Prendendo il logaritmo. Logaritmo

Logaritmo del numero b (b > 0) in base a (a > 0, a ≠ 1)– esponente al quale bisogna elevare il numero a per ottenere b.

Il logaritmo in base 10 di b può essere scritto come: ceppo(b), e il logaritmo in base e (logaritmo naturale) è ln(b).

Spesso utilizzato per risolvere problemi con i logaritmi:

Proprietà dei logaritmi

Ce ne sono quattro principali proprietà dei logaritmi.

Sia a > 0, a ≠ 1, x > 0 e y > 0.

Proprietà 1. Logaritmo del prodotto

Logaritmo del prodotto pari alla somma logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Proprietà 2. Logaritmo del quoziente

Logaritmo del quoziente uguale alla differenza dei logaritmi:

log a (x / y) = log a x – log a y

Proprietà 3. Logaritmo della potenza

Logaritmo di grado uguale al prodotto della potenza per il logaritmo:

Se la base del logaritmo è nei gradi, si applica un'altra formula:

Proprietà 4. Logaritmo della radice

Questa proprietà si può ricavare dalla proprietà del logaritmo di una potenza, a partire dalla radice della potenza n-esima pari alla potenza 1/n:

Formula per convertire da un logaritmo in una base a un logaritmo in un'altra base

Questa formula viene spesso utilizzata anche per risolvere vari compiti sui logaritmi:

Caso speciale:

Confronto tra logaritmi (disuguaglianze)

Abbiamo 2 funzioni f(x) e g(x) sotto logaritmi con le stesse basi e tra loro c'è un segno di disuguaglianza:

Per confrontarli bisogna prima guardare la base dei logaritmi a:

• Se a > 0, allora f(x) > g(x) > 0
• Se 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Come risolvere problemi con i logaritmi: esempi

Problemi con i logaritmi incluso nell'esame di stato unificato di matematica per il grado 11 nel compito 5 e nel compito 7, puoi trovare compiti con soluzioni sul nostro sito web nelle sezioni appropriate. Inoltre, le attività con logaritmi si trovano nella banca delle attività matematiche. Puoi trovare tutti gli esempi effettuando una ricerca nel sito.

Cos'è un logaritmo

I logaritmi sono sempre stati considerati un argomento difficile nei corsi di matematica scolastica. Esistono molte definizioni diverse di logaritmo, ma per qualche motivo la maggior parte dei libri di testo utilizza quelle più complesse e infruttuose.

Definiremo il logaritmo in modo semplice e chiaro. Per fare ciò, creiamo una tabella:

Quindi abbiamo potenze di due.

Logaritmi: proprietà, formule, come risolverli

Se prendi il numero dalla riga inferiore, puoi facilmente trovare la potenza alla quale dovrai alzare due per ottenere questo numero. Ad esempio, per ottenere 16, devi elevare due alla quarta potenza. E per ottenere 64, devi elevare due alla sesta potenza. Questo può essere visto dalla tabella.

E ora, in realtà, la definizione del logaritmo:

la base a dell'argomento x è la potenza alla quale bisogna elevare il numero a per ottenere il numero x.

Designazione: log a x = b, dove a è la base, x è l'argomento, b è ciò a cui è effettivamente uguale il logaritmo.

Ad esempio, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (il logaritmo in base 2 di 8 è tre perché 2 3 = 8). Con lo stesso successo, log 2 64 = 6, poiché 2 6 = 64.

