GirişEyni mənfi gücə malik iki ədədin vurulması. Gücləri necə çoxaltmaq, gücləri müxtəlif eksponentlərlə vurmaq
Dərəcə formulları mürəkkəb ifadələrin azaldılması və sadələşdirilməsi prosesində, tənliklərin və bərabərsizliklərin həllində istifadə olunur.
Nömrə c edir n- ədədin gücü a Nə vaxt:
Dərəcələrlə əməliyyatlar.
1. Eyni baza ilə dərəcələri vurmaqla onların göstəriciləri əlavə edilir:
a m·a n = a m + n .
2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır:
3. Məhsulun gücü 2 və ya daha çox amillər bu amillərin səlahiyyətlərinin hasilinə bərabərdir:
(abc…) n = a n · b n · c n …
4. Kəsirin dərəcəsi divident və bölən dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:
(a/b) n = a n /b n .
5. Gücü bir gücə yüksəltməklə, eksponentlər vurulur:
(a m) n = a m n .
Yuxarıdakı hər bir düstur soldan sağa və əksinə istiqamətlərdə doğrudur.
Məsələn. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
Köklərlə əməliyyatlar.
1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:
2. Nisbətin kökü divident və köklərin bölən nisbətinə bərabərdir:
3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən radikal rəqəmi bu gücə yüksəltmək kifayətdir:
4. Kökün dərəcəsini artırsanız n bir dəfə və eyni zamanda qurmaq n inci güc radikal bir rəqəmdir, onda kökün dəyəri dəyişməyəcək:
5. Kökün dərəcəsini azaltsanız n eyni zamanda kökü çıxarın n- radikal ədədin ci gücü, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:
Mənfi eksponentli dərəcə. Qeyri-müsbət (tam) göstəricisi olan müəyyən bir ədədin gücü, göstəricisi bərabər olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir. mütləq dəyər qeyri-müsbət göstərici:
Formula a m:a n =a m - nüçün istifadə oluna bilməz m> n, həm də ilə m< n.
Məsələn. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Formula üçün a m:a n =a m - n zaman ədalətli oldu m=n, sıfır dərəcəsinin olması tələb olunur.
Sıfır indeksi olan dərəcə. Sıfır göstəricisi ilə sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədin gücü birə bərabərdir.
Məsələn. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
Kəsrə göstərici ilə dərəcə. Həqiqi rəqəmi artırmaq üçün A dərəcəyə qədər m/n, kökü çıxarmaq lazımdır n ci dərəcə m-bu ədədin gücü A.
Hər bir hesab əməliyyatı bəzən yazmaq üçün çox çətin olur və onu sadələşdirməyə çalışırlar. Bu, bir dəfə əlavə əməliyyatında belə idi. İnsanlar, məsələn, hər biri üçün 3 qızıl sikkə olan yüz fars xalçasının dəyərini hesablamaq üçün eyni növdən təkrar əlavə etməli idilər. 3+3+3+…+3 = 300. Çətin təbiətinə görə qeydi 3 * 100 = 300-ə qədər qısaltmaq qərara alındı. Əslində “üç dəfə yüz” qeydi bir götürmək lazım olduğunu bildirir. yüz üç və onları birlikdə əlavə edin. Çoxalma tutuldu və ümumi populyarlıq qazandı. Lakin dünya bir yerdə dayanmır və orta əsrlərdə eyni tipli təkrar çoxalmanın həyata keçirilməsinə ehtiyac yarandı. Görülmüş işin mükafatı olaraq aşağıdakı miqdarda buğda dənələri istəyən bir adaçayı haqqında köhnə hind tapmacasını xatırlayıram: şahmat taxtasının birinci kvadratı üçün bir taxıl, ikinci üçün - iki, üçüncü üçün - dörd, beşinci üçün - səkkiz və s. Güclərin ilk çarpımı belə ortaya çıxdı, çünki taxılların sayı hüceyrə sayının gücünə ikiyə bərabər idi. Məsələn, sonuncu xanada 2*2*2*...*2 = 2^63 taxıl olardı ki, bu da 18 simvol uzunluğuna bərabərdir, əslində tapmacanın mənası budur.
