Arifmetik irəliləyiş nə deməkdir? Arifmetik irəliləyiş – ədədlərin ardıcıllığı

Arifmetik irəliləyişədədlər ardıcıllığını adlandırın (proqresiyanın şərtləri)

Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən yeni bir terminlə fərqlənir ki, bu da adlanır addım və ya irəliləyiş fərqi.

Beləliklə, irəliləyiş addımını və onun birinci müddətini göstərərək, düsturdan istifadə edərək onun hər hansı elementini tapa bilərsiniz

Arifmetik irəliləyişin xassələri

1) İkinci nömrədən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı üzvlərinin arifmetik ortasıdır.

Bunun əksi də doğrudur. Əgər irəliləyişin bitişik tək (cüt) hədlərinin arifmetik ortası onların arasında duran terminə bərabərdirsə, onda bu ədədlər ardıcıllığı arifmetik irəliləyişdir. Bu ifadədən istifadə edərək istənilən ardıcıllığı yoxlamaq çox asandır.

Həmçinin, arifmetik proqresiyanın xassəsinə görə yuxarıdakı düstur aşağıdakılara ümumiləşdirilə bilər

Şərtləri bərabər işarəsinin sağına yazsanız, bunu yoxlamaq asandır

Problemlərdə hesablamaları sadələşdirmək üçün praktikada tez-tez istifadə olunur.

2) Arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturunu yaxşı xatırlayın, bu, hesablamalarda əvəzolunmazdır və çox vaxt sadə həyat vəziyyətlərində tapılır.

3) Əgər bütün cəmini deyil, ardıcıllığın onun k-ci həddi ilə başlayan hissəsini tapmaq lazımdırsa, onda aşağıdakı cəmi düsturu sizin üçün faydalı olacaq.

4) k-ci ədəddən başlayaraq arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini tapmaq praktiki maraq doğurur. Bunu etmək üçün formuladan istifadə edin

Bu barədə nəzəri material bitir və biz praktikada ümumi problemlərin həllinə keçirik.

Nümunə 1. 4;7;... arifmetik irəliləyişin qırxıncı həddi tapın.

Həlli:

Bizdə olan şəraitə görə

Tərəqqi addımını müəyyən edək

Tanınmış bir düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin qırxıncı həddini tapırıq

Misal 2. Arifmetik irəliləyişüçüncü və yeddinci şərtləri ilə verilir. Proqresiyanın birinci həddi ilə onluğun cəmini tapın.

Həlli:

Gəlin onu yazaq verilmiş elementlər düsturlara uyğun irəliləyişlər

İkinci tənlikdən birincini çıxarırıq, nəticədə irəliləmə addımını tapırıq

Arifmetik irəliləyişin birinci həddini tapmaq üçün tapılan dəyəri hər hansı tənlikdə əvəz edirik.

Proqresiyanın ilk on şərtinin cəmini hesablayırıq

Mürəkkəb hesablamalardan istifadə etmədən bütün lazımi kəmiyyətləri tapdıq.

Misal 3. Arifmetik irəliləyiş məxrəc və onun şərtlərindən biri ilə verilir. Proqresiyanın birinci üzvünü, 50-dən başlayan 50 üzvünün cəmini və ilk 100-ün cəmini tapın.

Həlli:

Proqresiyanın yüzüncü elementinin düsturunu yazaq

və birincisini tapın

Birinciyə əsaslanaraq, irəliləyişin 50-ci dövrünü tapırıq

Proqresiyanın hissəsinin cəminin tapılması

və ilk 100-ün cəmi

İrəliləmə məbləği 250-dir.

Misal 4.

Arifmetik irəliləyişin hədlərinin sayını tapın, əgər:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Həlli:

Tənlikləri birinci həd və tərəqqi addımı baxımından yazıb müəyyən edək

Cəmdəki şərtlərin sayını müəyyən etmək üçün əldə edilmiş dəyərləri cəmi düsturla əvəz edirik

Biz sadələşdirmələr aparırıq

və kvadrat tənliyi həll edin

Tapılan iki dəyərdən yalnız 8 rəqəmi problem şərtlərinə uyğun gəlir. Beləliklə, irəliləyişin ilk səkkiz şərtinin cəmi 111-dir.

Misal 5.

Tənliyi həll edin

1+3+5+...+x=307.

Həlli: Bu tənlik arifmetik irəliləyişin cəmidir. Gəlin onun birinci şərtini yazaq və irəliləyişdəki fərqi tapaq

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)

Arifmetik irəliləyiş, hər bir ədədin əvvəlkindən eyni miqdarda böyük (və ya az) olduğu bir sıra ədədlərdir.

Bu mövzu çox vaxt mürəkkəb və anlaşılmaz görünür. Hərf indeksləri n-ci dövr irəliləyişlər, irəliləyiş fərqləri - bütün bunlar bir növ çaşqınlıq yaradır, bəli... Arifmetik irəliləyişin mənasını anlayaq və hər şey dərhal düzələcək.)

Arifmetik irəliləyiş anlayışı.

Arifmetik irəliləyiş çox sadə və aydın anlayışdır. Şübhələriniz varmı? Əbəs yerə.) Özünüz baxın.

Yarımçıq nömrələr silsiləsi yazacam:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu seriyanı uzatmaq olar? Beşdən sonra hansı rəqəmlər gələcək? Hamı... uh... bir sözlə hamı başa düşəcək ki, 6, 7, 8, 9 və s. rəqəmlər gələcək.

Tapşırığı çətinləşdirək. Mən sizə yarımçıq nömrələr seriyasını verirəm:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Siz nümunəni tuta, seriyanı genişləndirə və ad verə biləcəksiniz yeddinci sıra nömrəsi?

Bu rəqəmin 20 olduğunu başa düşdünüzsə, təbrik edirik! Yalnız hiss etmədin arifmetik irəliləyişin əsas nöqtələri, həm də onları biznesdə uğurla istifadə etdi! Əgər başa düşməmisinizsə, oxuyun.

İndi əsas məqamları hisslərdən riyaziyyata çevirək.)

Birinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyiş ədədlər silsiləsi ilə məşğul olur. Bu, əvvəlcə çaşqınlıq yaradır. Biz tənlikləri həll etməyə, qrafiklər çəkməyə və bütün bunlara öyrəşmişik... Amma burada seriyanı genişləndiririk, sıraların sayını tapırıq...

Hər şey qaydasındadır. Sadəcə olaraq, proqressiyalar riyaziyyatın yeni sahəsi ilə ilk tanışlıqdır. Bölmə "Serial" adlanır və xüsusi olaraq rəqəmlər və ifadələr seriyası ilə işləyir. Buna alışın.)