Si chiama l'operazione di trovare il logaritmo di un numero in una data base. Quindi, aggiungiamo una nuova riga alla nostra tabella:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
logaritmo 2 2 = 1	logaritmo 2 4 = 2	log28 = 3	logaritmo 2 16 = 4	logaritmo 2 32 = 5	logaritmo 2 64 = 6

Sfortunatamente, non tutti i logaritmi si calcolano così facilmente. Ad esempio, prova a trovare log 2 5. Il numero 5 non è nella tabella, ma la logica impone che il logaritmo si trovi da qualche parte nell'intervallo. Perché 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tali numeri sono detti irrazionali: i numeri dopo la virgola possono essere scritti all'infinito e non si ripetono mai. Se il logaritmo risulta irrazionale, è meglio lasciarlo così: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

È importante capire che un logaritmo è un'espressione con due variabili (la base e l'argomento). Inizialmente, molte persone confondono dove sia la base e dove sia l’argomento. Per evitare fastidiosi malintesi basta guardare l'immagine:

Davanti a noi non c'è altro che la definizione di logaritmo. Ricordare: il logaritmo è una potenza, in cui è necessario costruire la base per ottenere un argomento. È la base che viene elevata a potenza: nell'immagine è evidenziata in rosso. Si scopre che la base è sempre in basso! Dico ai miei studenti questa meravigliosa regola già dalla prima lezione e non si crea alcuna confusione.

Come contare i logaritmi

Abbiamo capito la definizione: non resta che imparare a contare i logaritmi, ad es. sbarazzarsi del segno "log". Per cominciare, notiamo che dalla definizione conseguono due fatti importanti:

1. L'argomento e la base devono essere sempre maggiori di zero. Ciò deriva dalla definizione di grado mediante esponente razionale, a cui si riduce la definizione di logaritmo.
2. La base deve essere diversa da uno, poiché uno in ogni misura rimane pur sempre uno. Per questo motivo la domanda “a quale potere bisogna elevare uno per ottenerne due” non ha senso. Non esiste un diploma del genere!

Tali restrizioni sono chiamate intervallo di valori accettabili(ODZ). Risulta che l'ODZ del logaritmo è simile a questo: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Nota che non ci sono restrizioni sul numero b (il valore del logaritmo). Ad esempio, il logaritmo potrebbe essere negativo: log 2 0,5 = −1, perché 0,5 = 2 −1.

Adesso però consideriamo solo le espressioni numeriche per le quali non è necessario conoscere il VA del logaritmo. Tutte le restrizioni sono già state prese in considerazione dagli autori delle attività. Ma quando entrano in gioco le equazioni e le disuguaglianze logaritmiche, i requisiti DL diventeranno obbligatori. Dopotutto, la base e l'argomentazione possono contenere costruzioni molto forti che non corrispondono necessariamente alle restrizioni di cui sopra.

Ora consideriamo schema generale calcolo dei logaritmi. Si compone di tre passaggi:

1. Esprimi la base a e l'argomento x come una potenza con la base minima possibile maggiore di uno. Lungo il percorso, è meglio eliminare i decimali;
2. Risolvi l'equazione per la variabile b: x = a b ;
3. Il numero risultante b sarà la risposta.

Questo è tutto! Se il logaritmo risultasse irrazionale, ciò sarà visibile già nel primo passaggio. Molto importante è il requisito che la base sia maggiore di uno: questo riduce la probabilità di errore e semplifica moltissimo i calcoli. Lo stesso con decimali: se li converti immediatamente in quelli normali, ci saranno molti meno errori.

Vediamo come funziona questo schema utilizzando esempi specifici:

Compito. Calcola il logaritmo: log 5 25

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di cinque: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Creiamo e risolviamo l'equazione:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Abbiamo ricevuto la risposta: 2.

Compito. Calcola il logaritmo:

Compito. Calcola il logaritmo: log 4 64

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Abbiamo ricevuto la risposta: 3.

Compito. Calcola il logaritmo: log 16 1

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di due: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Creiamo e risolviamo l'equazione:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Abbiamo ricevuto la risposta: 0.

Compito. Calcola il logaritmo: log 7 14

1. Immaginiamo la base e l'argomento come una potenza di sette: 7 = 7 1 ; 14 non può essere rappresentato come una potenza di sette, poiché 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dal paragrafo precedente ne consegue che il logaritmo non conta;
3. La risposta è nessun cambiamento: log 7 14.

