Frazioni, operazioni con le frazioni. Calcolatrice online. Calcolo di espressioni con frazioni numeriche

Contenuto della lezione

Somma di frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di addizione di frazioni:

1. Somma di frazioni con denominatori simili
2. Aggiunta di frazioni con denominatori diversi

Innanzitutto, impariamo l'addizione di frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore. Ad esempio, aggiungiamo le frazioni e . Somma i numeratori e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni la pizza:

Esempio 2. Aggiungi frazioni e .

La risposta risultò essere una frazione impropria. Quando arriva la fine del compito, è consuetudine eliminare le frazioni improprie. Per eliminare una frazione impropria è necessario selezionarne l'intera parte. Nel nostro caso intera parte si distingue facilmente - due diviso per due fa uno:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo una pizza divisa in due parti. Se aggiungi più pizza alla pizza, ottieni una pizza intera:

Esempio 3. Aggiungi frazioni e .

Ancora una volta sommiamo i numeratori e lasciamo invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se aggiungi altra pizza alla pizza, ottieni la pizza:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. I numeratori devono essere aggiunti e il denominatore lasciato invariato:

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a una pizza e aggiungi altre pizze, otterrai 1 pizza intera e più pizze.

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nell'addizionare frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

1. Per sommare frazioni con lo stesso denominatore, devi sommare i loro numeratori e lasciare invariato il denominatore;

Somma di frazioni con denominatori diversi

Ora impariamo come sommare frazioni con denominatori diversi. Quando si sommano le frazioni, i denominatori delle frazioni devono essere gli stessi. Ma non sono sempre gli stessi.

Ad esempio, le frazioni possono essere sommate perché hanno gli stessi denominatori.

Ma le frazioni non possono essere sommate subito, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Esistono diversi modi per ridurre le frazioni allo stesso denominatore. Oggi ne vedremo solo uno, poiché gli altri metodi possono sembrare complicati per un principiante.

L'essenza di questo metodo è che prima viene cercato il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il MCM viene quindi diviso per il denominatore della prima frazione per ottenere il primo fattore aggiuntivo. Fanno lo stesso con la seconda frazione: il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo.

I numeratori e i denominatori delle frazioni vengono quindi moltiplicati per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste azioni, le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformano in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni.

Esempio 1. Aggiungiamo le frazioni e

Innanzitutto troviamo il minimo comune multiplo dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 6

LCM (2 e 3) = 6

Ora torniamo alle frazioni e . Innanzitutto, dividi il LCM per il denominatore della prima frazione e ottieni il primo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 6 per 3, otteniamo 2.

Il numero 2 risultante è il primo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla prima frazione. Per fare ciò, traccia una piccola linea obliqua sopra la frazione e scrivi il fattore aggiuntivo che trovi sopra:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividiamo il LCM per il denominatore della seconda frazione e otteniamo il secondo fattore aggiuntivo. MCM è il numero 6 e il denominatore della seconda frazione è il numero 2. Dividi 6 per 2, otteniamo 3.

Il numero risultante 3 è il secondo moltiplicatore aggiuntivo. Lo scriviamo alla seconda frazione. Ancora una volta, tracciamo una piccola linea obliqua sulla seconda frazione e annotiamo il fattore aggiuntivo che si trova sopra di essa:

Ora abbiamo tutto pronto per l'aggiunta. Resta da moltiplicare i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Guarda attentamente a cosa siamo arrivati. Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sommare tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:

Questo completa l'esempio. Risulta aggiungere .

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se aggiungi pizza a pizza, ottieni una pizza intera e un altro sesto di pizza:

La riduzione delle frazioni allo stesso denominatore (comune) può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo le frazioni e ad un denominatore comune, abbiamo ottenuto le frazioni e . Queste due frazioni saranno rappresentate dagli stessi pezzi di pizza. L'unica differenza sarà che questa volta saranno divisi in parti uguali (ridotti allo stesso denominatore).

Il primo disegno rappresenta una frazione (quattro pezzi su sei), mentre il secondo disegno rappresenta una frazione (tre pezzi su sei). Sommando questi pezzi otteniamo (sette pezzi su sei). Questa frazione è impropria, quindi ne abbiamo evidenziato la parte intera. Di conseguenza, abbiamo ottenuto (una pizza intera e un'altra sesta pizza).

Tieni presente che abbiamo descritto questo esempio in modo troppo dettagliato. IN istituzioni educative Non è consuetudine scrivere in modo così dettagliato. Devi essere in grado di trovare rapidamente l'LCM sia dei denominatori che dei fattori aggiuntivi, nonché moltiplicare rapidamente i fattori aggiuntivi trovati per i tuoi numeratori e denominatori. Se fossimo a scuola, dovremmo scrivere questo esempio come segue:

Ma c’è anche un’altra faccia della medaglia. Se non prendi appunti dettagliati nelle prime fasi dello studio della matematica, inizieranno ad apparire domande di questo tipo. “Da dove viene quel numero?”, “Perché le frazioni si trasformano improvvisamente in frazioni completamente diverse? «.