İkinci əsas məqam.

Arifmetik irəliləyişdə istənilən ədəd əvvəlkindən fərqlidir eyni miqdarda.

Birinci misalda bu fərq birdir. Hansı nömrəni götürsəniz, əvvəlkindən bir çoxdur. İkincidə - üç. İstənilən nömrə əvvəlkindən üç çoxdur. Əslində, bu an bizə nümunəni qavramaq və sonrakı nömrələri hesablamaq imkanı verir.

Üçüncü əsas məqam.

Bu məqam diqqəti çəkən deyil, bəli... Amma çox, çox vacibdir. Budur: hər biri irəliləyiş sayı yerində dayanır. Birinci nömrə var, yeddinci var, qırx beşinci var və s. Onları təsadüfi qarışdırsanız, nümunə yox olacaq. Arifmetik irəliləyiş də yox olacaq. Qalan yalnız bir sıra nömrələrdir.

Bütün məsələ budur.

Əlbəttə, in yeni mövzu yeni terminlər və təyinatlar meydana çıxır. Onları bilmək lazımdır. Əks halda tapşırığı başa düşməyəcəksiniz. Məsələn, belə bir şeyə qərar verməli olacaqsınız:

Arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın, əgər a 2 = 5, d = -2,5 olarsa.

İlham verir?) Məktublar, bəzi indekslər... Və vəzifə, yeri gəlmişkən, daha sadə ola bilməzdi. Siz sadəcə terminlərin və təyinatların mənasını başa düşməlisiniz. İndi biz bu məsələyə yiyələnib vəzifəmizə qayıdacağıq.

Şərtlər və təyinatlar.

Arifmetik irəliləyiş hər bir nömrənin əvvəlkindən fərqli olduğu nömrələr silsiləsi eyni miqdarda.

Bu miqdar deyilir . Bu konsepsiyaya daha ətraflı baxaq.

Arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik irəliləyiş fərqi hər hansı bir irəliləyiş nömrəsi olan məbləğdir daha çoxəvvəlki.

bir vacib məqam. Sözə diqqət yetirin "daha çox". Riyazi olaraq bu o deməkdir ki, hər bir irəliləyiş nömrəsidir əlavə etməklə arifmetik proqresiyanın əvvəlki ədədə fərqi.

Hesablamaq üçün deyək ikinci seriya nömrələri lazımdır birinci nömrə əlavə edin arifmetik irəliləyişin bu fərqi. Hesablama üçün beşinci- fərq lazımdır əlavə edin Kimə dördüncü, yaxşı və s.

Arifmetik irəliləyiş fərqi ola bilər müsbət, onda seriyadakı hər bir nömrə real olacaq əvvəlkindən daha çox. Bu irəliləyiş adlanır artır. Məsələn:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada hər bir nömrə alınır əlavə etməklə müsbət rəqəm, əvvəlkinə +5.

Fərq ola bilər mənfi, sonra seriyadakı hər nömrə olacaq əvvəlkindən azdır. Bu irəliləyiş adlanır (inana bilməyəcəksiniz!) azalan.

Məsələn:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada hər bir nömrə də əldə edilir əlavə etməkləəvvəlki, lakin artıq mənfi bir rəqəm, -5.

Yeri gəlmişkən, irəliləyişlə işləyərkən onun təbiətini dərhal müəyyən etmək çox faydalıdır - onun artdığını və ya azaldığını. Bu, çox gec olmadan qərar qəbul etmək, səhvlərinizi aşkar etmək və onları düzəltmək üçün çox kömək edir.

Arifmetik irəliləyiş fərqi adətən hərflə işarələnir d.

Necə tapmaq olar d? Çox sadə. Seriyadakı istənilən ədəddən çıxmaq lazımdır əvvəlki nömrə. Çıxar. Yeri gəlmişkən, çıxmanın nəticəsi "fərq" adlanır.)

Məsələn, müəyyən edək d arifmetik irəliləməni artırmaq üçün:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Biz silsilədə istədiyimiz rəqəmi götürürük, məsələn, 11. Ondan çıxırıq əvvəlki nömrə olanlar. 8:

Bu düzgün cavabdır. Bu arifmetik irəliləyiş üçün fərq üçdür.

Siz götürə bilərsiniz istənilən irəliləyiş nömrəsi,çünki müəyyən bir irəliləyiş üçün d-həmişə eyni. Heç olmasa cərgənin əvvəlində, heç olmasa ortada, heç olmasa hər yerdə. Yalnız ilk nömrəni götürə bilməzsiniz. Sadəcə olaraq ilk nömrə olduğu üçün əvvəlki yoxdur.)

Yeri gəlmişkən, bunu bilərək d=3, bu irəliləyişin yeddinci sayını tapmaq çox sadədir. Beşinci ədədə 3-ü əlavə edək - altıncısını alırıq, 17 olacaq. Altıncı rəqəmə üçü əlavə edək, yeddinci ədədi alırıq - iyirmi.

müəyyən edək d azalan arifmetik irəliləyiş üçün:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Xatırladıram ki, əlamətlərindən asılı olmayaraq, müəyyən etmək d istənilən nömrədən tələb olunur əvvəlkini götür.İstənilən irəliləyiş nömrəsini seçin, məsələn -7. Onun əvvəlki sayı -2-dir. Sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Arifmetik irəliləyişin fərqi istənilən ədəd ola bilər: tam, kəsr, irrasional, istənilən ədəd.

Digər terminlər və təyinatlar.

Seriyadakı hər bir nömrə çağırılır arifmetik irəliləyişin üzvü.

Tərəqqinin hər bir üzvü öz nömrəsi var. Rəqəmlər heç bir hiylə olmadan ciddi şəkildə sıralanır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü və s. Məsələn, 2, 5, 8, 11, 14, ... iki birinci hədddir, beş ikinci, on bir dördüncüdür, yaxşı başa düşürsən...) Zəhmət olmasa, aydın başa düş - nömrələrin özləri tamamilə hər şey ola bilər, tam, kəsr, mənfi, nə olursa olsun, lakin nömrələrin nömrələnməsi- ciddi qaydada!

İrəliləməni necə yazmaq olar ümumi görünüş? Sual yoxdur! Bir sıradakı hər bir nömrə hərf kimi yazılır. Arifmetik irəliləyişi ifadə etmək üçün adətən hərfdən istifadə olunur a. Üzv nömrəsi sağ altda indekslə göstərilir. Vergül (və ya nöqtəli vergül) ilə ayrılmış şərtləri belə yazırıq:

1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1- bu ilk rəqəmdir, a 3- üçüncü və s. Qəşəng bir şey yoxdur. Bu seriyanı qısaca belə yazmaq olar: (a n).

