Cosa significa frattale? Cosa significa la parola "frattale"?

Cosa hanno in comune un albero, una spiaggia, una nuvola o i vasi sanguigni nella nostra mano? A prima vista può sembrare che tutti questi oggetti non abbiano nulla in comune. Tuttavia, in realtà, esiste una proprietà strutturale inerente a tutti gli oggetti elencati: sono auto-simili. Da un ramo, come da un tronco d'albero, si estendono germogli più piccoli, da essi anche più piccoli, ecc., cioè un ramo è simile all'intero albero. È organizzato in modo simile sistema circolatorio: le arteriole partono dalle arterie e da esse i capillari più piccoli, attraverso i quali l'ossigeno entra negli organi e nei tessuti. Guardiamo le immagini satellitari della costa del mare: vedremo baie e peninsulari; Guardiamolo, ma dalla prospettiva a volo d'uccello: vedremo baie e promontori; Ora immaginiamo di essere sulla spiaggia e di guardarci i piedi: ci saranno sempre dei ciottoli che sporgono nell'acqua più degli altri. Cioè, la costa, una volta ingrandita, rimane simile a se stessa. Il matematico americano (sebbene sia cresciuto in Francia) Benoit Mandelbrot chiamò questa proprietà degli oggetti frattalità, e tali oggetti stessi - frattali (dal latino fractus - spezzati).

Questo concetto non ha una definizione rigorosa. Pertanto, la parola "frattale" non è un termine matematico. Tipicamente, un frattale è una figura geometrica che soddisfa una o più delle seguenti proprietà: Ha una struttura complessa ad ogni aumento di scala (a differenza, ad esempio, di una linea retta, qualsiasi parte della quale è la figura geometrica più semplice - un segmento) . È (approssimativamente) auto-simile. Ha una dimensione Hausdorff (frattale) frazionaria, che è maggiore di quella topologica. Può essere costruito utilizzando procedure ricorsive.

Geometria e algebra

Lo studio dei frattali a cavallo tra il XIX e il XX secolo fu più episodico che sistematico, perché in precedenza i matematici studiavano principalmente oggetti “buoni” che potevano essere studiati utilizzando metodi comuni e teorie. Nel 1872 il matematico tedesco Karl Weierstrass costruì un esempio di funzione continua che non è differenziabile da nessuna parte. Tuttavia, la sua costruzione era del tutto astratta e difficile da comprendere. Pertanto, nel 1904, lo svedese Helge von Koch inventò una curva continua che non ha tangente da nessuna parte ed è abbastanza facile da disegnare. Si è scoperto che ha le proprietà di un frattale. Una variante di questa curva è chiamata “fiocco di neve di Koch”.

L'idea dell'autosomiglianza delle figure è stata ripresa dal francese Paul Pierre Levy, futuro mentore di Benoit Mandelbrot. Nel 1938 fu pubblicato il suo articolo "Curve piane e spaziali e superfici costituite da parti simili al tutto", che descriveva un altro frattale: la curva C di Levy. Tutti questi frattali sopra elencati possono essere classificati condizionatamente come una classe di frattali costruttivi (geometrici).

Un'altra classe sono i frattali dinamici (algebrici), che includono l'insieme di Mandelbrot. Le prime ricerche in questa direzione iniziarono all'inizio del XX secolo e sono associate ai nomi dei matematici francesi Gaston Julia e Pierre Fatou. Nel 1918, Julia pubblicò un libro di memorie di quasi duecento pagine sulle iterazioni di funzioni razionali complesse, che descriveva gli insiemi di Julia, un'intera famiglia di frattali strettamente correlati all'insieme di Mandelbrot. Quest'opera ha ricevuto un premio dall'Accademia di Francia, ma non conteneva una sola illustrazione, quindi era impossibile apprezzare la bellezza degli oggetti aperti. Nonostante il fatto che questo lavoro abbia reso Julia famosa tra i matematici dell'epoca, fu rapidamente dimenticato. L'attenzione si rivolse nuovamente ad esso solo mezzo secolo dopo con l'avvento dei computer: furono loro a rendere visibile la ricchezza e la bellezza del mondo dei frattali.

