Applicazione di costruzioni geometriche. Come costruire un angolo uguale ad uno dato

Spesso è necessario disegnare (“costruire”) un angolo che sia uguale all'angolo dato, e la costruzione deve essere fatta senza l'ausilio di un goniometro, ma utilizzando solo un compasso e un righello. Sapendo come costruire un triangolo su tre lati, possiamo risolvere questo problema. Lascia che sia su una linea retta MN(Fig. 60 e 61) è necessario costruire nel punto K angolo uguale all'angolo B. Ciò significa che è necessario dal punto K tracciare una linea retta con un componente MN angolo uguale a B.

Per fare ciò, ad esempio, segna un punto su ciascun lato di un determinato angolo UN E CON e connettersi UN E CON linea retta. Otteniamo un triangolo ABC. Costruiamo ora su una linea retta MN questo triangolo in modo che il suo vertice IN era al punto A: allora in questo punto verrà costruito un angolo uguale all'angolo IN. Costruisci un triangolo utilizzando tre lati VS, Virginia E AC sappiamo come: rimandiamo (Fig. 62) dal punto A segmento Kuala Lumpur, pari Sole; otteniamo un punto l; in giro K, poiché vicino al centro, descriviamo un cerchio con un raggio VA e dintorni L- raggio SA. Punto e basta R colleghiamo le intersezioni dei cerchi con A e Z, otteniamo un triangolo KPL, uguale ad un triangolo ABC; c'è un angolo dentro A= ug. IN.

Questa costruzione viene eseguita più velocemente e più comodamente se dall'alto IN stendere segmenti uguali (con una dissoluzione del compasso) e, senza muovere le gambe, descrivere un cerchio attorno al punto con lo stesso raggio A, come vicino al centro.

Come dividere un angolo a metà

Supponiamo di dover dividere un angolo UN(Fig. 63) in due parti uguali utilizzando compasso e riga, senza l'ausilio di un goniometro. Ti mostreremo come farlo.

Dall'alto UN metti segmenti uguali sui lati dell'angolo AB E AC(Diagramma 64; questo si ottiene semplicemente sciogliendo la bussola). Quindi posizioniamo la punta del compasso nei punti IN E CON e descrivere raggi uguali archi che si intersecano in un punto D. Collegamento diretto UN e D divide l'angolo UN a metà.

Spieghiamo perché è così. Se il punto D connettersi con IN e C (Fig. 65), si ottengono due triangoli ADC E ADB, sì che hanno un lato comune A.D; lato AB uguale al lato AC, UN ВD uguale a CD. I triangoli sono uguali su tre lati, il che significa che gli angoli sono uguali. CATTIVO E DAC, mentire contro lati uguali ВD E CD. Quindi, dritto A.D divide l'angolo VOI a metà.

Applicazioni

12. Costruisci un angolo di 45° senza goniometro. A 22°30’. A 67°30'.

Soluzione: Dividendo l'angolo retto a metà, otteniamo un angolo di 45°. Dividendo a metà l’angolo di 45° otteniamo un angolo di 22°30’. Costruendo la somma degli angoli 45° + 22°30’ otteniamo un angolo di 67°30’.

Come costruire un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

Supponiamo che tu debba scoprire sul terreno la distanza tra due pietre miliari UN E IN(Devil 66), separati da una palude invalicabile.

Come farlo?

Possiamo farlo: scegliere un punto lontano dalla palude CON, da dove sono visibili entrambe le pietre miliari e si possono misurare le distanze AC E Sole. Angolo CON misuriamo utilizzando uno speciale dispositivo goniometrico (chiamato str o l b i e). Secondo questi dati, cioè secondo i lati misurati AC E Sole e angolo CON tra loro, costruiamo un triangolo ABC da qualche parte in una posizione conveniente come segue. Ad esempio, dopo aver misurato un lato noto in linea retta (Fig. 67). AC, costruisci con esso al punto CON angolo CON; dall'altro lato di questo angolo si misura il lato noto Sole. Le estremità dei lati noti, cioè i punti UN E IN collegati da una linea retta. Il risultato è un triangolo in cui due lati e l'angolo compreso tra loro hanno le dimensioni specificate in anticipo.