Tərəqqilər baş verir sonlu və sonsuz.

Son irəliləyiş var məhdud miqdardaüzvləri. Beş, otuz səkkiz, nə olursa olsun. Ancaq bu, sonlu bir rəqəmdir.

Sonsuz irəliləmə - təxmin etdiyiniz kimi sonsuz sayda üzvə malikdir.)

Son gedişatı belə bir sıra, bütün şərtlər və sonunda nöqtə ilə yaza bilərsiniz:

1, 2, 3, 4, 5.

Və ya bu kimi, çoxlu üzvlər varsa:

1, 2, ... 14, 15.

Qısa girişdə siz üzvlərin sayını əlavə olaraq qeyd etməli olacaqsınız. Məsələn (iyirmi üzv üçün), bu kimi:

(a n), n = 20

Sonsuz irəliləyiş, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, cərgənin sonundakı ellips vasitəsilə tanınır.

İndi vəzifələri həll edə bilərsiniz. Tapşırıqlar sadədir, sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçündür.

Arifmetik irəliləyiş üzrə tapşırıqların nümunələri.

Yuxarıda verilmiş tapşırığa ətraflı nəzər salaq:

1. Arifmetik irəliləyişin (a n) ilk altı həddini yazın, əgər a 2 = 5, d = -2,5 olarsa.

Tapşırığı başa düşülən dilə tərcümə edirik. Sonsuz arifmetik irəliləyiş verilir. Bu irəliləyişin ikinci sayı məlumdur: a 2 = 5. Proqnoz fərqi məlumdur: d = -2,5. Bu irəliləyişin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci və altıncı hədlərini tapmalıyıq.

Aydınlıq üçün problemin şərtlərinə uyğun silsilə yazacam. İlk altı şərt, ikinci müddət beşdir:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

a 3 = a 2 + d

İfadə ilə əvəz edin a 2 = 5 Və d = -2,5. Minusları unutma!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü dövr ikincidən az oldu. Hər şey məntiqlidir. Əgər rəqəm əvvəlkindən çox olarsa mənfi dəyər, yəni nömrənin özü əvvəlkindən az olacaq. Tərəqqi azalır. Yaxşı, bunu nəzərə alaq.) Serimizin dördüncü bəndini hesablayırıq:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Beləliklə, üçüncüdən altıncıya qədər olan müddətlər hesablandı. Nəticə aşağıdakı seriyadır:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Birinci termini tapmaq qalır a 1 tanınmış ikinciyə görə. Bu, digər istiqamətə, sola bir addımdır.) Deməli, arifmetik irəliləyişin fərqi dəlavə edilməməlidir a 2, A götürmək:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

bu qədər. Tapşırıq cavabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Yeri gəlmişkən qeyd etmək istərdim ki, biz bu vəzifəni həll etdik təkrarlanan yol. Bu qorxulu söz sadəcə olaraq irəliləyişin üzvünü axtarmaq deməkdir əvvəlki (bitişik) nömrəyə görə. Aşağıda irəliləyişlə işləməyin digər yollarına baxacağıq.

Bu sadə tapşırıqdan mühüm bir nəticə çıxarmaq olar.

Unutmayın:

Ən azı bir həddi və arifmetik irəliləyişin fərqini bilsək, bu irəliləyişin istənilən həddi tapa bilərik.

yadınızdadır? Bu sadə nəticə bu mövzuda məktəb kursunun problemlərinin əksəriyyətini həll etməyə imkan verir. Bütün vəzifələr ətrafında fırlanır üç əsas parametrlər: arifmetik proqresiyanın üzvü, irəliləyişin fərqi, irəliləyişin üzvünün sayı. Hamısı.

Təbii ki, bütün əvvəlki cəbr ləğv edilmir.) Proqressiyaya bərabərsizliklər, tənliklər və başqa şeylər əlavə olunur. Amma irəliləyişin özünə görə- hər şey üç parametr ətrafında fırlanır.

Nümunə olaraq, bu mövzuda bəzi məşhur vəzifələrə baxaq.

2. n=5, d = 0,4 və a 1 = 3,6 olarsa, sonlu arifmetik proqressiyanı sıra kimi yazın.

Burada hər şey sadədir. Artıq hər şey verilib. Arifmetik irəliləyişin üzvlərinin necə hesablandığını xatırlamalı, onları saymalı və yazmalısınız. Tapşırıq şərtlərində sözləri qaçırmamaq məsləhətdir: "son" və " n=5". Üzünüz tamamilə mavi olana qədər saymamaq üçün.) Bu irəliləyişdə cəmi 5 (beş) üzv var:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cavabı yazmaq qalır:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başqa bir vəzifə:

3. 7 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin, əgər a 1 = 4,1; d = 1.2.

Hmm... Kim bilir? Bir şeyi necə müəyyən etmək olar?

Necə-necə... Proqnozu silsilə şəklində yazın və görün orada yeddi olacaq, ya yox! Biz sayırıq:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5.3 + 1.2 = 6.5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

İndi aydın görünür ki, biz cəmi yeddiyik sürüşüb keçdi 6.5 ilə 7.7 arasında! Yeddi bizim nömrələr seriyamıza düşməyib və buna görə də yeddi verilmiş irəliləyişin üzvü olmayacaq.

Cavab: yox.

Və burada GIA-nın real versiyasına əsaslanan bir problem var:

4. Arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl həddi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

Budur, sonu və başlanğıcı olmadan yazılmış bir seriya. Üzvlərin sayı, fərqi yoxdur d. Hər şey qaydasındadır. Problemi həll etmək üçün arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək kifayətdir. Gəlin baxaq və nəyin mümkün olduğunu görək bilmək bu serialdan? Üç əsas parametr hansılardır?

Üzv nömrələri? Burada bir ədəd də yoxdur.

Ancaq üç rəqəm var və - diqqət! - söz "ardıcıl" vəziyyətdə. Bu o deməkdir ki, nömrələr ciddi şəkildə ardıcıldır, boşluqlar yoxdur. Bu sırada iki nəfər var? qonşu məlum rəqəmlər? Bəli, məndə var! Bunlar 9 və 6-dır. Beləliklə, arifmetik irəliləyişin fərqini hesablaya bilərik! Altıdan çıxarın əvvəlki nömrə, yəni. doqquz:

Sadəcə xırda şeylər qalıb. X üçün əvvəlki hansı rəqəm olacaq? On beş. Bu o deməkdir ki, X sadə əlavə etməklə asanlıqla tapıla bilər. Arifmetik irəliləyişin fərqini 15-ə əlavə edin:

bu qədər. Cavab: x=12

Aşağıdakı problemləri özümüz həll edirik. Qeyd: bu problemlər düsturlara əsaslanmır. Sırf arifmetik irəliləyişin mənasını başa düşmək üçün.) Sadəcə bir sıra rəqəmlər və hərflər yazırıq, baxıb anlayırıq.