Per rendere più semplice la somma di frazioni con denominatori diversi, puoi utilizzare le seguenti istruzioni passo passo:

1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni;
2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione;
3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi;
4. Aggiungi frazioni che hanno gli stessi denominatori;
5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, selezionane la parte intera;

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione .

Usiamo le istruzioni fornite sopra.

Passaggio 1. Trova il MCM dei denominatori delle frazioni

Trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. I denominatori delle frazioni sono i numeri 2, 3 e 4

Passaggio 2. Dividi il LCM per il denominatore di ciascuna frazione e ottieni un fattore aggiuntivo per ciascuna frazione

Dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 2. Dividi 12 per 2, otteniamo 6. Abbiamo ottenuto il primo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 4. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Ora dividiamo il MCM per il denominatore della terza frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della terza frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Passaggio 3. Moltiplica i numeratori e i denominatori delle frazioni per i loro fattori aggiuntivi

Moltiplichiamo numeratori e denominatori per i loro fattori aggiuntivi:

Passaggio 4. Aggiungi le frazioni con gli stessi denominatori

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). Non resta che sommare queste frazioni. Aggiungilo:

L'aggiunta non rientrava in una riga, quindi abbiamo spostato l'espressione rimanente nella riga successiva. Questo è consentito in matematica. Quando un'espressione non rientra in una riga, viene spostata alla riga successiva ed è necessario inserire un segno uguale (=) alla fine della prima riga e all'inizio della nuova riga. Il segno uguale sulla seconda riga indica che questa è una continuazione dell'espressione che era sulla prima riga.

Passaggio 5. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, evidenziane l'intera parte

La nostra risposta si è rivelata una frazione impropria. Dobbiamo evidenziarne tutta una parte. Evidenziamo:

Abbiamo ricevuto una risposta

Sottrarre frazioni con denominatori simili

Esistono due tipi di sottrazione delle frazioni:

1. Sottrarre frazioni con denominatori simili
2. Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Innanzitutto, impariamo a sottrarre le frazioni con denominatori simili. Tutto è semplice qui. Per sottrarne un'altra da una frazione, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione, ma lasciare lo stesso denominatore.

Ad esempio, troviamo il valore dell'espressione . Per risolvere questo esempio, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore. Facciamo questo:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in quattro parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione.

Ancora una volta, dal numeratore della prima frazione, sottrai il numeratore della seconda frazione e lascia invariato il denominatore:

Questo esempio può essere facilmente compreso se ricordiamo la pizza, che è divisa in tre parti. Se tagli le pizze da una pizza, ottieni pizze:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Questo esempio si risolve esattamente nello stesso modo dei precedenti. Dal numeratore della prima frazione bisogna sottrarre i numeratori delle restanti frazioni:

Come puoi vedere, non c'è niente di complicato nel sottrarre frazioni con gli stessi denominatori. È sufficiente comprendere le seguenti regole:

1. Per sottrarne un'altra da una frazione, è necessario sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare invariato il denominatore;
2. Se la risposta risulta essere una frazione impropria, è necessario evidenziarne l'intera parte.

Sottrarre frazioni con denominatori diversi

Ad esempio, puoi sottrarre una frazione da una frazione perché le frazioni hanno gli stessi denominatori. Ma non puoi sottrarre una frazione da una frazione, poiché queste frazioni hanno denominatori diversi. In questi casi, le frazioni devono essere ridotte allo stesso denominatore (comune).

Il denominatore comune si trova utilizzando lo stesso principio che abbiamo utilizzato quando abbiamo sommato frazioni con denominatori diversi. Innanzitutto, trova il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Quindi il MCM viene diviso per il denominatore della prima frazione e si ottiene il primo fattore aggiuntivo, che è scritto sopra la prima frazione. Allo stesso modo, il MCM viene diviso per il denominatore della seconda frazione e si ottiene un secondo fattore aggiuntivo, che viene scritto sopra la seconda frazione.

Le frazioni vengono quindi moltiplicate per i loro fattori aggiuntivi. Come risultato di queste operazioni, le frazioni che avevano denominatori diversi vengono convertite in frazioni che hanno gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni.

Esempio 1. Trova il significato dell'espressione:

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

Innanzitutto, troviamo il MCM dei denominatori di entrambe le frazioni. Il denominatore della prima frazione è il numero 3 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 12

LCM (3 e 4) = 12

Ora torniamo alle frazioni e

Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore della prima frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della prima frazione è il numero 3. Dividi 12 per 3, otteniamo 4. Scrivi un quattro sopra la prima frazione:

Facciamo lo stesso con la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. MCM è il numero 12 e il denominatore della seconda frazione è il numero 4. Dividi 12 per 4, otteniamo 3. Scrivi un tre sulla seconda frazione:

Ora siamo pronti per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori. E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Prendiamo questo esempio fino alla fine:

Abbiamo ricevuto una risposta

Proviamo a rappresentare la nostra soluzione utilizzando un disegno. Se tagli la pizza da una pizza, ottieni la pizza

Questa è la versione dettagliata della soluzione. Se fossimo a scuola, dovremmo risolvere questo esempio in modo più breve. Una soluzione del genere sarebbe simile a questa:

La riduzione delle frazioni a un denominatore comune può anche essere rappresentata utilizzando un'immagine. Riducendo queste frazioni a un denominatore comune, abbiamo le frazioni e . Queste frazioni saranno rappresentate dagli stessi tranci di pizza, ma questa volta saranno divise in parti uguali (ridotte allo stesso denominatore):

La prima immagine mostra una frazione (otto pezzi su dodici), mentre la seconda immagine mostra una frazione (tre pezzi su dodici). Tagliando tre pezzi da otto pezzi, otteniamo cinque pezzi su dodici. La frazione descrive questi cinque pezzi.

