Mesaj “Rəqəmlərin tarixi: müsbət və mənfi ədədlərin yaranması və inkişafı. Tarixdəki mənfi rəqəmlər

Çox köhnə və uzun. Mənfi ədədlər efemer, qeyri-real insanlar olduğundan uzun müddətə varlığını tanımırdı.

Hər şey Çində başladı II eramızdan əvvəl əsr Ola bilsin ki, onlar əvvəllər Çində tanınırdılar, lakin ilk qeyd o vaxta təsadüf edir. Orada mənfi rəqəmlərdən istifadə etməyə başladılar və onları "mülk" adlandırarkən "borc" hesab etdilər. İndi mövcud olan rekord o zaman yox idi və mənfi ədədlər qara, müsbət ədədlər isə qırmızı rənglə yazılmışdır.

İlk qeyd mənfi ədədlərÇin alimi Zhang Canın “Riyaziyyat doqquz fəsildə” kitabında tapırıq.

Sonra, V-VI əsrlər boyu mənfi ədədlər Çin və Hindistanda kifayət qədər geniş istifadə olunmağa başladı. Düzdür, Çində onlara hələ də ehtiyatla yanaşırdılar və istifadələrini minimuma endirməyə çalışırdılar, lakin Hindistanda əksinə, çox geniş istifadə olunurdu. Orada onlarla hesablamalar aparıldı və mənfi rəqəmlər anlaşılmaz görünmürdü.

Məşhur hind alimləri Brahmaqupta Bhaskara ( VII-VIII əsrlər), təlimlərində mənfi ədədlərlə işləmək haqqında ətraflı izahatlar buraxdılar.

Antik dövrdə, məsələn, Babil və Qədim Misirdə mənfi rəqəmlər ümumiyyətlə istifadə edilməmişdir. Və hesablama mənfi ədədlə nəticələnsə, həll yolu olmadığı hesab olunurdu.

Eynilə, Avropada mənfi rəqəmlər çox uzun müddət tanınmırdı. Onları “xəyali” və “absurd” hesab edirdilər. Onlarla heç bir hərəkət etmədilər, sadəcə cavab mənfi olarsa, onları atdılar. Onlar inanırdılar ki, 0-dan hər hansı bir rəqəmi çıxarsanız, cavab 0 olacaq, çünki heç bir şey ola bilməz sıfırdan azdır- boşluq.

Avropada ilk dəfə Pizalı Leonardo (Fibonaççi) diqqətini mənfi rəqəmlərə yönəltdi. Və 1202-ci ildə "Abacus kitabı" əsərində bunları təsvir etdi.

Daha sonra, 1544-cü ildə Mixail Stiefel "Tam arifmetika" kitabında ilk dəfə mənfi ədədlər anlayışını təqdim etdi və onlarla əməliyyatları ətraflı təsvir etdi. "Sıfır absurd və həqiqi rəqəmlər arasındadır."

Və XVII əsrdə riyaziyyatçı Rene Dekart sıfırın solunda rəqəmsal oxuna mənfi ədədlər qoymağı təklif etdi.

O vaxtdan etibarən mənfi ədədlər geniş şəkildə istifadə olunmağa və qəbul olunmağa başladı, baxmayaraq ki, uzun müddət bir çox elm adamı onları inkar etdi.

1831-ci ildə Gauss zəng etdi mənfi ədədlər müsbət olanlara tamamilə bərabərdir. Və bütün hərəkətlərin onlarla birlikdə edilə bilməyəcəyini, məsələn, bütün hərəkətlərin edilə bilməyəcəyini dəhşətli bir şey hesab etmədim;

Və XIX əsrdə əsrdə Wilman Hamilton və Hermann Grassmann mənfi ədədlərin tam tam nəzəriyyəsini yaratdılar. O vaxtdan bəri mənfi rəqəmlər öz hüquqlarını qazandılar və indi onların reallığına heç kim şübhə etmir.

İnsan sayma və ölçmənin nəticələrini özünə və başqalarına bir şəkildə göstərmək üçün rəqəmi icad etdi. Göründüyü kimi, insanlar arasında ilk ədəd anlayışları paleolit ​​dövründə yaranıb, lakin artıq neolitdə inkişaf edib. Rəqəmlərin görünməsində ilk addım, görünür, ölçünün "bir" və "çox" olaraq bölünməsinin fərqində olmaq idi.

Qədim dünyada ilk dəfə rəqəmləri göstərmək üçün xüsusi işarələrdən istifadə edilməyə başlandı: onların təsvirləri Mesopotamiyanın gil lövhələrində, Misir papiruslarında və s.

Riyaziyyat daha da inkişaf etdi. Və içində müxtəlif ölkələröz xüsusi, orijinal və nəzərəçarpacaq dərəcədə fərqli say sistemləri formalaşmağa başladı. Hətta bir məktəbli indi Roma və ərəb rəqəmlərinin necə fərqləndiyini bilir. Əhəmiyyətli və qiymətli bir ixtira və irs olaraq saylar ölkədən ölkəyə, mədəniyyətdən mədəniyyətə keçib. Həm slavyan, həm də üzərində olan müasir rəqəmlər qərb sivilizasiyası- bunlar ərəb rəqəmləridir, lakin Hindistandan götürülmüşdür. İndi hamıya tanış olan bir çox rəqəm Hindistanda icad edilmişdir, məsələn, “0” rəqəmi.

Rəqəmlərin müsbət və mənfiyə bölünməsi orta əsrlər riyaziyyatçılarının inkişaflarına gedib çıxır. Yenə mənfi ədədlər ilk dəfə Hindistanda istifadə edilmişdir. Bu, tacirlər üçün zərər və borcları hesablamağı asanlaşdırdı. O dövrdə arifmetika artıq çox inkişaf etmiş tətbiqi sahə idi və cəbr inkişaf etməyə başlamışdı. Dekart həndəsəsinin tətbiqi ilə onun koordinat sistemləri, mənfi ədədlər möhkəm şəkildə istifadəyə verildi. Onlar bu günə kimi buradan çıxmayıblar.

Kompleks ədədlərdir müasir konsepsiya, belə ədədlərə “xəyali ədədlər” də deyilir və kub və kvadrat tənliklər. Onların "atası" orta əsr riyaziyyatçısı Gerolamo Cardano idi. Dekartın dövründə kompleks ədədlər, mənfi ədədlər kimi, riyazi istifadədə möhkəm şəkildə quruldu.