Eksponentasiya əməliyyatı olduqca tez bir zamanda tutuldu və güclərin toplama, çıxma, bölmə və vurma işlərinin aparılması ehtiyacı da tez bir zamanda ortaya çıxdı. Sonuncunu daha ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər. Güclərin əlavə edilməsi üçün düsturlar sadədir və yadda saxlamaq asandır. Bundan əlavə, güc əməliyyatı çarpma ilə əvəz edilərsə, onların haradan gəldiyini anlamaq çox asandır. Ancaq əvvəlcə bəzi əsas terminologiyanı başa düşməlisiniz. a^b ifadəsi ("a"-nın qüvvəsinə görə oxuyun) o deməkdir ki, a rəqəmi özünə b dəfə vurulmalıdır, "a" gücün əsası, "b" isə güc göstəricisi adlanır. Əgər dərəcələrin əsasları eynidirsə, onda düsturlar olduqca sadə şəkildə alınır. Konkret misal: 2^3 * 2^4 ifadəsinin qiymətini tapın. Nə baş verəcəyini bilmək üçün həllə başlamazdan əvvəl cavabı kompüterdə tapmalısınız. Bu ifadəni istənilən onlayn kalkulyatora, axtarış sisteminə daxil edərək, “müxtəlif əsaslarla və eyni gücləri vurmaq” və ya riyazi paket yazaraq nəticə 128 olacaq. İndi bu ifadəni yazaq: 2^3 = 2*2*2, və 2^4 = 2 *2*2*2. Belə çıxır ki, 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . Belə çıxır ki, eyni bazaya malik güclərin hasili əvvəlki iki gücün cəminə bərabər gücə qaldırılan bazaya bərabərdir.
Bunun qəza olduğunu düşünə bilərsiniz, amma yox: hər hansı digər nümunə yalnız bu qaydanı təsdiqləyə bilər. Beləliklə, in ümumi görünüş formuluna bənzəyir aşağıdakı kimi: a^n * a^m = a^(n+m) . Sıfır gücünə hər hansı bir ədədin birə bərabər olması qaydası da var. Burada mənfi qüvvələr qaydasını xatırlamalıyıq: a^(-n) = 1 / a^n. Yəni 2^3 = 8 olarsa, 2^(-3) = 1/8. Bu qaydadan istifadə edərək a^0 = 1 bərabərliyinin etibarlılığını sübut edə bilərsiniz: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n) , a^ (n) azaldıla bilər və biri qalır. Buradan səlahiyyətlərin bölünməsi qaydası alınır eyni əsaslarla dividend və bölən hissəyə bərabər dərəcədə bu baza bərabərdir: a^n: a^m = a^(n-m) . Misal: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) ifadəsini sadələşdirin. Vurma kommutativ əməliyyatdır, buna görə də əvvəlcə vurma göstəricilərini əlavə etməlisiniz: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Sonra mənfi bir güclə bölünmə ilə məşğul olmalısınız. Dividendin göstəricisindən bölənin göstəricisini çıxmaq lazımdır: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Belə çıxır ki, dərəcəni mənfiyə bölmə əməliyyatı oxşar müsbət göstəriciyə vurma əməliyyatı ilə eynidir. Beləliklə, son cavab 8-dir.
