Equazioni quadratiche in cui a c b. Equazioni quadratiche incomplete

Scuola secondaria rurale Kopyevskaya

10 modi per risolvere le equazioni quadratiche

Responsabile: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

insegnante di matematica

villaggio Kopevo, 2007

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

1.2 Come Diofanto compilò e risolse equazioni quadratiche

1.3 Equazioni quadratiche in India

1.4 Equazioni quadratiche di al-Khorezmi

1.5 Le equazioni quadratiche in Europa secoli XIII - XVII

1.6 Sul teorema di Vieta

2. Metodi per risolvere equazioni quadratiche

Conclusione

Letteratura

1. Storia dello sviluppo delle equazioni quadratiche

1.1 Equazioni quadratiche nell'antica Babilonia

La necessità di risolvere equazioni non solo del primo, ma anche del secondo grado, già nell'antichità, era causata dalla necessità di risolvere problemi legati al reperimento di aree di terreni e con lavori di scavo di carattere militare, nonché come con lo sviluppo dell'astronomia e della matematica stessa. Le equazioni quadratiche potrebbero essere risolte intorno al 2000 a.C. e. Babilonesi.

Usando la moderna notazione algebrica, possiamo dire che nei loro testi cuneiformi ci sono, oltre a quelli incompleti, come, ad esempio, equazioni quadratiche complete:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

La regola per risolvere queste equazioni, esposta nei testi babilonesi, coincide essenzialmente con quella moderna, ma non si sa come i babilonesi siano arrivati ​​a questa regola. Quasi tutti i testi cuneiformi rinvenuti finora forniscono solo problemi con soluzioni presentate sotto forma di ricette, senza alcuna indicazione sul modo in cui sono stati ritrovati.

Nonostante alto livello sviluppo dell'algebra in Babilonia, i testi cuneiformi mancano del concetto di numero negativo e metodi generali Risoluzione di equazioni quadratiche.

1.2 Come Diofanto compose e risolse le equazioni quadratiche.

L'Aritmetica di Diofanto non contiene una presentazione sistematica dell'algebra, ma contiene una serie sistematica di problemi, accompagnati da spiegazioni e risolti costruendo equazioni di vario grado.

Quando compone le equazioni, Diofanto seleziona abilmente le incognite per semplificare la soluzione.

Ecco, ad esempio, uno dei suoi compiti.

Problema 11.“Trova due numeri sapendo che la loro somma è 20 e il loro prodotto è 96”

Le ragioni di Diofanto come segue: dalle condizioni del problema segue che i numeri richiesti non sono uguali, poiché se fossero uguali, il loro prodotto non sarebbe uguale a 96, ma a 100. Pertanto, uno di essi sarà più della metà della loro somma , cioè. 10+x, l'altro è minore, cioè 10. La differenza tra loro 2x .

Da qui l'equazione:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 -x2 = 96

x2 - 4 = 0 (1)

Da qui x = 2. Uno dei numeri richiesti è uguale a 12 , altro 8 . Soluzione x = -2 poiché Diofanto non esiste, poiché la matematica greca conosceva solo numeri positivi.

Se risolviamo questo problema scegliendo come incognita uno dei numeri richiesti, arriveremo alla soluzione dell'equazione

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

È chiaro che, scegliendo come incognita la semidifferenza dei numeri richiesti, Diofanto semplifica la soluzione; riesce a ridurre il problema alla soluzione di un'equazione quadratica incompleta (1).

1.3 Equazioni quadratiche in India

Problemi sulle equazioni quadratiche si trovano già nel trattato astronomico “Aryabhattiam”, compilato nel 499 dal matematico e astronomo indiano Aryabhatta. Un altro scienziato indiano, Brahmagupta (VII secolo), ha delineato regola generale soluzioni di equazioni quadratiche ridotte ad un'unica forma canonica:

ah 2+ B x = c, a > 0. (1)

Nell'equazione (1), i coefficienti, eccetto UN, può anche essere negativo. La regola di Brahmagupta è essenzialmente la stessa della nostra.

IN Antica India I concorsi pubblici per risolvere problemi difficili erano comuni. Uno dei vecchi libri indiani dice quanto segue riguardo a tali competizioni: “Come il sole eclissa le stelle con il suo splendore, così uomo colto eclissare la gloria altrui nelle assemblee popolari proponendo e risolvendo problemi algebrici”. I problemi venivano spesso presentati in forma poetica.

Questo è uno dei problemi del famoso matematico indiano del XII secolo. Bhaskars.

Problema 13.

“Uno stormo di scimmie allegre, e dodici lungo le vigne...

Le autorità, dopo aver mangiato, si sono divertite. Hanno cominciato a saltare, ad impiccarsi...

Ci sono loro in piazza, ottava parte Quante scimmie c'erano?

Mi stavo divertendo nella radura. Dimmi, in questo pacchetto?

La soluzione di Bhaskara indica che sapeva che le radici delle equazioni quadratiche hanno due valori (Fig. 3).

L’equazione corrispondente al problema 13 è:

( X /8) 2 + 12 = X

Bhaskara scrive sotto mentite spoglie:

x2 - 64x = -768

e, per completare il lato sinistro di questa equazione al quadrato, somma a entrambi i lati 32 2 , ottenendo quindi:

x2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x-32 = ± 16,

x1 = 16, x2 = 48.