Dimensioni frattali

Come è noto, la dimensione (numero di dimensioni) di una figura geometrica è il numero di coordinate necessarie per determinare la posizione di un punto giacente su tale figura.
Ad esempio, la posizione di un punto su una curva è determinata da una coordinata, su una superficie (non necessariamente un piano) da due coordinate e nello spazio tridimensionale da tre coordinate.
Da un punto di vista matematico più generale, si può definire la dimensione in questo modo: un aumento delle dimensioni lineari, diciamo, di un fattore due, per oggetti (segmento) unidimensionali (da un punto di vista topologico) porta a un aumento di dimensione (lunghezza) di un fattore due, per quelli bidimensionali (un quadrato) lo stesso aumento di dimensioni lineari porta ad un aumento di dimensione (area) di 4 volte, per tridimensionale (cubo) - di 8 volte. Cioè, la dimensione “reale” (cosiddetta Hausdorff) può essere calcolata come il rapporto tra il logaritmo dell’aumento della “dimensione” di un oggetto e il logaritmo dell’aumento della sua dimensione lineare. Cioè, per un segmento D=log (2)/log (2)=1, per un piano D=log (4)/log (2)=2, per un volume D=log (8)/log (2 )=3.
Calcoliamo ora la dimensione della curva di Koch, per costruire la quale un segmento unitario viene diviso in tre parti uguali e l'intervallo medio viene sostituito da un triangolo equilatero senza questo segmento. Quando le dimensioni lineari del segmento minimo aumentano di tre volte, la lunghezza della curva di Koch aumenta di log (4)/log (3) ~ 1,26. Cioè, la dimensione della curva di Koch è frazionaria!

Scienza e arte

Nel 1982 fu pubblicato il libro di Mandelbrot "Fractal Geometry of Nature", in cui l'autore raccolse e sistematizzò quasi tutte le informazioni sui frattali disponibili a quel tempo e le presentò in modo semplice e accessibile. Mandelbrot pose l'accento principale nella sua presentazione non su formule pesanti e costruzioni matematiche, ma sull'intuizione geometrica dei lettori. Grazie alle illustrazioni ottenute utilizzando il computer e ai racconti storici, con i quali l'autore ha abilmente diluito la componente scientifica della monografia, il libro è diventato un bestseller e i frattali sono diventati noti al grande pubblico. Il loro successo tra i non matematici è in gran parte dovuto al fatto che con l'aiuto di costruzioni e formule molto semplici che possono essere comprese anche da uno studente delle scuole superiori, si ottengono immagini di sorprendente complessità e bellezza. Quando personal computer divenne piuttosto potente, apparve persino un'intera direzione artistica: la pittura frattale, e quasi tutti i possessori di computer potevano farlo. Ora su Internet puoi trovare facilmente molti siti dedicati a questo argomento.

Schema per ottenere la curva di Koch

Guerra e pace

Come notato sopra, uno degli oggetti naturali che hanno proprietà frattali è la costa. C'è una cosa collegata ad esso, o più precisamente, al tentativo di misurarne la lunghezza. storia interessante, che costituì la base dell'articolo scientifico di Mandelbrot, ed è anche descritto nel suo libro "Fractal Geometry of Nature". Stiamo parlando di un esperimento condotto da Lewis Richardson, un matematico, fisico e meteorologo molto talentuoso ed eccentrico. Una delle direzioni della sua ricerca è stata il tentativo di trovare una descrizione matematica delle cause e della probabilità di un conflitto armato tra due paesi. Tra i parametri che ha preso in considerazione c'era la lunghezza del confine comune dei due paesi in guerra. Quando raccolse dati per esperimenti numerici, scoprì che i dati sul confine comune di Spagna e Portogallo differivano notevolmente da fonti diverse. Ciò lo ha portato alla seguente scoperta: la lunghezza dei confini di un paese dipende dal righello con cui li misuriamo. Più piccola è la scala, più lungo è il bordo. Ciò è dovuto al fatto che con un maggiore ingrandimento diventa possibile tenere conto di sempre più nuove anse della costa, che prima venivano ignorate a causa della grossolanità delle misurazioni. E se, ad ogni aumento di scala, vengono rivelate curve di linee precedentemente non contabilizzate, allora si scopre che la lunghezza dei confini è infinita! È vero, questo in realtà non accade: la precisione delle nostre misurazioni ha un limite finito. Questo paradosso è chiamato effetto Richardson.