Güclərin qeyri-kanonik çoxalmasının baş verdiyi nümunələr var. Gücləri müxtəlif əsaslarla çoxaltmaq çox vaxt daha çətindir və bəzən hətta qeyri-mümkündür. Müxtəlif mümkün texnikaların bəzi nümunələri verilməlidir. Nümunə: 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 ifadəsini sadələşdirin. Aydındır ki, müxtəlif əsaslarla güclərin vurulması var. Ancaq qeyd etmək lazımdır ki, bütün əsaslar üçünün fərqli səlahiyyətləri var. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. (a^n) ^m = a^(n*m) qaydasından istifadə edərək ifadəni daha rahat formada yenidən yazmalısınız: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11) . Cavab: 3^11. Əsasların fərqli olduğu hallarda a^n * b^n = (a*b) ^n qaydası bərabər göstəricilər üçün işləyir. Məsələn, 3^3 * 7^3 = 21^3. Əks halda, əsaslar və göstəricilər fərqli olduqda, tam vurma həyata keçirilə bilməz. Bəzən kompüter texnologiyasının köməyinə qismən sadələşdirə və ya müraciət edə bilərsiniz.
Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.
Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.
Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər dərəcələriəlavə və ya çıxa bilər.
Beləliklə, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.
Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.
Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.
Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.
Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.
3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.
Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.
Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Çoxalma gücləri
Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.
Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.
Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə formasını alacaq: a 5 b 5 y 3.
Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.
Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Burada 5 vurmanın nəticəsinin gücüdür, 2 + 3-ə bərabərdir, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.
Beləliklə, a n .a m = a m+n .
Bir n üçün a, n-nin gücü qədər bir əmsal kimi qəbul edilir;
Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;
Buna görə də, eyni əsaslara malik olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini əlavə etməklə vurula bilər.
Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.
Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.
1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni
İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi məbləğinə bərabərdir və ya onların kvadratlarının fərqi.
İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.
Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Dərəcələrin bölünməsi
Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.
Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.
Və ya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac(a^5)(a^3)$ kimi görünür. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.
Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..
Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac(yyy)(yy) = y$.
Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.
Güclü ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə misalların həlli nümunələri
1. Göstəriciləri $\frac(5a^4)(3a^2)$ qədər azaldın Cavab: $\frac(5a^2)(3)$.
2. Göstəriciləri $\frac(6x^6)(3x^5)$ azaldın. Cavab: $\frac(2x)(1)$ və ya 2x.
3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 eksponentlərini azaldın və nəticəyə gətirin. ortaq məxrəc.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.
6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.
7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.
8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.
9. (h 3 - 1)/d 4-ü (d n + 1)/saata bölün.
Gücləri necə çoxaltmaq olar? Hansı səlahiyyətləri çoxaltmaq olar, hansını çoxaltmaq olmaz? Bir ədədi gücə necə vurmaq olar?
Cəbrdə gücün hasilini iki halda tapa bilərsiniz:
1) dərəcələr eyni əsaslara malikdirsə;
2) dərəcələr eyni göstəricilərə malik olduqda.
Gücləri eyni əsaslarla vurarkən, əsas eyni qalmalı və eksponentlər əlavə edilməlidir:
Gücləri eyni eksponentlərlə vurarkən ümumi göstərici mötərizədən çıxarıla bilər:
Xüsusi misallardan istifadə edərək gücləri necə çoxaltmağa baxaq.
Vahid eksponentdə yazılmır, lakin gücləri vurarkən nəzərə alırlar:
Çoxaldıqda istənilən sayda güc ola bilər. Yadda saxlamaq lazımdır ki, hərfdən əvvəl vurma işarəsini yazmaq lazım deyil:
İfadələrdə ilk olaraq eksponentasiya edilir.
Bir ədədi bir gücə vurmaq lazımdırsa, əvvəlcə eksponentasiyanı yerinə yetirməlisiniz, sonra isə vurma:
www.algebraclass.ru
Güclərin toplama, çıxma, vurma və bölgüsü
Güclərin toplanması və çıxılması
Aydındır ki, başqa kəmiyyətlər kimi gücə malik ədədlər də əlavə edilə bilər , əlamətləri ilə bir-birinin ardınca əlavə etməklə.
Beləliklə, a 3 və b 2-nin cəmi 3 + b 2-dir.
3 - b n və h 5 -d 4-ün cəmi 3 - b n + h 5 - d 4-dür.
