EntrataCollasso di un'equazione quadratica. Risoluzione di equazioni quadratiche, formula di radice, esempi
", cioè equazioni di primo grado. In questa lezione vedremo quella che viene chiamata equazione quadratica e come risolverlo.
Cos'è un'equazione quadratica?
Importante!
Il grado di un'equazione è determinato dal grado più alto in cui si trova l'incognita.
Se grado massimo, in cui l'incognita è “2”, il che significa che hai un'equazione quadratica.
Esempi di equazioni quadratiche
- 5x2 − 14x + 17 = 0
- −x2+x+
= 01 3 - x2 + 0,25x = 0
- x2-8 = 0
Importante! La forma generale di un'equazione quadratica è simile alla seguente:
Ax2 + bx + c = 0
Ad “a”, “b” e “c” vengono assegnati numeri.- “a” è il primo o il coefficiente più alto;
- “b” è il secondo coefficiente;
- “c” è un membro gratuito.
Per trovare “a”, “b” e “c” devi confrontare la tua equazione con la forma generale dell’equazione quadratica “ax 2 + bx + c = 0”.
Esercitiamoci a determinare i coefficienti "a", "b" e "c" nelle equazioni quadratiche.
| Equazione | Probabilità | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- un = −1
- b = 1
- c =
1 3
- un = 1
- b = 0,25
- c = 0
- un = 1
- b = 0
- c = −8
Come risolvere le equazioni quadratiche
A differenza di equazioni lineari risolvere equazioni quadratiche ne viene utilizzato uno speciale formula per trovare le radici.
Ricordare!
Per risolvere un'equazione quadratica è necessario:
- ridurre l'equazione quadratica a aspetto generale"asse 2 + bx + c = 0".
- Cioè, solo lo “0” dovrebbe rimanere sul lato destro;
usa la formula per le radici:
Diamo un'occhiata a un esempio di come utilizzare la formula per trovare le radici di un'equazione quadratica. Risolviamo un'equazione quadratica.
X2 − 3x − 4 = 0 L'equazione “x 2 − 3x − 4 = 0” è già stata ridotta alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0” e non necessita di ulteriori semplificazioni. Per risolverlo, dobbiamo solo applicare.
formula per trovare le radici di un'equazione quadratica
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
Determiniamo i coefficienti “a”, “b” e “c” per questa equazione.
x1;2 =
Può essere utilizzato per risolvere qualsiasi equazione quadratica.
Nella formula “x 1;2 = ” l'espressione radicale viene spesso sostituita
Consideriamo un altro esempio di equazione quadratica.
x2 + 9 + x = 7x
In questa forma è abbastanza difficile determinare i coefficienti “a”, “b” e “c”. Riduciamo prima l'equazione alla forma generale “ax 2 + bx + c = 0”.
X2 + 9 + x = 7x
x2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 − 6x = 0
x2 − 6x + 9 = 0
Ora puoi usare la formula per le radici.
X1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Risposta: x = 3
Ci sono momenti in cui le equazioni quadratiche non hanno radici. Questa situazione si verifica quando la formula contiene un numero negativo sotto la radice.
IN società moderna la capacità di eseguire operazioni con equazioni contenenti una variabile al quadrato può essere utile in molte aree di attività ed è ampiamente utilizzata nella pratica negli sviluppi scientifici e tecnici. La prova di ciò può essere trovata nella progettazione di navi marittime e fluviali, aerei e razzi. Utilizzando tali calcoli, vengono determinate le traiettorie di movimento di un'ampia varietà di corpi, compresi gli oggetti spaziali. Gli esempi con la soluzione di equazioni quadratiche vengono utilizzati non solo nelle previsioni economiche, nella progettazione e costruzione di edifici, ma anche nelle circostanze quotidiane più ordinarie. Potrebbero essere necessari durante le escursioni, in occasione di eventi sportivi, nei negozi per fare acquisti e in altre situazioni molto comuni.
Suddividiamo l'espressione nei suoi fattori che la compongono
Il grado di un'equazione è determinato dal valore massimo del grado della variabile contenuta nell'espressione. Se è uguale a 2, tale equazione è chiamata quadratica.
Se parliamo nel linguaggio delle formule, le espressioni indicate, non importa come appaiono, possono sempre essere riportate nella forma quando il lato sinistro dell'espressione è composto da tre termini. Tra questi: ax 2 (cioè una variabile al quadrato con il suo coefficiente), bx (un'incognita senza quadrato con il suo coefficiente) e c (una componente libera, cioè numero regolare). Tutto questo sul lato destro è uguale a 0. Nel caso in cui tale polinomio manchi di uno dei suoi termini costitutivi, ad eccezione dell'asse 2, si parla di equazione quadratica incompleta. Per prima cosa dovrebbero essere considerati esempi con la soluzione di tali problemi, i valori delle variabili in cui sono facili da trovare.