Rusiya Federasiyası Təhsil və Elm Nazirliyi Leboterskaya əsas orta məktəbi Leboterskaya əsas orta məktəbi Tomsk vilayətinin Chainsky rayonu Mövzuya dair ABTRATİK: "Mənfi ədədlərin yaradılması tarixi" Tamamladı: 6-cı sinif şagirdləri Kseniya Qriqoryevskaya, Tatyana Zaxarova Rəhbər: Stasenko V.K. , riyaziyyat müəllimi 2010 Mündəricat 1. Giriş………………………………..…………………………3 2. Mənfi ədədlərin yaranma tarixi……………………… ……..4 3. Çindəki mənfi rəqəmlər ………………………………………………………………………………………………..5 4. Hindistanda mənfi ədədlər ……………………… …………………………………..6 5. Biblioqrafiya ………………………………………………… 7 2 Giriş Hər kəs kəsri təsəvvür edə bilər; Bunu etmək üçün çarpayılara bölünmüş kəsilmiş qarpız, pasta və ya tərəvəz bağına baxmaq kifayətdir. Ancaq 5 rəqəmini təsəvvür etmək daha çətindir. Axı siz -5 m parça ölçə və ya -500 qr çörək kəsə bilməzsiniz. Onlarla işləmək üçün daha da qəribə qaydaları olan belə qəribə nömrələrə niyə ehtiyacımız var? Məsələ burasındadır ki, çox şeylər var ki, ya artır, ya da azalır. Müsbət və mənfi ədədlər kəmiyyətlərdəki dəyişiklikləri dəqiq təsvir etməyə xidmət edir. Əgər kəmiyyət artarsa, onun dəyişməsi müsbət, azalarsa isə mənfi adlanır. “Bir dağın zirvəsində dayansam, 2000 m yüksəklikdən onun zirvəsindən enməyə başlayıram və olduğum hündürlük getdikcə azalır. Beləliklə, mən 1000 m yüksəklikdən endim, indi 500 m yüksəklikdəyəm, indi artıq 200 m yüksəklikdəyəm və indi, nəhayət, dənizin özünə endim. Mən suyun kənarında dayanmışam və dalğalar çəkmələrimin altını yalayır. Bu o deməkdir ki, mən dəniz səviyyəsindən 0 m hündürlükdəyəm. Burada dalğıc kostyumunu geyindim və dənizin dibi ilə gəzərək enməyə davam edirəm. Mən aşağı düşürəm, bu o deməkdir ki, olduğum hündürlük daha da az olur, sıfırdan da az olur. Və bilirəm ki, sıfırdan kiçik ədədlər var - bunlar mənfi rəqəmlərdir! Ona görə də burada, dənizin dibində hündürlük mənfidir. İndi mən suyun kənarından 100 m aşağı enmişəm və deyə bilərəm ki, -100 m yüksəklikdəyəm. Mənfi rəqəmlərdən istifadə etməsəydim, deməliyəm ki, mən 100 m dərinlikdəyəm”. Mənfi ədədlər dəniz səthinin altındakı nöqtələrə uyğun gəlir. Deməli, dağın zirvəsi 2000 m, batmış gəmi isə -2000 m sayına uyğun gələ bilər, əksinə deyil. Hər dəfə havanın temperaturu haqqında danışanda mənfi rəqəmlərə rast gəlirik. Çöldə isti olarsa, havanın temperaturu müsbət rəqəmlə, şaxtalı olarsa, mənfi rəqəmlə ifadə edilir. Yaxud havanın temperaturu -8° dəyişib deyəndə, 8° azalıb, 8° dəyişibsə, 8° artıb. 3 Beləliklə, geri sayımın başlanğıcı kimi götürülmüş müəyyən bir anla bağlı vaxtı ölçərkən, geri sayım başlamasından sonra baş verən hadisələrin vaxtını müsbət, geriyə sayımdan əvvəl baş verən hadisələrin vaxtını isə mənfi hesab etmək adətdir. geri sayımın başlanğıcı. Yaya təsir edən qüvvələri ölçərkən, yayı uzatan müsbət qüvvələri və yayı sıxan mənfi qüvvələri və s. nəzərə almaq adətdir. Beləliklə, mənfi ədədlər müsbət ədədlər və sıfır rəqəmi ilə birlikdə miqdarları ölçməyə xidmət edir. mənbə kimi qəbul edilən müəyyən dəyərdən iki əks istiqamətdə dəyişmə. Mənfi ədədlərin yaranma tarixindən mənfi ədədlər çox sonralar meydana çıxdı natural ədədlər və misirlilərə və babillilərə minlərlə il əvvəl tanış olan adi fraksiyalar. Amma nə misirlilər, nə babillilər, nə də qədim yunanlar mənfi ədədlərdən istifadə etmirdilər və tənliklərin mənfi kökləri alınarsa (çıxılarkən) qeyri-mümkün kimi rədd edilirdi. Mənfi ədədlər haqqında ilk məlumat təxminən eramızdan əvvəl II əsrə aiddir. Bir çox tənliklərin həlli mənfi köklərə aiddir. Məsələn, problemdə: ata oğlumdan böyük 18 ildir. İndi oğlumun 25 yaşı var. Neçə ildən sonra ata oğlundan iki dəfə böyük olacaq? Tənliyi tərtib edib həll etdikdən sonra kökün -7-yə bərabər olduğunu görürük. Bu o deməkdir ki, 7 il əvvəl ata oğlundan iki dəfə böyük idi. Qədim dövrlərdə belə tənliklər sadəcə olaraq nəzərə alınmırdı, mənfi ədədlər tanınmır, tənliklərin mənfi kökləri yalan hesab olunurdu. Beləliklə, eramızdan əvvəl II əsrdə. Çinli alim Zhang Can “Doqquz fəsildə hesab” kitabında borc kimi başa düşdüyü mənfi ədədlərlə, müsbət olanları isə mülkiyyət kimi başa düşmək üçün qaydalar verir. O, müsbətdən fərqli rəngdə