Berapakah jejari bagi sebuah heksagon? Heksagon biasa: mengapa ia menarik dan bagaimana untuk membinanya

Topik poligon diliputi dalam kurikulum sekolah, tetapi tidak cukup perhatian diberikan kepadanya. Sementara itu, ia menarik, dan ini benar terutamanya untuk heksagon biasa atau heksagon - lagipun, banyak objek semula jadi mempunyai bentuk ini. Ini termasuk sarang lebah dan banyak lagi. Borang ini berfungsi dengan baik dalam amalan.

Definisi dan pembinaan

Heksagon sekata ialah rajah satah yang mempunyai enam sisi yang sama panjang dan bilangan sudut yang sama.

Jika kita ingat semula formula bagi jumlah sudut poligon

ternyata dalam angka ini ia bersamaan dengan 720°. Oleh kerana semua sudut rajah adalah sama, mudah untuk mengira bahawa setiap sudut adalah sama dengan 120°.

Melukis heksagon adalah sangat mudah; anda hanya perlukan kompas dan pembaris.

Arahan langkah demi langkah akan kelihatan seperti ini:

Jika anda mahu, anda boleh melakukannya tanpa garisan dengan melukis lima bulatan yang sama jejari.

Angka yang diperoleh itu ialah heksagon biasa, dan ini boleh dibuktikan di bawah.

Hartanah adalah mudah dan menarik

Untuk memahami sifat heksagon biasa, masuk akal untuk membahagikannya kepada enam segi tiga:

Ini akan membantu pada masa hadapan untuk memaparkan sifatnya dengan lebih jelas, yang utamanya ialah:

1. diameter bulatan terhad;
2. diameter bulatan yang tertulis;
3. segi empat sama;
4. perimeter.

Bulatan terhad dan kebolehbinaan

Bulatan boleh diterangkan mengelilingi heksagon, dan hanya satu. Oleh kerana angka ini adalah biasa, anda boleh melakukannya dengan mudah: lukis pembahagi dua dari dua sudut bersebelahan di dalam. Mereka bersilang di titik O, dan bersama-sama dengan sisi di antara mereka membentuk segitiga.

Sudut di antara sisi heksagon dan pembahagi dua bahagian ialah 60°, jadi kita pasti boleh mengatakan bahawa segitiga, sebagai contoh, AOB, ialah sama kaki. Dan kerana sudut ketiga juga akan sama dengan 60°, ia juga sama sisi. Ia berikutan bahawa segmen OA dan OB adalah sama, yang bermaksud ia boleh berfungsi sebagai jejari bulatan.

Selepas ini, anda boleh bergerak ke sisi seterusnya, dan juga melukis pembahagi dua dari sudut di titik C. Hasilnya ialah satu lagi segi tiga sama sisi, dan sisi AB akan menjadi lazim bagi kedua-duanya, dan OS akan menjadi jejari seterusnya yang melaluinya bulatan yang sama. Akan ada enam segi tiga sedemikian secara keseluruhan, dan mereka akan mempunyai bucu sepunya pada titik O. Ternyata bulatan boleh diterangkan, dan hanya ada satu daripadanya, dan jejarinya adalah sama dengan sisi heksagon:

Itulah sebabnya adalah mungkin untuk membina angka ini menggunakan kompas dan pembaris.

Nah, kawasan bulatan ini akan menjadi standard:

Bulatan bertulis

Pusat bulatan akan bertepatan dengan pusat bulatan bertulis. Untuk mengesahkan ini, anda boleh melukis serenjang dari titik O ke sisi heksagon. Mereka akan menjadi ketinggian segi tiga yang membentuk heksagon. Dan dalam segi tiga sama kaki, ketinggian ialah median berkenaan dengan sisi di mana ia terletak. Oleh itu, ketinggian ini tidak lebih daripada pembahagi dua serenjang, iaitu jejari bulatan bertulis.

Ketinggian segitiga sama sisi dikira dengan mudah:

h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2

Dan kerana R=a dan r=h, ternyata begitu

r=R(√3)/2.

