Moltiplica un numero per una frazione proprio come un numero normale. Regole per moltiplicare le frazioni per i numeri

Un'altra operazione che può essere eseguita con le frazioni ordinarie è la moltiplicazione. Cercheremo di spiegare le sue regole di base quando risolviamo i problemi, mostreremo come moltiplicare una frazione ordinaria per un numero naturale e come moltiplicare correttamente tre frazioni ordinarie e altro ancora.

Scriviamo innanzitutto la regola base:

Definizione 1

Se moltiplichiamo una frazione ordinaria, il numeratore della frazione risultante sarà uguale al prodotto dei numeratori delle frazioni originali e il denominatore sarà uguale al prodotto dei loro denominatori. In forma letterale, per due frazioni a/b e c/d, questo può essere espresso come a b · c d = a · c b · d.

Vediamo un esempio di come applicare correttamente questa regola. Diciamo di avere un quadrato il cui lato è uguale a un'unità numerica. Quindi l'area della figura sarà 1 quadrato. unità. Se dividiamo il quadrato in rettangoli uguali con lati pari a 1 4 e 1 8 unità numeriche, otteniamo che ora è composto da 32 rettangoli (perché 8 4 = 32). Di conseguenza, l'area di ciascuno di essi sarà pari a 1 32 dell'area dell'intera figura, ad es. 1 32 mq. unità.

Abbiamo un frammento ombreggiato con lati pari a 5 8 unità numeriche e 3 4 unità numeriche. Di conseguenza, per calcolare la sua area, è necessario moltiplicare la prima frazione per la seconda. Sarà pari a 5 8 · 3 4 mq. unità. Ma possiamo semplicemente contare quanti rettangoli sono inclusi nel frammento: ce ne sono 15, il che significa che l'area totale è di 15 32 unità quadrate.

Poiché 5 3 = 15 e 8 4 = 32, possiamo scrivere la seguente uguaglianza:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Conferma la regola che abbiamo formulato per moltiplicare le frazioni ordinarie, che si esprime come a b · c d = a · c b · d. Funziona allo stesso modo sia per le frazioni proprie che per quelle improprie; può essere usato per moltiplicare le frazioni sia con diverso che con diverso stessi denominatori.

Diamo un'occhiata alle soluzioni a diversi problemi che coinvolgono la moltiplicazione delle frazioni ordinarie.

Esempio 1

Moltiplica 7 11 per 9 8.

Soluzione

Per prima cosa calcoliamo il prodotto dei numeratori delle frazioni indicate moltiplicando 7 per 9. Ne abbiamo 63. Quindi calcoliamo il prodotto dei denominatori e otteniamo: 11 · 8 = 88. Componiamo due numeri e la risposta è: 63 88.

L'intera soluzione può essere scritta in questo modo:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Risposta: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Se nella nostra risposta otteniamo una frazione riducibile, dobbiamo completare il calcolo ed eseguirne la riduzione. Se otteniamo una frazione impropria dobbiamo separare da essa l'intera parte.

Esempio 2

Calcola il prodotto delle frazioni 4 15 e 55 6 .

Soluzione

Secondo la regola studiata sopra, dobbiamo moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Il record della soluzione sarà simile al seguente:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Abbiamo una frazione riducibile, cioè uno divisibile per 10.

Riduciamo la frazione: 220 90 mcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Di conseguenza, otteniamo una frazione impropria, dalla quale selezioniamo l'intera parte e otteniamo un numero misto: 22 9 = 2 4 9.

Risposta: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Per comodità di calcolo possiamo anche ridurre le frazioni originali prima di eseguire l'operazione di moltiplicazione, per cui dobbiamo ridurre la frazione alla forma a · c b · d. Scomponiamo i valori delle variabili in fattori primari e ridurremo gli stessi.

Spieghiamo come appare utilizzando i dati di un'attività specifica.

Esempio 3

Calcola il prodotto 4 15 55 6.

Soluzione

Scriviamo i calcoli in base alla regola della moltiplicazione. Otterremo:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Poiché 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 e 6 = 2 3, allora 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Risposta: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Un'espressione numerica in cui si moltiplicano le frazioni ordinarie ha una proprietà commutativa, cioè, se necessario, possiamo cambiare l'ordine dei fattori:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Come moltiplicare una frazione per un numero naturale

Scriviamo subito la regola base, e poi proviamo a spiegarla nella pratica.

Definizione 2

Per moltiplicare una frazione comune per un numero naturale, devi moltiplicare il numeratore di quella frazione per quel numero. In questo caso il denominatore della frazione finale sarà uguale al denominatore della frazione ordinaria originaria. La moltiplicazione di una certa frazione a b per un numero naturale n può essere scritta come la formula a b · n = a · n b.

È facile capire questa formula se ricordi che qualsiasi numero naturale può essere rappresentato come una frazione ordinaria con un denominatore uguale a uno, questo è:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Spieghiamo la nostra idea con esempi specifici.

Esempio 4

Calcola il prodotto 2 27 volte 5.

Soluzione

Come risultato della moltiplicazione del numeratore della frazione originale per il secondo fattore, otteniamo 10. In virtù della regola sopra esposta, otterremo come risultato 10 27. L'intera soluzione è riportata in questo post:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Risposta: 2 27 5 = 10 27

Quando moltiplichiamo un numero naturale per una frazione, spesso dobbiamo abbreviare il risultato o rappresentarlo come un numero misto.

Esempio 5

Condizione: calcola il prodotto 8 per 5 12.

Soluzione

Secondo la regola sopra, moltiplichiamo il numero naturale per il numeratore. Di conseguenza, otteniamo che 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. La frazione finale ha segni di divisibilità per 2, quindi dobbiamo ridurla:

MCM (40, 12) = 4, quindi 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Adesso non ci resta che selezionare l'intera parte e scrivere la risposta pronta: 10 3 = 3 1 3.

In questa voce puoi vedere l'intera soluzione: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Potremmo anche ridurre la frazione scomponendo il numeratore e il denominatore in fattori primi e il risultato sarebbe esattamente lo stesso.

Risposta: 5 12 8 = 3 1 3.

Un'espressione numerica in cui un numero naturale viene moltiplicato per una frazione ha anche la proprietà di spostamento, cioè l'ordine dei fattori non influisce sul risultato:

a b · n = n · a b = a · n b

Come moltiplicare tre o più frazioni comuni

Possiamo estendere all'azione di moltiplicare le frazioni ordinarie le stesse proprietà che sono caratteristiche della moltiplicazione dei numeri naturali. Ciò deriva dalla definizione stessa di questi concetti.