Oranlar eyni dəyişənlərin bərabər dərəcələriəlavə və ya çıxa bilər.
Deməli, 2a 2 və 3a 2-nin cəmi 5a 2-yə bərabərdir.
Bu da aydındır ki, əgər siz iki kvadrat a, üç kvadrat a və ya beş kvadrat a alsanız.
Amma dərəcələr müxtəlif dəyişənlər Və müxtəlif dərəcələr eyni dəyişənlər, işarələri ilə əlavə edilərək tərtib edilməlidir.
Beləliklə, 2 və 3-ün cəmi 2 + a 3-ün cəmidir.
Aydındır ki, a-nın kvadratı və a-nın kubu a-nın kvadratının iki qatına deyil, a-nın iki qatına bərabərdir.
3 b n və 3a 5 b 6-nın cəmi 3 b n + 3a 5 b 6-dır.
Çıxarma səlahiyyətlər əlavə ilə eyni şəkildə həyata keçirilir, istisna olmaqla, əlavələrin əlamətləri müvafiq olaraq dəyişdirilməlidir.
Və ya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Çoxalma gücləri
Güclü ədədləri, digər kəmiyyətlər kimi, onları bir-birinin ardınca yazmaqla, aralarında vurma işarəsi ilə və ya olmadan çoxaltmaq olar.
Beləliklə, a 3-ün b 2-yə vurulmasının nəticəsi 3 b 2 və ya aaabb olur.
Və ya:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Son nümunədəki nəticə eyni dəyişənləri əlavə etməklə sıralana bilər.
İfadə aşağıdakı formanı alacaq: a 5 b 5 y 3.
Bir neçə ədədi (dəyişənləri) güclərlə müqayisə edərək görə bilərik ki, əgər onlardan hər hansı ikisi vurularsa, nəticədə gücü bərabər olan ədəd (dəyişən) olur. məbləğ termin dərəcələri.
Beləliklə, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Burada 5, 2 + 3-ə bərabər olan vurma nəticəsinin gücüdür, şərtlərin səlahiyyətlərinin cəmidir.
Beləliklə, a n .a m = a m+n .
Bir n üçün a, n-nin gücü qədər bir əmsal kimi qəbul edilir;
Və m dərəcəsi m bərabər olduğu qədər əmsal kimi qəbul edilir;
Buna görə də, eyni əsaslara malik olan səlahiyyətlər, səlahiyyətlərin eksponentlərini əlavə etməklə vurula bilər.
Beləliklə, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Və x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Və ya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) çarpın.
Cavab: x 4 - y 4.
(x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) çarpın.
Bu qayda göstəriciləri olan ədədlər üçün də keçərlidir mənfi.
1. Beləliklə, a -2 .a -3 = a -5 . Bunu (1/aa) kimi yazmaq olar.(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
a + b a - b ilə vurularsa, nəticə 2 - b 2 olacaq: yəni
İki ədədin cəmi və ya fərqinin vurulmasının nəticəsi onların kvadratlarının cəminə və ya fərqinə bərabərdir.
İki ədədin cəmini və fərqini çarparsanız kvadrat, nəticə bu ədədlərin cəminə və ya fərqinə bərabər olacaq dördüncü dərəcə.
Beləliklə, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Dərəcələrin bölünməsi
Güclü ədədləri digər ədədlər kimi dividenddən çıxmaqla və ya kəsr şəklində yerləşdirməklə bölmək olar.
Beləliklə, a 3 b 2-nin b 2-yə bölünməsi a 3-ə bərabərdir.
5-in 3-ə bölünməsinin yazılması $\frac kimi görünür $. Amma bu 2-yə bərabərdir. Bir sıra nömrələrdə
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
istənilən ədədi digərinə bölmək olar və göstərici bərabər olacaqdır fərq bölünən ədədlərin göstəriciləri.
Eyni baza ilə dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxarılır..
Beləliklə, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Yəni, $\frac = y$.