Una piccola nota sull'ultimo esempio. Come puoi essere sicuro che un numero non sia una potenza esatta di un altro numero? È molto semplice: basta scomporlo in fattori primi. Se l'espansione ha almeno due fattori diversi, il numero non è una potenza esatta.

Compito. Scopri se i numeri sono potenze esatte: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - grado esatto, perché c'è un solo moltiplicatore;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - non è una potenza esatta, poiché ci sono due fattori: 3 e 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - grado esatto;
35 = 7 · 5 - ancora una volta non una potenza esatta;
14 = 7 · 2 - ancora una volta non un grado esatto;

Notiamo anche che noi stessi numeri primi sono sempre gradi esatti di se stessi.

Logaritmo decimale

Alcuni logaritmi sono così comuni che hanno un nome e un simbolo speciali.

dell'argomento x è il logaritmo in base 10, cioè La potenza alla quale bisogna elevare il numero 10 per ottenere il numero x. Designazione: lgx.

Ad esempio, log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - ecc.

D'ora in poi, quando in un libro di testo apparirà una frase come "Trova lg 0.01", sappi: non si tratta di un errore di battitura. Questo è un logaritmo decimale. Tuttavia, se non hai familiarità con questa notazione, puoi sempre riscriverla:
logaritmo x = logaritmo 10 x

Tutto ciò che vale per i logaritmi ordinari vale anche per i logaritmi decimali.

Logaritmo naturale

C'è un altro logaritmo che ha una sua designazione. In un certo senso, è ancora più importante del decimale. Stiamo parlando del logaritmo naturale.

dell'argomento x è il logaritmo in base e, cioè la potenza alla quale bisogna elevare il numero e per ottenere il numero x. Designazione: lnx.

Molte persone si chiederanno: qual è il numero e? Questo numero irrazionale, il suo valore esatto impossibile da trovare e registrare. Darò solo le prime cifre:
e = 2,718281828459…

Non entreremo nei dettagli su cosa sia questo numero e perché è necessario. Ricorda solo che e è la base del logaritmo naturale:
ln x = log e x

Quindi ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - ecc. D'altra parte, ln 2 è un numero irrazionale. In generale, il logaritmo naturale di qualsiasi numero razionale è irrazionale. Tranne, ovviamente, per l'unità: ln 1 = 0.

Per i logaritmi naturali valgono tutte le regole valide per i logaritmi ordinari.

Vedi anche:

Logaritmo. Proprietà del logaritmo (potenza del logaritmo).

Come rappresentare un numero come logaritmo?

Usiamo la definizione di logaritmo.

Un logaritmo è un esponente al quale bisogna elevare la base per ottenere il numero sotto il segno del logaritmo.

Quindi, per rappresentare un certo numero c come logaritmo in base a, devi mettere una potenza con la stessa base della base del logaritmo sotto il segno del logaritmo e scrivere questo numero c come esponente:

Assolutamente qualsiasi numero può essere rappresentato come un logaritmo: positivo, negativo, intero, frazionario, razionale, irrazionale:

Per non confondere a e c in condizioni stressanti di un test o di un esame, puoi utilizzare la seguente regola di memorizzazione:

ciò che è in basso scende, ciò che è in alto sale.

Ad esempio, devi rappresentare il numero 2 come logaritmo in base 3.

Abbiamo due numeri: 2 e 3. Questi numeri sono la base e l'esponente, che scriveremo sotto il segno del logaritmo. Resta da determinare quale di questi numeri deve essere scritto alla base della potenza e quale all'esponente.

La base 3 nella notazione di un logaritmo è in basso, il che significa che quando rappresentiamo due come logaritmo in base 3, scriveremo anche 3 in base.

2 è maggiore di tre. E nella notazione del grado due scriviamo sopra il tre, cioè come esponente:

Logaritmi. Livello base.