olan mürəkkəbdən istifadə edərək mənfi ədədlər yazdı. IN Qədim Hindistan və Çində təxmin etdilər ki, “10 yuan borc” sözləri əvəzinə sadəcə “10 yuan” yazsınlar, lakin bu heroqlifləri qara mürəkkəblə çəksinlər. Qədim dövrlərdə nə rəqəmlər, nə də hərəkətlər üçün "+" və "-" işarələri yox idi. Yunanlar da əvvəlcə işarələrdən istifadə etmirdilər, ta ki III əsrdə İsgəndəriyyəli Diofant çıxma əməliyyatını işarə ilə ifadə etməyə başlayana qədər. İtaliyada sələmçilər borc verəndə borcun məbləğini və borclunun adının qarşısına bizim mənfi kimi sətir qoyurlar, borclu pulu qaytaranda isə onun üstündən xətt çəkirlər, ona görə də bizim artımız kimi görünürdü. Artıları üzərindən xətt çəkilmiş mənfi hesab edə bilərsiniz. Mənfi ədədlərin faydalılığı və etibarlılığı tədricən müəyyən edilmişdir. Hindistan riyaziyyatçısı Brahmaqupta (7-ci əsr) artıq onları müsbət olanlarla bərabər hesab edirdi. 4 Avropada tanınma min il sonra gəldi və hətta o zaman da uzun müddət mənfi ədədlər “yanlış”, “xəyali” və ya “absurd” adlandırıldı. Hətta məşhur riyaziyyatçı Blez Paskal da 0 − 4 = 0 olduğunu müdafiə edirdi, çünki heç bir şey heç nədən az ola bilməz. Mənfi ədədlərin tanınması fransız riyaziyyatçısı, fiziki və filosofu Rene Dekartın (1596-1650) işi ilə asanlaşdırıldı. O, müsbət və mənfi ədədlərin həndəsi şərhini təklif etdi - koordinat xəttini təqdim etdi (1637). Mənfi nömrələr yalnız 18-ci əsrin birinci yarısında həqiqətən mövcud olan son və ümumi tanınma aldı. Eyni zamanda, mənfi ədədlərin müasir qeydi quruldu. Yalnız 19-cu əsrin əvvəllərində mənfi ədədlər ümumi tanınma və müasir qeyd forması aldı. Mənfi ədədlər çox çətinliklə riyaziyyatda yer qazanıb. Qədim Çində mənfi ədədlər Biz mənfi ədədləri təbii bir şey hesab edirik, lakin bu həmişə belə deyildi. Mənfi rəqəmlər ilk dəfə Çində qanuniləşdirilib, lakin ümumiyyətlə, mənasız hesab edildiyi üçün yalnız müstəsna hallarda istifadə edilib. Çin alimləri eramızdan əvvəl 2-ci əsrdə mənfi rəqəmlərlə qarşılaşdılar. tənlikləri həll edərkən. Daha dəqiq söyləmək çətindir, çünki alimlərə qəzəblənən imperator Şi Huanq Di bütün elmi kitabların yandırılmasını, onların müəlliflərinin və oxucularının edam edilməsini əmr edir. Bu kitabların məzmunu bizə ancaq fraqmentlər halında gəlib çatmışdır ki, oradan da məlum olur ki, çinlilər yalnız mənfi və müsbət ədədləri toplamağı bilirdilər, müsbət və mənfi ədədləri vurarkən işarələrin qaydalarını bilmirdilər. Müsbət rəqəmlər “mənfəət”, “əmlak”, mənfi rəqəmlər isə “borc”, “zərər” kimi şərh edilmişdir. 5 Qədim Hindistanda mənfi ədədlər Hindistan riyaziyyatçıları tənlikləri həll edərkən mənfi ədədlərlə qarşılaşdılar. Hindistan riyaziyyatçısı Brahmagupta (7-ci əsr) onları müsbət və mənfi ədədlərlə bərabər hesab edirdi: “İki xassələrin cəmi xassədir”. (+x) + (+y) = +(x + y) “İki borcun cəmi borcdur.” (-x) + (-y) = - (x + y) “Əmlak və borcun cəmi onların fərqinə bərabərdir” (-x) + (+y) = - (x - y) və ya (-x) + (+y ) = +(y - x) “Sıfırdan çıxılan borc mülkiyyətə çevrilir.” 0 – (-x) = +x “Sıfırdan çıxılan aktivlər borc olur.” 0 – (+x) = -x Hindistan riyaziyyatçıları dörd əməliyyatın bütün qaydalarını mənfi ədədlərə tətbiq etdilər, lakin düzgün nəzəri əsaslandırma olmadan. Bununla belə, tənliklərdən istifadə edərək problemlərin həllində mənfi ədədlərdən geniş istifadə olunmasına baxmayaraq, Hindistanda mənfi ədədləri tamamilə real deyil, özünəməxsus sayaraq onlara bir qədər inamsızlıqla yanaşırdılar. Hind riyaziyyatçısı Bhaskara (12-ci əsr) bilavasitə yazırdı: “İnsanlar mücərrəd mənfi ədədləri qəbul etmirlər...” 6 İstifadə olunmuş ədəbiyyat: 1. İ. Depman, N. Ya. Vilenkin, riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. 5-6-cı sinif şagirdləri üçün dərslik Ali məktəb. – M.: Təhsil, 1989. 2. L.M. Fridman, Riyaziyyat öyrənmək: Ümumtəhsil müəssisələrinin 5-6-cı sinif şagirdləri üçün kitab. – M.: Təhsil, 1995 3. E.Q. Gelfman et al., Buratino teatrında müsbət və mənfi ədədlər. Dərslik 6-cı sinif üçün riyaziyyatdan. 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş, - Tomsk: Nəşriyyat Tomsk Universiteti, 1998 4. http://otvet.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7