Oleh itu, bulatan melalui pusat sisi heksagon sekata.

Kawasannya ialah:

S=3πa²/4,

iaitu tiga perempat daripada apa yang diterangkan.

Perimeter dan luas

Segala-galanya jelas dengan perimeter, ia adalah jumlah panjang sisi:

P=6a, atau P=6R

Tetapi luasnya akan sama dengan jumlah kesemua enam segi tiga di mana heksagon boleh dibahagikan. Oleh kerana luas segi tiga dikira sebagai separuh hasil darab tapak dan tinggi, maka:

S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 atau

S=3R²(√3)/2

Mereka yang ingin mengira kawasan ini melalui jejari bulatan bertulis boleh melakukan ini:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Binaan yang menghiburkan

Anda boleh memasukkan segi tiga ke dalam segi enam, yang sisinya akan menyambungkan bucu melalui satu:

Akan ada dua daripada mereka secara keseluruhan, dan pertindihan mereka akan memberikan Bintang Daud. Setiap segi tiga ini adalah sama sisi. Ini tidak sukar untuk disahkan. Jika anda melihat bahagian AC, ia tergolong dalam dua segi tiga sekaligus - BAC dan AEC. Jika dalam yang pertama AB = BC, dan sudut di antara mereka ialah 120°, maka setiap yang tinggal ialah 30°. Dari sini kita boleh membuat kesimpulan logik:

1. Ketinggian ABC dari bucu B akan sama dengan separuh sisi heksagon, kerana sin30°=1/2. Mereka yang ingin mengesahkan ini boleh dinasihatkan untuk mengira semula menggunakan teorem Pythagoras ia sesuai di sini dengan sempurna.
2. AC sisi akan sama dengan dua jejari bulatan tersurat, yang sekali lagi dikira menggunakan teorem yang sama. Iaitu, AC=2(a(√3)/2)=a(√3).
3. Segitiga ABC, CDE dan AEF adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka, dan dari sini ia mengikuti bahawa sisi AC, CE dan EA adalah sama.

Bersilang antara satu sama lain, segi tiga membentuk heksagon baharu, dan ia juga teratur. Ini terbukti dengan mudah:

Oleh itu, angka itu memenuhi ciri-ciri heksagon biasa - ia mempunyai enam sisi yang sama dan sudut. Daripada kesamaan segi tiga di bucu adalah mudah untuk menyimpulkan panjang sisi heksagon baharu:

d=a(√3)/3

Ia juga akan menjadi jejari bulatan yang diterangkan di sekelilingnya. Jejari yang tertera akan menjadi separuh saiz sisi heksagon besar, yang telah dibuktikan apabila mempertimbangkan segi tiga ABC. Ketinggiannya betul-betul separuh daripada sisi, oleh itu, separuh kedua ialah jejari bulatan yang tertulis dalam heksagon kecil:

r₂=a/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Ternyata bahawa kawasan heksagon di dalam Bintang Daud adalah tiga kali lebih kecil daripada yang besar di mana bintang itu tertulis.

Dari teori kepada amalan

Sifat heksagon sangat aktif digunakan dalam alam semula jadi dan dalam pelbagai bidang aktiviti manusia. Pertama sekali, ini terpakai kepada bolt dan nat - kepala pertama dan kedua tidak lebih daripada segi enam biasa, jika anda tidak mengambil kira chamfers. Saiz sepana sepadan dengan diameter bulatan yang tertulis - iaitu jarak antara tepi bertentangan.

Jubin heksagon juga telah menemui aplikasinya. Ia lebih kurang biasa daripada segi empat, tetapi lebih mudah untuk meletakkannya: tiga jubin bertemu pada satu titik, bukannya empat. Komposisi boleh menjadi sangat menarik:

Jubin konkrit untuk penurapan juga dihasilkan.

Kelaziman heksagon dalam alam semula jadi dijelaskan secara ringkas. Oleh itu, adalah paling mudah untuk memuatkan bulatan dan bola dengan ketat pada satah jika ia mempunyai diameter yang sama. Kerana ini, sarang lebah mempunyai bentuk ini.

