Come trovare la lunghezza dell'ipotenusa se si conoscono i cateti. Come trovare i cateti se si conosce l'ipotenusa

Due lati sono chiamati lati triangolo rettangolo formando un angolo retto. Il lato più lungo di un triangolo opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. Per individuare l'ipotenusa è necessario conoscere la lunghezza delle gambe.

Istruzioni

1. Le lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa sono legate da una relazione descritta dal teorema di Pitagora. Formulazione algebrica: “In un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa pari alla somma quadrati delle lunghezze dei cateti." La formula pitagorica è questa: c2 = a2 + b2, dove c è la lunghezza dell'ipotenusa, a e b sono le lunghezze dei cateti.

2. Conoscendo le lunghezze dei cateti, secondo il teorema di Pitagora è possibile trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo: c = ?(a2 + b2).

3. Esempio. La lunghezza di una gamba è 3 cm, la lunghezza dell'altra è 4 cm. La somma dei loro quadrati è 25 cm?: 9 cm? +16 centimetri? = 25 cm?.La lunghezza dell'ipotenusa nel nostro caso è pari alla radice quadrata di 25 cm? – 5 cm Pertanto la lunghezza dell'ipotenusa è 5 cm.

L'ipotenusa è il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo di 90 gradi. Per calcolarne la lunghezza è sufficiente conoscere la lunghezza di una delle gambe e la dimensione di uno degli angoli acuti del triangolo.

Istruzioni

1. Con il famoso cateto e l'angolo acuto di un triangolo rettangolo, la dimensione dell'ipotenusa può essere uguale al rapporto tra il cateto e il coseno/seno di questo angolo, se dato angoloè opposto/adiacente ad esso: h = C1 (o C2)/sen?; h = C1 (o C2)/cos?. Esempio: Sia dato un triangolo rettangolo ABC con ipotenusa AB e angolo retto C B sia uguale a 60 gradi e l'angolo A sia 30 gradi. La lunghezza del cateto BC è 8 cm. È necessario trovare la lunghezza dell'ipotenusa AB. Per fare ciò, è possibile utilizzare uno qualsiasi dei metodi proposti sopra: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

L'ipotenusa è il lato più lungo di un rettangolo triangolo. Si trova di fronte all'angolo retto. Metodo per trovare l'ipotenusa di un rettangolo triangolo dipende dai dati iniziali che hai.

Istruzioni

1. Se abbiamo le gambe rettangolari triangolo, quindi la lunghezza dell'ipotenusa del rettangolo triangolo può essere scoperto con l'aiuto del teorema di Pitagora - il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle lunghezze delle gambe: c2 = a2 + b2, dove a e b sono le lunghezze delle gambe di un rettangolare triangolo .

2. Se disegniamo una delle gambe e un angolo acuto, la formula per trovare l'ipotenusa dipenderà da quale angolo rispetto alla gamba guidata è adiacente (situato vicino alla gamba) o opposto (situato di fronte ad essa. Nel caso di un angolo adiacente, l'ipotenusa è uguale al rapporto tra il cateto e il coseno di questo angolo: c = a/cos? E è l'angolo opposto, l'ipotenusa è uguale al rapporto tra il cateto e il seno dell'angolo: c = a/peccato?.

Video sull'argomento

L'ipotenusa è il lato di un triangolo rettangolo che giace opposto all'angolo retto. Sembra che lo sia lato più grande triangolo rettangolo. Può essere calcolato utilizzando il teorema di Pitagora o con il supporto di formule funzioni trigonometriche.

