Ardıcıllıqlardan hansı monoton və məhduddur. Monoton ardıcıllığın həddi haqqında Weierstrass teoremi

Tərif: hər kəs varsa n є N, uyğun x n є N, sonra belə deyirlər

forma ədədi sonrakı ardıcıllıq.

- üzvləri ardıcıllıqlar

- general üzv ardıcıllıqlar

Təqdim olunan tərif hər hansı bir şeyi nəzərdə tutur nömrə ardıcıllığı sonsuz olmalıdır, lakin bu o demək deyil ki, bütün şərtlər fərqli ədədlər olmalıdır.

Nömrə ardıcıllığı nəzərə alınır verilmişdir, ardıcıllığın hər hansı bir üzvünün tapıla biləcəyi qanun müəyyən edilərsə.

Üzvlər və ya ardıcıllıq elementləri (1) bütün natural ədədlərlə artan qaydada nömrələnir. n+1 > n-1 üçün ədədin özünün ədəddən böyük, kiçik və ya hətta ona bərabər olmasından asılı olmayaraq, termin termindən sonra gəlir (əvvəldir).

Tərif: Bir sıra ardıcıllığı alan x dəyişəni (1) dəyərlər, biz - Meray (Ç.Meray) ardınca - çağıracağıq seçim.

Məktəb riyaziyyat kursunda siz məhz bu tip dəyişənləri, məsələn, variantlar tapa bilərsiniz.

Məsələn, kimi bir ardıcıllıq

(arifmetik) və ya növü

(həndəsi irəliləmə)

Bu və ya digər irəliləyişin dəyişən terminidir seçim.

Çevrənin təyini ilə əlaqədar olaraq, adətən, tərəflərin sayını ardıcıl olaraq ikiqat artırmaqla altıbucaqlıdan alınan, çevrəyə daxil edilmiş müntəzəm çoxbucaqlının perimetri nəzərə alınır. Beləliklə, bu seçim aşağıdakı dəyərlər ardıcıllığını alır:

Gəlin, artan dəqiqliklə onluq yaxınlaşmasını (mənfi tərəfə görə) qeyd edək. Bir sıra dəyərlər tələb edir:

və variantı da təqdim edir.

Ardıcıllıqla (1) keçən x dəyişəni çox vaxt onu bu ardıcıllığın dəyişən (“ümumi”) üzvü ilə eyniləşdirərək işarələnir.

Bəzən x n variantı birbaşa x n üçün ifadəni göstərməklə təyin olunur; deməli, arifmetik və ya həndəsi proqressiya vəziyyətində, müvafiq olaraq, x n =a+(n-1) d və ya x n =aq n-1 olur. Bu ifadədən istifadə edərək, əvvəlki dəyərləri hesablamadan istənilən variant dəyərini onun verilmiş sayı əsasında dərhal hesablaya bilərsiniz.

Düzgün yazılmış çoxbucaqlının perimetri üçün belə ümumi ifadə yalnız p ədədini təqdim etsək mümkündür; ümumən, nizamlı yazılan m-qonşunun perimetri p m düsturla verilir

Tərif 1: Əgər belə bir ədəd varsa, (x n) ədəd ardıcıllığının yuxarıda (aşağıda) məhdud olduğu deyilir. M (T), bu ardıcıllığın hər hansı elementi üçün bərabərsizlik var və M (m) ədədi çağırılır üst (aşağı) kənar.

Tərif 2: Ədəd ardıcıllığı (x n) həm yuxarıdan, həm də aşağıdan məhduddursa, o, məhdud adlanır, yəni. M, m var ki, hər hansı biri üçün

A = max (|M|, |m|) işarə edək, onda aydındır ki, əgər hər hansı bir bərabərlik üçün |x n |? .

Tərif 3: ədəd ardıcıllığı çağırılır sonsuz böyük ardıcıllıqla, əgər hər hansı A>0 üçün, siz N rəqəmi təyin edə bilərsiniz ki, bütün n>N ||>A üçün olsun.

Tərif 4: ədəd ardıcıllığı (b n) çağırılır sonsuz kiçik ardıcıllıq, əgər hər hansı verilmiş e > 0 üçün N(e) ədədi təyin edə bilərsiniz ki, istənilən n > N(e) üçün bərabərsizlik | b n |< е.