1.4 Equazioni quadratiche in al - Khorezmi

Nel trattato algebrico di al-Khorezmi viene fornita una classificazione delle equazioni lineari e quadratiche. L'autore conta 6 tipi di equazioni, esprimendoli come segue:

1) “I quadrati sono uguali alle radici”, cioè asse 2 + c = B X.

2) “I quadrati sono uguali ai numeri”, cioè asse 2 = c.

3) “Le radici sono uguali al numero”, cioè ah = s.

4) “I quadrati e i numeri sono uguali alle radici”, cioè asse 2 + c = B X.

5) “I quadrati e le radici sono uguali ai numeri”, cioè ah 2+ bx = s.

6) “Le radici e i numeri sono uguali ai quadrati”, cioè bx + c = asse 2 .

Per al-Khorezmi, che evitò l'uso di numeri negativi, i termini di ciascuna di queste equazioni sono addendi e non sottrattivi. In questo caso ovviamente le equazioni che non hanno soluzioni positive non vengono prese in considerazione. L'autore espone metodi per risolvere queste equazioni utilizzando le tecniche di al-jabr e al-muqabala. Le sue decisioni, ovviamente, non coincidono completamente con le nostre. Per non parlare del fatto che è puramente retorico, va notato, ad esempio, che quando si risolve un'equazione quadratica incompleta del primo tipo

al-Khorezmi, come tutti i matematici prima del XVII secolo, non tiene conto della soluzione zero, probabilmente perché in specifico problemi pratici non importa. Quando si risolvono equazioni quadratiche complete al-Khorezmi su parziale esempi numerici espone le regole per la soluzione e poi le dimostrazioni geometriche.

Problema 14.“Il quadrato e il numero 21 equivalgono a 10 radici. Trova la radice" (implica la radice dell'equazione x 2 + 21 = 10x).

La soluzione dell'autore è più o meno questa: dividi il numero di radici a metà, ottieni 5, moltiplica 5 per se stesso, sottrai 21 dal prodotto, ciò che rimane è 4. Prendi la radice da 4, ottieni 2. Sottrai 2 da 5 , ottieni 3, questa sarà la radice desiderata. Oppure aggiungi 2 a 5, che dà 7, anche questa è una radice.

Il trattato di al-Khorezmi è il primo libro che ci è pervenuto, che espone sistematicamente la classificazione delle equazioni quadratiche e fornisce formule per la loro soluzione.

1.5 Equazioni quadratiche in Europa XIII - XVII bb

Le formule per risolvere le equazioni quadratiche sulla falsariga di al-Khorezmi in Europa furono esposte per la prima volta nel Libro dell'Abaco, scritto nel 1202 dal matematico italiano Leonardo Fibonacci. Questo lavoro voluminoso, che riflette l'influenza della matematica, sia dei paesi islamici che Antica Grecia, si distingue sia per completezza che per chiarezza espositiva. L'autore ha sviluppato in modo indipendente alcuni nuovi esempi algebrici di risoluzione dei problemi ed è stato il primo in Europa ad avvicinarsi all'introduzione dei numeri negativi. Il suo libro contribuì alla diffusione della conoscenza algebrica non solo in Italia, ma anche in Germania, Francia e altri paesi europei. Molti problemi del Libro dell'Abaco furono utilizzati in quasi tutti i libri di testo europei dei secoli XVI-XVII. e in parte XVIII.

La regola generale per risolvere equazioni quadratiche ridotte a un'unica forma canonica:

x2+ bx = c,

per tutte le possibili combinazioni di segni di coefficiente B , Con fu formulato in Europa solo nel 1544 da M. Stiefel.

Derivazione della formula per risolvere un'equazione quadratica in visione generale Il Viet ce l'ha, ma il Viet ha riconosciuto solo le radici positive. I matematici italiani Tartaglia, Cardano, Bombelli furono tra i primi nel XVI secolo. Oltre a quelle positive, vengono prese in considerazione anche le radici negative. Solo nel XVII secolo. Grazie al lavoro di Girard, Cartesio, Newton e altri scienziati, il metodo per risolvere le equazioni quadratiche assume una forma moderna.

1.6 Sul teorema di Vieta

Il teorema che esprime la relazione tra i coefficienti di un'equazione quadratica e le sue radici, intitolato a Vieta, fu da lui formulato per la prima volta nel 1591 come segue: “Se B + D, moltiplicato per UN - UN 2 , uguale B.D, Quello UNè uguale IN e pari D ».

Per comprendere la Vieta, dovremmo ricordarlo UN, come ogni lettera vocale, significava l'ignoto (nostro X), vocali IN, D- coefficienti per l'incognita. Nel linguaggio dell'algebra moderna, la formulazione Vieta di cui sopra significa: se c'è

(un + B )x - x2 = ab ,

x2 - (un + B )x + a B = 0,

x1 = un, x2 = B .

Esprimendo la relazione tra radici e coefficienti delle equazioni con formule generali scritte utilizzando simboli, Viète stabilì l'uniformità nei metodi di risoluzione delle equazioni. Tuttavia, il simbolismo del Viet è ancora lontano aspetto moderno. Non riconosceva i numeri negativi e quindi, quando risolveva le equazioni, considerava solo i casi in cui tutte le radici erano positive.