Logaritmi

Logaritmo numero positivo B basato su UN, Dove a > 0, a ≠ 1, è chiamato l'esponente a cui deve essere elevato il numero UN ottenere B.

Definizione di logaritmo può essere brevemente scritto così:

Questa uguaglianza è valida per b > 0, a > 0, a ≠ 1. Di solito viene chiamato identità logaritmica.
Viene chiamata l'azione di trovare il logaritmo di un numero per logaritmo.

Proprietà dei logaritmi:

Logaritmo del prodotto:

Logaritmo del quoziente:

Sostituendo la base del logaritmo:

Logaritmo di grado:

Logaritmo della radice:

Logaritmo con base di potenza:

Logaritmi decimali e naturali.

Logaritmo decimale i numeri chiamano il logaritmo di questo numero in base 10 e scrivono   lg B
Logaritmo naturale i numeri sono chiamati logaritmo di quel numero in base e, Dove e- un numero irrazionale pari a circa 2,7. Allo stesso tempo scrivono ln B.

Altre note di algebra e geometria

Proprietà fondamentali dei logaritmi

Proprietà fondamentali dei logaritmi

I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri regolari, ci sono delle regole qui, che si chiamano principali proprietà.

Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi cominciamo.

Somma e sottrazione di logaritmi

Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log a x e log a y. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!

Queste formule ti aiuteranno a calcolare espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono contate (vedi la lezione “Che cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:

Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.

Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.

Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.

Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti si basano su questo fatto test. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.

Estrarre l'esponente dal logaritmo

Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:

È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.

Naturalmente, tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa , cioè. Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso.

Come risolvere i logaritmi

Questo è ciò che più spesso viene richiesto.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .

Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:

Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".

Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.

Transizione ad una nuova fondazione

Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?

Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:

Sia dato il logaritmo log a x. Quindi per qualsiasi numero c tale che c > 0 e c ≠ 1, l'uguaglianza è vera:

In particolare, se poniamo c = x, otteniamo:

Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.

Queste formule si trovano raramente in quelle convenzionali espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.

Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.

Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:

Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.

Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.

La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:

Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:

Identità logaritmica di base

Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data.

In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:

Nel primo caso, il numero n diventa l'esponente dell'argomento. Il numero n può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è semplicemente un valore logaritmico.

La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: .

Infatti, cosa succede se il numero b viene elevato a una potenza tale che il numero b a questa potenza dà il numero a? Esatto: il risultato è lo stesso numero a. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.

Come le formule per il passaggio a una nuova base, la principale identità logaritmica a volte è l'unica soluzione possibile.

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nota che log 25 64 = log 5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Considerando le regole per moltiplicare i poteri con la stessa base, otteniamo:

Se qualcuno non lo sa, lo era vera sfida dall'Esame di Stato Unificato :)

Unità logaritmica e zero logaritmico

In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.

1. log a a = 1 è. Ricorda una volta per tutte: il logaritmo di qualsiasi base a di quella base stessa uguale a uno.
2. log a 1 = 0 è. La base a può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché a 0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.

Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.

Continuiamo a studiare i logaritmi. In questo articolo parleremo di calcolo dei logaritmi, questo processo viene chiamato logaritmo. Per prima cosa comprenderemo il calcolo dei logaritmi per definizione. Successivamente, diamo un'occhiata a come vengono trovati i valori dei logaritmi utilizzando le loro proprietà. Successivamente, ci concentreremo sul calcolo dei logaritmi attraverso i valori inizialmente specificati di altri logaritmi. Infine, impariamo come utilizzare le tabelle dei logaritmi. L'intera teoria è fornita con esempi con soluzioni dettagliate.

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Calcolo dei logaritmi per definizione

Nei casi più semplici è possibile eseguire l'operazione in modo abbastanza rapido e semplice trovare il logaritmo per definizione. Diamo uno sguardo più da vicino a come avviene questo processo.

