Fraktal nə deməkdir? "Fraktal" sözü nə deməkdir?

Ağacın, dənizin sahilinin, buludun və ya əlimizdəki qan damarlarının ortaq nələri var? İlk baxışdan elə görünə bilər ki, bütün bu obyektlərin ortaq heç nəsi yoxdur. Bununla belə, əslində sadalanan bütün obyektlərə xas olan strukturun bir xüsusiyyəti var: onlar öz-özünə oxşardırlar. Bir budaqdan, bir ağac gövdəsindən olduğu kimi, daha kiçik tumurcuqlar uzanır, onlardan daha kiçiklər və s., yəni budaq bütün ağaca bənzəyir. Bənzər bir şəkildə təşkil edilir qan dövranı sistemi: arteriollar arteriyalardan ayrılır və onlardan - oksigen orqan və toxumalara daxil olan ən kiçik kapilyarlardır. Dəniz sahilinin peyk şəkillərinə baxaq: körfəzlər və yarımadalar görəcəyik; Gəlin buna baxaq, amma quş baxışı ilə: körfəzlər və burunlar görəcəyik; İndi təsəvvür edək ki, biz sahildə dayanıb ayaqlarımıza baxırıq: həmişə suya qalanlardan daha çox çıxan çınqıllar olacaq. Yəni, sahil zolağı böyüdüldükdə özünə oxşayır. Amerikalı (Fransada böyüdüyünə baxmayaraq) riyaziyyatçı Benoit Mandelbrot cisimlərin bu xüsusiyyətini fraktallıq, belə obyektlərin özünü isə fraktallar (latın fractusundan - qırıq) adlandırdı.

Bu anlayışın ciddi tərifi yoxdur. Ona görə də “fraktal” sözü riyazi termin deyil. Tipik olaraq, fraktal aşağıdakı xüsusiyyətlərdən birini və ya bir neçəsini təmin edən həndəsi fiqurdur: Hər hansı bir miqyas artımında mürəkkəb bir quruluşa malikdir (məsələn, düz xəttdən fərqli olaraq, hər hansı bir hissəsi ən sadə həndəsi fiqurdur - seqment) . (təxminən) özünə bənzəyir. O, topoloji ölçüdən daha böyük olan fraksiya Hausdorff (fraktal) ölçüsünə malikdir. Rekursiv prosedurlardan istifadə etməklə qurula bilər.

Həndəsə və cəbr

19-20-ci əsrlərin əvvəllərində fraktalların tədqiqi sistematikdən daha epizodik idi, çünki əvvəllər riyaziyyatçılar əsasən “yaxşı” obyektləri tədqiq edirdilər. ümumi üsullar və nəzəriyyələr. 1872-ci ildə alman riyaziyyatçısı Karl Weierstrass heç bir yerdə diferensiallana bilməyən davamlı funksiya nümunəsi qurdu. Lakin onun konstruksiyası tamamilə mücərrəd və başa düşülməsi çətin idi. Buna görə də, 1904-cü ildə isveçli Helge von Koch, heç bir yerdə tangensi olmayan və çəkmək olduqca asan olan davamlı bir əyri ilə gəldi. Məlum oldu ki, o, fraktal xüsusiyyətlərə malikdir. Bu əyrinin bir variantı “Koch qar dənəciyi” adlanır.

Fiqurların öz-özünə oxşarlığı ideyası Benoit Mandelbrotun gələcək müəllimi fransız Paul Pierre Levy tərəfindən götürüldü. 1938-ci ildə onun başqa bir fraktal - Levy C əyrisini təsvir edən "Müstəvi və fəza əyriləri və bütövə bənzər hissələrdən ibarət səthlər" məqaləsi nəşr olundu. Yuxarıda sadalanan bu fraktalların hamısını şərti olaraq konstruktiv (həndəsi) fraktalların bir sinfi kimi təsnif etmək olar.

Başqa bir sinif Mandelbrot dəstini ehtiva edən dinamik (cəbri) fraktallardır. Bu istiqamətdə ilk tədqiqatlar 20-ci əsrin əvvəllərində başlamış və fransız riyaziyyatçıları Qaston Julia və Pierre Fatounun adları ilə bağlıdır. 1918-ci ildə Julia, Mandelbrot dəsti ilə yaxından əlaqəli olan fraktalların bütün ailəsi olan Julia dəstlərini təsvir edən mürəkkəb rasional funksiyaların təkrarlanması haqqında demək olar ki, iki yüz səhifəlik bir xatirə nəşr etdi. Bu əsər Fransa Akademiyası tərəfindən mükafata layiq görüldü, lakin orada bir illüstrasiya yox idi, ona görə də açıq obyektlərin gözəlliyini qiymətləndirmək mümkün deyildi. Bu əsər Culianı o dövrün riyaziyyatçıları arasında məşhurlaşdırsa da, tez unudulub. Yalnız yarım əsr sonra kompüterlərin meydana çıxması ilə diqqət yenidən ona yönəldi: fraktallar dünyasının zənginliyini və gözəlliyini görünən onlar oldu.