Frattali costruttivi (geometrici).

L'algoritmo per costruire un frattale costruttivo nel caso generale è il seguente. Innanzitutto abbiamo bisogno di due forme geometriche adatte, chiamiamole base e frammento. Nella prima fase viene rappresentata la base del futuro frattale. Quindi alcune delle sue parti vengono sostituite con un frammento preso in scala adeguata: questa è la prima iterazione della costruzione. Quindi la figura risultante cambia nuovamente alcune parti in figure simili al frammento, ecc. Se continuiamo questo processo all'infinito, al limite otterremo un frattale.

Diamo un'occhiata a questo processo utilizzando la curva di Koch come esempio (vedi barra laterale nella pagina precedente). Qualsiasi curva può essere presa come base per la curva di Koch (per il “fiocco di neve di Koch” è un triangolo). Ma ci limiteremo al caso più semplice: un segmento. Il frammento è una linea spezzata, mostrata in alto nella figura. Dopo la prima iterazione dell'algoritmo, in questo caso il segmento originale coinciderà con il frammento, poi ciascuno dei suoi segmenti costituenti sarà a sua volta sostituito da una linea spezzata simile al frammento, ecc. La figura mostra i primi quattro passaggi di questo processo.

Nel linguaggio della matematica: frattali dinamici (algebrici).

Frattali di questo tipo nascono quando si studia il non lineare sistemi dinamici(da qui il nome). Il comportamento di un tale sistema può essere descritto da una funzione non lineare complessa (polinomio) f (z). Prendiamo un punto iniziale z0 sul piano complesso (vedi barra laterale). Consideriamo ora tale sequenza infinita di numeri sul piano complesso, ciascuno dei quali successivo è ottenuto dal precedente: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). A seconda del punto iniziale z0, tale successione può comportarsi diversamente: tendere all'infinito come n -> ∞; convergere verso un punto finale; assumere ciclicamente una serie di valori fissi; Sono possibili anche opzioni più complesse.

Numeri complessi

Un numero complesso è un numero composto da due parti: reale e immaginario, ovvero la somma formale x + iy (xey qui sono numeri reali). io sono il cosiddetto unità immaginaria, cioè un numero che soddisfa l'equazione io^ 2 = -1. I numeri di base sono definiti su numeri complessi. operazioni matematiche— addizione, moltiplicazione, divisione, sottrazione (solo l'operazione di confronto non è definita). Per visualizzare i numeri complessi, viene spesso utilizzata una rappresentazione geometrica: sul piano (si chiama complesso) viene tracciata l'ascissa parte reale, e lungo l'asse delle ordinate - immaginario, in questo caso il numero complesso corrisponderà ad un punto con coordinate cartesiane xey.

Pertanto, qualsiasi punto z del piano complesso ha il proprio comportamento durante le iterazioni della funzione f (z) e l'intero piano è diviso in parti. Inoltre, i punti che giacciono sui confini di queste parti hanno la seguente proprietà: con uno spostamento arbitrariamente piccolo, la natura del loro comportamento cambia bruscamente (tali punti sono chiamati punti di biforcazione). Quindi, risulta che gli insiemi di punti che hanno un tipo specifico di comportamento, così come gli insiemi di punti di biforcazione, spesso hanno proprietà frattali. Questi sono gli insiemi di Julia per la funzione f (z).

