GirişArifmetik irəliləyişin ilk 10 ədədinin cəmi. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur
Qərar verməyə başlamazdan əvvəl arifmetik irəliləyiş problemləri, gəlin bunun nə olduğuna baxaq nömrə ardıcıllığı, çünki arifmetik irəliləyiş ədəd ardıcıllığının xüsusi halıdır.
Nömrə ardıcıllığı hər bir elementinin özünəməxsusluğu olan ədədlər toplusudur seriya nömrəsi . Bu çoxluğun elementləri ardıcıllığın üzvləri adlanır. Ardıcıllıq elementinin seriya nömrəsi indekslə göstərilir:
Ardıcıllığın birinci elementi;
Ardıcıllığın beşinci elementi;
- ardıcıllığın “n-ci” elementi, yəni. n nömrəsində "növbədə duran" element.
Ardıcıllıq elementinin qiyməti ilə onun sıra nömrəsi arasında əlaqə var. Buna görə də, ardıcıllığı arqumenti ardıcıllığın elementinin sıra nömrəsi olan funksiya kimi nəzərdən keçirə bilərik. Başqa sözlə, bunu deyə bilərik ardıcıllıq təbii arqumentin funksiyasıdır:
Ardıcıllıq üç şəkildə təyin edilə bilər:
1 . Cədvəldən istifadə edərək ardıcıllığı təyin etmək olar. Bu halda biz sadəcə olaraq ardıcıllığın hər bir üzvünün dəyərini təyin edirik.
Məsələn, Biri şəxsi vaxt idarəçiliyi ilə məşğul olmaq qərarına gəldi və başlamaq üçün həftə ərzində VKontakte-də nə qədər vaxt keçirdiyini hesablayın. Cədvəldə vaxtı qeyd etməklə yeddi elementdən ibarət ardıcıllığı alacaq:
Cədvəlin birinci sətri həftənin gününün sayını, ikincisi isə dəqiqələrlə vaxtı göstərir. Biz görürük ki, yəni bazar ertəsi Kimsə VKontakte-də 125 dəqiqə, yəni cümə axşamı - 248 dəqiqə, yəni cümə günü isə cəmi 15 dəqiqə sərf edib.
2 . Ardıcıllığı n-ci müddətli düsturdan istifadə etməklə təyin etmək olar.
Bu zaman ardıcıllıq elementinin qiymətinin onun sayından asılılığı birbaşa düstur şəklində ifadə edilir.
Məsələn, əgər varsa, onda
Verilmiş ədədi olan ardıcıllıq elementinin qiymətini tapmaq üçün element nömrəsini n-ci həddinin düsturu ilə əvəz edirik.
Arqumentin dəyəri məlumdursa, funksiyanın dəyərini tapmaq lazımdırsa, eyni şeyi edirik. Arqumentin dəyərini funksiya tənliyində əvəz edirik:
Əgər, məsələn, 
, Bu
Bir daha qeyd edim ki, ardıcıllıqla, ixtiyari ədədi funksiyadan fərqli olaraq, arqument yalnız natural ədəd ola bilər.
3 . Ardıcıllıq n sıra üzvü nömrəsinin dəyərinin əvvəlki üzvlərin dəyərlərindən asılılığını ifadə edən düsturdan istifadə etməklə təyin edilə bilər.
Bu halda onun dəyərini tapmaq üçün yalnız ardıcıllıq üzvünün sayını bilmək kifayət deyil. Ardıcıllığın ilk üzvünü və ya ilk bir neçə üzvünü müəyyən etməliyik. 
, 
Məsələn, ardıcıllığı nəzərdən keçirin Ardıcıllıq üzvlərinin dəyərlərini tapa bilərik bir-bir
, üçüncüdən başlayaraq: Yəni hər dəfə ardıcıllığın n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün əvvəlki ikisinə qayıdırıq. Ardıcıllığı təyin etmək üçün bu üsul deyilir təkrarlanan , dən Latın sözü təkrar
- qayıt.
İndi arifmetik irəliləyiş təyin edə bilərik. Arifmetik irəliləyiş ədəd ardıcıllığının sadə xüsusi halıdır. Arifmetik irəliləyiş
ədədi ardıcıllıqdır ki, onun hər bir üzvü ikincidən başlayaraq eyni ədədə əlavə olunan əvvəlkinə bərabərdir. Nömrə çağırılır arifmetik irəliləyiş fərqi
. Arifmetik irəliləyişin fərqi müsbət, mənfi və ya sıfıra bərabər ola bilər.">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} Əgər başlıq="d>0.
artır
Məsələn, 2; 5; 8; 11;... Əgər , onda arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü əvvəlkindən kiçikdir və irəliləyiş belədir.
azalan
Məsələn, 2; -1; -4; -7;... Əgər , onda irəliləyişin bütün şərtləri eyni ədədə bərabərdir və irəliləyiş belədir.
stasionar
Məsələn, 2;2;2;2;...