Grazie alla conoscenza delle proprietà combinanti e commutative, puoi moltiplicare tre o più frazioni ordinarie. È accettabile riorganizzare i fattori per maggiore comodità o disporre le parentesi in modo da facilitare il conteggio.

Mostriamo con un esempio come si fa.

Esempio 6

Moltiplica le quattro frazioni comuni 1 20, 12 5, 3 7 e 5 8.

Soluzione: per prima cosa registriamo il lavoro. Otteniamo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Dobbiamo moltiplicare insieme tutti i numeratori e tutti i denominatori: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Prima di iniziare a moltiplicare, possiamo semplificarci un po’ le cose e scomporre alcuni numeri in fattori primi per un’ulteriore riduzione. Questo sarà più semplice che ridurre la frazione risultante che è già pronta.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

Risposta: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Esempio 7

Moltiplica 5 numeri 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Soluzione

Per comodità, possiamo raggruppare la frazione 7 8 con il numero 8 e il numero 12 con la frazione 5 36, poiché le future abbreviazioni ci saranno ovvie. Di conseguenza, otterremo:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Risposta: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

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Nei corsi delle scuole medie e superiori, gli studenti hanno trattato l’argomento “Frazioni”. Tuttavia, questo concetto è molto più ampio di quello che viene fornito nel processo di apprendimento. Oggi, il concetto di frazione si incontra abbastanza spesso e non tutti possono calcolare alcuna espressione, ad esempio moltiplicando le frazioni.

Cos'è una frazione?

Storicamente, i numeri frazionari sono nati dalla necessità di misurare. Come mostra la pratica, ci sono spesso esempi per determinare la lunghezza di un segmento e il volume di un rettangolo rettangolare.

Inizialmente, agli studenti viene introdotto il concetto di condivisione. Ad esempio, se dividi un'anguria in 8 parti, ogni persona riceverà un ottavo dell'anguria. Questa parte di otto è chiamata quota.

Un'azione pari a ½ di qualsiasi valore è detta metà; ⅓ - terzo; ¼ - un quarto. I record della forma 5/8, 4/5, 2/4 sono chiamati frazioni ordinarie. Una frazione comune è divisa in un numeratore e un denominatore. Tra di loro c'è la barra della frazione, o barra della frazione. La linea frazionaria può essere disegnata come una linea orizzontale o obliqua. In questo caso denota il segno di divisione.

Il denominatore rappresenta in quante parti uguali è divisa la quantità o l'oggetto; e il numeratore indica quante azioni identiche vengono prese. Il numeratore è scritto sopra la linea della frazione, il denominatore è scritto sotto di essa.

È più conveniente mostrare le frazioni ordinarie su un raggio coordinato. Se un segmento unitario è diviso in 4 parti uguali, etichetta ciascuna parte Lettera latina, il risultato può essere un eccellente aiuto visivo. Quindi, il punto A mostra una quota pari a 1/4 dell'intero segmento unitario, e il punto B segna 2/8 di un dato segmento.

Tipi di frazioni

Le frazioni possono essere numeri ordinari, decimali e misti. Inoltre, le frazioni possono essere divise in proprie e improprie. Questa classificazione è più adatta per le frazioni ordinarie.

Una frazione propria è un numero il cui numeratore è minore del denominatore. Pertanto una frazione impropria è un numero il cui numeratore è maggiore del denominatore. Il secondo tipo è solitamente scritto come numero misto. Questa espressione è composta da un numero intero e da una parte frazionaria. Ad esempio, 1½. 1- intera parte, ½ - frazionario. Tuttavia, se è necessario eseguire alcune manipolazioni con l'espressione (dividere o moltiplicare le frazioni, ridurle o convertirle), il numero misto viene convertito in una frazione impropria.

Un'espressione frazionaria corretta è sempre inferiore a uno e una errata è sempre maggiore o uguale a 1.

Per quanto riguarda questa espressione, intendiamo un record in cui è rappresentato un numero qualsiasi, il cui denominatore dell'espressione frazionaria può essere espresso in termini di uno con più zeri. Se la frazione è propria, lo è anche l'intera parte notazione decimale sarà uguale a zero.

Per scrivere una frazione decimale, devi prima scrivere l'intera parte, separarla dalla frazione utilizzando una virgola, quindi scrivere l'espressione della frazione. Va ricordato che dopo la virgola decimale il numeratore deve contenere tanti caratteri digitali quanti sono gli zeri nel denominatore.

Esempio. Esprimi la frazione 7 21 / 1000 in notazione decimale.

Algoritmo per convertire una frazione impropria in un numero misto e viceversa

Non è corretto scrivere una frazione impropria nella risposta a un problema, quindi deve essere convertita in un numero misto:

• dividere il numeratore per il denominatore esistente;
• V esempio specifico quoziente incompleto - intero;
• e il resto è il numeratore della parte frazionaria, mentre il denominatore rimane invariato.

Esempio. Converti frazione impropria in numero misto: 47/5.

Soluzione. 47: 5. Il quoziente parziale è 9, il resto = 2. Quindi, 47/5 = 9 2/5.

A volte è necessario rappresentare un numero misto come frazione impropria. Quindi è necessario utilizzare il seguente algoritmo:

• la parte intera viene moltiplicata per il denominatore dell'espressione frazionaria;
• il prodotto risultante viene aggiunto al numeratore;
• il risultato è scritto al numeratore, il denominatore rimane invariato.

Esempio. Rappresentare un numero in forma mista come frazione impropria: 9 8 / 10.

Soluzione. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 è il numeratore.

Risposta: 98 / 10.

Moltiplicazione delle frazioni

Varie operazioni algebriche possono essere eseguite sulle frazioni ordinarie. Per moltiplicare due numeri, devi moltiplicare il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Inoltre, moltiplicare frazioni con denominatori diversi non è diverso dal moltiplicare frazioni con gli stessi denominatori.

Succede che dopo aver trovato il risultato è necessario ridurre la frazione. IN obbligatorioè necessario semplificare il più possibile l'espressione risultante. Naturalmente non si può dire che una frazione impropria in una risposta sia un errore, ma è anche difficile definirla una risposta corretta.

Esempio. Trova il prodotto di due frazioni ordinarie: ½ e 20/18.

Come si vede dall'esempio, dopo aver trovato il prodotto, si ottiene una notazione frazionaria riducibile. Sia il numeratore che il denominatore in questo caso vengono divisi per 4, e il risultato è la risposta 5/9.