Famiglia del drago

Variando la base e il frammento, puoi ottenere una straordinaria varietà di frattali costruttivi.
Inoltre, operazioni simili possono essere eseguite nello spazio tridimensionale. Esempi di frattali volumetrici includono la “spugna di Menger”, la “piramide di Sierpinski” e altri.
Anche la famiglia dei draghi è considerata un frattale costruttivo. A volte vengono chiamati con il nome dei loro scopritori “draghi Heavey-Harter” (nella loro forma assomigliano ai draghi cinesi). Esistono diversi modi per costruire questa curva. Il più semplice e visivo è questo: devi prendere una striscia di carta abbastanza lunga (più sottile è, meglio è) e piegarla a metà. Quindi piegalo nuovamente a metà nella stessa direzione della prima volta. Dopo diverse ripetizioni (di solito dopo cinque o sei pieghe la striscia diventa troppo spessa per essere piegata ulteriormente con delicatezza), è necessario piegare indietro la striscia e provare a creare angoli di 90° in corrispondenza delle pieghe. Quindi di profilo otterrai la curva di un drago. Naturalmente questa sarà solo un'approssimazione, come tutti i nostri tentativi di rappresentare oggetti frattali. Il computer consente di rappresentare molte più fasi di questo processo e il risultato è una figura molto bella.

L'insieme di Mandelbrot è costruito in modo leggermente diverso. Consideriamo la funzione fc (z) = z 2 +c, dove c è un numero complesso. Costruiamo una sequenza di questa funzione con z0=0, a seconda del parametro c, può divergere all'infinito o rimanere limitata; Inoltre, tutti i valori di c per i quali questa sequenza è limitata formano l'insieme di Mandelbrot. Fu studiato in dettaglio dallo stesso Mandelbrot e da altri matematici, che scoprirono molte proprietà interessanti di questo insieme.

Si può vedere che le definizioni degli insiemi di Julia e Mandelbrot sono simili tra loro. In realtà, questi due insiemi sono strettamente correlati. Vale a dire, l'insieme di Mandelbrot sono tutti i valori del parametro complesso c per i quali l'insieme di Julia fc(z) è connesso (un insieme si dice connesso se non può essere diviso in due parti disgiunte, con alcune condizioni aggiuntive).

Frattali e vita

Al giorno d'oggi, la teoria dei frattali è ampiamente utilizzata in varie aree dell'attività umana. Oltre ad essere un oggetto di ricerca puramente scientifico e alla già citata pittura frattale, i frattali vengono utilizzati nella teoria dell'informazione per comprimere dati grafici (qui viene utilizzata principalmente la proprietà di autosomiglianza dei frattali - dopo tutto, per ricordare un piccolo frammento di un'immagine e le trasformazioni con le quali si ottengono le restanti parti, è necessaria molta meno memoria che per memorizzare l'intero file). Aggiungendo disturbi casuali alle formule che definiscono un frattale, è possibile ottenere frattali stocastici che trasmettono in modo molto plausibile alcuni oggetti reali - elementi in rilievo, la superficie dei serbatoi, alcune piante, che vengono utilizzati con successo in fisica, geografia e computer grafica per ottenere maggiori somiglianza degli oggetti simulati con quelli reali. Nell'elettronica radiofonica, nell'ultimo decennio, hanno cominciato a essere prodotte antenne a forma frattale. Occupando poco spazio, forniscono una ricezione del segnale di alta qualità. Gli economisti usano i frattali per descrivere le curve di fluttuazione delle valute (questa proprietà fu scoperta da Mandelbrot più di 30 anni fa). Con questo si conclude questa breve escursione nel mondo sorprendentemente bello e diversificato dei frattali.

Per presentare l'intera varietà dei frattali, è conveniente ricorrere alla loro classificazione generalmente accettata.

2.1 Frattali geometrici

I frattali di questa classe sono i più visivi. Nel caso bidimensionale, si ottengono utilizzando una linea spezzata (o superficie nel caso tridimensionale), chiamata generatore. In un passo dell'algoritmo, ciascuno dei segmenti che compongono la polilinea viene sostituito con una polilinea generatrice, nella scala opportuna. Come risultato della ripetizione infinita di questa procedura, si ottiene un frattale geometrico.

Fig 1. Costruzione della curva della triade di Koch.