Arifmetik irəliləyişin əsas xüsusiyyəti:
Şəkilə baxaq.
Biz bunu görürük
, və eyni zamanda
.
Bu iki bərabərliyi əlavə edərək əldə edirik:
Bərabərliyin hər iki tərəfini 2-yə bölün:
Beləliklə, arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü, ikincidən başlayaraq, iki qonşunun arifmetik ortasına bərabərdir:
Biz bunu görürük
Üstəlik, ildən
, Bu
, və buna görə də">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
Başlıq="k>l) ilə başlayan arifmetik irəliləyişin hər bir üzvü
3-cü terminin düsturu.
Görürük ki, arifmetik irəliləyişin şərtləri aşağıdakı əlaqələri təmin edir:
və nəhayət aldıq
n-ci həddinin düsturu.ƏHƏMİYYƏTLİ!
Arifmetik irəliləyişin istənilən üzvü və vasitəsilə ifadə edilə bilər. Arifmetik irəliləyişin birinci həddi və fərqini bilməklə, onun hər hansı şərtlərini tapa bilərsiniz.
Arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmi.
N üzvü olan arifmetik irəliləyiş nəzərdən keçirək. Bu irəliləyişin n üzvünün cəminə bərabər olsun.
Proqresiyanın şərtlərini əvvəlcə ədədlərin artan, sonra isə azalan ardıcıllığı ilə təşkil edək:
Gəlin cüt-cüt əlavə edək:
Hər mötərizədəki cəmi , cütlərin sayı n-dir.
Biz əldə edirik:
Belə ki, arifmetik irəliləyişin n üzvünün cəmini düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:
Gəlin nəzərdən keçirək arifmetik irəliləyiş məsələlərinin həlli.
1 . Ardıcıllıq n-ci həddinin düsturu ilə verilir: . Bu ardıcıllığın arifmetik irəliləyiş olduğunu sübut edin.
Ardıcıllığın iki bitişik həddi arasındakı fərqin eyni ədədə bərabər olduğunu sübut edək.
Ardıcıllığın iki qonşu üzvü arasındakı fərqin onların sayından asılı olmadığını və sabit olduğunu gördük. Ona görə də tərifinə görə bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir.
2 . Arifmetik irəliləyiş verilmiş -31; -27;...
a) Proqresiyanın 31 həddi tapın.
b) 41 rəqəminin bu irəliləyişdə olub-olmadığını müəyyənləşdirin.
A) Biz bunu görürük;
Proqressimizin n-ci həddi üçün düsturunu yazaq.
Ümumiyyətlə 
Bizim vəziyyətimizdə 
, Ona görə 
Arifmetik irəliləyişlə bağlı problemlər hələ qədim zamanlarda mövcud idi. Praktiki ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.
Belə ki, Qədim Misirin papiruslarından birində olan riyazi məzmun, - Rhind papirusunda (e.ə. 19-cu əsr) - belə bir tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfər arasında bölüşdürün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq ölçünün səkkizdə biri olsun."
Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Hypsicles (2-ci əsr, bir çox maraqlı məsələləri tərtib edən və on dördüncü kitabı Evklidin elementlərinə əlavə etdi) fikrini belə ifadə etdi: “Çift sayda hədləri olan arifmetik proqresiyada II yarının üzvlərinin cəmi. üzvlərinin sayının 1/2 kvadratında 1-ci şərtlərin cəmindən böyükdür."
Ardıcıllıq bir ilə işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən bu üzvün seriya nömrəsini göstərən indeksləri olan hərflərlə təyin olunur (a1, a2, a3 ... oxuyun: “a 1-ci”, “a 2-ci”, “a 3-cü” və s.).
Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.
Arifmetik irəliləyiş nədir? Bununla biz irəliləyişin fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki (n) həddi əlavə etməklə əldə olunanı nəzərdə tuturuq.
Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda bu irəliləyiş artan hesab olunur.
Arifmetik irəliləyiş onun yalnız ilk bir neçə üzvü nəzərə alınarsa, sonlu adlanır. Çox böyük miqdardaüzvlər artıq sonsuz bir irəliləyişdir.
İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
an =kn+b, b və k isə bəzi ədədlərdir.