Istruzioni

1. I lati di un triangolo rettangolo adiacenti ad un angolo retto si chiamano cateti. Nella figura, le gambe sono designate AB e BC. Sia data la lunghezza di entrambe le gambe. Indichiamoli con |AB| e |BC|. Per trovare la lunghezza dell'ipotenusa |AC| utilizziamo il teorema di Pitagora. Secondo questo teorema la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa, cioè nella notazione della nostra figura |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Dalla formula troviamo che la lunghezza dell'ipotenusa AC risulta essere |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Diamo un'occhiata a un esempio. Sia data la lunghezza delle gambe |AB|. = 13, |BC| = 21. Per il teorema di Pitagora troviamo che |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Per ottenere la lunghezza dell'ipotenusa dobbiamo estrarre Radice quadrata dalla somma dei quadrati delle gambe, cioè dal numero 610: |AC| =?610. Utilizzando la tabella dei quadrati degli interi, scopriamo che il numero 610 non è un quadrato perfetto di alcun numero intero. Per ottenere il valore finale della lunghezza dell'ipotenusa, proviamo a spostare l'intero quadrato da sotto il segno della radice. Per fare ciò, fattorizziamo il numero 610. 610 = 2 * 5 * 61. Osservando la tabella dei numeri primitivi, vediamo che 61 è un numero primitivo. Di conseguenza, la successiva riduzione del numero 610 non è realistica. Otteniamo il risultato finale |AC| = ?610. Se il quadrato dell'ipotenusa fosse uguale, ad esempio, a 675, allora ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Se una riduzione simile è accettabile, esegui un controllo inverso: eleva il totale al quadrato e confrontalo con il valore iniziale.

3. Facci sapere una delle gambe e l'angolo ad essa adiacente. Per essere precisi, lasciamo che questi siano il lato |AB| e l'angolo?. Quindi possiamo usare la formula per la funzione trigonometrica coseno: il coseno di un angolo è uguale al rapporto tra la gamba adiacente e l'ipotenusa. Quelli. nella nostra notazione cos ? = |AB| / |AC|. Da lì si ottiene la lunghezza dell'ipotenusa |AC| = |AB| / cos ?.Se conosciamo il lato |BC| e angolo?, quindi utilizzeremo la formula per calcolare il seno di un angolo - il seno di un angolo è uguale al rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa: peccato? = |BC| / |AC|. Troviamo che la lunghezza dell'ipotenusa è |AC| = |BC| /cos?.

4. Per chiarezza, diamo un'occhiata a un esempio. Sia data la lunghezza della gamba |AB|. = 15. E l'angolo? = 60°. Otteniamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Vediamo come puoi verificare il risultato utilizzando il teorema di Pitagora. Per fare ciò dobbiamo calcolare la lunghezza del secondo tratto |BC|. Utilizzando la formula per la tangente dell'angolo tg? = |BC| / |AC|, otteniamo |BC| = |AB| *tg? = 15 * marrone chiaro 60° = 15 * ?3. Successivamente applichiamo il teorema di Pitagora, otteniamo 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. La verifica è completata.

Consigli utili
Dopo aver calcolato l'ipotenusa, controlla se il valore risultante soddisfa il teorema di Pitagora.

Istruzioni

Sia conosciuto uno dei cateti di un triangolo rettangolo. Supponiamo |BC| = b. Allora possiamo usare il teorema di Pitagora, secondo cui l'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti: a^2 + b^2 = c^2. Da questa equazione troviamo il lato incognito |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Conosciuto uno degli angoli di un triangolo rettangolo, supponiamo ∟α. Quindi AB e BC del triangolo rettangolo ABC possono essere trovati utilizzando le funzioni trigonometriche. Quindi otteniamo: seno ∟α è uguale al rapporto tra il lato opposto sin α = b / c, coseno ∟α è uguale al rapporto tra il lato adiacente e l'ipotenusa cos α = a / c. Da qui troviamo le lunghezze dei lati richieste: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * peccato α.

Sia noto il rapporto tra le gambe k = a / b. Risolviamo il problema anche utilizzando le funzioni trigonometriche. Il rapporto a/b non è altro che la cotangente ∟α: il lato adiacente ctg α = a/b. In questo caso, da questa uguaglianza esprimiamo a = b * ctg α. E sostituiamo a^2 + b^2 = c^2 nel teorema di Pitagora:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Togliendo b^2 tra parentesi, otteniamo b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. E da qui otteniamo facilmente la lunghezza della gamba b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), dove k è il rapporto dato delle gambe.

