Dipendenza della tangente dal coseno. Identità trigonometriche di base, loro formulazioni e derivazione

Identità trigonometriche- si tratta di uguaglianze che stabiliscono una connessione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo, che consente di trovare una qualsiasi di queste funzioni, purché se ne conosca un'altra.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Questa identità dice che la somma del quadrato del seno di un angolo e del quadrato del coseno di un angolo è uguale a uno, il che in pratica permette di calcolare il seno di un angolo quando se ne conosce il coseno e viceversa .

Quando si convertono le espressioni trigonometriche, viene spesso utilizzata questa identità, che consente di sostituire la somma dei quadrati del coseno e del seno di un angolo con uno ed eseguire anche l'operazione di sostituzione nell'ordine inverso.

Trovare tangente e cotangente utilizzando seno e coseno

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Queste identità sono formate dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Dopotutto, se lo guardi, per definizione l'ordinata y è un seno e l'ascissa x è un coseno. Allora la tangente sarà uguale al rapporto \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) e il rapporto \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- sarà una cotangente.

Aggiungiamo che solo per tali angoli \alfa in cui hanno senso le funzioni trigonometriche in essi incluse, varranno le identità, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Per esempio: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)è valido per angoli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+\pi z, UN ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- per un angolo \alpha diverso da \pi z, z è un numero intero.

Relazione tra tangente e cotangente

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Questa identità è valida solo per angoli \alpha diversi da \frac(\pi)(2) z. Altrimenti, né la cotangente né la tangente verranno determinate.

Sulla base dei punti precedenti, otteniamo ciò tg \alpha = \frac(y)(x), UN ctg \alpha=\frac(x)(y). Ne consegue che tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Pertanto, la tangente e la cotangente dello stesso angolo a cui hanno senso sono numeri reciprocamente inversi.

Relazioni tra tangente e coseno, cotangente e seno

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- la somma del quadrato della tangente dell'angolo \alpha e 1 è uguale all'inverso del quadrato del coseno di tale angolo. Questa identità è valida per tutti gli \alpha diversi da \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- la somma di 1 e del quadrato della cotangente dell'angolo \alpha è uguale all'inverso del quadrato del seno dato angolo. Questa identità è valida per qualsiasi \alpha diverso da \pi z.

Esempi con soluzioni a problemi utilizzando identità trigonometriche

Esempio 1

Trova \sin \alpha e tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 E \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Mostra soluzione

Soluzione

Le funzioni \sin \alpha e \cos \alpha sono correlate dalla formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Sostituendo in questa formula \cos\alpha = -\frac12, otteniamo:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Questa equazione ha 2 soluzioni:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il seno è positivo, quindi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Per trovare tan \alpha usiamo la formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Esempio 2

Trova \cos \alpha e ctg \alpha se e \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Mostra soluzione

Soluzione

Sostituendo nella formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dato numero \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), otteniamo \sinistra (\frac(\sqrt3)(2)\destra)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Questa equazione ha due soluzioni \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Per condizione \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Nel secondo quarto il coseno è negativo, quindi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Per trovare ctg \alpha, usiamo la formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Conosciamo i valori corrispondenti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Dati di riferimento per tangente (tg x) e cotangente (ctg x). Definizione geometrica, proprietà, grafici, formule. Tavola di tangenti e cotangenti, derivate, integrali, sviluppi in serie. Espressioni attraverso variabili complesse. Connessione con funzioni iperboliche.

Definizione geometrica

|BD|
- lunghezza dell'arco di cerchio con centro nel punto A.

α è l'angolo espresso in radianti. Tangente () marrone chiaro α

è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto opposto |BC| alla lunghezza della gamba adiacente |AB| .) è una funzione trigonometrica dipendente dall'angolo α tra l'ipotenusa e il cateto di un triangolo rettangolo, pari al rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente |AB|

alla lunghezza della gamba opposta |BC| .

Tangente Dove N

- Totale.
.
;
;
.