La sua essenza è rappresentare il numero b nella forma a c, da cui, per definizione di logaritmo, il numero c è il valore del logaritmo. Cioè, per definizione, la seguente catena di uguaglianze corrisponde alla ricerca del logaritmo: log a b=log a a c =c.

Quindi, calcolare un logaritmo per definizione si riduce a trovare un numero c tale che a c = b, e il numero c stesso è il valore desiderato del logaritmo.

Tenendo conto delle informazioni dei paragrafi precedenti, quando il numero sotto il segno del logaritmo è dato da una certa potenza della base del logaritmo, puoi immediatamente indicare a cosa è uguale il logaritmo: è uguale all'esponente. Mostriamo le soluzioni agli esempi.

Esempio.

Trova log 2 2 −3 e calcola anche il logaritmo naturale del numero e 5,3.

Soluzione.

La definizione di logaritmo ci permette di dire subito che log 2 2 −3 =−3. Infatti, il numero sotto il segno del logaritmo è uguale a base 2 elevato a −3.

Allo stesso modo, troviamo il secondo logaritmo: lne 5.3 =5.3.

Risposta:

log 2 2 −3 =−3 e lne 5,3 =5,3.

Se il numero b sotto il segno del logaritmo non è specificato come potenza della base del logaritmo, allora devi guardare attentamente per vedere se è possibile trovare una rappresentazione del numero b nella forma a c . Spesso questa rappresentazione è abbastanza ovvia, soprattutto quando il numero sotto il segno del logaritmo è uguale alla base elevata a 1, o 2, o 3,...

Esempio.

Calcolare i logaritmi log 5 25 e .

Soluzione.

È facile vedere che 25=5 2, questo permette di calcolare il primo logaritmo: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Passiamo al calcolo del secondo logaritmo. Il numero può essere rappresentato come una potenza di 7: (vedi se necessario). Quindi, .

Riscriviamo il terzo logaritmo nella forma seguente. Ora puoi vederlo , da cui concludiamo che . Pertanto, per la definizione di logaritmo .

In breve, la soluzione potrebbe essere scritta come segue: .

Risposta:

ceppo5 25=2 , E .

Quando sotto il segno del logaritmo c'è un segno sufficientemente grande numero naturale, allora non sarebbe male fattorizzarlo in fattori primi. Spesso aiuta a rappresentare un numero come una potenza della base del logaritmo e quindi calcolare questo logaritmo per definizione.

Esempio.

Trova il valore del logaritmo.

Soluzione.

Alcune proprietà dei logaritmi consentono di specificare immediatamente il valore dei logaritmi. Queste proprietà includono la proprietà del logaritmo di un'unità e la proprietà del logaritmo di un numero, uguale alla base: log 1 1=log a a 0 =0 e log a a=log a a 1 =1 . Cioè, quando sotto il segno del logaritmo c'è un numero 1 o un numero a uguale alla base del logaritmo, allora in questi casi i logaritmi sono rispettivamente uguali a 0 e 1.

Esempio.

A cosa corrispondono i logaritmi e log10?

Soluzione.

Poiché , quindi dalla definizione di logaritmo segue .

Nel secondo esempio, il numero 10 sotto il segno del logaritmo coincide con la sua base, quindi il logaritmo decimale di dieci è uguale a uno, cioè lg10=lg10 1 =1.

Risposta:

E lg10=1 .

Si noti che il calcolo dei logaritmi per definizione (di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente) implica l'uso del log di uguaglianza a a p = p, che è una delle proprietà dei logaritmi.

In pratica, quando un numero sotto il segno del logaritmo e la base del logaritmo sono facilmente rappresentabili come potenza di un certo numero, è molto comodo utilizzare la formula , che corrisponde a una delle proprietà dei logaritmi. Consideriamo un esempio di ricerca del logaritmo, illustrando l'uso di questa formula.

Esempio.

Calcola il logaritmo.

Soluzione.

Risposta:

.

Nei calcoli vengono utilizzate anche le proprietà dei logaritmi non menzionate sopra, ma di questo ne parleremo nei paragrafi successivi.

