Quale delle sequenze è monotona e limitata. Teorema di Weierstrass sul limite di una successione monotona

Definizione: se tutti N є N, conforme X N є N, poi lo dicono

modulo numerico successiva.

- membri sequenze

- generale membro sequenze

La definizione introdotta implica che any sequenza numerica deve essere infinito, ma non significa che tutti i termini debbano essere numeri diversi.

Viene considerata la sequenza numerica dato, se viene specificata una legge in base alla quale è possibile trovare qualsiasi membro della sequenza.

Membri o elementi di sequenza (1) numerati da tutti i numeri naturali in ordine crescente. Per n+1 > n-1, il termine segue (precede) il termine, indipendentemente dal fatto che il numero stesso sia maggiore, minore o addirittura uguale al numero.

Definizione: una variabile x che assume una certa sequenza (1) valori, noi - seguendo Meray (cap. Meray) - chiameremo opzione.

In un corso di matematica scolastica si possono trovare variabili proprio di questo tipo, come le opzioni.

Ad esempio, una sequenza come

(aritmetica) o tipo

(progressione geometrica)

Il termine variabile dell'una o dell'altra progressione è opzione.

Per determinare la lunghezza di un cerchio si considera solitamente il perimetro di un poligono regolare inscritto nel cerchio, ottenuto da un esagono raddoppiando successivamente il numero dei lati. Pertanto, questa opzione assume la seguente sequenza di valori:

Citiamo anche l'approssimazione decimale (per svantaggio) a, con precisione crescente. Richiede una sequenza di valori:

e presenta anche l'opzione.

La variabile x, che attraversa la sequenza (1), è spesso denotata da, identificandola con la variabile (“comune”) membro di questa sequenza.

A volte l'opzione x n viene specificata indicando direttamente l'espressione per x n ; quindi, nel caso di una progressione aritmetica o geometrica, abbiamo, rispettivamente, x n =a+(n-1) d oppure x n =aq n-1. Usando questa espressione, puoi calcolare immediatamente qualsiasi valore di variante in base al numero dato, senza calcolare i valori precedenti.

Per il perimetro di un poligono regolare inscritto tale espressione generale è possibile solo se introduciamo il numero p; in generale il perimetro p m di un m-gono regolare inscritto è dato dalla formula

Definizione 1: Una sequenza numerica (x n) si dice limitata sopra (sotto) se tale numero esiste M (T), che per ogni elemento di questa sequenza esiste una disuguaglianza e viene chiamato il numero M (m). superiore (inferiore) bordo.

Definizione 2: Una sequenza numerica (x n) si dice limitata se è limitata sia sopra che sotto, cioè esistono M, m, tali che per qualunque

Indichiamo A = max (|M|, |m|), allora è ovvio che la successione numerica sarà limitata se per qualsiasi vale l'uguaglianza |x n |?A, l'ultima disuguaglianza è una condizione affinché la successione numerica essere limitato.

Definizione 3: viene chiamata una sequenza numerica all'infinito grande sequenza, se per qualsiasi A>0, è possibile specificare un numero N tale che per tutti n>N ||>A valga.

Definizione 4: si chiama la sequenza numerica (b n). all'infinito piccolo sequenza, se per ogni dato e > 0, puoi specificare un numero N(e) tale che per ogni n > N(e) la disuguaglianza | bn |< е.

Definizione 5: viene chiamata la sequenza numerica (x n). convergente, se esiste un numero a tale che la successione (x n - a) sia una successione infinitesimale. Allo stesso tempo, un - limite originale numerico sequenze.

Da questa definizione segue che tutte le successioni infinitesime sono convergenti e il limite di queste successioni = 0.

Dato che il concetto di successione convergente è legato al concetto di successione infinitesimale, la definizione di successione convergente può essere data in un’altra forma:

Definizione 6: viene chiamata la sequenza numerica (x n). convergente ad un numero a, se per ogni arbitrariamente piccolo esiste tale che per ogni n > N la disuguaglianza

a è il limite della successione

Perché è equivalente, e ciò significa che appartiene all'intervallo x n є (a - e; a+ e) oppure, che è lo stesso, appartiene a e - l'intorno del punto a. Quindi possiamo dare un'altra definizione di sequenza numerica convergente.

Definizione 7: viene chiamata la sequenza numerica (x n). convergente, se esiste un punto a tale che in ogni e-intorno sufficientemente piccolo di questo punto ci sono elementi di questa sequenza, a partire da un certo numero N.

Nota: secondo le definizioni (5) e (6), se a è il limite della successione (x n), allora x n - a è un elemento di una successione infinitesimale, cioè x n - a = b n, dove b n è un elemento di una sequenza infinitesimale. Di conseguenza x n = a + b n, e allora abbiamo il diritto di affermare che se una successione numerica (x n) converge, allora può sempre essere rappresentata come la somma del suo limite e un elemento di una successione infinitesimale.

È vero anche il contrario: se qualsiasi elemento della sequenza (x n) può essere rappresentato come la somma di un numero costante e di un elemento di una sequenza infinitesimale, allora questa costante è limite dato sequenze.

Definizione 8. Sequenza Non aumenta (non diminuisce), se per.

Definizione 9. Sequenza aumenta (decrescente), se per.

Definizione 10. Si chiama una sequenza strettamente crescente o strettamente decrescente monotono sequenza.

Viene fornita una dimostrazione del teorema di Weierstrass sul limite di una successione monotona. Vengono considerati i casi di successioni limitate e illimitate. Viene considerato un esempio in cui è necessario, utilizzando il teorema di Weierstrass, dimostrare la convergenza di una successione e trovarne il limite.

Vedi anche: Limiti di funzioni monotone

Qualsiasi successione limitata monotona (xn) ha un limite finito pari al limite superiore esatto, sup(xn) per un limite inferiore non decrescente ed esatto, inf(xn) per una sequenza non crescente.
Qualsiasi sequenza monotona illimitata ha un limite infinito pari a più infinito per una sequenza non decrescente e meno infinito per una sequenza non crescente.

Prova

1) sequenza limitata non decrescente.

(1.1) .

Poiché la sequenza è limitata, ha un limite superiore finito
.
Ciò significa che:

• per tutti n,
  (1.2) ;
• per chiunque numero positivo, esiste un numero che dipende da ε, quindi
  (1.3) .

.
Anche qui abbiamo utilizzato la (1.3). Combinando con la (1.2), troviamo:
A .
Da allora
,
O
A .
La prima parte del teorema è stata dimostrata.

2) Sia ora la sequenza sequenza limitata non crescente:
(2.1) per tutti n.

Poiché la successione è limitata, ha un limite inferiore finito
.
Ciò significa quanto segue:

• per tutti n valgono le seguenti disuguaglianze:
  (2.2) ;
• per ogni numero positivo esiste un numero, dipendente da ε, per il quale
  (2.3) .

.
Anche qui abbiamo utilizzato la (2.3). Tenendo conto della (2.2), troviamo:
A .
Da allora
,
O
A .
Ciò significa che il numero è il limite della sequenza.
La seconda parte del teorema è dimostrata.

Consideriamo ora sequenze illimitate.
3) Lasciamo stare la sequenza sequenza illimitata e non decrescente.

Poiché la successione non è decrescente, per ogni n valgono le seguenti disuguaglianze:
(3.1) .

Poiché la successione non è decrescente ed è illimitata, è illimitata con lato destro. Quindi per ogni numero M esiste un numero, dipendente da M, per il quale
(3.2) .

Poiché la sequenza non è decrescente, allora quando abbiamo:
.
Anche qui abbiamo utilizzato la (3.2).

.
Ciò significa che il limite della sequenza è più infinito:
.
La terza parte del teorema è dimostrata.

4) Infine, consideriamo il caso in cui sequenza illimitata e non crescente.

Simile alla precedente, poiché quindi la sequenza non è crescente
(4.1) per tutti n.

Poiché la successione non è crescente ed è illimitata, è illimitata sul lato sinistro. Quindi per ogni numero M esiste un numero, dipendente da M, per il quale
(4.2) .

Poiché la sequenza non è crescente, allora quando abbiamo:
.

Quindi, per qualsiasi numero M esiste tale numero naturale, dipendente da M, per cui per tutti i numeri valgono le seguenti disuguaglianze:
.
Ciò significa che il limite della sequenza è meno infinito:
.
Il teorema è stato dimostrato.

Esempio di soluzione del problema

Tutti gli esempi Usando il teorema di Weierstrass, dimostra la convergenza della successione:
, , . . . , , . . .
Quindi trova il suo limite.

Rappresentiamo la sequenza sotto forma di formule ricorrenti:
,
.

Proviamo che la successione data è limitata superiormente dal valore
(P1) .
La dimostrazione viene effettuata utilizzando il metodo dell'induzione matematica.
.
Permettere . Poi
.
La disuguaglianza (A1) è dimostrata.

Dimostriamo che la successione cresce monotonicamente.
;
(P2) .
Poiché , allora il denominatore della frazione e il primo fattore del numeratore sono positivi. A causa della limitazione dei termini della sequenza dovuta alla disuguaglianza (A1), anche il secondo fattore è positivo. Ecco perché
.
Cioè, la sequenza è strettamente crescente.

Poiché la successione è crescente e limitata superiormente, è una successione limitata. Pertanto, secondo il teorema di Weierstrass, ha un limite.

Troviamo questo limite. Indichiamolo con a:
.
Usiamo il fatto che
.
Applichiamolo a (A2), utilizzando le proprietà aritmetiche dei limiti di successioni convergenti:
.
La condizione è soddisfatta dalla radice.