Moltiplicazione di frazioni decimali

Il prodotto delle frazioni decimali è molto diverso nel suo principio dal prodotto delle frazioni ordinarie. Quindi, moltiplicare le frazioni è il seguente:

• due frazioni decimali devono essere scritte una sotto l'altra in modo che le cifre più a destra siano una sotto l'altra;
• devi moltiplicare i numeri scritti, nonostante le virgole, cioè come numeri naturali;
• contare il numero di cifre dopo la virgola in ogni numero;
• nel risultato ottenuto dopo la moltiplicazione, è necessario contare da destra tanti simboli digitali quanti sono contenuti nella somma in entrambi i fattori dopo la virgola, e inserire un segno di separazione;
• se il prodotto contiene meno numeri, è necessario scrivere davanti a loro tanti zeri per coprire questo numero, inserire una virgola e aggiungere l'intera parte uguale a zero.

Esempio. Calcola il prodotto di due frazioni decimali: 2,25 e 3,6.

Soluzione.

Moltiplicazione di frazioni miste

Per calcolare il prodotto di due frazioni miste, è necessario utilizzare la regola per moltiplicare le frazioni:

• convertire numeri misti in frazioni improprie;
• trovare il prodotto dei numeratori;
• trovare il prodotto dei denominatori;
• annotare il risultato;
• semplificare il più possibile l'espressione.

Esempio. Trova il prodotto di 4½ e 6 2/5.

Moltiplicare un numero per una frazione (frazioni per un numero)

Oltre a trovare il prodotto di due frazioni e numeri misti, ci sono attività in cui devi moltiplicare per una frazione.

Quindi, per trovare il prodotto di una frazione decimale e un numero naturale, è necessario:

• scrivi il numero sotto la frazione in modo che le cifre più a destra siano una sopra l'altra;
• trovare il prodotto nonostante la virgola;
• nel risultato risultante separare la parte intera dalla parte frazionaria utilizzando una virgola, contando da destra il numero di cifre che si trovano dopo la virgola nella frazione.

Per moltiplicare una frazione comune per un numero, devi trovare il prodotto del numeratore e del fattore naturale. Se la risposta produce una frazione che può essere ridotta, deve essere convertita.

Esempio. Calcola il prodotto di 5/8 e 12.

Soluzione. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Risposta: 7 1 / 2.

Come puoi vedere dall'esempio precedente, era necessario ridurre il risultato risultante e convertire l'espressione frazionaria errata in un numero misto.

La moltiplicazione delle frazioni riguarda anche la ricerca del prodotto di un numero in forma mista e di un fattore naturale. Per moltiplicare questi due numeri, devi moltiplicare l'intera parte del fattore misto per il numero, moltiplicare il numeratore per lo stesso valore e lasciare invariato il denominatore. Se necessario, è necessario semplificare il più possibile il risultato risultante.

Esempio. Trova il prodotto di 9 5/6 e 9.

Soluzione. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Risposta: 88 1 / 2.

Moltiplicazione per fattori di 10, 100, 1000 o 0,1; 0,01; 0,001

Dal paragrafo precedente consegue la seguente regola. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, 10000, ecc., è necessario spostare la virgola verso destra di tante cifre quanti sono gli zeri dopo quello del fattore.

Esempio 1. Trova il prodotto tra 0,065 e 1000.

Soluzione. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Risposta: 65.

Esempio 2. Trova il prodotto di 3,9 e 1000.

Soluzione. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Risposta: 3900.

Se devi moltiplicare un numero naturale e 0,1; 0,01; 0,001; 0.0001, ecc., dovresti spostare la virgola nel prodotto risultante a sinistra di tanti caratteri quanti sono gli zeri prima di uno. Se necessario, prima del numero naturale viene scritto un numero sufficiente di zeri.

Esempio 1. Trova il prodotto di 56 e 0,01.

Soluzione. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Risposta: 0,56.

Esempio 2. Trova il prodotto di 4 e 0,001.

Soluzione. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Risposta: 0,004.

Quindi, trovare il prodotto di frazioni diverse non dovrebbe causare difficoltà, tranne forse il calcolo del risultato; in questo caso semplicemente non puoi fare a meno di una calcolatrice.

Moltiplicazione dei decimali avviene in tre fasi.

Le frazioni decimali vengono scritte in una colonna e moltiplicate come i numeri ordinari.

Contiamo il numero di cifre decimali per la prima frazione decimale e la seconda. Sommiamo il loro numero.

Nel risultato risultante, contiamo da destra a sinistra lo stesso numero di numeri ottenuti nel paragrafo precedente e inseriamo una virgola.

Come moltiplicare i decimali

Scriviamo le frazioni decimali in una colonna e le moltiplichiamo come numeri naturali, ignorando le virgole. Consideriamo cioè 3,11 come 311 e 0,01 come 1.

Ne abbiamo ricevuti 311. Ora contiamo il numero di segni (cifre) dopo la virgola decimale per entrambe le frazioni. Il primo decimale ha due cifre e il secondo ne ha due. Numero totale di cifre decimali:

Contiamo da destra a sinistra 4 segni (cifre) del numero risultante. Il risultato risultante contiene meno numeri di quelli che devono essere separati da una virgola. In questo caso hai bisogno Sinistra aggiungi il numero mancante di zeri.

Ci manca una cifra, quindi aggiungiamo uno zero a sinistra.

Quando si moltiplica qualsiasi frazione decimale il 10; 100; 1000, ecc. La virgola si sposta verso destra di tante posizioni quanti sono gli zeri dopo l'uno.

• 70,1 10 = 701
• 0,023 100 = 2,3
• 5,6 · 1.000 = 5.600

Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0,001, ecc., è necessario spostare il punto decimale in questa frazione verso sinistra di tante posizioni quanti sono gli zeri prima dell'uno.

Contiamo zero numeri interi!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Moltiplicazione delle frazioni

Considereremo la moltiplicazione delle frazioni ordinarie in diverse opzioni possibili.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione

Questo è il caso più semplice in cui è necessario utilizzare quanto segue regole per moltiplicare le frazioni.

A moltiplicare frazione per frazione, necessario:

• moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel numeratore della nuova frazione;
• moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il loro prodotto nel denominatore della nuova frazione;

Prima di moltiplicare numeratori e denominatori, controlla se le frazioni possono essere ridotte. Ridurre le frazioni nei calcoli renderà i tuoi calcoli molto più semplici.

Moltiplicare una frazione per un numero naturale

Per fare una frazione moltiplicare per un numero naturale Devi moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero e lasciare invariato il denominatore della frazione.

Se il risultato della moltiplicazione è una frazione impropria, non dimenticare di trasformarla in un numero misto, cioè di evidenziare l'intera parte.

Moltiplicazione di numeri misti

Per moltiplicare i numeri misti, devi prima trasformarli in frazioni improprie e poi moltiplicarli secondo la regola della moltiplicazione delle frazioni ordinarie.

