Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori. Come sommare frazioni con denominatori diversi

Le frazioni sono numeri regolari, possono anche essere sommati e sottratti. Ma poiché hanno un denominatore, richiedono regole più complesse rispetto agli interi.

Consideriamo il caso più semplice, quando ci sono due frazioni con stessi denominatori. Poi:

Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore.

Per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, è necessario sottrarre il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lasciare nuovamente invariato il denominatore.

All'interno di ciascuna espressione, i denominatori delle frazioni sono uguali. Per definizione di addizione e sottrazione di frazioni otteniamo:

Come puoi vedere, non è niente di complicato: basta aggiungere o sottrarre i numeratori e il gioco è fatto.

Ma anche in azioni così semplici, le persone riescono a commettere errori. Ciò che più spesso si dimentica è che il denominatore non cambia. Ad esempio, quando li aggiungi, iniziano anche a sommarsi, e questo è fondamentalmente sbagliato.

Sbarazzarsi di cattiva abitudine L'aggiunta dei denominatori è abbastanza semplice. Prova la stessa cosa quando sottrai. Di conseguenza, il denominatore sarà zero e la frazione perderà (improvvisamente!) il suo significato.

Pertanto, ricorda una volta per tutte: quando si aggiunge e si sottrae, il denominatore non cambia!

Molte persone commettono errori anche quando sommano diverse frazioni negative. C'è confusione con i segni: dove mettere il meno e dove mettere il più.

Anche questo problema è molto facile da risolvere. Basta ricordare che il meno prima del segno di frazione può sempre essere trasferito al numeratore e viceversa. E ovviamente non dimenticare due semplici regole:

1. Più per meno dà meno;
2. Due negazioni fanno una affermativa.

Analizziamo tutto esempi specifici:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nel primo caso tutto è semplice, ma nel secondo aggiungiamo i meno ai numeratori delle frazioni:

Cosa fare se i denominatori sono diversi

Non è possibile sommare direttamente frazioni con denominatori diversi. Almeno, questo metodo mi è sconosciuto. Tuttavia, le frazioni originali possono sempre essere riscritte in modo che i denominatori diventino gli stessi.

Esistono molti modi per convertire le frazioni. Tre di essi sono discussi nella lezione "Riduzione delle frazioni a un denominatore comune", quindi non ci soffermeremo su di essi qui. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Nel primo caso riduciamo le frazioni a un denominatore comune utilizzando il metodo “incrociato”. Nella seconda cercheremo il NOC. Nota che 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Gli ultimi fattori di queste espansioni sono uguali, mentre i primi sono primi tra loro. Pertanto, MCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Cosa fare se una frazione ha una parte intera

Posso accontentarti: i diversi denominatori nelle frazioni non sono il male più grande. Si verificano molti più errori quando vengono evidenziati i termini delle frazioni intera parte.

Naturalmente, esistono algoritmi di addizione e sottrazione per tali frazioni, ma sono piuttosto complessi e richiedono uno studio lungo. È meglio utilizzare il semplice diagramma seguente:

1. Converti tutte le frazioni contenenti una parte intera in frazioni improprie. Si ottengono termini normali (anche con denominatori diversi), che vengono calcolati secondo le regole discusse sopra;
2. In realtà, calcola la somma o la differenza delle frazioni risultanti. Di conseguenza, troveremo praticamente la risposta;
3. Se questo è tutto ciò che era richiesto nel problema, eseguiamo la trasformazione inversa, cioè Eliminiamo una frazione impropria evidenziando la parte intera.

Le regole per passare alle frazioni improprie ed evidenziare l'intera parte sono descritte in dettaglio nella lezione "Cos'è una frazione numerica". Se non ricordi, assicurati di ripeterlo. Esempi:

Compito. Trova il significato dell'espressione:

Tutto è semplice qui. I denominatori all'interno di ciascuna espressione sono uguali, quindi non resta che convertire tutte le frazioni in frazioni improprie e contare. Abbiamo:

Per semplificare i calcoli, negli ultimi esempi ho saltato alcuni passaggi ovvi.

Una piccola nota sugli ultimi due esempi, dove vengono sottratte le frazioni con la parte intera evidenziata. Il meno prima della seconda frazione significa che viene sottratta l'intera frazione e non solo la sua intera parte.

Rileggi di nuovo questa frase, guarda gli esempi e pensaci. È qui che i principianti commettono un numero enorme di errori. Amano dare questi problemi durante i test. Li incontrerete più volte anche nei test di questa lezione, che sarà pubblicata a breve.

Riepilogo: schema generale di calcolo

In conclusione, fornirò un algoritmo generale che ti aiuterà a trovare la somma o la differenza di due o più frazioni:

1. Se una o più frazioni hanno una parte intera, converti queste frazioni in frazioni improprie;
2. Porta tutte le frazioni a un denominatore comune in qualsiasi modo conveniente per te (a meno che, ovviamente, gli autori dei problemi non lo abbiano fatto);
3. Aggiungi o sottrai i numeri risultanti secondo le regole per aggiungere e sottrarre frazioni con denominatori simili;
4. Se possibile, abbrevia il risultato. Se la frazione non è corretta, seleziona l'intera parte.

Ricorda che è meglio evidenziare l'intera parte alla fine del problema, immediatamente prima di scrivere la risposta.

Nell'articolo mostreremo come risolvere le frazioni utilizzando esempi semplici e comprensibili. Scopriamo cos'è una frazione e consideriamo risolvere le frazioni!

Concetto frazioni viene introdotto nel percorso di matematica a partire dalla 6a classe della scuola secondaria.

Le frazioni hanno la forma: ±X/Y, dove Y è il denominatore, indica in quante parti è stato diviso il tutto, e X è il numeratore, indica quante parti sono state prese. Per chiarezza facciamo un esempio con una torta:

Nel primo caso la torta è stata tagliata in parti uguali e ne è stata prelevata la metà, cioè 1/2. Nel secondo caso la torta è stata tagliata in 7 parti, di cui sono state prelevate 4 parti, cioè 4/7.

Se la parte della divisione di un numero per un altro non è un numero intero, si scrive come frazione.

Ad esempio, l'espressione 4:2 = 2 dà un numero intero, ma 4:7 non è divisibile per un intero, quindi questa espressione viene scritta come una frazione 4/7.

In altre parole frazioneè un'espressione che denota la divisione di due numeri o espressioni e che viene scritta utilizzando una barra frazionaria.

Se il numeratore è minore del denominatore la frazione è propria; viceversa è impropria. Una frazione può contenere un numero intero.

Ad esempio, 5 interi 3/4.

Questa voce significa che per ottenere il 6 intero manca una parte di quattro.

Se vuoi ricordare, come risolvere le frazioni per la 6a elementare, devi capirlo risolvere le frazioni, in sostanza, si tratta di capire alcune semplici cose.

• Una frazione è essenzialmente l'espressione di una frazione. Cioè, un'espressione numerica di quale parte un dato valore è di un tutto. Ad esempio, la frazione 3/5 esprime che se dividiamo qualcosa di intero in 5 parti e il numero di parti o parti di questo intero è tre.
• La frazione può essere inferiore a 1, ad esempio 1/2 (o essenzialmente la metà), quindi è corretta. Se la frazione è maggiore di 1, ad esempio 3/2 (tre metà oppure una e mezza), allora è errata e per semplificare la soluzione conviene selezionare la parte intera 3/2 = 1 intero 1 /2.
• Le frazioni sono gli stessi numeri di 1, 3, 10 e anche 100, solo che i numeri non sono numeri interi ma frazioni. Con essi puoi eseguire tutte le stesse operazioni che con i numeri. Contare le frazioni non è più difficile e lo mostreremo ulteriormente con esempi specifici.

Come risolvere le frazioni. Esempi.

Alle frazioni è applicabile un’ampia varietà di operazioni aritmetiche.

Ridurre una frazione a un denominatore comune

Ad esempio, devi confrontare le frazioni 3/4 e 4/5.

Per risolvere il problema, troviamo innanzitutto il minimo comune denominatore, ovvero il più piccolo numero divisibile senza resto per ciascuno dei denominatori delle frazioni

Minimo comune denominatore(4.5) = 20

Quindi il denominatore di entrambe le frazioni viene ridotto al minimo comune denominatore

Risposta: 15/20

Addizione e sottrazione di frazioni

Se è necessario calcolare la somma di due frazioni, queste vengono prima portate a un denominatore comune, quindi vengono sommati i numeratori, mentre il denominatore rimane invariato. La differenza tra le frazioni si calcola allo stesso modo, l'unica differenza è che i numeratori vengono sottratti.