Hətta bir neçə min il əvvəl ölçmə ehtiyacı insanların o vaxta qədər istifadə etdikləri natural ədədlər toplusunun genişlənməsinə səbəb oldu. Yeni, kəsrli ədədlər tətbiq olundu, onların köməyi ilə ölçmələri (uzunluqlar, sahələr, çəkilər və s.) Alətlərin icazə verdiyi istənilən dəqiqlik dərəcəsi ilə aparmaq mümkün oldu.

Mənfi rəqəmlərdə bu belə deyildi. IN praktik fəaliyyətlər insanlar mənfi ədədləri təqdim etməyə ehtiyac duymadılar və onlar riyaziyyatda möhkəm şəkildə quruldu və yalnız 17-ci əsrdə istifadə edildi.

Amma riyaziyyatın özündə yeni, mənfi ədədlər daxil etməklə ədədi çoxluğun genişləndirilməsi zərurəti çoxdan hiss olunur və riyaziyyat elmi inkişaf etdikcə bu ehtiyac getdikcə aktuallaşır.

Beləliklə, hələ III əsrdə yunan riyaziyyatçısı Diofant bəzi çevrilmələr edərkən, məsələn,

əslində o, artıq mənfi ədədlərin vurulması qaydasından istifadə edib və bunu belə ifadə edib: “Çıxarılan, əlavə olunana vurulan, alınanın nəticəsini verir. Çıxarılan, alınanla çoxaldıqca, əlavə olunanlar nəticələnir”.

Bu formuladan aydın olur ki, Diophantus mənfi ədədlərin müstəqil mövcudluğunu hələ tanımırdı; onun üçün başqa bir rəqəmdən “çıxılan” eyni ədədlər idi. Buna görə də, məsələn, tənliyi həll edərkən mənfi kök əldə edilirsə, Diofant onu sadəcə olaraq "yolverilməz" kimi rədd etdi.

Amma artıq hind alimi Bramaqupta (7-ci əsr) öz hesablamalarında sərbəst şəkildə mənfi ədədlərdən istifadə etmiş və onlara vizual şərh vermişdir. Əmlakı müsbət rəqəmlərlə, borcu isə mənfi rəqəmlərlə qeyd etdi.

Bu vizual formada o, rasional olanlarla hərəkətlər üçün də qaydalar verdi. ədədlər, məsələn: “İki xassələrin cəmi mülkdür. İki borcun cəmi borcdur. Əmlak və borcun cəmi onların fərqinə bərabərdir, əgər bərabərdirsə, sıfıra bərabərdir” və s.

Hind riyaziyyatçısı Bhaskara (12-ci əsr) mənfi ədədin gücündən istifadə edir. Onun “Sistemin tacı” essesində deyilir:

“Həm müsbət, həm də mənfi ədədin kvadratı müsbət ədəd verir, məsələn:

Avropada 16-cı əsrin riyaziyyatçıları bəzən mənfi ədədlərdən istifadə etsələr də, yenə də onları mürəkkəb” və “qaranlıq”, “heçdən az” və s.

Yalnız holland riyaziyyatçısı Girard (XVI-XVII əsrlər) mənfi ədədləri müsbətlərlə bərabər şəkildə istifadə edir. Beləliklə, tənliyin həlli

onun üç kökünü verir:

17-ci əsrdə təbiət elminin və texnologiyanın sürətli inkişafı riyaziyyata artan tələblər qoydu və bunu tələb etdi. gələcək inkişaf və riyazi aparatın təkmilləşdirilməsi. Mənfi ədədlərdən istifadə edilməməsi lazımsız çətinliklər yaradırdı riyazi hesablamalar və çevrilmələr. 17-ci əsrdən etibarən mənfi ədədlər riyaziyyatda möhkəm şəkildə qurulmuş və tapılmışdır praktik tətbiqlər. Fransız filosofu və riyaziyyatçısı Dekart ədəd oxundakı nöqtələrdən istifadə edərək ədədlərin vizual şərhini verir. Müxtəlif prosesləri və cəbri ifadələri qrafik şəkildə ifadə etmək üçün mənfi ədədlərdən istifadə edir.

Əsərin mətni şəkillər və düsturlar olmadan yerləşdirilib.
Tam versiyası iş PDF formatında "İş Faylları" sekmesinde mövcuddur

Giriş

Rəqəmlər dünyası çox sirli və maraqlıdır. Bizim dünyamızda rəqəmlər çox vacibdir. Rəqəmlərin mənşəyi və həyatımızda mənası haqqında mümkün qədər çox şey öyrənmək istəyirəm. Onlardan necə istifadə etməli və həyatımızda hansı rol oynayırlar?

Keçən il riyaziyyat dərslərində “Müsbət və mənfi ədədlər” mövzusunu öyrənməyə başladıq. Sualım var idi: mənfi rəqəmlər nə vaxt yaranıb, hansı ölkədə, hansı alimlər bu məsələni araşdırıblar. Mən Vikipediyada oxudum ki, mənfi ədəd riyaziyyatda natural ədədlər çoxluğunu genişləndirərkən (sıfırla birlikdə) ortaya çıxan mənfi ədədlər çoxluğunun elementidir. Genişlənmənin məqsədi hər hansı bir ədəd üzərində çıxma əməliyyatını yerinə yetirməyə imkan verməkdir. Genişlənmə nəticəsində müsbət (təbii) ədədlər, mənfi ədədlər və sıfırdan ibarət tam ədədlər toplusu (halqası) alınır.

Nəticədə mənfi ədədlərin tarixini araşdırmaq qərarına gəldim.

Bu işin məqsədi mənfi və müsbət ədədlərin yaranma tarixini öyrənməkdir.

Tədqiqatın obyekti - mənfi ədədlər və müsbət ədədlər

Müsbət və mənfi ədədlərin tarixi

İnsanların mənfi rəqəmlərə alışması uzun müddət çəkdi. Mənfi rəqəmlər onlara anlaşılmaz görünürdü, onlardan istifadə etmirdilər, sadəcə olaraq onlarda çox məna görmürdülər. Bu ədədlər natural ədədlərdən və adi kəsrlərdən xeyli gec yaranmışdır.

Mənfi ədədlər haqqında ilk məlumatı 2-ci əsrdə Çin riyaziyyatçıları tapdılar. e.ə e. hətta o zaman da yalnız müsbət və mənfi ədədlərin toplanması və çıxılması qaydaları məlum idi; vurma və bölmə qaydaları tətbiq edilmirdi.

Çin riyaziyyatında müsbət kəmiyyətlər “chen”, mənfi kəmiyyətlər “fu” adlanırdı; təsvir etdilər müxtəlif rənglər: "chen" - qırmızı, "fu" - qara. Bunu “Doqquz Fəsildə Arifmetika” (Müəllif Zhang Can) kitabında görmək olar. Bu təsvir üsulu Çində 12-ci əsrin ortalarına qədər, Li Ye mənfi rəqəmlər üçün daha əlverişli təyinat təklif edənə qədər istifadə edilmişdir - mənfi ədədləri təsvir edən rəqəmlər sağdan sola diaqonal olaraq xətt ilə kəsilmişdir.

Yalnız 7-ci əsrdə. Hindistan riyaziyyatçıları mənfi ədədlərdən geniş istifadə etməyə başladılar, lakin onlara bir qədər inamsızlıqla yanaşdılar. Bhasxara birbaşa yazırdı: “İnsanlar mücərrəd mənfi ədədləri qəbul etmirlər...”. Hind riyaziyyatçısı Brahmaqupta toplama və çıxma qaydalarını belə ortaya qoydu: “mülk və əmlak mülkiyyətdir, iki borcun cəmi borcdur; əmlakın cəmi və sıfır əmlakdır; iki sıfırın cəmi sıfırdır... Sıfırdan çıxılan borc mülkiyyətə, əmlak isə borcuna çevrilir. Əgər borcdan əmlakı, maldan isə borc almaq lazımdırsa, öz məbləğini alırlar”. “İki mülkün cəmi mülkdür.”