5. a 5 = -3 olarsa, arifmetik irəliləyişin birinci müsbət həddini tapın; d = 1.1.

6. Məlumdur ki, 5,5 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 = 1,6; d = 1.3. Bu üzvün n sayını təyin edin.

7. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 4; a 5 = 15.1. 3 tapın.

8. Arifmetik irəliləyişin bir neçə ardıcıl həddi yazılır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

X hərfi ilə göstərilən irəliləyişin müddətini tapın.

9. Qatar sürəti dəqiqədə 30 metr bərabər artıraraq stansiyadan hərəkət etməyə başladı. Beş dəqiqədən sonra qatarın sürəti nə qədər olacaq? Cavabınızı km/saatla bildirin.

10. Məlumdur ki, arifmetik irəliləyişdə a 2 = 5; a 6 = -5. 1 tapın.

Cavablar (səliqəsiz): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Hər şey alındı? Heyrətamiz! Daha çox şey üçün arifmetik irəliləyişlərə yiyələnə bilərsiniz yüksək səviyyə, növbəti dərslərdə.

Hər şey alınmadı? Problem yoxdur. 555-ci Xüsusi Bölmədə bütün bu problemlər hissə-hissə sıralanır.) Və təbii ki, bu cür tapşırıqların həllini bir baxışda aydın, aydın şəkildə vurğulayan sadə praktik texnika təsvir edilmişdir!

Yeri gəlmişkən, qatar tapmacasında insanların tez-tez büdrədiyi iki problem var. Biri sırf irəliləyiş baxımından, ikincisi isə riyaziyyat və fizikanın hər hansı problemi üçün ümumidir. Bu ölçülərin birindən digərinə tərcüməsidir. Bu problemlərin necə həll edilməli olduğunu göstərir.

Bu dərsdə biz arifmetik irəliləyişin elementar mənasını və onun əsas parametrlərini nəzərdən keçirdik. Bu, bu mövzuda demək olar ki, bütün problemləri həll etmək üçün kifayətdir. əlavə et d nömrələrə, silsilə yaz, hər şey həll olunacaq.

Barmaq həlli, bu dərsdəki nümunələrdə olduğu kimi, çox qısa bir sıra parçaları üçün yaxşı işləyir. Seriya daha uzun olarsa, hesablamalar daha da mürəkkəbləşir. Məsələn, sualda 9-cu məsələdə əvəz etsəniz "beş dəqiqə" haqqında "otuz beş dəqiqə" problem əhəmiyyətli dərəcədə pisləşəcək.)

Və mahiyyətcə sadə, lakin hesablamalar baxımından absurd olan vəzifələr də var, məsələn:

Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.

Bəs nə, biz 1/6-nı çox, dəfələrlə əlavə edəcəyik?! Özünü öldürə bilərsən!?

Siz edə bilərsiniz.) Əgər bu cür tapşırıqları bir dəqiqə ərzində həll edə biləcəyiniz sadə düstur bilmirsinizsə. Bu düstur növbəti dərsdə olacaq. Və bu problem orada həll olunur. Bir dəqiqədən sonra.)

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Hər natural ədəd üçün n real rəqəmə uyğundur a n , sonra deyirlər ki, verilir nömrə ardıcıllığı :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Belə ki, nömrə ardıcıllığı— təbii arqument funksiyası.

Nömrə a 1 çağırdı ardıcıllığın birinci müddəti , nömrə a 2 — ardıcıllığın ikinci müddəti , nömrə a 3 — üçüncü və s. Nömrə a n çağırdı n-ci dövr ardıcıllıqlar , və natural ədəd n — onun nömrəsi .

İki qonşu üzvdən a n Və a n +1 ardıcıllıq üzvü a n +1 çağırdı sonrakı (nisbi a n ), A a n — əvvəlki (nisbi a n +1 ).

Ardıcıllığı müəyyən etmək üçün istənilən nömrə ilə ardıcıllığın üzvünü tapmağa imkan verən metodu təyin etməlisiniz.

Çox vaxt ardıcıllıq istifadə edərək müəyyən edilir n-ci dövr düsturları , yəni ardıcıllığın üzvünü onun nömrəsinə görə təyin etməyə imkan verən düstur.

Məsələn,

düsturla müsbət tək ədədlər ardıcıllığı verilə bilər

a n= 2n- 1,

və dəyişmə ardıcıllığı 1 Və -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Ardıcıllığı müəyyən etmək olar təkrarlanan formula, yəni bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın istənilən üzvünü əvvəlki (bir və ya bir neçə) üzv vasitəsilə ifadə edən düstur.

Məsələn,

Əgər a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Əgər a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , sonra ədədi ardıcıllığın ilk yeddi üzvü aşağıdakı kimi qurulur:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Ardıcıllıq ola bilər final Və sonsuz .

Ardıcıllıq deyilir son , əgər onun məhdud sayda üzvləri varsa. Ardıcıllıq deyilir sonsuz , əgər onun sonsuz sayda üzvü varsa.

Məsələn,

ikirəqəmli ardıcıllıq natural ədədlər:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

final.

Sadə ədədlərin ardıcıllığı:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

sonsuz. ◄

Ardıcıllıq deyilir artır , əgər onun üzvlərinin hər biri, ikincidən başlayaraq, əvvəlkindən böyükdürsə.

Ardıcıllıq deyilir azalan , əgər onun üzvlərinin hər biri ikincidən başlayaraq əvvəlkindən azdırsa.

Məsələn,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - artan ardıcıllıq;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - azalan ardıcıllıq. ◄

Elementləri sayı artdıqca azalmayan və ya əksinə artmayan ardıcıllığa deyilir. monoton ardıcıllıq .

Xüsusilə monoton ardıcıllıqlar artan ardıcıllıqlar və azalan ardıcıllıqlardır.

Arifmetik irəliləyiş

Arifmetik irəliləyiş ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlkinə bərabər olduğu, eyni nömrənin əlavə olunduğu ardıcıllıqdır.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün arifmetik irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

a n +1 = a n + d,

Harada d - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş arifmetik irəliləyişin sonrakı və əvvəlki şərtləri arasındakı fərq həmişə sabitdir:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nömrə d çağırdı arifmetik irəliləyiş fərqi.

