Onu sıfıra qaldırmaq mümkündürmü? Sıfır gücə yüksəltmək - müxtəlif dillərdə sıfır

Cavablar:

Adı yoxdur

a^x=e^x*ln(a) olduğunu nəzərə alsaq, onda belə çıxır ki, 0^0=1 (həddin, x->0 üçün)
baxmayaraq ki, “qeyri-müəyyənlik” cavabı da məqbuldur

Riyaziyyatda sıfır boşluq deyil, “heç nəyə” çox yaxın bir ədəddir, yalnız tərsinə sonsuzluq kimi

Yazın:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Belə çıxır ki, bu halda biz sıfıra bölünürük və həqiqi ədədlər sahəsində bu əməliyyat müəyyən edilməyib.

6 il əvvəl

RPI.su sual və cavabların ən böyük rusdilli məlumat bazasıdır. Layihəmiz 30 aprel 2015-ci ildə bağlanaraq silinən məşhur otvety.google.ru xidmətinin davamı olaraq həyata keçirilib. Biz faydalı Google Cavablar xidmətini yenidən canlandırmaq qərarına gəldik ki, hər kəs öz sualının cavabını İnternet ictimaiyyətindən açıq şəkildə öyrənə bilsin.

Google Cavablar saytına əlavə edilən bütün suallar burada kopyalanıb və saxlanılıb. Köhnə istifadəçi adları da əvvəllər mövcud olduğu kimi göstərilir. Sual vermək və ya başqalarına cavab vermək üçün sadəcə olaraq yenidən qeydiyyatdan keçməlisiniz.

SAYT HAQQINDA hər hansı bir sualınız (reklam, əməkdaşlıq, xidmət haqqında rəy) üçün bizimlə əlaqə saxlamaq üçün aşağıdakı ünvana yazın. [email protected]. Yalnız hər şey ümumi suallar veb saytında yerləşdirin, poçtla cavab almayacaqlar.

Sıfır gücünə qaldırılarsa, sıfır nəyə bərabər olacaq?

Niyə 0-ın gücündə olan ədəd 1-ə bərabərdir? Sıfırdan başqa hər hansı bir rəqəmin qaldırıldığı bir qayda var sıfır dərəcə, birinə bərabər olacaq: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Ancaq bu niyə belədir? Ədəd təbii göstəricisi olan qüvvəyə qaldırıldıqda, bu o deməkdir ki, o, eksponent qədər özünə vurulur: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Göstərici 1-ə bərabər olduqda, tikinti zamanı yalnız bir amil var (əgər biz ümumiyyətlə amillərdən danışa biləriksə) və buna görə də tikintinin nəticəsi bazaya bərabərdir dərəcə: 181 = 18; (–3.4)1 = –3.4 Bəs bu halda sıfır göstəricisi haqqında nə demək olar? Nə nəyə vurulur? Fərqli yolla getməyə çalışaq. Məlumdur ki, əgər iki dərəcə eyni əsaslar, lakin müxtəlif eksponentlər, onda baza eyni qala bilər və eksponentlər ya bir-birinə əlavə edilə bilər (əgər səlahiyyətlər vurularsa) və ya bölücünün eksponentini dividend göstəricisindən çıxarmaq olar (əgər səlahiyyətlər varsa). bölünür): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 İndi bu misalı nəzərdən keçirək: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? Eyni baza ilə dərəcələrin xüsusiyyətindən istifadə etməsək və onların göründüyü ardıcıllıqla hesablamalar aparmasaq nə olar: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Beləliklə, qiymətli vahidi əldə etdik. Beləliklə, sıfır göstəricisi ədədin özünə vurulduğunu deyil, özünə bölündüyünü göstərir. Və buradan aydın olur ki, 00 ifadəsinin niyə mənası yoxdur. Axı siz 0-a bölmək olmaz. Siz fərqli düşünə bilərsiniz. Əgər, məsələn, 52 × 50 = 52+0 = 52-nin qüdrətlərinin vurulması olarsa, onda 52-nin 1-ə vurulması nəticələnir. Deməli, 50 = 1.

Qüvvətlərin xassələrindən: a^n / a^m = a^(n-m) əgər n=m olarsa, təbii olaraq a=0 istisna olmaqla nəticə bir olacaq, bu halda (sıfır istənilən gücə sıfır olacağı üçün) bölünmə ilə sıfır olacaq, ona görə də 0^0 mövcud deyil

Müxtəlif dillərdə mühasibat uçotu

0-dan 9-a qədər olan rəqəmlərin adları məşhur dillər sülh.

Dil	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
İngilis dili	sıfır	bir	iki	üç	dörd	beş	altı	yeddi	səkkiz	doqquz
bolqar	sıfır	bir şey	iki	üç	dörd	ev heyvanı	dirək	hazırlaşırıq	baltalar	devet
macar	nulla	egy	kettõ	harom	négy	ot	papaq	het	nyolc	kilenc
holland	nul	een	tvit	qurutmaq	vier	vijf	zes	yeddi	acht	negen
danimarka	nul	az	üçün	tre	yanğın	fem	seks	syv	otte	ni
ispan dili	cero	uno	dos	tres	cuatro	cinco	seis	siete	ocho	nueve
italyan	sıfır	uno	görə	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	noyabr
litva	nullis	viena	du	çalışır	keturi	penki	ğeği	septyni	aðtuoni	devyni
alman	null	ein	zwei	drei	vier	fünf	sechs	sieben	acht	neun
rus	sıfır	bir	iki	üç	dörd	beş	altı	yeddi	səkkiz	doqquz
polyak	sıfır	jeden	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiem	dziewiêæ
portuqal	um	dois	três	qutro	cinco	seis	sete	oito	noyabr
fransız	sıfır	un	deux	trois	dörddəbir	cinq	altı	sentyabr	huit	neuf
çex	nula	jedna	dva	toi	etyøi	pit	¹est	sedm	osm	devit
isveçli	yox	və s	tva	tre	fyra	fem	seks	sju	atta	nio
eston	null	üks	kaks	kolm	neli	viis	kuus	seitse	kaheksa	üheksa

Ədədin mənfi və sıfır dərəcələri

Sıfır, mənfi və kəsr səlahiyyətləri

Sıfır göstərici

Verilmiş ədədi müəyyən bir gücə yüksəltmək, onu eksponentdə vahidlərin sayı qədər əmsalla təkrarlamaq deməkdir.

Bu tərifə görə ifadə: a 0 mənası yoxdur. Ancaq eyni ədədin səlahiyyətlərinin bölmə qaydasının, hətta bölənin göstəricisi dividend göstəricisinə bərabər olduqda belə bir məna kəsb etməsi üçün bir tərif təqdim edilmişdir:

İstənilən ədədin sıfır qüvvəsi birə bərabər olacaq.

