Cosa significa progressione aritmetica? Progressione aritmetica – sequenza numerica

Progressione aritmetica nominare una sequenza di numeri (termini di una progressione)

In cui ogni termine successivo differisce dal precedente per un nuovo termine, chiamato anche differenza di passo o progressione.

Pertanto, specificando il passo di progressione e il suo primo termine, puoi trovare qualsiasi dei suoi elementi utilizzando la formula

Proprietà di una progressione aritmetica

1) Ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo numero, è la media aritmetica del membro precedente e successivo della progressione

È vero anche il contrario. Se la media aritmetica dei termini pari (dispari) adiacenti di una progressione è uguale al termine che si trova tra di loro, allora questa sequenza di numeri è una progressione aritmetica. Utilizzando questa istruzione, è molto semplice controllare qualsiasi sequenza.

Inoltre, per la proprietà della progressione aritmetica, la formula di cui sopra può essere generalizzata come segue

Questo è facile da verificare se scrivi i termini a destra del segno uguale

Viene spesso utilizzato nella pratica per semplificare i calcoli nei problemi.

2) La somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si calcola utilizzando la formula

Ricorda bene la formula per la somma di una progressione aritmetica: è indispensabile nei calcoli e la si trova molto spesso in situazioni semplici della vita;

3) Se hai bisogno di trovare non l'intera somma, ma parte della sequenza a partire dal suo k-esimo termine, allora ti sarà utile la seguente formula di somma

4) Di interesse pratico è trovare la somma di n termini di una progressione aritmetica a partire dal k-esimo numero. Per fare ciò, usa la formula

Su questo materiale teorico termina e passiamo alla risoluzione pratica dei problemi comuni.

Esempio 1. Trovare il quarantesimo termine della progressione aritmetica 4;7;...

Soluzione:

Secondo la condizione che abbiamo

Determiniamo il passo di progressione

Utilizzando una formula ben nota troviamo il quarantesimo termine della progressione

Esempio 2. Progressione aritmeticaè data dal terzo e dal settimo termine. Trova il primo termine della progressione e la somma di dieci.

Soluzione:

Scriviamolo dati elementi progressioni secondo formule

Sottraiamo la prima dalla seconda equazione, di conseguenza troviamo il passaggio di progressione

Sostituiamo il valore trovato in una qualsiasi delle equazioni per trovare il primo termine della progressione aritmetica

Calcoliamo la somma dei primi dieci termini della progressione

Senza utilizzare calcoli complessi, abbiamo trovato tutte le quantità richieste.

Esempio 3. Una progressione aritmetica è data dal denominatore e da uno dei suoi termini. Trova il primo termine della progressione, la somma dei suoi 50 termini partendo da 50 e la somma dei primi 100.

Soluzione:

Scriviamo la formula per il centesimo elemento della progressione

e trova il primo

In base al primo troviamo il cinquantesimo termine della progressione

Trovare la somma delle parti della progressione

e la somma dei primi 100

L'importo della progressione è 250.

Esempio 4.

Trovare il numero di termini di una progressione aritmetica se:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Soluzione:

Scriviamo le equazioni in termini del primo termine e del passo di progressione e determiniamole

Sostituiamo i valori ottenuti nella formula della somma per determinare il numero di termini nella somma

Effettuiamo semplificazioni

e risolvere l'equazione quadratica

Dei due valori trovati, solo il numero 8 rientra nelle condizioni problematiche. Pertanto la somma dei primi otto termini della progressione è 111.

Esempio 5.

Risolvi l'equazione

1+3+5+...+x=307.

Soluzione: questa equazione è la somma di una progressione aritmetica. Scriviamo il suo primo termine e troviamo la differenza nella progressione

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)

Una progressione aritmetica è una serie di numeri in cui ciascun numero è maggiore (o minore) del precedente della stessa quantità.

Questo argomento sembra spesso complesso e incomprensibile. Indici delle lettere ennesimo termine progressioni, differenze di progressione - tutto questo crea in qualche modo confusione, sì... Scopriamo il significato della progressione aritmetica e tutto andrà subito meglio.)

Il concetto di progressione aritmetica.

La progressione aritmetica è un concetto molto semplice e chiaro. Hai qualche dubbio? Invano.) Guarda tu stesso.

Scriverò una serie di numeri incompiuta:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puoi estendere questa serie? Quali numeri verranno dopo, dopo il cinque? Tutti... ehm... insomma tutti si renderanno conto che dopo verranno i numeri 6, 7, 8, 9, ecc.

Complichiamo il compito. Ti do una serie di numeri incompiuta:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Sarai in grado di cogliere lo schema, estendere la serie e nominare settimo numero di riga?

Se ti sei reso conto che questo numero è 20, congratulazioni! Non solo ti sei sentito punti chiave della progressione aritmetica, ma li abbiamo anche utilizzati con successo negli affari! Se non l’hai capito, continua a leggere.

Ora traduciamo i punti chiave delle sensazioni in matematica.)

Primo punto chiave.

La progressione aritmetica si occupa di serie di numeri. All'inizio questo crea confusione. Siamo abituati a risolvere equazioni, disegnare grafici e tutto il resto... Ma qui estendiamo la serie, troviamo il numero della serie...

Va bene. È solo che le progressioni sono la prima conoscenza di una nuova branca della matematica. La sezione si chiama "Serie" e funziona specificamente con serie di numeri ed espressioni. Abituatevi.)

Secondo punto chiave.

In una progressione aritmetica qualsiasi numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Nel primo esempio, questa differenza è una. Qualunque numero tu prenda, è uno in più rispetto al precedente. Nel secondo - tre. Qualsiasi numero è tre in più del precedente. In realtà, è questo momento che ci dà l'opportunità di cogliere lo schema e calcolare i numeri successivi.

Terzo punto chiave.