Nella letteratura occidentale, la tangente è indicata come segue:

Grafico della funzione tangente, y = tan x

Tangente Dove N

Cotangente
.
Nella letteratura occidentale, la cotangente è indicata come segue:
;
;
.

Sono accettate anche le seguenti notazioni:

Grafico della funzione cotangente, y = ctg x

Proprietà della tangente e della cotangente

Periodicità Funzioni y = tgx e y = ctg x

sono periodici con periodo π.

Parità

Le funzioni tangente e cotangente sono dispari.

Aree di definizione e valori, in aumento, in diminuzione Le funzioni tangente e cotangente sono continue nel loro dominio di definizione (vedi. prova di continuità Dove). Le principali proprietà di tangente e cotangente sono presentate nella tabella (

Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x =

Formule

; ;
; ;
;

Espressioni che utilizzano seno e coseno

Formule per tangente e cotangente per somma e differenza

Le restanti formule, ad esempio, sono facili da ottenere

Prodotto di tangenti

Formula per la somma e la differenza delle tangenti

Questa tabella presenta i valori di tangenti e cotangenti per determinati valori dell'argomento.

Espressioni che utilizzano numeri complessi

;
;

Espressioni mediante funzioni iperboliche

; .

.
Derivati
.
Derivata dell'ennesimo ordine rispetto alla variabile x della funzione: ; Derivazione di formule per la tangente > > >

per cotangente > > >

Integrali

Espansioni di serie Per ottenere lo sviluppo della tangente in potenze di x è necessario prendere più termini dello sviluppo in serie di potenze delle funzioni E peccato x E cos x dividi questi polinomi tra loro

, .

Ciò produce le seguenti formule.
A . A . Dove
;
;
Bn
- Numeri di Bernoulli. Sono determinati dalla relazione di ricorrenza:

Dove .

Oppure secondo la formula di Laplace: Funzioni inverse Le funzioni inverse di tangente e cotangente sono

arcotangente e arcotangente

, rispettivamente. Dove N

Arcotangente, arcog

, rispettivamente. Dove N

, Dove
Arcotangente, arcctg
Letteratura utilizzata:

Una delle aree della matematica con cui gli studenti hanno maggiori difficoltà è la trigonometria. Non sorprende: per padroneggiare liberamente quest'area della conoscenza, è necessario il pensiero spaziale, la capacità di trovare seni, coseni, tangenti, cotangenti utilizzando formule, semplificare le espressioni ed essere in grado di utilizzare il numero pi in calcoli. Inoltre, è necessario essere in grado di utilizzare la trigonometria per dimostrare teoremi e ciò richiede una memoria matematica sviluppata o la capacità di derivare catene logiche complesse.

Origini della trigonometria

La conoscenza di questa scienza dovrebbe iniziare con la definizione di seno, coseno e tangente di un angolo, ma prima devi capire cosa fa la trigonometria in generale.

Storicamente, l'oggetto principale di studio in questo ramo della scienza matematica erano i triangoli rettangoli. La presenza di un angolo di 90 gradi permette di effettuare diverse operazioni che permettono di determinare i valori di tutti i parametri della figura in questione utilizzando due lati e un angolo oppure due angoli e un lato. In passato, le persone notavano questo schema e cominciavano a utilizzarlo attivamente nella costruzione di edifici, nella navigazione, nell'astronomia e persino nell'arte.

Fase iniziale

Inizialmente si parlava della relazione tra angoli e lati utilizzando esclusivamente l'esempio dei triangoli rettangoli. Poi sono state scoperte formule speciali che hanno permesso di espandere i confini di utilizzo vita quotidiana questa branca della matematica.

Lo studio della trigonometria a scuola oggi inizia con i triangoli rettangoli, dopo di che gli studenti utilizzano le conoscenze acquisite in fisica e risolvono equazioni trigonometriche astratte, che iniziano al liceo.

Trigonometria sferica

Successivamente, quando la scienza raggiunse il livello successivo di sviluppo, le formule con seno, coseno, tangente, cotangente iniziarono ad essere utilizzate nella geometria sferica, dove si applicano regole diverse e la somma degli angoli in un triangolo è sempre superiore a 180 gradi. Questa sezione non è studiata a scuola, ma è necessario conoscere la sua esistenza almeno perché superficie terrestre, e la superficie di qualsiasi altro pianeta è convessa, il che significa che qualsiasi segno superficiale sarà “a forma di arco” nello spazio tridimensionale.