Mənfi göstərici

İfadə a -m, özlüyündə heç bir mənası yoxdur. Ancaq eyni ədədin bölmə səlahiyyətlərinin qaydasının, hətta bölənin eksponenti dividend göstəricisindən böyük olduğu halda da məna kəsb etməsi üçün belə bir tərif təqdim edilmişdir:

Nümunə 1. Əgər verilmiş ədəd 5 yüzlük, 7 onluq, 2 vahid və 9 yüzlükdən ibarətdirsə, onu aşağıdakı kimi təsvir etmək olar:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572.09

Misal 2. Əgər verilmiş ədəd onluq, b vahidi, c onda və d mindən ibarətdirsə, onu aşağıdakı kimi göstərmək olar:

a× 10 1 + b× 10 0 + c× 10 -1 + d× 10 -3

Mənfi eksponentləri olan güclər üzərində hərəkətlər

Eyni ədədin qüdrətlərini vurduqda eksponentlər toplanır.

Eyni ədədin qüdrətlərini bölərkən, bölənin göstəricisi dividend göstəricisindən çıxarılır.

Bir məhsulu bir gücə yüksəltmək üçün hər bir amili ayrıca bu gücə qaldırmaq kifayətdir:

Kəsiri qüvvəyə qaldırmaq üçün kəsrin hər iki şərtini ayrı-ayrılıqda bu qüvvəyə qaldırmaq kifayətdir:

Bir güc başqa bir gücə qaldırıldıqda, eksponentlər vurulur.

Fraksiya göstəricisi

Əgər kçoxluğu deyil n, sonra ifadə: mənası yoxdur. Ancaq eksponentin hər hansı bir dəyəri üçün dərəcənin kökünün çıxarılması qaydasının baş verməsi üçün bir tərif təqdim edilmişdir:

Yeni simvolun tətbiqi sayəsində kök çıxarılması həmişə eksponentasiya ilə əvəz edilə bilər.

Kəsir eksponentləri olan güclər üzərində hərəkətlər

Kəsrə göstəriciləri olan dərəcələr üzrə hərəkətlər tam ədədlər üçün müəyyən edilmiş qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir.

Bu müddəanı sübut edən zaman biz ilk növbədə kəsrlərin şərtlərinin müsbət olduğunu qəbul edəcəyik: və eksponent kimi xidmət edən.

Xüsusi bir vəziyyətdə n və ya q birinə bərabər ola bilər.

Eyni ədədin güclərini vurarkən kəsr eksponentləri əlavə olunur:

Eyni ədədin dərəcələrini kəsr göstəriciləri ilə bölərkən, bölənin göstəricisi dividend göstəricisindən çıxarılır:

Kəsrə eksponentlər vəziyyətində gücü başqa bir gücə qaldırmaq üçün göstəriciləri çoxaltmaq kifayətdir:

Kəsirin kökünü çıxarmaq üçün eksponenti kökün göstəricisinə bölmək kifayətdir:

Fəaliyyət qaydaları yalnız tətbiq edilmir müsbət fraksiya göstəriciləri, həm də mənfi.

Bir qayda var ki, sıfırdan başqa, sıfıra yüksəldilmiş hər hansı bir ədəd birə bərabər olacaqdır:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Lakin, bu niyə belədir?
Ədəd təbii göstəricisi olan qüvvəyə qaldırıldıqda, bu o deməkdir ki, o, eksponent qədər özünə vurulur:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Göstərici 1-ə bərabər olduqda, tikinti zamanı yalnız bir amil var (əgər burada ümumiyyətlə amillərdən danışmaq olarsa) və buna görə də tikintinin nəticəsi dərəcənin əsasına bərabərdir:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Bəs bu halda sıfır göstərici haqqında nə demək olar? Nə nəyə vurulur?
Fərqli yolla getməyə çalışaq.

Niyə 0-ın gücündə olan ədəd 1-ə bərabərdir?

Məlumdur ki, əgər iki qüdrətin əsasları eynidirsə, lakin göstəriciləri fərqlidirsə, onda baza eyni qala bilər və göstəriciləri ya bir-birinə əlavə etmək olar (səviyyələr vurularsa), ya da bölmənin göstəricisi ola bilər. dividend eksponentindən çıxılır (səlahiyyətlər bölünürsə):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
İndi bu misala baxaq:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Eyni əsaslı səlahiyyətlərin mülkiyyətindən istifadə etməsək və onların göründüyü ardıcıllıqla hesablamalar aparsaq nə olar:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Beləliklə, arzu olunan vahidi aldıq. Beləliklə, sıfır göstəricisi ədədin özünə vurulduğunu deyil, özünə bölündüyünü göstərir.
Və buradan aydın olur ki, 0 0 ifadəsinin niyə mənası yoxdur. 0-a bölmək olmaz.

Bir qayda var ki, sıfırdan başqa, sıfıra yüksəldilmiş hər hansı bir ədəd birə bərabər olacaqdır:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Lakin, bu niyə belədir?

Ədəd təbii göstəricisi olan qüvvəyə qaldırıldıqda, bu o deməkdir ki, o, eksponent qədər özünə vurulur:
43 = 4...

0 0

Cəbrdə sıfır gücə yüksəltmək adi haldır. 0 dərəcəsi nədir? Hansı ədədləri sıfıra yüksəltmək olar, hansını yox?

Tərif.

Sıfırdan başqa sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir:

Beləliklə, hansı rəqəm 0-ın qüvvəsinə qaldırılırsa, nəticə həmişə eyni olacaq - bir.

Və 1 0-ın gücünə, 2 isə 0-ın gücünə və hər hansı digər ədəd - tam, kəsr, müsbət, mənfi, rasional, irrasional - sıfıra qaldırıldıqda bir güc verir.

Yeganə istisna sıfırdır.

Sıfırdan sıfıra qədər güc təyin edilmir, belə bir ifadənin mənası yoxdur.

Yəni sıfırdan başqa istənilən ədədi sıfır gücünə qaldırmaq olar.

Güclərlə ifadəni sadələşdirərkən sıfır gücünə qədər bir rəqəm alsanız, onu bir ilə əvəz edə bilərsiniz:

Əgər...

0 0

Məktəb kurikulumunun bir hissəsi kimi $%0^0$% ifadəsinin dəyəri müəyyən edilməmiş hesab olunur.

Müasir riyaziyyat baxımından $%0^0=1$% hesab etmək rahatdır. Buradakı fikir aşağıdakılardan ibarətdir. $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$% formasının $%n$% ədədlərinin hasili olsun. Bütün $%n\ge2$% üçün $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$% bərabərliyi qorunur. Bu bərabərliyi $%n=1$% üçün də mənalı hesab etmək, $%p_0=1$% fərz etmək rahatdır. Burada məntiq belədir: məhsulları hesablayanda əvvəlcə 1 götürürük, sonra ardıcıl olaraq $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$% vururuq. Bu, proqramlar yazıldığında məhsulları tapmaq üçün istifadə olunan alqoritmdir. Nədənsə çarpma baş vermədisə, məhsul birə bərabər olaraq qalır.

Başqa sözlə, “0 faktorunun məhsulu” kimi bir anlayışın tərifinə görə 1-ə bərabər olduğu nəzərə alınmaqla, məna kəsb etmək rahatdır. Bir ədədi buna vursaq...