Se l'espressione sembra avere due termini sul lato destro, più precisamente ax 2 e bx, il modo più semplice per trovare x è mettere la variabile tra parentesi. Ora la nostra equazione sarà simile a questa: x(ax+b). Successivamente diventa ovvio che x=0, oppure il problema si riduce a trovare una variabile dalla seguente espressione: ax+b=0. Ciò è dettato da una delle proprietà della moltiplicazione. La regola afferma che il prodotto di due fattori dà come risultato 0 solo se uno dei due è zero.
Esempio
x=0 oppure 8x - 3 = 0
Di conseguenza, otteniamo due radici dell'equazione: 0 e 0,375.
Equazioni di questo tipo possono descrivere il movimento dei corpi sotto l'influenza della gravità, che hanno iniziato a muoversi da un certo punto, preso come origine delle coordinate. Qui prende la notazione matematica il seguente modulo: y = v 0 t + gt 2 /2. Sostituendo i valori necessari, equiparando il lato destro a 0 e trovando le possibili incognite, si può scoprire il tempo che passa dal momento in cui il corpo si alza al momento in cui cade, oltre a tante altre quantità. Ma di questo parleremo più tardi.
Fattorizzazione di un'espressione
La regola sopra descritta permette di risolvere questi problemi in più casi difficili. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di equazioni quadratiche di questo tipo.
X2 - 33x + 200 = 0
Questo trinomio quadratico è completo. Innanzitutto, trasformiamo l'espressione e la fattorizziamo. Ce ne sono due: (x-8) e (x-25) = 0. Di conseguenza, abbiamo due radici 8 e 25.
Esempi con la risoluzione di equazioni quadratiche di grado 9 consentono a questo metodo di trovare una variabile nelle espressioni non solo del secondo, ma anche del terzo e del quarto ordine.
Ad esempio: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Quando si fattorizza il lato destro in fattori con una variabile, ce ne sono tre, cioè (x+1), (x-3) e (x+ 3).
Di conseguenza, diventa ovvio che questa equazione ha tre radici: -3; -1; 3.
Radice quadrata
Un altro caso equazione incompleta il secondo ordine è un'espressione rappresentata nella lingua delle lettere in modo tale che il lato destro sia costruito dalle componenti ax 2 e c. Qui, per ottenere il valore della variabile, viene trasferito il termine libero lato destro, e successivamente da entrambi i lati dell'uguaglianza estraiamo radice quadrata. Va notato che in questo caso di solito ci sono due radici dell'equazione. Le uniche eccezioni possono essere le uguaglianze che non contengono affatto un termine con, dove la variabile è uguale a zero, così come le varianti di espressioni quando il lato destro è negativo. In quest'ultimo caso non esiste alcuna soluzione poiché le azioni di cui sopra non possono essere eseguite con root. Dovrebbero essere considerati esempi di soluzioni di equazioni quadratiche di questo tipo.
In questo caso, le radici dell'equazione saranno i numeri -4 e 4.
Calcolo della superficie terrestre
La necessità di questo tipo di calcoli è apparsa nei tempi antichi, perché lo sviluppo della matematica in quei tempi lontani era in gran parte determinato dalla necessità di determinare con la massima precisione le aree e i perimetri dei terreni.
Dovremmo anche considerare esempi di risoluzione di equazioni quadratiche basate su problemi di questo tipo.
Quindi, diciamo che c'è un appezzamento di terreno rettangolare, la cui lunghezza è 16 metri maggiore della larghezza. Dovresti trovare la lunghezza, la larghezza e il perimetro del sito se sai che la sua superficie è di 612 m2.
Per iniziare, creiamo prima l'equazione necessaria. Indichiamo con x la larghezza dell'area, quindi la sua lunghezza sarà (x+16). Da quanto scritto segue che l'area è determinata dall'espressione x(x+16), che, secondo le condizioni del nostro problema, è 612. Ciò significa che x(x+16) = 612.
Risolvere equazioni quadratiche complete, e questa espressione è esattamente quella, non può essere fatta allo stesso modo. Perché? Sebbene il lato sinistro contenga ancora due fattori, il loro prodotto non è affatto uguale a 0, quindi qui vengono utilizzati metodi diversi.
