Berapakah luas ketupat dengan sisinya? Kawasan belah ketupat

Dalam artikel yang akan kita pertimbangkan rumus luas belah ketupat dan bukan hanya satu! Kami akan menunjukkan kepada anda dalam gambar betapa mudahnya untuk menjadi luas belah ketupat menggunakan formula mudah.

wujud bilangan yang besar tugas untuk mencari satu atau kuantiti lain dalam rombus, dan formula yang akan dibincangkan akan membantu kita dengan ini.
Ketupat ialah jenis segiempat yang berasingan kerana semua sisinya adalah sama. Ia juga mewakili kes khas segi empat selari di mana sisi AB=BC=CD=AD adalah sama.

Nota: Jika anda memerlukan kerja kursus, ujian atau tesis, maka anda harus pergi ke webmath.ru. atau tekan sahaja link untuk order kerja kursus(http://www.webmath.ru/zakaz_kursovye.php).

Ketupat mempunyai sifat berikut:

Sebuah rombus mempunyai sudut selari yang sama
- penambahan dua sudut bersebelahan adalah sama dengan 180 darjah,
- Persilangan pepenjuru pada sudut 90 darjah,
- Pembelah dua bagi rombus ialah pepenjurunya,
- Apabila bersilang, pepenjuru dibahagikan kepada bahagian yang sama.

Rhombus mempunyai ciri-ciri berikut:

Jika segi empat selari di mana pepenjuru bertemu pada sudut 90 darjah, maka ia dipanggil rombus.
- Jika segi empat selari yang pembahagi duanya ialah pepenjuru, maka ia dipanggil rombus.
- Jika segi empat selari mempunyai sisi yang sama, ia adalah rombus.
- Jika segiempat mempunyai sisi yang sama, ia adalah rombus.
- Jika segi empat di mana pembahagi duanya ialah pepenjuru dan pepenjuru bertemu pada sudut 90 darjah, maka ia adalah rombus.
- Jika segi empat selari mempunyai ketinggian yang sama, ia adalah rombus.

Daripada tanda-tanda di atas kita boleh menyimpulkan bahawa ia diperlukan untuk belajar memisahkan ketupat daripada angka lain yang serupa dengannya.

Kerana dalam ketupat semua sisi adalah sama perimeter ialah mengikut formula berikut:
P=4a
Kawasan formula rombus

Terdapat beberapa formula. Yang paling mudah diselesaikan dengan menambah luas 2 segi tiga, yang diperoleh dengan membahagikan pepenjuru.

Menggunakan formula kedua, anda boleh menyelesaikan masalah dengan pepenjuru yang diketahui bagi rombus. Dalam kes ini, luas rombus ialah: jumlah pepenjuru dibahagikan dengan dua.

Ia sangat mudah untuk diselesaikan dan tidak akan dilupakan.

Formula ketiga boleh digunakan apabila anda mengetahui sudut antara sisi. Mengetahuinya, anda boleh mencari luas rombus; ia akan sama dengan kuasa dua sisi dikali sinus sudut. Tidak ada bezanya sudut mana. kerana sinus suatu sudut mempunyai nilai yang sama.

Adalah penting untuk diingat bahawa luas diukur dalam segi empat sama, dan perimeter diukur dalam unit. Formula ini sangat mudah digunakan dalam amalan.

Anda juga mungkin menghadapi masalah yang melibatkan mencari jejari bulatan yang tertulis dalam rombus.

Terdapat juga beberapa formula untuk ini:

Menggunakan formula pertama, jejari didapati sebagai hasil darab pepenjuru dibahagikan dengan nombor yang diperoleh daripada penambahan semua sisi. atau sama dengan separuh ketinggian (r=h/2).

Formula kedua mengambil prinsip dari yang pertama dan terpakai kita tahu pepenjuru dan sisi rombus.

Dalam formula ketiga, jejari berasal dari ketinggian segi tiga yang lebih kecil yang terhasil daripada persimpangan.

ialah segi empat selari di mana semua sisi adalah sama, maka semua formula yang sama digunakan untuknya seperti segi empat selari, termasuk formula untuk mencari luas melalui hasil darab ketinggian dan sisi.