Trovare i logaritmi attraverso altri logaritmi conosciuti

Le informazioni contenute in questo paragrafo continuano l'argomento sull'utilizzo delle proprietà dei logaritmi durante il loro calcolo. Ma qui la differenza principale è che le proprietà dei logaritmi vengono utilizzate per esprimere il logaritmo originale in termini di un altro logaritmo, il cui valore è noto. Facciamo un esempio per chiarimenti. Diciamo che sappiamo che log 2 3≈1.584963, quindi possiamo trovare, ad esempio, log 2 6 eseguendo una piccola trasformazione utilizzando le proprietà del logaritmo: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Nell'esempio sopra ci è bastato utilizzare la proprietà del logaritmo di un prodotto. Tuttavia, molto più spesso è necessario utilizzare un arsenale più ampio di proprietà dei logaritmi per calcolare il logaritmo originale attraverso quelli indicati.

Esempio.

Calcola il logaritmo di 27 in base 60 se sai che log 60 2=ae log 60 5=b.

Soluzione.

Quindi dobbiamo trovare log 60 27 . È facile vedere che 27 = 3 3 , e il logaritmo originale, per la proprietà del logaritmo della potenza, può essere riscritto come 3·log 60 3 .

Vediamo ora come esprimere log 60 3 in termini di logaritmi conosciuti. La proprietà del logaritmo di un numero uguale alla base ci permette di scrivere il log dell'uguaglianza 60 60=1. D'altra parte, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Così, 2 log 60 2+ log 60 3+ log 60 5=1. Quindi, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Infine calcoliamo il logaritmo originale: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Risposta:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Separatamente vale la pena menzionare il significato della formula per il passaggio a una nuova base del logaritmo della forma . Permette di passare dai logaritmi con base qualsiasi ai logaritmi con una base specifica, i cui valori sono noti o è possibile trovarli. Di solito, dal logaritmo originale, utilizzando la formula di transizione, si passa ai logaritmi in una delle basi 2, e o 10, poiché per queste basi esistono tabelle di logaritmi che permettono di calcolarne i valori con un certo grado di precisione. Nel prossimo paragrafo mostreremo come si fa.

Tabelle dei logaritmi e loro utilizzo

Per il calcolo approssimativo dei valori del logaritmo è possibile utilizzare tabelle dei logaritmi. La tabella dei logaritmi in base 2 più comunemente utilizzata, la tabella dei logaritmi naturali e la tabella dei logaritmi decimali. Quando si lavora in sistema decimale Per il calcolo è conveniente utilizzare una tabella di logaritmi in base dieci. Con il suo aiuto impareremo a trovare i valori dei logaritmi.

La tabella presentata consente di trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri da 1.000 a 9.999 (con tre cifre decimali) con una precisione di un decimillesimo. Analizzeremo il principio per trovare il valore di un logaritmo utilizzando una tabella di logaritmi decimali esempio specifico- è più chiaro così. Troviamo log1.256.

Nella colonna di sinistra della tabella dei logaritmi decimali troviamo le prime due cifre del numero 1.256, cioè troviamo 1.2 (questo numero è cerchiato in blu per chiarezza). La terza cifra del numero 1.256 (cifra 5) si trova nella prima o nell'ultima riga a sinistra della doppia riga (questo numero è cerchiato in rosso). La quarta cifra del numero originale 1.256 (cifra 6) si trova nella prima o nell'ultima riga a destra della doppia linea (questo numero è cerchiato con una linea verde). Ora troviamo i numeri nelle celle della tabella dei logaritmi all'intersezione della riga contrassegnata e delle colonne contrassegnate (questi numeri sono evidenziati in arancione). La somma dei numeri contrassegnati dà il valore desiderato del logaritmo decimale accurato alla quarta cifra decimale, cioè log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

È possibile, utilizzando la tabella sopra, trovare i valori dei logaritmi decimali dei numeri che hanno più di tre cifre dopo la virgola, nonché di quelli che vanno oltre l'intervallo compreso tra 1 e 9,999? Sì, puoi. Mostriamo come si fa con un esempio.