Per analogia, se è noto il rapporto tra i cateti b/a, risolviamo il problema utilizzando la tangente tan α = b/a. Sostituiamo il valore b = a * tan α nel teorema di Pitagora a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2. Quindi a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), dove k è il rapporto dato delle gambe.

Consideriamo casi particolari.

∟α = 30°. Quindi |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * peccato α = c / 2.

∟α = 45°. Quindi |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Video sull'argomento

Nota

Da cui si estraggono le radici quadrate segno positivo, Perché la lunghezza non può essere negativa. Sembra ovvio, ma questo errore è molto comune se risolvi il problema automaticamente.

Consigli utili

Per trovare i cateti di un triangolo rettangolo conviene utilizzare le formule di riduzione: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Fonti:

• Tabelle Bradis per la ricerca dei valori delle funzioni trigonometriche

Le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo sono discusse nella branca della matematica chiamata trigonometria. Per trovare i lati di un triangolo rettangolo è sufficiente conoscere il teorema di Pitagora, le definizioni delle funzioni trigonometriche e possedere alcuni mezzi per trovare i valori delle funzioni trigonometriche, ad esempio una calcolatrice o le tabelle di Bradis. Consideriamo di seguito i principali casi di problemi relativi alla ricerca dei lati di un triangolo rettangolo.

Avrai bisogno

• Calcolatrice, tabelle Bradis.

Istruzioni

Se ti viene fornito uno degli angoli acuti, ad esempio A, e l'ipotenusa, le gambe possono essere trovate dalle definizioni di quelle trigonometriche di base:

a= c*sen(A), b= c*cos(A).

Se è dato uno degli angoli acuti, ad esempio A, e uno dei cateti, ad esempio a, allora l'ipotenusa e l'altro cateto si calcolano dalle relazioni: b=a*tg(A), c= a*peccato(A).

Consigli utili

Nel caso in cui non si conosca il valore del seno o del coseno di uno qualsiasi degli angoli necessari per il calcolo, è possibile utilizzare le tabelle Bradis, che forniscono i valori delle funzioni trigonometriche per elevato numero angoli Inoltre, la maggior parte dei calcolatori moderni sono in grado di calcolare i seni e i coseni degli angoli.

Fonti:

• come calcolare il lato di un triangolo rettangolo nel 2019

Suggerimento 3: come trovare un angolo se conosci i lati di un triangolo rettangolo

Tre piazza, di cui uno degli angoli è retto (pari a 90°) si dice rettangolare. Il suo lato più lungo è sempre opposto all'angolo retto e si chiama ipotenusa, e gli altri due lati si chiamano gambe. Se le lunghezze di questi tre lati sono note, trova i valori di tutti gli angoli di tre piazza e non sarà difficile, poiché infatti dovrai calcolare solo uno degli angoli. Esistono diversi modi per farlo.

Istruzioni

Utilizzare per calcolare le quantità (α, β, γ) le definizioni delle funzioni trigonometriche attraverso un triangolo rettangolo. Questo, ad esempio, per il seno angolo acuto come rapporto tra la lunghezza del cateto opposto e la lunghezza dell'ipotenusa. Ciò significa che se le lunghezze dei cateti (A e B) e dell'ipotenusa (C), allora, ad esempio, puoi trovare il seno dell'angolo α opposto al cateto A dividendo la lunghezza lati E per la lunghezza lati C (ipotenusa): sin(α)=A/C. Dopo aver scoperto il valore del seno di questo angolo, puoi trovare il suo valore in gradi utilizzando la funzione inversa del seno - arcoseno. Cioè, α=arcoseno(sin(α))=arcoseno(A/C). Allo stesso modo puoi trovare la dimensione di un angolo acuto in un triangolo. piazza Sì, ma questo non è necessario. Poiché la somma di tutti gli angoli è tre piazza a è 180° e in tre piazza Se uno degli angoli è 90°, allora il valore del terzo angolo può essere calcolato come differenza tra 90° e il valore dell'angolo trovato: β=180°-90°-α=90°-α.