Ad esempio, devi trovare la somma delle frazioni 1/2 e 1/3

Ora troviamo la differenza tra le frazioni 1/2 e 1/4

Moltiplicazione e divisione delle frazioni

Qui risolvere le frazioni non è difficile, qui tutto è abbastanza semplice:

• Moltiplicazione: numeratori e denominatori delle frazioni vengono moltiplicati insieme;
• Divisione: prima otteniamo la frazione inversa della seconda frazione, cioè Scambiamo il suo numeratore e denominatore, dopo di che moltiplichiamo le frazioni risultanti.

Per esempio:

Questo è tutto come risolvere le frazioni, Tutto. Se hai ancora domande a riguardo risolvere le frazioni, se qualcosa non ti è chiaro scrivi nei commenti e ti risponderemo sicuramente.

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Valutare un'espressione con frazioni numeriche.
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Il programma funziona con frazioni di numeri regolari, improprie e miste.

Questo programma (calcolatrice online) può:
- eseguire l'addizione di frazioni miste con denominatori diversi
- eseguire la sottrazione di frazioni miste con denominatori diversi
- dividere frazioni miste con denominatori diversi
- Moltiplicare frazioni miste con denominatori diversi
- ridurre le frazioni a un denominatore comune
- convertire le frazioni miste in frazioni improprie
- ridurre le frazioni

Puoi anche inserire non un'espressione con frazioni, ma una singola frazione.
In questo caso la frazione verrà ridotta e l'intera parte verrà separata dal risultato.

Il calcolatore online per il calcolo di espressioni con frazioni numeriche non fornisce solo la risposta al problema, ma fornisce una soluzione dettagliata con spiegazioni, ad es. mostra il processo per trovare una soluzione.

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Se non hai familiarità con le regole per l'immissione di espressioni con frazioni numeriche, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione di espressioni con frazioni numeriche

Solo un numero intero può fungere da numeratore, denominatore e parte intera di una frazione.

Il denominatore non può essere negativo. /
Quando si inserisce una frazione numerica, il numeratore è separato dal denominatore da un segno di divisione:
Ingresso: -2/3 + 7/5

Risultato: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\) &
La parte intera è separata dalla frazione dal segno e commerciale:
Ingresso: -1&2/3 * 5&8/3

Risultato: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)
La divisione delle frazioni è introdotta dal segno dei due punti: :
Ingresso: -9 e 37/12: -3 e 5/14
Risultato: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)

Ricorda che non puoi dividere per zero!
È possibile utilizzare le parentesi quando si immettono espressioni con frazioni numeriche. -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Ingresso:

Risultato: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Ad esempio: -2/3*(6&1/2-5/9)

Calcolare
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Una piccola teoria.

Frazioni ordinarie. Divisione con resto Se dobbiamo dividere 497 per 4, durante la divisione vedremo che 497 non è equamente divisibile per 4, ad es. rimane il resto della divisione. In questi casi si dice che è completata divisione con resto
497: 4 = 124 (1 resto).

I componenti della divisione sul lato sinistro dell'uguaglianza hanno lo stesso nome della divisione senza resto: 497 - dividendo, 4 - divisore. Viene chiamato il risultato della divisione quando viene diviso con un resto privato incompleto. Nel nostro caso si tratta del numero 124. Infine, l'ultimo componente, che non è nella divisione ordinaria, è resto. Nei casi in cui non c'è resto, si dice che un numero è diviso per un altro senza lasciare traccia, o completamente. Si ritiene che con tale divisione il resto sia zero. Nel nostro caso il resto è 1.

Il resto è sempre minore del divisore.

La divisione può essere controllata mediante moltiplicazione. Se, ad esempio, esiste un'uguaglianza 64: 32 = 2, la verifica può essere eseguita in questo modo: 64 = 32 * 2.

Spesso nei casi in cui viene eseguita la divisione con resto, è conveniente utilizzare l'uguaglianza
a = b * n + r,
dove a è il dividendo, b è il divisore, n è il quoziente incompleto, r è il resto.

Dividi il quoziente numeri naturali può essere scritto come una frazione.

Il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore.

Poiché il numeratore di una frazione è il dividendo e il denominatore è il divisore, credere che la linea di una frazione significhi l'azione di divisione. A volte è conveniente scrivere la divisione come frazione senza usare il segno ":".

Il quoziente della divisione dei numeri naturali m e n può essere scritto come una frazione \(\frac(m)(n) \), dove il numeratore m è il dividendo e il denominatore n è il divisore:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Sono vere le seguenti regole:

Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere l'unità in n parti uguali (azioni) e prendere m di tali parti.

Per ottenere la frazione \(\frac(m)(n)\), devi dividere il numero m per il numero n.

Per trovare una parte del tutto, devi dividere il numero corrispondente al tutto per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione che esprime questa parte.

Per trovare un intero dalla sua parte, devi dividere il numero corrispondente a questa parte per il numeratore e moltiplicare il risultato per il denominatore della frazione che esprime questa parte.

Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione vengono moltiplicati per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Se sia il numeratore che il denominatore di una frazione sono divisi per lo stesso numero (eccetto zero), il valore della frazione non cambierà:
\(\grande \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Questa proprietà si chiama proprietà principale di una frazione.

Vengono chiamate le ultime due trasformazioni riducendo una frazione.

Se le frazioni devono essere rappresentate come frazioni con lo stesso denominatore, viene chiamata questa azione portare le frazioni a un denominatore comune.

Frazioni proprie e improprie. Numeri misti

Sai già che una frazione può essere ottenuta dividendo un intero in parti uguali e prendendo diverse parti simili. Ad esempio, la frazione \(\frac(3)(4)\) significa tre quarti di uno. In molti dei problemi del paragrafo precedente, le frazioni venivano usate per rappresentare parti di un tutto. Buon senso suggerisce che la parte dovrebbe essere sempre minore dell'intero, ma che dire delle frazioni come, ad esempio, \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? È chiaro che questo non fa più parte dell'unità. Questo è probabilmente il motivo per cui vengono chiamate frazioni il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore frazioni improprie. Vengono chiamate le restanti frazioni, cioè le frazioni il cui numeratore è inferiore al denominatore frazioni corrette.

Come sai, qualsiasi frazione comune, sia propria che impropria, può essere pensata come il risultato della divisione del numeratore per il denominatore. Pertanto in matematica, a differenza del linguaggio comune, il termine “frazione impropria” non significa che abbiamo fatto qualcosa di sbagliato, ma solo che il numeratore di questa frazione è maggiore o uguale al denominatore.

Se un numero è composto da una parte intera e da una frazione, allora le frazioni si dicono miste.

Per esempio:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 è la parte intera e \(\frac(2)(3) \) è la parte frazionaria.

Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b) \) è divisibile per un numero naturale n, allora per dividere questa frazione per n, il suo numeratore deve essere diviso per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Se il numeratore della frazione \(\frac(a)(b)\) non è divisibile per un numero naturale n, per dividere questa frazione per n, devi moltiplicare il suo denominatore per questo numero:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Si noti che la seconda regola è vera anche quando il numeratore è divisibile per n. Pertanto possiamo usarlo quando è difficile determinare a prima vista se il numeratore di una frazione è divisibile per n oppure no.

Azioni con frazioni. Aggiunta di frazioni.

Con i numeri frazionari, come con i numeri naturali, puoi farlo operazioni aritmetiche. Consideriamo prima l'addizione delle frazioni. È facile sommare frazioni con denominatori simili. Troviamo, ad esempio, la somma di \(\frac(2)(7)\) e \(\frac(3)(7)\). È facile capire che \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.

Usando le lettere, la regola per sommare frazioni con denominatori simili può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Se devi sommare frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle a un denominatore comune. Per esempio:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e associative dell'addizione.

Aggiunta di frazioni miste

Vengono chiamate notazioni come \(2\frac(2)(3)\). frazioni miste. In questo caso viene chiamato il numero 2 intera parte frazione mista e il numero \(\frac(2)(3)\) è suo parte frazionaria. La voce \(2\frac(2)(3)\) si legge così: “due e due terzi”.

Dividendo il numero 8 per il numero 3, puoi ottenere due risposte: \(\frac(8)(3)\) e \(2\frac(2)(3)\). Esprimono lo stesso numero frazionario, ovvero \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Pertanto, la frazione impropria \(\frac(8)(3)\) è rappresentata come frazione mista \(2\frac(2)(3)\). In questi casi lo dicono da una frazione impropria evidenziata tutta la parte.