0 0

Sıfır - sıfırdır. Təxminən desək, ədədin istənilən gücü bir və eksponentin bu ədədin məhsuludur. Üçüncüdə iki, deyək ki, 1*2*2*2, birincinin mənfi hissəsində ikisi 1/2-dir. Və sonra müsbətdən mənfi dərəcələrə və əksinə keçiddə heç bir boşluq olmaması lazımdır.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

bütün məsələ budur.

sadə və aydın, təşəkkür edirəm

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Məsələn, yalnız müsbət eksponentlər üçün etibarlı olan müəyyən düsturların - məsələn, x^n*x^m=x^(m+n) - hələ də etibarlı olmasını təmin etməlisiniz.
Yeri gəlmişkən, eyni şey mənfi dərəcənin tərifinə də aiddir (yəni, məsələn, 3/4-ün gücünə 5)

> və bu niyə lazımdır?
Məsələn, statistika və nəzəriyyədə çox vaxt sıfır güclə oynayırlar.

Mənfi dərəcələr sizi narahat edir?
...

0 0

Biz dərəcələrin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik, məsələn, 16:8 = 2 götürək. 16=24 və 8=23 olduğundan, bölgü eksponensial formada 24:23=2 kimi yazıla bilər, lakin göstəriciləri çıxarsaq, 24:23=21 olar. Beləliklə, etiraf etməliyik ki, 2 və 21 eyni şeydir, buna görə də 21 = 2.

Eyni qayda hər hansı digərinə də aiddir eksponensial ədəd, beləliklə, qayda formalaşdırıla bilər ümumi görünüş:

birinci dərəcəyə qaldırılan istənilən ədəd dəyişməz qalır

Bu nəticə sizi heyrətə salmış ola bilər. 21 = 2 ifadəsinin mənasını hələ də birtəhər başa düşə bilərsiniz, baxmayaraq ki, "bir ədəd iki özünə vurulur" ifadəsi olduqca qəribə səslənir. Lakin 20 ifadəsi “bir ədəd iki deyil,...

0 0

Dərəcə tərifləri:

1. sıfır dərəcə

Sıfırdan başqa, sıfıra yüksəldilmiş hər hansı bir ədəd birə bərabərdir. Sıfırdan sıfıra qədər güc müəyyən edilməmişdir

2. sıfırdan başqa təbii dərəcə

Sıfırdan başqa n təbii gücünə qaldırılan istənilən x ədədi n ədədi x-i birlikdə vurmağa bərabərdir

3.1 sıfırdan başqa hətta təbii dərəcənin kökü

İstənilən müsbət x ədədinin sıfırdan başqa n bərabər təbii qüvvəsinin kökü müsbət y ədədidir ki, n dərəcəsinə qaldırıldıqda ilkin x ədədini verir.

3.2 tək təbii dərəcənin kökü

İstənilən x ədədinin n tək təbii qüdrətinin kökü y ədədidir ki, n dərəcəsinə qaldırıldıqda ilkin x ədədini verir.

3.3 kəsr gücü kimi hər hansı təbii gücün kökü

İstənilən x ədədindən sıfırdan başqa istənilən n təbii gücünün kökünü çıxarmaq, bu x ədədini 1/n kəsr dərəcəsinə qaldırmaqla eynidir.

0 0

Salam, əziz RUSSEL!

Dərəcə anlayışını təqdim edərkən belə bir giriş var: “a^0 =1 ifadəsinin dəyəri” ! Bu məntiqi dərəcə anlayışından irəli gəlir, başqa heç nə yoxdur!
Bir gəncin işin dibinə varmağa çalışması təqdirəlayiqdir! Ancaq bəzi şeylər var ki, onları sadəcə olaraq qəbul etmək lazımdır!
Yeni riyaziyyatı yalnız əsrlər əvvəl kəşf edilmiş şeyi öyrəndikdə qura bilərsiniz!
Əlbəttə, əgər sizin “bu dünyadan deyilsiniz” və biz günahkarlardan daha çox bəxş edilmiş olduğunuzu istisna etsək!

Qeyd: Anna Mişeva sübut olunmayanı sübut etməyə cəhd etdi! Həm də təqdirəlayiqdir!
Ancaq bir böyük "AMMA" var - onun sübutunda yoxdur əsas element: SIFIR-a bölünmə halı!

Özünüz görün nə ola bilər: 0^1 / 0^1 = 0/0!!!

Amma SIFIRA BÖLƏ BİLMƏZSİN!

Xahiş edirəm daha diqqətli olun!

Şəxsi həyatınızda çoxlu xoş arzular və xoşbəxtlik...

0 0

RATİONAL GÖSTƏRİŞLİ DƏRƏCƏ,

GÜÇ FUNKSİYASI IV

§ 71. Sıfır və mənfi göstəriciləri olan dərəcələr

§ 69-da sübut etdik (bax. Teoremə 2). t > s

(a =/= 0)

Bu düsturun nə vaxt olduğu vəziyyətə qədər genişləndirilməsini istəmək olduqca təbiidir T < n . Ancaq sonra nömrə t - səh ya mənfi, ya da sıfıra bərabər olacaq. A. Biz indiyə qədər yalnız təbii göstəricilərlə dərəcələr haqqında danışdıq. Beləliklə, sıfır və mənfi eksponentli həqiqi ədədlərin səlahiyyətlərini nəzərə almaq zərurəti ilə qarşılaşırıq.

Tərif 1. İstənilən nömrə A , sıfıra bərabər deyil, sıfır güc birə bərabərdir, yəni nə vaxt A =/= 0

A 0 = 1. (1)

Məsələn, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. 0 ədədinin sıfır dərəcəsi yoxdur, yəni 0 0 ifadəsi müəyyən edilməyib.

Tərif 2. Əgər A=/= 0 və n - natural ədəd, Bu

A - n = 1 /a n (2)

yəni tam ədədlə sıfıra bərabər olmayan istənilən ədədin gücü mənfi göstərici payı bir olan kəsrə bərabərdir, məxrəc isə eyni a ədədinin, lakin göstəricisi verilmiş gücün əksinə olan bir qüvvədir.

Məsələn,

Bu tərifləri qəbul edərək sübut etmək olar ki, nə zaman a =/= 0, düstur

istənilən natural ədədlər üçün doğrudur T Və n , və yalnız üçün deyil t > s . Bunu sübut etmək üçün iki halı nəzərdən keçirməklə kifayətlənmək kifayətdir: t = n Və T< .п , davadan bəri m > n artıq § 69-da müzakirə edilmişdir.

Qoy t = n ; Sonra . Bu o deməkdir ki, bərabərliyin sol tərəfi (3) 1-ə bərabərdir. Sağ tərəfi at t = n müraciət edir

A m - n = A n - n = A 0 .

Ancaq tərifə görə A 0 = 1. Beləliklə, (3) bərabərliyinin sağ tərəfi də 1-ə bərabərdir. Buna görə də, zaman t = n düstur (3) düzgündür.

İndi düşünək T< п . Kəsirin payını və məxrəcini bölün A m , alırıq:

Çünki n > t , Bu . Ona görə də. Mənfi eksponentli gücün tərifindən istifadə edərək yaza bilərik .

Beləliklə, nə vaxt , bu sübut edilməli olan şey idi. Formula (3) indi istənilən natural ədədlər üçün sübut edilmişdir T Və n .