Əks müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, deməli bu, aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan arifmetik irəliləyişdir:
- Proqresiyanın hər bir termini əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdır.
- Əksinə: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik eyni zamanda irəliləyişin əlamətidir, ona görə də adətən irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti adlanır.
Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyişdir ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı şərti üçün doğru olsun.
Arifmetik irəliləyişin hər hansı dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l (m, n, k irəliləmə ədədləridir).
Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir, fərq (d) isə dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177
an = ak + d(n - k) düsturu müəyyən etməyə imkan verir n-ci dövr onun k-ci hədlərindən hər hansı biri ilə arifmetik irəliləyiş, bu şərtlə ki, məlum olsun.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi (sonlu irəliləyişin ilk n üzvü nəzərdə tutulur) hesablanır. aşağıdakı kimi:
Sn = (a1+an) n/2.
1-ci müddət də məlumdursa, başqa bir düstur hesablama üçün əlverişlidir:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:
Hesablamalar üçün düsturların seçimi problemlərin şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.
İstənilən ədədlərin təbii sıraları, məsələn, 1,2,3,...,n,...- ən sadə misal arifmetik irəliləyiş.
Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələrinə və xüsusiyyətlərinə malik olan həndəsi irəliləyiş də var.
Giriş səviyyəsi
Arifmetik irəliləyiş. Ətraflı nəzəriyyə nümunələrlə (2019)
Nömrə ardıcıllığı
Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:
Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:
Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Bizim vəziyyətimizdə: 
Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Məsələn: 
və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.
Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.
Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:
a)
b)
c)
d)
Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.
Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.
1. Metod
Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:
Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi bərabərdir.
2. Metod
Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:
Məsələn, bu arifmetik irəliləyişin ci həddinin qiymətinin nədən ibarət olduğunu görək: 
Başqa sözlə:
Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.
Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:
Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni nömrəni aldınız.
Gəlin "depersonalizasiyaya" çalışaq bu formula- onu gətirək ümumi görünüş və alırıq:
|
Arifmetik irəliləyiş tənliyi. |
Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.
Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:
O vaxtdan bəri:
Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.
Nəticələri müqayisə edək:
Arifmetik irəliləyiş xassəsi
Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:
Qoy, ah, onda:
Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə, necə? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə etməklə bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.
Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:
- irəliləyişin əvvəlki müddəti:
- irəliləyişin növbəti müddəti:
Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:
Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.
Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.
Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, “riyaziyyatçıların kralı” Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...
Karl Qauss 9 yaşında olanda başqa siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı problemi soruşdu: “Bütün siniflərin cəmini hesablayın. natural ədədlər-dən (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla.” Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...
Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?
Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə daha yaxından baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın. 
Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir
İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəminin düsturu belə olacaq:
Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?
Əla! İndi Karl Qaussa verilən məsələyə qayıdaq: incidən başlayan ədədlərin cəminin və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəminin nəyə bərabər olduğunu özünüz hesablayın.
Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?
Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturunu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant sübut etmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir. 
Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın. 
Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?
Bu halda irəliləyiş belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).
Metod 1.
Metod 2.
İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik irəliləyişin n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:
Təlim
Tapşırıqlar:
- Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə çömbəlmə etdisə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
- İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
- Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?
Cavablar:
- Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
(həftələr = günlər).Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.
- İlk tək nömrə, son nömrə.
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin ci həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.
- Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
Verilənləri düsturla əvəz edək:Cavab: Hörgüdə loglar var.
Gəlin ümumiləşdirək
- - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
- Düsturun tapılması Arifmetik irəliləyişin ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
- Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
- Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:
, qiymətlərin sayı haradadır.
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ
Nömrə ardıcıllığı
Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.
Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.
Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.
Nömrəsi olan nömrə ardıcıllığın ci üzvü adlanır.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula
ardıcıllığı təyin edir:
Və düstur aşağıdakı ardıcıllıqdır:
Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci üzv bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).
n-ci müddətli düstur
Biz düsturu təkrarlayan adlandırırıq, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:
Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:
Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?
Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:
İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:
Özünüz üçün qərar verin:
Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.
Həlli:
Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:
(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).
Beləliklə, formula:
Onda yüzüncü hədd bərabərdir:
Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?
Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,
Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:
Misal:
Hamının cəmini tapın ikirəqəmli ədədlər, qatlar.
Həlli:
İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.
Bu irəliləyiş üçün 3-cü terminin düsturu:
Hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?
Çox asan: .
Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:
Cavab: .
İndi özünüz qərar verin:
- İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gün km m qaçıbsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçacaq?
- Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
- Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.
Cavablar:
- Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişin tanınması və onun parametrlərinin müəyyən edilməsidir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
.