Un altro modo per moltiplicare una frazione per un numero naturale

A volte, quando si eseguono calcoli, è più conveniente utilizzare un altro metodo per moltiplicare una frazione comune per un numero.

Per moltiplicare una frazione per un numero naturale, devi dividere il denominatore della frazione per questo numero e lasciare lo stesso numeratore.

Come si può vedere dall'esempio, questa versione della regola è più comoda da usare se il denominatore della frazione è divisibile per un numero naturale senza resto.

Come moltiplicare una frazione per la regola dei numeri interi

IO. Per moltiplicare una frazione decimale per un numero naturale, è necessario moltiplicarla per questo numero, ignorando la virgola, e nel prodotto risultante separare con una virgola tante cifre a destra quante ce n'erano dopo il punto decimale in questa frazione.

Esempi. Esegui la moltiplicazione: 1) 1,25·7; 2) 0,345·8; 3) 2.391·14.

Soluzione.

II. Per moltiplicare una frazione decimale per un'altra, è necessario eseguire la moltiplicazione, senza prestare attenzione alle virgole, e nel risultato risultante separare con una virgola tante cifre a destra quante ce n'erano dopo la virgola in entrambi i fattori insieme.

Esempi. Esegui la moltiplicazione: 1) 18, 2·0,09; 2) 3,2·0,065; 3) 0,54·12,3.

Soluzione.

III. Per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1000, ecc., è necessario spostare la virgola decimale verso destra di 1, 2, 3, ecc. cifre.

Esempi. Esegui la moltiplicazione: 1) 3,25·10; 2) 0,637·100; 3) 4.307·1000; 4) 2,04·1000; 5) 0,00031·10000.

Soluzione.

IV. Per moltiplicare un decimale per 0,1; 0,01; 0.001, ecc. è necessario spostare il punto decimale a sinistra di 1, 2, 3, ecc. cifre.

Esempi. Esegui la moltiplicazione: 1) 28,3·0,1; 2) 324,7·0,01; 3) 6,85·0,01; 4) 6179,5·0,001; 5) 92,1·0,0001.

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Moltiplicazioni decimali, regole, esempi, soluzioni.

Passiamo allo studio dell'azione successiva con le frazioni decimali, ora daremo uno sguardo completo moltiplicando i decimali. Innanzitutto, discutiamo i principi generali della moltiplicazione dei decimali. Successivamente passeremo alla moltiplicazione di una frazione decimale per una frazione decimale, mostreremo come moltiplicare le frazioni decimali per una colonna e considereremo le soluzioni degli esempi. Successivamente esamineremo la moltiplicazione delle frazioni decimali per i numeri naturali, in particolare per 10, 100, ecc. Infine, parliamo della moltiplicazione dei decimali per frazioni e numeri misti.

Diciamo subito che in questo articolo parleremo solo di moltiplicazione delle frazioni decimali positive (vedi positivo e numeri negativi). I restanti casi sono discussi negli articoli moltiplicazione di numeri razionali e moltiplicando numeri reali.

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Principi generali della moltiplicazione dei decimali

Parliamo dei principi generali da seguire quando si moltiplica con decimali.

Poiché i decimali finiti e le frazioni periodiche infinite sono la forma decimale delle frazioni comuni, moltiplicare tali decimali equivale essenzialmente a moltiplicare le frazioni comuni. In altre parole, moltiplicazione di decimali finiti, Moltiplicazione di frazioni decimali finite e periodiche, E moltiplicazione dei decimali periodici si riduce a moltiplicare le frazioni ordinarie dopo aver convertito le frazioni decimali in frazioni ordinarie.

Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione del principio dichiarato di moltiplicare le frazioni decimali.

Moltiplica i decimali 1,5 e 0,75.

Sostituiamo le frazioni decimali moltiplicate con le corrispondenti frazioni ordinarie. Poiché 1,5=15/10 e 0,75=75/100, allora. Puoi ridurre la frazione, quindi isolare l'intera parte dalla frazione impropria ed è più conveniente scrivere la frazione ordinaria risultante 1 125/1 000 come frazione decimale 1,125.

Va notato che è conveniente moltiplicare le frazioni decimali finali in una colonna, parleremo di questo metodo di moltiplicazione delle frazioni decimali nel paragrafo successivo.

Diamo un'occhiata ad un esempio di moltiplicazione di frazioni decimali periodiche.

Calcolare il prodotto delle frazioni decimali periodiche 0,(3) e 2,(36) .

Convertiamo le frazioni decimali periodiche in frazioni ordinarie:

Poi. Puoi convertire la frazione ordinaria risultante in una frazione decimale:

Se tra le frazioni decimali moltiplicate ce ne sono infinite non periodiche, allora tutte le frazioni moltiplicate, comprese quelle finite e periodiche, dovrebbero essere arrotondate a una certa cifra (vedi arrotondare i numeri), quindi moltiplicare le frazioni decimali finali ottenute dopo l'arrotondamento.

Moltiplicare i decimali 5.382... e 0.2.

Per prima cosa arrotondiamo una frazione decimale non periodica infinita, l'arrotondamento può essere fatto ai centesimi, abbiamo 5.382...≈5.38. Non è necessario arrotondare la frazione decimale finale 0,2 al centesimo più vicino. Quindi, 5.382...·0.2≈5.38·0.2. Resta da calcolare il prodotto delle frazioni decimali finali: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1.076/1.000=1,076.

Moltiplicare le frazioni decimali per colonna

La moltiplicazione delle frazioni decimali finite può essere eseguita in una colonna, in modo simile alla moltiplicazione dei numeri naturali in una colonna.

Formuliamo regola per moltiplicare le frazioni decimali per colonna. Per moltiplicare le frazioni decimali per colonna, devi:

• senza prestare attenzione alle virgole, esegui la moltiplicazione secondo tutte le regole della moltiplicazione con una colonna di numeri naturali;
• nel numero risultante, separare con un punto decimale tante cifre a destra quante sono le cifre decimali in entrambi i fattori insieme e, se non ci sono abbastanza cifre nel prodotto, è necessario aggiungere il numero richiesto di zeri a sinistra.

Diamo un'occhiata ad esempi di moltiplicazione delle frazioni decimali per colonne.

Moltiplica i decimali 63,37 e 0,12.

Moltiplichiamo le frazioni decimali in una colonna. Per prima cosa moltiplichiamo i numeri, ignorando le virgole:

Non resta che aggiungere una virgola al prodotto risultante. Deve separare 4 cifre a destra perché i fattori hanno un totale di quattro cifre decimali (due nella frazione 3,37 e due nella frazione 0,12). Ci sono abbastanza numeri lì, quindi non devi aggiungere zeri a sinistra. Concludiamo la registrazione:

Di conseguenza, abbiamo 3,37·0,12=7,6044.