Şərh. Mənfi eksponentlər kəsrləri məxrəcsiz yazmağa imkan verir. Məsələn,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1 ; ümumiyyətlə, a / b = a b - 1

Ancaq bu qeyd ilə kəsrlərin tam ədədlərə çevrildiyini düşünməməlisiniz. Məsələn, 3 - 1 1/3, 2 5 ilə eyni kəsrdir - 1 2/5 ilə eyni kəsrdir və s.

Məşqlər

529. Hesablayın:

530. Məxrəci olmayan kəsri yazın:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Bu onluq kəsrləri mənfi göstəricilərdən istifadə edərək tam ifadələr şəklində yazın:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Giriş səviyyəsi

Dərəcə və onun xüsusiyyətləri. Hərtərəfli bələdçi (2019)

Nə üçün dərəcələr lazımdır? Onlara harada ehtiyacınız olacaq? Nə üçün onları öyrənməyə vaxt ayırmalısan?

Dərəcələr, nə üçün olduqları, biliklərinizi necə istifadə edəcəyiniz haqqında hər şeyi öyrənmək gündəlik həyat bu məqaləni oxuyun.

Və təbii ki, dərəcə bilikləri sizi uğura yaxınlaşdıracaq OGE-dən keçir və ya Vahid Dövlət İmtahanı və arzuladığınız universitetə ​​qəbul olun.

Gedək... (Gedək!)

Vacib qeyd! Düsturlar əvəzinə gobbledygook görürsünüzsə, önbelleğinizi silin. Bunu etmək üçün CTRL+F5 (Windows-da) və ya Cmd+R (Mac-da) düymələrini basın.

GİRİŞ SƏVİYYƏSİ

Bir gücə yüksəltmək də eynidir riyazi əməliyyat toplama, çıxma, vurma və ya bölmə kimi.

İndi hər şeyi izah edəcəyəm insan diliçox sadə nümunələr. Ehtiyatlı olun. Nümunələr elementardır, lakin vacib şeyləri izah edir.

Əlavə ilə başlayaq.

Burada izah ediləcək bir şey yoxdur. Siz artıq hər şeyi bilirsiniz: biz səkkizik. Hər kəsin iki şüşə kolası var. Nə qədər kola var? Düzdü - 16 şüşə.

İndi vurma.

Kola ilə eyni misal başqa cür də yazıla bilər: . Riyaziyyatçılar hiyləgər və tənbəl insanlardır. Əvvəlcə bəzi nümunələri görürlər və sonra onları daha sürətli "saymağın" yolunu tapırlar. Bizim vəziyyətimizdə səkkiz nəfərin hər birinin eyni sayda kola şüşəsi olduğunu gördülər və vurma adlı bir texnika tapdılar. Razılaşın, daha asan və daha sürətli hesab olunur.

Beləliklə, daha sürətli, asan və səhvsiz saymaq üçün sadəcə xatırlamaq lazımdır vurma cədvəli. Əlbəttə ki, hər şeyi daha yavaş, daha çətin və səhvlərlə edə bilərsiniz! Amma…

Budur vurma cədvəli. təkrarlayın.

Və başqa, daha gözəl:

Tənbəl riyaziyyatçılar başqa hansı ağıllı sayma fəndlərini tapıblar? Sağ - rəqəmi gücə çatdırmaq.

Nömrəni gücə yüksəltmək

Əgər bir ədədi özünə beş dəfə vurmaq lazımdırsa, onda riyaziyyatçılar deyirlər ki, bu ədədi beşinci dərəcəyə yüksəltmək lazımdır. Məsələn, . Riyaziyyatçılar xatırlayırlar ki, ikidən beşinci dərəcə... Və belə problemləri öz başlarında həll edirlər - daha sürətli, daha asan və səhvsiz.

Sizə lazım olan tək şey budur Rəqəmlərin səlahiyyətləri cədvəlində nə rənglə vurğulandığını xatırlayın. İnanın, bu sizin həyatınızı çox asanlaşdıracaq.

Yeri gəlmişkən, niyə ikinci dərəcə adlanır? kvadrat nömrələr və üçüncü - kub? Bu nə deməkdir? Çox yaxşı sual. İndi həm kvadratlar, həm də kublar olacaq.

Real həyat nümunəsi №1

Nömrənin kvadratı və ya ikinci dərəcəsi ilə başlayaq.

Bir metrə bir metr ölçüdə bir kvadrat hovuz təsəvvür edin. Hovuz sizin bağçadadır. Hava istidir və mən həqiqətən üzmək istəyirəm. Amma... hovuzun dibi yoxdur! Hovuzun dibini plitələrlə örtmək lazımdır. Neçə plitə lazımdır? Bunu müəyyən etmək üçün hovuzun alt sahəsini bilmək lazımdır.

Siz sadəcə barmağınızı göstərərək hesablaya bilərsiniz ki, hovuzun dibi metr metr kublardan ibarətdir. Bir metrdən bir metrə plitələr varsa, parçalara ehtiyacınız olacaq. Asandır... Bəs belə plitələr harada görmüsünüz? Kafel çox güman ki, sm sm olacaq və sonra "barmağınızla saymaqla" işgəncə alacaqsınız. Sonra çoxalmaq lazımdır. Beləliklə, hovuzun dibinin bir tərəfində plitələr (parçalar) və digər tərəfdən də plitələr yerləşdirəcəyik. Çoxaldın və plitələr alırsınız ().

Hovuzun dibinin sahəsini təyin etmək üçün eyni rəqəmi özünə vurduğumuzu gördünüzmü? Bu nə deməkdir? Eyni ədədi çoxaltdığımız üçün “üstur” texnikasından istifadə edə bilərik. (Əlbəttə ki, yalnız iki rəqəminiz olduqda, yenə də onları çoxaltmalı və ya bir gücə yüksəltməlisiniz. Amma əgər onlardan çox olarsa, onları bir gücə çatdırmaq daha asandır və hesablamalarda daha az səhv olur. Vahid Dövlət İmtahanı üçün bu çox vacibdir).
Beləliklə, ikinci gücə otuz () olacaq. Və ya otuz kvadrat olacağını deyə bilərik. Başqa sözlə, ədədin ikinci dərəcəsi həmişə kvadrat şəklində göstərilə bilər. Və əksinə, əgər kvadrat görürsünüzsə, o, HƏMİŞƏ bəzi ədədin ikinci dərəcəsidir. Kvadrat ədədin ikinci dərəcəsinin şəklidir.

Real həyat nümunəsi №2

Budur sizə bir tapşırıq: ədədin kvadratından istifadə edərək şahmat taxtasında neçə kvadrat olduğunu hesablayın... Hüceyrələrin bir tərəfində və digər tərəfində də. Onların sayını hesablamaq üçün səkkizi səkkizə vurmaq lazımdır və ya... şahmat taxtasının bir tərəfi olan kvadrat olduğunu görsəniz, onda səkkizi kvadrat edə bilərsiniz. Siz hüceyrələr alacaqsınız. () Yəni?

