Altıbucaqlının radiusu nədir? Adi altıbucaqlı: niyə maraqlıdır və onu necə qurmaq olar

Çoxbucaqlılar mövzusu məktəb proqramında nəzərdə tutulur, lakin buna kifayət qədər diqqət yetirilmir. Bu arada, maraqlıdır və bu, xüsusilə adi altıbucaqlı və ya altıbucaqlı üçün doğrudur - axırda bir çox təbii obyektlər bu forma malikdir. Bunlara bal pətəkləri və daha çox şey daxildir. Bu forma praktikada çox yaxşı işləyir.

Tərif və tikinti

Düzgün altıbucaqlı, altı tərəfi bərabər uzunluğa və eyni sayda bərabər bucaqlara malik olan müstəvi fiqurdur.

Çoxbucaqlının bucaqlarının cəminin düsturunu xatırlasaq

belə çıxır ki, bu rəqəmdə 720°-yə bərabərdir. Yaxşı, fiqurun bütün bucaqları bərabər olduğundan, onların hər birinin 120 ° -ə bərabər olduğunu hesablamaq asandır.

Altıbucaqlı çəkmək çox sadədir, sizə lazım olan tək şey kompas və hökmdardır.

Addım-addım təlimatlar belə görünəcək:

İstəyirsinizsə, bərabər radiuslu beş dairə çəkərək xəttsiz edə bilərsiniz.

Beləliklə alınan rəqəm müntəzəm altıbucaqlı olacaq və bunu aşağıda sübut etmək olar.

Xüsusiyyətləri sadə və maraqlıdır

Müntəzəm altıbucaqlının xüsusiyyətlərini başa düşmək üçün onu altı üçbucağa bölmək məntiqlidir:

Bu, gələcəkdə xüsusiyyətlərini daha aydın göstərməyə kömək edəcək, bunlardan başlıcaları:

1. dairəvi diametri;
2. yazılmış dairənin diametri;
3. kvadrat;
4. perimetri.

Məhdud dairə və konstruktivlik

Bir dairə altıbucaqlı ətrafında təsvir edilə bilər və yalnız bir. Bu rəqəm müntəzəm olduğundan, bunu olduqca sadə edə bilərsiniz: içəridə iki bitişik küncdən bir bisektor çəkin. O nöqtəsində kəsişirlər və aralarındakı tərəflə birlikdə üçbucaq əmələ gətirirlər.

Altıbucaqlı tərəfi ilə bissektrisalar arasındakı bucaqlar 60° olacaq, ona görə də qətiliklə deyə bilərik ki, üçbucaq, məsələn, AOB, ikitərəflidir. Üçüncü bucaq da 60°-yə bərabər olacağı üçün o da bərabərtərəflidir. Buradan belə nəticə çıxır ki, OA və OB seqmentləri bərabərdir, yəni onlar dairənin radiusu kimi xidmət edə bilər.

Bundan sonra, növbəti tərəfə keçə bilərsiniz, həmçinin C nöqtəsində bucaqdan bir bisektor çəkə bilərsiniz. Nəticə başqa bərabərtərəfli üçbucaq olacaq və AB tərəfi hər ikisi üçün ümumi olacaq və OS eyni dairənin keçdiyi növbəti radius olacaq. Cəmi altı belə üçbucaq olacaq və onların O nöqtəsində ümumi təpəsi olacaq. Belə çıxır ki, çevrəni təsvir etmək mümkün olacaq və ondan yalnız biri var və onun radiusu tərəfinə bərabərdir. altıbucaqlı:

Məhz buna görə də bu rəqəmi kompas və xətkeşdən istifadə etməklə qurmaq mümkündür.

Yaxşı, bu dairənin sahəsi standart olacaq:

Yazılı dairə

Dairənin mərkəzi yazılmış dairənin mərkəzi ilə üst-üstə düşəcək. Bunu yoxlamaq üçün O nöqtəsindən altıbucaqlının yanlarına perpendikulyar çəkə bilərsiniz. Onlar altıbucaqlını təşkil edən üçbucaqların hündürlükləri olacaq. Və ikitərəfli üçbucaqda hündürlük dayandığı tərəfə görə ortadır. Beləliklə, bu hündürlük içə çəkilmiş dairənin radiusu olan perpendikulyar bisektordan başqa bir şey deyil.

Bərabər üçbucağın hündürlüyü sadə hesablanır:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

Və R=a və r=h olduğundan belə çıxır ki

r=R(√3)/2.

Beləliklə, dairəvi düz altıbucaqlının tərəflərinin mərkəzlərindən keçir.