Invece di definire il seno, si può usare la definizione di coseno di un angolo acuto, che è formulato come il rapporto tra la lunghezza del cateto adiacente all'angolo desiderato e la lunghezza dell'ipotenusa: cos(α)=B/ C. E qui, usa la funzione trigonometrica inversa (arcoseno) per trovare l'angolo in gradi: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Fatto questo, come nel passo precedente, non resta che trovare il valore dell'angolo mancante: β=90°-α.

Puoi usare una tangente simile: è espressa dal rapporto tra la lunghezza della gamba opposta all'angolo desiderato e la lunghezza della gamba adiacente: tan(α)=A/B. Ancora una volta, determina l'angolo in gradi utilizzando la funzione trigonometrica inversa: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). La formula per l'angolo mancante rimarrà invariata: β=90°-α.

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Suggerimento 4: come trovare la lunghezza del lato di un triangolo rettangolo

Un triangolo si dice rettangolo se uno dei suoi angoli è retto. Lato triangolo situato di fronte all'angolo retto si chiama ipotenusa e gli altri due lati- gambe. Trovare le lunghezze dei lati di un rettangolo triangolo, puoi utilizzare diversi metodi.

Istruzioni

Puoi scoprire il terzo lati, conoscendo le lunghezze degli altri due lati triangolo. Questo può essere fatto usando il teorema di Pitagora, che afferma che un quadrato è un rettangolo triangolo la somma dei quadrati delle sue gambe. (a² = b²+ c²). Da qui possiamo esprimere le lunghezze di tutti i lati di un rettangolo triangolo:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Ad esempio, per un rettangolare triangoloè nota la lunghezza dell'ipotenusa a (18 cm) e di uno dei cateti, ad esempio c (14 cm). A lunghezza dall'altro lato, è necessario eseguire 2 operazioni algebriche:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 centimetri
Risposta: la lunghezza della gamba è √128 cm o circa 11,3 cm

Puoi ricorrere a se conosci la lunghezza dell'ipotenusa e la dimensione di uno dei punti acuti di un dato rettangolo triangolo. Sia c la lunghezza e uno degli angoli acuti sia uguale ad α. In questo caso, trovane altri 2 lati rettangolare triangolo sarà possibile utilizzando le seguenti formule:
a = с*senα;
b = ñ*cosα.
Puoi dare: la lunghezza dell'ipotenusa è di 15 cm, uno degli angoli acuti è di 30 gradi. Per trovare le lunghezze degli altri due lati è necessario eseguire 2 passaggi:
a = 15*peccato30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (circa)

Il modo più non banale per trovare lunghezza lati rettangolare triangolo- consiste nell'esprimerlo a partire dal perimetro di una data figura:
P = a + b + c, dove P è il perimetro del rettangolo triangolo. Da questa espressione è facile esprimersi lunghezza qualsiasi lato di un rettangolo triangolo.

Suggerimento 5: Come trovare l'angolo di un triangolo rettangolo conoscendo tutti i lati

Conoscenza diretta di tutti e tre i lati carbone triangolo è più che sufficiente per calcolare uno qualsiasi dei suoi angoli. Ci sono così tante informazioni che hai anche la possibilità di scegliere quali parti utilizzare nei calcoli per utilizzare la funzione trigonometrica più adatta a te.