Cavab: - Burada verilir: , tapılmalıdır.
Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
.
Dəyərləri əvəz edin:Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
(km).
Cavab: - Verildi: . Tapın: .
Daha sadə ola bilməzdi:
(rub).
Cavab:
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.
Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.
Məsələn:
Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur
düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.
Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi
Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi
Məbləği tapmaq üçün iki yol var:
Dəyərlərin sayı haradadır.
Dəyərlərin sayı haradadır.
Nə əsas məqam düsturlar?
Bu formula tapmağa imkan verir hər hansı NÖMRƏSİ İLƏ" n" .
Təbii ki, birinci termini də bilmək lazımdır a 1 və irəliləyiş fərqi d, yaxşı, bu parametrlər olmadan müəyyən bir irəliləyiş yaza bilməzsiniz.
Bu düsturu əzbərləmək (və ya yatmaq) kifayət deyil. Onun mahiyyətini başa düşmək və düsturu müxtəlif məsələlərdə tətbiq etmək lazımdır. Həm də lazımi anda unutmamaq, bəli...) Necə unutma- Bilmirəm. Amma necə xatırlamaq Lazım olsa, mütləq sizə məsləhət verəcəm. Dərsi sona qədər bitirənlər üçün.)
Beləliklə, arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturla tanış olaq.
Ümumiyyətlə formula nədir? Yeri gəlmişkən, oxumamısınızsa, baxın. Orada hər şey sadədir. Bunun nə olduğunu anlamaq qalır n-ci dövr.
Ümumilikdə tərəqqi bir sıra ədədlər kimi yazıla bilər:
1, 2, 3, 4, 5, .....
a 1- arifmetik irəliləyişin birinci həddini bildirir; a 3- üçüncü üzv, a 4- dördüncü və s. Əgər bizi beşinci dövr maraqlandırırsa, tutaq ki, işləyirik a 5, əgər yüz iyirminci - s 120.
Bunu ümumi mənada necə müəyyənləşdirə bilərik? hər hansı arifmetik irəliləyişin müddəti, ilə hər hansı nömrə? Çox sadə! Bu kimi:
a n
Budur arifmetik irəliləyişin n-ci həddi. N hərfi bir anda bütün üzv nömrələrini gizlədir: 1, 2, 3, 4 və s.
Və belə bir rekord bizə nə verir? Fikirləşin, rəqəm əvəzinə məktub yazdılar...
Bu qeyd bizə arifmetik irəliləyişlə işləmək üçün güclü alət verir. Qeyddən istifadə a n, tez tapa bilərik hər hansıüzv hər hansı arifmetik irəliləyiş. Və bir sıra digər inkişaf problemlərini həll edin. Daha sonra özünüz görəcəksiniz.
Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturda:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- arifmetik proqresiyanın birinci həddi;
n- üzv nömrəsi.
Formula istənilən irəliləyişin əsas parametrlərini birləşdirir: a n ; a 1; d Və n. Bütün irəliləyiş problemləri bu parametrlər ətrafında fırlanır.
N-ci müddətli düsturdan da müəyyən irəliləyiş yazmaq üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, problem irəliləyişin şərtlə göstərildiyini söyləyə bilər:
a n = 5 + (n-1) 2.
Belə bir problem çıxılmaz vəziyyətə düşə bilər... Nə silsiləsi var, nə də fərqi... Amma şərti düsturla müqayisə etdikdə asanlıqla başa düşmək olar ki, bu irəliləyişdə a 1 =5 və d=2.
Və daha da pis ola bilər!) Eyni şərti götürsək: a n = 5 + (n-1) 2, Bəli, mötərizələri açıb oxşarları gətirin? Yeni bir formula alırıq:
a n = 3 + 2n.
Bu Sadəcə ümumi deyil, konkret irəliləyiş üçün. Tələnin gizləndiyi yer budur. Bəzi insanlar birinci terminin üç olduğunu düşünürlər. Baxmayaraq ki, reallıqda birinci termin beşdir... Bir az aşağı, belə dəyişdirilmiş düsturla işləyəcəyik.
Tərəqqi problemlərində başqa bir qeyd var - a n+1. Bu, təxmin etdiyiniz kimi, irəliləyişin “n plus birinci” terminidir. Onun mənası sadə və zərərsizdir.) Bu, sayı n rəqəmindən birə bərabər olan irəliləmənin üzvüdür. Məsələn, hansısa problemimiz varsa götürürük a n sonra beşinci dövr a n+1 altıncı üzv olacaq. Və buna bənzər.
Ən tez-tez təyinat a n+1 təkrarlanma düsturlarında tapılır. Bundan qorxma dəhşətli söz!) Bu, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin üzvünü ifadə etmək üsuludur əvvəlki vasitəsilə. Tutaq ki, təkrarlanan düsturdan istifadə edərək bizə bu formada arifmetik irəliləyiş verilmişdir:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Dördüncü - üçüncü vasitəsilə, beşinci - dördüncü vasitəsilə və s. Deyək ki, iyirminci termini dərhal necə hesablaya bilərik? a 20? Amma heç bir yol yoxdur!) 19-cu dövrü öyrənənə qədər, 20-ni saya bilmərik. Bu, təkrarlanan düsturla n-ci hədd düsturu arasındakı əsas fərqdir. Təkrarlanan yalnız vasitəsilə işləyir əvvəlki termini, n-ci həddinin düsturu isə keçir birinci və imkan verir dərhal nömrəsinə görə istənilən üzvü tapın. Bütün nömrələr seriyasını ardıcıllıqla hesablamadan.
Arifmetik irəliləyişdə təkrarlanan düsturu adi düstura çevirmək asandır. Ardıcıl şərtləri sayın, fərqi hesablayın d, lazım gələrsə, birinci termini tapın a 1, düsturu adi formada yazın və onunla işləyin. Dövlət Elmlər Akademiyasında belə vəzifələrə tez-tez rast gəlinir.
Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturun tətbiqi.
Əvvəlcə düsturun birbaşa tətbiqinə baxaq. Əvvəlki dərsin sonunda bir problem var idi:
Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir. a 1 =3 və d=1/6 olarsa, 121-i tapın.
Bu problemi heç bir düstur olmadan, sadəcə olaraq arifmetik irəliləyişin mənasına əsaslanaraq həll etmək olar. Əlavə et və əlavə et... Bir-iki saat.)
Və formulaya görə, həll bir dəqiqədən az çəkəcək. Siz vaxt ayıra bilərsiniz.) Gəlin qərar verək.
Şərtlər düsturdan istifadə üçün bütün məlumatları təqdim edir: a 1 =3, d=1/6. Nəyin bərabər olduğunu anlamaq qalır n. Sual yoxdur! tapmaq lazımdır a 121. Beləliklə, yazırıq:
Diqqət edin! Bir indeks əvəzinə n konkret rəqəm meydana çıxdı: 121. Bu olduqca məntiqlidir.) Bizi arifmetik irəliləyişin üzvü maraqlandırır. yüz iyirmi bir nömrə. Bu bizim olacaq n. Mənası budur n= 121 biz mötərizədə daha sonra düsturda əvəz edəcəyik. Bütün rəqəmləri düsturla əvəz edirik və hesablayırıq:
a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
bu qədər. Beş yüz onuncu həddi, min üçüncü isə hər hansı birini tez tapmaq olar. Əvəzinə qoyuruq n istədiyiniz nömrə məktubun indeksində " a" və mötərizədə və biz sayırıq.
Bir məqamı xatırlatmaq istəyirəm: bu düstur sizə tapmağa imkan verir hər hansı arifmetik irəliləyiş termini NÖMRƏSİ İLƏ" n" .
Problemi daha hiyləgər şəkildə həll edək. Gəlin aşağıdakı problemlə qarşılaşaq:
Arifmetik irəliləyişin (a n) birinci üzvünü tapın, əgər a 17 =-2; d=-0,5.
Hər hansı bir çətinlik varsa, sizə ilk addımı söyləyəcəyəm. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturunu yazın! Bəli, bəli. Əllərinizlə düz dəftərinizə yazın:
| a n = a 1 + (n-1)d |
İndi düsturun hərflərinə baxaraq hansı məlumatların olduğunu və nəyin çatışmadığını başa düşürük? Mövcuddur d=-0,5, on yeddinci üzv var... Elədir? Bunun belə olduğunu düşünürsənsə, problemi həll etməyəcəksən, bəli...
Hələ nömrəmiz var n! Vəziyyətdə a 17 =-2 gizli iki parametr. Bu, həm on yeddinci hədisin (-2) qiymətidir, həm də onun sayıdır (17). Bunlar. n=17. Bu "xırdalıq" tez-tez başın üstündən sürüşür və onsuz (baş deyil, "xırdalıq" olmadan!) problem həll edilə bilməz. Baxmayaraq ki... və başsız da.)
İndi məlumatlarımızı düsturla sadəcə axmaqcasına əvəz edə bilərik:
a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Bəli, a 17-2 olduğunu bilirik. Yaxşı, əvəz edək:
-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)
Əsasən hamısı budur. Düsturdan arifmetik irəliləyişin birinci həddini ifadə etmək və onu hesablamaq qalır. Cavab belə olacaq: a 1 = 6.