Sottrazione di frazioni (numeri frazionari)

La sottrazione dei numeri frazionari, come i numeri naturali, è determinata sulla base dell'azione dell'addizione: sottrarne un altro da un numero significa trovare un numero che, sommato al secondo, dà il primo. Per esempio:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) poiché \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La regola per sottrarre frazioni con denominatori simili è simile alla regola per aggiungere tali frazioni:
Per trovare la differenza tra frazioni con lo stesso denominatore, devi sottrarre il numeratore della seconda dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore.

Usando le lettere, questa regola è scritta in questo modo:
\(\grande \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Moltiplicazione delle frazioni

Per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori e scrivere il primo prodotto come numeratore e il secondo come denominatore.

Usando le lettere, la regola per moltiplicare le frazioni può essere scritta come segue:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando la regola formulata, puoi moltiplicare una frazione per un numero naturale, per una frazione mista e anche moltiplicare le frazioni miste. Per fare ciò, devi scrivere un numero naturale come frazione con denominatore 1 e una frazione mista come frazione impropria.

Il risultato della moltiplicazione va semplificato (se possibile) riducendo la frazione e isolando tutta la parte impropria.

Per le frazioni, come per i numeri naturali, valgono le proprietà commutative e combinatorie della moltiplicazione, nonché la proprietà distributiva della moltiplicazione relativa all'addizione.

Divisione di frazioni

Prendiamo la frazione \(\frac(2)(3)\) e “capovolgiamola”, scambiando numeratore e denominatore. Otteniamo la frazione \(\frac(3)(2)\). Questa frazione si chiama inversione frazioni \(\frac(2)(3)\).

Se ora “invertiamo” la frazione \(\frac(3)(2)\), otterremo la frazione originale \(\frac(2)(3)\). Pertanto, le frazioni come \(\frac(2)(3)\) e \(\frac(3)(2)\) sono chiamate reciprocamente inverso.

Ad esempio, le frazioni \(\frac(6)(5) \) e \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) e \(\frac (18 )(7)\).

Utilizzando le lettere, le frazioni reciproche possono essere scritte come segue: \(\frac(a)(b) \) e \(\frac(b)(a) \)

Questo è chiaro il prodotto delle frazioni reciproche è uguale a 1. Ad esempio: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Usando le frazioni reciproche, puoi ridurre la divisione delle frazioni alla moltiplicazione.

La regola per dividere una frazione per una frazione è:
Per dividere una frazione per un'altra è necessario moltiplicare il dividendo per il reciproco del divisore.

Fai attenzione! Prima di scrivere la risposta finale, vedi se riesci ad abbreviare la frazione che hai ricevuto.

Sottraendo frazioni con denominatori simili, esempi:

,

,

Sottrarre una frazione propria da uno.

Se è necessario sottrarre una frazione da un'unità propria, l'unità viene convertita nella forma di una frazione impropria, il suo denominatore è uguale al denominatore della frazione sottratta.

Un esempio di sottrazione di una frazione propria da uno:

Denominatore della frazione da sottrarre = 7 , cioè rappresentiamo uno come una frazione impropria 7/7 e lo sottraiamo secondo la regola per sottrarre frazioni con denominatori simili.

Sottrarre una frazione propria da un numero intero.

Regole per sottrarre le frazioni - corretto da un numero intero (numero naturale):

• Convertiamo le frazioni date che contengono una parte intera in frazioni improprie. Otteniamo termini normali (non importa se hanno denominatori diversi), che calcoliamo secondo le regole sopra riportate;
• Successivamente, calcoliamo la differenza tra le frazioni che abbiamo ricevuto. Di conseguenza, troveremo quasi la risposta;
• Eseguiamo la trasformazione inversa, cioè eliminiamo la frazione impropria: selezioniamo l'intera parte nella frazione.

Sottrarre una frazione propria da un numero intero: rappresenta il numero naturale come numero misto. Quelli. Prendiamo l'unità di un numero naturale e la convertiamo nella forma di una frazione impropria, il cui denominatore è lo stesso della frazione sottratta.

Esempio di sottrazione di frazioni:

Nell'esempio abbiamo sostituito l'uno con la frazione impropria 7/7 e al posto del 3 abbiamo scritto un numero misto e sottratto una frazione dalla parte frazionaria.