Istruzioni

Se preferisci lavorare con l'arcoseno, usa la lunghezza dell'ipotenusa (C), la più lunga lati- e quella gamba (A) che si trova di fronte all'angolo desiderato (α). Dividendo la lunghezza di questa gamba per la lunghezza dell'ipotenusa si otterrà il valore del seno dell'angolo desiderato, e la funzione inversa del seno - l'arcoseno - dal valore risultante ripristinerà il valore dell'angolo in . Pertanto, utilizzare quanto segue nei calcoli: α = arcosen(A/C).

Per sostituire l'arcoseno con l'arcocoseno, utilizzare nei calcoli le lunghezze di quei lati che formano l'angolo desiderato (α). Uno di essi sarà l'ipotenusa (C) e l'altro sarà la gamba (B). Per definizione, il coseno è la lunghezza del cateto adiacente all'angolo formato dalla lunghezza dell'ipotenusa, e l'angolo formato dal valore del coseno è la funzione arcocoseno. Utilizzare la seguente formula di calcolo: α = arccos(B/C).

Può essere utilizzato nei calcoli. Per fare questo, hai bisogno della lunghezza dei due lati corti: le gambe. Tangente di un angolo acuto (α) in una retta carbone triangolo è determinato dal rapporto tra la lunghezza della gamba (A) opposta e la lunghezza della gamba adiacente (B). Per analogia con le opzioni sopra descritte, utilizzare la seguente formula: α = arctan(A/B).

Formula

Quale triangolo è chiamato triangolo rettangolo?

Esistono diversi tipi di triangoli. Alcuni hanno tutti gli angoli acuti, altri ne hanno uno ottuso e due acuti, altri ancora ne hanno due acuti e uno dritto. Su questa base, è stato nominato ciascun tipo di queste forme geometriche: ad angolo acuto, ad angolo ottuso e rettangolare. Cioè, un triangolo in cui uno degli angoli è di 90° è chiamato triangolo rettangolo. C'è un'altra cosa simile alla prima. Un triangolo i cui due lati sono perpendicolari si chiama triangolo rettangolo.

Ipotenusa e cateti

Nei triangoli acuti e ottusi i segmenti che collegano i vertici degli angoli sono chiamati semplicemente lati. Il lato ha anche altri nomi. Quelli adiacenti all'angolo retto si chiamano gambe. Il lato opposto all'angolo retto si chiama ipotenusa. Tradotta dal greco, la parola "ipotenusa" significa "stretto" e "cathetus" significa "perpendicolare".

Rapporti tra ipotenusa e cateti

I lati di un triangolo rettangolo sono collegati da determinate relazioni, che facilitano notevolmente i calcoli. Ad esempio, conoscendo le dimensioni delle gambe, puoi calcolare la lunghezza dell'ipotenusa. Questa relazione, dal nome della persona che la scoprì, si chiama teorema di Pitagora e si presenta così:

c2=a2+b2, dove c è l'ipotenusa, a e b sono i cateti. Cioè, l'ipotenusa sarà uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle gambe. Per trovare uno qualsiasi dei cateti è sufficiente sottrarre il quadrato dell'altro cateto dal quadrato dell'ipotenusa e ricavare la radice quadrata dalla differenza risultante.

Gamba adiacente e opposta

Disegna un triangolo rettangolo DIA. La lettera C di solito indica il vertice di un angolo retto, A e B - i vertici degli angoli acuti. Conviene chiamare i lati opposti a ciascun angolo a, b e c, dai nomi degli angoli ad essi opposti. Considera l'angolo A. Il lato a sarà opposto, il lato b sarà adiacente. Si chiama il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa. Questa funzione trigonometrica può essere calcolata utilizzando la formula: sinA=a/c. Il rapporto tra il cateto adiacente e l'ipotenusa si chiama coseno. Si calcola utilizzando la formula: cosA=b/c.