Və a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yəni $\frac = a^n$.
Və ya:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
Qayda olan nömrələr üçün də keçərlidir mənfi dərəcə dəyərləri.
-5-in -3-ə bölünməsinin nəticəsi -2-dir.
Həmçinin, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 və ya $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Bu cür əməliyyatlardan cəbrdə çox geniş istifadə olunduğundan, vurma və səlahiyyətlərin bölünməsini çox yaxşı mənimsəmək lazımdır.
Güclü ədədləri ehtiva edən kəsrlərlə misalların həlli nümunələri
1. Göstəriciləri $\frac $ azaldın Cavab: $\frac $.
2. Göstəriciləri $\frac$ azaldın. Cavab: $\frac$ və ya 2x.
3. a 2 /a 3 və a -3 /a -4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
a 2 .a -4 a -2 birinci paydır.
a 3 .a -3 0 = 1, ikinci paydır.
a 3 .a -4 a -1 , ümumi paydır.
Sadələşdirmədən sonra: a -2 /a -1 və 1/a -1 .
4. 2a 4 /5a 3 və 2 /a 4 göstəricilərini azaldın və ortaq məxrəcə gətirin.
Cavab: 2a 3 /5a 7 və 5a 5 /5a 7 və ya 2a 3 /5a 2 və 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4-ü (a - b)/3-ə vurun.
6. (a 5 + 1)/x 2-ni (b 2 - 1)/(x + a) ilə vurun.
7. b 4 /a -2-ni h -3 /x və a n /y -3-ə vurun.
8. 4 /y 3-ü 3 /y 2-yə bölün. Cavab: a/y.
Dərəcənin xüsusiyyətləri
Bu dərsdə başa düşəcəyimizi xatırladırıq dərəcələrin xüsusiyyətləri təbii göstəricilərlə və sıfır. 8-ci sinif dərslərində rasional göstəriciləri olan qüvvələr və onların xassələri müzakirə olunacaq.
Təbii göstərici ilə dərəcə bir neçə var mühüm xassələri, bu, səlahiyyətləri olan nümunələrdə hesablamaları sadələşdirməyə imkan verir.
Əmlak №1
Güclərin məhsulu
Gücləri eyni əsaslarla çoxaldarkən, baza dəyişməz qalır və güclərin eksponentləri əlavə olunur.
a m · a n = a m + n, burada “a” istənilən ədəddir, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.
Səlahiyyətlərin bu xüsusiyyəti üç və ya daha çox səlahiyyətlərin hasilinə də aiddir.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Nəzərə alın ki, göstərilən əmlakda biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin çoxaldılmasından danışdıq. Onların əlavə edilməsinə şamil edilmir.
Cəmi (3 3 + 3 2) 3 5 ilə əvəz edə bilməzsiniz. Bu başa düşüləndir, əgər
(3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 və 3 5 = 243 hesablayın
Əmlak № 2
Qismən dərəcələr
Gücləri eyni əsaslarla bölərkən, əsas dəyişməz qalır və bölücünün eksponenti dividend göstəricisindən çıxarılır.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Misal. Tənliyi həll edin. Biz bölmə səlahiyyətlərinin xassəsindən istifadə edirik.
3 8: t = 3 4
Cavab: t = 3 4 = 81
1 və 2 nömrəli xassələrdən istifadə etməklə siz ifadələri asanlıqla sadələşdirə və hesablamalar apara bilərsiniz.
- Misal. İfadəni sadələşdirin.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Misal. Göstəricilərin xassələrindən istifadə edərək ifadənin qiymətini tapın.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Nəzərə alın ki, Əmlak 2-də biz yalnız eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsindən danışdıq.
Siz fərqi (4 3 −4 2) 4 1 ilə əvəz edə bilməzsiniz. (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 və 4 1 = 4 hesablasanız, bu başa düşüləndir.
Əmlak №3
Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək
Bir dərəcəni bir gücə qaldırarkən dərəcənin əsası dəyişməz qalır və eksponentlər vurulur.