Fraktal ölçülər

Məlum olduğu kimi, həndəsi fiqurun ölçüsü (ölçülərinin sayı) bu fiqurun üzərində uzanan nöqtənin mövqeyini müəyyən etmək üçün lazım olan koordinatların sayıdır.
Məsələn, əyri üzərindəki nöqtənin mövqeyi bir koordinatla, səthdə (müstəvi olması şərt deyil) iki koordinatla, üçölçülü fəzada isə üç koordinatla müəyyən edilir.
Daha ümumi riyazi nöqteyi-nəzərdən, ölçüsü belə müəyyən etmək olar: bir ölçülü (topoloji baxımdan) obyektlər (seqment) üçün xətti ölçülərin, məsələn, iki dəfə artması ölçüdə (uzunluqda) iki dəfə artım, iki ölçülü (kvadrat) üçün xətti ölçülərdə eyni artım ölçüsün (sahənin) 4 dəfə artmasına səbəb olur, üç ölçülü (kub) üçün - 8 dəfə. Yəni, “real” (hausdorff adlanan) ölçüsü obyektin “ölçüsü”nün artımının loqarifminin onun xətti ölçüsünün artmasının loqarifminə nisbəti kimi hesablana bilər. Yəni, seqment üçün D=log (2)/log (2)=1, müstəvi üçün D=log (4)/log (2)=2, həcm üçün D=log (8)/log (2) )=3.
İndi Koch əyrisinin ölçüsünü hesablayaq, hansı vahid seqmentin üç bərabər hissəyə bölündüyü və orta intervalın bu seqmenti olmayan bərabərtərəfli üçbucaqla əvəz olunduğu qurmaq üçün. Minimum seqmentin xətti ölçüləri üç dəfə artdıqda, Koch əyrisinin uzunluğu log (4)/log (3) ~ 1.26 ilə artır. Yəni, Koch əyrisinin ölçüsü fraksiyadır!

Elm və incəsənət

1982-ci ildə Mandelbrotun "Təbiətin fraktal həndəsəsi" kitabı nəşr olundu, burada müəllif o dövrdə mövcud olan fraktallar haqqında demək olar ki, bütün məlumatları topladı və sistemləşdirdi və asan və əlçatan bir şəkildə təqdim etdi. Mandelbrot təqdimatında əsas vurğunu ağır düsturlara və riyazi konstruksiyalara deyil, oxucuların həndəsi intuisiyasına yönəltdi. Kompüterdən istifadə edərək əldə edilən illüstrasiyalar və müəllifin monoqrafiyanın elmi komponentini məharətlə seyreltdiyi tarixi hekayələr sayəsində kitab bestseller oldu və fraktallar geniş ictimaiyyətə məlum oldu. Onların qeyri-riyaziyyatçılar arasında uğurları daha çox onunla bağlıdır ki, hətta orta məktəb şagirdinin də anlaya biləcəyi çox sadə konstruksiyalar və düsturların köməyi ilə heyrətamiz mürəkkəblik və gözəllik təsvirləri alınır. Nə vaxt fərdi kompüterlər kifayət qədər güclü oldu, hətta sənətdə bütöv bir istiqamət meydana çıxdı - fraktal rəsm və demək olar ki, hər hansı bir kompüter sahibi bunu edə bilərdi. İndi İnternetdə bu mövzuya həsr olunmuş bir çox saytı asanlıqla tapa bilərsiniz.

Kox əyrisinin alınması sxemi

Müharibə və Sülh

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, fraktal xüsusiyyətlərə malik təbii obyektlərdən biri də sahil xəttidir. Bununla, daha doğrusu, uzunluğunu ölçmək cəhdi ilə əlaqəli bir şey var. maraqlı hekayə Mandelbrotun elmi məqaləsinin əsasını təşkil edən və onun “Təbiətin fraktal həndəsəsi” kitabında da təsvir edilmişdir. Söhbət çox istedadlı və ekssentrik riyaziyyatçı, fizik və meteoroloq Lyuis Riçardsonun apardığı təcrübədən gedir. Onun tədqiqat istiqamətlərindən biri iki ölkə arasında silahlı münaqişənin səbəbləri və ehtimalının riyazi təsvirini tapmaq cəhdi olub. Onun nəzərə aldığı parametrlər arasında iki döyüşən ölkənin ümumi sərhədinin uzunluğu da var idi. Rəqəmsal təcrübələr üçün məlumat toplayanda, İspaniya və Portuqaliyanın ümumi sərhədi haqqında məlumatların müxtəlif mənbələrdən çox fərqli olduğunu kəşf etdi. Bu, onu aşağıdakı kəşfə sövq etdi: bir ölkənin sərhədlərinin uzunluğu onları ölçdüyümüz hökmdardan asılıdır. Ölçüsü nə qədər kiçik olsa, sərhəd bir o qədər uzundur. Bunun səbəbi, daha çox böyütməklə, ölçmələrin qabalığına görə əvvəllər nəzərə alınmayan sahilin getdikcə daha çox yeni döngələrini nəzərə almaq mümkün olur. Əgər miqyasda hər artımla əvvəllər nəzərə alınmamış xətlərin əyilmələri aşkar edilərsə, sərhədlərin uzunluğunun sonsuz olduğu ortaya çıxır! Doğrudur, bu, əslində baş vermir - ölçmələrimizin düzgünlüyünün sonlu həddi var. Bu paradoksa Riçardson effekti deyilir.

Konstruktiv (həndəsi) fraktallar

Ümumi halda konstruktiv fraktalın qurulması alqoritmi aşağıdakı kimidir. İlk növbədə, bizə iki uyğun həndəsi forma lazımdır, gəlin onları əsas və fraqment adlandıraq. Birinci mərhələdə gələcək fraktalın əsası təsvir edilmişdir. Sonra onun bəzi hissələri uyğun miqyasda götürülmüş bir fraqmentlə əvəz olunur - bu tikintinin ilk iterasiyasıdır. Sonra alınan rəqəm yenidən bəzi hissələri fraqmentə bənzər fiqurlara dəyişdirir və s. Bu prosesi sonsuza qədər davam etdirsək, limitdə fraktal alacağıq.

Nümunə olaraq Koch əyrisindən istifadə edərək bu prosesə baxaq (əvvəlki səhifədəki yan panelə baxın). Koch əyrisi üçün əsas kimi istənilən əyri götürə bilərsiniz (“Koch qar dənəciyi” üçün bu üçbucaqdır). Ancaq biz özümüzü ən sadə halla - bir seqmentlə məhdudlaşdıracağıq. Fraqment şəkildə yuxarıda göstərilən qırıq xəttdir. Alqoritmin ilk təkrarlanmasından sonra, bu halda orijinal seqment fraqmentlə üst-üstə düşəcək, sonra onun hər bir tərkib seqmenti özü fraqmentə bənzər qırıq xətt ilə əvəz olunacaq və s. Şəkildə bunun ilk dörd addımı göstərilir. proses.

Riyaziyyat dili ilə: dinamik (cəbri) fraktallar

Bu tip fraktallar qeyri-xətti öyrənilərkən yaranır dinamik sistemlər(buna görə də adı). Belə bir sistemin davranışı mürəkkəb qeyri-xətti funksiya (polinom) f (z) ilə təsvir edilə bilər. Mürəkkəb müstəvidə bəzi ilkin z0 nöqtəsini götürək (yan panelə bax). İndi kompleks müstəvidə belə sonsuz ədədlər ardıcıllığını nəzərdən keçirək, onların hər biri əvvəlkindən alınır: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn). ). İlkin z0 nöqtəsindən asılı olaraq belə ardıcıllıq fərqli davrana bilər: n -> ∞ kimi sonsuzluğa meyllidir; bəzi son nöqtəyə yaxınlaşmaq; dövri olaraq bir sıra sabit dəyərlər götürmək; Daha mürəkkəb variantlar da mümkündür.

Kompleks ədədlər

Kompleks ədəd iki hissədən - həqiqi və xəyali, yəni formal cəmdən ibarət olan ədəddir x + iy (burada x və y həqiqi ədədlərdir). mən sözdəyəm xəyali vahid, yəni tənliyi təmin edən ədəd i^ 2 = -1. Əsas ədədlər kompleks ədədlər üzərində müəyyən edilir. riyazi əməliyyatlar— toplama, vurma, bölmə, çıxma (yalnız müqayisə əməliyyatı müəyyən edilməyib). Mürəkkəb ədədləri göstərmək üçün çox vaxt həndəsi təsvir istifadə olunur - müstəvidə (buna mürəkkəb deyilir) absis çəkilir. real hissə, və ordinat oxu boyunca - xəyali, bu halda kompleks ədəd Dekart koordinatları x və y olan bir nöqtəyə uyğun olacaq.

Beləliklə, mürəkkəb müstəvinin istənilən z nöqtəsi f (z) funksiyasının təkrarlanması zamanı öz davranışına malikdir və bütün müstəvi hissələrə bölünür. Üstəlik, bu hissələrin hüdudlarında yerləşən nöqtələr aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir: ixtiyari olaraq kiçik yerdəyişmə ilə davranışlarının xarakteri kəskin şəkildə dəyişir (belə nöqtələrə bifurkasiya nöqtələri deyilir). Beləliklə, məlum olur ki, müəyyən bir davranış növünə malik olan nöqtələr, eləcə də bifurkasiya nöqtələri dəstləri çox vaxt fraktal xüsusiyyətlərə malikdir. Bunlar f (z) funksiyası üçün Julia çoxluqlarıdır.

Dragon ailəsi

Baza və fraqmenti dəyişdirərək, heyrətamiz müxtəlif konstruktiv fraktallar əldə edə bilərsiniz.
Üstəlik, oxşar əməliyyatlar üçölçülü məkanda həyata keçirilə bilər. Həcmli fraktallara misal olaraq “Menger süngəri”, “Sierpinski piramidası” və s.
Əjdaha ailəsi də konstruktiv fraktal hesab olunur. Bəzən onları kəşf edənlərin adı ilə “Heavey-Harter əjdahaları” adlandırırlar (formalarına görə onlar Çin əjdahalarına bənzəyirlər). Bu əyrini qurmağın bir neçə yolu var. Onların ən sadəsi və ən vizualı budur: kifayət qədər uzun bir kağız zolağı götürməlisiniz (kağız nə qədər incə olsa, bir o qədər yaxşıdır) və onu yarıya bükün. Sonra ilk dəfə olduğu kimi eyni istiqamətdə yenidən yarıya bükün. Bir neçə təkrarlamadan sonra (adətən beş və ya altı qatdan sonra zolaq çox qalın olur ki, daha yumşaq bir şəkildə bükülə bilməyəcəksiniz), şeridi geri əymək və qıvrımlarda 90˚ bucaq yaratmağa çalışmaq lazımdır. Sonra profildə bir əjdahanın əyrisini alacaqsınız. Əlbəttə ki, bu, fraktal obyektləri təsvir etmək üçün etdiyimiz bütün cəhdlər kimi, yalnız təxmini olacaq. Kompüter bu prosesin daha bir çox addımlarını təsvir etməyə imkan verir və nəticədə çox gözəl bir fiqur yaranır.

Mandelbrot dəsti bir qədər fərqli şəkildə qurulmuşdur. fc (z) = z 2 +c funksiyasını nəzərdən keçirək, burada c kompleks ədəddir. Bu funksiyanın ardıcıllığını z0=0 ilə quraq c parametrindən asılı olaraq o, sonsuzluğa qədər uzaqlaşa və ya məhdud qala bilər; Üstəlik, bu ardıcıllığın məhdud olduğu c-nin bütün dəyərləri Mandelbrot dəstindən ibarətdir. Onu Mandelbrotun özü və digər riyaziyyatçılar təfərrüatı ilə tədqiq etmiş və bu çoxluğun bir çox maraqlı xüsusiyyətlərini kəşf etmişlər.

Julia və Mandelbrot dəstlərinin təriflərinin bir-birinə bənzədiyini görmək olar. Əslində, bu iki dəst bir-biri ilə sıx bağlıdır. Məhz, Mandelbrot dəsti, Julia dəsti fc (z) birləşdirildiyi kompleks c parametrinin bütün qiymətləridir (dəst bəzi əlavə şərtlərlə iki ayrı hissəyə bölünə bilmirsə, birləşdirilmiş adlanır).

Fraktallar və həyat

Hal-hazırda fraktallar nəzəriyyəsi insan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində geniş istifadə olunur. Tədqiqat üçün sırf elmi obyektə və artıq qeyd olunan fraktal rəsmə əlavə olaraq, fraktallar məlumat nəzəriyyəsində qrafik məlumatları sıxışdırmaq üçün istifadə olunur (burada fraktalların öz-özünə bənzərlik xüsusiyyətindən istifadə olunur - axırda kiçik bir fraqmenti xatırlamaq üçün). şəkil və qalan hissələri əldə edə biləcəyiniz dəyişikliklər, bütün faylı saxlamaqdan daha az yaddaş tələb edir). Fraktalı müəyyən edən düsturlara təsadüfi pozğunluqlar əlavə etməklə, bəzi real obyektləri - relyef elementlərini, su anbarlarının səthini, bəzi bitkiləri çox inandırıcı şəkildə çatdıran stoxastik fraktallar əldə edə bilərsiniz ki, bu da fizikada, coğrafiyada və kompüter qrafikasında uğurla istifadə olunur. simulyasiya edilmiş obyektlərin real ilə oxşarlığı. Radioelektronikada son onillikdə fraktal formalı antenalar istehsal olunmağa başladı. Az yer tutaraq yüksək keyfiyyətli siqnal qəbulunu təmin edirlər. İqtisadçılar valyuta dəyişmə əyrilərini təsvir etmək üçün fraktallardan istifadə edirlər (bu xüsusiyyət Mandelbrot tərəfindən 30 ildən çox əvvəl aşkar edilmişdir). Fraktalların heyrətamiz dərəcədə gözəl və müxtəlif dünyasına qısa ekskursiya bununla yekunlaşır.

Fraktalların bütün müxtəlifliyini təqdim etmək üçün onların ümumi qəbul edilmiş təsnifatına müraciət etmək rahatdır.

2.1 Həndəsi fraktallar

Bu sinfin fraktalları ən vizualdır. İki ölçülü halda, onlar bəzi qırıq xəttdən (və ya üçölçülü vəziyyətdə səthdən) istifadə etməklə əldə edilir. generator. Alqoritmin bir addımında polixətti təşkil edən seqmentlərin hər biri müvafiq miqyasda generator polixətti ilə əvəz olunur. Bu prosedurun sonsuz təkrarı nəticəsində həndəsi fraktal alınır.

Şəkil 1. Kox triadası əyrisinin qurulması.

Bu fraktal obyektlərdən birini - triadik Kox əyrisini nəzərdən keçirək. Döngənin qurulması vahid uzunluğun bir seqmentindən başlayır (şəkil 1) - bu, Koch əyrisinin 0-cı nəslidir. Sonra, hər bir keçid (sıfır nəsildə bir seqment) ilə əvəz olunur formalaşdıran element, Şəkil 1-də təyin edilmişdir n=1. Bu əvəzetmə nəticəsində Koch əyrisinin növbəti nəsli əldə edilir. 1-ci nəsildə bu, hər uzunluqda olan dörd düz keçiddən ibarət əyridir 1/3 . 3-cü nəsil əldə etmək üçün eyni hərəkətlər yerinə yetirilir - hər bir əlaqə azaldılmış formalaşdırma elementi ilə əvəz olunur. Beləliklə, hər bir sonrakı nəsli əldə etmək üçün əvvəlki nəslin bütün əlaqələri azaldılmış formalaşdırma elementi ilə əvəz edilməlidir. Əyri n-hər hansı sonlu üçün nəsil nçağırdı prefraktal. Şəkil 1 əyrinin beş nəslini göstərir. At n Kox əyrisi sonsuzluğa yaxınlaşdıqca fraktal obyektə çevrilir.

Şəkil 2. Harter-Haithway "əjdahasının" tikintisi.

Başqa bir fraktal obyekt əldə etmək üçün tikinti qaydalarını dəyişdirməlisiniz. Formalaşdırıcı element düz bucaq altında birləşdirilmiş iki bərabər seqment olsun. Sıfırıncı nəsildə bölmə seqmentini bu yaradan elementlə əvəz edirik ki, bucaq yuxarıda olsun. Belə bir dəyişdirmə ilə əlaqənin ortasının yerdəyişməsi olduğunu söyləyə bilərik. Sonrakı nəsilləri qurarkən qaydaya əməl olunur: soldakı ən birinci həlqə bir formalaşdırma elementi ilə əvəz olunur ki, əlaqənin ortası hərəkət istiqamətinin soluna sürüşsün və sonrakı əlaqələri əvəz edərkən, istiqamətlər. seqmentlərin ortalarının yerdəyişməsi alternativ olmalıdır. Şəkil 2 yuxarıda təsvir olunan prinsipə uyğun olaraq qurulmuş əyrinin ilk bir neçə nəslini və 11-ci nəsli göstərir. Fraktal əyrini məhdudlaşdırın (at n sonsuzluğa meyl edən) adlanır Harter-Haithway əjdahası .

Kompüter qrafikasında ağacların, kolların və sahil xətlərinin təsvirlərini əldə edərkən həndəsi fraktallardan istifadə etmək lazımdır. İki ölçülü həndəsi fraktallar üçölçülü fakturalar (obyektin səthindəki naxışlar) yaratmaq üçün istifadə olunur.

2.2 Cəbri fraktallar

Bu fraktalların ən böyük qrupudur. Onlar qeyri-xətti proseslərdən istifadə etməklə əldə edilir n-ölçülü boşluqlar. İki ölçülü proseslər ən çox öyrənilənlərdir. Qeyri-xətti iterativ prosesi diskret dinamik sistem kimi şərh edərkən bu sistemlərin nəzəriyyəsinin terminologiyasından istifadə etmək olar: faza portreti, sabit proses, cəlbedici və s.

Məlumdur ki, qeyri-xətti dinamik sistemlər bir neçə sabit vəziyyətə malikdir. Müəyyən sayda iterasiyadan sonra dinamik sistemin özünü tapdığı vəziyyət onun ilkin vəziyyətindən asılıdır. Buna görə də, hər bir sabit vəziyyətin (və ya necə deyərlər, atraktorun) müəyyən bir ilkin vəziyyətlər bölgəsi var ki, bu da sistem mütləq nəzərdən keçirilən son vəziyyətlərə düşəcəkdir. Beləliklə, sistemin faza məkanı bölünür cazibə sahələri cəlbedicilər. Əgər faza sahəsi iki ölçülüdürsə, cazibə sahələrini müxtəlif rənglərlə rəngləməklə əldə etmək olar rəng mərhələsi portreti bu sistem (iterativ proses). Rəng seçimi alqoritmini dəyişdirərək, qəribə çoxrəngli naxışlarla mürəkkəb fraktal naxışlar əldə edə bilərsiniz. Riyaziyyatçılar üçün sürpriz, primitiv alqoritmlərdən istifadə edərək çox mürəkkəb qeyri-trivial strukturlar yaratmaq bacarığı idi.

Şəkil 3. Mandelbrot dəsti.

Nümunə olaraq Mandelbrot dəstini nəzərdən keçirək (bax. Şəkil 3 və Şəkil 4). Onun qurulması alqoritmi olduqca sadədir və sadə iterativ ifadəyə əsaslanır:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

Harada Z mən və C- mürəkkəb dəyişənlər. Hər bir başlanğıc nöqtəsi üçün təkrarlamalar aparılır C düzbucaqlı və ya kvadrat bölgə - kompleks müstəvinin alt çoxluğu. İterativ proses ona qədər davam edir Z[i] mərkəzi (0,0) nöqtəsində olan radius 2 dairəsindən kənara çıxmayacaq, (bu o deməkdir ki, dinamik sistemin atraktoru sonsuzdur) və ya kifayət qədər çox sayda iterasiyadan sonra (məsələn, 200-500) Z[i] dairənin hansısa nöqtəsinə yaxınlaşacaq. Hansı müddət ərzində təkrarlamaların sayından asılı olaraq Z[i] dairənin içərisində qaldı, siz nöqtənin rəngini təyin edə bilərsiniz C(Əgər Z[i] kifayət qədər çox sayda təkrarlama üçün dairənin içərisində qalır, təkrarlama prosesi dayanır və bu rastr nöqtəsi qara rəngə boyanır).

Şəkil 4. Mandelbrot çoxluğunun sərhədinin 200 dəfə böyüdülmüş kəsimi.

Yuxarıdakı alqoritm Mandelbrot dəstinə yaxınlıq verir. Mandelbrot dəsti zamanı olan nöqtələri ehtiva edir sonsuz iterasiyaların sayı sonsuzluğa getmir (nöqtələr qaradır). Çoxluğun sərhədinə aid olan nöqtələr (burada mürəkkəb strukturlar) sonlu sayda təkrarlamada sonsuzluğa, çoxluqdan kənarda yerləşən nöqtələr isə bir neçə təkrarlamadan sonra sonsuzluğa gedir (ağ fon).

2.3 Stokastik fraktallar

Fraktalların digər tanınmış sinfi stoxastik fraktallardır ki, onlar iterativ prosesdə onun bəzi parametrləri təsadüfi dəyişdirildikdə əldə edilir. Bu halda, yaranan obyektlər təbii olanlara çox bənzəyir - asimmetrik ağaclar, sərt sahil xətləri və s. İki ölçülü stoxastik fraktallar relyef və dəniz səthinin modelləşdirilməsində istifadə olunur.

Fraktalların başqa təsnifatları da var, məsələn, fraktalları deterministik (cəbri və həndəsi) və qeyri-deterministik (stokastik) bölmək.

riyaziyyat,
düzgün baxsanız,
təkcə həqiqəti əks etdirmir,
həm də misilsiz gözəllik.
Bertrand Russell.

Siz, əlbəttə ki, fraktallar haqqında eşitmisiniz. Siz, şübhəsiz ki, Bryce3d-dən reallığın özündən daha real olan bu nəfəs kəsən şəkilləri görmüsünüz. Dağlar, buludlar, ağac qabığı - bütün bunlar adi Evklid həndəsəsindən kənara çıxır. Biz qayanı və ya adanın sərhədlərini düz xətlər, dairələr və üçbucaqlarla təsvir edə bilmərik. Və burada fraktallar köməyimizə gəlir. Bu tanış qəriblər nədir? Onlar nə vaxt meydana çıxdılar?

Görünüş tarixi.

Fraktal həndəsə haqqında ilk fikirlər 19-cu əsrdə yaranmışdır. Kantor sadə rekursiv (təkrarlanan) prosedurdan istifadə edərək xətti bir-birinə bağlı olmayan nöqtələr toplusuna çevirdi (sözdə Cantor Dust). O, bir xətt çəkər və mərkəzi üçdə birini çıxarar və sonra qalan hissələrlə eyni şeyi təkrar edərdi. Peano xüsusi bir növ xətt çəkdi (Şəkil №1). Onu çəkmək üçün Peano aşağıdakı alqoritmdən istifadə etmişdir.

İlk addımda o, düz bir xətt götürdü və onu orijinal xəttin uzunluğundan 3 dəfə qısa olan 9 seqmentlə əvəz etdi (Şəkil 1-in 1 və 2-ci hissələri). Sonra ortaya çıxan xəttin hər seqmenti ilə eyni şeyi etdi. Və s sonsuza qədər. Onun unikallığı bütün təyyarəni doldurmasıdır. Sübut edilmişdir ki, müstəvidə hər bir nöqtə üçün Peano xəttinə aid nöqtə tapmaq olar. Peanonun əyrisi və Kantorun tozu adi həndəsi obyektlərdən kənara çıxdı. Onların aydın bir ölçüsü yox idi. Kantorun tozu sanki bir ölçülü düz xətt əsasında qurulmuşdu, lakin nöqtələrdən ibarət idi (ölçü 0). Və Peano əyrisi bir ölçülü xətt əsasında quruldu və nəticədə bir müstəvi oldu. Elmin bir çox digər sahələrində həlli yuxarıda təsvir edilənlərə bənzər qəribə nəticələrə səbəb olan problemlər meydana çıxdı (Brownian hərəkəti, səhm qiymətləri).

Fraktalların atası

20-ci əsrə qədər belə qəribə obyektlər haqqında məlumatlar onları sistemləşdirməyə cəhd edilmədən toplanırdı. Bu, müasir fraktal həndəsənin və fraktal sözünün atası Benoit Mandelbrot onları qəbul edənə qədər idi. IBM-də riyazi analitik kimi çalışarkən o, statistika ilə təsvir edilə bilməyən elektron sxemlərdə səs-küyü öyrəndi. Tədricən faktları müqayisə edərək, riyaziyyatda yeni bir istiqamətin - fraktal həndəsənin kəşfinə gəldi.