Consideriamo uno di questi oggetti frattali: la curva triadica di Koch. La costruzione della curva inizia con un segmento di lunghezza unitaria (Fig. 1) - questa è la 0a generazione della curva di Koch. Successivamente, ciascun collegamento (un segmento nella generazione zero) viene sostituito da elemento formativo, indicato in Fig. 1 da n=1. Come risultato di questa sostituzione, si ottiene la generazione successiva della curva di Koch. Nella prima generazione, questa è una curva di quattro collegamenti diritti, ciascuna lunghezza 1/3 . Per ottenere la 3a generazione, vengono eseguite le stesse azioni: ogni collegamento viene sostituito con un elemento di forma ridotto. Quindi, per ottenere ogni generazione successiva, tutti i collegamenti della generazione precedente devono essere sostituiti con un elemento formatore ridotto. Curva N-esima generazione per qualsiasi finito N chiamato prefrattale. La Figura 1 mostra cinque generazioni della curva. A N Quando la curva di Koch si avvicina all'infinito, diventa un oggetto frattale.

Figura 2. Costruzione del "drago" Harter-Haithway.

Per ottenere un altro oggetto frattale è necessario modificare le regole di costruzione. Lascia che l'elemento formante sia costituito da due segmenti uguali collegati ad angolo retto. Nella generazione zero sostituiamo il segmento unitario con questo elemento generatore in modo che l'angolo sia in alto. Possiamo dire che con tale sostituzione si verifica uno spostamento del centro del collegamento. Quando si costruiscono le generazioni successive, viene seguita la regola: il primo collegamento a sinistra viene sostituito con un elemento formatore in modo che il centro del collegamento venga spostato a sinistra della direzione del movimento e, quando si sostituiscono i collegamenti successivi, le direzioni di lo spostamento dei centri dei segmenti deve essere alternato. La Figura 2 mostra le prime generazioni e l'undicesima generazione della curva costruita secondo il principio sopra descritto. Curva frattale limite (a N tendente all'infinito) si chiama Il drago di Harter-Haithway .

Nella computer grafica, l'uso dei frattali geometrici è necessario per ottenere immagini di alberi, cespugli e coste. I frattali geometrici bidimensionali vengono utilizzati per creare trame tridimensionali (motivi sulla superficie di un oggetto).

2.2 Frattali algebrici

Questo è il più grande gruppo di frattali. Sono ottenuti utilizzando processi non lineari in N spazi bidimensionali. I processi bidimensionali sono i più studiati. Interpretando un processo iterativo non lineare come un sistema dinamico discreto, si può usare la terminologia della teoria di questi sistemi: ritratto di fase, processo costante, attrattore ecc.

È noto che i sistemi dinamici non lineari hanno diversi stati stabili. Lo stato in cui si trova il sistema dinamico dopo un certo numero di iterazioni dipende dal suo stato iniziale. Pertanto, ogni stato stabile (o, come si suol dire, attrattore) ha una certa regione di stati iniziali, dalla quale il sistema cadrà necessariamente negli stati finali in esame. Pertanto, lo spazio delle fasi del sistema è diviso in aree di attrazione attrattori. Se lo spazio delle fasi è bidimensionale, allora colorando le aree di attrazione con colori diversi si può ottenere ritratto in fase di colore questo sistema (processo iterativo). Modificando l'algoritmo di selezione del colore, puoi ottenere complessi motivi frattali con bizzarri motivi multicolori. Una sorpresa per i matematici è stata la capacità di generare strutture non banali molto complesse utilizzando algoritmi primitivi.

Fig 3. Insieme di Mandelbrot.

Ad esempio, consideriamo l'insieme di Mandelbrot (vedi Fig. 3 e Fig. 4). L'algoritmo per la sua costruzione è abbastanza semplice e si basa su una semplice espressione iterativa:

Z = Z[io] * Z[io] + C,

Dove Z io e C- variabili complesse. Le iterazioni vengono eseguite per ciascun punto iniziale C regione rettangolare o quadrata - un sottoinsieme del piano complesso. Il processo iterativo continua fino a quando Z[i] non andrà oltre il cerchio di raggio 2, il cui centro si trova nel punto (0,0), (questo significa che l'attrattore del sistema dinamico è all'infinito), o dopo un numero sufficientemente grande di iterazioni (ad esempio, 200-500) Z[i] convergerà verso un punto del cerchio. A seconda del numero di iterazioni durante le quali Z[i] rimasto all'interno del cerchio, è possibile impostare il colore del punto C(Se Z[i] rimane all'interno del cerchio per un numero sufficientemente elevato di iterazioni, il processo di iterazione si interrompe e questo punto raster viene dipinto di nero).