Tərif 5: ədəd ardıcıllığı (x n) çağırılır konvergent, belə bir ədəd varsa (x n - a) ardıcıllığı sonsuz kiçik ardıcıllıqdır. Eyni zamanda, bir - limit orijinal ədədi ardıcıllıqlar.

Bu tərifdən belə nəticə çıxır ki, bütün sonsuz kiçik ardıcıllıqlar konvergentdir və bu ardıcıllıqların həddi = 0-dır.

Konvergent ardıcıllıq anlayışının sonsuz kiçik ardıcıllıq anlayışı ilə əlaqəli olduğuna görə, konvergent ardıcıllığın tərifi başqa formada verilə bilər:

Tərif 6: ədəd ardıcıllığı (x n) çağırılır konvergent a ədədinə, əgər hər hansı bir ixtiyari kiçik üçün elə olarsa, bütün n > N üçün bərabərsizlik

a ardıcıllığın həddidir

Çünki ekvivalentdir və bu, x n є (a - e; a+ e) intervalına aid olan və ya eyni olan e - a nöqtəsinin qonşuluğuna aid olan deməkdir. Onda konvergent ədədlər ardıcıllığının başqa tərifini verə bilərik.

Tərif 7: ədəd ardıcıllığı (x n) çağırılır konvergent, elə bir nöqtə varsa ki, bu nöqtənin hər hansı kifayət qədər kiçik elektron qonşuluğunda N sayından başlayaraq bu ardıcıllığın hər hansı elementləri olsun.

Qeyd: (5) və (6) təriflərinə görə, əgər a ardıcıllığın həddidirsə (x n), onda x n - a sonsuz kiçik ardıcıllığın elementidir, yəni. x n - a = b n, burada b n sonsuz kiçik ardıcıllığın elementidir. Nəticə etibarilə, x n = a + b n və sonra biz iddia etmək hüququmuz var ki, əgər ədədi ardıcıllıq (x n) yaxınlaşırsa, onda o, həmişə onun limitinin cəmi və sonsuz kiçik ardıcıllığın elementi kimi təqdim edilə bilər.

Əks ifadə də doğrudur: əgər ardıcıllığın hər hansı elementi (x n) sabit ədədin və sonsuz kiçik ardıcıllığın elementinin cəmi kimi göstərilə bilərsə, onda bu sabit limit verilmişdir ardıcıllıqlar.

Tərif 8. Ardıcıllıq yox artır (yox azalır), əgər üçün.

Tərif 9. Ardıcıllıq artır (azalan), əgər üçün.

Tərif 10. Ciddi artan və ya ciddi şəkildə azalan ardıcıllığa deyilir. monoton ardıcıllıq.

Monoton ardıcıllığın həddi haqqında Weierstrass teoreminin sübutu verilmişdir. Məhdud və qeyri-məhdud ardıcıllıq halları nəzərdən keçirilir. Ardıcıllığın yaxınlaşmasını sübut etmək və onun hüdudunu tapmaq üçün Weierstrass teoremindən istifadə edərək zəruri olduğu bir nümunə nəzərdən keçirilir.

Həmçinin bax: Monoton funksiyaların hədləri

İstənilən monoton məhdud ardıcıllıq (xn) dəqiq yuxarı həddinə bərabər sonlu həddi var, sup(xn) azalmayan və dəqiq aşağı hədd üçün, inf(xn) artan olmayan ardıcıllıq üçün.
İstənilən monotonik qeyri-məhdud ardıcıllığın sonsuz həddi azalmayan ardıcıllıq üçün plus sonsuzluğa, artmayan ardıcıllıq üçün isə mənfi sonsuzluğa bərabərdir.

Sübut

1) azalmayan məhdud ardıcıllıq.

(1.1) .

Ardıcıllıq məhdud olduğundan, onun sonlu yuxarı həddi var
.
Bu o deməkdir ki:

• bütün n üçün,
  (1.2) ;
• hər kəs üçün müsbət rəqəm, ε-dən asılı olaraq bir ədəd var, belə ki
  (1.3) .