Fraktal nədir? Mandelbrot özü fraktal sözünü ondan götürüb Latın sözü fractus, yəni qırılmış (hissələrə bölünmüş). Fraktalın təriflərindən biri hissələrdən ibarət olan və hissələrə bölünə bilən həndəsi fiqurdur, hər biri tamın daha kiçik bir nüsxəsini (ən azı təxminən) təmsil edəcəkdir.

Fraktalı daha aydın təsəvvür etmək üçün klassik hala gələn B. Mandelbrotun “Təbiətin fraktal həndəsəsi” kitabında verilmiş bir nümunəyə nəzər salaq – “Britaniya sahillərinin uzunluğu nə qədərdir?”. Bu sualın cavabı göründüyü qədər sadə deyil. Hamısı istifadə edəcəyimiz alətin uzunluğundan asılıdır. Bir kilometr hökmdarından istifadə edərək sahili ölçməklə bir qədər uzunluq əldə edəcəyik. Bununla belə, xəttimizdən xeyli kiçik olan bir çox kiçik körfəz və yarımadalar üçün darıxacağıq. Hökmdarın ölçüsünü, məsələn, 1 metrə endirməklə, landşaftın bu detallarını nəzərə alacağıq və buna uyğun olaraq sahilin uzunluğu daha da böyüyəcəkdir. Gəlin daha da gedək və bir millimetr hökmdarı istifadə edərək sahilin uzunluğunu ölçək, bir millimetrdən daha böyük olan detalları nəzərə alacağıq, uzunluq daha da böyük olacaqdır. Nəticədə, belə sadə görünən sualın cavabı hər kəsi çaşdıra bilər - Britaniya sahillərinin uzunluğu sonsuzdur.

Ölçülər haqqında bir az.

Onun içində gündəlik həyatölçülərlə daim qarşılaşırıq. Yolun uzunluğunu (250 m) hesablayırıq, mənzilin sahəsini (78 m2) tapırıq və stikerdə bir pivə şüşəsinin həcmini axtarırıq (0,33 dm3). Bu konsepsiya olduqca intuitivdir və görünür, aydınlaşdırma tələb etmir. Xəttin ölçüsü 1-dir. Bu o deməkdir ki, istinad nöqtəsini seçməklə biz bu xəttdə 1 ədəddən istifadə edərək istənilən nöqtəni təyin edə bilərik - müsbət və ya mənfi. Üstəlik, bu, bütün xətlərə aiddir - dairə, kvadrat, parabola və s.

Ölçü 2 o deməkdir ki, biz istənilən nöqtəni iki ədədlə unikal şəkildə təyin edə bilərik. Düşünməyin ki, iki ölçülü düz deməkdir. Sferanın səthi də iki ölçülüdür (iki dəyərdən istifadə etməklə müəyyən edilə bilər - en və uzunluq kimi bucaqlar).

Riyazi baxımdan ölçü ilə müəyyən edilir aşağıdakı kimi: bir ölçülü obyektlər üçün - onların xətti ölçüsünü iki dəfə artırmaq ölçüsün (bu halda uzunluğu) iki dəfə (2^1) artmasına səbəb olur.

İki ölçülü obyektlər üçün xətti ölçülərin ikiqat artırılması ölçüsün (məsələn, düzbucaqlının sahəsi) dörd dəfə (2^2) artması ilə nəticələnir.

3 ölçülü obyektlər üçün xətti ölçülərin ikiqat artırılması həcmin səkkiz dəfə artmasına (2^3) və s.

Beləliklə, D ölçüsünü S obyektinin “ölçüsü”nün artımının L xətti ölçülərinin artımından asılılığına əsasən hesablamaq olar. D=log(S)/log(L). D=log(2)/log(2)=1 sətri üçün. Müstəvi üçün D=log(4)/log(2)=2. Həcmi üçün D=log(8)/log(2)=3. Bir az çaşdırıcı ola bilər, amma ümumiyyətlə, mürəkkəb və başa düşülən deyil.

Bütün bunları niyə deyirəm? Fraktalları, məsələn, kolbasadan necə ayırmağı başa düşmək üçün. Peano əyrisinin ölçüsünü hesablamağa çalışaq. Beləliklə, X uzunluğunda üç seqmentdən ibarət orijinal xəttimiz var, üç dəfə qısa 9 seqmentlə əvəz edilmişdir. Beləliklə, minimum seqment 3 dəfə artdıqda bütün xəttin uzunluğu 9 dəfə artır və D=log(9)/log(3)=2 iki ölçülü obyektdir!!!

Beləliklə, bəzi sadə obyektlərdən (seqmentlərdən) alınan fiqurun ölçüsü bu obyektlərin ölçüsündən böyük olduqda, fraktalla məşğul oluruq.

Fraktallar qruplara bölünür. Ən böyük qruplar bunlardır:

Həndəsi fraktallar.