Onun sahəsi olacaq:

S=3πa²/4,

yəni təsvir edilənin dörddə üçü.

Perimetr və sahə

Perimetrlə hər şey aydındır, bu, tərəflərin uzunluqlarının cəmidir:

P=6a, və ya P=6R

Lakin sahə altıbucaqlının bölünə biləcəyi bütün altı üçbucağın cəminə bərabər olacaq. Üçbucağın sahəsi təməl və hündürlüyün məhsulunun yarısı kimi hesablandığı üçün:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 və ya

S=3R²(√3)/2

Bu sahəni yazılmış dairənin radiusu ilə hesablamaq istəyənlər bunu edə bilərlər:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Əyləncəli konstruksiyalar

Üçbucağı altıbucaqlıya yerləşdirə bilərsiniz, bunun tərəfləri təpələri birindən birləşdirəcək:

Onlardan cəmi ikisi olacaq və onların üst-üstə düşməsi Davud Ulduzu verəcək. Bu üçbucaqların hər biri bərabərtərəflidir. Bunu yoxlamaq çətin deyil. AC tərəfinə baxsanız, o, eyni anda iki üçbucağa aiddir - BAC və AEC. Əgər onlardan birincisində AB = BC və aralarındakı bucaq 120° olarsa, qalanların hər biri 30° olacaqdır. Buradan məntiqi nəticələr çıxara bilərik:

1. sin30°=1/2 olduğundan, B təpəsindən ABC hündürlüyü altıbucaqlı tərəfinin yarısına bərabər olacaq. Bunu yoxlamaq istəyənlərə Pifaqor teoremindən istifadə edərək yenidən hesablamaları tövsiyə etmək olar;
2. AC tərəfi, eyni teoremdən istifadə edərək yenidən hesablanan daxili dairənin iki radiusuna bərabər olacaqdır. Yəni AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. ABC, CDE və AEF üçbucaqları iki tərəfdə və aralarındakı bucaqda bərabərdir və buradan belə nəticə çıxır ki, AC, CE və EA tərəfləri bərabərdir.

Bir-birini kəsən üçbucaqlar yeni altıbucaqlı əmələ gətirir və o da nizamlıdır. Bu, sadəcə olaraq sübut olunur:

Beləliklə, rəqəm müntəzəm altıbucaqlının xüsusiyyətlərinə cavab verir - altı var bərabər tərəflər və künclər. Təpələrdəki üçbucaqların bərabərliyindən yeni altıbucaqlının yan uzunluğunu asanlıqla çıxarmaq olar:

d=a(√3)/3

O, həmçinin onun ətrafında təsvir edilən dairənin radiusu olacaq. Yazılı radius ABC üçbucağını nəzərdən keçirərkən sübut edilmiş böyük altıbucaqlının tərəfinin yarısı qədər olacaq. Onun hündürlüyü tərəfin tam yarısıdır, buna görə də ikinci yarısı kiçik altıbucaqlıda yazılmış dairənin radiusudur:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Məlum olub ki, Davud Ulduzunun içindəki altıbucaqlının sahəsi ulduzun yazıldığı böyükdən üç dəfə kiçikdir.

Nəzəriyyədən praktikaya

Altıbucaqlının xüsusiyyətləri həm təbiətdə, həm də insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində çox fəal şəkildə istifadə olunur. Əvvəla, bu, boltlar və qoz-fındıqlara aiddir - birinci və ikincinin başları adi altıbucaqlıdan başqa bir şey deyil, əgər paxları nəzərə almasanız. Açarların ölçüsü yazılmış dairənin diametrinə, yəni əks kənarlar arasındakı məsafəyə uyğundur.

Altıbucaqlı plitələr də öz tətbiqini tapdı. Dördbucaqlıdan daha az yayılmışdır, lakin onu qoymaq daha rahatdır: üç plitə dörd deyil, bir nöqtədə görüşür. Kompozisiyalar çox maraqlı ola bilər:

Səki üçün beton plitələr də istehsal olunur.

Təbiətdə altıbucaqlıların yayılması sadəcə olaraq izah olunur. Beləliklə, dairələr və toplar eyni diametrə malikdirsə, onları bir müstəvidə sıx şəkildə yerləşdirmək ən asandır. Buna görə pətəklər bu formaya malikdir.

Adi altıbucağın necə göründüyünü bilirsinizmi?
Bu sual təsadüfən verilməyib. 11-ci sinif şagirdlərinin əksəriyyəti bunun cavabını bilmir.