Questo momento non è eclatante, sì... Ma è molto, molto importante. Ecco qui: ogni numero di progressione sta al suo posto. C’è il primo numero, c’è il settimo, c’è il quarantacinquesimo, ecc. Se li mescoli a caso, lo schema scomparirà. Scomparirà anche la progressione aritmetica. Ciò che resta è solo una serie di numeri.

Questo è il punto.

Naturalmente, dentro nuovo argomento compaiono nuovi termini e designazioni. Devi conoscerli. Altrimenti non capirai il compito. Ad esempio, dovrai decidere qualcosa come:

Annota i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Ispirante?) Lettere, alcuni indici... E il compito, tra l'altro, non potrebbe essere più semplice. Hai solo bisogno di capire il significato dei termini e delle designazioni. Ora padroneggeremo questa questione e torneremo al compito.

Termini e designazioni.

Progressione aritmeticaè una serie di numeri in cui ogni numero è diverso dal precedente dello stesso importo.

Questa quantità si chiama . Diamo un'occhiata a questo concetto in modo più dettagliato.

Differenza di progressione aritmetica.

Differenza di progressione aritmeticaè l'importo di cui qualsiasi numero di progressione Di più precedente.

Uno punto importante. Per favore presta attenzione alla parola "Di più". Matematicamente, ciò significa che ogni numero di progressione lo è aggiungendo differenza di progressione aritmetica rispetto al numero precedente.

Per calcolare, diciamo secondo numeri della serie, è necessario Primo numero aggiungere proprio questa differenza di una progressione aritmetica. Per il calcolo quinto- la differenza è necessaria aggiungere A quarto, beh, ecc.

Differenza di progressione aritmetica Forse positivo, quindi ogni numero della serie risulterà reale più del precedente. Questa progressione si chiama in aumento. Per esempio:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Qui si ottiene ogni numero aggiungendo numero positivo, +5 al precedente.

La differenza potrebbe essere negativo, quindi ogni numero della serie sarà meno del precedente. Questa progressione si chiama (non ci crederai!) decrescente.

Per esempio:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Anche qui si ottiene ogni numero aggiungendo al precedente, ma già un numero negativo, -5.

A proposito, quando si lavora con la progressione, è molto utile determinarne immediatamente la natura, se è in aumento o in diminuzione. Questo aiuta molto a orientarsi nella decisione, individuare i propri errori e correggerli prima che sia troppo tardi.

Differenza di progressione aritmetica solitamente indicato con la lettera D.

Come trovarlo D? Molto semplice. È necessario sottrarre da qualsiasi numero della serie precedente numero. Sottrarre. A proposito, il risultato della sottrazione si chiama "differenza".)

Definiamo, ad esempio, D per aumentare la progressione aritmetica:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Prendiamo qualsiasi numero della serie che vogliamo, ad esempio 11. Lo sottraiamo numero precedente quelli. 8:

Questa è la risposta corretta. Per questa progressione aritmetica, la differenza è tre.

Puoi prenderlo qualsiasi numero di progressione, Perché per una progressione specifica D-sempre lo stesso. Almeno da qualche parte all'inizio della riga, almeno al centro, almeno ovunque. Non puoi prendere solo il primo numero. Semplicemente perché il primo numero nessun precedente.)

A proposito, sapendolo d=3, trovare il settimo numero di questa progressione è molto semplice. Aggiungiamo 3 al quinto numero: otteniamo il sesto, sarà 17. Aggiungiamo tre al sesto numero, otteniamo il settimo numero: venti.

Definiamo D per la progressione aritmetica discendente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ti ricordo che, indipendentemente dai segni, da determinare D necessario da qualsiasi numero togli quello precedente. Scegli un numero di progressione qualsiasi, ad esempio -7. Il suo numero precedente è -2. Poi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La differenza di una progressione aritmetica può essere qualsiasi numero: intero, frazionario, irrazionale, qualsiasi numero.

Altri termini e designazioni.

Viene chiamato ogni numero della serie membro di una progressione aritmetica.

Ogni membro della progressione ha un proprio numero. I numeri sono rigorosamente in ordine, senza trucchi. Primo, secondo, terzo, quarto ecc. Ad esempio, nella progressione 2, 5, 8, 11, 14, ... due è il primo termine, cinque è il secondo, undici è il quarto, beh, avete capito...) Per favore capite bene - i numeri stessi può essere assolutamente qualsiasi cosa, intero, frazionario, negativo, qualunque cosa, ma numerazione dei numeri- rigorosamente in ordine!

Come scrivere una progressione in visione generale? Nessuna domanda! Ogni numero in una serie è scritto come una lettera. Per denotare una progressione aritmetica, di solito viene utilizzata la lettera UN. Il numero del membro è indicato da un indice in basso a destra. Scriviamo i termini separati da virgole (o punto e virgola), in questo modo:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- questo è il primo numero, un 3- terzo, ecc. Niente di speciale. Questa serie può essere scritta brevemente in questo modo: (UN).

Le progressioni accadono finito e infinito.

Definitivo la progressione ha quantità limitata membri. Cinque, trentotto, qualunque cosa. Ma è un numero finito.

Infinito progressione - ha un numero infinito di membri, come puoi immaginare.)

Puoi scrivere la progressione finale attraverso una serie come questa, tutti i termini e un punto alla fine:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

O così, se ci sono molti membri:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Nella voce breve dovrai inoltre indicare il numero dei membri. Ad esempio (per venti membri), in questo modo:

(a n), n = 20

Una progressione infinita può essere riconosciuta dai puntini di sospensione alla fine della riga, come negli esempi di questa lezione.

Ora puoi risolvere i compiti. I compiti sono semplici, servono esclusivamente a comprendere il significato di una progressione aritmetica.

Esempi di compiti sulla progressione aritmetica.

