Determinazione della distanza tra due punti. Distanza tra due punti su un piano

La risoluzione dei problemi di matematica per gli studenti è spesso accompagnata da molte difficoltà. Aiutare lo studente ad affrontare queste difficoltà, nonché insegnare loro ad applicare le conoscenze teoriche esistenti nella risoluzione di problemi specifici in tutte le sezioni del corso sull'argomento "Matematica" è lo scopo principale del nostro sito.

Quando iniziano a risolvere problemi sull'argomento, gli studenti dovrebbero essere in grado di costruire un punto su un piano utilizzando le sue coordinate, nonché di trovare le coordinate di un dato punto.

Il calcolo della distanza tra due punti A(x A; y A) e B(x B; y B) presi su un piano viene eseguito utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), dove d è la lunghezza del segmento che collega questi punti sul piano.

Se una delle estremità del segmento coincide con l'origine delle coordinate e l'altra ha le coordinate M(x M; y M), la formula per calcolare d assumerà la forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calcolo della distanza tra due punti in base alle coordinate fornite di questi punti

Esempio 1.

Trova la lunghezza del segmento che collega i punti A(2; -5) e B(-4; 3) sul piano delle coordinate (Fig. 1).

Soluzione.

L'enunciato del problema afferma: x A = 2; xB = -4; y A = -5 e y B = 3. Trova d.

Applicando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), otteniamo:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calcolo delle coordinate di un punto equidistante da tre punti dati

Esempio 2.

Trova le coordinate del punto O 1, che è equidistante da tre punti A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).

Soluzione.

Dalla formulazione delle condizioni del problema ne consegue O 1 A = O 1 B = O 1 C. Lascia che il punto desiderato O 1 abbia coordinate (a; b). Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Creiamo un sistema di due equazioni:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Dopo aver quadrato i lati sinistro e destro delle equazioni, scriviamo:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Semplificando, scriviamo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Risolto il sistema si ottiene: a = 2; b = -1.

Il punto O 1 (2; -1) è equidistante dai tre punti specificati nella condizione che non giacciono sulla stessa retta. Questo punto è il centro di una circonferenza passante per tre punti dati (Fig. 2).

3. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinate) e si trova a una determinata distanza da un dato punto

Esempio 3.

La distanza dal punto B(-5; 6) al punto A situato sull'asse del bue è 10. Trova il punto A.

Soluzione.

Dalla formulazione delle condizioni del problema segue che l'ordinata del punto A è uguale a zero e AB = 10.

Denotando a l'ascissa del punto A, scriviamo A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Otteniamo l'equazione √((a + 5) 2 + 36) = 10. Semplificandola, abbiamo

a2 + 10a – 39 = 0.

Le radici di questa equazione sono 1 = -13; e 2 = 3.

Otteniamo due punti A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).

Esame:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Entrambi i punti ottenuti sono adeguati alle condizioni del problema (Fig. 3).

4. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinate) e si trova alla stessa distanza da due punti dati

Esempio 4.

Trova un punto sull'asse Oy che sia alla stessa distanza dai punti A (6, 12) e B (-8, 10).

Soluzione.

Sia O 1 (0; b) le coordinate del punto richiesto dalle condizioni del problema, che giace sull'asse Oy (nel punto che giace sull'asse Oy, l'ascissa è zero). Ne consegue dalla condizione che O 1 A = O 1 B.

Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Abbiamo l'equazione √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) oppure 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Dopo la semplificazione otteniamo: b – 4 = 0, b = 4.

Punto O 1 (0; 4) richiesto dalle condizioni del problema (Fig. 4).

5. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e da un dato punto

Esempio 5.

Trova il punto M situato sul piano delle coordinate alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e dal punto A(-2; 1).

Soluzione.

Il punto M richiesto, come il punto A(-2; 1), si trova nel secondo angolo di coordinate, poiché è equidistante dai punti A, P 1 e P 2 (figura 5). Le distanze del punto M dagli assi coordinati sono le stesse, quindi le sue coordinate saranno (-a; a), dove a > 0.

Dalle condizioni del problema segue che MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP2 = |-a|,

quelli. |-a| = un.

Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Facciamo un'equazione:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = a.

Dopo la quadratura e la semplificazione abbiamo: a 2 – 6a + 5 = 0. Risolvi l'equazione, trova a 1 = 1; e 2 = 5.

Otteniamo due punti M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5) che soddisfano le condizioni del problema.

6. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza specificata dall'asse delle ascisse (ordinate) e dal punto dato

Esempio 6.

