Qual è il limite di una funzione in parole semplici. Limite della funzione di Cauchy

Quando si calcolano i limiti, è necessario tenerne conto le seguenti regole fondamentali:

1. Limite della somma (differenza) delle funzioni pari alla somma(differenze) dei limiti dei termini:

2. Il limite di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti dei fattori:

3. Il limite del rapporto tra due funzioni è uguale al rapporto tra i limiti di queste funzioni:

.

4. Il fattore costante può essere portato oltre il segno limite:

.

5. Il limite di una costante è uguale alla costante stessa:

6. Per le funzioni continue, i simboli del limite e della funzione possono essere invertiti:

.

La ricerca del limite di una funzione dovrebbe iniziare sostituendo il valore nell'espressione della funzione. Inoltre, se si scopre valore numerico 0 o ¥, viene trovato il limite richiesto.

Esempio 2.1. Calcola il limite.

Soluzione.

.

Si chiamano espressioni della forma , , , , incertezze.

Se si ottiene un'incertezza della forma, allora per trovare il limite è necessario trasformare la funzione in modo da rivelare questa incertezza.

L'incertezza della forma si ottiene solitamente quando è dato il limite del rapporto tra due polinomi. In questo caso, per calcolare il limite, si consiglia di fattorizzare i polinomi e ridurli del moltiplicatore comune. Questo fattore è zero quando valore limite X .

Esempio 2.2. Calcola il limite.

Soluzione.

Sostituendo , otteniamo l'incertezza:

.

Fattorizziamo numeratore e denominatore:

;

Riduciamo di un fattore comune e otteniamo

Si ottiene un'incertezza della forma quando il limite del rapporto tra due polinomi è dato a . In questo caso, per calcolarlo, si consiglia di dividere entrambi i polinomi per X nel grado senior.

Esempio 2.3. Calcola il limite.

Soluzione. Sostituendo ∞ otteniamo un'incertezza della forma , quindi dividiamo tutti i termini dell'espressione per x3.

.

Qui si tiene conto che .

Quando si calcolano i limiti di una funzione contenente radici, si consiglia di moltiplicare e dividere la funzione per il suo coniugato.

Esempio 2.4. Calcola limite

Soluzione.

Quando si calcolano i limiti per rivelare l'incertezza della forma o (1) ∞, vengono spesso utilizzati il ​​primo e il secondo limite notevole:

Molti problemi associati alla crescita continua di una certa quantità portano al secondo limite notevole.

Consideriamo l'esempio di Ya. I. Perelman, dando un'interpretazione del numero e nel problema dell’interesse composto. Nelle casse di risparmio gli interessi vengono aggiunti ogni anno al capitale fisso. Se l'adesione avviene più spesso, il capitale cresce più velocemente, poiché nella formazione degli interessi è coinvolta una somma maggiore. Facciamo un esempio puramente teorico, molto semplificato.

Si depositino in banca 100 denari. unità basato sul 100% annuo. Se il denaro degli interessi viene aggiunto al capitale fisso solo dopo un anno, entro questo periodo allora 100 den. unità si trasformerà in 200 unità monetarie.

Ora vediamo in cosa si trasformeranno 100 denize. unità, se gli interessi vengono aggiunti al capitale fisso ogni sei mesi. Dopo sei mesi, 100 den. unità crescerà di 100 × 1,5 = 150 e dopo altri sei mesi di 150 × 1,5 = 225 (unità den.). Se l'adesione avviene ogni 1/3 dell'anno, dopo un anno 100 den. unità si trasformerà in 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unità den.).

Aumenteremo i termini per aggiungere gli interessi a 0,1 anno, fino a 0,01 anno, fino a 0,001 anno, ecc. Quindi su 100 den. unità dopo un anno sarà:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unità den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unità den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unità den.).

Con una riduzione illimitata dei termini per l'aggiunta degli interessi, il capitale accumulato non cresce indefinitamente, ma si avvicina ad un certo limite pari a circa 271. Il capitale depositato al 100% annuo non può aumentare più di 2,71 volte, anche se gli interessi maturati sono stati aggiunti alla capitale ogni secondo perché

Esempio 2.5. Calcolare il limite di una funzione

Soluzione.

Esempio 2.6. Calcolare il limite di una funzione .

Soluzione. Sostituendo otteniamo l'incertezza:

.

Utilizzando formula trigonometrica, trasforma il numeratore in un prodotto:

Di conseguenza otteniamo

Qui viene preso in considerazione il secondo limite meraviglioso.

Esempio 2.7. Calcolare il limite di una funzione

Soluzione.

.

Per rivelare l'incertezza della forma o, puoi usare la regola di L'Hopital, che si basa sul seguente teorema.