Pertanto, conoscendo l'angolo e uno dei lati, puoi utilizzare queste formule per calcolare l'altro lato. Entrambi i lati sono collegati anche da relazioni trigonometriche. Il rapporto tra gli opposti e gli adiacenti si chiama tangente, mentre il rapporto tra gli opposti e gli opposti si chiama cotangente. Queste relazioni possono essere espresse dalle formule tgA=a/b o ctgA=b/a.

Come sai, la geometria è una scienza difficile che richiede particolare cura e precisione nella risoluzione dei problemi. Molte espressioni e formule che successivamente utilizziamo in calcoli più complessi sono esposte nei libri di testo di matematica per le classi 6-7. Per rendere il processo di apprendimento delle funzioni trigonometriche più semplice e divertente, in questo articolo ne esamineremo diversi modo breve Calcolo dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo.

Come trovare l'ipotenusa tramite i cateti?

Ricordiamo una piccola teoria: un triangolo rettangolo è una figura piatta che ha tre angoli. Uno di essi ha una grandezza di 90º, e i lati si chiamano cateti e ipotenusa. Il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa e gli altri due sono cateti adiacenti. Gioco principale lati si manifesta nel teorema di Pitagora, secondo il quale l'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Tuttavia, questo sembra solo fonte di confusione, perché in realtà è tutto molto più semplice.

Proprietà di una figura geometrica

Prima di trovare l'ipotenusa di un triangolo, devi capire quali caratteristiche ha questa figura. Consideriamo i principali:

1. In un triangolo rettangolo la somma di entrambi gli angoli acuti è pari a 90º.
2. Una gamba opposta ad un angolo di 30º sarà uguale alla metà dell'ipotenusa.
3. Se la gamba è uguale a ½ dell'ipotenusa, il secondo angolo avrà lo stesso valore: 30º.

Esistono diversi modi per trovare l'ipotenusa in un triangolo rettangolo. Più soluzione sempliceè un calcolo attraverso le gambe. Diciamo che conosci i valori delle gambe dei lati A e B. Allora viene in soccorso il teorema di Pitagora, dicendoci che se eleviamo al quadrato ogni valore della gamba e sommiamo i dati risultanti, scopriremo qual è il valore l'ipotenusa è uguale a Quindi dobbiamo solo estrarre il valore della radice quadrata:

Ad esempio, se la gamba A = 3 cm e la gamba B = 4 cm, il calcolo sarà simile a questo:

Come trovare l'ipotenusa attraverso un angolo?

Un altro modo per scoprire qual è l'ipotenusa in un triangolo rettangolo è calcolare attraverso un dato angolo. Per fare ciò, dobbiamo ricavare il valore attraverso la formula del seno. Diciamo che conosciamo la dimensione della gamba (A) e il valore dell'angolo opposto (α). Quindi l'intera soluzione è contenuta in una formula: C=A/sin(α).

Ad esempio, se la lunghezza della gamba è 40 cm e l'angolo è 45°, è possibile ricavare la lunghezza dell'ipotenusa nel seguente modo:

40/sen(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Il valore richiesto può anche essere determinato attraverso il coseno di un dato angolo. Diciamo che conosciamo il valore di una gamba (B) e di un angolo acuto adiacente (α). Quindi per risolvere il problema avrai bisogno di una formula: C=B/ cos(α).

Ad esempio, se la lunghezza della gamba è 50 cm e l'angolo è 45°, l'ipotenusa può essere calcolata come segue:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Pertanto, abbiamo esaminato i modi principali per scoprire l'ipotenusa in un triangolo. Quando si risolve un problema, è importante concentrarsi sui dati disponibili, quindi trovare l'incognita sarà abbastanza semplice. Hai solo bisogno di conoscere un paio di formule e il processo di risoluzione dei problemi diventerà semplice e divertente.