Trovare un punto M tale che la sua distanza dall'asse delle ordinate e dal punto A(8; 6) sia uguale a 5.

Soluzione.

Dalle condizioni del problema segue che MA = 5 e l'ascissa del punto M è uguale a 5. Sia l'ordinata del punto M uguale a b, allora M(5; b) (Fig. 6).

Secondo la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) abbiamo:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Facciamo un'equazione:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Semplificando, otteniamo: b 2 – 12b + 20 = 0. Le radici di questa equazione sono b 1 = 2; b 2 = 10. Di conseguenza, ci sono due punti che soddisfano le condizioni del problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).

È noto che molti studenti, quando risolvono i problemi in modo indipendente, necessitano di consultazioni costanti su tecniche e metodi per risolverli. Spesso uno studente non riesce a trovare un modo per risolvere un problema senza l'aiuto di un insegnante. Lo studente può ricevere i consigli necessari per risolvere i problemi sul nostro sito web.

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Utilizzando le coordinate, determinare la posizione di un oggetto su globo. Le coordinate sono indicate da latitudine e longitudine. Le latitudini sono misurate dalla linea dell'equatore su entrambi i lati. Nell'emisfero settentrionale, le latitudini sono positive, in Emisfero meridionale– negativo. La longitudine viene misurata dal meridiano fondamentale est o ovest, rispettivamente, si ottiene la longitudine orientale o occidentale.

Secondo la posizione generalmente accettata, il meridiano fondamentale è quello che passa attraverso il vecchio Osservatorio di Greenwich a Greenwich. Le coordinate geografiche della località possono essere ottenute utilizzando un navigatore GPS. Questo dispositivo riceve i segnali del sistema di posizionamento satellitare nel sistema di coordinate WGS-84, uniforme per tutto il mondo.

I modelli di Navigator differiscono per produttore, funzionalità e interfaccia. Attualmente in alcuni modelli sono disponibili anche i navigatori GPS integrati telefoni cellulari. Ma qualsiasi modello può registrare e salvare le coordinate di un punto.

Distanza tra le coordinate GPS

Per risolvere problemi pratici e teorici in alcuni settori, è necessario essere in grado di determinare le distanze tra i punti in base alle loro coordinate. Esistono diversi modi per farlo. La forma canonica di rappresentazione delle coordinate geografiche: gradi, minuti, secondi.

Ad esempio, puoi determinare la distanza tra le seguenti coordinate: punto n. 1 - latitudine 55°45′07″ N, longitudine 37°36′56″ E; punto n. 2 - latitudine 58°00′02″ N, longitudine 102°39′42″ E.

Il modo più semplice è utilizzare una calcolatrice per calcolare la lunghezza tra due punti. Nel motore di ricerca del browser, è necessario impostare i seguenti parametri di ricerca: online - per calcolare la distanza tra due coordinate. Nel calcolatore online i valori di latitudine e longitudine vengono inseriti nei campi di interrogazione per la prima e la seconda coordinata. Durante il calcolo, il calcolatore online ha dato il risultato: 3.800.619 m.

Il metodo successivo è più laborioso, ma anche più visivo. È necessario utilizzare qualsiasi programma di mappatura o navigazione disponibile. I programmi in cui è possibile creare punti utilizzando le coordinate e misurare le distanze tra di essi includono le seguenti applicazioni: BaseCamp ( analogo moderno programmi MapSource), Google Earth, SAS.Planet.

Tutti i programmi di cui sopra sono disponibili per qualsiasi utente della rete. Ad esempio, per calcolare la distanza tra due coordinate in Google Earth, è necessario creare due etichette indicanti le coordinate del primo punto e del secondo punto. Quindi, utilizzando lo strumento "Righello", è necessario collegare il primo e il secondo segno con una linea, il programma visualizzerà automaticamente il risultato della misurazione e mostrerà il percorso sull'immagine satellitare della Terra.

Nel caso dell'esempio sopra riportato, il programma Google Earth ha restituito il risultato: la lunghezza della distanza tra il punto n. 1 e il punto n. 2 è 3.817.353 m.

Perché si verifica un errore nel determinare la distanza

Tutti i calcoli dell'estensione tra le coordinate si basano sul calcolo della lunghezza dell'arco. Il raggio della Terra è coinvolto nel calcolo della lunghezza dell'arco. Ma poiché la forma della Terra è vicina ad un ellissoide oblato, il raggio della Terra differisce in certi punti. Per calcolare la distanza tra le coordinate si prende il valore medio del raggio terrestre, che dà un errore nella misurazione. Maggiore è la distanza misurata, maggiore è l'errore.