2. Metodi per risolvere equazioni quadratiche

Le equazioni quadratiche sono il fondamento su cui poggia il maestoso edificio dell'algebra. Le equazioni quadratiche sono ampiamente utilizzate per risolvere equazioni e disequazioni trigonometriche, esponenziali, logaritmiche, irrazionali e trascendenti. Sappiamo tutti come risolvere equazioni quadratiche dalla scuola (ottava elementare) fino alla laurea.

Equazioni quadratiche. Discriminante. Soluzione, esempi.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Tipi di equazioni quadratiche

Cos'è un'equazione quadratica? Che aspetto ha? A termine equazione quadratica la parola chiave è "piazza". Ciò significa che nell'equazione Necessariamente deve esserci una x al quadrato. Oltre a ciò, l'equazione può (o non può!) contenere solo X (alla prima potenza) e solo un numero (membro gratuito). E non dovrebbero esserci X per una potenza maggiore di due.

In termini matematici, un'equazione quadratica è un'equazione della forma:

Qui a, b e c- alcuni numeri. b e c- assolutamente qualsiasi, ma UN– qualsiasi cosa diversa da zero. Per esempio:

Qui UN =1; B = 3; C = -4

Qui UN =2; B = -0,5; C = 2,2

Qui UN =-3; B = 6; C = -18

Beh, hai capito...

In queste equazioni quadratiche a sinistra c'è set completo membri. X al quadrato con un coefficiente UN, x alla prima potenza con coefficiente B E membri liberi s.

Tali equazioni quadratiche sono chiamate pieno.

Cosa succede se B= 0, cosa otteniamo? Abbiamo X verrà perso alla prima potenza. Ciò accade se moltiplicato per zero.) Risulta, ad esempio:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x2+4x=0

Ecc. E se entrambi i coefficienti B E C sono uguali a zero, allora è ancora più semplice:

2x2 =0,

-0,3x2 =0

Vengono chiamate tali equazioni in cui manca qualcosa equazioni quadratiche incomplete. Il che è abbastanza logico.) Tieni presente che x al quadrato è presente in tutte le equazioni.

A proposito, perché UN non può essere uguale a zero? E invece sostituisci UN zero.) La nostra X al quadrato scomparirà! L'equazione diventerà lineare. E la soluzione è completamente diversa...

Questi sono tutti i principali tipi di equazioni quadratiche. Completo e incompleto.

Risoluzione di equazioni quadratiche.

Risoluzione di equazioni quadratiche complete.

Le equazioni quadratiche sono facili da risolvere. Secondo formule e regole chiare e semplici. Nella prima fase, è necessario portare l'equazione data in una forma standard, ad es. al modulo:

Se l'equazione ti è già stata fornita in questa forma, non è necessario eseguire la prima fase.) La cosa principale è determinare correttamente tutti i coefficienti, UN, B E C.

La formula per trovare le radici di un'equazione quadratica è simile alla seguente:

Si chiama l'espressione sotto il segno della radice discriminante. Ma di più su di lui di seguito. Come puoi vedere, per trovare X, usiamo solo a, b e c. Quelli. coefficienti di un'equazione quadratica. Sostituisci semplicemente i valori con attenzione a, b e c Calcoliamo in questa formula. Sostituiamo con i tuoi segni! Ad esempio, nell'equazione:

UN =1; B = 3; C= -4. Qui lo scriviamo:

L'esempio è quasi risolto:

Questa è la risposta.

E' molto semplice. E cosa, pensi che sia impossibile commettere un errore? Ebbene sì, come...

Gli errori più comuni sono la confusione con i valori dei segni a, b e c. O meglio, non con i loro segni (dove confondersi?), ma con la sostituzione dei valori negativi nella formula per il calcolo delle radici. Ciò che aiuta qui è una registrazione dettagliata della formula con numeri specifici. Se ci sono problemi con i calcoli, fallo!

Supponiamo di dover risolvere il seguente esempio:

Qui UN = -6; B = -5; C = -1

Diciamo che sai che raramente ottieni risposte la prima volta.

Beh, non essere pigro. Ci vorranno circa 30 secondi per scrivere una riga in più e il numero di errori diminuirà drasticamente. Quindi scriviamo nel dettaglio, con tutte le parentesi e i segni:

Sembra incredibilmente difficile scriverlo con tanta attenzione. Ma sembra solo così. Provatelo. Bene, o scegli. Cosa è meglio, veloce o giusto?

Inoltre, ti renderò felice. Dopo un po’ non ci sarà più bisogno di scrivere tutto così attentamente. Funzionerà da solo. Soprattutto se usi le tecniche pratiche descritte di seguito. Questo esempio malvagio con un sacco di svantaggi può essere risolto facilmente e senza errori!

Ma, spesso, le equazioni quadratiche sembrano leggermente diverse. Ad esempio, in questo modo: L'hai riconosciuto?) Sì! Questo.

equazioni quadratiche incomplete

Risoluzione di equazioni quadratiche incomplete. a, b e c.

Possono anche essere risolti utilizzando una formula generale. Devi solo capire correttamente a cosa sono uguali qui. Lo hai capito? Nel primo esempio un = 1; b = -4; C UN ? Non c'è affatto! Ebbene sì, è vero. In matematica questo significa questo c = 0 ! Questo è tutto. Sostituisci invece lo zero nella formula C, Con e ci riusciremo. Lo stesso con il secondo esempio. Solo che qui non abbiamo zero B !