Calcoliamo lg102.76332. Per prima cosa devi scrivere numero in forma standard: 102.76332=1.0276332·10 2. Dopodiché la mantissa dovrebbe essere arrotondata alla terza cifra decimale 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, mentre il logaritmo decimale originale è approssimativamente uguale al logaritmo del numero risultante, ovvero prendiamo log102.76332≈lg1.028·10 2. Ora applichiamo le proprietà del logaritmo: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Infine, troviamo il valore del logaritmo lg1.028 dalla tabella dei logaritmi decimali lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Di conseguenza, l’intero processo di calcolo del logaritmo si presenta così: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 =log1.028+2≈0.012+2=2.012.

In conclusione, vale la pena notare che utilizzando una tabella di logaritmi decimali è possibile calcolare il valore approssimativo di qualsiasi logaritmo. Per fare ciò è sufficiente utilizzare la formula di transizione per passare ai logaritmi decimali, trovare i loro valori nella tabella ed eseguire i restanti calcoli.

Ad esempio, calcoliamo log 2 3 . Secondo la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo, abbiamo . Dalla tabella dei logaritmi decimali troviamo log3≈0,4771 e log2≈0,3010. Così, .

Riferimenti.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e altri. Algebra e gli inizi dell'analisi: libro di testo per i gradi 10 - 11 degli istituti di istruzione generale.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematica (un manuale per chi entra nelle scuole tecniche).

Cos'è un logaritmo?

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Cos'è un logaritmo? Come risolvere i logaritmi? Queste domande confondono molti laureati. Tradizionalmente, il tema dei logaritmi è considerato complesso, incomprensibile e spaventoso. Soprattutto equazioni con logaritmi.

Questo non è assolutamente vero. Assolutamente! Non mi credi? Bene. Ora, in soli 10 - 20 minuti:

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Oggi parleremo di formule logaritmiche e dare indicativo esempi di soluzioni.

Essi stessi implicano schemi di soluzione secondo le proprietà di base dei logaritmi. Prima di applicare le formule dei logaritmi da risolvere, ricordiamoci di tutte le proprietà:

Ora, sulla base di queste formule (proprietà), mostreremo esempi di risoluzione dei logaritmi.

Esempi di risoluzione di logaritmi basati su formule.

Logaritmo un numero positivo b in base a (indicato con log a b) è un esponente al quale a deve essere elevato per ottenere b, con b > 0, a > 0 e 1.

Secondo la definizione, log a b = x, che equivale a a x = b, quindi log a a x = x.

Logaritmi, esempi:

log 2 8 = 3, perché 23 = 8

log 7 49 = 2, perché 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, perché 5 -1 = 1/5

Logaritmo decimale- questo è un logaritmo ordinario, la cui base è 10. È indicato come lg.

log 10 100 = 2, perché 10 2 = 100

Logaritmo naturale- anch'esso un logaritmo ordinario, un logaritmo, ma in base e (e = 2,71828... - un numero irrazionale). Indicato come ln.

È consigliabile memorizzare le formule o le proprietà dei logaritmi, perché ne avremo bisogno in seguito per risolvere logaritmi, equazioni logaritmiche e disequazioni. Esaminiamo nuovamente ciascuna formula con esempi.

• Identità logaritmica di base
  un log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Proprietà della potenza di un numero logaritmico e base del logaritmo

  Esponente del numero logaritmico log a b m = mlog a b

  Esponente di base registro dei logaritmi a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  se m = n, otteniamo log a n b n = log a b

  logaritmo 4 9 = logaritmo 2 2 3 2 = logaritmo 2 3

• Transizione ad una nuova fondazione
  log a b = log c b/log c a,

  se c = b, otteniamo log b b = 1

  quindi log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Come puoi vedere, le formule per i logaritmi non sono così complicate come sembrano. Ora, dopo aver esaminato esempi di risoluzione dei logaritmi, possiamo passare alle equazioni logaritmiche. Considereremo esempi di risoluzione di equazioni logaritmiche in modo più dettagliato nell'articolo: "". Da non perdere!