La distanza tra due punti su un piano.
Sistemi di coordinate

Ogni punto A del piano è caratterizzato dalle sue coordinate (x, y). Coincidono con le coordinate del vettore 0A che esce dal punto 0 - origine delle coordinate.

Siano A e B punti arbitrari del piano con coordinate (x 1 y 1) e (x 2, y 2), rispettivamente.

Allora il vettore AB ha ovviamente delle coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). È noto che il quadrato della lunghezza del vettore pari alla somma quadrati delle sue coordinate. Pertanto, la distanza d tra i punti A e B, o, che è lo stesso, la lunghezza del vettore AB, è determinata dalla condizione

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

La formula risultante consente di trovare la distanza tra due punti qualsiasi sul piano, se si conoscono solo le coordinate di questi punti

Ogni volta che parliamo di coordinate di un punto particolare del piano, intendiamo un sistema di coordinate x0y ben definito. In generale, il sistema di coordinate su un piano può essere scelto in diversi modi. Quindi, al posto del sistema di coordinate x0y, si può considerare il sistema di coordinate x"0y", che si ottiene ruotando i vecchi assi delle coordinate attorno al punto iniziale 0 antiorario frecce all'angolo α .

Se qualche punto del piano nel sistema di coordinate x0y avesse coordinate (x, y), allora in nuovo sistema coordinate x"0y" avrà coordinate diverse (x", y").

Ad esempio, consideriamo il punto M, situato sull'asse 0x e separato dal punto 0 ad una distanza di 1.

Ovviamente, nel sistema di coordinate x0y questo punto ha coordinate (cos α , peccato α ), e nel sistema di coordinate x"0y" le coordinate sono (1,0).

Le coordinate di due punti qualsiasi sul piano A e B dipendono da come è specificato il sistema di coordinate in questo piano. Ma la distanza tra questi punti non dipende dal metodo di specificazione del sistema di coordinate. Faremo un uso significativo di questa importante circostanza nel prossimo paragrafo.

Esercizi

I. Trova le distanze tra i punti del piano con le coordinate:

1) (3.5) e (3.4); 3) (0,5) e (5, 0); 5) (-3,4) e (9, -17);

2) (2, 1) e (- 5, 1); 4) (0, 7) e (3,3); 6) (8, 21) e (1, -3).

II. Trova il perimetro di un triangolo i cui lati sono dati dalle equazioni:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 e y = 1.

III. Nel sistema di coordinate x0y, i punti M e N hanno rispettivamente coordinate (1, 0) e (0,1). Trova le coordinate di questi punti nel nuovo sistema di coordinate, che si ottiene ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso antiorario.

IV. Nel sistema di coordinate x0y, i punti M e N hanno coordinate (2, 0) e (\ / 3/2, - 1/2) rispettivamente. Trova le coordinate di questi punti nel nuovo sistema di coordinate, che si ottiene ruotando i vecchi assi attorno al punto iniziale di un angolo di 30° in senso orario.

La risoluzione dei problemi di matematica per gli studenti è spesso accompagnata da molte difficoltà. Aiutare lo studente ad affrontare queste difficoltà, nonché insegnare loro ad applicare le conoscenze teoriche esistenti nella risoluzione di problemi specifici in tutte le sezioni del corso sull'argomento "Matematica" è lo scopo principale del nostro sito.

Quando iniziano a risolvere problemi sull'argomento, gli studenti dovrebbero essere in grado di costruire un punto su un piano utilizzando le sue coordinate, nonché di trovare le coordinate di un dato punto.

Il calcolo della distanza tra due punti A(x A; y A) e B(x B; y B) presi su un piano viene eseguito utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), dove d è la lunghezza del segmento che collega questi punti sul piano.

Se una delle estremità del segmento coincide con l'origine delle coordinate e l'altra ha le coordinate M(x M; y M), la formula per calcolare d assumerà la forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Calcolo della distanza tra due punti in base alle coordinate fornite di questi punti

Esempio 1.

Trova la lunghezza del segmento che collega i punti A(2; -5) e B(-4; 3) sul piano delle coordinate (Fig. 1).

Soluzione.

L'enunciato del problema afferma: x A = 2; xB = -4; y A = -5 e y B = 3. Trova d.

Applicando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), otteniamo:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Calcolo delle coordinate di un punto equidistante da tre punti dati

Esempio 2.