, UN Ma le equazioni quadratiche incomplete possono essere risolte in modo molto più semplice. Senza alcuna formula. Consideriamo il primo equazione completa

. Cosa puoi fare sul lato sinistro? Puoi togliere la X dalle parentesi! Tiriamolo fuori.
E allora? E il fatto che il prodotto sia uguale a zero se e solo se uno qualsiasi dei fattori è uguale a zero! Non mi credi? Ok, allora trova due numeri diversi da zero che, una volta moltiplicati, diano zero!
Non funziona? Questo è tutto... Pertanto possiamo tranquillamente scrivere:, x1 = 0.

x2 = 4 Tutto. Queste saranno le radici della nostra equazione. Entrambi sono adatti. Sostituendo uno qualsiasi di essi nell'equazione originale, otteniamo l'identità corretta 0 = 0. Come puoi vedere, la soluzione è molto più semplice rispetto all'utilizzo della formula generale. Faccio notare, tra l'altro, quale X sarà il primo e quale sarà il secondo, assolutamente indifferente. È conveniente scrivere in ordine, x1 - cosa è più piccolo e x2

- ciò che è più grande.

Anche la seconda equazione può essere risolta in modo semplice. Sposta 9 sul lato destro. Otteniamo:

Non resta che estrarre la radice da 9, e il gioco è fatto. Risulterà: . Anche due radici, x1 = -3.

Ecco come vengono risolte tutte le equazioni quadratiche incomplete. O inserendo la X tra parentesi o semplicemente spostando il numero a destra ed estraendo la radice.
È estremamente difficile confondere queste tecniche. Semplicemente perché nel primo caso bisognerà estrarre la radice di X, cosa per certi versi incomprensibile, e nel secondo caso non c'è niente da togliere dalle parentesi...

Discriminante. Formula discriminante.

Parola magica discriminante ! Raramente uno studente delle scuole superiori non ha sentito questa parola! La frase “risolviamo attraverso un discriminante” ispira fiducia e rassicurazione. Perché non c'è bisogno di aspettarsi trucchi dal discriminante! È semplice e senza problemi da usare.) Ti ricordo la formula più generale per la risoluzione Qualunque equazioni quadratiche:

L'espressione sotto il segno della radice è chiamata discriminante. Tipicamente il discriminante è indicato dalla lettera D. Formula discriminante:

D = b2 - 4ac

E cosa c'è di così straordinario in questa espressione? Perché meritava un nome speciale? Che cosa il significato del discriminante? Dopotutto -B, O 2a in questa formula non lo chiamano in alcun modo... Lettere e lettere.

Ecco il punto. Quando si risolve un'equazione quadratica utilizzando questa formula, è possibile soli tre casi.

1. Il discriminante è positivo. Ciò significa che è possibile estrarne la radice. Se la radice venga estratta bene o male è un'altra questione. Ciò che è importante è ciò che viene estratto in linea di principio. Allora la tua equazione quadratica ha due radici. Due soluzioni diverse.

2. Il discriminante è zero. Allora avrai una soluzione. Poiché aggiungere o sottrarre zero al numeratore non cambia nulla. A rigor di termini, questa non è una radice, ma due identici. Ma, in una versione semplificata, è consuetudine parlarne una soluzione.

3. Il discriminante è negativo. Non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo. Vabbè. Ciò significa che non ci sono soluzioni.

Onestamente parlando, quando soluzione semplice equazioni quadratiche, il concetto di discriminante non è particolarmente richiesto. Sostituiamo i valori dei coefficienti nella formula e contiamo. Tutto accade lì da solo, due radici, una e nessuna. Tuttavia, quando si risolvono compiti più complessi, senza conoscenza significato e formula del discriminante non riesco a cavarmela. Soprattutto nelle equazioni con parametri. Tali equazioni sono acrobazie per l'Esame di Stato e per l'Esame di Stato Unificato!)

COSÌ, come risolvere equazioni quadratiche attraverso il discriminante che ricordavi. Oppure hai imparato, il che non è male.) Sai come determinare correttamente a, b e c. Sai come? attentamente sostituiscili nella formula radice e attentamente contare il risultato. Lo hai capito? parola chiave Qui - attentamente?

Ora prendi nota delle tecniche pratiche che riducono drasticamente il numero di errori. Gli stessi che sono dovuti a disattenzione... Per cui poi diventa doloroso e offensivo...

Primo appuntamento . Non essere pigro prima di risolvere un'equazione quadratica e portarla nella forma standard. Cosa significa questo?
Diciamo che dopo tutte le trasformazioni ottieni la seguente equazione:

Non abbiate fretta di scrivere la formula radice! Quasi sicuramente confonderai le probabilità a, b e c. Costruisci l'esempio correttamente. Prima X al quadrato, poi senza quadrato, poi il termine libero. In questo modo:

E ancora, non avere fretta! Un meno davanti a una X al quadrato può davvero sconvolgerti. È facile dimenticare... Sbarazzati del meno. Come? Sì, come insegnato nell'argomento precedente! Dobbiamo moltiplicare l'intera equazione per -1. Otteniamo:

Ma ora puoi tranquillamente scrivere la formula per le radici, calcolare il discriminante e finire di risolvere l'esempio. Decidi tu stesso.

Ora dovresti avere le radici 2 e -1. Seconda accoglienza. Controlla le radici! Secondo il teorema di Vieta. Non spaventarti, ti spiegherò tutto! Controllo scorso equazione. Quelli. quello che abbiamo usato per scrivere la formula della radice. Se (come in questo esempio) il coefficiente un = 1 , controllare le radici è facile. È sufficiente moltiplicarli. Il risultato dovrebbe essere un membro gratuito, ad es. nel nostro caso -2. Nota: non 2, ma -2! Membro gratuito con il tuo segno

. Se non funziona, significa che hai già fatto un casino da qualche parte. Cerca l'errore. B Se funziona, devi aggiungere le radici. Ultimo e definitivo controllo. Il coefficiente dovrebbe essere Con opposto B familiare. Nel nostro caso -1+2 = +1. Un coefficiente
, che è prima della X, è uguale a -1. Quindi è tutto corretto! È un peccato che ciò sia così semplice solo per gli esempi in cui x al quadrato è puro, con un coefficiente un = 1.

Ma almeno controlla tali equazioni! Ci saranno sempre meno errori. Terzo ricevimento

. Se la tua equazione ha coefficienti frazionari, elimina le frazioni! Moltiplica l'equazione per un denominatore comune come descritto nella lezione "Come risolvere le equazioni? Trasformazioni di identità". Quando si lavora con le frazioni, gli errori continuano a insinuarsi per qualche motivo...

A proposito, ho promesso di semplificare l'esempio malvagio con un sacco di svantaggi. Per favore! Eccolo.

Per non confonderci con gli svantaggi, moltiplichiamo l'equazione per -1. Otteniamo:

Questo è tutto! Risolvere è un piacere!

Allora, riassumiamo l'argomento.:

Consigli pratici 1. Prima di risolverla, portiamo l'equazione quadratica nella forma standard e la costruiamo.

Giusto

3. Se i coefficienti sono frazionari, eliminiamo le frazioni moltiplicando l'intera equazione per il fattore corrispondente.

4. Se x al quadrato è puro, il suo coefficiente uguale a uno, la soluzione può essere facilmente verificata utilizzando il teorema di Vieta. Fallo!

Ora possiamo decidere.)

Risolvi le equazioni:

8x2 - 6x + 1 = 0

x2 + 3x + 8 = 0

x2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Risposte (in disordine):

Pertanto possiamo tranquillamente scrivere:
x2 = 5

x1,2 =2

x1 = 2
x2 = -0,5

x - qualsiasi numero

Anche due radici
x1 = -3

nessuna soluzione

x1 = 0,25
x2 = 0,5

Va tutto bene? Grande! Le equazioni quadratiche non fanno per te mal di testa. I primi tre hanno funzionato, ma il resto no? Allora il problema non riguarda le equazioni quadratiche. Il problema sta nelle trasformazioni identiche delle equazioni. Dai un'occhiata al link, è utile.

Non funziona del tutto? Oppure non funziona affatto? Allora la Sezione 555 ti aiuterà. Tutti questi esempi sono suddivisi lì. Mostrato principale errori nella soluzione. Naturalmente parliamo anche dell'uso di trasformazioni identiche nella risoluzione di varie equazioni. Aiuta molto!

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Di più in modo semplice. Per fare ciò, metti z tra parentesi. Otterrai: z(аz + b) = 0. I fattori possono essere scritti: z=0 e аz + b = 0, poiché entrambi possono dare zero. Nella notazione az + b = 0 spostiamo la seconda a destra con segno diverso. Da qui otteniamo z1 = 0 e z2 = -b/a. Queste sono le radici dell'originale.

Se c'è equazione incompleta della forma аz² + с = 0, in questo caso si trovano semplicemente spostando il termine libero a destra dell'equazione. Cambia anche il suo segno. Il risultato sarà az² = -с. Espresso z² = -c/a. Prendi la radice e scrivi due soluzioni: positiva e valore negativo radice quadrata.

notare che

Se nell'equazione sono presenti coefficienti frazionari, moltiplica l'intera equazione per il fattore appropriato in modo da eliminare le frazioni.

La conoscenza di come risolvere le equazioni quadratiche è necessaria sia per gli scolari che per gli studenti, a volte può aiutare anche un adulto vita ordinaria. Esistono diversi metodi di soluzione specifici.

Risoluzione di equazioni quadratiche

Equazione quadratica della forma a*x^2+b*x+c=0. Il coefficiente x è la variabile desiderata, a, b, c sono coefficienti numerici. Ricorda che il segno “+” può cambiare in un segno “-”.

Per risolvere questa equazione è necessario utilizzare il teorema di Vieta o trovare il discriminante. Il metodo più comune è trovare il discriminante, poiché per alcuni valori di a, b, c non è possibile utilizzare il teorema di Vieta.

Per trovare il discriminante (D), è necessario scrivere la formula D=b^2 - 4*a*c. Il valore D può essere maggiore, minore o uguale a zero. Se D è maggiore o meno di zero, allora ci saranno due radici; se D=0, allora rimarrà una sola radice, più precisamente possiamo dire che D in questo caso ha due radici equivalenti; Sostituisci i coefficienti noti a, b, c nella formula e calcola il valore.