Calcola il prodotto dei decimali 3.2601 e 0.0254.

Dopo aver eseguito la moltiplicazione in una colonna senza tenere conto delle virgole, otteniamo la seguente immagine:

Ora nel prodotto devi separare le 8 cifre a destra con una virgola, poiché totale Le cifre decimali delle frazioni da moltiplicare sono pari a otto. Ma nel prodotto ci sono solo 7 cifre, quindi è necessario aggiungere tanti zeri a sinistra in modo da poter separare 8 cifre con una virgola. Nel nostro caso, dobbiamo assegnare due zeri:

Questo completa la moltiplicazione delle frazioni decimali per colonna.

Moltiplicare i decimali per 0,1, 0,01, ecc.

Molto spesso devi moltiplicare le frazioni decimali per 0,1, 0,01 e così via. Pertanto, è consigliabile formulare una regola per moltiplicare una frazione decimale per questi numeri, che consegue dai principi di moltiplicazione delle frazioni decimali discussi sopra.

COSÌ, moltiplicando un dato decimale per 0,1, 0,01, 0,001 e così via dà una frazione che si ottiene da quella originale se nella sua notazione la virgola viene spostata a sinistra rispettivamente di 1, 2, 3 e così via, e se non ci sono abbastanza cifre per spostare la virgola, allora è necessario aggiungi a sinistra importo richiesto zeri.

Ad esempio, per moltiplicare la frazione decimale 54,34 per 0,1, devi spostare la virgola nella frazione 54,34 verso sinistra di 1 cifra, ottenendo così la frazione 5,434, ovvero 54,34·0,1=5,434. Facciamo un altro esempio. Moltiplica la frazione decimale 9,3 per 0,0001. Per fare ciò, dobbiamo spostare la virgola decimale di 4 cifre a sinistra nella frazione decimale moltiplicata 9.3, ma la notazione della frazione 9.3 non contiene così tante cifre. Pertanto, dobbiamo assegnare così tanti zeri a sinistra della frazione 9.3 in modo da poter spostare facilmente la virgola decimale a 4 cifre, abbiamo 9.3·0.0001=0.00093.

Tieni presente che la regola indicata per moltiplicare una frazione decimale per 0,1, 0,01, ... è valida anche per infinite frazioni decimali. Ad esempio, 0.(18)·0.01=0.00(18) o 93.938…·0.1=9.3938… .

Moltiplicare un decimale per un numero naturale

Al suo centro moltiplicazione dei decimali per i numeri naturali non è diverso dal moltiplicare un decimale per un decimale.

È più conveniente moltiplicare la frazione decimale finale per un numero naturale in una colonna, in questo caso dovresti rispettare le regole per moltiplicare le frazioni decimali in una colonna, discusse in uno dei paragrafi precedenti;

Calcolare il prodotto 15·2.27.

Moltiplichiamo un numero naturale per una frazione decimale in una colonna:

Quando si moltiplica una frazione decimale periodica per un numero naturale, la frazione periodica deve essere sostituita con una frazione ordinaria.

Moltiplica la frazione decimale 0.(42) per il numero naturale 22.

Innanzitutto, convertiamo la frazione decimale periodica in una frazione ordinaria:

Adesso facciamo la moltiplicazione: . Questo risultato come decimale è 9,(3) .

E quando si moltiplica una frazione decimale infinita non periodica per un numero naturale, è necessario prima eseguire l'arrotondamento.

Moltiplicare 4·2.145….

Arrotondata ai centesimi la frazione decimale infinita originaria, si arriva alla moltiplicazione di un numero naturale e di una frazione decimale finale. Abbiamo 4·2.145…≈4·2.15=8.60.

Moltiplicare un decimale per 10, 100, …

Molto spesso devi moltiplicare le frazioni decimali per 10, 100, ... Pertanto, è consigliabile soffermarsi su questi casi in dettaglio.

Diamogli voce regola per moltiplicare una frazione decimale per 10, 100, 1.000, ecc. Quando si moltiplica una frazione decimale per 10, 100, ... nella sua notazione, è necessario spostare il punto decimale a destra rispettivamente su 1, 2, 3, ... cifre e scartare gli zeri extra a sinistra; Se la notazione della frazione da moltiplicare non ha abbastanza cifre per spostare la virgola decimale, è necessario aggiungere il numero richiesto di zeri a destra.

Moltiplica la frazione decimale 0,0783 per 100.

Spostiamo la frazione 0,0783 di due cifre a destra e otteniamo 007,83. Eliminando i due zeri a sinistra si ottiene la frazione decimale 7,38. Pertanto, 0,0783·100=7,83.

Moltiplica la frazione decimale 0,02 per 10.000.

Per moltiplicare 0,02 per 10.000, dobbiamo spostare la virgola decimale di 4 cifre a destra. Ovviamente nella notazione della frazione 0,02 non ci sono abbastanza cifre per spostare la virgola decimale di 4 cifre, quindi aggiungeremo qualche zero a destra in modo da poter spostare la virgola decimale. Nel nostro esempio è sufficiente aggiungere tre zeri, abbiamo 0,02000. Dopo aver spostato la virgola, otteniamo la voce 00200.0. Eliminando gli zeri a sinistra, abbiamo il numero 200,0, che è uguale al numero naturale 200, che è il risultato della moltiplicazione della frazione decimale 0,02 per 10.000.

La regola indicata vale anche per la moltiplicazione di frazioni decimali infinite per 10, 100, ... Quando si moltiplicano frazioni decimali periodiche, è necessario fare attenzione al periodo della frazione che è il risultato della moltiplicazione.

Moltiplica la frazione decimale periodica 5,32(672) per 1.000.

Prima di moltiplicare scriviamo la frazione decimale periodica come 5.32672672672..., questo ci permetterà di evitare errori. Ora sposta la virgola a destra di 3 posti, abbiamo 5 326.726726…. Pertanto, dopo la moltiplicazione, si ottiene la frazione decimale periodica 5 326,(726).

5,32(672)·1.000=5.326,(726) .

Quando si moltiplicano frazioni infinite non periodiche per 10, 100, ..., è necessario prima arrotondare la frazione infinita a una determinata cifra, quindi eseguire la moltiplicazione.

Moltiplicare un decimale per una frazione o un numero misto

Per moltiplicare una frazione decimale finita o una frazione decimale periodica infinita per una frazione comune o un numero misto, è necessario rappresentare la frazione decimale come frazione comune, quindi eseguire la moltiplicazione.

Moltiplica la frazione decimale 0,4 per un numero misto.

Poiché 0,4=4/10=2/5 e poi. Il numero risultante può essere scritto come frazione decimale periodica 1.5(3).