Dal metodo di costruzione è chiaro che solo un triangolo può essere costruito utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro. pertanto, se due lati di un triangolo sono uguali a due lati di un altro e gli angoli tra questi lati sono uguali, allora tali triangoli possono essere sovrapposti l'uno all'altro da tutti i punti, cioè anche il loro terzo lato e gli altri angoli devono essere uguali. Ciò significa che l'uguaglianza di due lati dei triangoli e l'angolo tra loro possono servire come segno della completa uguaglianza di questi triangoli. Insomma:

I triangoli sono uguali su entrambi i lati e formano un angolo tra di loro.

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Istruzioni

• Un angolo è formato da due rette che partono da un punto. Questo punto sarà chiamato vertice dell'angolo e le linee saranno i lati dell'angolo.
• Usa tre lettere per rappresentare gli angoli: una in alto, due ai lati. L'angolo viene nominato iniziando con la lettera che sta su un lato, poi viene nominata la lettera che sta al vertice e poi la lettera sull'altro lato. Usa altri modi per indicare gli angoli se preferisci diversamente. A volte viene nominata solo una lettera, che è in alto. E puoi denotare gli angoli con lettere greche, ad esempio α, β, γ.
• Ci sono situazioni in cui è necessario disegnare un angolo in modo che sia uguale all'angolo già dato. Se non è possibile utilizzare un goniometro durante la costruzione di un disegno, puoi farlo solo con un righello e un compasso. Diciamo che su una retta segnata nel disegno con le lettere MN, bisogna costruire un angolo nel punto K, in modo che sia uguale all'angolo B. Cioè dal punto K bisogna tracciare una linea retta che formi con la linea MN un angolo che sarà uguale all'angolo B.
• Per prima cosa, segna un punto su ciascun lato di un dato angolo, ad esempio i punti A e C, quindi collega i punti C e A con una linea retta. Ottieni il triangolo ABC.
• Ora costruisci lo stesso triangolo sulla retta MN in modo che il suo vertice B sia sulla retta nel punto K. Usa la regola per costruire un triangolo su tre lati. Lasciare il segmento KL dal punto K. Deve essere uguale al segmento BC. Ottieni il punto L.
• Dal punto K tracciare una circonferenza di raggio pari al segmento BA. Da L tracciare una circonferenza di raggio CA. Collega il punto risultante (P) di intersezione di due cerchi con K. Ottieni il triangolo KPL, che sarà uguale al triangolo ABC. In questo modo otterrai l'angolo K. Sarà uguale all'angolo B. Per rendere più comoda e veloce questa costruzione, parti dal vertice B segmenti uguali, utilizzando un'apertura del compasso, senza muovere le gambe, descrivi un cerchio con lo stesso raggio dal punto K.

Obiettivi della lezione:

• Formazione della capacità di analizzare il materiale studiato e delle capacità di applicarlo per risolvere problemi;
• Mostrare il significato dei concetti studiati;
• Sviluppo dell'attività cognitiva e indipendenza nell'acquisizione della conoscenza;
• Coltivare l’interesse per l’argomento e il senso della bellezza.

Obiettivi della lezione:

• Sviluppa abilità nel costruire un angolo uguale a quello dato utilizzando un righello, un compasso, un goniometro e un triangolo da disegno.
• Testare le capacità di problem solving degli studenti.

Piano della lezione:

1. Ripetizione.
2. Costruire un angolo uguale ad uno dato.
3. Analisi.
4. Prima l'esempio di costruzione.
5. Esempio di costruzione due.

Ripetizione.

Angolo.

Angolo piatto- una figura geometrica illimitata formata da due raggi (lati di un angolo) che emergono da un punto (vertice dell'angolo).