(a n) m = a n · m, burada “a” istənilən ədəddir, “m”, “n” isə istənilən natural ədəddir.
Nəzərə alın ki, dərəcələrin digər xassələri kimi 4 nömrəli əmlak da tərs qaydada tətbiq edilir.
(a n · b n)= (a · b) n
Yəni, eyni eksponentlərlə gücləri çoxaltmaq üçün əsasları çoxalda bilərsiniz, lakin eksponenti dəyişməz buraxın.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Daha çox mürəkkəb nümunələr Elə hallar ola bilər ki, vurma və bölmə müxtəlif əsaslara malik güclər üzərində yerinə yetirilməlidir müxtəlif göstəricilər. Bu halda sizə aşağıdakıları etməyi məsləhət görürük.
Məsələn, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Onluğu bir gücə yüksəltməyə nümunə.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Xüsusiyyətlər 5
Hissənin gücü (kəsirin)
Bölməni bir gücə yüksəltmək üçün dividend və bölücü ayrı-ayrılıqda bu gücə qaldıra və birinci nəticəni ikinciyə bölmək olar.
(a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” hər hansı rasional ədədlərdir, b ≠ 0, n - istənilən natural ədəddir.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Xatırladırıq ki, hissə kəsr kimi göstərilə bilər. Ona görə də biz növbəti səhifədə kəsri gücə qaldırmaq mövzusu üzərində daha ətraflı dayanacağıq.
Güclər və köklər
Güclər və köklərlə əməliyyatlar. Mənfi ilə dərəcə ,
sıfır və kəsr göstərici. Heç bir mənası olmayan ifadələr haqqında.
Dərəcələrlə əməliyyatlar.
1. Eyni əsaslı dərəcələri vurarkən onların göstəriciləri əlavə edilir:
a m · a n = a m + n .
2. Eyni əsaslı dərəcələri bölərkən onların göstəriciləri çıxılır .
3. İki və ya daha çox amillərin hasilinin dərəcəsi bu amillərin dərəcələrinin hasilinə bərabərdir.
4. Nisbətin (kəsrin) dərəcəsi dividend (sayı) və bölücü (məxrəc) dərəcələrinin nisbətinə bərabərdir:
(a/b) n = a n / b n .
5. Qüvvəti bir gücə qaldırarkən, onların göstəriciləri vurulur:
Yuxarıdakı bütün düsturlar hər iki istiqamətdə soldan sağa və əksinə oxunur və icra olunur.
NÜMUNƏ (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Köklərlə əməliyyatlar. Aşağıdakı bütün düsturlarda simvol deməkdir arifmetik kök(radikal ifadə müsbətdir).
1. Bir neçə amillərin hasilinin kökü bu amillərin köklərinin hasilinə bərabərdir:
2. Nisbətin kökü divident və bölən köklərinin nisbətinə bərabərdir:
3. Bir qüdrətə kök qaldırarkən, bu gücə yüksəltmək kifayətdir radikal sayı:
4. Əgər kökün dərəcəsini m dəfə artırsanız və eyni zamanda radikal ədədi m-ci dərəcəyə qaldırsanız, onda kökün qiyməti dəyişməyəcək:
5. Əgər kökün dərəcəsini m dəfə azaltsanız və eyni zamanda radikal ədədin m-ci kökünü çıxarsanız, kökün qiyməti dəyişməyəcək:
Dərəcə anlayışının genişləndirilməsi. İndiyə qədər dərəcələri yalnız təbii göstəricilərlə nəzərdən keçirdik; lakin səlahiyyətləri və kökləri ilə əməliyyatlar da gətirib çıxara bilər mənfi, sıfır Və fraksiyalı göstəricilər. Bütün bu göstəricilər əlavə tərif tələb edir.