Discriminante
Prima di tutto, quindi, facciamo le dovute trasformazioni aspetto di questa espressione sarà simile a questa: x 2 + 16x - 612 = 0. Ciò significa che abbiamo ricevuto un'espressione in una forma corrispondente allo standard precedentemente specificato, dove a=1, b=16, c=-612.
Questo potrebbe essere un esempio di risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando un discriminante. Qui calcoli necessari sono prodotti secondo lo schema: D = b 2 - 4ac. Questa quantità ausiliaria non solo consente di trovare le quantità richieste in un'equazione del secondo ordine, ma determina la quantità possibili opzioni. Se D>0 ce ne sono due; per D=0 c'è una radice. Nel caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
A proposito delle radici e della loro formula
Nel nostro caso il discriminante è pari a: 256 - 4(-612) = 2704. Ciò suggerisce che il nostro problema ha una risposta. Se conosci k, la soluzione delle equazioni quadratiche deve essere continuata utilizzando la formula seguente. Ti permette di calcolare le radici.
Ciò significa che nel caso presentato: x 1 =18, x 2 =-34. La seconda opzione di questo dilemma non può essere una soluzione, perché le dimensioni del terreno non possono essere misurate in quantità negative, il che significa che x (cioè la larghezza del terreno) è 18 m. Da qui calcoliamo la lunghezza: 18 +16=34, e il perimetro 2(34+ 18)=104(m2).
Esempi e compiti
Continuiamo il nostro studio delle equazioni quadratiche. Di seguito verranno forniti esempi e soluzioni dettagliate di molti di essi.
1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1
Spostiamo tutto a sinistra dell'uguaglianza, facciamo una trasformazione, cioè otteniamo il tipo di equazione che di solito viene chiamata standard e la equiparamo a zero.
15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0
Aggiungendo quelli simili, determiniamo il discriminante: D = 49 - 48 = 1. Ciò significa che la nostra equazione avrà due radici. Calcoliamoli secondo la formula sopra, il che significa che il primo sarà uguale a 4/3 e il secondo a 1.
2) Ora risolviamo misteri di tipo diverso.
Scopriamo se ci sono radici qui x 2 - 4x + 5 = 1? Per ottenere una risposta esauriente riduciamo il polinomio alla corrispondente forma usuale e calcoliamo il discriminante. Nell'esempio sopra non è necessario risolvere l'equazione quadratica, perché questa non è affatto l'essenza del problema. In questo caso D = 16 - 20 = -4, il che significa che in realtà non ci sono radici.
Il teorema di Vieta
È conveniente risolvere le equazioni quadratiche utilizzando le formule precedenti e il discriminante, quando la radice quadrata viene ricavata dal valore di quest'ultimo. Ma questo non sempre accade. Tuttavia, in questo caso esistono molti modi per ottenere i valori delle variabili. Esempio: risoluzione di equazioni quadratiche utilizzando il teorema di Vieta. Prende il nome da colui che visse nel XVI secolo in Francia e fece una brillante carriera grazie al suo talento matematico e ai contatti a corte. Il suo ritratto può essere visto nell'articolo.
Lo schema notato dal famoso francese era il seguente. Dimostrò che la somma delle radici dell'equazione numericamente dà -p=b/a, e il loro prodotto corrisponde a q=c/a.
Ora diamo un'occhiata ai compiti specifici.
3x2 + 21x - 54 = 0
Per semplicità trasformiamo l'espressione:
x2 + 7x - 18 = 0
Usiamo il teorema di Vieta, questo ci darà quanto segue: la somma delle radici è -7 e il loro prodotto è -18. Da qui otteniamo che le radici dell'equazione sono i numeri -9 e 2. Dopo aver verificato, ci assicureremo che questi valori variabili si adattino effettivamente all'espressione.
Grafico ed equazione della parabola
I concetti di funzione quadratica ed equazioni quadratiche sono strettamente correlati. Esempi di ciò sono già stati forniti in precedenza. Ora diamo un'occhiata ad alcuni enigmi matematici un po' più in dettaglio. Qualsiasi equazione del tipo descritto può essere rappresentata visivamente. Tale relazione, rappresentata come grafico, è chiamata parabola. I suoi vari tipi sono presentati nella figura seguente.