Fraktalların tarixi buradan başladı. Bu tip fraktal sadə üsulla əldə edilir həndəsi konstruksiyalar. Adətən, bu fraktalları qurarkən bunu edirlər: "toxum" - aksioma - fraktalın qurulacağı seqmentlər toplusunu götürürlər. Sonra, bu "toxum" üçün bir sıra qaydalar tətbiq olunur, bu da onu bir növ həndəsi fiqur halına gətirir. Sonra eyni qaydalar toplusu bu rəqəmin hər bir hissəsinə yenidən tətbiq olunur. Hər addımda rəqəm getdikcə daha mürəkkəbləşəcək və sonsuz sayda (ən azı zehnimizdə) çevrilmələr aparsaq, həndəsi fraktal alacağıq.

Yuxarıda müzakirə edilən Peano əyrisi həndəsi fraktaldır. Aşağıdakı şəkildə həndəsi fraktalların digər nümunələri göstərilir (soldan sağa Koxun Qar dənəciyi, Liszt, Sierpinski Üçbucağı).

Qar dənəciyi Koch

Vərəq

Sierpinski üçbucağı

Bu həndəsi fraktallardan birincisi, Koch qar dənəciyi çox maraqlı və kifayət qədər məşhurdur. O, bərabərtərəfli üçbucaq əsasında qurulub. Hər bir sətir ___ orijinalın 1/3 uzunluğunda 4 sətirlə əvəz olunur. Beləliklə, hər iterasiya ilə əyrinin uzunluğu üçdə bir artır. Və sonsuz sayda təkrarlamalar etsək, fraktal alacağıq - sonsuz uzunluqda Koch qar dənəciyi. Belə çıxır ki, bizim sonsuz əyrimiz məhdud bir ərazini əhatə edir. Evklid həndəsəsindən üsul və rəqəmlərdən istifadə edərək eyni şeyi etməyə çalışın.

Kox qar dənəciyinin ölçüsü (qar dənəciyi 3 dəfə böyüdükdə uzunluğu 4 dəfə artır) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Sözdə L-Sistemlər həndəsi fraktalların qurulması üçün çox uyğundur. Bu sistemlərin mahiyyəti ondan ibarətdir ki, hər biri müəyyən bir hərəkəti və simvolların çevrilməsi qaydaları toplusunu ifadə edən müəyyən bir sistem simvolları dəsti var. Məsələn, Fractint proqramında L-Systems istifadə edərək Koch qar dənəciyinin təsviri

; Adrian Mariano, Mandelbrot tərəfindən Təbiətin Fraktal Həndəsəsindən Koch1 ( ;fırlanma bucağını 360/6=60 dərəcə təyin edin Bucaq 6 ; Tikinti üçün ilkin rəsm Aksiom F--F--F ; Xarakterin çevrilməsi qaydası F=F+F--F+F )

IN bu təsvir Simvolların həndəsi mənaları aşağıdakılardır:

F bir xətt çəkmək deməkdir + saat yönünde dönmək - saat yönünün əksinə dönmək

Fraktalların ikinci xüsusiyyəti özünə bənzəməkdir. Məsələn, Sierpinski üçbucağını götürək. Onu qurmaq üçün bərabərtərəfli üçbucağın mərkəzindən üçbucağı “kəsdik”. Eyni proseduru əmələ gələn üç üçbucaq üçün (mərkəzi üçbucaq istisna olmaqla) təkrarlayaq və s. ad infinitum. İndi yaranan üçbucaqlardan hər hansı birini götürsək və onu böyütsək, alırıq dəqiq surəti bütün. Bu halda biz tam özünə bənzəyişlə məşğul oluruq.

Dərhal qeyd edim ki, bu məqalədəki fraktal təsvirlərin çoxu Fractint proqramından istifadə etməklə əldə edilmişdir. Fraktallarla maraqlanırsınızsa, bu sizin üçün mütləq olmalıdır. Onun köməyi ilə siz yüzlərlə müxtəlif fraktallar qura, onlar haqqında hərtərəfli məlumat əldə edə, hətta fraktalların necə səsləndiyini dinləyə bilərsiniz;).

Proqramın yaxşı olduğunu demək heç nə deməməkdir. O, əladır, bir şey istisna olmaqla - son versiya 20.0 yalnız DOS versiyasında mövcuddur:(. Bu proqramı (son versiya 20.0) http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html saytında tapa bilərsiniz.

Şərh buraxın

Şərhlər

Yaxşı, qəlyanaltı üçün maraqlı misal Microsoft Excel A2 və B2 xanaları 0 ilə 1 arasında eyni dəyərlərə malikdir. 0,5 dəyərinin heç bir təsiri yoxdur.

Fratal şəkil istifadə edərək proqram hazırlamağı bacaran hər kəsə salam. Kim mənə deyə bilər ki, 2800 mH gücündə bir daş üzərində 100.000 dt iterasiyası ilə 3D maks dayaqlı fraktal qıjıların təmizlənməsini qurmaq üçün hansı dövriyyə metodundan istifadə etməyim daha yaxşıdır?

Əjdaha əyrisini çəkmək üçün proqram olan mənbə kodu, həmçinin fraktal var.

Məqalə möhtəşəmdir. Və Excel çox güman ki, bir koprosessor xətasıdır (son aşağı səviyyəli rəqəmlərdə)