Luas rombus boleh didapati dengan mengetahui pepenjurunya. Diagonal membahagikan belah ketupat kepada empat segi tiga tepat yang sama. Jika kita menyusunnya untuk mendapatkan segi empat tepat, maka panjang dan lebarnya akan sama dengan satu pepenjuru keseluruhan dan separuh pepenjuru kedua. Oleh itu, luas rombus ditemui dengan mendarab pepenjuru rombus, dikurangkan dengan dua (sebagai luas segi empat tepat yang terhasil).

Jika anda hanya mempunyai sudut dan sisi yang anda gunakan, maka anda boleh menggunakan pepenjuru sebagai pembantu dan melukisnya bertentangan dengan sudut yang diketahui. Kemudian ia akan membahagikan belah ketupat kepada dua segi tiga yang kongruen, jumlah kawasan yang akan memberikan kita luas ketupat. Luas setiap segi tiga akan sama dengan separuh hasil darab segi empat sama sisi dan sinus sudut yang diketahui, sebagai luas segi tiga sama kaki. Oleh kerana terdapat dua segi tiga sedemikian, pekali dikurangkan, hanya meninggalkan sisi kepada kuasa kedua dan sinus:

Jika anda menulis bulatan di dalam rombus, maka jejarinya akan berkaitan dengan sisi pada sudut 90°, yang bermaksud dua kali jejari akan sama dengan ketinggian rombus. Menggantikan daripada ketinggian h=2r ke dalam formula sebelumnya, kita mendapat luas S=ha=2ra

Jika, bersama-sama dengan jejari bulatan bertulis, bukan sisi, tetapi sudut diberikan, maka anda harus terlebih dahulu mencari sisi dengan melukis ketinggian sedemikian rupa untuk mendapatkan segi tiga tepat dengan sudut tertentu. Kemudian sisi a boleh didapati daripada hubungan trigonometri menggunakan formula . Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula standard yang sama untuk luas rombus, kita dapat

Definisi berlian

Ketupat ialah segi empat selari di mana semua sisi adalah sama antara satu sama lain.

Kalkulator dalam talian

Jika sisi rombus membentuk sudut tegak, maka kita dapat segi empat sama.

Diagonal bagi rombus bersilang pada sudut tepat.
Diagonal bagi rombus ialah pembahagi dua sudutnya.

Luas rombus, seperti kawasan kebanyakan bentuk geometri, boleh didapati dalam beberapa cara. Mari kita fahami intipati mereka dan pertimbangkan contoh penyelesaian.

Formula untuk luas rombus dengan sisi dan ketinggian

Biarlah kita diberi ketupat dengan sisi a a dan ketinggian h h h, ditarik ke sisi ini. Oleh kerana rombus ialah segi empat selari, kita dapati luasnya dengan cara yang sama seperti luas segi empat selari.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- sisi;
h h h- ketinggian diturunkan ke tepi a a.

Mari kita selesaikan contoh mudah.

Contoh

Sisi ketupat ialah 5 (cm). Ketinggian yang diturunkan ke sisi ini mempunyai panjang 2 (cm). Cari luas rombus S S S.

Penyelesaian

A = 5 a=5 a =5
h = 2 h=2 h =2

Kami menggunakan formula kami dan mengira:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=a ⋅h =5 ⋅ 2 = 1 0 (lihat persegi)

Jawapan: 10 cm persegi

Formula untuk luas rombus menggunakan pepenjuru

Semuanya semudah di sini. Anda hanya perlu mengambil separuh daripada hasil pepenjuru dan dapatkan luasnya.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ​ ⋅ d 1 ​ ⋅ d 2 ​

D 1, d 2 d_1, d_2 d 1 ​ , d 2 ​ - pepenjuru belah ketupat.

Contoh

Salah satu pepenjuru rombus ialah 7 (cm), dan satu lagi adalah 2 kali lebih besar daripada yang pertama. Cari luas rajah itu.

Penyelesaian

D 1 = 7 d_1=7 d 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​

Mari cari pepenjuru kedua:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Kemudian kawasan:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (lihat persegi)

Jawapan: 49 cm persegi

Formula untuk luas rombus menggunakan dua sisi dan sudut di antara mereka

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=a 2 ⋅ dosa(α)

A a a- sisi rombus;
α\alfa α - mana-mana sudut rombus.