Diamo un'occhiata al compito sopra indicato in dettaglio:

1. Scrivi i primi sei termini della progressione aritmetica (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Traduciamo il compito in un linguaggio comprensibile. È data una progressione aritmetica infinita. Il secondo numero di questa progressione è noto: un 2 = 5. La differenza di progressione è nota: d = -2,5. Dobbiamo trovare il primo, terzo, quarto, quinto e sesto termine di questa progressione.

Per chiarezza, scriverò una serie in base alle condizioni del problema. I primi sei termini, dove il secondo termine è cinque:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + D

Sostituisci nell'espressione un 2 = 5 E d = -2,5. Non dimenticare il meno!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Il terzo termine si è rivelato inferiore al secondo. Tutto è logico. Se il numero è maggiore del precedente negativo valore, il che significa che il numero stesso sarà inferiore a quello precedente. La progressione è in diminuzione. Ok, teniamone conto.) Contiamo il quarto termine della nostra serie:

un 4 = un 3 + D

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + D

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + D

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Quindi sono stati calcolati i termini dal terzo al sesto. Il risultato è la seguente serie:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Resta da trovare il primo termine un 1 secondo il noto secondo. Questo è un passo nella direzione opposta, a sinistra.) Quindi, la differenza della progressione aritmetica D non dovrebbe essere aggiunto un 2, UN porta via:

un 1 = un 2 - D

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Questo è tutto. Risposta al compito:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Di passaggio, vorrei sottolineare che abbiamo risolto questo compito ricorrente modo. Questo parola spaventosa significa semplicemente cercare un membro della progressione secondo il numero precedente (adiacente). Di seguito esamineremo altri modi per lavorare con la progressione.

Da questo semplice compito si può trarre una conclusione importante.

Ricordare:

Se conosciamo almeno un termine e la differenza di una progressione aritmetica, possiamo trovare qualsiasi termine di questa progressione.

Ti ricordi? Questa semplice conclusione consente di risolvere la maggior parte dei problemi del corso scolastico su questo argomento. Tutti i compiti ruotano attorno tre principali parametri: membro di una progressione aritmetica, differenza di una progressione, numero di un membro della progressione. Tutto.

Naturalmente, tutta l'algebra precedente non viene cancellata.) Disuguaglianze, equazioni e altre cose sono collegate alla progressione. Ma secondo la progressione stessa- tutto ruota attorno a tre parametri.

Ad esempio, diamo un'occhiata ad alcune attività popolari su questo argomento.

2. Scrivi la progressione aritmetica finita come una serie se n=5, d = 0,4 e a 1 = 3,6.

Tutto è semplice qui. Tutto è già stato dato. È necessario ricordare come si contano i membri di una progressione aritmetica, contarli e scriverli. Si consiglia di non perdere le parole nelle condizioni del compito: “finale” e “ n=5". Per non contare finché non sarai completamente blu in faccia.) Ci sono solo 5 (cinque) membri in questa progressione:

a2 = a1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

un3 = un2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Resta da scrivere la risposta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Un altro compito:

3. Determina se il numero 7 sarà un membro della progressione aritmetica (a n), se un 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Chi lo sa? Come determinare qualcosa?

Come-come... Annota la progressione sotto forma di serie e vedi se ci sarà un sette oppure no! Contiamo:

a2 = a1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a3 = a2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Ora è chiaramente visibile che siamo solo in sette scivolato attraverso tra 6,5 ​​e 7,7! Il sette non rientra nella nostra serie di numeri e quindi il sette non farà parte della progressione data.

Risposta: no.

Ed ecco un problema basato su una versione reale del GIA:

4. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15; X; 9; 6; ...

Ecco una serie scritta senza fine e senza inizio. Nessun numero di membri, nessuna differenza D. Va bene. Per risolvere il problema è sufficiente comprendere il significato di una progressione aritmetica. Diamo un'occhiata e vediamo cosa è possibile sapere di questa serie? Quali sono i tre parametri principali?

Numeri dei membri? Non c'è un solo numero qui.

Ma i numeri sono tre e – attenzione! - parola "coerente" in condizioni. Ciò significa che i numeri sono rigorosamente in ordine, senza lacune. Ce ne sono due in questa fila? limitrofo numeri conosciuti? Sì, l'ho fatto! Questi sono 9 e 6. Pertanto, possiamo calcolare la differenza della progressione aritmetica! Sottrai da sei precedente numero, cioè nove:

Sono rimaste solo sciocchezze. Quale sarà il numero precedente per X? Quindici. Ciò significa che X può essere facilmente trovato mediante una semplice addizione. Aggiungi la differenza della progressione aritmetica a 15:

Questo è tutto. Risposta: x=12

Risolviamo noi stessi i seguenti problemi. Nota: questi problemi non si basano su formule. Puramente per comprendere il significato di una progressione aritmetica.) Scriviamo semplicemente una serie di numeri e lettere, guardiamo e capiamo.

5. Trovare il primo termine positivo della progressione aritmetica se a 5 = -3; d = 1,1.

6. È noto che il numero 5.5 è membro della progressione aritmetica (a n), dove a 1 = 1.6; d = 1,3. Determina il numero n di questo membro.

7. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 4; un 5 = 15,1. Trovane 3.

8. Vengono scritti diversi termini consecutivi della progressione aritmetica:

...; 15,6; X; 3.4; ...

Trovare il termine della progressione indicata dalla lettera x.

9. Il treno iniziò a muoversi dalla stazione, aumentando uniformemente la velocità di 30 metri al minuto. Quale sarà la velocità del treno tra cinque minuti? Dai la tua risposta in km/ora.

10. È noto che nella progressione aritmetica a 2 = 5; un 6 = -5. Trova un 1.

Risposte (disordinate): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Ha funzionato tutto? Sorprendente! Puoi padroneggiare la progressione aritmetica per ulteriori informazioni alto livello, nelle lezioni successive.