Ogni parabola ha un vertice, cioè un punto da cui escono i suoi rami. Se a>0 vanno alti all'infinito, e quando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Le rappresentazioni visive delle funzioni aiutano a risolvere qualsiasi equazione, comprese quelle quadratiche. Questo metodo è chiamato grafico. E il valore della variabile x è la coordinata dell'ascissa nei punti in cui la linea del grafico si interseca con 0x. Le coordinate del vertice si possono trovare utilizzando la formula appena data x 0 = -b/2a. E sostituendo il valore risultante nell'equazione originale della funzione, puoi scoprire y 0, cioè la seconda coordinata del vertice della parabola, che appartiene all'asse delle ordinate.
L'intersezione dei rami di una parabola con l'asse delle ascisse
Esistono molti esempi di risoluzione di equazioni quadratiche, ma esistono anche modelli generali. Diamo un'occhiata a loro. È chiaro che l'intersezione del grafico con l'asse 0x per a>0 è possibile solo se y 0 assume valori negativi. E per a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altrimenti D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Dal grafico della parabola puoi anche determinare le radici. È vero anche il contrario. Cioè, se non è facile ottenere una rappresentazione visiva di una funzione quadratica, puoi equiparare il lato destro dell'espressione a 0 e risolvere l'equazione risultante. E conoscendo i punti di intersezione con l'asse 0x, è più semplice costruire un grafico.
Dalla storia
Usando equazioni contenenti una variabile quadrata, ai vecchi tempi non solo facevano calcoli matematici e determinavano le aree delle figure geometriche. Gli antichi avevano bisogno di tali calcoli per grandi scoperte nei campi della fisica e dell'astronomia, nonché per fare previsioni astrologiche.
Come suggeriscono gli scienziati moderni, gli abitanti di Babilonia furono tra i primi a risolvere equazioni quadratiche. Ciò è accaduto quattro secoli prima della nostra era. Naturalmente, i loro calcoli erano radicalmente diversi da quelli attualmente accettati e si rivelarono molto più primitivi. Ad esempio, i matematici mesopotamici non avevano idea dell’esistenza dei numeri negativi. Inoltre non avevano familiarità con altre sottigliezze che ogni scolaretto moderno conosce.
Forse anche prima degli scienziati di Babilonia, il saggio indiano Baudhayama iniziò a risolvere le equazioni quadratiche. Ciò accadde circa otto secoli prima dell'era di Cristo. È vero, le equazioni del secondo ordine, i metodi per risolverli da lui forniti, erano i più semplici. Oltre a lui, anche i matematici cinesi in passato si interessavano a questioni simili. In Europa, le equazioni quadratiche iniziarono a essere risolte solo all'inizio del XIII secolo, ma in seguito furono utilizzate nelle loro opere da grandi scienziati come Newton, Cartesio e molti altri.
Appena. Secondo formule e regole chiare e semplici. Nella prima fase
è necessario portare l'equazione data in una forma standard, ad es. al modulo:
Se l'equazione ti è già stata fornita in questa forma, non è necessario eseguire la prima fase. La cosa più importante è farlo bene
determinare tutti i coefficienti, UN, B E C.
Formula per trovare le radici di un'equazione quadratica.
Si chiama l'espressione sotto il segno della radice discriminante . Come puoi vedere, per trovare X, noi
usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti da equazione quadratica. Basta inserirlo con attenzione
valori a, b e c Calcoliamo in questa formula. Sostituiamo con loro segni!
Per esempio, nell'equazione:
UN =1; B = 3; C = -4.
Sostituiamo i valori e scriviamo:
L'esempio è quasi risolto:
Questa è la risposta.
Gli errori più comuni sono la confusione con i valori dei segni un, b E Con. O meglio, con la sostituzione
valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Qui viene in soccorso una registrazione dettagliata della formula
con numeri specifici. Se hai problemi con i calcoli, fallo!
Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:
Qui UN = -6; B = -5; C = -1
Descriviamo tutto nel dettaglio, attentamente, senza tralasciare nulla con tutti i segni e le parentesi:
Le equazioni quadratiche spesso appaiono leggermente diverse. Ad esempio, in questo modo:
Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori.
Primo appuntamento. Non essere pigro prima Risoluzione di un'equazione quadratica riportarlo alla forma standard.
Cosa significa questo?
Diciamo che dopo tutte le trasformazioni ottieni la seguente equazione:
Non abbiate fretta di scrivere la formula radice! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c.
Costruisci l'esempio correttamente. Prima X al quadrato, poi senza quadrato, poi il termine libero. In questo modo:
Sbarazzarsi del meno. Come? Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Otteniamo:
Ma ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e finire di risolvere l'esempio.
Decidi tu stesso. Ora dovresti avere le radici 2 e -1.
Seconda accoglienza. Controlla le radici! Di Il teorema di Vieta.
Per risolvere le equazioni quadratiche indicate, ad es. se il coefficiente
x2+bx+c=0,
Poix1x2 =c
x1 +x2 =−B
Per un'equazione quadratica completa in cui a≠1:
x2+Bx+C=0,
dividi l'intera equazione per UN:
→ 
→
Dove x1 E X 2 - radici dell'equazione.
Terzo ricevimento. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplicare
equazione con denominatore comune.
Conclusione. Consigli pratici:
1. Prima di risolverla, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard e la costruiamo Giusto.
2. Se davanti alla X al quadrato c'è un coefficiente negativo, lo eliminiamo moltiplicando il tutto
equazioni per -1.
3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il corrispondente
fattore.
4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata
Equazioni quadratiche. Discriminante. Soluzione, esempi.
Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)
Tipi di equazioni quadratiche
Cos'è un'equazione quadratica? Che aspetto ha? A termine equazione quadratica la parola chiave è "piazza". Ciò significa che nell'equazione Necessariamente deve esserci una x al quadrato. Oltre a ciò, l'equazione può (o non può!) contenere solo X (alla prima potenza) e solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci X per una potenza maggiore di due.
In termini matematici, un'equazione quadratica è un'equazione della forma:
Qui a, b e c- alcuni numeri. b e c- assolutamente qualsiasi, ma UN– qualsiasi cosa diversa da zero. Per esempio:
Qui UN =1; B = 3; C = -4
Qui UN =2; B = -0,5; C = 2,2
Qui UN =-3; B = 6; C = -18
Beh, hai capito...
In queste equazioni quadratiche a sinistra c'è set completo membri. X al quadrato con un coefficiente UN, x alla prima potenza con coefficiente B E membri liberi s.
Tali equazioni quadratiche sono chiamate pieno.
Cosa succede se B= 0, cosa otteniamo? Abbiamo X verrà perso alla prima potenza. Ciò accade se moltiplicato per zero.) Risulta, ad esempio:
5x2-25 = 0,
2x2 -6x=0,
-x2+4x=0
Ecc. E se entrambi i coefficienti B E C sono uguali a zero, allora è ancora più semplice:
2x2 =0,
-0,3x2 =0
Vengono chiamate tali equazioni in cui manca qualcosa equazioni quadratiche incomplete. Il che è abbastanza logico.) Tieni presente che x al quadrato è presente in tutte le equazioni.
A proposito, perché UN non può essere uguale a zero? E invece sostituisci UN zero.) La nostra X al quadrato scomparirà! L'equazione diventerà lineare. E la soluzione è completamente diversa...
Questi sono tutti i principali tipi di equazioni quadratiche. Completo e incompleto.
Risoluzione di equazioni quadratiche.
Risoluzione di equazioni quadratiche complete.
Le equazioni quadratiche sono facili da risolvere. Secondo formule e regole chiare e semplici. Nella prima fase, è necessario portare l'equazione data in una forma standard, ad es. al modulo:
Se l'equazione ti è già stata fornita in questa forma, non è necessario eseguire la prima fase.) La cosa principale è determinare correttamente tutti i coefficienti, UN, B E C.
La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è simile alla seguente:
Si chiama l'espressione sotto il segno della radice discriminante. Ma di più su di lui di seguito. Come puoi vedere, per trovare X, usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti di un'equazione quadratica. Sostituisci semplicemente i valori con attenzione a, b e c Calcoliamo in questa formula. Sostituiamo con i tuoi segni! Ad esempio, nell'equazione:
UN =1; B = 3; C= -4. Qui lo scriviamo:
L'esempio è quasi risolto:
Questa è la risposta.
E' molto semplice. E cosa, pensi che sia impossibile commettere un errore? Ebbene sì, come...
Gli errori più comuni sono la confusione con i valori dei segni a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove confondersi?), ma con la sostituzione dei valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Ciò che aiuta qui è una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!
Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:
Qui UN = -6; B = -5; C = -1
Diciamo che sai che raramente ottieni risposte la prima volta.
Beh, non essere pigro. Ci vorranno circa 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori diminuirà drasticamente. Quindi scriviamo nel dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:
Sembra incredibilmente difficile scriverlo con tanta attenzione. Ma sembra solo così. Provatelo. Bene, o scegli. Cosa è meglio, veloce o giusto?
Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po’ non ci sarà più bisogno di scrivere tutto così attentamente. Andrà tutto bene da solo. Soprattutto se usi le tecniche pratiche descritte di seguito. Questo esempio malvagio con un sacco di svantaggi può essere risolto facilmente e senza errori!
Ma, spesso, le equazioni quadratiche sembrano leggermente diverse. Ad esempio, in questo modo: L'hai riconosciuto?) Sì! Questo.
equazioni quadratiche incomplete
Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete. a, b e c.
Possono anche essere risolti utilizzando una formula generale. Devi solo capire correttamente a cosa sono uguali qui. Lo hai capito? Nel primo esempio un = 1; b = -4; C UN ? Non c'è affatto! Ebbene sì, è vero. In matematica questo significa questo c = 0 ! Questo è tutto. Sostituisci invece lo zero nella formula e ci riusciremo. Lo stesso con il secondo esempio. Solo che qui non abbiamo zero Con, UN B !
Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte in modo molto più semplice. Senza alcuna formula. Consideriamo la prima equazione incompleta. Cosa puoi fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X dalle parentesi! Tiriamolo fuori.
E allora? E il fatto che il prodotto sia uguale a zero se e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non mi credi? Ok, allora trova due numeri diversi da zero che, una volta moltiplicati, diano zero!
Non funziona? Questo è tutto...
Pertanto possiamo tranquillamente scrivere: x1 = 0, x2 = 4.
Tutto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi sono adatti. Sostituendo uno qualsiasi di essi nell'equazione originale, otteniamo l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice rispetto all'utilizzo della formula generale. Faccio notare, tra l'altro, quale X sarà il primo e quale sarà il secondo, assolutamente indifferente. È conveniente scrivere in ordine, x1- cosa è più piccolo e x2- ciò che è più grande.
Anche la seconda equazione può essere risolta in modo semplice. Sposta 9 sul lato destro. Otteniamo:
Non resta che estrarre la radice da 9, e il gioco è fatto. Risulterà:
Anche due radici . x1 = -3, x2 = 3.
Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O inserendo la X tra parentesi o semplicemente spostando il numero a destra ed estraendo la radice.
È estremamente difficile confondere queste tecniche. Semplicemente perché nel primo caso bisognerà estrarre la radice di X, cosa per certi versi incomprensibile, e nel secondo caso non c'è niente da togliere dalle parentesi...
Discriminante. Formula discriminante.
Parola magica discriminante ! Raramente uno studente delle scuole superiori non ha sentito questa parola! La frase “risolviamo attraverso un discriminante” ispira fiducia e rassicurazione. Perché non c'è bisogno di aspettarsi trucchi dal discriminante! È semplice e senza problemi da usare.) Ti ricordo la formula più generale per la risoluzione Qualunque equazioni quadratiche:
L'espressione sotto il segno della radice è chiamata discriminante. Tipicamente il discriminante è indicato dalla lettera D. Formula discriminante:
D = b2 - 4ac
E cosa c'è di così straordinario in questa espressione? Perché meritava un nome speciale? Che cosa il significato del discriminante? Dopotutto -B, O 2a in questa formula non lo chiamano in alcun modo... Lettere e lettere.
Ecco il punto. Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questa formula, è possibile soli tre casi.
1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che è possibile estrarne la radice. Che la radice venga estratta bene o male è una questione diversa. Ciò che è importante è ciò che viene estratto in linea di principio. Allora la tua equazione quadratica ha due radici. Due soluzioni diverse.
2. Il discriminante è zero. Allora avrai una soluzione. Poiché aggiungere o sottrarre zero al numeratore non cambia nulla. A rigor di termini, questa non è una radice, ma due identici. Ma, in una versione semplificata, è consuetudine parlarne una soluzione.
3. Il discriminante è negativo. Non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Vabbè. Ciò significa che non ci sono soluzioni.
Ad essere onesti, quando si risolvono semplicemente equazioni quadratiche, il concetto di discriminante non è realmente necessario. Sostituiamo i valori dei coefficienti nella formula e contiamo. Tutto accade lì da solo, due radici, una e nessuna. Tuttavia, quando si risolvono compiti più complessi, senza conoscenza significato e formula del discriminante non riesco a cavarmela. Soprattutto nelle equazioni con parametri. Tali equazioni sono acrobazie per l'Esame di Stato e per l'Esame di Stato Unificato!)
COSÌ, come risolvere equazioni quadratiche attraverso il discriminante che ricordavi. Oppure hai imparato, il che non è male.) Sai come determinare correttamente a, b e c. Sai come? attentamente sostituiscili nella formula radice e attentamente contare il risultato. Capisci che la parola chiave qui è attentamente?
Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Gli stessi che sono dovuti alla disattenzione... Per cui poi diventa doloroso e offensivo...