Quando si moltiplica una frazione decimale infinita non periodica per una frazione o un numero misto, sostituire la frazione o il numero misto con una frazione decimale, quindi arrotondare le frazioni moltiplicate e terminare il calcolo.

Poiché 2/3=0,6666..., allora. Dopo aver arrotondato le frazioni moltiplicate ai millesimi si arriva al prodotto delle due frazioni decimali finali 3,568 e 0,667. Facciamo la moltiplicazione colonnare:

Il risultato ottenuto va arrotondato al millesimo più vicino, poiché le frazioni moltiplicate sono state prese esatte al millesimo, abbiamo 2.379856≈2.380.

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Moltiplicazione delle frazioni ordinarie: regole, esempi, soluzioni.

Continuiamo a studiare le operazioni con le frazioni ordinarie. Ora sotto i riflettori moltiplicazione delle frazioni comuni. In questo articolo forniremo una regola per moltiplicare le frazioni ordinarie e considereremo l'applicazione di questa regola durante la risoluzione degli esempi. Ci concentreremo anche sulla moltiplicazione di una frazione ordinaria per un numero naturale. In conclusione, vediamo come moltiplicare tre o più frazioni.

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Moltiplicare una frazione comune per una frazione comune

Cominciamo con la formulazione regole per moltiplicare le frazioni ordinarie: Moltiplicando una frazione per una frazione si ottiene una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori delle frazioni da moltiplicare e il denominatore è uguale al prodotto dei denominatori.

Cioè, la formula corrisponde alla moltiplicazione delle frazioni ordinarie a/b e c/d.

Facciamo un esempio che illustri la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie. Consideriamo un quadrato con lato 1 unità. , mentre la sua area è 1 unità 2. Dividi questo quadrato in rettangoli uguali con lati di 1/4 unità. e 1/8 unità. , mentre il quadrato originale sarà composto da 4·8=32 rettangoli, quindi l'area di ciascun rettangolo è 1/32 dell'area del quadrato originale, cioè è pari a 1/32 unità 2 . Ora dipingiamo su parte del quadrato originale. Tutte le nostre azioni si riflettono nella figura seguente.

I lati del rettangolo ombreggiato sono 5/8 unità. e 3/4 unità. , il che significa che la sua area è uguale al prodotto delle frazioni 5/8 e 3/4, cioè unità 2. Ma il rettangolo ombreggiato è composto da 15 rettangoli “piccoli”, il che significa che la sua area è 15/32 unità 2. Quindi, . Poiché 5·3=15 e 8·4=32, l'ultima uguaglianza può essere riscritta come , che conferma la formula per moltiplicare le frazioni ordinarie della forma .

Nota che utilizzando la regola di moltiplicazione indicata, puoi moltiplicare sia le frazioni proprie che quelle improprie, nonché le frazioni con gli stessi denominatori e le frazioni con denominatori diversi.

Consideriamo esempi di moltiplicazione delle frazioni ordinarie.

Moltiplica la frazione comune 7/11 per la frazione comune 9/8.

Il prodotto dei numeratori delle frazioni moltiplicate 7 e 9 è pari a 63 e il prodotto dei denominatori di 11 e 8 è pari a 88. Pertanto, moltiplicando le frazioni comuni 7/11 e 9/8 si ottiene la frazione 63/88.

Ecco un breve riassunto della soluzione: .

Non dobbiamo dimenticare di ridurre la frazione risultante se la moltiplicazione dà come risultato una frazione riducibile, e di separare la parte intera da una frazione impropria.

Moltiplica le frazioni 4/15 e 55/6.

Applichiamo la regola per moltiplicare le frazioni ordinarie: .

Ovviamente la frazione risultante è riducibile (il test di divisibilità per 10 permette di affermare che numeratore e denominatore della frazione 220/90 hanno un fattore comune pari a 10). Riduciamo la frazione 220/90: mcd(220, 90)=10 e . Resta da isolare l'intera parte dalla frazione impropria risultante: .

Si noti che la riduzione di una frazione può essere effettuata prima di calcolare i prodotti dei numeratori e i prodotti dei denominatori delle frazioni moltiplicate, cioè quando la frazione ha la forma . Per fare ciò, i numeri a, b, c e d vengono sostituiti dalla loro fattorizzazione in fattori primi, dopodiché vengono ridotti gli stessi fattori del numeratore e del denominatore.

Per chiarimenti, torniamo all'esempio precedente.

Calcolare il prodotto delle frazioni della forma .

Secondo la formula per moltiplicare le frazioni ordinarie, abbiamo .

Poiché 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 e 6=2·3, allora . Ora riduciamo i fattori primi comuni: .

Non resta che calcolare i prodotti al numeratore e al denominatore, quindi isolare l'intera parte dalla frazione impropria: .

Va notato che la moltiplicazione delle frazioni è caratterizzata da una proprietà commutativa, cioè le frazioni moltiplicate possono essere scambiate: .

Moltiplicare una frazione comune per un numero naturale

Cominciamo con la formulazione regole per moltiplicare una frazione comune per un numero naturale: Moltiplicando una frazione per un numero naturale si ottiene una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto del numeratore della frazione moltiplicata per il numero naturale e il denominatore è uguale al denominatore della frazione moltiplicata.

Usando le lettere, la regola per moltiplicare una frazione a/b per un numero naturale n ha la forma .

La formula deriva dalla formula per moltiplicare due frazioni ordinarie della forma . Infatti, rappresentando un numero naturale come una frazione con denominatore 1, otteniamo .

Diamo un'occhiata ad esempi di moltiplicazione di una frazione per un numero naturale.

Moltiplica la frazione 2/27 per 5.

Moltiplicando il numeratore 2 per il numero 5 si ottiene 10, quindi, in virtù della regola per moltiplicare una frazione per un numero naturale, il prodotto di 2/27 per 5 è uguale alla frazione 10/27.

È conveniente scrivere l'intera soluzione in questo modo: .

Quando si moltiplica una frazione per un numero naturale, spesso la frazione risultante deve essere ridotta e, se anche questa è errata, rappresentata come un numero misto.

Moltiplica la frazione 5/12 per il numero 8.

Secondo la formula per moltiplicare una frazione per un numero naturale, abbiamo . Ovviamente la frazione risultante è riducibile (il segno di divisibilità per 2 indica il divisore comune 2 di numeratore e denominatore). Riduciamo la frazione 40/12: poiché LCM(40, 12)=4, allora . Resta da evidenziare tutta la parte: .

Ecco l'intera soluzione: .

Si noti che la riduzione potrebbe essere effettuata sostituendo i numeri al numeratore e al denominatore con le loro scomposizioni in fattori primi. In questo caso, la soluzione sarebbe simile a questa: .