Dopo aver trovato il discriminante, usa le formule per trovare x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, dove sqrt è una funzione che significa prendere la radice quadrata di un dato numero. Dopo aver calcolato queste espressioni, troverai due radici della tua equazione, dopodiché l'equazione sarà considerata risolta.

Se D è minore di zero allora ha ancora radici. Questa sezione non è praticamente studiata a scuola. Gli studenti universitari dovrebbero essere consapevoli che sotto la radice appare un numero negativo. Se ne sbarazzano evidenziando la parte immaginaria, cioè -1 sotto la radice è sempre uguale all'elemento immaginario “i”, che viene moltiplicato per la radice con lo stesso numero positivo. Ad esempio, se D=sqrt(-20), dopo la trasformazione otteniamo D=sqrt(20)*i. Dopo questa trasformazione, la risoluzione dell'equazione si riduce alla stessa ricerca delle radici descritta sopra.

Il teorema di Vieta consiste nel selezionare i valori di x(1) e x(2). Vengono utilizzate due equazioni identiche: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=ñ. E molto punto importanteè il segno davanti al coefficiente b, ricorda che questo segno è opposto a quello nell'equazione. A prima vista, sembra che calcolare x(1) e x(2) sia molto semplice, ma durante la risoluzione ti troverai di fronte al fatto che dovrai selezionare i numeri.

Elementi di risoluzione delle equazioni quadratiche

Secondo le regole della matematica, alcune possono essere fattorizzate: (a+x(1))*(b-x(2))=0, se sei riuscito a trasformare questa equazione quadratica in modo simile usando formule matematiche, sentiti libero di farlo scrivere la risposta. x(1) e x(2) saranno uguali ai coefficienti adiacenti tra parentesi, ma con il segno opposto.

Inoltre, non dimenticare le equazioni quadratiche incomplete. Potrebbero mancarti alcuni termini; in tal caso tutti i suoi coefficienti sono semplicemente uguali a zero. Se non c'è nulla davanti a x^2 o x, allora i coefficienti a e b sono uguali a 1.

Le equazioni quadratiche vengono studiate in terza media, quindi qui non c'è nulla di complicato. La capacità di risolverli è assolutamente necessaria.

Un'equazione quadratica è un'equazione della forma ax 2 + bx + c = 0, dove i coefficienti a, b e c sono numeri arbitrari e a ≠ 0.

Prima di studiare metodi di soluzione specifici, si noti che tutte le equazioni quadratiche possono essere divise in tre classi:

1. Non hanno radici;
2. Avere esattamente una radice;
3. Hanno due radici diverse.

Questa è una differenza importante tra le equazioni quadratiche e quelle lineari, dove la radice esiste sempre ed è unica. Come determinare quante radici ha un'equazione? C'è una cosa meravigliosa in questo - discriminante.

Discriminante

Sia data l'equazione quadratica ax 2 + bx + c = 0. Allora il discriminante è semplicemente il numero D = b 2 − 4ac.

Devi conoscere questa formula a memoria. Da dove viene non è importante adesso. Un'altra cosa è importante: dal segno del discriminante puoi determinare quante radici ha un'equazione quadratica. Vale a dire:

1. Se d< 0, корней нет;
2. Se D = 0, esiste esattamente una radice;
3. Se D > 0 ci saranno due radici.

Nota: il discriminante indica il numero di radici e non i loro segni, come per qualche motivo molte persone credono. Dai un'occhiata agli esempi e capirai tutto da solo:

Compito. Quante radici hanno le equazioni quadratiche:

1. x2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Scriviamo i coefficienti della prima equazione e troviamo il discriminante:
un = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Quindi il discriminante è positivo, quindi l'equazione ha due radici diverse. Analizziamo la seconda equazione in modo simile:
un = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Il discriminante è negativo, non ci sono radici. L'ultima equazione rimasta è:
un = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Il discriminante è zero, la radice sarà uno.

Si prega di notare che i coefficienti sono stati scritti per ciascuna equazione. Sì, è lungo, sì, è noioso, ma non confonderai le probabilità e non commetterai errori stupidi. Scegli tu stesso: velocità o qualità.

A proposito, se ci prendi la mano, dopo un po' non avrai più bisogno di annotare tutti i coefficienti. Eseguirai tali operazioni nella tua testa. La maggior parte delle persone inizia a farlo da qualche parte dopo 50-70 equazioni risolte, in generale, non così tanto.

Radici di un'equazione quadratica

Passiamo ora alla soluzione stessa. Se il discriminante D > 0 le radici si possono trovare utilizzando le formule:

Formula base per le radici di un'equazione quadratica

Quando D = 0, puoi utilizzare una qualsiasi di queste formule: otterrai lo stesso numero, che sarà la risposta. Infine, se il d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prima equazione:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ l'equazione ha due radici. Troviamoli:

Seconda equazione:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ l'equazione ha ancora due radici. Troviamoli

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(allinea)\]

Infine, la terza equazione:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ l'equazione ha una radice. È possibile utilizzare qualsiasi formula. Ad esempio, il primo:

Come puoi vedere dagli esempi, tutto è molto semplice. Se conosci le formule e sai contare, non ci saranno problemi. Molto spesso si verificano errori quando si sostituiscono coefficienti negativi nella formula. Anche in questo caso, la tecnica sopra descritta aiuterà: guarda la formula letteralmente, scrivi ogni passaggio e molto presto ti libererai degli errori.

