və təkdir, yeganə problem ikinci amilin mənfi olmasıdır. Bu minusu şəkildən çıxarırıq, bundan sonra hər şey asanlıqla hesablanır.

Misal 2: İfadəni sadələşdirin:

Burada çıxışın irrasional bir rəqəm olduğu ortaya çıxdığından çoxları çaşqın olardı. Bəli, belə olur: kökdən tamamilə qurtula bilmədik, amma heç olmasa ifadəni əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirdik.

Misal 3: İfadəni sadələşdirin:

Mən sizin diqqətinizi bu işə cəlb etmək istərdim. Burada iki məqam var:

6. Kök müəyyən bir rəqəm və ya güc deyil, $a$ dəyişənidir. İlk baxışdan bu, bir az qeyri-adi olsa da, əslində, riyazi məsələləri həll edərkən, çox vaxt dəyişənlərlə məşğul olmalısan.
7. Sonda radikal ifadədə radikal göstərici və dərəcəni “azalda” bildik. Bu olduqca tez-tez olur. Və bu o deməkdir ki, əsas düsturdan istifadə etməsəniz, hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirmək mümkün idi.

Məsələn, bunu edə bilərsiniz:

Əslində, bütün transformasiyalar yalnız ikinci radikalla həyata keçirildi. Və bütün aralıq addımları ətraflı təsvir etməsəniz, nəticədə hesablamaların miqdarı əhəmiyyətli dərəcədə azalacaq.

Əslində, biz $\sqrt \cdot \sqrt $ misalını həll edərkən yuxarıda oxşar tapşırıqla artıq qarşılaşdıq. İndi daha sadə yazmaq olar:

8. 2018-ci ildə sərxoş vəziyyətdə sürücülük vəsiqəsindən məhrum etmə. alkoqol intoksikasiyası- ən ciddi qayda pozuntularından biridir trafik. 23 iyul 2013-cü il tarixli 196-FZ Qanunu [...]

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız varsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda sorğu göndərdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik e-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar sizinlə əlaqə saxlamağa və sizə məlumat verməyə imkan verir unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil etmə, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varis üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz əməkdaşlarımıza məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.