.
Burada da (1.3) istifadə etdik. (1.2) ilə birləşdirərək tapırıq:
at.
O vaxtdan
,
və ya
at.
Teoremin birinci hissəsi sübut edilmişdir.

2) İndi ardıcıllıq olsun artan olmayan məhdud ardıcıllıq:
(2.1) hamı üçün n.

Ardıcıllıq məhdud olduğundan, sonlu aşağı həddi var
.
Bu, aşağıdakılar deməkdir:

• bütün n üçün aşağıdakı bərabərsizliklər yerinə yetirilir:
  (2.2) ;
• hər hansı müsbət ədəd üçün ε-dən asılı olaraq bir ədəd var, bunun üçün
  (2.3) .

.
Burada da (2.3) istifadə etdik. (2.2) nəzərə alaraq biz tapırıq:
at.
O vaxtdan
,
və ya
at.
Bu o deməkdir ki, nömrə ardıcıllığın həddidir.
Teoremin ikinci hissəsi sübut edilmişdir.

İndi qeyri-məhdud ardıcıllığı nəzərdən keçirin.
3) Ardıcıllıq olsun limitsiz azalmayan ardıcıllıq.

Ardıcıllıq azalmayan olduğundan, bütün n üçün aşağıdakı bərabərsizliklər yerinə yetirilir:
(3.1) .

Ardıcıllıq azalmayan və qeyri-məhdud olduğu üçün onunla sərhədsizdir sağ tərəf. Sonra hər hansı M ədədi üçün M-dən asılı olaraq bir ədəd var, bunun üçün
(3.2) .

Ardıcıllıq azalmayan olduğundan, bizdə olduqda:
.
Burada da (3.2) istifadə etdik.

.
Bu o deməkdir ki, ardıcıllığın limiti üstəgəl sonsuzluqdur:
.
Teoremin üçüncü hissəsi sübut edilmişdir.

4) Nəhayət, nə vaxt olduğunu düşünün sərhədsiz artan olmayan ardıcıllıq.

Əvvəlki kimi, ardıcıllıq artmadığı üçün
(4.1) hamı üçün n.

Ardıcıllıq artan və qeyri-məhdud olduğu üçün sol tərəfdə sərhədsizdir. Sonra hər hansı M ədədi üçün M-dən asılı olaraq bir ədəd var, bunun üçün
(4.2) .

Ardıcıllıq artan olmadığından, bizdə olduqda:
.

Beləliklə, hər hansı bir M ədədi üçün belədir natural ədəd, M-dən asılı olaraq, bütün ədədlər üçün aşağıdakı bərabərsizliklər olsun:
.
Bu o deməkdir ki, ardıcıllığın limiti mənfi sonsuzdur:
.
Teorem sübut edilmişdir.

Problemin həlli nümunəsi

Bütün nümunələr Weierstrass teoremindən istifadə edərək ardıcıllığın yaxınlaşmasını sübut edin:
, , . . . , , . . .
Sonra onun həddini tapın.

Ardıcıllığı təkrarlanan düsturlar şəklində təqdim edək:
,
.

Verilmiş ardıcıllığın yuxarıda qiymətlə məhdudlaşdığını sübut edək
(P1) .
Sübut riyazi induksiya metodundan istifadə etməklə həyata keçirilir.
.
Qoy .
.
Sonra

Bərabərsizlik (A1) sübut edilmişdir.
;
Ardıcıllığın monoton şəkildə artdığını sübut edək. .
(P2)
.
olduğundan, onda kəsrin məxrəci və paydakı birinci amil müsbətdir. Ardıcıllığın şərtlərinin bərabərsizliklə (A1) məhdudlaşdırılması səbəbindən ikinci amil də müsbətdir. Buna görə

Yəni ardıcıllıq ciddi şəkildə artır.

Ardıcıllıq yuxarıda artır və məhdud olduğundan, o, məhdud ardıcıllıqdır. Ona görə də Veyerştras teoreminə görə onun həddi var.
.
Gəlin bu həddi tapaq. Onu a ilə işarə edək:
.
Gəlin bundan istifadə edək
.
Konvergent ardıcıllıqların hədlərinin arifmetik xüsusiyyətlərindən istifadə edərək bunu (A2) tətbiq edək: