EntrataTrovare la diagonale di un parallelepipedo rettangolo. Diagonale di un parallelepipedo
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Definizione
Poliedro chiameremo una superficie chiusa composta da poligoni e che delimita una certa parte dello spazio.
Vengono chiamati i segmenti che costituiscono i lati di questi poligoni costolette poliedro e i poligoni stessi lo sono bordi. I vertici dei poligoni sono chiamati vertici dei poliedri.
Considereremo solo i poliedri convessi (questo è un poliedro che si trova su un lato di ciascun piano contenente la sua faccia).
I poligoni che compongono un poliedro ne formano la superficie. La parte di spazio delimitata da un dato poliedro si chiama interno.
Definizione: prisma
Consideriamo due poligoni uguali \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) situati su piani paralleli in modo che i segmenti \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallelo. Un poliedro formato dai poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) , nonché dai parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), è chiamato (\(n\)-gonale) prisma.
I poligoni \(A_1A_2A_3...A_n\) e \(B_1B_2B_3...B_n\) sono chiamati basi prismatiche, parallelogrammi \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– facce laterali, segmenti \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- nervature laterali.
Pertanto, i bordi laterali del prisma sono paralleli e uguali tra loro.
Consideriamo un esempio: un prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), alla cui base si trova un pentagono convesso.
Altezza I prismi sono una perpendicolare lasciata cadere da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra base.
Se i bordi laterali non sono perpendicolari alla base, viene chiamato tale prisma inclinato(Fig. 1), altrimenti – Dritto. In un prisma rettilineo, i bordi laterali sono altezze e le facce laterali sono rettangoli uguali.
Se un poligono regolare si trova alla base di un prisma rettilineo, allora si chiama prisma corretto.
Definizione: concetto di volume
L'unità di misura del volume è un cubo unitario (un cubo che misura \(1\times1\times1\) unità\(^3\), dove unità è una determinata unità di misura).
Possiamo dire che il volume di un poliedro è la quantità di spazio che questo poliedro limita. Altrimenti: questa è la quantità valore numerico che mostra quante volte un cubo unitario e le sue parti rientrano in un dato poliedro.
Il volume ha le stesse proprietà dell'area:
1. I volumi di cifre uguali sono uguali.
2. Se un poliedro è composto da più poliedri non intersecanti, allora il suo volume pari alla somma volumi di questi poliedri.
3. Il volume è una quantità non negativa.
4. Il volume è misurato in cm\(^3\) (centimetri cubi), m\(^3\) (metri cubi), ecc.
Teorema
1. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma.
L'area della superficie laterale è la somma delle aree delle facce laterali del prisma.
2. Il volume del prisma è uguale al prodotto dell'area di base e dell'altezza del prisma: \
Definizione: parallelepipedo
Parallelepipedoè un prisma con alla base un parallelogramma.
Tutte le facce del parallelepipedo (ci sono \(6\) : \(4\) facce laterali e \(2\) basi) sono parallelogrammi, e le facce opposte (parallele tra loro) sono parallelogrammi uguali (Fig. 2) .
Diagonale di un parallelepipedoè un segmento che collega due vertici di un parallelepipedo che non giacciono sulla stessa faccia (ce ne sono \(8\): \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) eccetera.).
Parallelepipedo rettangolareè un parallelepipedo retto con alla base un rettangolo.
Perché Poiché questo è un parallelepipedo retto, le facce laterali sono rettangoli. Ciò significa che in generale tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli.
Tutte le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali (questo deriva dall'uguaglianza dei triangoli \(\triangolo ACC_1=\triangolo AA_1C=\triangolo BDD_1=\triangolo BB_1D\) eccetera.).
Commento
Quindi un parallelepipedo ha tutte le proprietà di un prisma.
Teorema
La superficie laterale di un parallelepipedo rettangolare è \
La superficie totale di un parallelepipedo rettangolare è \
Teorema
Il volume di un cuboide è uguale al prodotto dei suoi tre bordi che emergono da un vertice (tre dimensioni del cuboide): \
Prova
Perché In un parallelepipedo rettangolare gli spigoli laterali sono perpendicolari alla base, quindi sono anche le sue altezze, cioè \(h=AA_1=c\) Poiché la base è un rettangolo, quindi \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Ecco da dove viene questa formula.
Teorema
La diagonale \(d\) di un parallelepipedo rettangolare si trova utilizzando la formula (dove \(a,b,c\) sono le dimensioni del parallelepipedo) \
Prova
Diamo un'occhiata alla Fig. 3. Perché la base è un rettangolo, quindi \(\triangolo ABD\) è rettangolare, quindi per il teorema di Pitagora \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .
Perché tutti gli spigoli laterali sono quindi perpendicolari alle basi \(BB_1\perp (ABC) \Freccia destra BB_1\) perpendicolare a qualsiasi linea retta in questo piano, cioè \(BB_1\perp BD\) . Ciò significa che \(\triangolo BB_1D\) è rettangolare. Quindi, per il teorema di Pitagora \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.
Definizione: cubo
Cuboè un parallelepipedo rettangolare le cui facce sono tutte quadrate uguali.
Pertanto, le tre dimensioni sono uguali tra loro: \(a=b=c\) . Quindi è vero quanto segue
Teoremi
1. Il volume di un cubo con bordo \(a\) è uguale a \(V_(\text(cube))=a^3\) .
2. La diagonale del cubo si trova utilizzando la formula \(d=a\sqrt3\) .
3. Superficie totale di un cubo \(S_(\text(cubo intero))=6a^2\).
Nel V secolo a.C filosofo greco antico Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia “Achille e la tartaruga”. Ecco come sembra:Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce della tartaruga ed è mille passi indietro. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga farà cento passi nella stessa direzione. Quando Achille fa cento passi, la tartaruga striscia altri dieci passi e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.
Questo ragionamento divenne uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti quanti, in un modo o nell'altro, consideravano l'aporia di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ...le discussioni continuano ancora oggi, per raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi comunità scientifica finora non è stato possibile... nello studio della questione sono stati coinvolti analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata al problema..."[Wikipedia, "L'Aporia di Zeno". Tutti capiscono di essere ingannati, ma nessuno capisce in cosa consiste l'inganno.
Da un punto di vista matematico Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla quantità a . Questa transizione implica applicazioni anziché permanenti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per l'utilizzo di unità di misura variabili non è stato ancora sviluppato, oppure non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, a causa dell'inerzia del pensiero, applichiamo unità di tempo costanti al valore reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra che il tempo rallenti fino a fermarsi completamente nel momento in cui Achille raggiunge la tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più correre più veloce della tartaruga.
Se capovolgiamo la nostra solita logica, tutto va a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più breve del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di “infinito” a questa situazione, allora sarebbe corretto dire “Achille raggiungerà la tartaruga con una rapidità infinita”.
Come evitare questa trappola logica? Rimanere in unità di tempo costanti e non passare a unità reciproche. Nel linguaggio di Zenone appare così:
Nel tempo impiegato da Achille per percorrere mille passi, la tartaruga ne farà cento nella stessa direzione. Durante il successivo intervallo di tempo uguale al primo, Achille percorrerà altri mille passi e la tartaruga ne farà cento. Adesso Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.
Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma non è soluzione completa I problemi. L’affermazione di Einstein sull’irresistibilità della velocità della luce è molto simile all’aporia di Zenone “Achille e la tartaruga”. Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione va cercata non nei numeri infinitamente grandi, ma nelle unità di misura.
Un'altra interessante aporia di Zenone racconta di una freccia volante:
Una freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è a riposo, e poiché è a riposo in ogni momento, è sempre a riposo.
In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante è ferma in diversi punti dello spazio, il che, in realtà, è movimento. Qui occorre notare un altro punto. Da una fotografia di un'auto sulla strada è impossibile determinare né il fatto del suo movimento né la distanza da essa. Per determinare se un'auto si sta muovendo, sono necessarie due fotografie scattate dallo stesso punto in momenti diversi nel tempo, ma non è possibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza da un'auto, sono necessarie due fotografie scattate da diversi punti nello spazio in un determinato momento, ma da esse non è possibile determinare il fatto del movimento (ovviamente, hai ancora bisogno di dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà ). Ciò su cui voglio attirare l'attenzione in particolare è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Mercoledì 4 luglio 2018
Le differenze tra set e multiset sono descritte molto bene su Wikipedia. Vediamo.
Come puoi vedere, “non possono esserci due elementi identici in un insieme”, ma se ci sono elementi identici in un insieme, tale insieme è chiamato “multiinsieme”. Gli esseri ragionevoli non capiranno mai una logica così assurda. Questo è il livello dei pappagalli parlanti e delle scimmie ammaestrate, che non hanno intelligenza dalla parola “completamente”. I matematici agiscono come normali formatori, predicandoci le loro idee assurde.
C'era una volta, gli ingegneri che costruirono il ponte erano su una barca sotto il ponte mentre testavano il ponte. Se il ponte crollasse, il mediocre ingegnere morirebbe sotto le macerie della sua creazione. Se il ponte potesse sopportare il carico, il talentuoso ingegnere costruì altri ponti.
Non importa come i matematici si nascondano dietro la frase “attenzione, sono in casa”, o meglio, “la matematica studia concetti astratti”, c’è un cordone ombelicale che li collega indissolubilmente alla realtà. Questo cordone ombelicale è il denaro. Applichiamo la teoria matematica degli insiemi ai matematici stessi.
Abbiamo studiato molto bene la matematica e ora siamo seduti alla cassa a distribuire gli stipendi. Quindi un matematico viene da noi per i suoi soldi. Gli contiamo l'intero importo e lo disponiamo sul nostro tavolo in pile diverse, nelle quali mettiamo banconote dello stesso taglio. Poi prendiamo una banconota da ogni pila e diamo al matematico il suo “stipendio matematico”. Spieghiamo al matematico che riceverà le restanti fatture solo quando dimostrerà che un insieme senza elementi identici non è uguale a un insieme con elementi identici. È qui che inizia il divertimento.
Innanzitutto funzionerà la logica dei deputati: “Questo può essere applicato agli altri, ma non a me!” Poi inizieranno a rassicurarci che le banconote dello stesso taglio hanno numeri di banconota diversi, il che significa che non possono essere considerate gli stessi elementi. Ok, contiamo gli stipendi in monete: non ci sono numeri sulle monete. Qui il matematico inizierà a ricordare freneticamente la fisica: c'è su diverse monete quantità diverse lo sporco, la struttura cristallina e la disposizione atomica di ogni moneta sono unici...
E ora ne ho di più interesse Chiedi: dov'è la linea oltre la quale gli elementi di un multiinsieme si trasformano in elementi di un insieme e viceversa? Una linea del genere non esiste: tutto è deciso dagli sciamani, la scienza non è nemmeno vicina a mentire qui.
Guarda qui. Selezioniamo stadi di calcio con la stessa superficie di campo. Le aree dei campi sono le stesse, il che significa che abbiamo un multiset. Ma se guardiamo i nomi di questi stessi stadi, ne otteniamo tanti, perché i nomi sono diversi. Come puoi vedere, lo stesso insieme di elementi è sia un insieme che un multiinsieme. Che è corretto? E qui il matematico-sciamano-tagliente tira fuori dalla manica un asso di briscola e comincia a parlarci di un set o di un multiset. In ogni caso ci convincerà che ha ragione.
Per capire come operano gli sciamani moderni con la teoria degli insiemi, legandola alla realtà, è sufficiente rispondere a una domanda: in che modo gli elementi di un insieme differiscono dagli elementi di un altro insieme? Te lo mostrerò senza alcun "concepibile come non un tutto unico" o "non concepibile come un tutto unico".
Domenica 18 marzo 2018
La somma delle cifre di un numero è una danza degli sciamani con il tamburello, che non ha nulla a che vedere con la matematica. Sì, nelle lezioni di matematica ci viene insegnato a trovare la somma delle cifre di un numero e ad usarla, ma è per questo che sono sciamani, per insegnare ai loro discendenti le loro abilità e saggezza, altrimenti gli sciamani semplicemente si estingueranno.
Hai bisogno di prove? Apri Wikipedia e prova a trovare la pagina "Somma delle cifre di un numero". Lei non esiste. In matematica non esiste una formula che possa essere utilizzata per trovare la somma delle cifre di qualsiasi numero. Dopotutto, i numeri sono simboli grafici con cui scriviamo numeri, e nel linguaggio della matematica il compito suona così: "Trova la somma dei simboli grafici che rappresentano qualsiasi numero". I matematici non possono risolvere questo problema, ma gli sciamani possono farlo facilmente.
Scopriamo cosa e come fare per trovare la somma delle cifre di un dato numero. Quindi, prendiamo il numero 12345. Cosa bisogna fare per trovare la somma delle cifre di questo numero? Consideriamo tutti i passaggi in ordine.
1. Annota il numero su un pezzo di carta. Cosa abbiamo fatto? Abbiamo convertito il numero in un simbolo numerico grafico. Questa non è un'operazione matematica.
2. Tagliamo l'immagine risultante in più immagini contenenti i singoli numeri. Tagliare un'immagine non è un'operazione matematica.
3. Converti i singoli simboli grafici in numeri. Questa non è un'operazione matematica.
4. Aggiungi i numeri risultanti. Questa è matematica.
La somma delle cifre del numero 12345 è 15. Questi sono i “corsi di taglio e cucito” tenuti dagli sciamani e utilizzati dai matematici. Ma non è tutto.
Da un punto di vista matematico, non importa in quale sistema numerico scriviamo un numero. Quindi, in sistemi numerici diversi la somma delle cifre dello stesso numero sarà diversa. In matematica, il sistema numerico è indicato come pedice a destra del numero. CON un largo numero 12345 Non voglio ingannarmi, diamo un'occhiata al numero 26 dell'articolo su . Scriviamo questo numero nei sistemi numerici binario, ottale, decimale ed esadecimale. Non esamineremo ogni passaggio al microscopio, lo abbiamo già fatto. Diamo un'occhiata al risultato.
Come puoi vedere, in diversi sistemi numerici la somma delle cifre dello stesso numero è diversa. Questo risultato non ha nulla a che fare con la matematica. È come se determinassi l’area di un rettangolo in metri e centimetri, otterresti risultati completamente diversi.
Lo zero ha lo stesso aspetto in tutti i sistemi numerici e non ha somma di cifre. Questo è un altro argomento a favore del fatto che. Domanda per i matematici: come si designa in matematica qualcosa che non è un numero? Cosa, per i matematici non esiste altro che numeri? Posso permetterlo agli sciamani, ma non agli scienziati. La realtà non è solo una questione di numeri.
Il risultato ottenuto dovrebbe essere considerato come una prova che i sistemi numerici sono unità di misura dei numeri. Dopotutto, non possiamo confrontare numeri con diverse unità di misura. Se le stesse azioni con diverse unità di misura della stessa quantità portano a risultati diversi dopo averli confrontati, significa che non ha nulla a che fare con la matematica.
Cos'è la vera matematica? Questo è quando il risultato operazione matematica non dipende dalla dimensione del numero, dall'unità di misura utilizzata e da chi esegue l'azione.
OH! Non è questo il bagno delle donne?
- Giovane donna! Questo è un laboratorio per lo studio della santità indefila delle anime durante la loro ascensione al cielo! Alone in alto e freccia verso l'alto. Quale altro bagno?
Femmina... L'alone in alto e la freccia in basso sono maschili.
Se una simile opera d'arte di design lampeggia davanti ai tuoi occhi più volte al giorno,
Allora non sorprende che all'improvviso trovi una strana icona nella tua macchina:
Personalmente mi sforzo di vedere meno quattro gradi in una persona che fa la cacca (una foto) (una composizione di più foto: un segno meno, il numero quattro, una designazione di gradi). E non penso che questa ragazza sia una sciocca che non conosce la fisica. Ha solo un forte stereotipo nella percezione delle immagini grafiche. E i matematici ce lo insegnano continuamente. Ecco un esempio.
1A non è “meno quattro gradi” o “uno a”. Questo è "uomo che fa la cacca" o il numero "ventisei" in notazione esadecimale. Quelle persone che lavorano costantemente con questo sistema numerico percepiscono automaticamente un numero e una lettera come un simbolo grafico.
In geometria si distinguono le seguenti tipologie di parallelepipedi: parallelepipedo rettangolare (le facce del parallelepipedo sono rettangoli); un parallelepipedo retto (le sue facce laterali fungono da rettangoli); parallelepipedo inclinato (le sue facce laterali fungono da perpendicolari); un cubo è un parallelepipedo di dimensioni assolutamente identiche e le facce del cubo sono quadrate. I parallelepipedi possono essere inclinati o diritti.
Gli elementi principali di un parallelepipedo sono che due facce della figura geometrica presentata che non hanno un bordo comune sono opposte e quelle che lo hanno sono adiacenti. I vertici del parallelepipedo, che non appartengono alla stessa faccia, agiscono uno di fronte all'altro. Un parallelepipedo ha una dimensione: si tratta di tre bordi che hanno un vertice comune.
Il segmento di linea che collega i vertici opposti è chiamato diagonale. Le quattro diagonali di un parallelepipedo, che si intersecano in un punto, vengono contemporaneamente divise a metà.
Per determinare la diagonale di un parallelepipedo è necessario determinare i lati e i bordi, noti dalle condizioni del problema. Con tre costole conosciute UN , IN , CON traccia una diagonale nel parallelepipedo. Secondo la proprietà del parallelepipedo, secondo cui tutti gli angoli sono retti, si determina la diagonale. Costruisci una diagonale da una delle facce del parallelepipedo. Le diagonali devono essere disegnate in modo tale che la diagonale della faccia, la diagonale desiderata del parallelepipedo e lo spigolo noto formino un triangolo. Dopo aver formato un triangolo, trova la lunghezza di questa diagonale. La diagonale nell'altro triangolo risultante funge da ipotenusa, quindi può essere trovata utilizzando il teorema di Pitagora, che deve essere preso sotto la radice quadrata. In questo modo scopriamo il valore della seconda diagonale. Per trovare la prima diagonale di un parallelepipedo nella formata triangolo rettangolo, occorre trovare anche l'ipotenusa incognita (seguendo il teorema di Pitagora). Utilizzando lo stesso esempio, trova in sequenza le restanti tre diagonali esistenti nel parallelepipedo, eseguendo ulteriori costruzioni di diagonali che formano triangoli rettangoli e risolvi utilizzando il teorema di Pitagora.
Un parallelepipedo rettangolare (PP) non è altro che un prisma, la cui base è un rettangolo. Per un PP, tutte le diagonali sono uguali, il che significa che ciascuna delle sue diagonali viene calcolata utilizzando la formula:
a, c - lati della base del PP;
c è la sua altezza.
Un'altra definizione può essere data considerando il sistema di coordinate cartesiane rettangolari:
La diagonale PP è il raggio vettore di qualsiasi punto nello spazio specificato dalle coordinate x, yez nel sistema di coordinate cartesiane. Questo raggio vettore fino al punto viene disegnato dall'origine. E le coordinate del punto saranno le proiezioni del raggio vettore (diagonali del PP) sugli assi delle coordinate. Le proiezioni coincidono con i vertici di questo parallelepipedo.
Parallelepipedo e sue tipologie
Se traduciamo letteralmente il suo nome dal greco antico, si scopre che questa è una figura composta da piani paralleli. Esistono le seguenti definizioni equivalenti di parallelepipedo:
- un prisma con base a forma di parallelogramma;
- un poliedro le cui facce sono ciascuna un parallelogramma.
I suoi tipi si distinguono a seconda di quale figura si trova alla sua base e di come sono dirette le nervature laterali. In generale, parliamo di parallelepipedo inclinato, la cui base e tutte le facce sono parallelogrammi. Se le facce laterali della vista precedente diventano rettangoli, sarà necessario chiamarla diretto. E rettangolare e anche la base ha angoli di 90º.
Inoltre, in geometria cercano di rappresentare quest'ultimo in modo tale che sia evidente che tutti i bordi sono paralleli. Qui, tra l’altro, sta la differenza principale tra matematici e artisti. È importante che quest'ultimo trasmetta il corpo nel rispetto della legge della prospettiva. E in questo caso il parallelismo delle nervature è del tutto invisibile.
Sulle notazioni introdotte
Nelle formule sottostanti valgono le notazioni indicate in tabella.
Formule per un parallelepipedo inclinato
Primo e secondo per le aree:
Il terzo è calcolare il volume di un parallelepipedo:
Poiché la base è un parallelogramma, per calcolarne l'area dovrai utilizzare le apposite espressioni.
Formule per un parallelepipedo rettangolare
Simile al primo punto: due formule per le aree:
E ancora uno per il volume:
Primo compito
Condizione. Dato un parallelepipedo rettangolare di cui occorre trovare il volume. È noto la diagonale - 18 cm - e il fatto che forma angoli di 30 e 45 gradi rispettivamente con il piano della faccia laterale e con il bordo laterale.
Soluzione. Per rispondere alla domanda del problema, dovrai conoscere tutti i lati di tre triangoli rettangoli. Daranno i valori necessari dei bordi in base ai quali è necessario calcolare il volume.
Per prima cosa devi capire dove si trova l'angolo di 30º. Per fare ciò, devi disegnare una diagonale della faccia laterale dallo stesso vertice da cui è stata disegnata la diagonale principale del parallelogramma. L'angolo tra loro sarà ciò che serve.
Il primo triangolo che darà uno dei valori dei lati della base sarà il seguente. Contiene il lato richiesto e due diagonali disegnate. È rettangolare. Ora devi utilizzare il rapporto tra la gamba opposta (lato della base) e l'ipotenusa (diagonale). È uguale al seno di 30º. Questo è partito sconosciuto la base sarà definita come la diagonale moltiplicata per il seno di 30º o ½. Sia designato con la lettera “a”.
Il secondo sarà un triangolo contenente una diagonale nota e uno spigolo con cui forma 45º. Inoltre è rettangolare e puoi usare nuovamente il rapporto tra cateto e ipotenusa. In altre parole, dal bordo laterale alla diagonale. È uguale al coseno di 45º. Cioè, “c” è calcolato come il prodotto della diagonale e del coseno di 45º.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
Nello stesso triangolo devi trovare un'altra gamba. Ciò è necessario per calcolare quindi la terza incognita: "in". Sia designato con la lettera “x”. Può essere facilmente calcolato utilizzando il teorema di Pitagora:
x = √(18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).
Ora dobbiamo considerare un altro triangolo rettangolo. Contiene già partiti conosciuti“c”, “x” e quello da contare, “b”:
in = √((9√2) 2 - 9 2 = 9 (cm).
Tutte e tre le quantità sono note. Puoi utilizzare la formula per il volume e calcolarlo:
V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).
Risposta: il volume del parallelepipedo è 729√2 cm 3.
Secondo compito
Condizione. Devi trovare il volume di un parallelepipedo. In esso, è noto che i lati del parallelogramma che si trova alla base sono 3 e 6 cm, così come il suo angolo acuto - 45º. La nervatura laterale ha una pendenza alla base di 30º ed è pari a 4 cm.
Soluzione. Per rispondere alla domanda del problema, è necessario prendere la formula scritta per il volume di un parallelepipedo inclinato. Ma in esso entrambe le quantità sono sconosciute.
L'area della base, cioè di un parallelogramma, sarà determinata da una formula in cui occorre moltiplicare i lati noti per il seno dell'angolo acuto compreso tra essi.
S o = 3 * 6 sin 45º = 18 * (√2)/2 = 9 √2 (cm 2).
La seconda incognita è l’altezza. Può essere disegnato da uno qualsiasi dei quattro vertici sopra la base. Si può ricavare da un triangolo rettangolo in cui l'altezza è il cateto e il lato è l'ipotenusa. In questo caso, di fronte all'altezza sconosciuta si trova un angolo di 30º. Ciò significa che possiamo usare il rapporto tra la gamba e l'ipotenusa.
n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.
Ora tutti i valori sono noti e si può calcolare il volume:
V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).
Risposta: il volume è 18 √2 cm 3.
Terzo compito
Condizione. Trovare il volume di un parallelepipedo se è noto che è diritto. I lati della sua base formano un parallelogramma e sono pari a 2 e 3 cm. Angolo acuto ci sono 60º tra loro. La diagonale minore del parallelepipedo è uguale alla diagonale maggiore della base.
Soluzione. Per trovare il volume di un parallelepipedo usiamo la formula con la superficie di base e l'altezza. Entrambe le quantità sono sconosciute, ma sono facili da calcolare. Il primo è l'altezza.
Poiché la diagonale minore del parallelepipedo coincide in grandezza con la base maggiore, possono essere designati con la stessa lettera d. L'angolo maggiore di un parallelogramma è 120º, poiché forma 180º con quello acuto. Sia designata la seconda diagonale della base con la lettera “x”. Ora per le due diagonali della base possiamo scrivere i teoremi del coseno:
d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º.
Non ha senso trovare valori senza quadrati, poiché in seguito verranno nuovamente elevati alla seconda potenza. Sostituendo i dati otteniamo:
d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,
x 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.
Ora l'altezza, che è anche il bordo laterale del parallelepipedo, risulterà essere una gamba del triangolo. L'ipotenusa sarà la diagonale nota del corpo e il secondo cateto sarà “x”. Possiamo scrivere il teorema di Pitagora:
n2 = d2 - x 2 = 19 - 7 = 12.
Quindi: n = √12 = 2√3 (cm).
Ora la seconda incognita è l'area della base. Può essere calcolato utilizzando la formula menzionata nel secondo problema.
S o = 2 * 3 sin 60º = 6 * √3/2 = 3√3 (cm 2).
Combinando tutto nella formula del volume, otteniamo:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Risposta: V = 18 cm 3.
Quarto compito
Condizione. Occorre determinare il volume di un parallelepipedo che soddisfi le seguenti condizioni: la base è un quadrato con il lato di 5 cm; le facce laterali sono rombi; uno dei vertici posti sopra la base è equidistante da tutti i vertici posti alla base.
Soluzione. Per prima cosa devi affrontare la condizione. Non ci sono domande con il primo punto sul quadrato. La seconda, riguardante i rombi, chiarisce che il parallelepipedo è inclinato. Inoltre tutti i suoi bordi sono pari a 5 cm, poiché i lati del rombo sono gli stessi. E dal terzo diventa chiaro che le tre diagonali da esso disegnate sono uguali. Questi sono due che giacciono sulle facce laterali, e l'ultimo è all'interno del parallelepipedo. E queste diagonali sono uguali al bordo, cioè hanno anche una lunghezza di 5 cm.
Per determinare il volume avrai bisogno di una formula scritta per un parallelepipedo inclinato. Anche in questo caso non sono presenti quantità note. Tuttavia l’area della base è facile da calcolare perché è un quadrato.
S o = 5 2 = 25 (cm 2).
La situazione con l'altezza è un po' più complicata. Sarà così in tre figure: un parallelepipedo, una piramide quadrangolare e un triangolo isoscele. È opportuno sfruttare quest'ultima circostanza.
Poiché è l'altezza, è una gamba in un triangolo rettangolo. L'ipotenusa in esso sarà un bordo noto e la seconda gamba sarà uguale alla metà della diagonale del quadrato (l'altezza è anche la mediana). E la diagonale della base è facile da trovare:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).
Risposta: 62,5√2 (cm3).
a, verso la base del PP;
con la sua altezza.
- cosa dobbiamo sapere, quali dati abbiamo?
- quali proprietà ha un parallelepipedo rettangolare?
- vale il teorema di pitagora anche in questo caso? Come?
- Ci sono dati sufficienti per applicare il teorema di Pitagora o sono necessari altri calcoli?
Quadrato diagonale, di un parallelepipedo quadrato (vedi proprietà del parallelepipedo quadrato) è uguale alla somma dei quadrati dei suoi tre diversi lati (larghezza, altezza, spessore), e, di conseguenza, le diagonali di un parallelepipedo quadrato sono uguali alla radice di questa somma.
Ricordo il curriculum scolastico di geometria, possiamo dire questo: la diagonale di un parallelepipedo è uguale alla radice quadrata ottenuta dalla somma dei suoi tre lati (sono indicati con le lettere minuscole a, b, c).
La lunghezza della diagonale di un parallelepipedo rettangolo è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati dei suoi lati.
Per quanto ne so dal curriculum scolastico, classe 9, se non sbaglio, e se la memoria non mi inganna, la diagonale di un parallelepipedo rettangolare è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati di tutti e tre i lati.
il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati di larghezza, altezza e lunghezza, in base a questa formula otteniamo la risposta, la diagonale è uguale alla radice quadrata della somma delle sue tre diverse dimensioni, con le lettere loro denotano ncz abc
Un parallelepipedo rettangolare (PP) non è altro che un prisma, la cui base è un rettangolo. Per un PP, tutte le diagonali sono uguali, il che significa che ciascuna delle sue diagonali viene calcolata utilizzando la formula:
Un'altra definizione può essere data considerando il sistema di coordinate cartesiane rettangolari:
La diagonale PP è il raggio vettore di qualsiasi punto nello spazio specificato dalle coordinate x, yez nel sistema di coordinate cartesiane. Questo raggio vettore fino al punto viene disegnato dall'origine. E le coordinate del punto saranno le proiezioni del raggio vettore (diagonali del PP) sugli assi delle coordinate. Le proiezioni coincidono con i vertici di questo parallelepipedo.
Un parallelepipedo rettangolare è un tipo di poliedro costituito da 6 facce, alla base delle quali si trova un rettangolo. Una diagonale è un segmento di linea che collega i vertici opposti di un parallelogramma.
La formula per trovare la lunghezza di una diagonale è che il quadrato della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle tre dimensioni del parallelogramma.
Ho trovato su Internet una bella tabella-schema con l'elenco completo di tutto ciò che c'è nel parallelepipedo. Esiste una formula per trovare la diagonale, che è indicata con d.
C'è un'immagine del bordo, del vertice e di altre cose importanti per il parallelepipedo.
Se si conoscono la lunghezza, l'altezza e la larghezza (a,b,c) di un parallelepipedo rettangolare, la formula per calcolare la diagonale sarà simile alla seguente:
In genere, gli insegnanti non offrono ai loro studenti una semplice formula, ma si sforzano di ricavarla da soli ponendo domande importanti:
Di solito, dopo aver risposto alle domande poste, gli studenti possono facilmente ricavare da soli questa formula.
Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali. Così come le diagonali delle sue facce opposte. La lunghezza della diagonale può essere calcolata conoscendo la lunghezza dei bordi del parallelogramma provenienti da un vertice. Questa lunghezza è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle lunghezze dei suoi bordi.
Un cuboide è uno dei cosiddetti poliedri, composto da 6 facce, ciascuna delle quali è un rettangolo. Una diagonale è un segmento che collega i vertici opposti di un parallelogramma. Se la lunghezza, la larghezza e l'altezza di un parallelepipedo rettangolare sono prese rispettivamente come a, b, c, la formula per la sua diagonale (D) sarà simile a nel seguente modo: D^2=a^2+b^2+c^2.
Diagonale di un parallelepipedo rettangolareè un segmento che collega i suoi vertici opposti. Quindi abbiamo cuboide con diagonale d e lati a, b, c. Una delle proprietà del parallelepipedo è quella del quadrato lunghezza diagonale d è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni a, b, c. Quindi la conclusione è questa lunghezza diagonale può essere facilmente calcolato utilizzando la seguente formula:
