GirişArifmetik irəliləyişdə d düsturu. Arifmetik irəliləyiş
Arifmetik irəliləyişlə bağlı problemlər hələ qədim zamanlarda mövcud idi. Praktiki ehtiyacları olduğu üçün ortaya çıxıb həllini tələb etdilər.
Belə ki, Qədim Misirin papiruslarından birində olan riyazi məzmun, - Rhind papirusunda (e.ə. 19-cu əsr) - belə bir tapşırıq var: on ölçü çörəyi on nəfər arasında bölüşdürün, bu şərtlə ki, onların hər biri arasındakı fərq ölçünün səkkizdə biri olsun."
Qədim yunanların riyazi əsərlərində isə arifmetik irəliləyişlə bağlı nəfis teoremlər var. Beləliklə, İsgəndəriyyə Hypsicles (2-ci əsr, bir çox maraqlı məsələləri tərtib edən və on dördüncü kitabı Evklidin elementlərinə əlavə etdi) fikrini belə ifadə etdi: “Çift sayda hədləri olan arifmetik proqresiyada II yarının üzvlərinin cəmi. üzvlərinin sayının 1/2 kvadratında 1-ci şərtlərin cəmindən böyükdür."
Ardıcıllıq bir ilə işarələnir. Ardıcıllığın nömrələri onun üzvləri adlanır və adətən göstəriciləri olan hərflərlə işarələnir seriya nömrəsi bu üzv (a1, a2, a3 ... oxuyur: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” və s.).
Ardıcıllıq sonsuz və ya sonlu ola bilər.
Bu nədir arifmetik irəliləyiş? Bununla biz irəliləyişin fərqi olan eyni d ədədi ilə əvvəlki (n) həddi əlavə etməklə əldə ediləni nəzərdə tuturuq.
Əgər d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, onda belə bir irəliləyiş artan hesab olunur.
Arifmetik irəliləyiş onun yalnız ilk bir neçə üzvü nəzərə alınarsa, sonlu adlanır. Çox böyük miqdardaüzvlər artıq sonsuz bir irəliləyişdir.
İstənilən arifmetik irəliləyiş aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
an =kn+b, b və k bəzi ədədlərdir.
Əks müddəa tamamilə doğrudur: əgər ardıcıllıq oxşar düsturla verilirsə, deməli bu, aşağıdakı xüsusiyyətlərə malik olan arifmetik irəliləyişdir:
- Proqresiyanın hər bir termini əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdır.
- Əksinə: əgər 2-cidən başlayaraq hər bir termin əvvəlki və sonrakı terminin arifmetik ortasıdırsa, yəni. şərt yerinə yetirilərsə, bu ardıcıllıq arifmetik irəliləyişdir. Bu bərabərlik həm də irəliləyiş əlamətidir, ona görə də onu adətən irəliləyişin xarakterik xüsusiyyəti adlandırırlar.
Eyni şəkildə, bu xassəni əks etdirən teorem doğrudur: ardıcıllıq yalnız o halda arifmetik irəliləyişdir ki, bu bərabərlik 2-cidən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı şərti üçün doğru olsun.
Arifmetik irəliləyişin hər hansı dörd ədədi üçün xarakterik xassəni an + am = ak + al düsturu ilə ifadə etmək olar, əgər n + m = k + l (m, n, k irəliləmə ədədləridir).
Arifmetik irəliləyişdə istənilən zəruri (N-ci) termini aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə tapmaq olar:
Məsələn: arifmetik irəliləyişdə birinci hədd (a1) verilir və üçə bərabərdir, fərq (d) isə dördə bərabərdir. Bu irəliləyişin qırx beşinci şərtini tapmaq lazımdır. a45 = 1+4(45-1)=177
an = ak + d(n - k) düsturu müəyyən etməyə imkan verir n-ci dövr onun k-ci hədlərindən hər hansı biri vasitəsilə arifmetik irəliləyiş, bu şərtlə ki, məlum olsun.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi (sonlu irəliləyişin ilk n üzvü nəzərdə tutulur) hesablanır. aşağıdakı kimi:
Sn = (a1+an) n/2.
1-ci müddət də məlumdursa, hesablama üçün başqa bir düstur əlverişlidir:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
N hədddən ibarət arifmetik irəliləyişin cəmi aşağıdakı kimi hesablanır:
Hesablamalar üçün düsturların seçimi problemlərin şərtlərindən və ilkin məlumatlardan asılıdır.
İstənilən ədədlərin təbii sıraları, məsələn, 1,2,3,...,n,...- ən sadə misal arifmetik irəliləyiş.
Arifmetik irəliləyişlə yanaşı, öz xassələri və xüsusiyyətləri olan həndəsi irəliləyiş də var.
Arifmetik irəliləyişin cəmi.
Arifmetik irəliləyişin cəmi sadə bir şeydir. Həm mənada, həm də formulda. Ancaq bu mövzuda hər cür tapşırıq var. Əsasdan olduqca möhkəmə qədər.
Əvvəlcə məbləğin mənasını və formulunu anlayaq. Və sonra qərar verəcəyik. Öz zövqünüz üçün.) Məbləğin mənası bir moo kimi sadədir. Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq üçün onun bütün şərtlərini diqqətlə əlavə etmək kifayətdir. Bu şərtlər azdırsa, heç bir düstur olmadan əlavə edə bilərsiniz. Amma çox olsa, ya çoxsa... əlavə etmək bezdiricidir.) Bu zaman düstur köməyə gəlir.
Məbləğin düsturu sadədir:
Düstura hansı hərflərin daxil olduğunu anlayaq. Bu, çox şeyi aydınlaşdıracaq.