Prendi il globo e il filo. Attacca il filo a due punti qualsiasi del globo in modo che sia teso. Nota: ha assunto la forma di un arco. La geometria sferica si occupa di tali forme, che vengono utilizzate in geodesia, astronomia e altri campi teorici e applicati.

Triangolo rettangolo

Dopo aver imparato un po 'sui modi di utilizzare la trigonometria, torniamo alla trigonometria di base per comprendere ulteriormente cosa sono seno, coseno, tangente, quali calcoli possono essere eseguiti con il loro aiuto e quali formule utilizzare.

Il primo passo è comprendere i concetti relativi a triangolo rettangolo. Innanzitutto, l'ipotenusa è il lato opposto all'angolo di 90 gradi. È il più lungo. Ricordiamo che secondo il teorema di Pitagora il suo valore numerico è pari alla radice della somma dei quadrati degli altri due lati.

Ad esempio, se i due cateti misurano rispettivamente 3 e 4 centimetri, la lunghezza dell'ipotenusa sarà 5 centimetri. A proposito, gli antichi egizi lo sapevano circa quattromila anni fa.

I due lati rimanenti, che formano un angolo retto, si chiamano gambe. Inoltre, dobbiamo ricordare che la somma degli angoli di un triangolo in un sistema di coordinate rettangolari è pari a 180 gradi.

Definizione

Infine, con una solida conoscenza delle basi geometriche, si può passare alla definizione di seno, coseno e tangente di un angolo.

Il seno di un angolo è il rapporto tra il cateto opposto (cioè il lato opposto all'angolo desiderato) e l'ipotenusa. Il coseno di un angolo è il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa.

Ricorda che né il seno né il coseno possono essere maggiori di uno! Perché? Poiché l'ipotenusa è per impostazione predefinita la più lunga, non importa quanto sia lunga la gamba, sarà più corta dell'ipotenusa, il che significa che il loro rapporto sarà sempre inferiore a uno. Pertanto, se nella risposta a un problema ottieni un seno o un coseno con un valore maggiore di 1, cerca un errore nei calcoli o nel ragionamento. Questa risposta è chiaramente errata.

Infine, la tangente di un angolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente. Dividendo il seno per il coseno si otterrà lo stesso risultato. Guarda: secondo la formula, dividiamo la lunghezza del lato per l'ipotenusa, quindi dividiamo per la lunghezza del secondo lato e moltiplichiamo per l'ipotenusa. Pertanto, otteniamo la stessa relazione della definizione di tangente.

La cotangente, di conseguenza, è il rapporto tra il lato adiacente all'angolo e il lato opposto. Otteniamo lo stesso risultato dividendo uno per la tangente.

Quindi, abbiamo esaminato le definizioni di cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente e possiamo passare alle formule.

Le formule più semplici

Nella trigonometria non puoi fare a meno delle formule: come trovare seno, coseno, tangente, cotangente senza di esse? Ma questo è esattamente ciò che è necessario per risolvere i problemi.

La prima formula che devi conoscere quando inizi a studiare la trigonometria dice che la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è uguale a uno. Questa formulaè una conseguenza diretta del teorema di Pitagora, ma fa risparmiare tempo se devi conoscere la misura dell'angolo anziché del lato.

Molti studenti non riescono a ricordare la seconda formula, anch'essa molto apprezzata quando si risolvono i problemi scolastici: la somma di uno e del quadrato della tangente di un angolo è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno dell'angolo. Dai un'occhiata più da vicino: questa è la stessa affermazione della prima formula, solo che entrambi i lati dell'identità erano divisi per il quadrato del coseno. Si scopre che una semplice operazione matematica rende la formula trigonometrica completamente irriconoscibile. Ricorda: sapendo cosa sono seno, coseno, tangente e cotangente, regole di trasformazione e diverse formule di base, puoi in qualsiasi momento ricavare le formule più complesse richieste su un foglio di carta.