Teorema. Limite del rapporto tra due infinitesimi o infinitesimi grandi funzioni pari al limite del rapporto tra i loro derivati

Tieni presente che questa regola può essere applicata più volte di seguito.

Esempio 2.8. Trovare

Soluzione. Sostituendo , abbiamo un'incertezza della forma . Applicando la regola di L'Hopital, otteniamo

Continuità della funzione

Immobile importante la funzione è la continuità.

Definizione. Si considera la funzione continuo, se una piccola variazione nel valore dell'argomento comporta una piccola variazione nel valore della funzione.

Matematicamente questo si scrive così: quando

Con e si intende l'incremento delle variabili, cioè la differenza tra il valore successivo e quello precedente: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Incremento delle variabili

Dalla definizione di funzione continua nel punto segue che . Questa uguaglianza significa che sono soddisfatte tre condizioni:

Soluzione. Per funzione il punto sospetta una discontinuità, verifichiamolo e troviamo i limiti unilaterali

Quindi, , Significa - punto di interruzione

Derivata di una funzione

Continuiamo ad analizzare le risposte già pronte alla teoria dei limiti e oggi ci concentreremo solo sul caso in cui una variabile in una funzione o un numero in una sequenza tende all'infinito. Le istruzioni per il calcolo del limite per una variabile tendente all'infinito sono state date in precedenza, qui ci soffermeremo solo su singoli casi non evidenti e semplici per tutti;

Esempio 35. Abbiamo una sequenza sotto forma di frazione, dove il numeratore e il denominatore contengono funzioni di radice.
Dobbiamo trovare il limite quando il numero tende all'infinito.
Qui non c'è bisogno di rivelare l'irrazionalità del numeratore, ma solo analizzare attentamente le radici e scoprire dove è contenuto di più alto grado numeri.
Nella prima, le radici del numeratore sono il moltiplicatore n^4, cioè n^2 può essere tolto dalle parentesi.
Facciamo lo stesso con il denominatore.
Successivamente, valutiamo il significato delle espressioni radicali quando si passa al limite.

Abbiamo ottenuto le divisioni per zero, il che non è corretto nel percorso scolastico, ma nel passaggio al limite è accettabile.
Solo con un emendamento “per valutare dove sta andando la funzione”.
Pertanto, non tutti gli insegnanti possono interpretare come corretta la notazione sopra riportata, pur comprendendo che il risultato risultante non cambierà.
Diamo un'occhiata alla risposta compilata secondo le esigenze degli insegnanti secondo la teoria.
Per semplificare valuteremo solo i principali componenti aggiuntivi sotto root

Inoltre al numeratore la potenza è pari a 2, al denominatore 2/3, quindi il numeratore cresce più velocemente, il che significa che il limite tende all'infinito.
Il suo segno dipende dai fattori di n^2, n^(2/3) , quindi è positivo.

Esempio 36. Considera un esempio di limite di divisione funzioni esponenziali. Ci sono pochi esempi pratici di questo tipo, quindi non tutti gli studenti vedono facilmente come svelare le incertezze che emergono.
Il fattore massimo per il numeratore e il denominatore è 8^n, e lo semplifichiamo

Successivamente, valutiamo il contributo di ciascun termine
I termini 3/8 tendono a zero man mano che la variabile va all'infinito, a partire da 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Esempio 37. Il limite di una sequenza con fattoriali viene rivelato scrivendo il fattoriale al massimo comun divisore per il numeratore e il denominatore.
Successivamente, lo riduciamo e valutiamo il limite in base al valore degli indicatori numerici al numeratore e al denominatore.
Nel nostro esempio, il denominatore cresce più velocemente, quindi il limite è zero.


Qui viene utilizzato quanto segue

proprietà fattoriale.

Esempio 38. Senza applicare le regole di L'Hopital, confrontiamo gli indicatori massimi della variabile al numeratore e al denominatore della frazione.
Poiché il denominatore contiene l'esponente più alto della variabile 4>2, cresce più velocemente.
Da ciò concludiamo che il limite della funzione tende a zero.

Esempio 39. Riveliamo la peculiarità della forma infinito diviso per infinito rimuovendo x^4 dal numeratore e dal denominatore della frazione.
Passando al limite si ottiene l'infinito.

Esempio 40. Abbiamo una divisione di polinomi; dobbiamo determinare il limite poiché la variabile tende all'infinito.
Il grado più alto della variabile al numeratore e al denominatore è uguale a 3, il che significa che il confine esiste ed è uguale a quello attuale.
Tiriamo fuori x^3 ed eseguiamo il passaggio al limite

Esempio 41. Abbiamo una singolarità di tipo uno alla potenza dell'infinito.
Ciò significa che l'espressione tra parentesi e l'indicatore stesso devono essere portati sotto il secondo confine importante.
Scriviamo il numeratore per evidenziare l'espressione in esso identica al denominatore.
Successivamente passiamo a un'espressione contenente uno più un termine.
Il titolo deve essere distinto dal fattore 1/(termine).
Otteniamo così l'esponente alla potenza del limite della funzione frazionaria.