Mənfi eksponentli dərəcə. Mənfi (tam) eksponentli müəyyən bir ədədin gücü, mənfi eksponentin mütləq qiymətinə bərabər olan göstəricisi olan eyni ədədin gücünə bölünməsi kimi müəyyən edilir:
İndi formula a m : a n = a m - nüçün istifadə oluna bilməz m, daha çox n, həm də ilə m, azdır n .
NÜMUNƏ a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Formulunu istəsək a m : a n = a m — n zaman ədalətli idi m = n, sıfır dərəcəsinin tərifinə ehtiyacımız var.
Sıfır indeksi olan dərəcə. Sıfırdan fərqli, eksponenti sıfır olan istənilən ədədin gücü 1-dir.
NÜMUNƏLƏR. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Kəsrə göstərici ilə dərəcə. Həqiqi a ədədini m / n gücünə qaldırmaq üçün bu a ədədinin m-ci gücünün n-ci kökünü çıxarmaq lazımdır:
Heç bir mənası olmayan ifadələr haqqında. Bir neçə belə ifadə var.
Harada a ≠ 0 , mövcud deyil.
Əslində, bunu fərz etsək x müəyyən bir ədəddir, onda bölmə əməliyyatının tərifinə uyğun olaraq bizdə: a = 0· x, yəni. a= 0, bu şərtə ziddir: a ≠ 0
— istənilən nömrə.
Əslində bu ifadənin hansısa ədədə bərabər olduğunu fərz etsək x, onda bölmə əməliyyatının tərifinə görə bizdə: 0 = 0 · x. Amma bu bərabərlik o zaman baş verir istənilən x rəqəmi sübut edilməli olan şey idi.
0 0 — istənilən nömrə.
Həll üç əsas halı nəzərdən keçirək:
1) x = 0 – bu qiymət bu tənliyi təmin etmir
2) nə vaxt x> 0 alırıq: x/x= 1, yəni. 1 = 1 deməkdir
Nə x- istənilən nömrə; lakin bunu nəzərə alaraq
bizim vəziyyətimizdə x> 0, cavab budur x > 0 ;
Güclərin müxtəlif əsaslarla vurulması qaydaları
RATİONAL GÖSTƏRİŞLİ DƏRƏCƏ,
GÜÇ FUNKSİYASI IV
§ 69. Eyni əsaslarla səlahiyyətlərin vurulması və bölünməsi
Teorem 1. Gücləri eyni əsaslarla çoxaltmaq üçün eksponentləri əlavə etmək və bazanı eyni qoymaq kifayətdir, yəni.
Sübut. Dərəcənin tərifinə görə
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
İki gücün məhsuluna baxdıq. Əslində, sübut edilmiş xüsusiyyət eyni əsaslara malik istənilən sayda səlahiyyətlər üçün doğrudur.
Teorem 2. Səlahiyyətləri eyni əsaslarla bölmək üçün dividend indeksi bölən indeksindən böyük olduqda, dividend indeksindən bölən indeksini çıxarmaq və bazanı eyni şəkildə qoymaq kifayətdir, yəni. saat t > səh
(a =/= 0)
Sübut. Xatırladaq ki, bir ədədi digərinə bölmək əmsalı, bölücü ilə vurulduqda divident verən ədəddir. Buna görə də düsturu harada sübut edin a =/= 0, düsturu sübut etməklə eynidir
Əgər t > səh , sonra nömrə t - səh təbii olacaq; buna görə də 1-ci teoremlə
Teorem 2 sübut edilmişdir.
Qeyd etmək lazımdır ki, formula
biz bunu yalnız bir fərziyyə ilə sübut etdik t > səh . Buna görə də, sübut edilənlərdən, məsələn, aşağıdakı nəticələr çıxarmaq hələ mümkün deyil:
Bundan əlavə, biz hələ mənfi göstəriciləri olan dərəcələri nəzərdən keçirməmişik və 3 ifadəsinə hansı məna verilə biləcəyini hələ bilmirik. - 2 .