In conclusione di questo punto, notiamo che moltiplicare una frazione per un numero naturale ha una proprietà commutativa, cioè il prodotto di una frazione per un numero naturale è uguale al prodotto di questo numero naturale per la frazione: .

Moltiplicare tre o più frazioni

Il modo in cui abbiamo definito le frazioni ordinarie e l'operazione di moltiplicazione con esse ci consente di affermare che tutte le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali si applicano anche alla moltiplicazione delle frazioni.

Le proprietà commutative e associative della moltiplicazione consentono di determinare in modo inequivocabile moltiplicare tre o più frazioni e numeri naturali. In questo caso tutto avviene per analogia con la moltiplicazione di tre o più numeri naturali. In particolare, le frazioni e i numeri naturali in un prodotto possono essere riorganizzati per facilitare il calcolo e, in assenza di parentesi che indicano l'ordine delle operazioni, possiamo disporre noi stessi le parentesi in uno qualsiasi dei modi accettabili.

Diamo un'occhiata ad esempi di moltiplicazione di diverse frazioni e numeri naturali.

Moltiplica tre frazioni comuni 1/20, 12/5, 3/7 e 5/8.

Scriviamo il prodotto che dobbiamo calcolare . In virtù della regola per moltiplicare le frazioni, il prodotto scritto è uguale a una frazione il cui numeratore è uguale al prodotto dei numeratori di tutte le frazioni e il denominatore è uguale al prodotto dei denominatori: .

Prima di calcolare i prodotti al numeratore e al denominatore, è consigliabile sostituire tutti i fattori con le loro scomposizioni in fattori semplici ed eseguire una riduzione (ovviamente puoi ridurre una frazione dopo la moltiplicazione, ma in molti casi ciò richiede molto lavoro sforzo computazionale): .

.

Moltiplica cinque numeri .

In questo prodotto è conveniente raggruppare la frazione 7/8 con il numero 8 e il numero 12 con la frazione 5/36, questo semplificherà i calcoli, poiché con tale raggruppamento la riduzione è ovvia. Abbiamo
.

.

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Per moltiplicare correttamente una frazione per una frazione o una frazione per un numero, devi sapere regole semplici. Analizzeremo ora queste regole nel dettaglio.

Moltiplicare una frazione comune per una frazione.

Per moltiplicare una frazione per una frazione, è necessario calcolare il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori di queste frazioni.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Diamo un'occhiata ad un esempio:
Moltiplichiamo il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e moltiplichiamo anche il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ volte 3)(7 \volte 3) = \frac(4)(7)\\\)

La frazione \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) è stata ridotta di 3.

Moltiplicare una frazione per un numero.

Per prima cosa, ricordiamo la regola, qualsiasi numero può essere rappresentato come una frazione \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Usiamo questa regola quando moltiplichiamo.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Frazione impropria \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) convertito in una frazione mista.

In altre parole, Quando moltiplichiamo un numero per una frazione, moltiplichiamo il numero per il numeratore e lasciamo invariato il denominatore. Esempio:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Moltiplicazione di frazioni miste.

Per moltiplicare le frazioni miste, devi prima rappresentare ciascuna frazione mista come frazione impropria, quindi utilizzare la regola della moltiplicazione. Moltiplichiamo il numeratore per il numeratore e moltiplichiamo il denominatore per il denominatore.

Esempio:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Moltiplicazione di frazioni e numeri reciproci.

La frazione \(\bf \frac(a)(b)\) è l'inverso della frazione \(\bf \frac(b)(a)\), purché a≠0,b≠0.
Le frazioni \(\bf \frac(a)(b)\) e \(\bf \frac(b)(a)\) sono chiamate frazioni reciproche. Il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Esempio:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Domande sull'argomento:
Come moltiplicare una frazione per una frazione?
Risposta: Il prodotto delle frazioni ordinarie è la moltiplicazione di un numeratore per un numeratore, di un denominatore per un denominatore. Per ottenere il prodotto di frazioni miste, è necessario convertirle in una frazione impropria e moltiplicarle secondo le regole.

Come moltiplicare frazioni con denominatori diversi?
Risposta: non importa se sono uguali o denominatori diversi Per le frazioni, la moltiplicazione avviene secondo la regola di trovare il prodotto del numeratore con il numeratore, il denominatore con il denominatore.

Come moltiplicare le frazioni miste?
Risposta: prima di tutto bisogna convertire la frazione mista in frazione impropria e poi trovare il prodotto utilizzando le regole della moltiplicazione.

Come moltiplicare un numero per una frazione?
Risposta: moltiplichiamo il numero per il numeratore, ma lasciamo lo stesso denominatore.

Esempio 1:
Calcolare il prodotto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \)

Soluzione:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rosso) (5))(3 \times \color(rosso) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Esempio n.2:
Calcolare i prodotti di un numero e di una frazione: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Soluzione:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Esempio n.3:
Scrivere il reciproco della frazione \(\frac(1)(3)\)?
Risposta: \(\frac(3)(1) = 3\)

Esempio n.4:
Calcolare il prodotto di due frazioni reciproche: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Soluzione:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Esempio n.5:
Le frazioni reciproche possono essere:
a) contemporaneamente alle frazioni proprie;
b) frazioni contemporaneamente improprie;
c) contemporaneamente numeri naturali?

Soluzione:
a) per rispondere alla prima domanda facciamo un esempio. La frazione \(\frac(2)(3)\) è propria, la sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(3)(2)\) - una frazione impropria. Risposta: no.

b) in quasi tutte le enumerazioni di frazioni questa condizione non è soddisfatta, ma ci sono alcuni numeri che soddisfano la condizione di essere contemporaneamente una frazione impropria. Ad esempio, la frazione impropria è \(\frac(3)(3)\), la sua frazione inversa è uguale a \(\frac(3)(3)\). Otteniamo due frazioni improprie. Risposta: non sempre in determinate condizioni quando numeratore e denominatore sono uguali.

c) i numeri naturali sono numeri che usiamo quando contiamo, ad esempio 1, 2, 3, …. Se prendiamo il numero \(3 = \frac(3)(1)\), la sua frazione inversa sarà \(\frac(1)(3)\). La frazione \(\frac(1)(3)\) non è un numero naturale. Se esaminiamo tutti i numeri, il reciproco del numero è sempre una frazione, tranne 1. Se prendiamo il numero 1, la sua frazione reciproca sarà \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Il numero 1 è un numero naturale. Risposta: possono essere contemporaneamente numeri naturali solo in un caso, se questo è il numero 1.

Esempio n.6:
Calcola il prodotto di frazioni miste: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Soluzione:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Esempio n.7:
Due reciproci possono essere numeri misti contemporaneamente?