Düzgün altıbucaqlı, bütün tərəflərin bərabər olduğu və bütün bucaqların da bərabər olduğu bir altıbucaqlıdır..

Dəmir qoz. Qar dənəciyi. Arıların yaşadığı bir pətək hüceyrəsi. Benzol molekulu. Bu obyektlərin ümumi nələri var? - Onların hamısının müntəzəm altıbucaqlı forması olması.

Bir çox məktəbli adi altıbucaqlı ilə bağlı problemləri görəndə çaşqın olur və onların həlli üçün bəzi xüsusi düsturların lazım olduğuna inanır. Bu doğrudurmu?

Normal altıbucaqlının diaqonallarını çəkək. Altı bərabərtərəfli üçbucaq aldıq.

Bilirik ki, düzgün üçbucağın sahəsi: .

Sonra müntəzəm altıbucaqlının sahəsi altı dəfə böyükdür.

Müntəzəm altıbucaqlının tərəfi haradadır.

Nəzərə alın ki, müntəzəm altıbucaqlıda onun mərkəzindən təpələrdən hər hansı birinə olan məsafə eynidir və müntəzəm altıbucaqlının tərəfinə bərabərdir.

Bu o deməkdir ki, nizamlı altıbucaqlı ətrafında çevrələnmiş dairənin radiusu onun tərəfinə bərabərdir.
Düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapmaq çətin deyil.
Bu bərabərdir.
İndi hər hansı bir problemi asanlıqla həll edə bilərsiniz Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqları, burada müntəzəm altıbucaqlı görünür.

Yanı olan düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu tapın.

Belə bir dairənin radiusu bərabərdir.

Cavab: .

Radiusu 6 olan dairənin içinə yazılmış düzgün altıbucaqlının tərəfi hansıdır?

Bilirik ki, müntəzəm altıbucaqlının tərəfi onun ətrafına çəkilmiş dairənin radiusuna bərabərdir.

Dörddən çox küncü olan ən məşhur fiqur müntəzəm altıbucaqlıdır. Həndəsədə tez-tez məsələlərdə istifadə olunur. Həyatda isə bal pətəkləri kəsildikdə məhz belə görünür.

Səhvdən nə ilə fərqlənir?

Birincisi, altıbucaqlı 6 təpəsi olan bir fiqurdur. İkincisi, konveks və ya konkav ola bilər. Birincisi dörd təpənin digər ikisindən keçən düz xəttin bir tərəfində olması ilə fərqlənir.

Üçüncüsü, müntəzəm altıbucaqlı, bütün tərəflərinin bərabər olması ilə xarakterizə olunur. Üstəlik, rəqəmin hər küncü də eyni məna daşıyır. Bütün bucaqlarının cəmini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə etməlisiniz: 180º * (n - 2). Burada n rəqəmin təpələrinin sayıdır, yəni 6. Sadə hesablama 720º qiyməti verir. Yəni hər bucaq 120 dərəcəyə bərabərdir.

IN gündəlik fəaliyyətlər qar dənəciyi və qozda müntəzəm altıbucaqlı olur. Kimyaçılar bunu hətta benzol molekulunda da görürlər.

Problemləri həll edərkən hansı xüsusiyyətləri bilmək lazımdır?

Yuxarıda göstərilənlərə əlavə edilməlidir:

• mərkəzdən çəkilmiş fiqurun diaqonalları onu bərabərtərəfli olan altı üçbucağa ayırır;
• müntəzəm altıbucaqlının tərəfi onun ətrafında əhatə olunmuş dairənin radiusu ilə üst-üstə düşən qiymətə malikdir;
• Belə bir rəqəmdən istifadə edərək, təyyarəni doldurmaq mümkündür və onların arasında heç bir boşluq olmayacaq və üst-üstə düşməyəcəkdir.

Təqdim edilmiş təyinatlar

Ənənəvi olaraq, müntəzəm həndəsi fiqurun tərəfi təyin olunur Latın hərfi"A". Problemləri həll etmək üçün sahə və perimetr də tələb olunur, bunlar müvafiq olaraq S və P-dir. Dairə müntəzəm altıbucaqlıya yazıla və ya onun ətrafında təsvir edilə bilər. Sonra onların radiusları üçün dəyərlər daxil edilir. Onlar müvafiq olaraq r və R hərfləri ilə təyin olunur.

Bəzi düsturlara daxili bucaq, yarım perimetr və apotem (poliqonun mərkəzindən istənilən tərəfin ortasına perpendikulyar olan) daxildir. Onlar üçün istifadə olunan hərflər bunlardır: α, р, m.