Non ha funzionato tutto? Nessun problema. Nella Sezione Speciale 555, tutti questi problemi vengono risolti pezzo per pezzo.) E, naturalmente, viene descritta una semplice tecnica pratica che evidenzia immediatamente la soluzione a tali compiti in modo chiaro, chiaro, a colpo d'occhio!

A proposito, nel puzzle del treno ci sono due problemi in cui le persone spesso inciampano. Uno è puramente in termini di progressione, e il secondo è generale per qualsiasi problema di matematica e anche di fisica. Questa è una traslazione delle dimensioni dall'una all'altra. Mostra come questi problemi dovrebbero essere risolti.

In questa lezione abbiamo visto il significato elementare di una progressione aritmetica e i suoi parametri principali. Questo è sufficiente per risolvere quasi tutti i problemi su questo argomento. Aggiungere D ai numeri, scrivi una serie, tutto sarà risolto.

La soluzione con le dita funziona bene per tratti di riga molto brevi, come negli esempi di questo tutorial. Se la serie è più lunga i calcoli diventano più complicati. Ad esempio, se nel problema 9 nella domanda sostituiamo "cinque minuti" SU "trentacinque minuti" il problema peggiorerà notevolmente.)

E ci sono anche compiti semplici in sostanza, ma assurdi in termini di calcoli, ad esempio:

Viene fornita una progressione aritmetica (a n). Trova a 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

E allora, aggiungeremo 1/6 molte, molte volte?! Puoi ucciderti!?

Puoi.) Se non conosci una formula semplice con la quale puoi risolvere tali compiti in un minuto. Questa formula sarà nella prossima lezione. E questo problema è risolto lì. Tra un minuto.)

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A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Se per ogni numero naturale N corrisponde a un numero reale UN , poi dicono che è dato sequenza numerica :

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN , . . . .

COSÌ, sequenza numerica— funzione dell'argomentazione naturale.

Numero UN 1 chiamato primo termine della sequenza , numero UN 2 — secondo termine della sequenza , numero UN 3 — terzo e così via. Numero UN chiamato ennesimo termine sequenze e un numero naturale N — il suo numero .

Da due membri adiacenti UN E UN +1 membro della sequenza UN +1 chiamato successivo (relativo a UN ), UN UN — precedente (relativo a UN +1 ).

Per definire una sequenza, è necessario specificare un metodo che consenta di trovare un membro della sequenza con qualsiasi numero.

Spesso la sequenza viene specificata utilizzando formule dell'ennesimo termine , ovvero una formula che consente di determinare un membro di una sequenza in base al suo numero.

Per esempio,

una sequenza di numeri dispari positivi può essere data dalla formula

UN= 2N- 1,

e la sequenza dell'alternanza 1 E -1 - formula

B N = (-1)N +1 . ◄

La sequenza può essere determinata formula ricorrente, cioè una formula che esprime qualsiasi membro della sequenza, a partire da alcuni, fino ai membri precedenti (uno o più).

Per esempio,

Se UN 1 = 1 , UN UN +1 = UN + 5

UN 1 = 1,

UN 2 = UN 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

UN 3 = UN 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

UN 4 = UN 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

UN 5 = UN 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Se un 1= 1, un 2 = 1, UN +2 = UN + UN +1 , quindi i primi sette termini della sequenza numerica si stabiliscono come segue:

un 1 = 1,

un 2 = 1,

un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2,

un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3,

un 5 = un 3 + un 4 = 2 + 3 = 5,

UN 6 = UN 4 + UN 5 = 3 + 5 = 8,

UN 7 = UN 5 + UN 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Le sequenze possono essere finale E infinito .

La sequenza viene chiamata ultimo , se ha un numero finito di membri. La sequenza viene chiamata infinito , se ha infiniti membri.

Per esempio,

sequenza di due cifre numeri naturali:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finale.

Sequenza di numeri primi:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

infinito. ◄

La sequenza viene chiamata in aumento , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è maggiore del precedente.

La sequenza viene chiamata decrescente , se ciascuno dei suoi membri, a partire dal secondo, è minore del precedente.

Per esempio,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — sequenza crescente;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — sequenza decrescente. ◄

Viene chiamata una sequenza i cui elementi non diminuiscono all'aumentare del numero o, al contrario, non aumentano sequenza monotona .

Le sequenze monotone, in particolare, sono sequenze crescenti e sequenze decrescenti.

Progressione aritmetica

Progressione aritmetica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente, al quale viene aggiunto lo stesso numero.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . , UN, . . .

è una progressione aritmetica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

UN +1 = UN + D,

Dove D - un certo numero.

Pertanto, la differenza tra i termini successivi e precedenti di una data progressione aritmetica è sempre costante:

un 2 - UN 1 = un 3 - UN 2 = . . . = UN +1 - UN = D.

Numero D chiamato differenza di progressione aritmetica.

Per definire una progressione aritmetica è sufficiente indicarne il primo termine e la differenza.

Per esempio,

Se UN 1 = 3, D = 4 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

un 1 =3,

un 2 = un 1 + D = 3 + 4 = 7,

un 3 = un 2 + D= 7 + 4 = 11,

un 4 = un 3 + D= 11 + 4 = 15,

UN 5 = UN 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Per una progressione aritmetica con il primo termine UN 1 e la differenza D suo N

UN = un 1 + (N- 1)D.

Per esempio,

trovare il trentesimo termine della progressione aritmetica

1, 4, 7, 10, . . .

un 1 =1, D = 3,

un 30 = un 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

un n-1 = un 1 + (N- 2)D,

UN= un 1 + (N- 1)D,

UN +1 = UN 1 + nd,

poi ovviamente

UN=	un n-1 + un n+1
	2

Ciascun membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è uguale alla media aritmetica dei membri precedente e successivo.

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione aritmetica se e solo se uno di essi è uguale alla media aritmetica degli altri due.