Diamo un'occhiata a un esempio. Prendiamo una frazione mista \(1\frac(1)(2)\), troviamo la sua frazione inversa, per fare questo la convertiamo in una frazione impropria \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . La sua frazione inversa sarà uguale a \(\frac(2)(3)\) . La frazione \(\frac(2)(3)\) è una frazione propria. Risposta: Due frazioni reciprocamente inverse non possono essere numeri mescolati contemporaneamente.

Non avere fretta di scrivere Comune denominatore|acque con una linea; Gli studenti spesso non si rendono conto che queste frazioni vengono convertite in frazioni uguali con un denominatore comune.

Moltiplicare una frazione per un numero intero

Il prossimo passo è imparare a moltiplicare una frazione per un numero intero. La moltiplicazione di una frazione per un numero intero è definita allo stesso modo della moltiplicazione di numeri interi.

Quando si studia la moltiplicazione di una frazione per un numero intero, è necessario stabilire con gli studenti la definizione dell'azione di moltiplicazione di una frazione per un numero intero come aggiunta di termini uguali, ciascuno dei quali è uguale al moltiplicando; mostrare l'identità di moltiplicare una frazione per un numero intero e aumentare una frazione più volte, fornire la definizione di moltiplicare una frazione per 1; mostrare una tecnica razionale per ridurre una frazione, il cui numeratore rappresenta il prodotto che gli studenti incontrano per la prima volta moltiplicando una frazione per un intero; insegnare come applicare questa azione ai compiti; considerare casi speciali di moltiplicazione, ad esempio moltiplicando una frazione per un numero uguale al denominatore; moltiplicando un numero misto per un numero intero. L'elenco dei problemi incontrati durante lo studio della moltiplicazione di una frazione per un numero intero mostra che ogni domanda che sembra semplice richiede uno studio attento e quanti problemi aggiuntivi sorgono in relazione a questa domanda.

Ecco un esempio di programma di lezione su questo argomento:

1) Controllare i compiti.

2) Esercizi orali su addizione e sottrazione di frazioni.

3) Esempi orali sulla divisione di un prodotto per un numero:

4) Riduzione delle frazioni:

5) Ripetizione della definizione di moltiplicazione per un numero intero:

6) Definizione di moltiplicare una frazione per un numero intero:

7) Risolvere i problemi in una sola azione sulla moltiplicazione di una frazione per un numero intero »»

numero. Ad esempio: 1 m3 di legna da ardere di pino pesa t. Trova il peso di 2 m3 di questa

legna da ardere (tonnellate), 7 m3.

8) Formulare la regola per moltiplicare una frazione per un numero intero:

Per moltiplicare una frazione per un numero intero, è sufficiente moltiplicare il numeratore della frazione per questo numero, lasciando lo stesso denominatore.

9) Risoluzione di esempi di moltiplicazione di una frazione per un numero intero:

10) Creare problemi che richiedono la moltiplicazione per essere risolti.

11) Compiti a casa.

Gli esercizi orali forniti in questo programma sulla divisione di un prodotto per un numero e sulla riduzione delle frazioni hanno lo scopo di preparare gli studenti a giustificare la riduzione delle frazioni in cui il prodotto appare al numeratore. Gli studenti ricordano come dividere un prodotto per un numero e, quando riducono le frazioni, utilizzano il seguente ragionamento: per ridurre una frazione è necessario dividere numeratore e denominatore per lo stesso numero; il numeratore contiene il prodotto; Per dividere un prodotto per un numero è sufficiente dividere uno dei fattori per questo numero. Pertanto, quando riduciamo una frazione, dividiamo 10 e 25 per 5.

Nella lezione successiva, agli studenti dovrebbe essere chiesto di utilizzare diversi esempi di moltiplicazione di una frazione per un numero intero per confrontare il moltiplicando e il prodotto in grandezza. Stabiliamo che per le frazioni, come per i numeri interi, incrementare più volte una frazione significa moltiplicarla per un numero intero. Basato sulla considerazione di esempi del modulo

si conclude sulla variazione del valore di una frazione con un aumento del numeratore o una diminuzione del denominatore di un dato numero di volte e viene fornita una tecnica particolare per moltiplicare una frazione per un numero intero, adatta al caso quando il denominatore della frazione è diviso per un dato numero intero:

Quando si impara a moltiplicare un numero misto per un numero intero, vengono innanzitutto considerati due metodi. Per esempio:

Gli ultimi argomenti dimostrano la validità della legge distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma quando uno dei termini è una frazione. Viene considerato un esempio del modulo

e si conclude che quando si moltiplica un numero misto per un numero intero, nella maggior parte dei casi è più semplice moltiplicare separatamente l'intero e la frazione per l'intero.

Dividere una frazione per un numero intero

Dopo aver moltiplicato una frazione per un numero intero, dovresti passare alla divisione del numero intero e della frazione per il numero intero, poiché per trovare la frazione di un numero, prima di moltiplicare per la frazione, è necessario dividere per il denominatore. Questo è indicato per la maggior parte letteratura metodologica. La definizione di divisione è data come l'azione inversa della moltiplicazione.

Consideriamo un esempio: 4:5.

Per prima cosa si fa un ragionamento: per dividere 4 per 5 immaginiamo mentalmente ogni unità divisa in cinque parti uguali, quindi 4 unità conterranno 20 quinti, dividendo 20 quinti per 5 otteniamo quanto verificato:

Abbiamo trovato una frazione che, moltiplicata per 5, darà 4. Pertanto la divisione è corretta. Scriviamo:

Conclusione. Dividendo un numero intero per un numero intero si ottiene una frazione il cui numeratore è uguale al dividendo e il cui denominatore è uguale al divisore. Viceversa: qualsiasi frazione può essere considerata un quoziente dividendo il suo numeratore per il suo denominatore.

Ad esempio, è uguale al quoziente di 3 diviso 7, poiché ·7=3.

Lo studio della divisione di una frazione per un numero intero inizia considerando un esempio di moltiplicazione di una frazione per un numero intero, per il quale viene creato un problema inverso. Per esempio:

problema inverso:

devi trovare una frazione che, moltiplicata per 4, dia il prodotto . Questa frazione sarà, scriviamo:

Come risultato dell'esame di una serie di esempi simili, gli studenti giungono alla conclusione che quando si divide una frazione per un numero intero, è sufficiente dividere il numeratore per un numero intero, lasciando lo stesso denominatore. Successivamente, viene posta la domanda su cosa fare nel caso in cui il numeratore di una determinata frazione non sia divisibile per un numero intero. Viene considerato il secondo metodo di moltiplicazione: , da qui .