S n - arifmetik irəliləyişin cəmi. Əlavə nəticə hamıüzvləri, ilə birinci By sonuncu. Bu vacibdir. Onlar dəqiq əlavə edirlər Hamısıüzvlər ard-arda, atlamadan və ya atlamadan. Və, daha doğrusu, başlayaraq birinci.Üçüncü və səkkizinci hədlərin cəmini və ya beşinci və iyirminci şərtlərin cəmini tapmaq kimi problemlərdə düsturun birbaşa tətbiqi məyus olacaq.)
a 1 - birinci irəliləyişin üzvü. Burada hər şey aydındır, sadədir birinci sıra nömrəsi.
a n- axırıncı irəliləyişin üzvü. Serialın son nömrəsi. Çox tanış bir ad deyil, amma məbləğə tətbiq edildikdə, çox uyğun gəlir. Sonra özünüz görəcəksiniz.
n - sonuncu üzvün sayı. Formulada bu rəqəmin olduğunu başa düşmək vacibdir əlavə edilən terminlərin sayı ilə üst-üstə düşür.
Konsepsiyanı müəyyən edək sonuncuüzv a n. Çətin sual: hansı üzv olacaq sonuncu verilirsə sonsuz arifmetik irəliləyiş?)
Etibarlı cavab vermək üçün arifmetik irəliləyişin elementar mənasını başa düşməlisiniz və... tapşırığı diqqətlə oxuyun!)
Arifmetik irəliləyişin cəmini tapmaq tapşırığında həmişə sonuncu termin görünür (birbaşa və ya dolayısı ilə), hansı ki, məhdudlaşdırılmalıdır.Əks halda, son, konkret məbləğ sadəcə mövcud deyil. Həll üçün irəliləyişin verilməsinin əhəmiyyəti yoxdur: sonlu və ya sonsuz. Necə verildiyinin əhəmiyyəti yoxdur: bir sıra nömrələr və ya n-ci hədd üçün düstur.
Ən əsası, düsturun irəliləyişin ilk terminindən nömrə ilə terminə qədər işlədiyini başa düşməkdir n.Əslində, formulun tam adı belə görünür: arifmetik proqresiyanın ilk n üzvünün cəmi. Bu ilk üzvlərin sayı, yəni. n, yalnız vəzifə ilə müəyyən edilir. Tapşırıqda bütün bu dəyərli məlumatlar tez-tez şifrələnir, bəli... Amma ağlınıza gəlmir ki, aşağıdakı nümunələrdə biz bu sirləri açırıq.)
Arifmetik proqresiyanın cəminə dair tapşırıqların nümunələri.
Hər şeydən əvvəl, faydalı məlumat:
Arifmetik irəliləyişin cəmini ehtiva edən tapşırıqlarda əsas çətinlik düsturun elementlərinin düzgün müəyyən edilməsindədir.
Tapşırıq müəllifləri məhz bu elementləri hədsiz təxəyyüllə şifrələyirlər.) Burada əsas odur ki, qorxma. Elementlərin mahiyyətini başa düşmək üçün onları sadəcə deşifrə etmək kifayətdir. Bir neçə nümunəyə ətraflı nəzər salaq. Həqiqi GİA-ya əsaslanan bir vəzifə ilə başlayaq.
1. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a n = 2n-3,5. Onun ilk 10 üzvünün cəmini tapın.
Yaxşı iş. Asan.) Düsturdan istifadə edərək məbləği müəyyən etmək üçün nəyi bilməliyik? İlk üzv a 1, son dövr a n, bəli, sonuncu üzvün nömrəsi n.
Son üzvün nömrəsini haradan əldə edə bilərəm? n? Bəli, orada, şərtlə! Orada deyilir: cəmini tapın ilk 10 üzv. Yaxşı, hansı nömrə ilə olacaq? sonuncu, onuncu üzv?) İnanmayacaqsınız, onun sayı onuncudur!) Buna görə də əvəzinə a n Formula əvəz edəcəyik a 10, və əvəzinə n- on. Yenə deyirəm, sonuncu üzvün sayı üzvlərin sayı ilə üst-üstə düşür.
Müəyyən etmək qalır a 1 Və a 10. Bu, problemin ifadəsində verilmiş n-ci hədd üçün düsturdan istifadə etməklə asanlıqla hesablanır. Bunu necə edəcəyinizi bilmirsiniz? Əvvəlki dərsdə iştirak edin, onsuz heç bir yol yoxdur.
a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
a 10=2·10 - 3,5 =16,5
S n = S 10.
Arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturun bütün elementlərinin mənasını tapdıq. Onları əvəz etmək və saymaq qalır:
bu qədər. Cavab: 75.
GIA-ya əsaslanan başqa bir vəzifə. Bir az daha mürəkkəb:
2. Fərqi 3,7 olan arifmetik irəliləyiş (a n) verilmişdir; a 1 =2.3. Onun ilk 15 üzvünün cəmini tapın.
Dərhal cəmi düsturunu yazırıq:
Bu düstur istənilən terminin qiymətini onun nömrəsinə görə tapmağa imkan verir. Sadə bir əvəz axtarırıq:
a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1
Bütün elementləri arifmetik irəliləyişin cəmi üçün düsturda əvəz etmək və cavabı hesablamaq qalır:
Cavab: 423.
Yeri gəlmişkən, əgər cəmi düsturun yerinə a n Biz sadəcə olaraq düsturu n-ci hədd üçün əvəz edirik və əldə edirik:
Oxşarlarını təqdim edək və arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi üçün yeni düstur alaq:
 |
Gördüyünüz kimi burada n-ci hədd tələb olunmur a n. Bəzi məsələlərdə bu düstur çox kömək edir, bəli... Bu düsturu xatırlaya bilərsiniz. Və ya sadəcə burada olduğu kimi lazımi vaxtda onu geri götürə bilərsiniz. Axı, siz həmişə cəm üçün düstur və n-ci hədd üçün düstur yadda saxlamalısınız.)
İndi qısa şifrələmə şəklində tapşırıq):
3. Bütün müsbətlərin cəmini tapın ikirəqəmli ədədlər, üçün qatları.
Vay! Nə ilk üzvünüz, nə sonuncunuz, nə də irəliləməniz... Necə yaşamaq olar!?
Başınızla düşünməli və şərtdən arifmetik irəliləyişin cəminin bütün elementlərini çıxarmalı olacaqsınız. İkirəqəmli ədədlərin nə olduğunu bilirik. Onlar iki ədəddən ibarətdir.) İkirəqəmli ədəd nə olacaq birinci? 10, ehtimal ki.) A sonuncu ikirəqəmli rəqəm? 99, əlbəttə! Üçrəqəmli olanlar onun ardınca gələcək...
Üçə çarpanlar... Hm... Bunlar üçə bölünən ədədlərdir, burada! On üçə bölünmür, 11 bölünmür... 12... bölünür! Beləliklə, bir şey ortaya çıxır. Artıq problemin şərtlərinə uyğun olaraq bir sıra yaza bilərsiniz:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu seriya arifmetik irəliləyiş olacaqmı? Əlbəttə! Hər bir termin əvvəlkindən ciddi şəkildə üç ilə fərqlənir. Əgər terminə 2 və ya 4 əlavə etsəniz, deyin ki, nəticə, yəni. yeni ədəd artıq 3-ə bölünmür. Arifmetik irəliləyişin fərqini dərhal müəyyən edə bilərsiniz: d = 3. Faydalı olacaq!)
Beləliklə, bəzi irəliləyiş parametrlərini təhlükəsiz şəkildə yaza bilərik:
Nömrə nə olacaq? n son üzv? 99 hesab edən hər kəs ölümcül yanılır... Rəqəmlər həmişə ard-arda gedir, amma üzvlərimiz üçü tullanır. Onlar uyğun gəlmir.
Burada iki həll yolu var. Bir yol super çalışqanlar üçündür. Siz irəliləməni, bütün nömrələr seriyasını yaza və barmağınızla üzvlərin sayını hesablaya bilərsiniz.) İkinci yol düşüncəli insanlar üçündür. n-ci dövr üçün düsturu xatırlamaq lazımdır. Düsturu problemimizə tətbiq etsək, görərik ki, 99 irəliləyişin otuzuncu həddidir. Bunlar. n = 30.
Arifmetik irəliləyişin cəminin düsturuna baxaq:
Baxırıq və sevinirik.) Məbləği hesablamaq üçün lazım olan hər şeyi problem bəyanatından çıxardıq:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Yalnız elementar arifmetika qalır. Rəqəmləri düsturla əvəz edirik və hesablayırıq:
Cavab: 1665
Məşhur tapmacanın başqa bir növü:
4. Arifmetik irəliləyiş verilmişdir:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
İyirmidən otuz dördə qədər olan şərtlərin cəmini tapın.
Məbləğin düsturuna baxırıq və... əsəbləşirik.) Düstur, yadınıza salım, məbləği hesablayır. birincidənüzv. Və problemdə məbləği hesablamaq lazımdır iyirminci ildən... Formula işləməyəcək.
Siz, əlbəttə ki, bütün gedişatı silsilədə yaza və 20-dən 34-ə qədər şərtlər əlavə edə bilərsiniz.
Daha zərif bir həll var. Serialımızı iki hissəyə bölək. Birinci hissə olacaq birinci dövrdən on doqquzuncu dövrə qədər.İkinci hissə - iyirmidən otuz dördə qədər. Aydındır ki, birinci hissənin şərtlərinin cəmini hesablasaq S 1-19, ikinci hissənin şərtlərinin cəmi ilə əlavə edək S 20-34, birinci hissədən otuz dördüncüyə qədər irəliləyişin cəmini alırıq S 1-34. Bu kimi:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Buradan görə bilərik ki, cəmi tapır S 20-34 sadə çıxma ilə edilə bilər
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sağ tərəfdəki hər iki məbləğ nəzərə alınır birincidənüzvü, yəni. standart cəmi düsturu onlara kifayət qədər uyğundur. Başlayaq?
Problem ifadəsindən irəliləyiş parametrlərini çıxarırıq:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
İlk 19 və ilk 34 şərtin cəmini hesablamaq üçün bizə 19 və 34-cü hədlər lazımdır. Onları 2-ci məsələdə olduğu kimi n-ci müddətli düsturla hesablayırıq:
a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28
Heç nə qalmayıb. 34 şərtin cəmindən 19 şərtin cəmini çıxarın:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Cavab: 262.5
Bir vacib qeyd! Bu problemin həllində çox faydalı bir hiylə var. Birbaşa hesablama əvəzinə sizə nə lazımdır (S 20-34), saydıq lazımsız görünən bir şey - S 1-19. Və sonra qərar verdilər S 20-34, tam nəticədən lazımsızları atmaq. Bu cür “qulaqları ilə oynama” çox vaxt sizi pis problemlərdən xilas edir.)
Bu dərsdə arifmetik irəliləyişin cəminin mənasını başa düşmək üçün kifayət olan məsələlərə baxdıq. Yaxşı, bir neçə düstur bilməlisən.)
Arifmetik irəliləyişin cəmi ilə bağlı hər hansı bir problemi həll edərkən, bu mövzudan iki əsas formulun dərhal yazılmasını məsləhət görürəm.
n-ci dövr üçün düstur:
Bu düsturlar dərhal sizə problemi həll etmək üçün nə axtarmaq və hansı istiqamətdə düşünmək lazım olduğunu söyləyəcək. Kömək edir.
İndi müstəqil həll üçün vəzifələr.
5. Üçə bölünməyən bütün ikirəqəmli ədədlərin cəmini tapın.
Cool?) İşarə 4-cü məsələnin qeydində gizlənib. Yaxşı, problem 3 kömək edəcək.
6. Arifmetik irəliləmə şərtlə verilir: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Onun ilk 24 üzvünün cəmini tapın.
Qeyri-adi?) Bu təkrarlanan düsturdur. Bu barədə əvvəlki dərsdə oxuya bilərsiniz. Linkə laqeyd yanaşmayın, Dövlət Elmlər Akademiyasında belə problemlərə tez-tez rast gəlinir.
7. Vasya bayram üçün pul yığdı. 4550 rubla qədər! Və sevdiyim insana (özümə) bir neçə gün xoşbəxtlik bəxş etmək qərarına gəldim). Özünüzdən heç nəyi inkar etmədən gözəl yaşayın. İlk gündə 500 rubl xərcləyin və hər sonrakı gündə əvvəlkindən 50 rubl çox xərcləyin! Pul bitənə qədər. Vasyanın neçə gün xoşbəxtliyi var idi?
Çətindir?) 2-ci məsələdən əlavə düstur kömək edəcək.
Cavablar (dağınıq halda): 7, 3240, 6.
Bu saytı bəyənirsinizsə...
Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)
Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)
Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.
Giriş səviyyəsi
Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)
Nömrə ardıcıllığı
Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onların sayı istədiyiniz qədər ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:
Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:
Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Bizim vəziyyətimizdə: 
Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Məsələn: 
və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.
Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.
Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:
a)
b)
c)
d)
Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.
Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.
1. Metod
Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:
Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin ci həddi bərabərdir.
2. Metod
Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:
Məsələn, görək bu arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi nədən ibarətdir: 
Başqa sözlə:
Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.
Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:
Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni nömrəni aldınız.
Gəlin "depersonalizasiyaya" çalışaq bu formula- onu gətirək ümumi görünüş və alırıq:
|
Arifmetik irəliləyiş tənliyi. |
Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.
Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Məsələn:
Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:
O vaxtdan bəri:
Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.
Nəticələri müqayisə edək:
Arifmetik irəliləyiş xassəsi
Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:
Qoy, o zaman:
Tamamilə doğrudur. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə nə olar? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə edərək bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.
Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:
- irəliləyişin əvvəlki müddəti:
- irəliləyişin növbəti müddəti:
Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:
Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.
Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.
Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, “riyaziyyatçıların kralı” Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...
Karl Qauss 9 yaşında olanda başqa siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı problemi soruşdu: “Bütün siniflərin cəmini hesablayın. natural ədədlər-dən (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla.” Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...
Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?
Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə diqqətlə baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın. 
Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir
İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, ümumi cəmin bərabər olduğunu alırıq:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün düstur belə olacaq:
Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?
Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın ki, ci-dən başlayan ədədlərin cəmi nəyə bərabərdir və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəmi nəyə bərabərdir.
Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?
Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturunu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant sübut etmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, Qədim Misiri və o dövrün ən böyük tikinti layihəsini - piramidanın tikintisini təsəvvür edin... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir. 
Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın. 
Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?
Bu halda irəliləyiş belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).
Metod 1.
Metod 2.
İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik proqresiyanın n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:
Təlim
Tapşırıqlar:
- Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə çömbəlmə etdisə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
- İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
- Günlükləri saxlayarkən, loggerlər onları elə yığırlar ki, hər üst təbəqə əvvəlkindən bir log az olsun. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?
Cavablar:
- Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
(həftələr = günlər).Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.
- İlk tək nömrə, son nömrə.
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin üçüncü həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.
- Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
Verilənləri düsturla əvəz edək:Cavab: Hörgüdə loglar var.
Gəlin ümumiləşdirək
- - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
- Düsturun tapılması Arifmetik irəliləyişin ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
- Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
- Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:
, qiymətlərin sayı haradadır.
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ
Nömrə ardıcıllığı
Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Məsələn:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu, nömrə ardıcıllığının bir nümunəsidir.
Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.
Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.
Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın ci üzvü adlanır.
Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .
Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula
ardıcıllığı təyin edir:
Və formula aşağıdakı ardıcıllıqdır:
Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci üzv bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).
n-ci dövr düsturu
Biz düsturu təkrarlayan adlandırırıq, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:
Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:
Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?
Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı biri? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:
İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:
Özünüz üçün qərar verin:
Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.
Həlli:
Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:
(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).
Beləliklə, formula:
Onda yüzüncü hədd bərabərdir:
Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?
Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. Diqqət etdi ki, birinci və sonuncu ədədlərin cəmi bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkilərin cəmi eynidir, sondan üçüncü və üçüncü rəqəmlərin cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,
Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:
Misal:
Bütün ikirəqəmli çarpanların cəmini tapın.
Həlli:
İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.
Bu irəliləyiş üçün ci terminin düsturu:
Hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?
Çox asan: .
Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:
Cavab: .
İndi özünüz qərar verin:
- İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gün km m qaçıbsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçacaq?
- Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
- Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.
Cavablar:
- Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişi tanımaq və onun parametrlərini təyin etməkdir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
.
Cavab: - Burada verilir: , tapılmalıdır.
Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
.
Dəyərləri əvəz edin:Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
(km).
Cavab: - Verildi: . Tapın: .
Daha sadə ola bilməzdi:
(rub).
Cavab:
ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.
Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.
Məsələn:
Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur
düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.
Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi
Qonşu üzvləri məlumdursa, proqresiyanın üzvünü asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki rəqəmlərin sayı haradadır.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi
Məbləği tapmaq üçün iki yol var:
Dəyərlərin sayı haradadır.
Dəyərlərin sayı haradadır.