Per esempio,

UN = 2N- 7 , è una progressione aritmetica.

Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

UN = 2N- 7,

un n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

un n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Quindi,

un n+1 + un n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = UN,
2		2

◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione aritmetica non si trova solo attraverso UN 1 , ma anche eventuali precedenti un k

UN = un k + (N- k)D.

Per esempio,

Per UN 5 può essere scritto

un 5 = un 1 + 4D,

un 5 = un 2 + 3D,

un 5 = un 3 + 2D,

un 5 = un 4 + D. ◄

UN = un nk + kd,

UN = un n+k - kd,

poi ovviamente

UN=	UN n-k +a n+k
	2

ogni membro di una progressione aritmetica, a partire dal secondo, è pari alla metà della somma dei membri equidistanti di tale progressione aritmetica.

Inoltre, per qualsiasi progressione aritmetica vale la seguente uguaglianza:

un m + un n = un k + un l,

m + n = k + l.

Per esempio,

nella progressione aritmetica

1) UN 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (UN 9 + UN 11 )/2;

2) 28 = un 10 = un 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) un 10= 28 = (19 + 37)/2 = (un 7 + un 13)/2;

4) un 2 + un 12 = un 5 + un 9, Perché

un 2 + un 12= 4 + 34 = 38,

un 5 + un 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= un 1 + un 2 + un 3 + . . .+ UN,

Primo N termini di una progressione aritmetica è pari al prodotto della metà della somma dei termini estremi e del numero di termini:

Da qui, in particolare, ne consegue che se è necessario sommare i termini

un k, un k +1 , . . . , UN,

quindi la formula precedente mantiene la sua struttura:

Per esempio,

nella progressione aritmetica 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Se viene data una progressione aritmetica, allora le quantità UN 1 , UN, D, N ES N collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Una progressione aritmetica è una sequenza monotona. In questo caso:

• Se D > 0 , allora è in aumento;
• Se D < 0 , allora è in diminuzione;
• Se D = 0 , allora la sequenza sarà stazionaria.

Progressione geometrica

Progressione geometrica è una sequenza in cui ogni membro, a partire dal secondo, è uguale al precedente moltiplicato per lo stesso numero.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , b n, . . .

è una progressione geometrica se per qualsiasi numero naturale N la condizione è soddisfatta:

b n +1 = b n · Q,

Dove Q ≠ 0 - un certo numero.

Pertanto, il rapporto tra il termine successivo di una data progressione geometrica e quello precedente è un numero costante:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = b n +1 / b n = Q.

Numero Q chiamato denominatore della progressione geometrica.

Per definire una progressione geometrica è sufficiente indicarne il primo termine e il denominatore.

Per esempio,

Se B 1 = 1, Q = -3 , allora troviamo i primi cinque termini della sequenza come segue:

b1 = 1,

b2 = b1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b3 = b2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b4 = b3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 e denominatore Q suo N L'esimo termine può essere trovato utilizzando la formula:

b n = B 1 · qn -1 .

Per esempio,

trovare il settimo termine della progressione geometrica 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b1 · qn -2 ,

b n = b1 · qn -1 ,

b n +1 = B 1 · qn,

poi ovviamente

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ciascun membro della progressione geometrica, a partire dal secondo, è pari alla media geometrica (proporzionale) dei membri precedente e successivo.

Poiché è vero anche il viceversa, vale la seguente affermazione:

i numeri a, b e c sono termini successivi di una qualche progressione geometrica se e solo se il quadrato di uno di essi è uguale al prodotto degli altri due, cioè uno dei numeri è la media geometrica degli altri due.

Per esempio,

Dimostriamo che la sequenza data dalla formula b n= -32 N , è una progressione geometrica. Usiamo l'affermazione di cui sopra. Abbiamo:

b n= -32 N,

b n -1 = -32 N -1 ,

b n +1 = -32 N +1 .

Quindi,

b n 2 = (-32 N)2 = (-32 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

che dimostra l'affermazione desiderata. ◄

Notare che N L'esimo termine di una progressione geometrica non può essere trovato solo attraverso B 1 , ma anche qualsiasi membro precedente bk , per il quale è sufficiente utilizzare la formula

b n = bk · qn - k.

Per esempio,

Per B 5 può essere scritto

b5 = b1 · Q 4 ,

b5 = b2 · q3,

b5 = b3 · q2,

b5 = b4 · Q. ◄

b n = bk · qn - k,

b n = b n - k · qk,

poi ovviamente

b n 2 = b n - k· b n + k

il quadrato di qualsiasi termine di una progressione geometrica, a partire dal secondo, è uguale al prodotto dei termini equispaziati di tale progressione.

Inoltre, per qualsiasi progressione geometrica vale l’uguaglianza:

b m· b n= bk· b l,

M+ N= k+ l.

Per esempio,

in progressione geometrica

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Perché

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + b n

Primo N membri di una progressione geometrica con denominatore Q ≠ 0 calcolato con la formula:

E quando Q = 1 - secondo la formula

S n= n.b 1

Tieni presente che se devi sommare i termini

bk, bk +1 , . . . , b n,

allora si usa la formula:

S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + b n = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Per esempio,

in progressione geometrica 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Se viene data una progressione geometrica, allora le quantità B 1 , b n, Q, N E S n collegati da due formule:

Pertanto, se vengono forniti i valori di tre qualsiasi di queste quantità, da queste formule vengono determinati i valori corrispondenti delle altre due quantità, combinate in un sistema di due equazioni con due incognite.

Per una progressione geometrica con il primo termine B 1 e denominatore Q avviene quanto segue proprietà di monotonia :

• la progressione è crescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E Q> 1;

B 1 < 0 E 0 < Q< 1;

• La progressione è decrescente se è soddisfatta una delle seguenti condizioni:

B 1 > 0 E 0 < Q< 1;

B 1 < 0 E Q> 1.