Adakah anda tahu rupa heksagon biasa?
Soalan ini tidak ditanya secara kebetulan. Kebanyakan pelajar darjah 11 tidak tahu jawapan untuk ini.

Heksagon sekata ialah satu di mana semua sisi adalah sama dan semua sudut juga sama..

Kacang besi. Kepingan salji. Sel sarang lebah di mana lebah hidup. Molekul Benzena. Apakah persamaan objek ini? - Hakikat bahawa mereka semua mempunyai bentuk heksagon biasa.

Ramai murid sekolah menjadi keliru apabila mereka melihat masalah yang melibatkan heksagon biasa dan percaya bahawa beberapa formula khas diperlukan untuk menyelesaikannya. Adakah ini benar?

Mari kita lukis pepenjuru bagi heksagon sekata. Kami mendapat enam segi tiga sama sisi.

Kita tahu bahawa luas segi tiga sekata ialah: .

Kemudian luas heksagon biasa adalah enam kali lebih besar.

Di manakah sisi heksagon sekata.

Sila ambil perhatian bahawa dalam heksagon sekata, jarak dari pusatnya ke mana-mana bucu adalah sama dan sama dengan sisi heksagon sekata.

Ini bermakna jejari bulatan yang dihadkan di sekeliling heksagon sekata adalah sama dengan sisinya.
Jejari bulatan yang ditulis dalam heksagon biasa tidak sukar dicari.
Ia adalah sama.
Kini anda boleh menyelesaikan mana-mana dengan mudah Tugas Peperiksaan Negeri Bersepadu, di mana heksagon biasa muncul.

Cari jejari bulatan yang ditulis dalam heksagon sekata dengan sisi .

Jejari bulatan sedemikian adalah sama dengan .

Jawapan: .

Apakah sisi heksagon sekata yang tertulis dalam bulatan yang jejarinya ialah 6?

Kita tahu bahawa sisi heksagon sekata adalah sama dengan jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya.

Angka yang paling terkenal dengan lebih daripada empat penjuru ialah heksagon biasa. Dalam geometri ia sering digunakan dalam masalah. Dan dalam kehidupan, inilah rupa sarang lebah apabila dipotong.

Bagaimana ia berbeza dengan yang salah?

Pertama, heksagon ialah rajah dengan 6 bucu. Kedua, ia boleh cembung atau cekung. Yang pertama berbeza dalam empat bucu terletak pada satu sisi garis lurus yang dilukis melalui dua yang lain.

Ketiga, heksagon biasa dicirikan oleh fakta bahawa semua sisinya adalah sama. Selain itu, setiap sudut rajah juga mempunyai maksud yang sama. Untuk menentukan jumlah semua sudutnya, anda perlu menggunakan formula: 180º * (n - 2). Di sini n ialah bilangan bucu rajah, iaitu 6. Pengiraan mudah memberikan nilai 720º. Iaitu, setiap sudut adalah sama dengan 120 darjah.

DALAM aktiviti harian heksagon biasa ditemui dalam kepingan salji dan kacang. Ahli kimia melihatnya walaupun dalam molekul benzena.

Apakah sifat yang perlu anda ketahui semasa menyelesaikan masalah?

Kepada apa yang dinyatakan di atas harus ditambah:

• pepenjuru rajah yang dilukis melalui pusat membahagikannya kepada enam segi tiga, yang sama sisi;
• sisi heksagon sekata mempunyai nilai yang bertepatan dengan jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya;
• Menggunakan angka sedemikian, adalah mungkin untuk mengisi pesawat, dan tidak akan ada jurang di antara mereka dan tiada pertindihan.

Penamaan yang diperkenalkan

Secara tradisinya, sisi rajah geometri biasa ditetapkan huruf latin"A". Untuk menyelesaikan masalah, luas dan perimeter juga diperlukan, ini adalah S dan P, masing-masing. Bulatan boleh ditulis dalam heksagon biasa atau diterangkan di sekelilingnya. Kemudian nilai untuk jejari mereka dimasukkan. Mereka ditetapkan oleh huruf r dan R, masing-masing.