Teorem 3. Bir dərəcəni bir gücə yüksəltmək üçün dərəcənin əsasını eyni qoyaraq eksponentləri çoxaltmaq kifayətdir., yəni
Sübut. Bu bölmənin 1-ci teoremindən və dərəcə tərifindən istifadə edərək əldə edirik:
Q.E.D.
Məsələn, (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (şifahi) Müəyyən edin X tənliklərdən:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .
519. (Nömrəni təyin edin) Sadələşdirin:
520. (Nömrəni təyin edin) Sadələşdirin:
521. Bu ifadələri eyni əsaslarla dərəcələr şəklində təqdim edin:
1) 32 və 64; 3) 8 5 və 16 3; 5) 4 100 və 32 50;
2) -1000 və 100; 4) -27 və -243; 6) 81 75 8 200 və 3 600 4 150.
Mövzuya dair dərs: "Eyni və fərqli göstəricilərlə gücün vurulması və bölünməsi qaydaları. Nümunələr"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
7-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
Dərslik üçün dərslik Yu.N. Makarycheva dərsliyi A.G. Mordkoviç
Dərsin məqsədi: ədədlərin səlahiyyətləri ilə əməliyyatları yerinə yetirməyi öyrənin.
Əvvəlcə "rəqəmin gücü" anlayışını xatırlayaq. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ formasının ifadəsi $a^n$ kimi göstərilə bilər.
Bunun əksi də doğrudur: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.
Bu bərabərlik “dərəcənin məhsul kimi qeyd edilməsi” adlanır. Bu, gücləri necə çoxaltmaq və bölmək lazım olduğunu müəyyən etməyə kömək edəcək.
Unutmayın:
a– dərəcənin əsası.
n- eksponent.
Əgər n=1 sayı deməkdir A bir dəfə aldı və müvafiq olaraq: $a^n= 1$.
Əgər n= 0, sonra $a^0= 1$.
Bunun niyə baş verdiyini güclərin vurulması və bölünməsi qaydaları ilə tanış olduqda öyrənə bilərik.
Çoxalma qaydaları
a) Eyni bazaya malik güclər vurularsa.$a^n * a^m$ almaq üçün dərəcələri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Şəkil rəqəmi göstərir A aldı n+m dəfə, sonra $a^n * a^m = a^(n + m)$.
Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
Bu əmlak rəqəmi daha yüksək gücə qaldırarkən işi asanlaşdırmaq üçün istifadə etmək üçün əlverişlidir.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) Fərqli əsaslara malik dərəcələr, lakin eyni göstərici vurulursa.
$a^n * b^n$ almaq üçün dərəcələri hasil olaraq yazırıq: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Faktorları dəyişdirib nəticədə yaranan cütləri saysaq, alarıq: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
Beləliklə, $a^n * b^n= (a * b)^n$.
Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
Bölmə qaydaları
a) Dərəcənin əsası eynidir, göstəricilər müxtəlifdir.Daha kiçik eksponentli gücü bölmək yolu ilə daha böyük eksponentli gücü bölməyi düşünün.
Deməli, bizə lazımdır $\frac(a^n)(a^m)$, Harada n>m.
Dərəcələri kəsr kimi yazaq:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
Rahatlıq üçün bölməni sadə kəsr kimi yazırıq.İndi kəsri azaldaq.
Belə çıxır: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
O deməkdir ki, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
Bu əmlak bir nömrənin artırılması ilə vəziyyəti izah etməyə kömək edəcəkdir sıfır dərəcə. Fərz edək ki n=m, onda $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.
Nümunələr.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) Dərəcənin əsasları müxtəlif, göstəriciləri eynidir.
Tutaq ki, $\frac(a^n)( b^n)$ lazımdır. Ədədlərin səlahiyyətlərini kəsr kimi yazaq:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
Rahatlıq üçün təsəvvür edək.
Kəsrin xassəsindən istifadə edərək böyük kəsri kiçiklərin hasilinə bölürük, alırıq.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Müvafiq olaraq: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.
Misal.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.