Fig. 4. Una sezione del confine dell'insieme di Mandelbrot, ingrandita di 200 volte.

L'algoritmo di cui sopra fornisce un'approssimazione al cosiddetto insieme di Mandelbrot. L'insieme di Mandelbrot contiene punti che, durante infinito il numero di iterazioni non va all'infinito (i punti sono neri). Punti appartenenti al confine dell'insieme (qui è dove si trova il strutture complesse) vanno all'infinito in un numero finito di iterazioni, e i punti che si trovano all'esterno dell'insieme vanno all'infinito dopo diverse iterazioni (sfondo bianco).

2.3 Frattali stocastici

Un'altra classe ben nota di frattali sono i frattali stocastici, che si ottengono se alcuni dei suoi parametri vengono modificati casualmente in un processo iterativo. In questo caso, gli oggetti risultanti sono molto simili a quelli naturali: alberi asimmetrici, coste frastagliate, ecc. I frattali stocastici bidimensionali vengono utilizzati nella modellazione del terreno e della superficie marina.

Esistono altre classificazioni dei frattali, ad esempio, dividendo i frattali in deterministici (algebrici e geometrici) e non deterministici (stocastici).

Matematica,
se lo guardi bene,
riflette non solo la verità,
ma anche di incomparabile bellezza.
Bertrand Russell.

Ovviamente hai sentito parlare dei frattali. Hai sicuramente visto queste immagini mozzafiato di Bryce3d che sono più reali della realtà stessa. Montagne, nuvole, corteccia d'albero: tutto questo va oltre la solita geometria euclidea. Non possiamo descrivere una roccia o i confini di un’isola usando linee rette, cerchi e triangoli. E qui i frattali ci vengono in aiuto. Cosa sono questi sconosciuti familiari? Quando sono apparsi?

Storia dell'apparenza.

Le prime idee sulla geometria frattale sorsero nel XIX secolo. Cantor, utilizzando una semplice procedura ricorsiva (ripetitiva), ha trasformato la linea in un insieme di punti non collegati (la cosiddetta Cantor Dust). Prendeva una linea e rimuoveva il terzo centrale e poi ripeteva la stessa cosa con le sezioni rimanenti. Peano ha tracciato un tipo speciale di linea (Figura 1). Per disegnarlo Peano ha utilizzato il seguente algoritmo.

Nel primo passaggio, ha preso una linea retta e l'ha sostituita con 9 segmenti 3 volte più corti della lunghezza della linea originale (Parte 1 e 2 della Figura 1). Poi ha fatto lo stesso con ogni segmento della linea risultante. E così via all'infinito. La sua unicità è che riempie l'intero piano. È dimostrato che per ogni punto del piano si può trovare un punto appartenente alla retta di Peano. La curva di Peano e la polvere di Cantor andavano oltre i comuni oggetti geometrici. Non avevano una dimensione chiara. La polvere di Cantor sembrava costruita sulla base di una linea retta unidimensionale, ma era costituita da punti (dimensione 0). E la curva di Peano è stata costruita sulla base di una linea unidimensionale, e il risultato è stato un piano. In molti altri settori della scienza sono comparsi problemi la cui soluzione ha portato a strani risultati simili a quelli sopra descritti (moto browniano, prezzi delle azioni).

Padre dei frattali

Fino al 20° secolo, i dati su oggetti così strani venivano accumulati, senza alcun tentativo di sistematizzarli. Questo fino a quando Benoit Mandelbrot, il padre della moderna geometria frattale e della parola frattale, li ha ripresi. Mentre lavorava come analista matematico presso l'IBM, studiò il rumore nei circuiti elettronici che non poteva essere descritto utilizzando la statistica. Confrontando gradualmente i fatti, arrivò alla scoperta di una nuova direzione in matematica: la geometria frattale.

Cos'è un frattale? Lo stesso Mandelbrot derivò la parola frattale Parola latina fractus, che significa rotto (diviso in parti). E una delle definizioni di frattale è una figura geometrica composta da parti e che può essere divisa in parti, ciascuna delle quali rappresenterà una copia più piccola del tutto (almeno approssimativamente).