Si dice anche angolo la figura formata da tutti i punti del piano racchiusi tra questi raggi (In generale, due di tali raggi corrispondono a due angoli, poiché dividono il piano in due parti. Di questi angoli uno è convenzionalmente detto interno, e l'altro altro - esterno.
A volte, per brevità, l'angolo è chiamato misura angolare.

Esiste un simbolo generalmente accettato per denotare un angolo: , proposto nel 1634 dal matematico francese Pierre Erigon.

Angoloè una figura geometrica (Fig. 1), formata da due raggi OA e OB (lati dell'angolo), provenienti da un punto O (vertice dell'angolo).

Un angolo è indicato con un simbolo e tre lettere che indicano le estremità dei raggi e il vertice dell'angolo: AOB (e la lettera del vertice è quella centrale). Gli angoli sono misurati dalla quantità di rotazione del raggio OA attorno al vertice O finché il raggio OA non si sposta nella posizione OB. Esistono due unità ampiamente utilizzate per misurare gli angoli: radianti e gradi. Per la misurazione in radianti degli angoli, vedere di seguito nel paragrafo “Lunghezza dell'arco”, nonché nel capitolo “Trigonometria”.

Sistema di gradi per la misurazione degli angoli.

Qui l'unità di misura è un grado (la sua designazione è °) - questa è una rotazione del raggio di 1/360 di giro completo. Pertanto, una rotazione completa della trave è di 360°. Un grado è diviso in 60 minuti (simbolo '); un minuto – rispettivamente per 60 secondi (designazione “). Un angolo di 90° (Fig. 2) si dice retto; un angolo inferiore a 90° (Fig. 3) è detto acuto; un angolo maggiore di 90° (Fig. 4) è detto ottuso.

Le rette che formano un angolo retto si dicono mutuamente perpendicolari. Se le linee AB e MK sono perpendicolari, allora si denota: AB MK.

Costruire un angolo uguale ad uno dato.

Prima di iniziare la costruzione o risolvere qualsiasi problema, indipendentemente dall'argomento, è necessario eseguire analisi. Comprendi cosa dice il compito, leggilo attentamente e lentamente. Se dopo la prima volta si hanno dubbi o qualcosa non era chiaro o chiaro ma non del tutto, si consiglia di rileggerlo. Se stai svolgendo un compito in classe, puoi chiedere all'insegnante. Altrimenti il ​​tuo compito, che hai frainteso, potrebbe non essere risolto correttamente, oppure potresti trovare qualcosa che non è quello che ti era stato richiesto, e verrà considerato errato e dovrai rifarlo. Quanto a me - È meglio dedicare un po’ più di tempo allo studio del compito piuttosto che rifarlo da capo.

Analisi.

Sia a il raggio dato con vertice A, e l'angolo (ab) sia quello desiderato. Scegliamo i punti B e C rispettivamente sui raggi a e b. Unendo i punti B e C otteniamo il triangolo ABC. Nei triangoli congruenti gli angoli corrispondenti sono uguali, ed è qui che segue il metodo di costruzione. Se sui lati di un dato angolo scegliamo in modo conveniente i punti C e B, e da un dato raggio in un dato semipiano costruiamo un triangolo AB 1 C 1 uguale ad ABC (e questo può essere fatto se sappiamo tutti i lati del triangolo), allora il problema sarà risolto.

Quando si esegue qualsiasi costruzioni Sii estremamente attento e cerca di eseguire tutte le costruzioni con attenzione. Poiché eventuali incongruenze possono comportare qualche tipo di errore, deviazione, che può portare a una risposta errata. E se un'attività di questo tipo viene eseguita per la prima volta, l'errore sarà molto difficile da trovare e correggere.

Prima l'esempio di costruzione.