Se Q< 0 , allora la progressione geometrica è alternata: i suoi termini con numeri dispari hanno lo stesso segno del suo primo termine, e i termini con numeri pari hanno il segno opposto. È chiaro che una progressione geometrica alternata non è monotona.

Prodotto del primo N i termini di una progressione geometrica possono essere calcolati utilizzando la formula:

P.N= b1 · b2 · b3 · . . . · b n = (b1 · b n) N / 2 .

Per esempio,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Progressione geometrica infinitamente decrescente

Progressione geometrica infinitamente decrescente chiamata progressione geometrica infinita il cui modulo del denominatore è inferiore 1 , questo è

|Q| < 1 .

Si noti che una progressione geometrica infinitamente decrescente potrebbe non essere una sequenza decrescente. Si adatta all'occasione

1 < Q< 0 .

Con un tale denominatore, la sequenza è alternata. Per esempio,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

La somma di una progressione geometrica infinitamente decrescente nominare il numero al quale si avvicina senza limite la somma dei primi N membri di una progressione con aumento illimitato del numero N . Questo numero è sempre finito ed è espresso dalla formula

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Per esempio,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Rapporto tra progressioni aritmetiche e geometriche

Le progressioni aritmetiche e geometriche sono strettamente correlate. Consideriamo solo due esempi.

UN 1 , UN 2 , UN 3 , . . . D , Quello

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Per esempio,

1, 3, 5, . . . - progressione aritmetica con differenza 2 E

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - progressione geometrica con denominatore 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - progressione geometrica con denominatore Q , Quello

log a b 1, log a b 2, registrare un b 3, . . . - progressione aritmetica con differenza registrare unQ .

Per esempio,

2, 12, 72, . . . - progressione geometrica con denominatore 6 E

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - progressione aritmetica con differenza lg 6 . ◄

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Obiettivi della lezione:

• espandere e approfondire la comprensione da parte degli studenti dei problemi risolti utilizzando la progressione aritmetica; organizzare le attività di ricerca degli studenti al momento di ricavare la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica;
• sviluppare la capacità di acquisire autonomamente nuove conoscenze e utilizzare le conoscenze già acquisite per raggiungere un determinato compito;
• sviluppare il desiderio e la necessità di generalizzare i fatti ottenuti, sviluppando l'indipendenza.

Compiti:

• riassumere e sistematizzare le conoscenze esistenti sull'argomento "progressione aritmetica";
• ricavare formule per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica;
• insegnare come applicare le formule ottenute durante la risoluzione di vari problemi;
• attirare l'attenzione degli studenti sulla procedura per trovare il valore di un'espressione numerica.

Attrezzatura:

• carte con compiti per lavorare in gruppi e coppie;
• foglio dei punteggi;
• presentazione"Progressione aritmetica."

I. Aggiornamento delle conoscenze di base.

1. Lavoro indipendente A coppie.

1a opzione:

Definire la progressione aritmetica. Scrivi una formula di ricorrenza che definisca una progressione aritmetica. Fornisci un esempio di progressione aritmetica e indicane la differenza.

2a opzione:

Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Trovare il centesimo termine della progressione aritmetica ( UN}: 2, 5, 8 …
In questo momento, due studenti sul retro della lavagna stanno preparando le risposte alle stesse domande.
Gli studenti valutano il lavoro del loro partner controllandolo alla lavagna. (Si consegnano i fogli con le risposte.)

2. Momento di gioco.

Compito 1.

Insegnante. Ho pensato a una progressione aritmetica. Fammi solo due domande in modo che dopo le risposte tu possa nominare rapidamente il 7° termine di questa progressione. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Domande degli studenti.

1. Qual è il sesto termine della progressione e qual è la differenza?
2. Qual è l'ottavo termine della progressione e qual è la differenza?

Se non ci sono più domande, l'insegnante può stimolarle: un "divieto" su d (differenza), cioè non è consentito chiedere a cosa sia uguale la differenza. Puoi porre domande: a cosa è uguale il 6° termine della progressione e a cosa è uguale l'8° termine della progressione?

Compito 2.

Sulla lavagna sono scritti 20 numeri: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

L'insegnante sta con le spalle alla lavagna. Gli studenti chiamano il numero e l'insegnante chiama immediatamente il numero stesso. Spiegare come posso farlo?

L'insegnante ricorda la formula per l'ennesimo termine un n = 3n – 2 e, sostituendo i valori specificati n, trova i valori corrispondenti UN.

II. Impostazione di un compito di apprendimento.

Propongo di risolvere un antico problema risalente al II millennio a.C., rinvenuto nei papiri egiziani.

Compito:“Vi sia detto: dividete 10 misure di orzo tra 10 persone, la differenza tra ciascuno e il suo vicino è 1/8 della misura”.

• In che modo questo problema è legato all'argomento progressione aritmetica? (Ogni persona successiva riceve 1/8 della misura in più, il che significa che la differenza è d=1/8, 10 persone, il che significa n=10.)
• Cosa pensi che significhino le misure numero 10? (Somma di tutti i termini della progressione.)
• Cos'altro devi sapere per rendere facile e semplice dividere l'orzo in base alle condizioni del problema? (Primo termine di progressione.)

Obiettivo della lezione– ottenere la dipendenza della somma dei termini della progressione dal loro numero, dal primo termine e dalla differenza, e verificare se nell’antichità il problema era risolto correttamente.

Prima di dedurre la formula, diamo un'occhiata a come gli antichi egizi risolsero il problema.

E hanno risolto così:

1) 10 misure: 10 = 1 misura – quota media;
2) 1 misura ∙ = 2 misure – raddoppiato media condividere.
Raddoppiato media la quota è la somma delle quote della 5a e della 6a persona.
3) 2 misure – 1/8 misure = 1 7/8 misure – raddoppia la quota della quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – frazione di quinta; e così via, puoi trovare la quota di ogni persona precedente e successiva.