Equazioni quadratiche incomplete

Accade che un'equazione quadratica sia leggermente diversa da quanto indicato nella definizione. Per esempio:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2-16 = 0.

È facile notare che a queste equazioni manca uno dei termini. Tali equazioni quadratiche sono ancora più facili da risolvere di quelle standard: non richiedono nemmeno il calcolo del discriminante. Quindi, introduciamo un nuovo concetto:

L'equazione ax 2 + bx + c = 0 è chiamata equazione quadratica incompleta se b = 0 o c = 0, cioè il coefficiente della variabile x o dell'elemento libero è uguale a zero.

Naturalmente, un caso molto difficile è possibile quando entrambi questi coefficienti sono uguali a zero: b = c = 0. In questo caso, l'equazione assume la forma ax 2 = 0. Ovviamente, tale equazione ha un'unica radice: x = 0.

Consideriamo i restanti casi. Sia b = 0, quindi otteniamo un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0. Trasformiamola un po':

Dall'aritmetica radice quadrata esiste solo da un numero non negativo, l’ultima uguaglianza ha senso solo per (−c /a) ≥ 0. Conclusione:

1. Se in un'equazione quadratica incompleta della forma ax 2 + c = 0 la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0 è soddisfatta, ci saranno due radici. La formula è quella riportata sopra;
2. Se (−c /a)< 0, корней нет.

Come puoi vedere, non era richiesto un discriminante: non ci sono calcoli complessi nelle equazioni quadratiche incomplete. In realtà non è nemmeno necessario ricordare la disuguaglianza (−c /a) ≥ 0. Basta esprimere il valore x 2 e vedere cosa c'è dall'altra parte del segno di uguale. Se lì numero positivo- ci saranno due radici. Se è negativo, non ci saranno radici.

Consideriamo ora le equazioni della forma ax 2 + bx = 0, in cui l'elemento libero è uguale a zero. Qui tutto è semplice: ci saranno sempre due radici. È sufficiente fattorizzare il polinomio:

Rimozione moltiplicatore comune fuori staffa

Il prodotto è zero quando almeno uno dei fattori è zero. Da qui provengono le radici. In conclusione, diamo un’occhiata ad alcune di queste equazioni:

Compito. Risolvere equazioni quadratiche:

1. x2-7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Non ci sono radici, perché un quadrato non può essere uguale a un numero negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Questo argomento può sembrare complicato a prima vista a causa di molte formule non così semplici. Non solo le stesse equazioni quadratiche hanno notazioni lunghe, ma anche le radici si trovano attraverso il discriminante. In totale si ottengono tre nuove formule. Non molto facile da ricordare. Ciò è possibile solo dopo aver risolto frequentemente tali equazioni. Quindi tutte le formule verranno ricordate da sole.

Vista generale di un'equazione quadratica

Qui ne proponiamo la notazione esplicita, scrivendo prima il grado più grande, e poi in ordine decrescente. Ci sono spesso situazioni in cui i termini non sono coerenti. Allora è meglio riscrivere l'equazione in ordine decrescente rispetto al grado della variabile.

Introduciamo qualche notazione. Sono presentati nella tabella seguente.

Se accettiamo queste notazioni, tutte le equazioni quadratiche si riducono alla seguente notazione.

Inoltre, il coefficiente a ≠ 0. Lascia che questa formula sia designata come numero uno.

Quando viene data un'equazione, non è chiaro quante radici ci saranno nella risposta. Perché è sempre possibile una delle tre opzioni:

• la soluzione avrà due radici;
• la risposta sarà un numero;
• l'equazione non avrà alcuna radice.

E finché la decisione non sarà definitiva, è difficile capire quale opzione apparirà in un caso particolare.

Tipi di registrazioni di equazioni quadratiche

Potrebbero esserci voci diverse nelle attività. Non sembreranno sempre formula generale equazione quadratica. A volte mancheranno alcuni termini. Quanto scritto sopra è l'equazione completa. Se rimuovi il secondo o il terzo termine, ottieni qualcos'altro. Questi record sono anche chiamati equazioni quadratiche, solo incomplete.

Inoltre, solo i termini con coefficienti “b” e “c” possono scomparire. Il numero "a" non può essere uguale a zero in nessun caso. Perché in questo caso la formula si trasforma in un'equazione lineare. Le formule per la forma incompleta delle equazioni saranno le seguenti:

Quindi, ci sono solo due tipi, oltre a quelle complete, ci sono anche equazioni quadratiche incomplete. Lascia che la prima formula sia la numero due e la seconda tre.

Discriminante e dipendenza del numero di radici dal suo valore

È necessario conoscere questo numero per calcolare le radici dell'equazione. Può sempre essere calcolato, indipendentemente dalla formula dell'equazione quadratica. Per poter calcolare il discriminante è necessario utilizzare l'uguaglianza scritta sotto, che avrà il numero quattro.

Dopo aver sostituito i valori dei coefficienti in questa formula, puoi ottenere i numeri con segni diversi. Se la risposta è sì, la risposta all'equazione sarà costituita da due radici diverse. A numero negativo mancheranno le radici dell'equazione quadratica. Se è uguale a zero, la risposta sarà una sola.

Come risolvere un'equazione quadratica completa?