La geometria non è una scienza semplice. Richiede particolare attenzione e conoscenza delle formule esatte. Questo tipo di matematica ci è venuto da Grecia antica e anche dopo diverse migliaia di anni non perde la sua rilevanza. Non pensare invano che questo sia un argomento inutile che disturba la testa di studenti e scolari. In effetti, la geometria è applicabile in molti ambiti della vita. Senza la conoscenza della geometria non si costruisce una sola struttura architettonica, non si creano automobili, astronavi e aeroplani. Incroci stradali e solchi complessi e poco complessi: tutto ciò richiede calcoli geometrici. Sì, anche a volte non puoi effettuare riparazioni nella tua stanza senza conoscere le formule di base. Quindi non sottovalutare l'importanza di questo argomento. Studiamo le formule più comuni che dobbiamo utilizzare in molte soluzioni a scuola. Uno di questi è trovare l'ipotenusa in un triangolo rettangolo. Per capirlo, leggi sotto.

Prima di iniziare a praticare, iniziamo dalle basi e definiamo cos'è l'ipotenusa in un triangolo rettangolo.

L'ipotenusa è uno dei lati di un triangolo rettangolo che è opposto all'angolo di 90 gradi (angolo retto) ed è sempre il più lungo.

Esistono diversi modi per trovare la lunghezza dell'ipotenusa desiderata in un dato triangolo rettangolo.

Nel caso in cui le gambe ci siano già note, usiamo il teorema di Pitagora, dove aggiungiamo la somma dei quadrati di due gambe, che sarà uguale al quadrato dell'ipotenusa.

aeb sono cateti, c è l'ipotenusa.

Nel nostro caso, per un triangolo rettangolo, rispettivamente, la formula sarà la seguente:

Se sostituiamo i numeri noti delle gambe a e b, lasciamo che siano a=3 e b=4, quindi c=√32+42, quindi otteniamo c=√25, c=5

Quando conosciamo la lunghezza di una sola gamba, la formula può essere trasformata per trovare la lunghezza della seconda. Sembra questo:

Nel caso in cui, in base alle condizioni del problema, conosciamo la gamba A e l'ipotenusa C, allora possiamo calcolare l'angolo retto del triangolo, chiamiamolo α.

Per fare ciò utilizziamo la formula:

Sia β il secondo angolo che dobbiamo calcolare. Considerando che conosciamo la somma degli angoli di un triangolo, che è 180°, allora: β= 180°-90°-α

Nel caso in cui conosciamo i valori delle gambe, possiamo usare la formula per trovare il valore dell'angolo acuto del triangolo:

A seconda dei valori generalmente accettati, i lati di un rettangolo possono essere trovati utilizzando molte formule diverse. Ecco qui alcuni di loro:

Quando si risolvono i problemi relativi alla ricerca di incognite in un triangolo rettangolo, è molto importante concentrarsi sui valori che già si conoscono e, sulla base di ciò, sostituirli nella formula desiderata. Sarà difficile ricordarli subito, quindi ti consigliamo di fare un piccolo suggerimento scritto a mano e incollarlo sul tuo quaderno.

Come puoi vedere, se approfondisci tutte le complessità di questa formula, puoi facilmente capirlo. Ti consigliamo di provare a risolvere diversi problemi in base a questa formula. Dopo aver visto il risultato, ti sarà chiaro se hai capito questo argomento o meno. Cerca di non memorizzare, ma di approfondire il materiale, sarà molto più utile. Il materiale memorizzato viene dimenticato dopo il primo test e incontrerai questa formula abbastanza spesso, quindi prima comprendila e poi memorizzala. Se queste raccomandazioni non vengono fornite effetto positivo, cioè, ha senso seguire lezioni aggiuntive su questo argomento. E ricorda: insegnare è luce, non insegnare è oscurità!

Tra i numerosi calcoli eseguiti per calcolare diverse quantità c'è trovare l'ipotenusa di un triangolo. Ricordiamo che un triangolo è un poliedro che ha tre angoli. Di seguito sono riportati diversi modi per calcolare l'ipotenusa di vari triangoli.