Real həyat nümunəsi №3

İndi kub və ya ədədin üçüncü dərəcəsi. Eyni hovuz. Ancaq indi bu hovuza nə qədər su tökmək lazım olduğunu öyrənməlisiniz. Həcmi hesablamaq lazımdır. (Yeri gəlmişkən, həcmlər və mayelər kubmetrlə ölçülür. Gözlənilməz, elə deyilmi?) Hovuz çəkin: dibi bir metr ölçüsündə və bir metr dərinliyindədir və bir metrlə metr ölçən neçə kubun olacağını hesablamağa çalışın. hovuzunuza uyğun.

Sadəcə barmağınızı göstərin və sayın! Bir, iki, üç, dörd... iyirmi iki, iyirmi üç... Neçə aldınız? itirilmiş deyil? Barmağınızla saymaq çətindir? Budur! Riyaziyyatçılardan nümunə götürün. Onlar tənbəldirlər, buna görə hovuzun həcmini hesablamaq üçün onun uzunluğunu, enini və hündürlüyünü bir-birinə vurmaq lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə hovuzun həcmi kublara bərabər olacaq... Daha asan, elə deyilmi?

İndi təsəvvür edin ki, riyaziyyatçılar bunu da sadələşdiriblərsə, nə qədər tənbəl və hiyləgərdirlər. Hər şeyi bir hərəkətə endirdik. Uzunluğu, eni və hündürlüyünün bərabər olduğunu və eyni ədədin özünə vurulduğunu müşahidə etdilər... Bu nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, siz dərəcədən yararlana bilərsiniz. Beləliklə, bir dəfə barmağınızla saydığınız şeyi bir hərəkətdə edirlər: üç kub bərabərdir. Belə yazılıb: .

Qalan hər şeydir dərəcə cədvəlini xatırlayın. Təbii ki, siz riyaziyyatçılar kimi tənbəl və hiyləgər olmasanız. Əgər çox işləməyi və səhv etməyi sevirsinizsə, barmağınızla saymağa davam edə bilərsiniz.

Yaxşı, nəhayət sizi inandırmaq üçün ki, dərəcələri işdən çıxanlar və hiyləgər insanlar özləri həll etmək üçün icad etdilər. həyat problemləri, və sizin üçün problem yaratmamaq üçün burada həyatdan bir neçə nümunə daha var.

Real həyat nümunəsi №4

Bir milyon rublunuz var. Hər ilin əvvəlində qazandığınız hər milyon üçün daha bir milyon qazanırsınız. Yəni, hər milyonda hər ilin əvvəlində ikiqat olur. İllər sonra nə qədər pulunuz olacaq? Əgər indi oturub “barmağınızla sayırsınızsa”, deməli siz çox çalışqan insansınız və... axmaqsınız. Amma çox güman ki, bir neçə saniyəyə cavab verəcəksən, çünki sən ağıllısan! Deməli, birinci ildə - iki ikiyə vuruldu... ikinci ildə - nə oldu, daha iki, üçüncü kursda... Dayan! Nömrənin özünə dəfələrlə vurulduğunu gördünüz. Beləliklə, ikidən beşinci güc bir milyondur! İndi təsəvvür edin ki, sizin rəqabətiniz var və ən tez saya bilən bu milyonları əldə edəcək... Rəqəmlərin gücünü xatırlamağa dəyər, elə deyilmi?

Real həyat nümunəsi №5

Sənin bir milyonun var. Hər ilin əvvəlində hər milyondan iki daha çox qazanırsınız. Əla, elə deyilmi? Hər milyon üç dəfə artır. Bir ildə nə qədər pulunuz olacaq? sayaq. Birinci il - çarpın, sonra başqa bir nəticə... Artıq darıxdırıcıdır, çünki siz artıq hər şeyi başa düşdünüz: üç dəfə özünə vurulur. Beləliklə, dördüncü gücə görə bir milyona bərabərdir. Yalnız üçdən dördüncü gücün və ya olduğunu xatırlamaq lazımdır.

İndi bilirsiniz ki, bir rəqəmi bir gücə yüksəltməklə həyatınızı çox asanlaşdıracaqsınız. Gəlin dərəcələrlə nə edə biləcəyinizi və onlar haqqında nəyi bilməli olduğunuzu daha ətraflı nəzərdən keçirək.

Şərtlər və anlayışlar... qarışıq düşməmək üçün

Beləliklə, əvvəlcə anlayışları müəyyənləşdirək. Sizcə eksponent nədir? Çox sadədir - nömrənin gücünün "yuxarısında" olan nömrədir. Elmi deyil, aydın və yadda saxlamaq asandır...

Yaxşı, eyni zamanda, nə belə bir dərəcə əsası? Daha sadə - bu, aşağıda, bazada yerləşən nömrədir.

Budur yaxşı ölçü üçün bir rəsm.

Yaxşı, ümumi dillə desək, ümumiləşdirmək və daha yaxşı yadda saxlamaq üçün... Əsası “ ” və göstəricisi “ ” olan dərəcə “dərəcəyə” kimi oxunur və belə yazılır:

Natural eksponentli ədədin gücü

Yəqin ki, siz artıq təxmin etdiniz: çünki eksponent natural ədəddir. Bəli, amma bu nədir natural ədəd? İbtidai! Natural ədədlər o rəqəmlərdir ki, cisimləri sadalayarkən saymaqda istifadə olunur: bir, iki, üç... Obyektləri sayarkən biz: “mənfi beş”, “mənfi altı”, “mənfi yeddi” demirik. Biz də demirik: “üçdə biri”, ya da “sıfır nöqtə beş”. Bunlar natural ədədlər deyil. Sizcə bunlar hansı rəqəmlərdir?

“Mənfi beş”, “mənfi altı”, “mənfi yeddi” kimi rəqəmlər aiddir tam ədədlər.Ümumiyyətlə, tam ədədlərə bütün natural ədədlər, natural ədədlərin əksi olan ədədlər (yəni mənfi işarə ilə götürülən) və ədədlər daxildir. Sıfırı başa düşmək asandır - heç bir şey olmadıqda. Mənfi (“mənfi”) rəqəmlər nə deməkdir? Ancaq onlar ilk növbədə borcları göstərmək üçün icad edilmişdir: telefonunuzda rublda balansınız varsa, bu o deməkdir ki, operatora rubl borcunuz var.

Bütün kəsrlər rasional ədədlərdir. Onlar necə yaranıb, sizcə? Çox sadə. Bir neçə min il əvvəl əcdadlarımız uzunluğu, çəkisi, sahəsi və s. ölçmək üçün təbii ədədlərin olmadığını kəşf etdilər. Və ortaya çıxdılar rasional ədədlər... Maraqlıdır, elə deyilmi?

Daha çox var irrasional ədədlər. Bu rəqəmlər nədir? Bir sözlə, sonsuz onluq. Məsələn, bir dairənin çevrəsini onun diametrinə bölsəniz, irrasional ədəd alırsınız.

CV:

Göstəricisi natural ədəd (yəni, tam və müsbət) olan dərəcə anlayışını müəyyən edək.