Sottrarre frazioni con denominatori diversi.

Oppure, per dirla in altro modo, sottraendo frazioni diverse.

Regola per sottrarre frazioni con denominatori diversi. Per sottrarre frazioni con denominatori diversi, è necessario innanzitutto ridurre queste frazioni al minimo comune denominatore (LCD) e solo dopo eseguire la sottrazione come con le frazioni con gli stessi denominatori.

Il denominatore comune di più frazioni è LCM (minimo comune multiplo) numeri naturali che sono i denominatori di queste frazioni.

Attenzione! Se nella frazione finale il numeratore e il denominatore hanno fattori comuni, la frazione deve essere ridotta. Una frazione impropria è meglio rappresentata come frazione mista. Lasciare il risultato della sottrazione senza ridurre la frazione ove possibile è una soluzione incompleta all'esempio!

Procedura per sottrarre frazioni con denominatori diversi.

• trovare il LCM per tutti i denominatori;
• inserire fattori aggiuntivi per tutte le frazioni;
• moltiplicare tutti i numeratori per un fattore aggiuntivo;
• Scriviamo i prodotti risultanti al numeratore, firmando il denominatore comune sotto tutte le frazioni;
• sottrarre i numeratori delle frazioni, firmando il denominatore comune sotto la differenza.

Allo stesso modo, l'addizione e la sottrazione delle frazioni viene eseguita se ci sono lettere nel numeratore.

Sottrazione di frazioni, esempi:

Sottrazione di frazioni miste.

A sottrarre frazioni miste (numeri) separatamente, la parte intera viene sottratta dalla parte intera e la parte frazionaria viene sottratta dalla parte frazionaria.

La prima opzione per sottrarre le frazioni miste.

Se le parti frazionarie identico denominatori e numeratore della parte frazionaria del minuendo (lo sottraiamo) ≥ numeratore della parte frazionaria del sottraendo (lo sottraiamo).

Per esempio:

La seconda opzione per sottrarre le frazioni miste.

Quando parti frazionarie diverso denominatori. Per cominciare, portiamo le parti frazionarie a un denominatore comune, quindi sottraiamo l'intera parte dalla parte intera e la parte frazionaria dalla parte frazionaria.

Per esempio:

La terza opzione per sottrarre le frazioni miste.

La parte frazionaria del minuendo è minore della parte frazionaria del sottraendo.

Esempio:

Perché Le parti frazionarie hanno denominatori diversi, il che significa, come nella seconda opzione, prima portiamo le frazioni ordinarie a un denominatore comune.

Il numeratore della parte frazionaria del minuendo è minore del numeratore della parte frazionaria del sottraendo.3 < 14. Ciò significa che prendiamo un'unità dall'intera parte e riduciamo questa unità alla forma di una frazione impropria con lo stesso denominatore e numeratore = 18.

Nel numeratore sul lato destro scriviamo la somma dei numeratori, quindi apriamo le parentesi nel numeratore sul lato destro, cioè moltiplichiamo tutto e diamo quelli simili. Non apriamo le parentesi al denominatore. È consuetudine lasciare il prodotto ai denominatori. Otteniamo:

Una delle scienze più importanti, la cui applicazione può essere vista in discipline come la chimica, la fisica e persino la biologia, è la matematica. Studiare questa scienza ti permette di sviluppare alcune qualità mentali e migliorare la tua capacità di concentrazione. Uno degli argomenti che meritano particolare attenzione nel corso di Matematica sono le addizioni e le sottrazioni tra le frazioni. Molti studenti hanno difficoltà a studiare. Forse il nostro articolo ti aiuterà a comprendere meglio questo argomento.

Come sottrarre le frazioni i cui denominatori sono gli stessi

Le frazioni sono gli stessi numeri con cui puoi eseguire varie operazioni. La loro differenza rispetto ai numeri interi sta nella presenza di un denominatore. Ecco perché, quando esegui operazioni con le frazioni, devi studiare alcune delle loro caratteristiche e regole. Il caso più semplice è la sottrazione di frazioni ordinarie i cui denominatori sono rappresentati dallo stesso numero. Eseguire questa azione non sarà difficile se conosci una semplice regola:

• Per sottrarre un secondo da una frazione è necessario sottrarre il numeratore della frazione sottratta dal numeratore della frazione da ridurre. Scriviamo questo numero nel numeratore della differenza e lasciamo lo stesso denominatore: k/m - b/m = (k-b)/m.