Arifmetik proqressiyanı təyin etmək üçün onun birinci həddi və fərqini göstərmək kifayətdir.

Məsələn,

Əgər a 1 = 3, d = 4 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Birinci hədd ilə arifmetik irəliləyiş üçün a 1 və fərq d onun n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Məsələn,

arifmetik irəliləyişin otuzuncu həddini tapın

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-1 + a n+1
	2

İkincidən başlayaraq arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin arifmetik ortasına bərabərdir.

a, b və c ədədləri bəzi arifmetik proqresiyanın ardıcıl həddləridir, o halda ki, onlardan biri digər ikisinin arifmetik ortasına bərabər olsun.

Məsələn,

a n = 2n- 7 , arifmetik irəliləyişdir.

Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Beləliklə,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Qeyd edək ki n Arifmetik irəliləyişin üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz a 1 , həm də hər hansı əvvəlki a k

a n = a k + (n- k)d.

Məsələn,

üçün a 5 yazmaq olar

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

sonra açıq-aydın

a n=	a n-k + a n+k
	2

arifmetik proqresiyanın hər hansı üzvü, ikincidən başlayaraq, bu arifmetik irəliləyişin bərabər məsafəli üzvlərinin cəminin yarısına bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı arifmetik irəliləyiş üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Məsələn,

arifmetik irəliləyişdə

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, çünki

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

birinci n arifmetik irəliləyişin şərtləri ekstremal həddlərin və hədlərin sayının cəminin yarısının hasilinə bərabərdir:

Buradan, xüsusilə, şərtləri cəmləmək lazımdırsa, belə çıxır

a k, a k +1 , . . . , a n,

onda əvvəlki düstur öz strukturunu saxlayır:

Məsələn,

arifmetik irəliləyişdə 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Arifmetik irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər a 1 , a n, d, n VəS n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən üçünün qiymətləri verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Arifmetik irəliləyiş monoton ardıcıllıqdır. Bu halda:

• Əgər d > 0 , sonra artır;
• Əgər d < 0 , sonra azalır;
• Əgər d = 0 , onda ardıcıllıq stasionar olacaq.

Həndəsi irəliləmə

Həndəsi irəliləmə ikincidən başlayaraq hər bir üzvün əvvəlki ilə eyni ədədə vurulduğu ardıcıllıqdır.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

hər hansı natural ədəd üçün həndəsi irəliləyişdir n şərt yerinə yetirilir:

b n +1 = b n · q,

Harada q ≠ 0 - müəyyən bir rəqəm.

Beləliklə, verilmiş həndəsi irəliləyişin sonrakı dövrünün əvvəlki birinə nisbəti sabit ədəddir:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nömrə q çağırdı həndəsi irəliləmənin məxrəci.

Həndəsi irəliləyişi təyin etmək üçün onun birinci həddi və məxrəcini göstərmək kifayətdir.

Məsələn,

Əgər b 1 = 1, q = -3 , onda ardıcıllığın ilk beş şərtini aşağıdakı kimi tapırıq:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 və məxrəc q onun n 3-cü termini aşağıdakı düsturla tapmaq olar:

b n = b 1 · qn -1 .

Məsələn,

həndəsi proqresiyanın yeddinci həddi tapın 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər bir üzvü əvvəlki və sonrakı üzvlərin həndəsi ortasına (mütənasib) bərabərdir.

Bunun əksi də doğru olduğundan, aşağıdakı ifadə doğrudur:

a, b və c ədədləri bəzi həndəsi proqresiyanın ardıcıl hədləridir, o halda ki, onlardan birinin kvadratı digər ikisinin hasilinə bərabər olsun, yəni ədədlərdən biri digər ikisinin həndəsi ortası olsun.

Məsələn,

Düsturla verilmiş ardıcıllığın olduğunu sübut edək b n= -3 2 n , həndəsi irəliləyişdir. Yuxarıdakı ifadədən istifadə edək. Bizdə:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Beləliklə,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

bu, arzu olunan ifadəni sübut edir. ◄

Qeyd edək ki n Həndəsi proqresiyanın üçüncü hədini təkcə vasitəsilə tapmaq olmaz b 1 , həm də hər hansı əvvəlki üzv b k , bunun üçün formuldan istifadə etmək kifayətdir

b n = b k · qn - k.

Məsələn,

üçün b 5 yazmaq olar

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

sonra açıq-aydın

b n 2 = b n - k· b n + k

ikincidən başlayaraq həndəsi proqresiyanın hər hansı bir üzvünün kvadratı bu irəliləyişin bərabər məsafəli üzvlərinin hasilinə bərabərdir.

Bundan əlavə, hər hansı həndəsi irəliləyiş üçün bərabərlik doğrudur:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Məsələn,

həndəsi irəliləyişdə

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , çünki

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

birinci n məxrəcli həndəsi proqresiyanın üzvləri q ≠ 0 düsturla hesablanır:

Və nə vaxt q = 1 - düstura görə

S n= nb 1

Qeyd edək ki, şərtləri cəmləmək lazımdırsa

b k, b k +1 , . . . , b n,

sonra formula istifadə olunur:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Məsələn,

həndəsi irəliləyişdə 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Həndəsi irəliləyiş verilirsə, onda kəmiyyətlər b 1 , b n, q, n Və S n iki düsturla əlaqələndirilir:

Buna görə də, bu kəmiyyətlərdən hər hansı üçünün qiyməti verilirsə, digər iki kəmiyyətin müvafiq dəyərləri iki naməlum olan iki tənlik sisteminə birləşdirilərək bu düsturlardan müəyyən edilir.

Birinci hədd ilə həndəsi irəliləyiş üçün b 1 və məxrəc q aşağıdakılar baş verir monotonluğun xüsusiyyətləri :

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləmə artır:

b 1 > 0 Və q> 1;

b 1 < 0 Və 0 < q< 1;

• Aşağıdakı şərtlərdən biri yerinə yetirildikdə irəliləyiş azalır:

b 1 > 0 Və 0 < q< 1;

b 1 < 0 Və q> 1.

Əgər q< 0 , onda həndəsi irəliləyiş bir-birini əvəz edir: onun tək ədədləri olan şərtləri birinci həddi ilə eyni işarəyə, cüt ədədləri isə əks işarəyə malikdir. Aydındır ki, dəyişən həndəsi irəliləyiş monoton deyil.

Birincinin məhsulu n Həndəsi irəliləyişin üzvləri düsturla hesablana bilər:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Məsələn,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmə

Sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş məxrəc modulu kiçik olan sonsuz həndəsi irəliləyiş adlanır 1 , yəni

|q| < 1 .