1. Birinci dərəcəli hər hansı bir ədəd özünə bərabərdir:
2. Ədədin kvadratı onu özünə vurmaq deməkdir:
3. Ədədin kub olması onu üç dəfə özünə vurmaq deməkdir:

Tərif.Ədədin təbii gücə yüksəldilməsi ədədi özünə dəfələrlə vurmaq deməkdir:
.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Bu mülklər haradan gəldi? İndi sizə göstərəcəyəm.

Baxaq: bu nədir Və ?

Tərifinə görə:

Cəmi neçə çarpan var?

Çox sadədir: biz amillərə çarpanları əlavə etdik və nəticə çarpanlardır.

Ancaq tərifə görə, bu, eksponentli bir ədədin gücüdür, yəni: , sübut edilməli olan şeydir.

Misal: İfadəni sadələşdirin.

Həlli:

Misal:İfadəni sadələşdirin.

Həlli: Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir Mütləq eyni səbəblər olmalıdır!
Buna görə səlahiyyətləri baza ilə birləşdiririk, lakin bu, ayrı bir amil olaraq qalır:

yalnız güclərin məhsulu üçün!

Heç bir halda bunu yaza bilməzsən.

2. bu qədər ədədin gücü

Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcə tərifinə müraciət edək:

Belə çıxır ki, ifadə özünə dəfələrlə vurulur, yəni tərifə görə bu ədədin ci dərəcəsidir:

Əslində bunu "indikatorun mötərizədən çıxarılması" adlandırmaq olar. Ancaq bunu heç vaxt ümumi şəkildə edə bilməzsiniz:

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik?

Amma bu, axırda doğru deyil.

Mənfi baza ilə güc

Bu nöqtəyə qədər yalnız eksponentin nə olması lazım olduğunu müzakirə etdik.

Bəs əsas nə olmalıdır?

səlahiyyətlərində təbii göstəriciəsas ola bilər istənilən nömrə. Həqiqətən, istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik, istər müsbət, istər mənfi, istərsə də hətta.

Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin dərəcələri olacaq?

Məsələn, rəqəm müsbətdir, yoxsa mənfi? A? ? Birincisi ilə hər şey aydındır: nə qədər müsbət ədədi bir-birimizə vursaq da, nəticə müsbət olacaq.

Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. 6-cı sinifdən sadə qaydanı xatırlayırıq: “minusa minus artı verir”. Yəni, ya. Ancaq çoxalsaq, işləyir.

Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

idarə etdin?

Cavablar budur: İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nümunə 5) hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: axırda bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır.

Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza bərabər deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).

Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil!

Təcrübə üçün 6 nümunə

Həllin təhlili 6 nümunə

Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur! Biz əldə edirik:

Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar geri çəkilsəydi, qayda tətbiq oluna bilərdi.

Amma bunu necə etmək olar? Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədə olan işarələri asanlıqla dəyişə bilərik.

Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: bütün əlamətlər eyni anda dəyişir!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

Bütöv natural ədədlər, onların əksləri (yəni " " işarəsi ilə götürülən) və ədədi adlandırırıq.

müsbət tam ədəd, və təbiidən heç bir fərqi yoxdur, onda hər şey əvvəlki hissədə olduğu kimi görünür.

İndi gəlin yeni hallara baxaq. bərabər göstərici ilə başlayaq.

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir:

Həmişə olduğu kimi, gəlin özümüzdən soruşaq: niyə belədir?

Baza ilə müəyyən dərəcəni nəzərdən keçirək. Məsələn, götürün və çarpın:

Beləliklə, rəqəmi vurduq və olduğu kimi eyni şeyi aldıq - . Heç bir şey dəyişməməsi üçün hansı rəqəmə vurmaq lazımdır? Düzdü, davam. deməkdir.

Eyni şeyi ixtiyari bir nömrə ilə edə bilərik:

Qaydanı təkrarlayaq:

Sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd birə bərabərdir.

Ancaq bir çox qaydaların istisnaları var. Və burada da var - bu bir nömrədir (əsas kimi).

Bir tərəfdən istənilən dərəcəyə bərabər olmalıdır - sıfırı özünə nə qədər vursan da, yenə də sıfır alacaqsan, bu aydındır. Ancaq digər tərəfdən, sıfır gücünə qədər hər hansı bir ədəd kimi, bərabər olmalıdır. Bəs bu nə dərəcədə doğrudur? Riyaziyyatçılar işə qarışmamağa qərar verdilər və sıfırı sıfıra yüksəltməkdən imtina etdilər. Yəni, indi biz nəinki sıfıra bölmək, hətta onu sıfır dərəcəsinə qaldıra bilmərik.

Gəlin davam edək. Natural ədədlər və ədədlərlə yanaşı, tam ədədlərə mənfi ədədlər də daxildir. Mənfi gücün nə olduğunu başa düşmək üçün son dəfəki kimi edək: bəzi normal ədədi eyni ədədlə mənfi gücə çarpın:

Buradan axtardığınızı ifadə etmək asandır:

İndi ortaya çıxan qaydanı ixtiyari dərəcədə genişləndirək:

Beləliklə, bir qayda tərtib edək:

Mənfi qüvvəyə malik olan ədəd, müsbət qüvvəyə malik eyni ədədin əksidir. Amma eyni zamanda Baza null ola bilməz:(çünki bölmək mümkün deyil).

Ümumiləşdirək:

I. İfadə halda müəyyən edilməyib. Əgər, onda.

II. Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd birə bərabərdir: .

III. Mənfi qüvvəyə sıfıra bərabər olmayan ədəd eyni ədədin müsbət dərəcəsinə tərsidir: .

Müstəqil həll üçün tapşırıqlar:

Həmişə olduğu kimi, müstəqil həllər üçün nümunələr:

Müstəqil həll üçün problemlərin təhlili:

Bilirəm, bilirəm, rəqəmlər qorxuludur, amma Vahid Dövlət İmtahanında hər şeyə hazır olmalısan! Bu misalları həll edin və ya həll edə bilmədiyiniz halda həll yollarını təhlil edin və imtahanda onların öhdəsindən asanlıqla gəlməyi öyrənəcəksiniz!

Gəlin eksponent kimi “uyğun” ədədlərin diapazonunu genişləndirməyə davam edək.

İndi düşünək rasional ədədlər. Hansı ədədlərə rasional deyilir?

Cavab: kəsr kimi göstərilə bilən hər şey, burada və tam ədədlərdir və.

Bunun nə olduğunu başa düşmək üçün "kəsir dərəcə", kəsri nəzərə alın:

Tənliyin hər iki tərəfini gücə qaldıraq:

İndi haqqında qaydanı xatırlayaq "dərəcədən dərəcəyə":

Bir güc əldə etmək üçün hansı rəqəmi artırmaq lazımdır?

Bu düstur ci dərəcəli kökün tərifidir.

Nəzərinizə çatdırım: ədədin () ci gücünün kökü bir gücə qaldırıldıqda ona bərabər olan ədəddir.

Yəni, ci gücün kökü bir gücə yüksəltmənin tərs əməliyyatıdır: .

Belə çıxır ki. Aydındır ki, bu xüsusi işi genişləndirmək olar: .