Trova le coordinate del punto O 1, che è equidistante da tre punti A(7; -1) e B(-2; 2) e C(-1; -5).

Soluzione.

Dalla formulazione delle condizioni del problema ne consegue O 1 A = O 1 B = O 1 C. Lascia che il punto desiderato O 1 abbia coordinate (a; b). Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Creiamo un sistema di due equazioni:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Dopo aver quadrato i lati sinistro e destro delle equazioni, scriviamo:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Semplificando, scriviamo

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Risolto il sistema si ottiene: a = 2; b = -1.

Il punto O 1 (2; -1) è equidistante dai tre punti specificati nella condizione che non giacciono sulla stessa retta. Questo punto è il centro di una circonferenza passante per tre punti dati (Fig. 2).

3. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinate) e si trova a una determinata distanza da un dato punto

Esempio 3.

La distanza dal punto B(-5; 6) al punto A situato sull'asse del bue è 10. Trova il punto A.

Soluzione.

Dalla formulazione delle condizioni del problema segue che l'ordinata del punto A è uguale a zero e AB = 10.

Denotando a l'ascissa del punto A, scriviamo A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Otteniamo l'equazione √((a + 5) 2 + 36) = 10. Semplificandola, abbiamo

a2 + 10a – 39 = 0.

Le radici di questa equazione sono 1 = -13; e 2 = 3.

Otteniamo due punti A 1 (-13; 0) e A 2 (3; 0).

Esame:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Entrambi i punti ottenuti sono adeguati alle condizioni del problema (Fig. 3).

4. Calcolo dell'ascissa (ordinata) di un punto che giace sull'asse delle ascisse (ordinate) e si trova alla stessa distanza da due punti dati

Esempio 4.

Trova un punto sull'asse Oy che sia alla stessa distanza dai punti A (6, 12) e B (-8, 10).

Soluzione.

Sia O 1 (0; b) le coordinate del punto richiesto dalle condizioni del problema, che giace sull'asse Oy (nel punto che giace sull'asse Oy, l'ascissa è zero). Ne consegue dalla condizione che O 1 A = O 1 B.

Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Abbiamo l'equazione √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) oppure 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Dopo la semplificazione otteniamo: b – 4 = 0, b = 4.

Punto O 1 (0; 4) richiesto dalle condizioni del problema (Fig. 4).

5. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e da un dato punto

Esempio 5.

Trova il punto M situato sul piano delle coordinate alla stessa distanza dagli assi delle coordinate e dal punto A(-2; 1).

Soluzione.

Il punto M richiesto, come il punto A(-2; 1), si trova nel secondo angolo di coordinate, poiché è equidistante dai punti A, P 1 e P 2 (figura 5). Le distanze del punto M dagli assi coordinati sono le stesse, quindi le sue coordinate saranno (-a; a), dove a > 0.

Dalle condizioni del problema segue che MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP2 = |-a|,

quelli. |-a| = un.

Utilizzando la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) troviamo:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Facciamo un'equazione:

√((-à + 2) 2 + (à – 1) 2) = a.

Dopo la quadratura e la semplificazione abbiamo: a 2 – 6a + 5 = 0. Risolvi l'equazione, trova a 1 = 1; e 2 = 5.

Otteniamo due punti M 1 (-1; 1) e M 2 (-5; 5) che soddisfano le condizioni del problema.

6. Calcolo delle coordinate di un punto che si trova alla stessa distanza specificata dall'asse delle ascisse (ordinate) e dal punto dato

Esempio 6.

Trovare un punto M tale che la sua distanza dall'asse delle ordinate e dal punto A(8; 6) sia uguale a 5.

Soluzione.

Dalle condizioni del problema segue che MA = 5 e l'ascissa del punto M è uguale a 5. Sia l'ordinata del punto M uguale a b, allora M(5; b) (Fig. 6).

Secondo la formula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) abbiamo:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Facciamo un'equazione:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Semplificando, otteniamo: b 2 – 12b + 20 = 0. Le radici di questa equazione sono b 1 = 2; b 2 = 10. Di conseguenza, ci sono due punti che soddisfano le condizioni del problema: M 1 (5; 2) e M 2 (5; 10).

È noto che molti studenti, quando risolvono i problemi in modo indipendente, necessitano di consultazioni costanti su tecniche e metodi per risolverli. Spesso uno studente non riesce a trovare un modo per risolvere un problema senza l'aiuto di un insegnante. Lo studente può ricevere i consigli necessari per risolvere i problemi sul nostro sito web.