Bu texnika - düsturun yazılması və sadəcə olaraq məlum verilənlərin əvəz edilməsi - sadə tapşırıqların yerinə yetirilməsində böyük köməkdir. Yaxşı, əlbəttə, düsturdan dəyişən ifadə etməyi bacarmalısan, amma nə etməli!? Bu bacarıq olmadan riyaziyyatı heç öyrənməyə də bilərsən...
Başqa bir məşhur tapmaca:
Arifmetik irəliləyişin fərqini (a n) tapın, əgər a 1 =2; a 15 =12.
Biz nə edirik? Təəccüblənəcəksiniz, formulu yazırıq!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Gəlin bildiklərimizi nəzərdən keçirək: a 1 =2; a 15 =12; və (xüsusilə vurğulayacağam!) n=15. Bunu düsturla əvəz etməkdən çəkinməyin:
12=2 + (15-1)d
Hesab edirik.)
12=2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Bu düzgün cavabdır.
Beləliklə, tapşırıqlar a n, a 1 Və d qərar verdi. Yalnız nömrəni necə tapmağı öyrənmək qalır:
99 rəqəmi arifmetik irəliləyişin (a n) üzvüdür, burada a 1 =12; d=3. Bu üzvün nömrəsini tapın.
Bizə məlum olan kəmiyyətləri n-ci hədisin düsturunda əvəz edirik:
a n = 12 + (n-1) 3
İlk baxışdan burada iki naməlum kəmiyyət var: a n və n. Amma a n- bu nömrə ilə irəliləyişin bəzi üzvüdür n...Və biz irəliləyişin bu üzvünü tanıyırıq! 99-dur. Biz onun nömrəsini bilmirik. n, Beləliklə, bu nömrəni tapmaq lazımdır. 99 irəliləyişinin müddətini düsturla əvəz edirik:
99 = 12 + (n-1) 3
Düsturdan ifadə edirik n, düşünürük. Cavabı alırıq: n=30.
İndi eyni mövzuda bir problem, lakin daha yaradıcı):
117 rəqəminin arifmetik irəliləyişin (a n) üzvü olub-olmadığını müəyyən edin:
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Düsturu yenidən yazaq. Nə, heç bir parametr yoxdur? Hm... Bizə nə üçün gözlər verilir?) Proqresiyanın birinci dövrünü görürük? Biz görürük. Bu -3.6. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz: a 1 = -3,6. Fərq d Serialdan deyə bilərsiniz? Arifmetik irəliləyişin fərqinin nə olduğunu bilsəniz, asan olar:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Beləliklə, ən sadə şeyi etdik. Naməlum nömrə ilə məşğul olmaq qalır n və anlaşılmaz rəqəm 117. Əvvəlki məsələdə ən azı məlum idi ki, irəliləyişin müddəti verilmişdir. Amma burada biz heç bilmirik... Nə etməli!? Yaxşı, necə olmaq, necə olmaq... Yaradıcı qabiliyyətlərinizi işə salın!)
Biz güman edək ki, 117, nəhayət, bizim irəliləyişimizin üzvüdür. Naməlum nömrə ilə n. Və əvvəlki problemdə olduğu kimi, gəlin bu nömrəni tapmağa çalışaq. Bunlar. düsturu yazırıq (bəli, bəli!)) və nömrələrimizi əvəz edirik:
117 = -3,6 + (n-1) 1,2
Yenə düsturdan ifadə edirikn, sayırıq və alırıq:
Vay! Nömrə çıxdı fraksiya! Yüz bir yarım. Proqressiyalardakı kəsr ədədləri baş vermir. Nə nəticə çıxara bilərik? Bəli! Nömrə 117 deyil inkişafımızın üzvü. Bu, yüz birinci və yüz ikinci şərtlər arasında bir yerdədir. Əgər rəqəm təbii çıxsa, yəni. müsbət tam ədəddirsə, o zaman ədəd tapılan ədədlə irəliləyişin üzvü olacaqdır. Və bizim vəziyyətimizdə problemin cavabı belə olacaq: yox.
GIA-nın real versiyasına əsaslanan tapşırıq:
Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir:
a n = -4 + 6.8n
Proqresiyanın birinci və onuncu hədlərini tapın.
Burada irəliləyiş qeyri-adi şəkildə qurulur. Bir növ düstur... Belə olur.) Ancaq bu düstur (yuxarıda yazdığım kimi) - həm də arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur! O da icazə verir Proqresiyanın istənilən üzvünü sayına görə tapın.