İndi rəqəmi əlavə edirik: bu nədir? Cavabı gücdən-güc qaydasından istifadə etməklə əldə etmək asandır:

Amma əsas hər hansı bir rəqəm ola bilərmi? Axı bütün rəqəmlərdən kök çıxarmaq olmaz.

Heç biri!

Qaydanı xatırlayaq: cüt gücə qaldırılan hər hansı bir ədəd müsbət ədəddir. Yəni mənfi ədədlərdən hətta kök çıxarmaq mümkün deyil!

Bu o deməkdir ki, belə ədədlər cüt məxrəcli kəsr dərəcəsinə qaldırıla bilməz, yəni ifadənin mənası yoxdur.

Bəs ifadə?

Ancaq burada bir problem yaranır.

Nömrə digər, azaldıla bilən fraksiyalar şəklində təmsil oluna bilər, məsələn, və ya.

Və məlum olur ki, o, mövcuddur, lakin yoxdur, lakin bunlar eyni sayda iki fərqli qeyddir.

Və ya başqa bir misal: bir dəfə, sonra yaza bilərsiniz. Amma göstəricini başqa cür yazsaq, yenə bəlaya düşəcəyik: (yəni tamam başqa nəticə əldə etdik!).

Bu cür paradoksların qarşısını almaq üçün düşünürük yalnız kəsr göstəricisi olan müsbət əsas göstərici.

Beləliklə, əgər:

• - natural ədəd;
• - tam ədəd;

Nümunələr:

Rasional eksponentlər ifadələri kökləri ilə çevirmək üçün çox faydalıdır, məsələn:

Təcrübə üçün 5 nümunə

Təlim üçün 5 nümunənin təhlili

Yaxşı, indi ən çətin hissəsi gəlir. İndi biz bunu anlayacağıq irrasional göstərici ilə dərəcə.

Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xüsusiyyətləri istisna olmaqla, rasional göstəricisi olan dərəcə ilə eynidir.

Axı, tərifinə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi təqdim edilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni irrasional ədədlər rasionallardan başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq.

Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir;

...nömrəni sıfırın gücünə qədər- bu, sanki bir dəfə özünə vurulan bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, yəni nömrənin özü belə hələ görünməmişdir - buna görə də nəticə yalnız müəyyən bir "boş nömrə" dir. , yəni nömrə;

...mənfi tam dərəcə- sanki hansısa “əks proses” baş verib, yəni ədəd öz-özünə vurulmayıb, bölünüb.

Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil.

Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq;

GEDƏCƏYİNİZƏ ƏMİN OLDUĞUZ HARƏ! (belə misalları həll etməyi öyrənsəniz :))

Məsələn:

Özünüz üçün qərar verin:

Həlllərin təhlili:

1. Gücü gücə yüksəltmək üçün adi qayda ilə başlayaq:

İndi göstəriciyə baxın. O sizə heç nəyi xatırlatmır? Kvadratların fərqinin qısaldılmış vurulması düsturunu xatırlayaq:

Bu halda,

Belə çıxır ki:

Cavab: .

2. Göstəricilərdə kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər iki adi. Məsələn, alırıq:

Cavab: 16

3. Xüsusi bir şey yoxdur, biz dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Dərəcənin təyini

Dərəcə formasının ifadəsidir: , burada:

• — dərəcə bazası;
• - eksponent.

Təbii göstərici ilə dərəcə (n = 1, 2, 3,...)

Ədədin n təbii qüvvəsinə yüksəldilməsi ədədi özünə dəfələrlə vurmaq deməkdir:

Tam eksponentli dərəcə (0, ±1, ±2,...)

Göstərici olarsa müsbət tam ədəd nömrə:

Tikinti sıfır dərəcəyə qədər:

İfadə qeyri-müəyyəndir, çünki bir tərəfdən istənilən dərəcədə bu, digər tərəfdən isə ci dərəcəyə qədər istənilən ədəd budur.

Göstərici olarsa mənfi tam ədəd nömrə:

(çünki bölmək mümkün deyil).

Bir daha sıfırlar haqqında: halda ifadə müəyyən edilməyib. Əgər, onda.

Nümunələr:

Rasional göstərici ilə güc

• - natural ədəd;
• - tam ədəd;

Nümunələr:

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Problemləri həll etməyi asanlaşdırmaq üçün başa düşməyə çalışaq: bu xüsusiyyətlər haradan gəldi? Gəlin onları sübut edək.

Baxaq: nədir və nədir?

Tərifinə görə:

Beləliklə, bu ifadənin sağ tərəfində aşağıdakı məhsulu alırıq:

Ancaq tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür, yəni:

Q.E.D.

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : .

Misal : İfadəni sadələşdirin.

Həll : Bizim qaydada qeyd etmək vacibdir Mütləq eyni səbəblər olmalıdır. Buna görə səlahiyyətləri baza ilə birləşdiririk, lakin bu, ayrı bir amil olaraq qalır:

Digər vacib qeyd: bu qayda - yalnız səlahiyyətlərin məhsulu üçün!

Heç bir halda bunu yaza bilməzsən.

Əvvəlki xüsusiyyətdə olduğu kimi, dərəcə tərifinə müraciət edək:

Bu işi bu şəkildə yenidən qruplaşdıraq:

Belə çıxır ki, ifadə özünə dəfələrlə vurulur, yəni tərifə görə bu ədədin ci dərəcəsidir:

Əslində bunu "indikatorun mötərizədən çıxarılması" adlandırmaq olar. Amma siz bunu heç vaxt bütövlükdə edə bilməzsiniz: !

Qısaldılmış vurma düsturlarını xatırlayaq: neçə dəfə yazmaq istədik? Amma bu, axırda doğru deyil.

Mənfi baza ilə güc.

Bu nöqtəyə qədər yalnız bunun necə olması lazım olduğunu müzakirə etdik göstərici dərəcə. Bəs əsas nə olmalıdır? səlahiyyətlərində təbii göstərici əsas ola bilər istənilən nömrə .

Həqiqətən, istənilən ədədi bir-birimizə vura bilərik, istər müsbət, istər mənfi, istərsə də hətta. Gəlin düşünək, hansı işarələrin ("" və ya "") müsbət və mənfi ədədlərin dərəcələri olacaq?

Məsələn, rəqəm müsbətdir, yoxsa mənfi? A? ?

Birincisi ilə hər şey aydındır: nə qədər müsbət ədədi bir-birimizə vursaq da, nəticə müsbət olacaq.

Ancaq mənfi olanlar bir az daha maraqlıdır. 6-cı sinifdən sadə qaydanı xatırlayırıq: "mənfi üçün minus artı verir." Yəni, ya. Ancaq () ilə vursaq - alarıq.

Və s. ad infinitum: hər sonrakı vurma ilə işarə dəyişəcək. Aşağıdakıları formalaşdıra bilərik sadə qaydalar:

1. hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
2. Mənfi rəqəm, tikilmişdir qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
3. Müsbət nömrə istənilən dərəcədə müsbət rəqəmdir.
4. Hər hansı bir gücə sıfır sıfıra bərabərdir.