Sesetengah formula termasuk sudut dalaman, separuh perimeter dan apotema (yang berserenjang dengan tengah mana-mana sisi dari pusat poligon). Huruf yang digunakan untuk mereka ialah: α, р, m.

Formula yang menerangkan angka

Untuk mengira jejari bulatan bertulis anda memerlukan yang berikut: r = (a * √3) / 2, dengan r = m. Iaitu, formula yang sama adalah untuk apotema.

Oleh kerana perimeter heksagon ialah hasil tambah semua sisi, ia akan ditentukan seperti berikut: P = 6 * a. Mengambil kira hakikat bahawa sisi adalah sama dengan jejari bulatan yang tersurat, untuk perimeter terdapat formula berikut untuk heksagon sekata: P = 6 * R. Daripada yang diberikan untuk jejari bulatan bertulis, hubungan antara a dan r diterbitkan. Kemudian formula mengambil bentuk berikut: P = 4 r * √3.

Untuk luas heksagon sekata, perkara berikut mungkin berguna: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Tugasan

No 1. Syarat. Terdapat sebuah prisma heksagon sekata, setiap tepinya ialah 4 cm Sebuah silinder tertulis di dalamnya, yang isipadunya mesti dijumpai.

Penyelesaian. Isipadu silinder ditakrifkan sebagai hasil darab luas tapak dan ketinggian. Yang terakhir bertepatan dengan tepi prisma. Dan ia adalah sama dengan sisi heksagon biasa. Iaitu, ketinggian silinder juga 4 cm.

Untuk mengetahui luas tapaknya, anda perlu mengira jejari bulatan yang tertulis dalam heksagon. Formula untuk ini diberikan di atas. Ini bermakna r = 2√3 (cm). Kemudian luas bulatan: S = π * r 2 = 3.14 * (2√3) 2 = 37.68 (cm 2).

Jawab. V = 150.72 cm 3.

No 2. Syarat. Hitung jejari bulatan yang ditulis dalam heksagon sekata. Diketahui bahawa sisinya ialah √3 cm Berapakah perimeternya?

Penyelesaian. Masalah ini memerlukan penggunaan dua daripada formula berikut. Lebih-lebih lagi, ia mesti digunakan tanpa mengubahnya, cuma gantikan nilai sisi dan hitung.

Oleh itu, jejari bulatan bertulis adalah sama dengan 1.5 cm Untuk perimeter, nilai berikut ternyata betul: 6√3 cm.

Jawab. r = 1.5 cm, P = 6√3 cm.

No 3. Syarat. Jejari bulatan yang dihadkan ialah 6 cm Apakah nilai sisi heksagon sekata dalam kes ini?

Penyelesaian. Daripada formula untuk jejari bulatan yang ditulis dalam heksagon, seseorang dengan mudah memperoleh satu yang anda perlukan untuk mengira sisi. Jelaslah bahawa jejari didarab dengan dua dan dibahagikan dengan punca tiga. Ia adalah perlu untuk menghilangkan ketidakrasionalan dalam penyebut. Oleh itu, keputusan tindakan mengambil bentuk berikut: (12 √3) / (√3 * √3), iaitu, 4√3.

Jawab. a = 4√3 cm.

Sifat matematik

Keistimewaan heksagon sekata ialah kesamaan sisinya dan jejari bulatan berhad, kerana

Semua sudut adalah sama dengan 120°.

Jejari bulatan bertulis adalah sama dengan:

Perimeter bagi heksagon sekata ialah:

Luas heksagon biasa dikira menggunakan formula:

Hexagons jubin satah, iaitu, mereka boleh mengisi satah tanpa jurang atau pertindihan, membentuk parket yang dipanggil.

Parket heksagon (parket heksagon)- jubin satah dengan heksagon sekata yang sama terletak sebelah ke sisi.

Parket heksagon adalah parket dwi kepada segi tiga: jika anda menyambungkan pusat heksagon bersebelahan, maka segmen yang dilukis akan memberikan parket segi tiga. Simbol Schläfli untuk parket heksagon ialah (6,3), yang bermaksud bahawa tiga heksagon bertemu pada setiap bucu parket.