Per valutare la singolarità, abbiamo utilizzato il secondo limite:

Esempio 42. Abbiamo una singolarità di tipo uno alla potenza dell'infinito.
Per rivelarlo bisognerebbe ridurre la funzione al secondo limite notevole.
Come farlo è mostrato in dettaglio nella seguente formula


Puoi trovare molti problemi simili. La loro essenza è ottenere il grado richiesto nell'esponente, ed è uguale al valore inverso del termine tra parentesi a uno.
Usando questo metodo otteniamo l'esponente. Ulteriori calcoli si riducono al calcolo del limite del grado esponente.
Qui funzione esponenziale tende all'infinito, poiché il valore è maggiore di uno e=2.72>1.

Esempio 43 Al denominatore della frazione abbiamo un'incertezza del tipo infinito meno infinito, che in realtà è uguale alla divisione per zero.
Per eliminare la radice, moltiplichiamo per l'espressione coniugata, quindi utilizziamo la formula per la differenza dei quadrati per riscrivere il denominatore.
Otteniamo l'incertezza dell'infinito divisa per l'infinito, quindi eliminiamo la variabile nella misura massima e la riduciamo di essa.
Successivamente, valutiamo il contributo di ciascun termine e troviamo il limite della funzione all'infinito

L’incertezza del tipo e della specie sono le incertezze più comuni che devono essere rese note quando si risolvono i limiti.

La maggior parte dei problemi limite incontrati dagli studenti contengono proprio tali incertezze. Per svelarli o, più precisamente, per evitare incertezze, esistono diverse tecniche artificiali per trasformare il tipo di espressione sotto il segno limite. Queste tecniche sono le seguenti: divisione a termini del numeratore e denominatore per la potenza più alta della variabile, moltiplicazione per l'espressione coniugata e fattorizzazione per la successiva riduzione utilizzando soluzioni equazioni quadratiche e formule di moltiplicazione abbreviate.

Incertezza della specie

Esempio 1.

Nè uguale a 2. Pertanto, dividiamo il numeratore e il denominatore termine per termine per:

.

Commenta sul lato destro dell'espressione. Frecce e numeri indicano a cosa tendono le frazioni dopo la sostituzione N che significa infinito. Qui, come nell'esempio 2, il titolo N C’è di più al denominatore che al numeratore, per cui l’intera frazione tende ad essere infinitesimale o “superpiccola”.

Otteniamo la risposta: il limite di questa funzione con variabile tendente all'infinito è pari a .

Esempio 2. .

Soluzione. Qui la potenza più alta della variabile Xè uguale a 1. Pertanto, dividiamo il numeratore e il denominatore termine per termine per X:

Commento sullo stato di avanzamento della decisione. Nel numeratore inseriamo la “x” sotto la radice del terzo grado e affinché il suo grado originale (1) rimanga invariato, gli assegniamo lo stesso grado della radice, cioè 3. Non ci sono frecce o numeri aggiuntivi in questa voce, quindi provalo mentalmente, ma per analogia con l'esempio precedente, determina a cosa tendono le espressioni al numeratore e al denominatore dopo aver sostituito infinito invece di “x”.

Abbiamo ricevuto la risposta: il limite di questa funzione con variabile tendente all'infinito è uguale a zero.

Incertezza della specie

Esempio 3. Scopri l’incertezza e trova il limite.

Soluzione. Il numeratore è la differenza dei cubi. Fattorizziamolo utilizzando la formula di moltiplicazione abbreviata del corso di matematica scolastica:

Il denominatore contiene un trinomio quadratico, che fattorizzeremo risolvendo un'equazione quadratica (ancora una volta un collegamento alla risoluzione di equazioni quadratiche):

Scriviamo l'espressione ottenuta come risultato delle trasformazioni e troviamo il limite della funzione:

Esempio 4. Sblocca l’incertezza e trova il limite

Soluzione. Il teorema del limite del quoziente non è applicabile qui, poiché

Pertanto, trasformiamo la frazione in modo identico: moltiplicando il numeratore e il denominatore per il binomio coniugato al denominatore e riduciamo di X+1. Secondo il corollario del Teorema 1, otteniamo un'espressione, risolvendo la quale troviamo il limite desiderato:

Esempio 5. Sblocca l’incertezza e trova il limite

Soluzione. Sostituzione diretta del valore X= 0 in una determinata funzione porta a un'incertezza della forma 0/0. Per rivelarlo, eseguiamo trasformazioni identiche e alla fine otteniamo il limite desiderato:

Esempio 6. Calcolare

Soluzione: Usiamo i teoremi sui limiti

Risposta: 11

Esempio 7. Calcolare

Soluzione: in questo esempio i limiti del numeratore e del denominatore sono pari a 0:

; . Abbiamo ricevuto, quindi, il teorema sul limite del quoziente non può essere applicato.