Primo appuntamento
. Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica e portarla nella forma standard. Cosa significa questo?
Diciamo che dopo tutte le trasformazioni ottieni la seguente equazione:
Non abbiate fretta di scrivere la formula radice! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c. Costruisci l'esempio correttamente. Prima X al quadrato, poi senza quadrato, poi il termine libero. In questo modo:
E ancora, non avere fretta! Un meno davanti a una X al quadrato può davvero sconvolgerti. È facile dimenticare... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Otteniamo:
Ma ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e finire di risolvere l'esempio. Decidi tu stesso.
Seconda accoglienza. Ora dovresti avere le radici 2 e -1. Controlla le radici! Secondo il teorema di Vieta. Non aver paura, ti spiegherò tutto! Controllo scorso equazione. Quelli. quello che abbiamo usato per scrivere la formula della radice. Se (come in questo esempio) il coefficiente un = 1 , controllare le radici è facile. È sufficiente moltiplicarli. Il risultato dovrebbe essere un membro gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Nota: non 2, ma -2! Membro gratuito con il tuo segno
. Se non funziona, significa che hai già fatto un casino da qualche parte. Cerca l'errore. B Se funziona, devi aggiungere le radici. Ultimo e definitivo controllo. Il coefficiente dovrebbe essere Con
familiare. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente B, che è prima della X, è uguale a -1. Quindi è tutto corretto!
È un peccato che ciò sia così semplice solo per gli esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente un = 1. Ma almeno controlla tali equazioni! Ci saranno sempre meno errori.
Terzo ricevimento . Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplica l'equazione per un denominatore comune come descritto nella lezione "Come risolvere le equazioni? Trasformazioni di identità". Quando si lavora con le frazioni, gli errori continuano a insinuarsi per qualche motivo...
A proposito, ho promesso di semplificare l'esempio malvagio con un sacco di svantaggi. Per favore! Eccolo.
Per non confonderci con gli svantaggi, moltiplichiamo l'equazione per -1. Otteniamo:
Questo è tutto! Risolvere è un piacere!
Allora, riassumiamo l'argomento.
Consigli pratici:
1. Prima di risolverla, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard e la costruiamo Giusto.
2. Se davanti alla X al quadrato c'è un coefficiente negativo, lo eliminiamo moltiplicando l'intera equazione per -1.
3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.
4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente è uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata utilizzando il teorema di Vieta. Fallo!
Ora possiamo decidere.)
Risolvi le equazioni:
8x2 - 6x + 1 = 0
x2 + 3x + 8 = 0
x2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Risposte (in disordine):
x1 = 0
x2 = 5
x1,2 =2
x1 = 2
x2 = -0,5
x - qualsiasi numero
x1 = -3
x2 = 3
nessuna soluzione
x1 = 0,25
x2 = 0,5
Va tutto bene? Grande! Le equazioni quadratiche non sono il tuo mal di testa. I primi tre hanno funzionato, ma il resto no? Allora il problema non riguarda le equazioni quadratiche. Il problema sta nelle trasformazioni identiche delle equazioni. Dai un'occhiata al link, è utile.
Non funziona del tutto? Oppure non funziona affatto? Allora la Sezione 555 ti aiuterà. Tutti questi esempi sono suddivisi lì. Mostrato principale errori nella soluzione. Naturalmente parliamo anche dell'uso di trasformazioni identiche nella risoluzione di varie equazioni. Aiuta molto!
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Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)
Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.
Un'equazione quadratica incompleta differisce dalle equazioni classiche (complete) in quanto i suoi fattori o il termine libero sono uguali a zero. I grafici di tali funzioni sono parabole. A seconda del loro aspetto generale, sono divisi in 3 gruppi. I principi di soluzione per tutti i tipi di equazioni sono gli stessi.
Non c'è nulla di complicato nel determinare il tipo di un polinomio incompleto. È meglio considerare le principali differenze utilizzando esempi visivi:
- Se b = 0, allora l'equazione è ax 2 + c = 0.
- Se c = 0, allora l'espressione ax 2 + bx = 0 dovrebbe essere risolta.
- Se b = 0 e c = 0, il polinomio si trasforma in un'uguaglianza come ax 2 = 0.
Quest'ultimo caso è più una possibilità teorica e non si verifica mai nei compiti di verifica della conoscenza, poiché l'unico valore corretto della variabile x nell'espressione è zero. In futuro verranno presi in considerazione metodi ed esempi per risolvere equazioni quadratiche incomplete di tipo 1) e 2).