Se hai ancora domande sulla soluzione, scrivile nei commenti all'articolo.

Nota: abbiamo deciso di scegliere una classe diversa di istruzione e di studiare all'estero come opzione.

FUNZIONI ESPONENTARI E LOGARITMICHE VIII

§ 184. Logaritmo di grado e radice

Teorema 1. Il logaritmo di una potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell'esponente di questa potenza e del logaritmo della sua base.

In altre parole, se UN E X positivo e UN =/= 1, quindi per qualsiasi numero reale k

tronco d'albero un'x k = k tronco d'albero un'x . (1)

Per dimostrare questa formula è sufficiente dimostrarlo

= UN k tronco d'albero un'x . (2)

= X k

UN k tronco d'albero un'x = (UN tronco d'albero un'x ) k = X k .

Ciò implica la validità della formula (2), e quindi (1).

Tieni presente che se il numero k è naturale ( k = n ), allora la formula (1) è un caso speciale della formula

tronco d'albero UN (X 1 X 2 X 3 ... X N ) = logaritmo un'x 1 + registro un'x 2 + log un'x 3+...log un'x N .

dimostrato nel paragrafo precedente. Infatti, assumendo in questa formula

X 1 = X 2 = ... = X N = X ,

otteniamo:

tronco d'albero un'x N = N tronco d'albero un'x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

A valori negativi X la formula (1) perde il suo significato. Ad esempio, non è possibile scrivere log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) perché l'espressione log 2 (-4) non è definita. Nota che l'espressione sul lato sinistro di questa formula ha il significato:

logaritmo 2 (-4) 2 = logaritmo 2 16 = 4.

In generale, se il numero X è negativo, l'espressione log un'x 2k = 2k tronco d'albero un'x definito perché X 2k > 0. L'espressione è 2 k tronco d'albero un'x in questo caso non ha senso. Perciò scrivi

Tronco d'albero un'x 2k = 2k tronco d'albero un'x

è proibito. Puoi comunque scrivere

tronco d'albero un'x 2k = 2k tronco d'albero un | X | (3)

Questa formula si ottiene facilmente dalla (1), tenendo conto di ciò

X 2k = | X | 2k

Per esempio,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorema 2. Il logaritmo di una radice di un numero positivo è uguale al logaritmo dell'espressione radicale diviso per l'esponente della radice.

In altre parole, se i numeri UN E X sono positivi UN =/= 1 e N è un numero naturale, quindi

tronco d'albero UN N √X = 1 / N tronco d'albero un'x

Veramente, N √X = . Pertanto, per il Teorema 1

tronco d'albero UN N √X = registro UN = 1 / N tronco d'albero un'x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.

Esercizi

1408. Come cambierà il logaritmo di un numero se, senza cambiare la base:

a) elevare al quadrato il numero;

b) estratto da un numero radice quadrata?

1409. Come cambierà la differenza log 2? UN -log 2 B , se numeri UN E B sostituire di conseguenza con:

UN) UN 3 e B 3; b) 3 UN e 3 B ?

1410. Sapendo che log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, trova i logaritmi in base 10:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Dimostrare che i logaritmi di termini successivi di una progressione geometrica formano una progressione aritmetica.

1412. Le funzioni sono diverse tra loro?

A = log 3 X 2 e A = 2log3 X

Costruisci i grafici di queste funzioni.

1413. Trova l'errore nelle seguenti trasformazioni:

ceppo 2 1/3 = ceppo 2 1/3

2log 2 1/3 > log 2 1/3 ;

ceppo 2 (1/3) 2 > ceppo 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;