Parket heksagon ialah pembungkusan bulatan yang paling padat pada satah. Dalam ruang Euclidean dua dimensi, pengisian terbaik ialah meletakkan pusat bulatan pada bucu parket yang dibentuk oleh heksagon biasa, di mana setiap bulatan dikelilingi oleh enam yang lain. Ketumpatan pakej ini ialah .

Pada tahun 1940, telah terbukti bahawa pembungkusan ini adalah yang paling padat.

Heksagon biasa dengan sisi adalah penutup universal, iaitu, sebarang set diameter boleh dilitupi oleh heksagon biasa dengan sisi (lemma Pala).

Heksagon biasa boleh dibina menggunakan kompas dan pembaris. Di bawah ialah kaedah pembinaan yang dicadangkan oleh Euclid dalam Elemen, Buku IV, Teorem 15.

Heksagon biasa dalam alam semula jadi, teknologi dan budaya

tunjukkan pembahagian satah kepada heksagon sekata. Bentuk heksagon membolehkan anda menjimatkan di dinding lebih daripada yang lain, iaitu, kurang lilin akan dibelanjakan untuk sarang lebah dengan sel tersebut. Beberapa kristal dan molekul kompleks

Terbentuk apabila titisan air mikroskopik di awan tertarik kepada zarah habuk dan membeku. Hablur ais yang muncul, pada mulanya tidak melebihi diameter 0.1 mm, jatuh ke bawah dan membesar akibat pemeluwapan lembapan dari udara ke atasnya. Ini menghasilkan bentuk kristal berbucu enam. Disebabkan oleh struktur molekul air, sudut hanya 60° dan 120° mungkin antara sinaran kristal. Kristal air utama mempunyai bentuk heksagon biasa dalam satah. Kristal baru kemudiannya dimendapkan pada bucu heksagon sedemikian, dan yang baru didepositkan padanya, dan ini adalah bagaimana pelbagai bentuk bintang kepingan salji diperolehi.

Para saintis dari Universiti Oxford dapat mensimulasikan rupa heksagon sedemikian dalam keadaan makmal. Untuk mengetahui bagaimana pembentukan ini berlaku, para penyelidik meletakkan botol air 30 liter di atas meja berputar. Ia mensimulasikan atmosfera Zuhal dan putaran normalnya. Di dalamnya, para saintis meletakkan cincin kecil yang berputar lebih cepat daripada bekas. Ini menghasilkan vorteks dan jet kecil, yang digambarkan oleh penguji menggunakan cat hijau. Semakin cepat cincin itu berputar, semakin besar vorteksnya, menyebabkan aliran yang berdekatan menyimpang dari bentuk bulatnya. Dengan cara ini, pengarang eksperimen berjaya memperoleh pelbagai bentuk - bujur, segi tiga, segi empat sama dan, tentu saja, heksagon yang dikehendaki.

Sebuah monumen semula jadi dengan kira-kira 40,000 tiang basalt (kurang kerap andesit) yang saling bersambung terbentuk hasil daripada letusan gunung berapi purba. Terletak di timur laut Ireland Utara 3 km di utara bandar Bushmills.

Bahagian atas tiang membentuk sejenis papan anjal, yang bermula di kaki tebing dan hilang di bawah permukaan laut. Kebanyakan lajur adalah heksagon, walaupun ada yang mempunyai empat, lima, tujuh dan lapan bucu. Lajur tertinggi adalah kira-kira 12 m tinggi.

Sekitar 50-60 juta tahun yang lalu, semasa tempoh Paleogene, tapak Antrim tertakluk kepada aktiviti gunung berapi yang sengit kerana basalt cair menembusi sedimen untuk membentuk dataran tinggi lava yang luas. Apabila bahan menyejuk dengan cepat, isipadu bahan berkurangan (perkara yang sama diperhatikan apabila lumpur kering). Mampatan mendatar menghasilkan struktur tiang heksagon yang berciri.

Keratan rentas kacang mempunyai bentuk heksagon biasa.