(+x) + (+y) = +(x + y)‏ (-x) + (-y) = - (x + y)‏

(-x) + (+y) = - (x - y)‏ (-x) + (+y) = +(y - x)‏

0 - (-x) = +x 0 - (+x) = -x

Hindlilər müsbət ədədləri "dhana" və ya "sva" (mülk), mənfi ədədləri isə "rina" və ya "kshaya" (borc) adlandırırdılar. Həyatda belə çıxma nümunələri tapmağa çalışan hind alimləri bunu ticarət hesablamaları baxımından şərh etməyə gəldilər. Bir tacirin 5000 rublu varsa. və 3000 rubla mal alır, 5000 - 3000 = 2000 rubl qalır. Əgər onun 3000 rublu varsa, amma 5000 rubla alırsa, o, 2000 rubl borcunda qalır. Buna uyğun olaraq, hesab olunurdu ki, burada 3000 - 5000 arasında çıxma aparılıb, nəticədə yuxarıda nöqtə olan 2000 rəqəmi "iki min borc" mənasını verir. Bu təfsir süni idi, tacir heç vaxt 3000 - 5000 çıxarmaqla borcun məbləğini tapmadı, lakin həmişə 5000 - 3000 çıxardı.

Bir az sonra Qədim Hindistan və Çində “10 yuan borc” sözləri əvəzinə sadəcə “10 yuan” hesab etdilər, lakin bu heroqlifləri qara mürəkkəblə çəkdilər. Qədim dövrlərdə nə rəqəmlər, nə də hərəkətlər üçün "+" və "-" işarələri yox idi.

Yunanlar da əvvəlcə işarələrdən istifadə etmirdilər. Qədim yunan alimi Diofant mənfi ədədləri heç tanımırdı və tənliyi həll edərkən mənfi kök alınarsa, onu “əlçatmaz” kimi atırdı. Və Diophantus mənfi köklərdən qaçınmaq üçün problemlər yaratmağa və tənliklər qurmağa çalışdı, lakin tezliklə İsgəndəriyyə Diofantı çıxmağı işarə ilə ifadə etməyə başladı.

Müsbət və mənfi rəqəmlərlə işləmə qaydaları artıq 3-cü əsrdə Misirdə təklif edilmişdir. Mənfi kəmiyyətlərin tətbiqi ilk dəfə Diophantus ilə baş verdi. Hətta istifadə etdi xüsusi xarakter onlar üçün. Eyni zamanda, Diofant "Hər iki tərəfə mənfi əlavə edək" kimi nitq fiqurlarından istifadə edir və hətta işarələr qaydasını formalaşdırır: "Mənfiyə mənfi vurmaq müsbət verir, mənfi isə müsbətə vurur. mənfi."

Avropada mənfi rəqəmlər 12-13-cü əsrlərdən istifadə olunmağa başladı, lakin XVI əsrə qədər deyil. alimlərin əksəriyyəti müsbət rəqəmlərdən fərqli olaraq onları "yalan", "xəyali" və ya "absurd" hesab edirdilər - "doğru". Müsbət rəqəmlər “mülkiyyət”, mənfi rəqəmlər isə “borc”, “çatışmazlıq” kimi şərh edilmişdir. Hətta məşhur riyaziyyatçı Blez Paskal da 0 − 4 = 0 olduğunu müdafiə edirdi, çünki heç bir şey heç nədən az ola bilməz. Avropada Pizalı Leonardo Fibonaççi 13-cü əsrin əvvəllərində mənfi kəmiyyət ideyasına kifayət qədər yaxınlaşdı. II Fridrixin saray riyaziyyatçıları ilə problem həlli müsabiqəsində Pizalı Leonardoya bir problemi həll etmək tapşırıldı: bir neçə şəxsin kapitalını tapmaq lazım idi. Fibonacci aldı mənfi məna. "Bu iş," dedi Fibonaççi, "kapitalın yox, borcun olduğunu qəbul etməsək mümkün deyil." Lakin mənfi ədədlər ilk dəfə 15-ci əsrin sonunda fransız riyaziyyatçısı Çuket tərəfindən açıq şəkildə istifadə edilmişdir. Arifmetika və cəbrə dair əlyazma traktatının müəllifi, “Üç hissədə ədədlər elmi”. Shuque simvolizmi müasirə yaxındır.

Mənfi ədədlərin tanınması fransız riyaziyyatçısı, fiziki və filosofu Rene Dekartın işi ilə asanlaşdırıldı. O, müsbət və mənfi ədədlərin həndəsi şərhini təklif etdi - koordinat xəttini təqdim etdi. (1637).

Müsbət ədədlər nömrə oxunda başlanğıc 0-ın sağında, mənfi ədədlər solda yerləşən nöqtələrlə təmsil olunur. Müsbət və mənfi ədədlərin həndəsi şərhi onların tanınmasına kömək etdi.

1544-cü ildə alman riyaziyyatçısı Mixael Ştifel ilk dəfə mənfi ədədləri sıfırdan kiçik ədədlər (yəni "heçdən az") hesab etdi. Bu andan etibarən mənfi rəqəmlərə artıq borc kimi deyil, tamamilə yeni bir şəkildə baxılır. Ştifel özü yazırdı: “Sıfır həqiqi və absurd rəqəmlər arasındadır...”

Demək olar ki, Stiefel ilə eyni vaxtda mənfi ədədlər ideyası Diophantusun işini yenidən kəşf edən italyan riyaziyyatçısı və mühəndisi Bombelli Raffaele (təxminən 1530-1572) tərəfindən müdafiə edilmişdir.

Eyni şəkildə, Girard mənfi ədədləri tamamilə məqbul və faydalı hesab etdi, xüsusən də bir şeyin olmadığını göstərmək üçün.

Hər bir fizik daim rəqəmlərlə məşğul olur: həmişə nəyisə ölçür, hesablayır, hesablayır. Onun kağızlarının hər yerində rəqəmlər, rəqəmlər və rəqəmlər var. Fizikin qeydlərinə diqqətlə baxsanız, görərsiniz ki, o, rəqəmləri yazarkən çox vaxt “+” və “-” işarələrindən istifadə edir. (Məsələn: termometr, dərinlik və hündürlük şkalası)

Yalnız 19-cu əsrin əvvəllərində. mənfi ədədlər nəzəriyyəsi öz inkişafını tamamladı və "absurd ədədlər" universal tanınma aldı.