Fiqurları təsvir edən düsturlar

Daxil edilmiş dairənin radiusunu hesablamaq üçün aşağıdakılara ehtiyacınız olacaq: r = (a * √3) / 2, r = m ilə. Yəni eyni düstur apotem üçün də olacaq.

Altıbucaqlının perimetri bütün tərəflərin cəmi olduğundan o, aşağıdakı kimi təyin olunacaq: P = 6 * a. Yan tərəfin yazılan dairənin radiusuna bərabər olduğunu nəzərə alaraq, perimetr üçün düzgün altıbucaqlı üçün aşağıdakı düstur var: P = 6 * R. İçi çəkilmiş dairənin radiusu üçün veriləndən, a və r arasında əlaqə yaranır. Sonra düstur aşağıdakı formanı alır: P = 4 r * √3.

Müntəzəm altıbucaqlının sahəsi üçün aşağıdakılar faydalı ola bilər: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Tapşırıqlar

№ 1. Vəziyyət. Hər bir kənarı 4 sm olan müntəzəm altıbucaqlı prizma var, onun həcmini tapmaq lazımdır.

Həll. Silindr həcmi baza sahəsi və hündürlüyün məhsulu kimi müəyyən edilir. Sonuncu prizmanın kənarı ilə üst-üstə düşür. Və müntəzəm altıbucaqlının tərəfinə bərabərdir. Yəni silindrin hündürlüyü də 4 sm-dir.

Onun əsasının sahəsini tapmaq üçün altıbucaqlıda yazılmış dairənin radiusunu hesablamaq lazımdır. Bunun üçün formula yuxarıda verilmişdir. Bu, r = 2√3 (sm) deməkdir. Sonra dairənin sahəsi: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (sm 2).

Cavab verin. V = 150,72 sm 3.

№ 2. Vəziyyət. Düzgün altıbucaqlıya daxil edilmiş dairənin radiusunu hesablayın. Məlumdur ki, onun tərəfi √3 sm-dir, onun perimetri nəyə bərabər olacaq?

Həll. Bu problem aşağıdakı düsturlardan ikisinin istifadəsini tələb edir. Üstəlik, onları hətta dəyişdirmədən tətbiq etmək lazımdır, sadəcə tərəfin dəyərini əvəz etmək və hesablamaq lazımdır.

Beləliklə, yazılmış dairənin radiusu 1,5 sm-ə bərabərdir, perimetr üçün aşağıdakı dəyər düzgündür: 6√3 sm.

Cavab verin. r = 1,5 sm, P = 6√3 sm.

№ 3. Vəziyyət. Dairənin radiusu 6 sm-dir, bu halda düz altıbucaqlının tərəfi hansı qiymətə malik olacaq?

Həll. Altıbucaqlıya yazılmış bir dairənin radiusunun düsturundan asanlıqla tərəfi hesablamaq üçün lazım olanı əldə etmək olar. Radiusun ikiyə vurulduğu və üçün kökünə bölündüyü aydındır. Məxrəcdəki irrasionallıqdan qurtulmaq lazımdır. Buna görə də, hərəkətlərin nəticəsi aşağıdakı formanı alır: (12 √3) / (√3 * √3), yəni 4√3.

Cavab verin. a = 4√3 sm.

Riyazi xassələri

Müntəzəm altıbucaqlının xüsusiyyəti onun tərəfinin və dairənin radiusunun bərabərliyidir, çünki

Bütün bucaqlar 120°-ə bərabərdir.

Yazılı dairənin radiusu bərabərdir:

Düzgün altıbucaqlının perimetri:

Müntəzəm altıbucağın sahəsi düsturlarla hesablanır:

Altıbucaqlılar bir təyyarəyə plitələr qoyurlar, yəni boşluqlar və ya üst-üstə düşmələr olmadan bir təyyarəni doldura bilər, sözdə parket meydana gətirirlər.

Altıbucaqlı parket (altıbucaqlı parket)- yan-yana yerləşən bərabər nizamlı altıbucaqlı təyyarənin kirəmitlənməsi.

Altıbucaqlı parket üçbucaqlı parketdən ikiqatdır: bitişik altıbucaqlıların mərkəzlərini birləşdirsəniz, çəkilmiş seqmentlər üçbucaqlı parket verəcəkdir. Altıbucaqlı parket üçün Schläfli simvolu (6,3)-dir, yəni parketin hər təpəsində üç altıbucaqlı birləşir.