Formule per gli angoli doppi e addizione di argomenti

Altre due formule che devi imparare riguardano i valori di seno e coseno per la somma e la differenza degli angoli. Sono presentati nella figura seguente. Tieni presente che nel primo caso seno e coseno vengono moltiplicati entrambe le volte, mentre nel secondo viene aggiunto il prodotto a coppie di seno e coseno.

Esistono anche formule associate agli argomenti del doppio angolo. Sono completamente derivati ​​dai precedenti: come allenamento prova a ottenerli tu stesso prendendo l'angolo alfa uguale all'angolo beta.

Infine, si noti che le formule del doppio angolo possono essere riorganizzate per ridurre la potenza di seno, coseno e tangente alfa.

Teoremi

I due teoremi principali della trigonometria di base sono il teorema del seno e il teorema del coseno. Con l'aiuto di questi teoremi puoi facilmente capire come trovare il seno, il coseno e la tangente, e quindi l'area della figura, la dimensione di ciascun lato, ecc.

Il teorema del seno afferma che dividendo la lunghezza di ciascun lato di un triangolo per l'angolo opposto, otteniamo stesso numero. Inoltre questo numero sarà uguale a due raggi del cerchio circoscritto, cioè del cerchio contenente tutti i punti di un dato triangolo.

Il teorema del coseno generalizza il teorema di Pitagora, proiettandolo su qualsiasi triangolo. Si scopre che dalla somma dei quadrati dei due lati sottrarre il loro prodotto moltiplicato per il doppio coseno dell'angolo adiacente: il valore risultante sarà uguale al quadrato del terzo lato. Pertanto, il teorema di Pitagora risulta essere un caso speciale del teorema del coseno.

Errori imprudenti

Anche sapendo cosa sono seno, coseno e tangente, è facile commettere un errore per distrazione o per un errore nei calcoli più semplici. Per evitare tali errori, diamo un'occhiata a quelli più popolari.

Innanzitutto, non dovresti convertire le frazioni in decimali finché non ottieni il risultato finale: puoi lasciare la risposta come frazione comune, se non diversamente specificato nelle condizioni. Una tale trasformazione non può essere definita un errore, ma va ricordato che in ogni fase del problema possono apparire nuove radici che, secondo l'idea dell'autore, dovrebbero essere ridotte. In questo caso, perderai tempo in cose inutili operazioni matematiche. Ciò è particolarmente vero per valori come la radice di tre o la radice di due, perché si trovano nei problemi ad ogni passo. Lo stesso vale per l’arrotondamento dei numeri “brutti”.

Inoltre, nota che il teorema del coseno si applica a qualsiasi triangolo, ma non al teorema di Pitagora! Se erroneamente dimentichi di sottrarre il doppio del prodotto dei lati moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra loro, non solo otterrai un risultato completamente sbagliato, ma dimostrerai anche una completa mancanza di comprensione dell'argomento. Questo è peggio di un errore imprudente.

In terzo luogo, non confondere i valori degli angoli di 30 e 60 gradi con seno, coseno, tangente, cotangente. Ricorda questi valori, perché il seno di 30 gradi è uguale al coseno di 60 e viceversa. È facile confonderli, per cui otterrai inevitabilmente un risultato errato.

Applicazione

Molti studenti non hanno fretta di iniziare a studiare la trigonometria perché non ne comprendono il significato pratico. Cos'è seno, coseno e tangente per un ingegnere o un astronomo? Si tratta di concetti con cui è possibile calcolare la distanza di stelle lontane, prevedere la caduta di un meteorite o inviare una sonda di ricerca su un altro pianeta. Senza di essi è impossibile costruire un edificio, progettare un'auto, calcolare il carico su una superficie o la traiettoria di un oggetto. E questi sono solo gli esempi più evidenti! Dopotutto, la trigonometria in una forma o nell'altra viene utilizzata ovunque, dalla musica alla medicina.