Per immaginare un frattale in modo più chiaro, consideriamo un esempio fornito nel libro di B. Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature", che è diventato un classico: "Qual è la lunghezza della costa della Gran Bretagna?" La risposta a questa domanda non è così semplice come sembra. Tutto dipende dalla lunghezza dello strumento che utilizzeremo. Misurando la riva con un righello chilometrico, otterremo una certa lunghezza. Tuttavia, ci mancheranno molte piccole baie e peninsulari di dimensioni molto più piccole della nostra linea. Riducendo la dimensione del righello, diciamo, a 1 metro, terremo conto di questi dettagli del paesaggio e, di conseguenza, la lunghezza della costa aumenterà. Andiamo oltre e misuriamo la lunghezza della riva utilizzando un righello millimetrico, terremo conto dei dettagli più grandi di un millimetro, la lunghezza sarà ancora maggiore. Di conseguenza, la risposta a una domanda così semplice può sconcertare chiunque: la lunghezza della costa britannica è infinita.

Un po' di dimensioni.

Nel suo vita quotidiana incontriamo costantemente dimensioni. Stimiamo la lunghezza della strada (250 m), scopriamo la superficie dell'appartamento (78 m2) e cerchiamo sull'adesivo il volume di una bottiglia di birra (0,33 dm3). Questo concetto è abbastanza intuitivo e, a quanto pare, non richiede chiarimenti. La linea ha dimensione 1. Ciò significa che scegliendo un punto di riferimento, possiamo definire qualsiasi punto su questa linea utilizzando 1 numero - positivo o negativo. Inoltre, questo vale per tutte le linee: cerchio, quadrato, parabola, ecc.

Dimensione 2 significa che possiamo definire univocamente qualsiasi punto tramite due numeri. Non pensare che bidimensionale significhi piatto. Anche la superficie di una sfera è bidimensionale (può essere definita utilizzando due valori: angoli come larghezza e longitudine).

Da un punto di vista matematico, la dimensione è determinata da come segue: per oggetti unidimensionali - raddoppiare la loro dimensione lineare porta ad un aumento della dimensione (in questo caso, della lunghezza) di due volte (2^1).

Per gli oggetti bidimensionali, raddoppiando le dimensioni lineari si ottiene un aumento delle dimensioni (ad esempio, l'area di un rettangolo) di quattro volte (2^2).

Per gli oggetti tridimensionali, raddoppiando le dimensioni lineari si ottiene un aumento di volume di otto volte (2^3) e così via.

Pertanto, la dimensione D può essere calcolata in base alla dipendenza dell'aumento della “dimensione” dell'oggetto S dall'aumento delle dimensioni lineari L. D=log(S)/log(L). Per la riga D=log(2)/log(2)=1. Per il piano D=log(4)/log(2)=2. Per il volume D=log(8)/log(2)=3. Può creare un po' di confusione, ma in generale non è complicato e comprensibile.

Perché sto raccontando tutto questo? E per capire come separare i frattali, diciamo, dalla salsiccia. Proviamo a calcolare la dimensione della curva di Peano. Quindi, abbiamo la linea originale, composta da tre segmenti di lunghezza X, sostituiti da 9 segmenti tre volte più brevi. Quindi, quando il segmento minimo aumenta di 3 volte, la lunghezza dell'intera linea aumenta di 9 volte e D=log(9)/log(3)=2 è un oggetto bidimensionale!!!

Quindi, quando la dimensione di una figura ottenuta da alcuni oggetti semplici (segmenti) è maggiore della dimensione di questi oggetti, siamo di fronte a un frattale.

I frattali sono divisi in gruppi. I gruppi più grandi sono:

Frattali geometrici.