Nəzərə alın ki, sonsuz azalan həndəsi irəliləyiş azalan ardıcıllıq olmaya bilər. Bu vəziyyətə uyğun gəlir

1 < q< 0 .

Belə bir məxrəclə ardıcıllıq növbələşir. Məsələn,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Sonsuz azalan həndəsi irəliləmənin cəmi birincilərin cəminin məhdudiyyətsiz yaxınlaşdığı ədədi adlandırın n sayının qeyri-məhdud artması ilə bir irəliləyişin üzvləri n . Bu ədəd həmişə sonludur və düsturla ifadə edilir

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Məsələn,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr arasında əlaqə

Arifmetik və həndəsi irəliləmələr bir-biri ilə sıx bağlıdır. Gəlin yalnız iki misala baxaq.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Bu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Məsələn,

1, 3, 5, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş 2 Və

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş q , Bu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş log aq .

Məsələn,

2, 12, 72, . . . - məxrəcli həndəsi irəliləyiş 6 Və

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - fərqlə arifmetik irəliləyiş lg 6 . ◄

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərsin məqsədləri:

• arifmetik irəliləyişdən istifadə etməklə həll olunan problemlər haqqında tələbələrin anlayışının genişləndirilməsi və dərinləşdirilməsi; arifmetik proqresiyanın ilk n həddinin cəminin düsturunu çıxararkən şagirdlərin axtarış fəaliyyətinin təşkili;
• müstəqil olaraq yeni biliklər əldə etmək və verilmiş tapşırığa nail olmaq üçün artıq əldə edilmiş biliklərdən istifadə etmək bacarığını inkişaf etdirmək;
• əldə edilmiş faktları ümumiləşdirmək istəyi və ehtiyacını inkişaf etdirmək, müstəqilliyi inkişaf etdirmək.

Tapşırıqlar:

• “Arifmetik irəliləyiş” mövzusunda mövcud bilikləri ümumiləşdirmək və sistemləşdirmək;
• arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəminin hesablanması üçün düsturlar çıxarmaq;
• müxtəlif məsələlərin həlli zamanı alınan düsturları tətbiq etməyi öyrətmək;
• tələbələrin diqqətini ədədi ifadənin qiymətini tapmaq proseduruna cəlb etmək.

Avadanlıq:

• qruplarda və cütlərdə işləmək üçün tapşırıqları olan kartlar;
• xal vərəqi;
• təqdimat“Arifmetik irəliləyiş.”

I. Əsas biliklərin yenilənməsi.

1. Müstəqil iş cüt-cüt.

1-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişləri müəyyənləşdirin. Arifmetik irəliləyişi təyin edən təkrarlama düsturunu yazın. Zəhmət olmasa arifmetik irəliləyişin nümunəsini göstərin və onun fərqini göstərin.

2-ci seçim:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu yazın. Arifmetik irəliləyişin 100-cü həddini tapın ( a n}: 2, 5, 8 …
Bu zaman lövhənin arxasında iki tələbə eyni suallara cavab hazırlayır.
Şagirdlər partnyorunun işini lövhədə yoxlayaraq qiymətləndirirlər. (Cavabları olan vərəqlər verilir.)

2. Oyun anı.

Tapşırıq 1.

müəllim. Bir az arifmetik irəliləyiş haqqında düşündüm. Mənə yalnız iki sual verin ki, cavablardan sonra bu irəliləyişin 7-ci hissəsini tez adlandıra biləsiniz. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Tələbələrin sualları.

1. Proqresiyanın altıncı müddəti nədir və fərq nədir?
2. Proqresiyanın səkkizinci müddəti nədir və fərq nədir?

Artıq suallar yoxdursa, müəllim onları stimullaşdıra bilər - d (fərq) üçün "qadağa", yəni fərqin nəyə bərabər olduğunu soruşmağa icazə verilmir. Suallar verə bilərsiniz: irəliləyişin 6-cı həddi nəyə bərabərdir və irəliləyişin 8-ci həddi nəyə bərabərdir?

Tapşırıq 2.

Lövhədə 20 rəqəm yazılmışdır: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Müəllim arxası taxtaya söykənərək dayanır. Şagirdlər nömrəni çağırır, müəllim isə dərhal nömrənin özünü çağırır. Bunu necə edə biləcəyimi izah edin?

Müəllim n-ci dövr üçün düsturu xatırlayır a n = 3n – 2 və göstərilən dəyərləri n əvəz edərək, müvafiq dəyərləri tapır a n.

II. Öyrənmə tapşırığını təyin etmək.

Misir papiruslarında tapılan, eramızdan əvvəl 2-ci minilliyə aid qədim problemi həll etməyi təklif edirəm.

Tapşırıq:“Sənə deyilsin: 10 ölçü arpanı 10 nəfər arasında bölüşdürün, hər adamla qonşusu arasında fərq ölçüsün 1/8-i qədərdir”.

• Bu problemin arifmetik irəliləmə mövzusu ilə necə əlaqəsi var? (Hər növbəti şəxs ölçünün 1/8 hissəsini daha çox alır, yəni fərq d=1/8, 10 nəfərdir, yəni n=10 deməkdir.)
• Sizcə 10 rəqəmi nə deməkdir? (Tərəqqinin bütün şərtlərinin cəmi.)
• Problemin şərtlərinə görə arpanın bölünməsini asan və sadə etmək üçün başqa nə bilmək lazımdır? (Tərəqqinin ilk müddəti.)

Dərsin Məqsədi– irəliləyişin hədlərinin cəminin onların sayından, birinci həddən və fərqdən asılılığını almaq və məsələnin qədim zamanlarda düzgün həll edilib-edilmədiyini yoxlamaq.

Düsturu çıxarmazdan əvvəl gəlin qədim misirlilərin problemi necə həll etdiklərinə baxaq.

Və bunu belə həll etdilər:

1) 10 ölçü: 10 = 1 ölçü – orta pay;
2) 1 ölçü ∙ = 2 ölçü – ikiqat orta paylaş.
İkiqat orta pay 5-ci və 6-cı şəxsin səhmlərinin cəmidir.
3) 2 ölçü – 1/8 ölçü = 1 7/8 ölçü – beşinci şəxsin payını iki dəfə artırın.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – beşdə bir hissə; və s., hər bir əvvəlki və sonrakı şəxsin payını tapa bilərsiniz.