İlk üzvü axtarırıq. Düşünən. birinci hədisin mənfi dörd olması ölümcül səhvdir!) Çünki məsələdəki düstur dəyişdirilib. Ondakı arifmetik irəliləyişin birinci həddi gizli. Yaxşı, indi tapacağıq.)
Əvvəlki problemlərdə olduğu kimi, biz əvəz edirik n=1 bu düsturla:
a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8
Budur! Birinci termin -4 deyil, 2.8-dir!
Onuncu termini eyni şəkildə axtarırıq:
a 10 = -4 + 6,8 10 = 64
bu qədər.
İndi bu sətirləri oxuyanlar üçün vəd edilmiş bonus.)
Tutaq ki, Dövlət İmtahanının və ya Vahid Dövlət İmtahanının çətin döyüş vəziyyətində siz arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün faydalı düsturu unutmusunuz. Nəyisə xatırlayıram, amma nədənsə qeyri-müəyyən bir şəkildə... Ya da n orada və ya n+1 və ya n-1... Necə olmaq!?
Sakit ol! Bu formula asanlıqla əldə edilir. Çox ciddi deyil, inam üçün və düzgün qərar mütləq kifayətdir!) Nəticə çıxarmaq üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını xatırlamaq və bir neçə dəqiqə vaxt ayırmaq kifayətdir. Sadəcə bir şəkil çəkmək lazımdır. Aydınlıq üçün.
Nömrə xətti çəkin və üzərində birincini qeyd edin. ikinci, üçüncü və s. üzvləri. Və fərqi qeyd edirik düzvlər arasında. Bu kimi:
Şəkilə baxıb düşünürük: ikinci termin nəyə bərabərdir? İkinci bir d:
a 2 =a 1 + 1 d
Üçüncü müddət nədir? üçüncü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir iki d.
a 3 =a 1 + 2 d
başa düşürsən? Bəzi sözləri qalın hərflərlə vurğulamağım əbəs yerə deyil. Yaxşı, daha bir addım).
Dördüncü müddət nədir? Dördüncüsü müddət birinci müddətli plusa bərabərdir üç d.
a 4 =a 1 + 3 d
Anlamaq vaxtıdır ki, boşluqların sayı, yəni. d, Həmişə axtardığınız üzvün sayından bir az n. Yəni nömrəyə n, boşluqların sayı olacaq n-1. Beləliklə, düstur belə olacaq (dəyişikliklər olmadan!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Ümumiyyətlə, vizual şəkillər riyaziyyatda bir çox məsələlərin həllində çox kömək edir. Şəkillərə laqeyd yanaşmayın. Ancaq şəkil çəkmək çətindirsə, onda... yalnız bir düstur!) Bundan əlavə, n-ci müddətin düsturu riyaziyyatın bütün güclü arsenalını həllə - tənliklərə, bərabərsizliklərə, sistemlərə və s. Siz tənliyə şəkil daxil edə bilməzsiniz...
Müstəqil həll üçün tapşırıqlar.
İstiləşmə üçün:
1. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. 3 tapın.
İpucu: şəklə görə problem 20 saniyəyə həll oluna bilər... Formula görə daha çətin çıxır. Amma düsturun mənimsənilməsi üçün daha faydalıdır.) 555-ci bölmədə bu məsələ həm şəkildən, həm də düsturdan istifadə etməklə həll edilir. Fərqi hiss edin!)
Və bu artıq istiləşmə deyil.)
2. Arifmetik irəliləyişdə (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. 3-ü tapın.
Nə, şəkil çəkmək istəmirsən?) Əlbəttə! Formula görə daha yaxşıdır, bəli...
3. Arifmetik irəliləyiş şərtlə verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu irəliləyişin yüz iyirmi beşinci həddini tapın.
Bu tapşırıqda gedişat təkrarlanan şəkildə müəyyən edilir. Amma yüz iyirmi beşinci həddi hesablasaq... Hər kəs belə bir şücaətə qadir deyil.) Amma n-ci hədisin düsturu hər kəsin ixtiyarındadır!
4. Arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir:
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Proqresiyanın ən kiçik müsbət üzvünün sayını tapın.
5. 4-cü tapşırığın şərtlərinə uyğun olaraq irəliləyişin ən kiçik müsbət və ən böyük mənfi şərtlərinin cəmini tapın.
6. Artan arifmetik proqresiyanın beşinci və on ikinci hədlərinin hasili -2,5-ə, üçüncü və on birinci hədlərin cəmi isə sıfıra bərabərdir. 14 tapın.