Per prima cosa, vediamo come trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo. Per chi l'ha dimenticato, un triangolo con un angolo di 90 gradi si chiama triangolo rettangolo. Il lato del triangolo situato dal lato opposto dell'angolo retto si chiama ipotenusa. Inoltre, è il lato più lungo del triangolo. A seconda dei valori noti, la lunghezza dell'ipotenusa viene calcolata come segue:

• La lunghezza delle gambe è nota. L'ipotenusa in questo caso si calcola utilizzando il teorema di Pitagora, che recita così: il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. Se consideriamo un triangolo rettangolo BKF, dove BK e KF sono cateti, e FB è l'ipotenusa, allora FB2= BK2+ KF2. Da quanto sopra ne consegue che quando si calcola la lunghezza dell'ipotenusa, ciascuno dei valori dei cateti deve essere a sua volta quadrato. Quindi aggiungi i numeri appresi ed estrai la radice quadrata dal risultato.

Consideriamo un esempio: dato un triangolo con un angolo retto. Una gamba è 3 cm, l'altra è 4 cm. Trova l'ipotenusa. La soluzione è simile a questa.

FB2= BK2+ KF2= (3 cm)2+(4 cm)2= 9 cm2+16 cm2=25 cm2. Estrai e ottieni FB=5 cm.

• Sono noti il ​​cateto (BK) e l'angolo ad esso adiacente, formato dall'ipotenusa e da questo cateto. Come trovare l'ipotenusa di un triangolo? Denotiamo angolo notoα. Secondo la proprietà che afferma che il rapporto tra la lunghezza del cateto e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale al coseno dell'angolo formato da questo cateto e dall'ipotenusa. Considerando un triangolo, questo può essere scritto così: FB= BK*cos(α).
• La gamba (KF) e lo stesso angolo α sono noti, solo che ora sarà opposto. Come trovare l'ipotenusa in questo caso? Passiamo alle stesse proprietà di un triangolo rettangolo e scopriamo che il rapporto tra la lunghezza della gamba e la lunghezza dell'ipotenusa è uguale al seno dell'angolo opposto alla gamba. Cioè FB= KF * sin (α).

Diamo un'occhiata a un esempio. Dato lo stesso triangolo rettangolo BKF con ipotenusa FB. Sia l'angolo F pari a 30 gradi, il secondo angolo B corrisponde a 60 gradi. È anche nota la gamba BK, la cui lunghezza corrisponde a 8 cm. Il valore richiesto può essere calcolato come segue:

FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.

• Noto (R), descritto attorno ad un triangolo con un angolo retto. Come trovare l'ipotenusa considerando un problema del genere? Dalla proprietà di un cerchio circoscritto ad un triangolo ad angolo retto, si sa che il centro di tale cerchio coincide con il punto dell'ipotenusa, dividendolo a metà. In parole semplici- il raggio corrisponde alla metà dell'ipotenusa. Quindi l'ipotenusa è uguale a due raggi. FB=2*R. Se ti viene dato un problema simile in cui non è noto il raggio, ma la mediana, allora dovresti prestare attenzione alla proprietà di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo con un angolo retto, che dice che il raggio è uguale alla mediana disegnata all'ipotenusa. Utilizzando tutte queste proprietà, il problema viene risolto allo stesso modo.

Se la domanda è come trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele, allora devi rivolgerti allo stesso teorema di Pitagora. Ma prima di tutto ricorda che un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati identici. Nel caso di un triangolo rettangolo i lati sono uguali. Abbiamo FB2= BK2+ KF2, ma poiché BK= KF abbiamo: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Come puoi vedere, conoscendo il teorema di Pitagora e le proprietà di un triangolo rettangolo, risolvere problemi in cui è necessario calcolare la lunghezza dell'ipotenusa è molto semplice. Se è difficile ricordare tutte le proprietà, impara formule già pronte, sostituendo in quale valori conosciuti sarà possibile calcolare la lunghezza richiesta dell'ipotenusa.