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Distanza da punto a puntoè la lunghezza del segmento che collega questi punti su una data scala. Pertanto, quando si tratta di misurare la distanza, è necessario conoscere la scala (unità di lunghezza) in cui verranno effettuate le misurazioni. Pertanto, il problema di trovare la distanza da un punto all'altro viene solitamente considerato su una linea di coordinate o in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano o nello spazio tridimensionale. In altre parole, molto spesso devi calcolare la distanza tra i punti utilizzando le loro coordinate.

In questo articolo ricorderemo innanzitutto come viene determinata la distanza da punto a punto su una linea coordinata. Successivamente, otteniamo le formule per calcolare la distanza tra due punti di un piano o di uno spazio secondo le coordinate date. In conclusione, considereremo in dettaglio le soluzioni ad esempi e problemi tipici.

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La distanza tra due punti su una linea di coordinate.

Definiamo innanzitutto la notazione. Indicheremo la distanza dal punto A al punto B come .

Da ciò possiamo concludere che la distanza dal punto A con coordinate al punto B con coordinate è uguale al modulo della differenza di coordinate, questo è, per qualsiasi posizione di punti sulla linea coordinata.

Distanza da punto a punto su un piano, formula.

Otteniamo una formula per calcolare la distanza tra i punti e data in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano.

A seconda della posizione dei punti A e B, sono possibili le seguenti opzioni.

Se i punti A e B coincidono, la distanza tra loro è zero.

Se i punti A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse delle ascisse, allora i punti coincidono e la distanza è uguale alla distanza . Nel paragrafo precedente abbiamo scoperto che la distanza tra due punti su una linea coordinata è uguale al modulo della differenza tra le loro coordinate, quindi, . Quindi, .

Allo stesso modo, se i punti A e B giacciono su una linea retta perpendicolare all'asse delle ordinate, la distanza dal punto A al punto B risulta essere .

In questo caso, il triangolo ABC ha una struttura rettangolare e E . Di Teorema di Pitagora possiamo scrivere l'uguaglianza, da dove .

Riassumiamo tutti i risultati ottenuti: la distanza da un punto a un punto su un piano si trova attraverso le coordinate dei punti utilizzando la formula .

La formula risultante per trovare la distanza tra i punti può essere utilizzata quando i punti A e B coincidono o giacciono su una linea retta perpendicolare a uno degli assi delle coordinate. Infatti, se A e B coincidono, allora . Se i punti A e B giacciono su una linea retta perpendicolare all'asse del Bue, allora. Se A e B giacciono su una retta perpendicolare all'asse Oy, allora .

Distanza tra punti nello spazio, formula.

Introduciamo nello spazio il sistema di coordinate rettangolari Oxyz. Prendiamo una formula per trovare la distanza da un punto al punto .

In generale, i punti A e B non giacciono su un piano parallelo a uno dei piani coordinati. Disegniamo attraverso i punti A e B piani perpendicolari agli assi coordinati Ox, Oy e Oz. I punti di intersezione di questi piani con gli assi delle coordinate ci daranno le proiezioni dei punti A e B su questi assi. Indichiamo le proiezioni .

La distanza richiesta tra i punti A e B è una diagonale parallelepipedo rettangolare mostrato nella figura. Per costruzione, le dimensioni di questo parallelepipedo sono uguali E . Nel corso della geometria Scuola superioreÈ stato dimostrato che il quadrato della diagonale di un parallelepipedo rettangolare è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni, quindi . Sulla base delle informazioni contenute nella prima sezione di questo articolo, possiamo scrivere le seguenti uguaglianze, quindi,

da dove lo prendiamo? formula per trovare la distanza tra punti nello spazio .

Questa formula è valida anche se i punti A e B

• incontro;
• appartenere a uno degli assi delle coordinate o ad una linea parallela a uno degli assi delle coordinate;
• appartengono a uno dei piani coordinati o a un piano parallelo a uno dei piani coordinati.

Trovare la distanza da punto a punto, esempi e soluzioni.

Quindi, abbiamo ottenuto le formule per trovare la distanza tra due punti su una linea coordinata, un piano e uno spazio tridimensionale. È tempo di esaminare le soluzioni agli esempi tipici.

Il numero di problemi in cui il passo finale è trovare la distanza tra due punti secondo le loro coordinate è davvero enorme. Recensione completa Tali esempi vanno oltre lo scopo di questo articolo. Qui ci limiteremo agli esempi in cui sono note le coordinate di due punti ed è necessario calcolare la distanza tra loro.