Orta məktəbdə (9-cu sinif) cəbri öyrənərkən mühüm mövzulardan biri də proqressiyaları - həndəsi və arifmetikləri özündə cəmləşdirən ədədi ardıcıllıqların öyrənilməsidir. Bu yazıda arifmetik irəliləyişlərə və həlləri olan nümunələrə baxacağıq.
Arifmetik irəliləyiş nədir?
Bunu başa düşmək üçün sözügedən irəliləyişi müəyyənləşdirmək, həmçinin problemlərin həllində sonradan istifadə olunacaq əsas düsturları təqdim etmək lazımdır.
Arifmetik və ya hər bir üzvü əvvəlkindən müəyyən sabit qiymətlə fərqlənən sıralı rasional ədədlər toplusudur. Bu dəyər fərq adlanır. Yəni, ardıcıl sıralanmış ədədlərin hər hansı üzvünü və fərqi bilməklə, bütün arifmetik irəliləyişi bərpa edə bilərsiniz.
Bir misal verək. Aşağıdakı nömrələr ardıcıllığı arifmetik irəliləyiş olacaq: 4, 8, 12, 16, ..., çünki bu vəziyyətdə fərq 4-dür (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakin 3, 5, 8, 12, 17 ədədləri artıq nəzərdən keçirilən irəliləyiş növünə aid edilə bilməz, çünki onun üçün fərq sabit dəyər deyil (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).
Vacib düsturlar
İndi arifmetik irəliləyişdən istifadə edərək məsələləri həll etmək üçün lazım olacaq əsas düsturları təqdim edək. Ardıcıllığın n-ci üzvünü a n simvolu ilə işarə edək, burada n tam ədəddir. Biz fərqi qeyd edirik Latın hərfi d. Sonra aşağıdakı ifadələr etibarlıdır:
- n-ci həddinin qiymətini təyin etmək üçün aşağıdakı düstur uyğundur: a n = (n-1)*d+a 1 .
- İlk n üzvün cəmini təyin etmək üçün: S n = (a n +a 1)*n/2.
9-cu sinifdə həlli ilə arifmetik irəliləyişin hər hansı bir nümunəsini başa düşmək üçün bu iki düsturu xatırlamaq kifayətdir, çünki baxılan növdəki hər hansı bir problem onların istifadəsinə əsaslanır. Həm də yadda saxlamalısınız ki, irəliləyiş fərqi düsturla müəyyən edilir: d = a n - a n-1.
Nümunə 1: naməlum terminin tapılması
Arifmetik proqressiyanın sadə nümunəsini və onun həlli üçün istifadə edilməli olan düsturları verək.
10, 8, 6, 4, ... ardıcıllığı verilsin, onda beş şərt tapmaq lazımdır.
Problemin şərtlərindən belə çıxır ki, ilk 4 şərt məlumdur. Beşinci iki şəkildə müəyyən edilə bilər:
- Əvvəlcə fərqi hesablayaq. Bizdə: d = 8 - 10 = -2. Eynilə, bir-birinin yanında duran hər hansı digər iki üzvü götürə bilərsiniz. Məsələn, d = 4 - 6 = -2. Məlum olduğu üçün d = a n - a n-1, onda d = a 5 - a 4, ondan alırıq: a 5 = a 4 + d. Gəlin əvəz edək məlum dəyərlər: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- İkinci üsul da sözügedən irəliləyişin fərqini bilmək tələb edir, ona görə də əvvəlcə onu yuxarıda göstərildiyi kimi müəyyən etməlisiniz (d = -2). Birinci terminin a 1 = 10 olduğunu bilərək, ardıcıllığın n nömrəsi üçün düsturdan istifadə edirik. Bizdə: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Son ifadədə n = 5-i əvəz edərək, alarıq: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Gördüyünüz kimi, hər iki həll yolu eyni nəticəyə gətirib çıxardı. Qeyd edək ki, bu nümunədə irəliləyiş fərqi d mənfi qiymətdir. Bu cür ardıcıllıqlar azalan adlanır, çünki hər növbəti termin əvvəlkindən azdır.
Nümunə №2: irəliləyiş fərqi
İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək, arifmetik irəliləyişin fərqinin tapılmasına misal verək.
Məlumdur ki, bəzi cəbri proqresiyada 1-ci həd 6-ya, 7-ci həd isə 18-ə bərabərdir.Fərqi tapmaq və bu ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək lazımdır.
Naməlum termini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edək: a n = (n - 1) * d + a 1 . Şərtdən məlum olan məlumatları, yəni a 1 və a 7 rəqəmlərini ona əvəz edək: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadədən asanlıqla fərqi hesablaya bilərsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsinə cavab verdik.
Ardıcıllığı 7-ci həddə bərpa etmək üçün cəbri irəliləmənin tərifindən istifadə etməlisiniz, yəni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d və s. Nəticədə, biz bütün ardıcıllığı bərpa edirik: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.
Misal № 3: irəliləyişin tərtib edilməsi
Gəlin bunu daha da mürəkkəbləşdirək daha güclü vəziyyət tapşırıqlar. İndi arifmetik irəliləyişin necə tapılacağı sualına cavab verməliyik. Aşağıdakı misal göstərmək olar: iki ədəd verilir, məsələn - 4 və 5. Cəbri irəliləyiş yaratmaq lazımdır ki, bunların arasında daha üç həd yerləşsin.
Bu problemi həll etməyə başlamazdan əvvəl, verilən nömrələrin gələcək inkişafda hansı yeri tutacağını başa düşməlisiniz. Onların arasında daha üç termin olacağı üçün a 1 = -4 və 5 = 5 olacaq. Bunu müəyyən etdikdən sonra əvvəlkinə bənzəyən məsələyə keçirik. Yenə n-ci müddət üçün düsturdan istifadə edirik, alırıq: a 5 = a 1 + 4 * d. Kimdən: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Burada əldə etdiyimiz fərqin tam dəyəri deyil, rasional ədəddir, ona görə də cəbri irəliləyiş üçün düsturlar eyni qalır.