Rəqəm anlayışının tərifi

IN müasir dünya insanlar mənşəyi haqqında düşünmədən daim rəqəmlərdən istifadə edirlər. Keçmişi bilmədən indini anlamaq mümkün deyil. Rəqəm riyaziyyatın əsas anlayışlarından biridir. Ədəd anlayışı kəmiyyətlərin öyrənilməsi ilə sıx əlaqədə inkişaf etmişdir; bu əlaqə bu günə qədər davam edir. Müasir riyaziyyatın bütün sahələrində biz müxtəlif kəmiyyətləri nəzərə almalı və rəqəmlərdən istifadə etməliyik. Rəqəm obyektlərin kəmiyyətini təyin etmək üçün istifadə olunan abstraksiyadır. Yenidən göründükdən sonra ibtidai cəmiyyət Sayma ehtiyaclarından say anlayışı dəyişərək zənginləşərək ən mühüm riyazi anlayışa çevrilmişdir.

Mövcuddur çoxlu sayda“nömrə” anlayışının tərifləri.

Rəqəmin ilk elmi tərifini Evklid özünün həmyerlisi Knidli Yevdoksdan (təxminən eramızdan əvvəl 408 - təxminən 355-ci illər) miras qoyduğu "Elementlər" əsərində vermişdi: “Vahid odur ki, ona uyğun olaraq mövcud olan hər şey bir adlanır. . Rəqəm vahidlərdən ibarət çoxluqdur”. Rus riyaziyyatçısı Maqnitski özünün “Arifmetika” əsərində (1703) ədəd anlayışını belə müəyyənləşdirmişdir. Evkliddən də əvvəl Aristotel belə tərif vermişdi: “Ədəd vahidlərlə ölçülən çoxluqdur”. Böyük ingilis fiziki, mexaniki, astronomu və riyaziyyatçısı İsaak Nyuton özünün “Ümumi arifmetika” əsərində (1707) yazır: “Sayı dedikdə, biz vahidlər məcmusunu deyil, kəmiyyətin eyni növdən başqa bir kəmiyyətlə mücərrəd münasibətini nəzərdə tuturuq. , vahid kimi götürülmüşdür.” Üç növ ədəd var: tam, kəsr və irrasional. Tam ədəd bir ilə ölçülən bir şeydir; kəsr birə çoxluqdur, irrasional bir ilə mütənasib olmayan ədəddir”.

Mariupol riyaziyyatçısı S.F.Klyuykov da ədəd anlayışının tərifinə öz töhfəsini verib: “Rəqəmlər riyazi modellər insanın öz biliyi üçün icad etdiyi real dünya”. O, həmçinin "funksional ədədlər" adlananları nömrələrin ənənəvi təsnifatına daxil etdi, yəni bütün dünyada adətən funksiyalar adlanan şey.

Natural ədədlər cisimləri sayarkən yaranmışdır. Mən bu haqda 5-ci sinifdə öyrənmişəm. Sonra öyrəndim ki, insanın kəmiyyətləri ölçmək ehtiyacı həmişə tam ədədlərlə ifadə olunmur. Natural ədədlər çoxluğunu kəsrlərə qədər genişləndirdikdən sonra istənilən tam ədədi başqa tam ədədə bölmək mümkün oldu (sıfıra bölmə istisna olmaqla). Fraksiyalı ədədlər ortaya çıxdı. Uzun müddətdir ki, çıxarılan bir tam ədəddən böyük olduqda, başqa bir tam ədəddən tam ədədi çıxarmaq qeyri-mümkün görünürdü. Mənə maraqlı olan o idi ki, bir çox riyaziyyatçılar uzun müddət mənfi ədədləri tanımır, onların heç bir real hadisəyə uyğun gəlmədiyinə inanırdılar.

"artı" və "mənfi" sözlərinin mənşəyi

Terminlər plus - "daha çox", mənfi - "az" sözlərindən yaranır. Əvvəlcə hərəkətlər ilk p hərfləri ilə qeyd edildi; m. Bir çox riyaziyyatçı üstünlük verdi və ya Müasir “+” və “-” işarələrinin mənşəyi tam aydın deyil. “+” işarəsi, ehtimal ki, et abbreviaturasından gəlir, yəni. "Və". Bununla belə, bu, ticarət təcrübəsindən yarana bilər: satılan şərab ölçüləri çəlləkdə “-” işarəsi ilə qeyd olunurdu və ehtiyat bərpa edildikdə, onların üstündən xətt çəkilir və nəticədə “+” işarəsi yaranır.

İtaliyada sələmçilər borc verəndə borcun məbləğini və borclunun adının qarşısına bizim minusumuz kimi tire qoyurlar, borclu pulu qaytaranda isə üstündən xətt çəkirlər, bizim artımız kimi bir şey çıxır.

Müasir "+" işarələri Almaniyada 15-ci əsrin son onilliyində meydana çıxdı. tacirlər üçün hesablama bələdçisi olan Widmann kitabında (1489). Çex Yan Vidman artıq toplama və çıxma üçün “+” və “-” yazıb.

Bir az sonra alman alimi Mişel Ştifel 1544-cü ildə nəşr olunan "Tam arifmetika" əsərini yazdı. Bu rəqəmlər üçün aşağıdakı qeydləri ehtiva edir: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. O, birinci növ rəqəmləri "heçdən az" və ya "heçdən aşağı" adlandırdı. O, ikinci növ rəqəmləri “heç nədən çox” və ya “yoxdan daha yüksək” adlandırdı. Əlbəttə, siz bu adları başa düşürsünüz, çünki “heç nə” 0-dır.

Misirdə mənfi rəqəmlər

Bununla belə, belə şübhələrə baxmayaraq, müsbət və mənfi rəqəmlərlə işləmə qaydaları artıq III əsrdə Misirdə təklif edilmişdir. Mənfi kəmiyyətlərin tətbiqi ilk dəfə Diophantus ilə baş verdi. Hətta onlar üçün xüsusi simvoldan da istifadə edirdi (indiki vaxtda biz bu məqsədlə mənfi işarədən istifadə edirik). Doğrudur, elm adamları Diofantın simvolunun mənfi ədədi və ya sadəcə bir çıxma əməliyyatını nəzərdə tutduğunu mübahisə edirlər, çünki Diophantusda mənfi ədədlər tək-tək deyil, yalnız müsbət fərqlər şəklində baş verir; və o, yalnız rasional müsbət ədədləri məsələlərə cavab hesab edir. Ancaq eyni zamanda, Diophantus "Hər iki tərəfə mənfi əlavə edək" kimi nitq fiqurlarından istifadə edir və hətta işarələr qaydasını formalaşdırır: "Mənfiyə mənfi vurulan mənfi müsbət verir, mənfi isə müsbətə vurulur. mənfi verir” (yəni, indi adətən formullaşdırılır: “Mənfi minus artı verir, minus artı mənfi verir”).