Contoh

Cari luas rombus jika setiap sisinya ialah 10 cm dan sudut antara dua sisi yang bersebelahan ialah 30 darjah.

Penyelesaian

A = 10 a=10 a =1 0
α = 3 0 ∘ \alfa=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Menggunakan formula yang kita dapat:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=a 2 ⋅ sin(α) =1 0 0 ⋅ dosa (3 0 ∘ ) = 5 0 (lihat persegi)

Jawapan: 50 cm persegi

Formula untuk luas rombus berdasarkan jejari bulatan dan sudut yang tertulis

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=dosa(α)4 ⋅ r 2 ​

R r r- jejari bulatan yang tertulis dalam rombus;
α\alfa α - mana-mana sudut rombus.

Contoh

Cari luas rombus jika sudut antara tapak ialah 60 darjah dan jejari bulatan bersurat ialah 4 (cm).

Penyelesaian

R = 4 r=4 r =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\lebih kurang73.9S=dosa(α)4 ⋅ r 2 ​ = dosa (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (lihat persegi)

Jawapan: 73.9 cm persegi

Formula untuk luas rombus berdasarkan jejari bulatan dan sisi yang tertulis

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ a ⋅r

A a a-sisi belah ketupat;
r r r- jejari bulatan bertulis dalam rombus.

Contoh

Mari kita ambil syarat dari masalah sebelumnya, tetapi biarlah kita bukannya sudut mengetahui sisi rombus sama dengan 5 cm.

Penyelesaian

A = 5 a=5 a =5
r = 4 r=4 r =4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ a ⋅r =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (lihat persegi)

Jawapan: 40 cm persegi

Apa itu Rhombus? Rombus ialah segi empat selari dengan semua sisi sama.

RHOMBUS, angka pada satah, segi empat dengan sisi yang sama. Ketupat ialah kes khas SELARI, di mana sama ada dua sisi bersebelahan adalah sama, atau pepenjuru bersilang pada sudut tepat, atau pepenjuru membelah sudut. Rombus dengan sudut tegak dipanggil segi empat sama.

Formula klasik untuk luas rombus adalah untuk mengira nilai melalui ketinggian. Luas rombus adalah sama dengan hasil darab sisi dan tinggi yang dilukis pada sisi itu.

1. Luas rombus adalah sama dengan hasil darab sisi dan ketinggian yang dilukis pada sisi ini:

\[ S = a \cdot h \]

2. Jika sisi rombus diketahui (semua sisi rombus adalah sama) dan sudut antara sisi, maka luasnya boleh dicari menggunakan formula berikut:

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. Luas rombus juga sama dengan hasil separuh pepenjuru, iaitu:

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Jika jejari r bulatan yang ditulis dalam rombus dan sisi rombus a diketahui, maka luasnya dikira dengan formula:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Sifat-sifat rombus

Dalam rajah di atas, \(ABCD\) ialah rombus, \(AC = DB = CD = AD\) . Memandangkan rombus ialah segi empat selari, ia mempunyai semua sifat segi empat selari, tetapi terdapat juga sifat yang wujud hanya pada rombus.

Anda boleh memasukkan bulatan ke dalam mana-mana rombus. Pusat bulatan yang ditulis dalam rombus ialah titik persilangan pepenjurunya. Jejari bulatan sama dengan separuh ketinggian rombus:

\[ r = \frac( AH )(2) \]

Sifat-sifat rombus

Diagonal rombus adalah berserenjang;

Diagonal bagi rombus ialah pembahagi dua sudutnya.

Tanda-tanda berlian

Jajaran selari yang pepenjurunya bersilang pada sudut tepat ialah rombus;

Sebuah segi empat selari yang pepenjurunya ialah pembahagi dua sudutnya ialah rombus.

Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!

Ketupat ialah angka istimewa dalam geometri. Terima kasih kepada sifat istimewanya, tidak ada satu, tetapi beberapa formula yang boleh digunakan untuk mengira luas rombus. Apakah sifat-sifat ini dan apakah formula yang paling biasa untuk mencari luas angka ini? Mari kita fikirkan.

Apakah rajah geometri yang dipanggil rombus?