İndi tapılan fərqi 1-ə əlavə edək və irəliləyişin çatışmayan şərtlərini bərpa edək. Alırıq: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, üst-üstə düşür problemin şərtləri ilə.
Nümunə № 4: irəliləyişin birinci müddəti
Həllləri ilə arifmetik irəliləyiş nümunələri verməyə davam edək. Əvvəlki bütün məsələlərdə cəbri irəliləyişin ilk nömrəsi məlum idi. İndi fərqli tipli məsələni nəzərdən keçirək: iki ədəd verilsin, burada a 15 = 50 və a 43 = 37. Bu ardıcıllığın hansı rəqəmlə başladığını tapmaq lazımdır.
İndiyə qədər istifadə olunan düsturlar 1 və d haqqında bilikləri nəzərdə tutur. Problem bəyanatında bu nömrələr haqqında heç nə məlum deyil. Buna baxmayaraq, məlumatın mövcud olduğu hər bir termin üçün ifadələr yazacağıq: a 15 = a 1 + 14 * d və a 43 = a 1 + 42 * d. 2 naməlum kəmiyyətin (a 1 və d) olduğu iki tənlik aldıq. Bu o deməkdir ki, problem xətti tənliklər sisteminin həllinə endirilir.
Bu sistemi həll etməyin ən asan yolu hər tənlikdə 1 ifadə etmək və sonra ortaya çıxan ifadələri müqayisə etməkdir. Birinci tənlik: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci tənlik: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadələri bərabərləşdirərək alırıq: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, buradan fərq d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnız 3 onluq yer verilir).
d-ni bilməklə, 1 üçün yuxarıdakı 2 ifadədən hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, birinci: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, onu yoxlaya bilərsiniz, məsələn, şərtdə göstərilən irəliləyişin 43-cü müddətini təyin edin. Alırıq: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Kiçik xəta hesablamalarda mində yuvarlaqlaşdırmadan istifadə edilməsi ilə bağlıdır.
Nümunə № 5: məbləğ
İndi arifmetik irəliləyişin cəminin həlli ilə bir neçə nümunəyə baxaq.
Aşağıdakı formada ədədi irəliləyiş verilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu ədədlərin 100-nün cəmini necə hesablamaq olar?
Kompüter texnologiyasının inkişafı sayəsində bu problemi həll etmək, yəni bütün rəqəmləri ardıcıl olaraq əlavə etmək mümkündür, insan Enter düyməsini basan kimi kompüter bunu edəcəkdir. Lakin təqdim olunan ədədlər silsiləsi cəbri proqressiya olduğuna və fərqinin 1-ə bərabər olduğuna diqqət yetirsəniz, problemi əqli şəkildə həll etmək olar. Cəmi üçün düstur tətbiq edərək, əldə edirik: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Maraqlıdır ki, bu problemin “Qauss” adlandırılması ona görədir ki, XVIII əsrin əvvəllərində hələ cəmi 10 yaşı olan məşhur alman onu bir neçə saniyə ərzində beynində həll edə bilmişdi. Oğlan cəbri irəliləyişin cəminin düsturunu bilmirdi, amma fərq etdi ki, ardıcıllığın sonundakı ədədləri cüt-cüt əlavə etsəniz, həmişə eyni nəticəni alırsınız, yəni 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... və bu məbləğlər tam olaraq 50 (100 / 2) olacağından, düzgün cavabı almaq üçün 50-ni 101-ə vurmaq kifayətdir.
Nümunə № 6: n-dən m-ə qədər olan şərtlərin cəmi
Arifmetik irəliləyişin cəminin başqa tipik nümunəsi aşağıdakılardır: bir sıra ədədlər verildikdə: 3, 7, 11, 15, ..., onun 8-dən 14-ə qədər olan şərtlərinin cəminin nəyə bərabər olacağını tapmaq lazımdır. .
Problem iki yolla həll olunur. Bunlardan birincisi 8-dən 14-ə qədər naməlum şərtləri tapmağı və sonra onları ardıcıl olaraq cəmləməyi əhatə edir. Termin az olduğu üçün bu üsul kifayət qədər əmək tələb etmir. Buna baxmayaraq, bu problemi daha universal olan ikinci üsuldan istifadə etməklə həll etmək təklif olunur.
İdeya m və n şərtləri arasında cəbri irəliləyişin cəmi üçün düstur əldə etməkdir, burada n > m tam ədədlərdir. Hər iki halda cəmi üçün iki ifadə yazırıq:
- S m = m * (a m + a 1) / 2.
- S n = n * (a n + a 1) / 2.
n > m olduğundan aydın olur ki, 2-ci cəm birincini ehtiva edir. Son nəticə o deməkdir ki, bu cəmlər arasındakı fərqi götürsək və ona a m termini əlavə etsək (fərq alındıqda S n cəmindən çıxılır) məsələyə lazımi cavabı alacağıq. Bizdə: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadədə n və m üçün düsturları əvəz etmək lazımdır. Sonra əldə edirik: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Əldə edilən düstur bir qədər çətin olur, lakin S mn cəmi yalnız n, m, a 1 və d-dən asılıdır. Bizim vəziyyətimizdə a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu ədədləri əvəz edərək, alarıq: S mn = 301.