Esempi di sottrazione di frazioni i cui denominatori sono gli stessi

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Dal numeratore della frazione “7” sottraiamo il numeratore della frazione “3” da sottrarre, otteniamo “4”. Scriviamo questo numero nel numeratore della risposta e nel denominatore inseriamo lo stesso numero che era nei denominatori della prima e della seconda frazione - "19".

L'immagine qui sotto mostra molti altri esempi simili.

Consideriamo un esempio più complesso in cui vengono sottratte frazioni con denominatori simili:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Dal numeratore della frazione “29” ridotto sottraendo a turno i numeratori di tutte le frazioni successive: “3”, “8”, “2”, “7”. Di conseguenza, otteniamo il risultato "9", che scriviamo al numeratore della risposta, e al denominatore scriviamo il numero che si trova nei denominatori di tutte queste frazioni - "47".

Sommare frazioni che hanno lo stesso denominatore

L'addizione e la sottrazione delle frazioni ordinarie segue lo stesso principio.

• Per sommare frazioni i cui denominatori sono uguali, è necessario sommare i numeratori. Il numero risultante è il numeratore della somma e il denominatore rimarrà lo stesso: k/m + b/m = (k + b)/m.

Vediamo come appare utilizzando un esempio:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Al numeratore del primo termine della frazione - "1" - aggiungi il numeratore del secondo termine della frazione - "2". Il risultato - "3" - viene scritto nel numeratore della somma e il denominatore viene lasciato uguale a quello presente nelle frazioni - "4".

Frazioni con denominatori diversi e loro sottrazione

Abbiamo già considerato l'operazione con frazioni che hanno lo stesso denominatore. Come vediamo, sapere regole semplici, risolvere tali esempi è abbastanza semplice. Ma cosa succede se devi eseguire un'operazione con frazioni che hanno denominatori diversi? Molti studenti delle scuole secondarie sono confusi da questi esempi. Ma anche qui, se conosci il principio della soluzione, gli esempi non ti saranno più difficili. C'è anche una regola qui, senza la quale risolvere tali frazioni è semplicemente impossibile.

Per sottrarre frazioni con denominatori diversi è necessario ridurle allo stesso denominatore più piccolo.



Parleremo più dettagliatamente di come farlo.

Proprietà di una frazione

Per portare più frazioni allo stesso denominatore, è necessario utilizzare la proprietà principale della frazione nella soluzione: dopo aver diviso o moltiplicato il numeratore e il denominatore per stesso numero ottieni una frazione uguale a quella data.

Quindi, ad esempio, la frazione 2/3 può avere denominatori come “6”, “9”, “12”, ecc., cioè può avere la forma di qualsiasi numero che sia multiplo di “3”. Dopo aver moltiplicato numeratore e denominatore per “2”, otteniamo la frazione 4/6. Dopo aver moltiplicato il numeratore e il denominatore della frazione originale per “3”, otteniamo 6/9, e se eseguiamo un'operazione simile con il numero “4”, otteniamo 8/12. Un'uguaglianza può essere scritta come segue:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Come convertire più frazioni nello stesso denominatore

Diamo un'occhiata a come ridurre più frazioni allo stesso denominatore. Ad esempio, prendiamo le frazioni mostrate nell'immagine qui sotto. Per prima cosa devi determinare quale numero può diventare il denominatore di tutti loro. Per semplificare le cose, fattorizziamo i denominatori esistenti.

Il denominatore della frazione 1/2 e della frazione 2/3 non può essere scomposto. Il denominatore 7/9 ha due fattori 7/9 = 7/(3 x 3), il denominatore della frazione 5/6 = 5/(2 x 3). Ora dobbiamo determinare quali fattori saranno i più piccoli per tutte queste quattro frazioni. Poiché la prima frazione ha il numero “2” al denominatore, significa che deve essere presente in tutti i denominatori; nella frazione 7/9 ci sono due terzine, il che significa che devono essere presenti entrambe anche al denominatore; Tenendo conto di quanto sopra, determiniamo che il denominatore è composto da tre fattori: 3, 2, 3 ed è uguale a 3 x 2 x 3 = 18.