Altıbucaqlı parket bir təyyarədə dairələrin ən sıx qablaşdırılmasıdır. İki ölçülü Evklid məkanında ən yaxşı doldurma dairələrin mərkəzlərini müntəzəm altıbucaqlılardan əmələ gələn parketin təpələrində yerləşdirməkdir, burada hər bir dairə altı başqa dairə ilə əhatə olunmuşdur. Bu paketin sıxlığı .

1940-cı ildə bu qablaşdırmanın ən sıx olduğu sübut olundu.

Bir tərəfi olan müntəzəm altıbucaqlı universal bir örtükdür, yəni hər hansı bir diametr dəsti bir tərəfi olan müntəzəm altıbucaqlı ilə örtülə bilər (Pala lemması).

Bir kompas və hökmdardan istifadə edərək müntəzəm altıbucaqlı qurmaq olar. Aşağıda Euclid tərəfindən Elementlər, Kitab IV, Teorem 15 tərəfindən təklif olunan tikinti üsulu verilmişdir.

Təbiətdə, texnologiyada və mədəniyyətdə müntəzəm altıbucaqlı

təyyarənin nizamlı altıbucaqlılara bölünməsini göstərin. Altıbucaqlı forma digərlərindən daha çox divarlara qənaət etməyə imkan verir, yəni bu cür hüceyrələrlə bal pətəklərinə daha az mum sərf olunacaq. Bəzi mürəkkəb kristallar və molekullar

Buludlardakı mikroskopik su damcıları toz hissəciklərinə çəkilib donduqda əmələ gəlir. İlkin olaraq diametri 0,1 mm-dən çox olmayan görünən buz kristalları onların üzərində havadan nəmin kondensasiyası nəticəsində aşağı düşür və böyüyür. Bu, altıbucaqlı kristal formalar yaradır. Su molekullarının quruluşuna görə kristalın şüaları arasında yalnız 60° və 120° bucaqlar mümkündür. Əsas su kristalı müstəvidə müntəzəm altıbucaqlı formaya malikdir. Sonra belə bir altıbucaqlının təpələrinə yeni kristallar, yeniləri isə onların üzərinə çökdürülür və qar dənəciyi ulduzlarının müxtəlif formaları belə alınır.

Oksford Universitetinin alimləri laboratoriya şəraitində belə altıbucaqlının görünüşünü simulyasiya edə biliblər. Bu formalaşmanın necə baş verdiyini öyrənmək üçün tədqiqatçılar fırlanan masanın üzərinə 30 litrlik bir şüşə su qoydular. O, Saturnun atmosferini və onun normal fırlanmasını simulyasiya etdi. İçəridə alimlər konteynerdən daha sürətli fırlanan kiçik halqalar yerləşdiriblər. Bu, eksperimentatorların yaşıl boyadan istifadə edərək vizuallaşdırdıqları miniatür burulğanlar və jetlər yaratdı. Üzük nə qədər sürətli fırlanırsa, burulğanlar bir o qədər böyük olur və yaxınlıqdakı axının dairəvi formasından kənara çıxmasına səbəb olur. Bu yolla eksperiment müəllifləri müxtəlif formalar - ovallar, üçbucaqlar, kvadratlar və təbii ki, arzu olunan altıbucaqlıları əldə etməyə nail olublar.

Qədim vulkan püskürməsi nəticəsində əmələ gələn təxminən 40.000 bir-birinə bağlı bazalt (daha az andezit) sütunlarından ibarət təbii abidə. Şimal-şərqdə yerləşir Şimali İrlandiya Bushmills şəhərindən 3 km şimalda.

Sütunların zirvələri uçurumun ətəyindən başlayan və dəniz səthinin altında yoxa çıxan bir növ tramplin əmələ gətirir. Sütunların əksəriyyəti altıbucaqlıdır, bəzilərində dörd, beş, yeddi və səkkiz künc var. Ən hündür sütunun hündürlüyü təxminən 12 m-dir.

Təxminən 50-60 milyon il əvvəl, Paleogen dövründə, ərimiş bazalt geniş lava yaylaları yaratmaq üçün çöküntülərə nüfuz etdiyi üçün Antrim sahəsi intensiv vulkanik fəaliyyətə məruz qaldı. Maddə sürətlə soyuduqca maddənin həcmi azalır (palçıq quruyanda da oxşar hal müşahidə olunur). Horizontal sıxılma xarakterik altıbucaqlı sütun quruluşu ilə nəticələndi.

Qozun kəsişməsi müntəzəm altıbucaqlı formaya malikdir.