In effetti, l'esame di questo problema è già iniziato. Perché prima bisogna trovare una discriminante. Dopo aver determinato che esistono radici dell'equazione quadratica e che il loro numero è noto, è necessario utilizzare le formule per le variabili. Se ci sono due radici, è necessario applicare la seguente formula.

Poiché contiene un segno “±”, ci saranno due significati. L'espressione sotto il segno della radice quadrata è il discriminante. Pertanto la formula può essere riscritta diversamente.

Formula numero cinque. Dalla stessa registrazione risulta chiaro che se il discriminante è uguale a zero allora entrambe le radici assumeranno gli stessi valori.

Se la risoluzione delle equazioni quadratiche non è stata ancora risolta, è meglio annotare i valori di tutti i coefficienti prima di applicare le formule discriminanti e variabili. Più tardi questo momento non causerà difficoltà. Ma proprio all’inizio c’è confusione.

Come risolvere un'equazione quadratica incompleta?

Qui è tutto molto più semplice. Non c'è nemmeno bisogno di formule aggiuntive. E quelli che sono già stati scritti per il discriminante e l'ignoto non saranno necessari.

Per prima cosa, diamo un'occhiata all'equazione incompleta numero due. In questa uguaglianza è necessario togliere l'incognita tra parentesi e risolvere l'equazione lineare, che rimarrà tra parentesi. La risposta avrà due radici. Il primo è necessariamente uguale a zero, perché esiste un moltiplicatore costituito dalla variabile stessa. La seconda sarà ottenuta risolvendo un'equazione lineare.

L'equazione incompleta numero tre viene risolta spostando il numero dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra. Quindi è necessario dividere per il coefficiente rivolto all'ignoto. Non resta che estrarre la radice quadrata e ricordarsi di scriverla due volte con segni opposti.

Di seguito sono riportate alcune azioni che ti aiuteranno a imparare a risolvere tutti i tipi di uguaglianze che si trasformano in equazioni quadratiche. Aiuteranno lo studente a evitare errori dovuti a disattenzione. Queste carenze possono causare voti bassi quando si studia l'ampio argomento "Equazioni quadratiche (ottavo grado)". Successivamente, queste azioni non dovranno essere eseguite costantemente. Perché apparirà un'abilità stabile.

• Per prima cosa devi scrivere l'equazione in forma standard. Cioè, prima il termine con il grado più grande della variabile, quindi - senza grado e infine - solo un numero.

• Se prima del coefficiente "a" appare un segno meno, ciò può complicare il lavoro per un principiante che studia le equazioni quadratiche. È meglio liberarsene. A questo scopo, tutte le uguaglianze devono essere moltiplicate per “-1”. Ciò significa che tutti i termini cambieranno segno in senso opposto.

• Si consiglia di eliminare le frazioni allo stesso modo. Moltiplica semplicemente l'equazione per il fattore appropriato in modo che i denominatori si annullino.

Esempi

È necessario risolvere le seguenti equazioni quadratiche:

x2-7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

La prima equazione: x 2 − 7x = 0. È incompleta, quindi viene risolta come descritto per la formula numero due.

Dopo averlo tolto tra parentesi, risulta: x (x - 7) = 0.

La prima radice assume il valore: x 1 = 0. La seconda si troverà da equazione lineare: x - 7 = 0. È facile vedere che x 2 = 7.

Seconda equazione: 5x 2 + 30 = 0. Ancora incompleta. Solo che viene risolto come descritto per la terza formula.

Dopo aver spostato 30 sul lato destro dell'equazione: 5x 2 = 30. Ora devi dividere per 5. Risulta: x 2 = 6. Le risposte saranno i numeri: x 1 = √6, x 2 = - √6.

La terza equazione: 15 − 2x − x 2 = 0. Qui e oltre, la risoluzione delle equazioni quadratiche inizierà riscrivendole nella forma standard: − x 2 − 2x + 15 = 0. Ora è il momento di utilizzare la seconda consiglio utile e moltiplica tutto per meno uno. Risulta x 2 + 2x - 15 = 0. Usando la quarta formula, devi calcolare il discriminante: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. È un numero positivo. Da quanto detto sopra risulta che l'equazione ha due radici. Devono essere calcolati utilizzando la quinta formula. Risulta che x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Quindi x 1 = 3, x 2 = - 5.

La quarta equazione x 2 + 8 + 3x = 0 si trasforma in questa: x 2 + 3x + 8 = 0. Il suo discriminante è pari a questo valore: -23. Poiché questo numero è negativo, la risposta a questo compito sarà la seguente voce: "Non ci sono radici".

La quinta equazione 12x + x 2 + 36 = 0 va riscritta come segue: x 2 + 12x + 36 = 0. Dopo aver applicato la formula del discriminante, si ottiene il numero zero. Ciò significa che avrà una radice, vale a dire: x = -12/ (2 * 1) = -6.

La sesta equazione (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) richiede delle trasformazioni, che consistono nel fatto che è necessario riportare termini simili, aprendo prima le parentesi. Al posto della prima ci sarà la seguente espressione: x 2 + 2x + 1. Dopo l'uguaglianza, apparirà questa voce: x 2 + 3x + 2. Dopo aver contato i termini simili, l'equazione assumerà la forma: x 2 - x = 0. È diventato incompleto. Qualcosa di simile è già stato discusso un po' più in alto. Le radici di questo saranno i numeri 0 e 1.