Sebelum anda mengetahui apakah luas rombus, anda perlu mengetahui jenis angka itu.

Dari zaman geometri Euclidean, rombus ialah segiempat simetri, keempat-empat sisinya adalah sama panjang dan selari berpasangan.

Asal usul istilah

Nama tokoh ini menjadi majoriti bahasa moden daripada bahasa Yunani, melalui perantaraan bahasa Latin. "nenek moyang" perkataan "rhombus" ialah kata nama Yunani ῥόμβος (tamborin). Walaupun sukar bagi penduduk abad kedua puluh, yang terbiasa dengan rebana bulat, untuk membayangkannya dalam bentuk lain, di kalangan orang Hellene alat muzik ini secara tradisinya dibuat bukan bulat, tetapi berbentuk berlian.

Dalam kebanyakan bahasa moden, istilah matematik ini digunakan seperti dalam bahasa Latin: rombus. Walau bagaimanapun, dalam Inggeris Kadang-kadang belah ketupat dipanggil berlian (berlian atau berlian). Angka ini menerima nama samaran ini kerana bentuknya yang istimewa, mengingatkan permata. Sebagai peraturan, istilah yang sama tidak digunakan untuk semua belah ketupat, tetapi hanya untuk mereka yang sudut persilangan dua sisinya adalah sama dengan enam puluh atau empat puluh lima darjah.

Tokoh ini pertama kali disebut dalam tulisan seorang ahli matematik Yunani yang hidup pada abad pertama. era baru- Bangau dari Iskandariah.

Apakah sifat yang ada pada rajah geometri ini?

Untuk mencari luas rombus, pertama sekali anda perlu mengetahui ciri-ciri yang ada pada rajah geometri ini.

Dalam keadaan apakah segi empat selari ialah rombus?

Seperti yang anda ketahui, setiap rombus ialah segi empat selari, tetapi tidak setiap segi empat selari ialah rombus. Untuk menyatakan dengan tepat bahawa rajah yang dibentangkan sememangnya rombus, dan bukan selari yang mudah, ia mesti sepadan dengan salah satu daripada tiga ciri utama yang membezakan rombus. Atau ketiga-tiganya sekali gus.

1. Diagonal bagi segi empat selari bersilang pada sudut sembilan puluh darjah.
2. Diagonal membahagikan sudut kepada dua, bertindak sebagai pembahagi duanya.
3. Bukan sahaja selari, tetapi juga sisi bersebelahan mempunyai panjang yang sama. Ini, dengan cara ini, adalah salah satu perbezaan utama antara rombus dan segi empat selari, kerana angka kedua hanya mempunyai sisi selari yang sama panjang, tetapi bukan yang bersebelahan.

Dalam keadaan apakah belah ketupat ialah segi empat sama?

Mengikut sifatnya, dalam beberapa kes, rombus boleh menjadi segi empat sama secara serentak. Untuk mengesahkan kenyataan ini dengan jelas, hanya putar segi empat sama ke mana-mana arah sebanyak empat puluh lima darjah. Angka yang terhasil akan menjadi rombus, setiap sudutnya adalah sama dengan sembilan puluh darjah.

Juga, untuk mengesahkan bahawa segi empat sama ialah rombus, anda boleh membandingkan ciri-ciri angka ini: dalam kedua-dua kes, semua sisi adalah sama, dan pepenjuru adalah pembahagi dua dan bersilang pada sudut sembilan puluh darjah.

Bagaimana untuk mengetahui luas rombus menggunakan pepenjurunya

DALAM dunia moden Di Internet anda boleh menemui hampir semua bahan untuk melakukan pengiraan yang diperlukan. Oleh itu, terdapat banyak sumber yang dilengkapi dengan program untuk mengira kawasan angka tertentu secara automatik. Lebih-lebih lagi, jika (seperti dalam kes rombus) terdapat beberapa formula untuk ini, maka anda boleh memilih mana yang paling mudah digunakan. Walau bagaimanapun, pertama sekali, anda perlu dapat mengira sendiri kawasan rombus tanpa bantuan komputer dan menavigasi formula. Terdapat banyak daripada mereka untuk rombus, tetapi yang paling terkenal daripada mereka adalah empat.