Algoritmo generale per la ricerca di variabili ed esempi con soluzioni
Indipendentemente dal tipo di equazione, l'algoritmo di soluzione si riduce ai seguenti passaggi:
- Riduci l'espressione a una forma comoda per trovare le radici.
- Eseguire calcoli.
- Scrivi la risposta.
Il modo più semplice per risolvere equazioni incomplete è fattorizzare il lato sinistro e lasciare uno zero a destra. Pertanto, la formula per un'equazione quadratica incompleta per trovare le radici si riduce al calcolo del valore di x per ciascuno dei fattori.
Puoi imparare a risolverlo solo attraverso la pratica, quindi consideriamo un esempio specifico di come trovare le radici di un'equazione incompleta:
Come puoi vedere, in questo caso b = 0. Fattorizziamo il lato sinistro e otteniamo l'espressione:
4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.
Ovviamente il prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. I valori della variabile x1 = 0,5 e (o) x2 = -0,5 soddisfano requisiti simili.
Per affrontare facilmente e rapidamente il problema della fattorizzazione di un trinomio quadratico, dovresti ricordare la seguente formula:
Se nell'espressione non è presente alcun termine libero, il problema è notevolmente semplificato. Basterà solo trovare e mettere tra parentesi il denominatore comune. Per chiarezza, considera un esempio di come risolvere equazioni quadratiche incomplete della forma ax2 + bx = 0.
Togliamo la variabile x tra parentesi e otteniamo la seguente espressione:
x ⋅ (x + 3) = 0.
Guidati dalla logica, arriviamo alla conclusione che x1 = 0 e x2 = -3.
Metodo risolutivo tradizionale ed equazioni quadratiche incomplete
Cosa succede se applichi la formula discriminante e provi a trovare le radici di un polinomio con coefficienti uguali a zero? Prendiamo un esempio da una raccolta di compiti standard per l'Esame di Stato Unificato in Matematica 2017, risolviamolo utilizzando formule standard e il metodo di fattorizzazione.
7x2 – 3x = 0.
Calcoliamo il valore discriminante: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Risulta che il polinomio ha due radici:
Ora risolviamo l'equazione fattorizzando e confrontiamo i risultati.
X ⋅ (7x + 3) = 0,
2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.
Come puoi vedere, entrambi i metodi danno lo stesso risultato, ma risolvere l'equazione utilizzando il secondo metodo è stato molto più semplice e veloce.
Il teorema di Vieta
Ma cosa fare con il teorema preferito di Vieta? Questo metodo può essere utilizzato quando il trinomio è incompleto? Proviamo a comprendere gli aspetti legati al portare le equazioni incomplete alla forma classica ax2 + bx + c = 0.
In effetti in questo caso è possibile applicare il teorema di Vieta. È solo necessario riportare l'espressione alla sua forma generale, sostituendo i termini mancanti con zero.
Ad esempio, con b = 0 e a = 1, per eliminare ogni possibilità di confusione, il compito dovrebbe essere scritto nella forma: ax2 + 0 + c = 0. Quindi il rapporto tra somma e prodotto delle radici e i fattori del polinomio possono essere espressi come segue:
I calcoli teorici aiutano a conoscere l'essenza del problema e richiedono sempre lo sviluppo di competenze nella risoluzione di problemi specifici. Torniamo di nuovo al libro di consultazione delle attività standard per l'esame di stato unificato e troviamo un esempio adatto:
Scriviamo l'espressione in una forma conveniente per applicare il teorema di Vieta:
x2 + 0 – 16 = 0.
Il passo successivo è creare un sistema di condizioni:
Ovviamente le radici del polinomio quadratico saranno x 1 = 4 ex 2 = -4.
Ora, esercitiamoci a riportare l'equazione nella sua forma generale. Prendiamo il seguente esempio: 1/4× x 2 – 1 = 0
Per applicare il teorema di Vieta ad un'espressione è necessario eliminare la frazione. Moltiplichiamo i lati sinistro e destro per 4 e osserviamo il risultato: x2– 4 = 0. L'uguaglianza risultante può essere risolta con il teorema di Vieta, ma è molto più semplice e veloce ottenere la risposta semplicemente spostando c = 4 a destra dell'equazione: x2 = 4.
Riassumendo, il modo migliore per risolvere equazioni incomplete è la fattorizzazione, che è il metodo più semplice e veloce. Se sorgono difficoltà nel processo di ricerca delle radici, è possibile ricorrere al metodo tradizionale di ricerca delle radici attraverso un discriminante.