Otteniamo la sequenza:

III. Risolvere il problema.

1. Lavora in gruppi

Gruppo I: Trova la somma di 20 numeri naturali consecutivi: S20 =(20+1)∙10 =210.

Generalmente

II gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 100 (La leggenda di Little Gauss).

S100 = (1+100)∙50 = 5050

Conclusione:

III gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 21.

Soluzione: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusione:

IV gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 101.

Conclusione:

Questo metodo per risolvere i problemi considerati è chiamato “Metodo Gauss”.

2. Ogni gruppo presenta alla lavagna la soluzione del problema.

3. Generalizzazione delle soluzioni proposte per una progressione aritmetica arbitraria:

un 1, un 2, un 3,…, un n-2, un n-1, un n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Troviamo questa somma utilizzando un ragionamento simile:

4. Abbiamo risolto il problema?(SÌ.)

IV. Comprensione primaria e applicazione delle formule ottenute durante la risoluzione dei problemi.

1. Verifica della soluzione di un problema antico utilizzando la formula.

2. Applicazione della formula nella risoluzione di vari problemi.

3. Esercizi per sviluppare la capacità di applicare formule durante la risoluzione dei problemi.

R) N. 613

Dato: ( UN) - progressione aritmetica;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Trovare: S1500

Soluzione: , a 1 = 1 e 1500 = 1500,

B) Dato: ( UN) - progressione aritmetica;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Trovare: N
Soluzione:

V. Lavoro indipendente con verifica reciproca.

Denis ha iniziato a lavorare come corriere. Nel primo mese il suo stipendio era di 200 rubli, in ogni mese successivo aumentava di 30 rubli. Quanto ha guadagnato in totale in un anno?

Dato: ( UN) - progressione aritmetica;
a1 = 200, d=30, n=12
Trovare: S12
Soluzione:

Risposta: Denis ha ricevuto 4380 rubli all'anno.

VI. Istruzioni per i compiti.

1. Sezione 4.3 – impara la derivazione della formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Crea un problema che possa essere risolto utilizzando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

VII. Riassumendo la lezione.

1. Scheda dei punteggi

2. Continua le frasi

• Oggi in classe ho imparato...
• Formule apprese...
• Credo che...

3. Riesci a trovare la somma dei numeri da 1 a 500? Quale metodo utilizzerai per risolvere questo problema?

Riferimenti.

1. Algebra, 9a elementare. Libro di testo per gli istituti di istruzione generale. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: “Illuminismo”, 2009.

Ad esempio, la sequenza \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... è una progressione aritmetica, perché ogni elemento successivo differisce dal precedente di tre (si ottiene dal precedente sommando tre):

In questa progressione, la differenza \(d\) è positiva (pari a \(3\)), e quindi ogni termine successivo è maggiore del precedente. Tali progressioni sono chiamate in aumento.

Tuttavia, anche \(d\) può esserlo numero negativo. Per esempio, in progressione aritmetica \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... la differenza di progressione \(d\) è pari a meno sei.

E in questo caso, ogni elemento successivo sarà più piccolo del precedente. Queste progressioni sono chiamate decrescente.

Notazione di progressione aritmetica

La progressione è indicata da una piccola lettera latina.

I numeri che formano una progressione vengono chiamati membri(o elementi).

Sono indicati con la stessa lettera di una progressione aritmetica, ma con un indice numerico pari al numero dell'elemento in ordine.

Ad esempio, la progressione aritmetica \(a_n = \sinistra\( 2; 5; 8; 11; 14...\destra\)\) è costituita dagli elementi \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) e così via.

In altre parole, per la progressione \(a_n = \sinistra\(2; 5; 8; 11; 14…\destra\)\)

Risoluzione di problemi di progressione aritmetica

In linea di principio, le informazioni presentate sopra sono già sufficienti per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica (compresi quelli offerti all'OGE).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(b_1=7; d=4\). Trova \(b_5\).
Soluzione:

Risposta: \(b_5=23\)

Esempio (OGE). Sono dati i primi tre termini di una progressione aritmetica: \(62; 49; 36…\) Trova il valore del primo termine negativo di questa progressione..
Soluzione:

	Ci vengono dati i primi elementi della sequenza e sappiamo che si tratta di una progressione aritmetica. Cioè ogni elemento differisce dal suo vicino per lo stesso numero. Scopriamo quale sottraendo il precedente dall'elemento successivo: \(d=49-62=-13\).
	Ora possiamo ripristinare la nostra progressione sull'elemento (primo negativo) di cui abbiamo bisogno.
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(-3\)

Esempio (OGE). Dati più elementi consecutivi di una progressione aritmetica: \(…5; x; 10; 12,5...\) Trovare il valore dell'elemento indicato dalla lettera \(x\).
Soluzione:

	Per trovare \(x\), dobbiamo sapere quanto l'elemento successivo differisce da quello precedente, in altre parole, la differenza di progressione. Troviamolo da due elementi vicini noti: \(d=12.5-10=2.5\).
	E ora possiamo trovare facilmente ciò che stiamo cercando: \(x=5+2.5=7.5\).
	Pronto. Puoi scrivere una risposta.

Risposta: \(7,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è definita dalle seguenti condizioni: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Trova la somma dei primi sei termini di questa progressione.
Soluzione:

Dobbiamo trovare la somma dei primi sei termini della progressione. Ma non ne conosciamo il significato; ci viene dato solo il primo elemento. Pertanto, calcoliamo prima i valori uno per uno, utilizzando quanto ci viene dato: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) E dopo aver calcolato i sei elementi di cui abbiamo bisogno, troviamo la loro somma.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

L'importo richiesto è stato trovato.

Risposta: \(S_6=9\).