Salah satu cara paling mudah dan paling biasa untuk mengetahui luas angka ini adalah jika anda mempunyai maklumat tentang panjang pepenjurunya. Jika masalah mempunyai data ini, maka anda boleh menggunakan formula berikut untuk mencari luas: S = KM x LN/2 (KM dan LN ialah pepenjuru bagi rombus KLMN).

Anda boleh menyemak kebolehpercayaan formula ini dalam amalan. Katakan rombus KLMN mempunyai panjang salah satu pepenjurunya KM - 10 cm, dan LN kedua - 8 cm Kemudian kita menggantikan data ini ke dalam formula di atas dan mendapatkan hasil berikut: S = 10 x 8/ 2 =. 40 cm 2.

Formula untuk mengira luas segi empat selari

Ada formula lain. Seperti yang dinyatakan di atas dalam definisi rombus, ia bukan hanya segiempat, tetapi juga selari, dan mempunyai semua ciri angka ini. Dalam kes ini, untuk mencari luasnya, adalah dinasihatkan untuk menggunakan formula yang digunakan untuk segi empat selari: S = KL x Z. Dalam kes ini, KL ialah panjang sisi segi empat selari (rombus), dan Z ialah panjang ketinggian yang dilukis ke sisi ini.

Dalam beberapa masalah, panjang sisi tidak disediakan, tetapi perimeter rombus diketahui. Oleh kerana formula untuk mencarinya telah ditunjukkan di atas, anda boleh menggunakannya untuk mengetahui panjang sisi. Jadi, perimeter rajah ialah 10 cm Panjang sisi boleh didapati dengan menyongsangkan formula perimeter dan membahagikan 10 dengan 4. Hasilnya ialah 2.5 cm - ini adalah panjang sisi rombus yang dikehendaki.

Sekarang patut cuba menggantikan nombor ini ke dalam formula, mengetahui bahawa panjang ketinggian yang dilukis ke sisi juga sama dengan 2.5 cm Sekarang mari kita cuba masukkan nilai-nilai ini ke dalam formula di atas untuk luas a segi empat selari. Ternyata luas belah ketupat ialah S = 2.5 x 2.5 = 6.25 cm 2.

Cara lain untuk mengira luas rombus

Mereka yang telah menguasai sinus dan kosinus boleh menggunakan formula yang mengandunginya untuk mencari luas rombus. Contoh klasik ialah formula berikut: S = KM 2 x Sin KLM. Dalam kes ini, luas rajah adalah sama dengan hasil darab kedua-dua belah rombus didarab dengan sinus sudut di antara mereka. Dan oleh kerana semua sisi dalam rombus adalah sama, lebih mudah untuk segera mengkuadratkan satu sisi, seperti yang ditunjukkan dalam formula.

Kami menyemak skema ini dalam amalan, dan bukan hanya untuk rombus, tetapi untuk segi empat sama, yang, seperti yang anda ketahui, mempunyai semua sudut tepat, yang bermaksud ia sama dengan sembilan puluh darjah. Katakan salah satu sisi ialah 15 cm Ia juga diketahui bahawa sinus sudut 90° sama dengan satu. Kemudian, mengikut formula, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.

Sebagai tambahan kepada perkara di atas, dalam beberapa kes formula lain digunakan, menggunakan sinus untuk menentukan luas rombus: S = 4 x R 2 /Sin KLM. Dalam penjelmaan ini, jejari bulatan yang ditulis dalam rombus digunakan. Ia dinaikkan kepada kuasa segi empat sama dan didarab dengan empat. Dan keseluruhan hasil dibahagikan dengan sinus sudut yang paling hampir dengan angka yang tertulis.

Sebagai contoh, untuk kesederhanaan pengiraan, mari kita ambil segi empat sama sekali lagi (sinus sudutnya akan sentiasa sama dengan satu). Jejari bulatan yang tertulis di dalamnya ialah 4.4 cm Kemudian luas belah ketupat akan dikira seperti berikut: S = 4 x 4.4 2 / Sin 90 ° = 77.44 cm 2.

Formula di atas untuk mencari jejari rombus adalah jauh dari satu-satunya jenisnya, tetapi ia adalah yang paling mudah untuk difahami dan menjalankan pengiraan.