Ardıcıllığı alırıq:

III. Problemin həlli.

1. Qruplarda işləmək

I qrup: Ardıcıl 20 natural ədədin cəmini tapın: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Ümumiyyətlə

II qrup: 1-dən 100-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın (Kiçik Qaussun əfsanəsi).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Nəticə:

III qrup: 1-dən 21-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Həlli: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Nəticə:

IV qrup: 1-dən 101-ə qədər natural ədədlərin cəmini tapın.

Nəticə:

Baxılan məsələlərin həllinin bu üsulu “Qauss metodu” adlanır.

2. Hər qrup problemin həllini lövhədə təqdim edir.

3. İxtiyari arifmetik irəliləyiş üçün təklif olunan həllərin ümumiləşdirilməsi:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Bənzər əsaslandırmadan istifadə edərək bu məbləği tapaq:

4. Problemi həll etdikmi?(Bəli.)

IV. Alınan düsturların ilkin başa düşülməsi və məsələlərin həlli zamanı tətbiqi.

1. Düsturdan istifadə edərək qədim problemin həllinin yoxlanılması.

2. Düsturun müxtəlif məsələlərin həllində tətbiqi.

3. Məsələləri həll edərkən düsturları tətbiq etmək bacarığını inkişaf etdirmək üçün məşqlər.

A) 613 saylı

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləmə;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Tapın: S 1500

Həlli: , a 1 = 1 və 1500 = 1500,

B) Verilmiş: ( a n) - arifmetik irəliləmə;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Tapın: n
Həlli:

V. Qarşılıqlı yoxlama ilə müstəqil iş.

Denis kuryer kimi işləməyə başladı. İlk ayda maaşı 200 rubl idi, hər növbəti ayda 30 rubl artdı. Bir ildə cəmi nə qədər qazandı?

Verildi: ( a n) - arifmetik irəliləmə;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tapın: S 12
Həlli:

Cavab: Denis il ərzində 4380 rubl aldı.

VI. Ev tapşırığı təlimatı.

1. Bölmə 4.3 – düsturun əldə edilməsini öyrənin.
2. №№ 585, 623 .
3. Arifmetik irəliləyişin ilk n üzvünün cəminin düsturundan istifadə etməklə həll edilə bilən məsələ yaradın.

VII. Dərsi yekunlaşdırmaq.

1. Hesab vərəqi

2. Cümlələri davam etdirin

• Bu gün dərsdə öyrəndim...
• Öyrənilən düsturlar...
• İnanıram ki...

3. 1-dən 500-ə qədər olan ədədlərin cəmini tapa bilərsinizmi? Bu problemi həll etmək üçün hansı üsuldan istifadə edəcəksiniz?

İstinadlar.

1. Cəbr, 9-cu sinif. Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Maarifçilik”, 2009.

Məsələn, ardıcıllıq \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... arifmetik irəliləyişdir, çünki hər bir sonrakı element əvvəlkindən üç ilə fərqlənir (əvvəlki elementdən üç əlavə etməklə əldə etmək olar):

Bu irəliləyişdə \(d\) fərqi müsbətdir (\(3\)-ə bərabərdir) və buna görə də hər növbəti termin əvvəlkindən böyükdür. Belə irəliləyişlər deyilir artır.

Bununla belə, \(d\) də ola bilər mənfi rəqəm. Məsələn, arifmetik irəliləyişdə \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... irəliləmə fərqi \(d\) mənfi altıya bərabərdir.

Və bu halda, hər bir növbəti element əvvəlkindən daha kiçik olacaq. Bu irəliləyişlər adlanır azalan.

Arifmetik irəliləmə qeydi

Tərəqqi kiçik Latın hərfi ilə göstərilir.

Proqressiya əmələ gətirən ədədlər adlanır üzvləri(və ya elementlər).

Onlar arifmetik irəliləyişlə eyni hərflə, lakin ardıcıllıqla elementin sayına bərabər ədədi indekslə işarələnirlər.

Məsələn, arifmetik irəliləyiş \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) elementlərindən ibarətdir \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) və s.

Başqa sözlə, irəliləmə üçün \(a_n = \sol\(2; 5; 8; 11; 14…\sağ\)\)

Arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli

Prinsipcə, yuxarıda təqdim olunan məlumat demək olar ki, hər hansı arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün kifayətdir (OGE-də təklif olunanlar da daxil olmaqla).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(b_1=7; d=4\) şərtləri ilə müəyyən edilir. \(b_5\) tapın.
Həlli:

Cavab: \(b_5=23\)

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişin ilk üç üzvü verilmişdir: \(62; 49; 36...\) Bu irəliləyişin birinci mənfi üzvünün qiymətini tapın.
Həlli:

	Bizə ardıcıllığın ilk elementləri verilir və onun arifmetik irəliləyiş olduğunu bilirik. Yəni hər bir element qonşusundan eyni sayda fərqlənir. Növbəti elementdən əvvəlkini çıxmaqla hansının olduğunu öyrənək: \(d=49-62=-13\).
	İndi biz lazım olan (ilk mənfi) elementə irəliləməmizi bərpa edə bilərik.
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(-3\)

Nümunə (OGE). Arifmetik proqresiyanın bir neçə ardıcıl elementi verilmişdir: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) hərfi ilə təyin olunan elementin qiymətini tapın.
Həlli:

	\(x\) tapmaq üçün növbəti elementin əvvəlkindən nə qədər fərqləndiyini, başqa sözlə, irəliləyiş fərqini bilməliyik. Onu iki məlum qonşu elementdən tapaq: \(d=12,5-10=2,5\).
	İndi biz axtardığımızı asanlıqla tapa bilərik: \(x=5+2,5=7,5\).
	Hazır. Cavab yaza bilersiniz.

Cavab: \(7,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş aşağıdakı şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu irəliləyişin ilk altı üzvünün cəmini tapın.
Həlli:

	Proqresiyanın ilk altı şərtinin cəmini tapmalıyıq. Amma biz onların mənalarını bilmirik, bizə yalnız birinci element verilir. Buna görə də, əvvəlcə bizə veriləndən istifadə edərək dəyərləri bir-bir hesablayırıq: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Bizə lazım olan altı elementi hesablayaraq onların cəmini tapırıq.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Lazım olan məbləğ tapılıb.

Cavab: \(S_6=9\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyişdə \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu irəliləyişin fərqini tapın.
Həlli:

Cavab: \(d=7\).

Arifmetik irəliləyiş üçün vacib düsturlar

Gördüyünüz kimi, arifmetik irəliləyişlə bağlı bir çox problemi sadəcə əsas şeyi başa düşməklə həll etmək olar - arifmetik irəliləyiş ədədlər zənciridir və bu zəncirdəki hər bir sonrakı element əvvəlki birinə eyni ədədi əlavə etməklə əldə edilir. irəliləmə fərqi).