Ən asan iş deyil, bəli...) Burada “barmaq ucu” üsulu işləməyəcək. Düsturlar yazmalı və tənlikləri həll etməli olacaqsınız.
Cavablar (qarışıq):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Bu işlədi? gözəldir!)
Hər şey alınmır? baş verir. Yeri gəlmişkən, sonuncu tapşırıqda bir incə məqam var. Problemi oxuyarkən diqqətli olmaq tələb olunacaq. Və məntiq.
Bütün bu problemlərin həlli 555-ci bölmədə ətraflı müzakirə olunur. Dördüncü üçün fantaziya elementi, altıncı üçün isə incə nöqtə və n-ci hədd düsturunu əhatə edən hər hansı bir problemin həlli üçün ümumi yanaşmalar - hər şey təsvir edilmişdir. Mən bunu tövsiyə edirəm.
Bu saytı bəyənirsinizsə...
Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)
Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)
Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.
Giriş səviyyəsi
Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)
Nömrə ardıcıllığı
Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:
Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:
Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Bizim vəziyyətimizdə:
Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Məsələn:
və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.
Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.
Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:
a)
b)
c)
d)
Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.
Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.
1. Metod
Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:
Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi bərabərdir.
2. Metod
Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:
Məsələn, bu arifmetik irəliləyişin ci həddinin qiymətinin nədən ibarət olduğunu görək:
Başqa sözlə:
Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.
Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:
Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni nömrəni aldınız.
Gəlin bu düsturu “şəxsiləşdirməyə” çalışaq - gəlin onu ümumi formada qoyaq və əldə edək:
|
Arifmetik irəliləyiş tənliyi. |
Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.
Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:
O vaxtdan bəri:
Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.
Nəticələri müqayisə edək:
Arifmetik irəliləyiş xassəsi
Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:
Qoy, ah, onda:
Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə, necə? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə etməklə bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.
Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:
- irəliləyişin əvvəlki müddəti:
- irəliləyişin növbəti müddəti:
Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:
Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.
Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.
Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, “riyaziyyatçıların kralı” Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...
Carl Gauss 9 yaşında olanda, digər siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı tapşırığı soruşdu: "Bütün natural ədədlərin cəmini (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla hesablayın." Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...
Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?
Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə daha yaxından baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.
Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir
İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəminin düsturu belə olacaq:
Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?
Əla! İndi Karl Qaussa verilən məsələyə qayıdaq: incidən başlayan ədədlərin cəminin və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəminin nəyə bərabər olduğunu özünüz hesablayın.
Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?
Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturunu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant sübut etmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir.
Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.
Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?
Bu halda irəliləyiş belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).
Metod 1.
Metod 2.
İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik irəliləyişin n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:
Təlim
Tapşırıqlar:
- Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə çömbəlmə etdisə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
- İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
- Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?
Cavablar:
- Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
(həftələr = günlər).Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.
- İlk tək nömrə, son nömrə.
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin ci həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.
- Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
Verilənləri düsturla əvəz edək:Cavab: Hörgüdə loglar var.
Gəlin ümumiləşdirək
- - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
- Düsturun tapılması Arifmetik irəliləyişin ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
- Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
- Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:
, qiymətlərin sayı haradadır.
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ
Nömrə ardıcıllığı
Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.
Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.
Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.
Nömrəsi olan nömrə ardıcıllığın ci üzvü adlanır.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula
ardıcıllığı təyin edir:
Və düstur aşağıdakı ardıcıllıqdır:
Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci üzv bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).
n-ci müddətli düstur
Biz düsturu təkrarlayan adlandırırıq, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:
Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:
Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?
Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:
İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:
Özünüz üçün qərar verin:
Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.
Həlli:
Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:
(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).
Beləliklə, formula:
Onda yüzüncü hədd bərabərdir:
Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?
Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,
Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:
Misal:
Bütün ikirəqəmli çarpanların cəmini tapın.
Həlli:
İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.
Bu irəliləyiş üçün 3-cü terminin düsturu:
Hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?
Çox asan: .
Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:
Cavab: .
İndi özünüz qərar verin:
- İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gün km m qaçıbsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçacaq?
- Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
- Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.
Cavablar:
- Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişin tanınması və onun parametrlərinin müəyyən edilməsidir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
.
Cavab: - Burada verilir: , tapılmalıdır.
Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
.
Dəyərləri əvəz edin:Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
(km).
Cavab: - Verildi: . Tapın: .
Daha sadə ola bilməzdi:
(rub).
Cavab:
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.
Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.
Məsələn:
Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur
düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.
Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi
Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi
Məbləği tapmaq üçün iki yol var:
Dəyərlərin sayı haradadır.
Dəyərlərin sayı haradadır.