Aşağıdakı ifadələrin hansı işarəyə malik olacağını özünüz müəyyənləşdirin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

idarə etdin? Cavabları təqdim edirik:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dörd nümunədə ümid edirəm ki, hər şey aydındır? Biz sadəcə bazaya və eksponentə baxırıq və müvafiq qayda tətbiq edirik.

Nümunə 5) hər şey göründüyü qədər qorxulu deyil: nəticədə bazanın nəyə bərabər olmasının əhəmiyyəti yoxdur - dərəcə bərabərdir, yəni nəticə həmişə müsbət olacaqdır. Yaxşı, baza sıfır olduqda istisna olmaqla. Baza bərabər deyil, elə deyilmi? Aydındır ki, yox, çünki (çünki).

Misal 6) artıq o qədər də sadə deyil. Burada hansının daha az olduğunu tapmaq lazımdır: yoxsa? Bunu xatırlasaq, aydın olur ki, və deməli, əsas sıfırdan azdır. Yəni 2-ci qaydanı tətbiq edirik: nəticə mənfi olacaq.

Və yenə dərəcə tərifindən istifadə edirik:

Hər şey həmişəki kimidir - dərəcələrin tərifini yazırıq və onları bir-birinə bölürük, cütlərə bölürük və alırıq:

Son qaydaya baxmadan əvvəl bir neçə nümunəni həll edək.

İfadələri hesablayın:

Həll yolları :

Səkkizinci gücə məhəl qoymasaq, burada nə görürük? 7-ci sinif proqramını xatırlayaq. Yaxşı, xatırlayırsan? Bu, qısaldılmış vurmanın, yəni kvadratların fərqinin düsturudur!

Biz əldə edirik:

Gəlin məxrəcə diqqətlə baxaq. Bu, say faktorlarından birinə çox bənzəyir, amma nə səhvdir? Şərtlərin ardıcıllığı səhvdir. Əgər onlar dəyişdirilsəydi, 3-cü Qayda tətbiq oluna bilərdi. Məlum oldu ki, bu, çox asandır: məxrəcin bərabər dərəcəsi burada bizə kömək edir.

Onu çoxaltsan, heç nə dəyişmir, elə deyilmi? Amma indi belə çıxır:

Sehrli şəkildə terminlər yerini dəyişdi. Bu “fenomen” bərabər dərəcədə istənilən ifadəyə aiddir: mötərizədəki işarələri asanlıqla dəyişə bilərik. Ancaq yadda saxlamaq vacibdir: Bütün işarələr eyni anda dəyişir! Sevmədiyimiz yalnız bir mənfi cəhəti dəyişdirməklə onu əvəz edə bilməzsiniz!

Nümunəyə qayıdaq:

Və yenə formula:

Beləliklə, indi son qayda:

Bunu necə sübut edəcəyik? Əlbəttə, həmişəki kimi: dərəcə anlayışını genişləndirək və onu sadələşdirək:

Yaxşı, indi mötərizələri açaq. Cəmi neçə hərf var? çarpanlarla dəfə - bu sizə nəyi xatırladır? Bu, əməliyyatın tərifindən başqa bir şey deyil vurma: Orada ancaq çarpanlar var idi. Yəni, bu, tərifinə görə, göstəricisi olan bir ədədin gücüdür:

Misal:

İrrasional göstərici ilə dərəcə

Orta səviyyə üçün dərəcələr haqqında məlumatlara əlavə olaraq, dərəcəni irrasional eksponentlə təhlil edəcəyik. Burada dərəcələrin bütün qaydaları və xassələri, istisna olmaqla, rasional eksponentli dərəcə ilə tamamilə eynidır - axırda, tərifə görə, irrasional ədədlər kəsr kimi göstərilə bilməyən ədədlərdir, burada və tam ədədlərdir (yəni , irrasional ədədlər rasional ədədlərdən başqa bütün həqiqi ədədlərdir).

Təbii, tam və rasional eksponentlərlə dərəcələri öyrənərkən hər dəfə müəyyən bir “şəkil”, “analogiya” və ya daha tanış terminlərlə təsvir yaratdıq. Məsələn, təbii göstəricili dərəcə özünə bir neçə dəfə vurulan ədəddir; sıfır dərəcəsinə qədər olan ədəd, sanki, özünə dəfələrlə vurulmuş bir ədəddir, yəni onlar hələ onu çoxaltmağa başlamamışlar, bu o deməkdir ki, rəqəmin özü belə hələ görünməmişdir - buna görə də nəticə yalnız müəyyəndir “boş nömrə”, yəni nömrə; tam mənfi eksponentli bir dərəcə - sanki hansısa "əks proses" baş verdi, yəni nömrə öz-özünə vurulmadı, ancaq bölündü.

İrrasional göstərici ilə dərəcəni təsəvvür etmək son dərəcə çətindir (4 ölçülü fəzanı təsəvvür etmək çətin olduğu kimi). Bu, riyaziyyatçıların dərəcə anlayışını bütün ədədlər fəzasına genişləndirmək üçün yaratdıqları sırf riyazi obyektdir.

Yeri gəlmişkən, elmdə mürəkkəb göstəricili dərəcədən tez-tez istifadə olunur, yəni göstərici hətta həqiqi ədəd deyil. Ancaq məktəbdə belə çətinliklər haqqında düşünmürük, institutda bu yeni anlayışları dərk etmək imkanınız olacaq;

Əgər irrasional eksponent görsək nə edəcəyik? Bundan xilas olmaq üçün əlimizdən gələni edirik! :)

Məsələn:

Özünüz üçün qərar verin:

1)

2)

3)

Cavablar:

1. Kvadratlar düsturunun fərqini xatırlayaq. Cavab: .
2. Kəsrləri eyni formaya endiririk: ya hər iki onluq, ya da hər ikisi adi. Məsələn, alırıq: .
3. Xüsusi bir şey yoxdur, dərəcələrin adi xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

BÖLMƏNİN XÜLASƏSİ VƏ ƏSAS FORMULLAR

Dərəcə formasının ifadəsi adlanır: , burada:

Tam eksponentli dərəcə

eksponenti natural ədəd olan dərəcə (yəni tam və müsbət).

Rasional göstərici ilə güc

dərəcə, eksponenti mənfi və kəsr ədədlərdir.

İrrasional göstərici ilə dərəcə

eksponenti sonsuz onluq kəsr və ya kök olan dərəcə.

Dərəcələrin xüsusiyyətləri

Dərəcələrin xüsusiyyətləri.

• Mənfi rəqəm yüksəldi hətta dərəcə, - nömrə müsbət.
• Mənfi rəqəm yüksəldi qəribə dərəcə, - nömrə mənfi.
• İstənilən dərəcədə müsbət ədəd müsbət ədəddir.
• Sıfır istənilən gücə bərabərdir.
• Sıfır gücünə qədər istənilən ədəd bərabərdir.

İNDİ SÖZ SƏNDƏDİR...

Məqaləni necə bəyənirsiniz? Bəyənmədiyinizi şərhlərdə aşağıda yazın.

Dərəcə xüsusiyyətlərindən istifadə təcrübəniz haqqında bizə məlumat verin.

Bəlkə suallarınız var. Və ya təkliflər.

Şərhlərdə yazın.

Və imtahanlarınızda uğurlar!