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Qədim Asiyada mənfi rəqəmlər

Çin riyaziyyatında müsbət kəmiyyətlər “chen”, mənfi kəmiyyətlər “fu” adlanırdı; onlar müxtəlif rənglərdə təsvir edilmişdir: "chen" - qırmızı, "fu" - qara. Bu təsvir üsulu Çində 12-ci əsrin ortalarına qədər, Li Ye mənfi rəqəmlər üçün daha əlverişli təyinat təklif edənə qədər istifadə edilmişdir - mənfi ədədləri təsvir edən rəqəmlər sağdan sola diaqonal olaraq xətt ilə kəsilmişdir. Həyatda belə çıxma nümunələri tapmağa çalışan hind alimləri bunu ticarət hesablamaları baxımından şərh etməyə gəldilər.

Bir tacirin 5000 rublu varsa. və 3000 rubla mal alır, 5000 - 3000 = 2000 rubl qalır. Əgər onun 3000 rublu varsa, amma 5000 rubla alırsa, o, 2000 rubl borcunda qalır. Buna uyğun olaraq, hesab olunurdu ki, burada 3000 - 5000 arasında çıxma aparılıb, nəticədə yuxarıda nöqtə olan 2000 rəqəmi "iki min borc" mənasını verir.

Bu təfsir süni idi, tacir heç vaxt 3000 - 5000-i çıxarmaqla borcun məbləğini tapmırdı, lakin həmişə 5000 - 3000-i çıxarırdı. Bundan əlavə, bu əsasda "rəqəmlərin toplanması və çıxarılmasının qaydalarını yalnız uzatmaqla izah etmək mümkün idi; nöqtələrlə”, lakin vurma və ya bölmə qaydalarını izah etmək mümkün deyildi.

5-6-cı əsrlərdə mənfi ədədlər meydana çıxdı və Hindistan riyaziyyatında çox geniş yayıldı. Hindistanda indiki kimi mənfi ədədlər sistemli şəkildə istifadə olunurdu. Hindistan riyaziyyatçıları 7-ci əsrdən bəri mənfi ədədlərdən istifadə edirlər. n. AD: Brahmagupta qaydaları tərtib etdi arifmetik əməliyyatlar onlarla. Onun əsərində oxuyuruq: “Mülk və mal mülkdür, iki borcun cəmi borcdur; əmlakın cəmi və sıfır əmlakdır; iki sıfırın cəmi sıfırdır... Sıfırdan çıxılan borc mülkiyyətə, əmlak isə borcuna çevrilir. Əgər borcdan əmlakı, maldan isə borc almaq lazımdırsa, öz məbləğini alırlar”.

Hindlilər müsbət ədədləri "dhana" və ya "sva" (mülk), mənfi ədədləri isə "rina" və ya "kshaya" (borc) adlandırırdılar. Ancaq Hindistanda mənfi rəqəmləri anlamaq və qəbul etməkdə problemlər var idi.

Avropada mənfi rəqəmlər

Avropa riyaziyyatçıları uzun müddət onları bəyənmədilər, çünki “mülk borcunun” təfsiri çaşqınlıq və şübhə doğururdu. Əslində, əmlak və borcları necə “əlavə etmək” və ya “çıxmaq” olar, əmlakı borcla “çoxaltmaq” və ya “bölmək” hansı real mənaya malik ola bilər? (G.I.Glazer, IV-VI siniflərdə riyaziyyat tarixi. Moskva, Prosveşchenie, 1981)

Məhz buna görə də mənfi ədədlər çox çətinliklə riyaziyyatda yer qazanıb. Avropada Pizalı Leonardo Fibonaççi mənfi kəmiyyət ideyasına 13-cü əsrin əvvəllərində kifayət qədər yaxınlaşdı, lakin mənfi ədədlər ilk dəfə 15-ci əsrin sonunda fransız riyaziyyatçısı Chuquet tərəfindən açıq şəkildə istifadə edildi. Arifmetika və cəbrə dair əlyazma traktatının müəllifi, “Üç hissədə ədədlər elmi”. Şuquet simvolizmi müasirlərə yaxınlaşır (Riyazi ensiklopedik lüğət. M., Sovet ensiklopediyası, 1988)

Mənfi ədədlərin müasir təfsiri

1544-cü ildə alman riyaziyyatçısı Mixael Ştifel ilk dəfə mənfi ədədləri sıfırdan kiçik ədədlər (yəni "heçdən az") hesab etdi. Bu andan etibarən mənfi rəqəmlərə artıq borc kimi deyil, tamamilə yeni bir şəkildə baxılır. Ştifel özü yazırdı: “Sıfır həqiqi və absurd ədədlər arasındadır...” (G.I.Glazer, IV-VI siniflərdə riyaziyyat tarixi. Moskva, Prosveşchenie, 1981).

Bundan sonra Stiefel öz işini tamamilə riyaziyyata həsr etdi, bu sahədə özünü öyrədən dahi idi. Nikola Chuquetdən sonra Avropada ilklərdən biri mənfi nömrələrlə fəaliyyət göstərməyə başladı.

Məşhur fransız riyaziyyatçısı Rene Dekart “Həndəsə”də (1637) müsbət və mənfi ədədlərin həndəsi şərhini təsvir edir; müsbət ədədlər nömrə oxunda başlanğıc 0-ın sağında, mənfi ədədlər solda yerləşən nöqtələrlə təmsil olunur. Müsbət və mənfi ədədlərin həndəsi şərhi mənfi ədədlərin təbiətinin daha aydın başa düşülməsinə səbəb oldu və onların tanınmasına kömək etdi.

Demək olar ki, Stiefel ilə eyni vaxtda mənfi ədədlər ideyası Diophantusun işini yenidən kəşf edən italyan riyaziyyatçısı və mühəndisi R. Bombelli Raffaele (təxminən 1530-1572) tərəfindən müdafiə edilmişdir.