Yuxarıdakı həllərdən göründüyü kimi, bütün məsələlər n-ci həd üçün ifadə və birinci hədlər çoxluğunun cəminin düsturu haqqında biliklərə əsaslanır. Bu problemlərdən hər hansı birini həll etməyə başlamazdan əvvəl şərti diqqətlə oxumaq, nə tapmaq lazım olduğunu aydın şəkildə başa düşmək və yalnız bundan sonra həllinə davam etmək tövsiyə olunur.
Başqa bir ipucu sadəliyə çalışmaqdır, yəni mürəkkəb riyazi hesablamalardan istifadə etmədən suala cavab verə bilsəniz, bunu etməlisiniz, çünki bu vəziyyətdə səhv etmək ehtimalı daha azdır. Məsələn, 6 nömrəli həlli olan arifmetik irəliləyiş nümunəsində S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m düsturunda dayanmaq olar və fasilə ümumi vəzifə ayrı-ayrı alt tapşırıqlara (bu halda əvvəlcə a n və a m terminlərini tapın).
Əldə edilən nəticə ilə bağlı şübhəniz varsa, verilmiş nümunələrdən bəzilərində edildiyi kimi onu yoxlamaq tövsiyə olunur. Arifmetik irəliləyişin necə tapılacağını öyrəndik. Bunu başa düşsəniz, o qədər də çətin deyil.
Bəzi insanlar “tərəqqi” sözünə ehtiyatla yanaşır, ali riyaziyyatın budaqlarından çox mürəkkəb bir termindir. Bu vaxt, ən sadə arifmetik irəliləyiş taksi sayğacının işidir (onların hələ də mövcud olduğu yerdə). Bir neçə elementar anlayışı təhlil edərək arifmetik ardıcıllığın mahiyyətini (və riyaziyyatda “mahiyyəti əldə etməkdən” vacib heç nə yoxdur) başa düşmək o qədər də çətin deyil.
Riyazi ədədlər ardıcıllığı
Ədədi ardıcıllığa adətən hər birinin öz nömrəsi olan nömrələr seriyası deyilir.
a 1 ardıcıllığın ilk üzvüdür;
və 2 ardıcıllığın ikinci şərtidir;
və 7 ardıcıllığın yeddinci üzvüdür;
n isə ardıcıllığın n-ci üzvüdür;
Bununla belə, heç bir ixtiyari rəqəmlər və rəqəmlər dəsti bizi maraqlandırmır. Diqqətimizi n-ci həddinin qiymətinin onun sıra nömrəsi ilə riyazi şəkildə aydın şəkildə ifadə oluna bilən əlaqə ilə əlaqəli olduğu ədədi ardıcıllığa yönəldəcəyik. Başqa sözlə: n-ci ədədin ədədi qiyməti n-in hansısa funksiyasıdır.
a ədədi ardıcıllığın üzvünün qiymətidir;
n onun seriya nömrəsidir;
f(n) funksiyadır, burada n ədədi ardıcıllıqdakı sıra nömrəsi arqumentdir.
Tərif
Arifmetik irəliləyiş adətən hər bir sonrakı terminin əvvəlkindən eyni sayda böyük (kiçik) olduğu ədədi ardıcıllıq adlanır. Arifmetik ardıcıllığın n-ci həddi üçün düstur aşağıdakı kimidir:
a n - arifmetik irəliləyişin cari üzvünün qiyməti;
a n+1 - növbəti ədədin düsturu;
d - fərq (müəyyən sayda).
Müəyyən etmək asandır ki, fərq müsbət olarsa (d>0), onda nəzərdən keçirilən silsilənin hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən böyük olacaq və belə arifmetik irəliləyiş artacaq.
Aşağıdakı qrafikdə nömrə ardıcıllığının niyə “artan” adlandırıldığını görmək asandır.
Fərqin mənfi olduğu hallarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Müəyyən edilmiş üzv dəyəri
Bəzən arifmetik irəliləyişin hər hansı ixtiyari a n-nin qiymətini təyin etmək lazımdır. Bu, birincidən istədiyinizə qədər arifmetik irəliləyişin bütün üzvlərinin dəyərlərini ardıcıl olaraq hesablamaqla edilə bilər. Lakin, məsələn, beş minlik və ya səkkiz milyonuncu terminin dəyərini tapmaq lazımdırsa, bu yol həmişə məqbul deyil. Ənənəvi hesablamalar çox vaxt aparacaq. Bununla belə, müəyyən arifmetik irəliləyiş müəyyən düsturlardan istifadə etməklə öyrənilə bilər. n-ci həd üçün də bir düstur var: arifmetik irəliləyişin hər hansı bir üzvünün qiyməti, irəliləyişin fərqi ilə irəliləyişin birinci həddinin cəmi kimi müəyyən edilə bilər, istədiyiniz hədd sayına vurulur, azalır. bir.
Formula irəliləyişin artması və azalması üçün universaldır.
Verilmiş bir terminin dəyərinin hesablanması nümunəsi
Arifmetik proqresiyanın n-ci üzvünün qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı məsələni həll edək.
Şərt: parametrləri olan arifmetik irəliləyiş var:
Ardıcıllığın birinci həddi 3-dür;
Nömrələr seriyasındakı fərq 1,2-dir.
Tapşırıq: 214 şərtin qiymətini tapmaq lazımdır
Həlli: verilmiş terminin dəyərini müəyyən etmək üçün düsturdan istifadə edirik:
a(n) = a1 + d(n-1)
Problem ifadəsindəki məlumatları ifadəyə əvəz edərək, əldə edirik:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Cavab: Ardıcıllığın 214-cü həddi 258,6-ya bərabərdir.
Bu hesablama metodunun üstünlükləri göz qabağındadır - bütün həll 2 sətirdən çox deyil.