Disegniamo un cerchio con il centro nel vertice di questo angolo. Siano B e C i punti di intersezione della circonferenza con i lati dell'angolo. Con il raggio AB disegniamo un cerchio con il centro nel punto A 1 – il punto iniziale di questo raggio. Indichiamo il punto di intersezione di questo cerchio con questo raggio come B 1 . Descriviamo una circonferenza con centro in B 1 e raggio BC. Il punto di intersezione C 1 dei cerchi costruiti nel semipiano indicato si trova dal lato dell'angolo desiderato.

I triangoli ABC e A 1 B 1 C 1 sono uguali su tre lati. Gli angoli A e A 1 sono gli angoli corrispondenti di questi triangoli. Pertanto, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Per maggiore chiarezza, puoi considerare le stesse costruzioni in modo più dettagliato.

Esempio di costruzione due.

Resta il compito di riservare anche un angolo uguale a un dato angolo da una data semiretta in un dato semipiano.

Costruzione.

Passaggio 1. Disegniamo un cerchio di raggio arbitrario e centrato nel vertice A di un dato angolo. Siano B e C i punti di intersezione della circonferenza con i lati dell'angolo. E disegniamo il segmento BC.

Passaggio 2. Disegniamo un cerchio di raggio AB con il centro nel punto O, il punto iniziale di questa semiretta. Indichiamo il punto di intersezione del cerchio con il raggio come B 1 .

Passaggio 3. Ora descriviamo una circonferenza con centro B 1 e raggio BC. Sia il punto C 1 l'intersezione dei cerchi costruiti nel semipiano indicato.

Passaggio 4. Disegniamo una semiretta dal punto O attraverso il punto C 1. L'angolo C 1 OB 1 sarà quello desiderato.

Prova.

I triangoli ABC e OB 1 C 1 sono triangoli congruenti con lati corrispondenti. E quindi gli angoli CAB e C 1 OB 1 sono uguali.

Fatto interessante:

In numeri.

Negli oggetti del mondo circostante, noti innanzitutto le loro proprietà individuali che distinguono un oggetto da un altro.

L'abbondanza di proprietà particolari e individuali oscura le proprietà generali inerenti assolutamente a tutti gli oggetti, ed è quindi sempre più difficile rilevare tali proprietà.

Una delle proprietà generali più importanti degli oggetti è che tutti gli oggetti possono essere contati e misurati. Riflettiamo questo proprietà generale oggetti nel concetto di numero.

Le persone hanno imparato il processo di conteggio, cioè il concetto di numero, molto lentamente, nel corso dei secoli, in una lotta persistente per la propria esistenza.

Per contare non bisogna solo possedere oggetti che possono essere contati, ma anche avere già la capacità di astrarre considerando questi oggetti da tutte le loro altre proprietà tranne il numero, e questa capacità è il risultato di un lungo sviluppo storico basato sull'esperienza .

Ogni persona ora impara a contare con l'aiuto dei numeri impercettibilmente durante l'infanzia, quasi contemporaneamente al momento in cui inizia a parlare, ma questo conteggio, che ci è familiare, ha attraversato un lungo percorso di sviluppo e ha assunto forme diverse.

C'è stato un tempo in cui per contare gli oggetti si usavano solo due numeri: uno e due. Nel processo di ulteriore espansione del sistema numerico sono state coinvolte parti corpo umano e innanzitutto le dita, e se questa specie di “numeri” non bastassero, poi anche bastoni, sassi e altre cose.

N. N. Miklouho-Maclay nel suo libro "Viaggi" parla di un divertente metodo di conteggio utilizzato dai nativi della Nuova Guinea:

Domande:

1. Definire l'angolo?
2. Quali tipi di angoli esistono?
3. Qual è la differenza tra diametro e raggio?

Elenco delle fonti utilizzate:

1. Mazur K. I. “Risolvere i principali problemi di concorrenza in matematica della raccolta curata da M. I. Skanavi”
2. Esperto di matematica. BA Kordemskij. Mosca.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometria, 7 – 9: libro di testo per le istituzioni educative”

Ha lavorato sulla lezione:

Levchenko V.S.

Poturnak SA

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