Qui è iniziata la storia dei frattali. Questo tipo di frattale si ottiene in modo semplice costruzioni geometriche. Di solito, quando costruiscono questi frattali, lo fanno: prendono un “seme” - un assioma - un insieme di segmenti sulla base dei quali verrà costruito il frattale. Successivamente, a questo “seme” viene applicata una serie di regole che lo trasformano in una sorta di figura geometrica. Successivamente, lo stesso insieme di regole viene applicato nuovamente a ciascuna parte di questa figura. Ad ogni passo la figura diventerà sempre più complessa e se effettueremo (almeno nella nostra mente) un numero infinito di trasformazioni, otterremo un frattale geometrico.

La curva di Peano discussa sopra è un frattale geometrico. La figura sotto mostra altri esempi di frattali geometrici (da sinistra a destra il Fiocco di neve di Koch, Liszt, Triangolo di Sierpinski).

Koch del fiocco di neve

Foglio

Triangolo di Sierpinski

Di questi frattali geometrici, il primo, il fiocco di neve di Koch, è molto interessante e piuttosto famoso. È costruito sulla base di un triangolo equilatero. Ciascuna riga di cui ___ è sostituita da 4 righe ciascuna pari a 1/3 della lunghezza dell'originale _/\_. Pertanto ad ogni iterazione la lunghezza della curva aumenta di un terzo. E se eseguiamo un numero infinito di iterazioni, otterremo un frattale: un fiocco di neve Koch di lunghezza infinita. Si scopre che la nostra curva infinita copre un'area limitata. Prova a fare lo stesso usando metodi e figure della geometria euclidea.

La dimensione di un fiocco di neve di Koch (quando un fiocco di neve aumenta di 3 volte, la sua lunghezza aumenta di 4 volte) D=log(4)/log(3)=1.2619...

I cosiddetti Sistemi L sono adatti per la costruzione di frattali geometrici. L'essenza di questi sistemi è che esiste un certo insieme di simboli di sistema, ognuno dei quali denota un'azione specifica e un insieme di regole per la conversione dei simboli. Ad esempio, la descrizione del fiocco di neve di Koch utilizzando L-Systems nel programma Fractint

; Adrian Mariano da La geometria frattale della natura di Mandelbrot Koch1 ( ;imposta l'angolo di rotazione su 360/6=60 gradi Angolo 6 ; Disegno iniziale per la costruzione Assioma F--F--F ; Regola di conversione dei caratteri F=F+F--F+F )

IN questa descrizione I significati geometrici dei simboli sono i seguenti:

F significa tracciare una linea + girare in senso orario - girare in senso antiorario

La seconda proprietà dei frattali è l'autosomiglianza. Prendiamo ad esempio il triangolo di Sierpinski. Per costruirlo, “ritagliamo” un triangolo dal centro di un triangolo equilatero. Ripetiamo lo stesso procedimento per i tre triangoli formati (tranne quello centrale) e così via all'infinito. Se ora prendiamo uno qualsiasi dei triangoli risultanti e lo ingrandiamo, otteniamo copia esatta il tutto. In questo caso abbiamo a che fare con la completa autosomiglianza.

Vorrei fare subito una prenotazione sul fatto che la maggior parte dei disegni frattali in questo articolo sono stati ottenuti utilizzando il programma Fractint. Se sei interessato ai frattali, allora questo è un programma indispensabile per te. Con il suo aiuto, puoi costruire centinaia di frattali diversi, ottenere informazioni complete su di essi e persino ascoltare come suonano i frattali;).

Dire che il programma è buono è non dire nulla. È fantastica, tranne che per una cosa... ultima versione 20.0 è disponibile solo nella versione DOS:(. Puoi trovare questo programma (ultima versione 20.0) su http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html.

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Commenti

Beh, per uno spuntino esempio interessante Microsoft Excel Le celle A2 e B2 hanno gli stessi valori compresi tra 0 e 1. Un valore di 0,5 non ha alcun effetto.

Ciao a tutti coloro che sono riusciti a realizzare un programma utilizzando un'immagine fratale. Chi può dirmi quale metodo di ciclo è meglio usare per costruire una radura di felci frattali con un supporto 3d max con un'iterazione dt di 100.000 su una pietra con 2800 mH

C'è un codice sorgente con un programma per disegnare la curva del Drago, anch'essa un frattale.

L'articolo è fantastico. Ed Excel è probabilmente un errore del coprocessore (sulle ultime cifre di ordine basso)