Insomma

Quindi sei seno, coseno, tangente. Puoi usarli nei calcoli e risolvere con successo i problemi scolastici.

Il punto centrale della trigonometria si riduce al fatto che utilizzando i parametri noti di un triangolo è necessario calcolare le incognite. Ci sono sei parametri in totale: la lunghezza di tre lati e la dimensione di tre angoli. L'unica differenza nelle attività è che vengono forniti dati di input diversi.

Come trovare seno, coseno e tangente in base a lunghezze conosciute gambe o ipotenusa, ora lo sai. Poiché questi termini non significano altro che un rapporto, e un rapporto è una frazione, obiettivo principale Il problema trigonometrico diventa trovare le radici di un'equazione ordinaria o di un sistema di equazioni. E qui la matematica scolastica regolare ti aiuterà.

In questo articolo daremo uno sguardo completo. Le identità trigonometriche di base sono uguaglianze che stabiliscono una connessione tra seno, coseno, tangente e cotangente di un angolo e consentono di trovare una qualsiasi di queste funzioni trigonometriche attraverso un'altra nota.

Elenchiamo subito le principali identità trigonometriche che analizzeremo in questo articolo. Scriviamoli in una tabella e di seguito riporteremo il risultato di queste formule e forniremo le spiegazioni necessarie.

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Relazione tra seno e coseno di un angolo

A volte non si parla delle principali identità trigonometriche elencate nella tabella sopra, ma di una singola identità trigonometrica di base Tipo . La spiegazione di questo fatto è abbastanza semplice: le uguaglianze si ottengono dall'identità trigonometrica principale dopo aver diviso entrambe le sue parti per e rispettivamente, e le uguaglianze E seguono dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Ne parleremo più in dettaglio nei paragrafi successivi.

Cioè, è l'uguaglianza che interessa particolarmente, a cui è stato dato il nome della principale identità trigonometrica.

Prima di dimostrare l'identità trigonometrica principale, diamo la sua formulazione: la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo è identicamente uguale a uno. Ora dimostriamolo.

L'identità trigonometrica di base viene utilizzata molto spesso quando conversione di espressioni trigonometriche. Permette di sostituire la somma dei quadrati del seno e del coseno di un angolo con uno. Non meno spesso, l'identità trigonometrica di base viene utilizzata nell'ordine inverso: l'unità è sostituita dalla somma dei quadrati del seno e del coseno di qualsiasi angolo.

Tangente e cotangente attraverso seno e coseno

Identità che collegano tangente e cotangente con seno e coseno di un angolo di visione e seguono immediatamente dalle definizioni di seno, coseno, tangente e cotangente. Infatti, per definizione, il seno è l'ordinata di y, il coseno è l'ascissa di x, la tangente è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa, cioè, , e la cotangente è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata, cioè .

Grazie a tale ovvietà delle identità e Tangente e cotangente sono spesso definiti non attraverso il rapporto tra ascissa e ordinata, ma attraverso il rapporto tra seno e coseno. Quindi la tangente di un angolo è il rapporto tra il seno e il coseno di questo angolo, e la cotangente è il rapporto tra il coseno e il seno.

In conclusione di questo paragrafo, va notato che le identità e hanno luogo per tutti gli angoli in cui si trovano gli elementi in essi compresi funzioni trigonometriche avere senso. Quindi la formula è valida per qualsiasi , diverso da (altrimenti il ​​denominatore avrà zero, e non abbiamo definito la divisione per zero), e la formula - per tutti , diverso da , dove z è qualsiasi .

Relazione tra tangente e cotangente

Un'identità trigonometrica ancora più evidente delle due precedenti è l'identità che collega la tangente e la cotangente di un angolo della forma . È chiaro che vale per tutti gli angoli diversi da , altrimenti né la tangente né la cotangente sono definite.

Dimostrazione della formula molto semplice. Per definizione e da dove . La dimostrazione avrebbe potuto essere condotta in modo leggermente diverso. Da , Quello .

Quindi, la tangente e la cotangente dello stesso angolo a cui hanno senso sono .