Verilmiş sayda terminlərin cəmi
Çox vaxt müəyyən bir arifmetik seriyada onun bəzi seqmentlərinin qiymətlərinin cəmini müəyyən etmək lazımdır. Bunu etmək üçün hər bir terminin dəyərlərini hesablamağa və sonra onları əlavə etməyə ehtiyac yoxdur. Bu üsul, cəmi tapılmalı olan terminlərin sayı az olduqda tətbiq edilir. Digər hallarda aşağıdakı düsturdan istifadə etmək daha rahatdır.
1-dən n-ə qədər olan arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəmi birinci və n-ci hədlərin cəminə bərabərdir, n həddinin sayına vurulur və ikiyə bölünür. Düsturda n-ci həddin qiyməti məqalənin əvvəlki abzasındakı ifadə ilə əvəz edilərsə, alırıq:
Hesablama nümunəsi
Məsələn, aşağıdakı şərtlərlə problemi həll edək:
Ardıcıllığın birinci üzvü sıfırdır;
Fərq 0,5-dir.
Problem 56-dan 101-ə qədər seriyanın şərtlərinin cəminin müəyyən edilməsini tələb edir.
Həll. Proqresiyanın miqdarını təyin etmək üçün düsturdan istifadə edək:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Əvvəlcə problemimizin verilmiş şərtlərini düsturla əvəz etməklə irəliləyişin 101 şərtlərinin qiymətlərinin cəmini təyin edirik:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
Aydındır ki, 56-dan 101-ə qədər irəliləyişin şərtlərinin cəmini tapmaq üçün S 101-dən S 55-i çıxarmaq lazımdır.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Beləliklə, bu nümunə üçün arifmetik irəliləyişin cəmi:
s 101 - s 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
Arifmetik proqresiyanın praktik tətbiqi nümunəsi
Məqalənin sonunda birinci abzasda verilən arifmetik ardıcıllığın nümunəsinə qayıdaq - taksimetrə (taksi avtomobili sayğacı). Bu misalı nəzərdən keçirək.
Taksiyə minmək (buraya 3 km səyahət daxildir) 50 rubla başa gəlir. Hər bir sonrakı kilometr 22 rubl/km dərəcəsi ilə ödənilir. Səyahət məsafəsi 30 km-dir. Gəzintinin qiymətini hesablayın.
1. Qiyməti eniş qiymətinə daxil olan ilk 3 km-i ataq.
30 - 3 = 27 km.
2. Sonrakı hesablama arifmetik ədədlər seriyasını təhlil etməkdən başqa bir şey deyil.
Üzv sayı - səyahət edilmiş kilometrlərin sayı (mənfi ilk üç).
Üzvün dəyəri cəmidir.
Bu problemdə ilk müddət 1 = 50 rubla bərabər olacaqdır.
Tərəqqi fərqi d = 22 r.
bizi maraqlandıran rəqəm arifmetik proqresiyanın (27+1)-ci həddinin qiymətidir - 27-ci kilometrin sonunda sayğacın göstəricisi 27,999... = 28 km-dir.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Özbaşına uzun müddət üçün təqvim məlumatlarının hesablamaları müəyyən ədədi ardıcıllıqları təsvir edən düsturlara əsaslanır. Astronomiyada orbitin uzunluğu həndəsi cəhətdən göy cisminin ulduza olan məsafəsindən asılıdır. Bundan əlavə, müxtəlif ədəd seriyaları statistikada və riyaziyyatın digər tətbiqi sahələrində uğurla istifadə olunur.
Say ardıcıllığının başqa bir növü həndəsidir
Həndəsi irəliləyiş arifmetik irəliləyişlə müqayisədə daha çox dəyişmə sürəti ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi deyil ki, siyasətdə, sosiologiyada, tibbdə konkret hadisənin, məsələn, xəstəliyin epidemiya zamanı yüksək yayılma sürətini göstərmək üçün prosesin həndəsi irəliləyişlə inkişaf etdiyini tez-tez deyirlər.
Həndəsi ədədlər seriyasının N-ci həddi əvvəlkindən onunla fərqlənir ki, o, hansısa sabit ədədə vurulur - məxrəc, məsələn, birinci hədd 1, məxrəc müvafiq olaraq 2-yə bərabərdir, onda:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - həndəsi proqresiyanın cari müddətinin qiyməti;
b n+1 - həndəsi proqresiyanın növbəti həddinin düsturu;
q həndəsi proqresiyanın məxrəcidir (sabit ədəd).
Arifmetik irəliləyişin qrafiki düz xəttdirsə, həndəsi irəliləyiş bir qədər fərqli bir şəkil çəkir:
Arifmetikada olduğu kimi, həndəsi irəliləyişdə də ixtiyari bir müddətin qiyməti üçün bir düstur var. Həndəsi irəliləyişin hər hansı n-ci həddi birinci hədisin hasilinə və n-in gücünə bir azalmış irəliləyişin məxrəcinə bərabərdir:
Misal. Birinci həddi 3-ə, məxrəci isə 1,5-ə bərabər olan həndəsi irəliləyişimiz var. Proqresiyanın 5-ci həddini tapaq
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Verilmiş sayda terminlərin cəmi də xüsusi düsturla hesablanır. Həndəsi proqresiyanın ilk n hədlərinin cəmi, irəliləyişin n-ci həddi ilə onun məxrəci ilə irəliləyişin birinci həddi arasındakı fərqin bir azalmış məxrəcə bölünməsinə bərabərdir:
Əgər b n yuxarıda müzakirə olunan düsturla əvəz edilərsə, nəzərdən keçirilən ədəd seriyasının ilk n şərtlərinin cəminin qiyməti aşağıdakı formanı alacaq:
Misal. Həndəsi irəliləyiş 1-ə bərabər olan birinci həddlə başlayır. Məxrəc 3-ə qoyulur. İlk səkkiz üzvün cəmini tapaq.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280