Consideriamo la prima frazione - 1/2. C'è un "2" al denominatore, ma non c'è un solo "3", ma dovrebbero essercene due. Per fare ciò moltiplichiamo il denominatore per due triple, ma, secondo la proprietà della frazione, dobbiamo moltiplicare il numeratore per due triple:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Eseguiamo le stesse operazioni con le restanti frazioni.

• 2/3 - al denominatore mancano uno tre e uno due:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 18/12.
• 7/9 o 7/(3 x 3) - al denominatore manca un due:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 o 5/(2 x 3) - al denominatore manca un tre:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Nel complesso appare così:



Come sottrarre e sommare frazioni con denominatori diversi

Come accennato in precedenza, per aggiungere o sottrarre frazioni che hanno denominatori diversi, è necessario ridurle allo stesso denominatore e quindi utilizzare le regole per sottrarre le frazioni che hanno lo stesso denominatore, di cui abbiamo già discusso.

Consideriamo questo come esempio: 4/18 - 3/15.

Trovare il multiplo dei numeri 18 e 15:

• Il numero 18 è formato da 3 x 2 x 3.
• Il numero 15 è composto da 5 x 3.
• Il multiplo comune sarà costituito dai seguenti fattori: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Dopo aver trovato il denominatore, è necessario calcolare il fattore che sarà diverso per ogni frazione, cioè il numero per il quale sarà necessario moltiplicare non solo il denominatore, ma anche il numeratore. Per fare ciò, dividiamo il numero che abbiamo trovato (il multiplo comune) per il denominatore della frazione per la quale dobbiamo determinare ulteriori fattori.

• 90 diviso per 15. Il numero risultante “6” sarà un moltiplicatore per 3/15.
• 90 diviso per 18. Il numero risultante “5” sarà un moltiplicatore per 4/18.

La fase successiva della nostra soluzione è ridurre ciascuna frazione al denominatore “90”.

Abbiamo già parlato di come ciò avvenga. Vediamo come viene scritto in un esempio:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Se le frazioni hanno numeri piccoli, puoi determinare il denominatore comune, come nell'esempio mostrato nell'immagine qui sotto.



Lo stesso vale per quelli con denominatori diversi.

Sottrazione e aventi parti intere

Abbiamo già discusso in dettaglio la sottrazione delle frazioni e la loro addizione. Ma come sottrarre se una frazione ha una parte intera? Ancora una volta, usiamo alcune regole:

• Converti tutte le frazioni che hanno una parte intera in improprie. A proposito di in parole semplici, rimuovere l'intera parte. Per fare ciò, moltiplica il numero della parte intera per il denominatore della frazione e aggiungi il prodotto risultante al numeratore. Il numero che esce dopo queste azioni è il numeratore della frazione impropria. Il denominatore rimane invariato.
• Se le frazioni hanno denominatori diversi, devono essere ridotte allo stesso denominatore.
• Esegui addizioni o sottrazioni con gli stessi denominatori.
• Quando si riceve una frazione impropria, selezionare l'intera parte.



C'è un altro modo in cui puoi aggiungere e sottrarre frazioni con parti intere. Per fare ciò, le azioni vengono eseguite separatamente con le parti intere e le azioni con le frazioni separatamente e i risultati vengono registrati insieme.



L'esempio fornito è costituito da frazioni che hanno lo stesso denominatore. Nel caso in cui i denominatori siano diversi è necessario portarli allo stesso valore, quindi eseguire le azioni come mostrato nell'esempio.

Sottrarre frazioni da numeri interi

Un altro tipo di operazione con le frazioni è il caso in cui è necessario sottrarre una frazione. A prima vista, un esempio del genere sembra difficile da risolvere. Tuttavia, qui tutto è abbastanza semplice. Per risolverlo, devi convertire l'intero numero in una frazione e con lo stesso denominatore presente nella frazione sottratta. Successivamente, eseguiamo una sottrazione simile alla sottrazione con denominatori identici. In un esempio appare così:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

La sottrazione delle frazioni (voto 6) presentata in questo articolo è la base per risolverne altri esempi complessi, che verranno discussi nelle lezioni successive. La conoscenza di questo argomento viene successivamente utilizzata per risolvere funzioni, derivate e così via. Pertanto, è molto importante comprendere e comprendere le operazioni con le frazioni discusse sopra.