Esempio (OGE). Nella progressione aritmetica \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Trova la differenza di questa progressione.
Soluzione:

Risposta: \(d=7\).

Formule importanti per la progressione aritmetica

Come puoi vedere, molti problemi sulla progressione aritmetica possono essere risolti semplicemente comprendendo la cosa principale: che una progressione aritmetica è una catena di numeri, e ogni elemento successivo di questa catena si ottiene aggiungendo lo stesso numero a quello precedente (il differenza della progressione).

Tuttavia, a volte ci sono situazioni in cui decidere “frontalmente” è molto scomodo. Ad esempio, immagina che nel primo esempio non dobbiamo trovare il quinto elemento \(b_5\), ma il trecentottantaseiesimo \(b_(386)\). Dovremmo aggiungere quattro \(385\) volte? Oppure immagina che nel penultimo esempio devi trovare la somma dei primi settantatré elementi. Sarai stanco di contare...

Pertanto in questi casi non risolvono le cose “di petto”, ma utilizzano formule speciali derivate dalla progressione aritmetica. E le principali sono la formula per l'n-esimo termine della progressione e la formula per la somma dei \(n\) primi termini.

Formula del \(n\)esimo termine: \(a_n=a_1+(n-1)d\), dove \(a_1\) è il primo termine della progressione;
\(n\) – numero dell'elemento richiesto;
\(a_n\) – termine della progressione con il numero \(n\).

Questa formula ci permette di trovare velocemente anche il trecentesimo o il milionesimo elemento, conoscendo solo il primo e la differenza della progressione.

Esempio. La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Trova \(b_(246)\).
Soluzione:

Risposta: \(b_(246)=1850\).

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), dove

\(a_n\) – l'ultimo termine sommato;

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni \(a_n=3.4n-0.6\). Trova la somma dei primi \(25\) termini di questa progressione.
Soluzione:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Per calcolare la somma dei primi venticinque termini, dobbiamo conoscere il valore del primo e del venticinquesimo termine. La nostra progressione è data dalla formula dell'ennesimo termine in funzione del suo numero (per maggiori dettagli vedi). Calcoliamo il primo elemento sostituendolo con \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Ora troviamo il venticinquesimo termine sostituendo venticinque invece di \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Bene, ora possiamo facilmente calcolare l'importo richiesto.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(25)=1090\).

Per la somma \(n\) dei primi termini, puoi ottenere un'altra formula: devi solo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) invece di \(a_n\) sostituisci la formula \(a_n=a_1+(n-1)d\). Otteniamo:

Formula per la somma dei primi n termini: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), dove

\(S_n\) – la somma richiesta dei primi elementi \(n\);
\(a_1\) – il primo termine sommato;
\(d\) – differenza di progressione;
\(n\) – numero di elementi in totale.

Esempio. Trovare la somma dei primi \(33\)-ex termini della progressione aritmetica: \(17\); \(15,5\); \(14\)...
Soluzione:

Risposta: \(S_(33)=-231\).

Problemi di progressione aritmetica più complessi

Ora hai tutte le informazioni necessarie per risolvere quasi tutti i problemi di progressione aritmetica. Terminiamo l'argomento considerando i problemi in cui non solo è necessario applicare formule, ma anche pensare un po' (in matematica può essere utile ☺)

Esempio (OGE). Trova la somma di tutti i termini negativi della progressione: \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Soluzione:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Il compito è molto simile al precedente. Iniziamo a risolvere la stessa cosa: prima troviamo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Ora vorremmo sostituire \(d\) nella formula per la somma... e qui emerge una piccola sfumatura: non sappiamo \(n\). In altre parole, non sappiamo quanti termini dovranno essere aggiunti. Come scoprirlo? Pensiamo. Smetteremo di aggiungere elementi quando raggiungeremo il primo elemento positivo. Cioè, devi scoprire il numero di questo elemento. Come? Scriviamo la formula per calcolare qualsiasi elemento di una progressione aritmetica: \(a_n=a_1+(n-1)d\) per il nostro caso.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		È necessario che \(a_n\) diventi maggiore di zero. Scopriamo a cosa \(n\) accadrà questo.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Dividiamo entrambi i membri della disuguaglianza per \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Trasferiamo meno uno, senza dimenticare di cambiare i segni
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Calcoliamo...
\(n>65.333…\)		...e risulta che il primo elemento positivo avrà il numero \(66\). Di conseguenza, l'ultimo negativo ha \(n=65\). Per ogni evenienza, controlliamolo.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Quindi dobbiamo aggiungere i primi elementi \(65\).
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cpunto 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		La risposta è pronta.

Risposta: \(S_(65)=-630,5\).

Esempio (OGE). La progressione aritmetica è specificata dalle condizioni: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Trova la somma dall'elemento \(26\)esimo all'elemento \(42\) compreso.
Soluzione:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Anche in questo problema devi trovare la somma degli elementi, ma non partendo dal primo, ma dal \(26\)esimo. Per un caso del genere non abbiamo una formula. Come decidere? È facile: per ottenere la somma dal \(26\)esimo al \(42\)esimo, devi prima trovare la somma dal \(1\)esimo al \(42\)esimo, quindi sottrarre da esso la somma dal primo al \(25\)esimo (vedi immagine).
	Per la nostra progressione \(a_1=-33\) e la differenza \(d=4\) (dopo tutto, sono i quattro che aggiungiamo all'elemento precedente per trovare quello successivo). Sapendo questo, troviamo la somma dei primi elementi \(42\)-y.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cpunto 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Ora la somma dei primi \(25\) elementi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cpunto 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	E infine, calcoliamo la risposta.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Risposta: \(S=1683\).

Per quanto riguarda la progressione aritmetica, ci sono molte altre formule che non abbiamo considerato in questo articolo a causa della loro scarsa utilità pratica. Tuttavia, puoi trovarli facilmente.