Ancaq bəzən "baş-üstə" qərar vermək çox əlverişsiz olan vəziyyətlər var. Məsələn, təsəvvür edin ki, ilk misalda biz beşinci elementi \(b_5\) deyil, üç yüz səksən altıncı \(b_(386)\) tapmalıyıq. Dörd \(385\) dəfə əlavə etməliyik? Və ya təsəvvür edin ki, sondan əvvəlki nümunədə ilk yetmiş üç elementin cəmini tapmaq lazımdır. Saymaqdan yorulacaqsan...

Buna görə də, belə hallarda onlar hər şeyi “baş-başa” həll etmirlər, arifmetik irəliləyiş üçün alınan xüsusi düsturlardan istifadə edirlər. Əsas olanlar isə irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur və \(n\) birinci hədlərin cəminin düsturudur.

\(n\)-ci həddinin düsturu: \(a_n=a_1+(n-1)d\), burada \(a_1\) irəliləyişin birinci üzvüdür;
\(n\) – tələb olunan elementin sayı;
\(a_n\) – \(n\) rəqəmi ilə irəliləyişin müddəti.

Bu düstur bizə irəliləyişin yalnız birincisini və fərqini bilməklə hətta üç yüz və ya milyonuncu elementi də tez tapmağa imkan verir.

Misal. Arifmetik irəliləyiş şərtlərlə müəyyən edilir: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) tapın.
Həlli:

Cavab: \(b_(246)=1850\).

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), burada

\(a_n\) – son cəmlənmiş termin;

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləyiş \(a_n=3.4n-0.6\) şərtləri ilə müəyyən edilir. Bu irəliləyişin ilk \(25\) şərtlərinin cəmini tapın.
Həlli:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		İlk iyirmi beş şərtlərin cəmini hesablamaq üçün birinci və iyirmi beşinci şərtlərin dəyərini bilməliyik. Bizim irəliləyişimiz onun sayından asılı olaraq n-ci hədd düsturu ilə verilir (ətraflı məlumat üçün bax). Birinci elementi \(n\) yerinə birini əvəz edərək hesablayaq.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		İndi \(n\) əvəzinə iyirmi beşi əvəz edərək iyirmi beşinci həddi tapaq.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Yaxşı, indi tələb olunan məbləği asanlıqla hesablaya bilərik.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(25)=1090\).

Birinci şərtlərin \(n\) cəmi üçün başqa düstur əldə edə bilərsiniz: sadəcə \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) əvəzinə \(a_n\) düsturu ilə əvəz edin \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz əldə edirik:

İlk n şərtin cəmi üçün düstur: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), burada

\(S_n\) – \(n\) birinci elementlərin tələb olunan cəmi;
\(a_1\) – ilk cəmlənmiş şərt;
\(d\) – irəliləyiş fərqi;
\(n\) – cəmdəki elementlərin sayı.

Misal. Arifmetik irəliləyişin birinci \(33\)-ex hədlərinin cəmini tapın: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Həlli:

Cavab: \(S_(33)=-231\).

Daha mürəkkəb arifmetik irəliləyiş məsələləri

İndi demək olar ki, istənilən arifmetik irəliləyiş problemini həll etmək üçün lazım olan bütün məlumatlara sahibsiniz. Gəlin mövzunu təkcə düsturları tətbiq etmək deyil, həm də bir az düşünmək lazım olan problemləri nəzərdən keçirərək bitirək (riyaziyyatda bu faydalı ola bilər ☺)

Nümunə (OGE). Proqresiyanın bütün mənfi şərtlərinin cəmini tapın: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Həlli:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Tapşırıq əvvəlki ilə çox oxşardır. Eyni şeyi həll etməyə başlayırıq: əvvəlcə \(d\) tapırıq.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		İndi biz cəm üçün düsturda \(d\) əvəz etmək istərdik... və burada kiçik bir nüans ortaya çıxır - biz \(n\) bilmirik. Başqa sözlə, neçə terminin əlavə edilməsi lazım olduğunu bilmirik. Necə tapmaq olar? Gəlin düşünək. İlk müsbət elementə çatdıqda elementləri əlavə etməyi dayandıracağıq. Yəni bu elementin sayını tapmaq lazımdır. Necə? Arifmetik irəliləyişin hər hansı elementinin hesablanması üçün düsturu yazaq: bizim işimiz üçün \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Bizə sıfırdan böyük olmaq üçün \(a_n\) lazımdır. Bunun nə \(n\) baş verəcəyini öyrənək.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Bərabərsizliyin hər iki tərəfini \(0,3\) ilə bölürük.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		İşarələri dəyişdirməyi unutmadan mənfi birini köçürürük
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Gəlin hesablayaq...
\(n>65,333…\)		...və belə çıxır ki, birinci müsbət element \(66\) rəqəminə sahib olacaq. Müvafiq olaraq, sonuncu mənfidə \(n=65\) var. Hər halda, gəlin bunu yoxlayaq.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Beləliklə, ilk \(65\) elementləri əlavə etməliyik.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Cavab hazırdır.

Cavab: \(S_(65)=-630,5\).

Nümunə (OGE). Arifmetik irəliləmə şərtlərlə müəyyən edilir: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-ci elementdən \(42\) elementi daxil olmaqla cəmini tapın.
Həlli:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu məsələdə siz həm də elementlərin cəmini tapmalısınız, lakin birincidən deyil, \(26\)-dan başlayaraq. Belə bir hal üçün bizim düsturumuz yoxdur. Necə qərar vermək olar? Asandır - \(26\)-dan \(42\)-ciyə qədər olan məbləği əldə etmək üçün əvvəlcə \(1\)-dən \(42\)-ə qədər olan məbləği tapmalı və sonra çıxmalısınız. ondan birincidən \(25\)-ə qədər olan məbləğ (şəkilə bax).
	Bizim irəliləyişimiz üçün \(a_1=-33\) və fərq \(d=4\) (hər şeydən sonra, növbəti elementi tapmaq üçün əvvəlki elementə dördü əlavə edirik). Bunu bilərək birinci \(42\)-y elementlərinin cəmini tapırıq.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	İndi ilk \(25\) elementlərin cəmi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Və nəhayət, cavabı hesablayırıq.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Cavab: \(S=1683\).

Arifmetik irəliləyiş üçün praktiki faydalılığı az olduğuna görə bu məqalədə nəzərdən keçirmədiyimiz daha bir neçə düstur var. Bununla belə, onları asanlıqla tapa bilərsiniz.