Bombelli və Girard, əksinə, mənfi ədədləri olduqca məqbul və faydalı hesab etdilər, xüsusən də bir şeyin olmadığını göstərmək üçün. Müasir təyinat“+” və “-” işarəli müsbət və mənfi ədədlər alman riyaziyyatçısı Vidman tərəfindən istifadə edilmişdir. “Heç nədən aşağı” ifadəsi onu göstərir ki, Ştifel və bəziləri zehni olaraq müsbət və mənfi ədədləri şaquli miqyasda (termometr şkalası kimi) nöqtələr kimi təsəvvür edirdilər. Daha sonra riyaziyyatçı A. Girard tərəfindən inkişaf etdirilən mənfi ədədlərin müsbətdən çox sıfırın o biri tərəfində yerləşən müəyyən bir xətt üzərində nöqtələr şəklində olması ideyası bu ədədlərin vətəndaşlıq hüquqları ilə təmin edilməsində həlledici oldu, xüsusən də P.Fermat və R.Dekart tərəfindən koordinat metodunun inkişafının nəticəsi.

Nəticə

İşimdə mənfi ədədlərin yaranma tarixini araşdırdım. Araşdırma zamanı belə qənaətə gəldim:

Müasir elm o qədər mürəkkəb xarakterli kəmiyyətlərlə qarşılaşır ki, onları öyrənmək üçün yeni ədəd növləri icad etmək lazımdır.

Yeni nömrələr təqdim edərkən böyük əhəmiyyət kəsb edir iki hal var:

a) onlar üzərində hərəkət qaydaları tam müəyyən edilməli və ziddiyyətlərə səbəb olmamalıdır;

b) yeni say sistemləri ya yeni məsələlərin həllinə, ya da artıq məlum olan həllərin təkmilləşdirilməsinə kömək etməlidir.

Bu günə qədər ədədlərin ümumi qəbul edilmiş yeddi səviyyəsi mövcuddur: natural, rasional, real, kompleks, vektor, matris və transfinit ədədlər. Bəzi alimlər funksiyaları funksional ədədlər kimi nəzərdən keçirməyi və ədədlərin ümumiləşdirmə dərəcəsini on iki səviyyəyə qədər genişləndirməyi təklif edirlər.

Bütün bu nömrələr toplusunu öyrənməyə çalışacağam.

Ərizə

ŞEİR

"Mənfi ədədlərin və ədədlərin əlavə edilməsi müxtəlif əlamətlər»

Həqiqətən qatlanmaq istəyirsənsə

Rəqəmlər mənfidir, narahat olmağa ehtiyac yoxdur:

Modulların cəmini tez tapmalıyıq,

Sonra götürün və ona mənfi işarə əlavə edin.

Fərqli işarəli nömrələr verilirsə,

Onların cəmini tapmaq üçün hamımız oradayıq.

Daha böyük modulu tez seçə bilərik.

Ondan kiçik olanı çıxarırıq.

Ən əsası işarəni unutmamaqdır!

Hansını qoyacaqsan? - soruşmaq istəyirik

Sizə bir sirr deyəcəyik, daha sadə ola bilməz,

Cavabınızda modulun daha böyük olduğu işarəni yazın.

Müsbət və mənfi ədədlərin toplanması qaydaları

Mənfiyə mənfi əlavə et,

Minus ala bilərsiniz.

Mənfi, artı əlavə etsəniz,

Bir biabırçılıq olacaqmı?!

Nömrənin işarəsini seçirsiniz

Hansı daha güclüdür, əsnəməyin!

Onları modullardan uzaqlaşdırın

Bütün nömrələrlə barışın!

Çoxalma qaydalarını belə şərh etmək olar:

“Dostumun dostu mənim dostumdur”: + ∙ + = + .

“Düşmənimin düşməni mənim dostumdur”: ─ ∙ ─ = +.

“Düşmənimin dostu mənim düşmənimdir”: + ∙ ─ = ─.

“Dostumun düşməni mənim düşmənimdir”: ─ ∙ + = ─.

Çarpma işarəsi nöqtədir, onun üç əlaməti var:

Onlardan ikisini əhatə et, üçüncü cavab verəcək.

Misal üçün.

2∙(-3) hasilinin işarəsini necə təyin etmək olar?

Əllərimizlə artı və mənfi işarələri örtək. Mənfi işarə qalır

Biblioqrafiya

"Hekayə qədim dünya", 5-ci sinif. Kolpakov, Selunskaya.

“Antik dövrdə riyaziyyatın tarixi”, E. Kolman.

"Tələbə üçün dərslik." "VES" nəşriyyatı, Sankt-Peterburq. 2003

Böyük riyazi ensiklopediya. Yakusheva G.M. və s.

Viqasin A.A., Qoder G.İ., “Qədim dünya tarixi”, 5-ci sinif dərsliyi, 2001.

Vikipediya. Pulsuz ensiklopediya.

Riyaziyyat elminin yaranması və inkişafı: Kitab. Müəllim üçün. - M.: Təhsil, 1987.

Gelfman E.G. “Müsbət və mənfi ədədlər”, 6-cı sinif üçün riyaziyyat dərsliyi, 2001.

Baş red. M. D. Aksyonova. - M.: Avanta+, 1998.

Glazer G. I. "Məktəbdə riyaziyyat tarixi", Moskva, "Prosveşchenie", 1981

Uşaq ensiklopediyası "Mən dünyanı tanıyıram", Moskva, "Maarifçilik", 1995.

Məktəbdə riyaziyyatın tarixi, IV-VI siniflər. G.İ. Qleyzer, Moskva, Təhsil, 1981.

M .: Filol. MMC "WORD": OLMA-PRESS, 2005.

Malygin K.A.

Riyazi ensiklopedik lüğət. M., Sov. ensiklopediya, 1988.

Nurk E.R., Telqmaa A.E. “Riyaziyyat 6-cı sinif”, Moskva, “Maarifçilik”, 1989

Dərslik 5 sinif. Vilenkin, Joxov, Chesnokov, Shvartsburd.

Fridman L. M. "Riyaziyyatı öyrənmək", təhsil nəşri, 1994

E.G. Gelfman et al., Buratino teatrında müsbət və mənfi ədədlər. Riyaziyyat 6-cı sinif dərsliyi. 3-cü nəşr, yenidən işlənmiş, - Tomsk: Tomsk Universitetinin nəşriyyatı, 1998.

Uşaqlar üçün ensiklopediya. T.11. Riyaziyyat