Fattorizziamo numeratore e denominatore per ridurre la frazione di un fattore comune tendente a zero, e quindi facciamo possibile utilizzo Teorema 3.

Espandiamo il trinomio quadrato al numeratore utilizzando la formula , dove x 1 e x 2 sono le radici del trinomio. Avendo fattorizzato e denominatore, riduci la frazione di (x-2), quindi applica il Teorema 3.

Risposta:

Esempio 8. Calcolare

Soluzione: Quando numeratore e denominatore tendono all'infinito, quindi, applicando direttamente il Teorema 3, otteniamo l'espressione , che rappresenta l'incertezza. Per eliminare incertezze di questo tipo, dovresti dividere il numeratore e il denominatore per la potenza più alta dell'argomento. IN in questo esempioè necessario dividere per X:

Risposta:

Esempio 9. Calcolare

Soluzione: x3:

Risposta: 2

Esempio 10. Calcolare

Soluzione: Quando numeratore e denominatore tendono all'infinito. Dividiamo il numeratore e il denominatore per la potenza più alta dell'argomento, cioè x5:

=

Il numeratore della frazione tende a 1, il denominatore tende a 0, quindi la frazione tende all'infinito.

Risposta:

Esempio 11. Calcolare

Soluzione: Quando numeratore e denominatore tendono all'infinito. Dividiamo il numeratore e il denominatore per la potenza più alta dell'argomento, cioè x7:

Risposta: 0

Derivato.

Derivata della funzione y = f(x) rispetto all'argomento xè chiamato limite del rapporto tra il suo incremento y e l'incremento x dell'argomento x, quando l'incremento dell'argomento tende a zero: . Se questo limite è finito, allora la funzione y = f(x) si dice differenziabile nel punto x. Se questo limite esiste, allora dicono che la funzione y = f(x) ha una derivata infinita nel punto x.

Derivate delle funzioni elementari di base:

1. (cost)=0 9.

3. 11.

4. 12.

Regole di differenziazione:

UN)

Esempio 1. Trova la derivata di una funzione

Soluzione: Se la derivata del secondo termine si trova utilizzando la regola di differenziazione delle frazioni, allora il primo termine è una funzione complessa, la cui derivata si trova con la formula:

Dove , Poi

Durante la risoluzione sono state utilizzate le seguenti formule: 1,2,10,a,c,d.

Risposta:

Esempio 21. Trova la derivata di una funzione

Soluzione: entrambi i termini sono funzioni complesse, dove per il primo , , e per il secondo , , allora

Risposta:

Applicazioni derivate.

1. Velocità e accelerazione

Lasciamo che la funzione s(t) descriva posizione oggetto in qualche sistema di coordinate al tempo t. Allora la derivata prima della funzione s(t) è istantanea velocità oggetto:
v=s′=f′(t)
La derivata seconda della funzione s(t) rappresenta l'istante accelerazione oggetto:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Equazione tangente
y−y0=f′(x0)(x−x0),
dove (x0,y0) sono le coordinate del punto tangente, f′(x0) è il valore della derivata della funzione f(x) nel punto tangente.

3. Equazione normale
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

dove (x0,y0) sono le coordinate del punto in cui viene tracciata la normale, f′(x0) è il valore della derivata della funzione f(x) in questo punto.

4. Funzioni crescenti e decrescenti
Se f′(x0)>0, allora la funzione aumenta nel punto x0. Nella figura seguente la funzione aumenta con x x2.
Se f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Se f′(x0)=0 o la derivata non esiste, allora questo criterio non permette di determinare la natura della monotonicità della funzione nel punto x0.

5. Estremi locali di una funzione
La funzione f(x) ha massimo locale nel punto x1, se esiste un intorno del punto x1 tale che per tutti gli x di questo intorno vale la disuguaglianza f(x1)≥f(x).
Allo stesso modo, la funzione f(x) ha minimo locale nel punto x2, se esiste un intorno del punto x2 tale che per tutti gli x di questo intorno vale la disuguaglianza f(x2)≤f(x).

6. Punti critici
Il punto x0 è punto critico funzione f(x), se la derivata f′(x0) in essa è uguale a zero o non esiste.

7. Il primo segno sufficiente dell'esistenza di un estremo
Se la funzione f(x) aumenta (f′(x)>0) per ogni x in un certo intervallo (a,x1] e diminuisce (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) per tutti gli x dall'intervallo )