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Queste frazioni hanno denominatori diversi, quindi prima devi ridurle allo stesso denominatore (comune).

Troviamo il MCM dei denominatori di queste frazioni.

I denominatori delle frazioni sono i numeri 10, 3 e 5. Il minimo comune multiplo di questi numeri è 30

MCM(10, 3, 5) = 30

Ora troviamo fattori aggiuntivi per ciascuna frazione. Per fare ciò, dividi il MCM per il denominatore di ciascuna frazione.

Troviamo un fattore aggiuntivo per la prima frazione. MCM è il numero 30 e il denominatore della prima frazione è il numero 10. Dividi 30 per 10, otteniamo il primo fattore aggiuntivo 3. Lo scriviamo sopra la prima frazione:

Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la seconda frazione. Dividi il MCM per il denominatore della seconda frazione. Il MCM è il numero 30 e il denominatore della seconda frazione è il numero 3. Dividi 30 per 3, otteniamo il secondo fattore aggiuntivo 10. Lo scriviamo sopra la seconda frazione:

Ora troviamo un fattore aggiuntivo per la terza frazione. Dividi il MCM per il denominatore della terza frazione. Il MCM è il numero 30 e il denominatore della terza frazione è il numero 5. Dividi 30 per 5, otteniamo il terzo fattore aggiuntivo 6. Lo scriviamo sopra la terza frazione:

Ora tutto è pronto per la sottrazione. Resta da moltiplicare le frazioni per i loro fattori aggiuntivi:

Siamo giunti alla conclusione che le frazioni che avevano denominatori diversi si trasformavano in frazioni che avevano gli stessi denominatori (comuni). E sappiamo già come sottrarre tali frazioni. Concludiamo questo esempio.

La continuazione dell'esempio non sta in una riga, quindi spostiamo la continuazione alla riga successiva. Non dimenticare il segno uguale (=) sulla nuova riga:

La risposta si è rivelata una frazione regolare e tutto sembra andarci bene, ma è troppo ingombrante e brutto. Dovremmo renderlo più semplice. Cosa si può fare? Puoi abbreviare questa frazione.

Per ridurre una frazione, devi dividere il suo numeratore e denominatore per (MCD) dei numeri 20 e 30.

Quindi, troviamo il mcd dei numeri 20 e 30:

Ora torniamo al nostro esempio e dividiamo il numeratore e il denominatore della frazione per il mcd trovato, cioè per 10

Abbiamo ricevuto una risposta

Moltiplicare una frazione per un numero

Per moltiplicare una frazione per un numero, devi moltiplicare il numeratore della frazione per quel numero e lasciare lo stesso denominatore.

Esempio 1. Moltiplica una frazione per il numero 1.

Moltiplica il numeratore della frazione per il numero 1

La registrazione può essere intesa come se durasse la metà di 1 volta. Ad esempio, se prendi le pizze 1 volta, ottieni delle pizze

Dalle leggi della moltiplicazione sappiamo che se si invertono il moltiplicando e il fattore il prodotto non cambierà. Se l'espressione è scritta come , il prodotto sarà comunque uguale a . Ancora una volta, la regola per moltiplicare un numero intero e una frazione funziona:

Questa notazione può essere intesa come se prendesse la metà di uno. Ad esempio, se c'è 1 pizza intera e ne prendiamo la metà, allora avremo la pizza:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplica il numeratore della frazione per 4

La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:

L'espressione può essere intesa come prendere due quarti 4 volte. Ad esempio, se prendi 4 pizze, otterrai due pizze intere

E se invertiamo il moltiplicando e il moltiplicatore, otteniamo l'espressione . Sarà anche uguale a 2. Questa espressione può essere intesa come prendere due pizze da quattro pizze intere:

Moltiplicazione delle frazioni

Per moltiplicare le frazioni, devi moltiplicare i loro numeratori e denominatori. Se la risposta risulta essere una frazione impropria è necessario evidenziarne l'intera parte.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione.

Abbiamo ricevuto una risposta. È consigliabile ridurre questa frazione. La frazione può essere ridotta di 2. Quindi la soluzione finale assumerà la seguente forma:

L'espressione può essere intesa come prendere una pizza da mezza pizza. Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Come prendere due terzi da questa metà? Per prima cosa devi dividere questa metà in tre parti uguali:

E prendine due da questi tre pezzi:

Faremo la pizza. Ricorda come appare la pizza divisa in tre parti:

Un pezzo di questa pizza e i due pezzi che abbiamo preso avranno le stesse dimensioni:

In altre parole, stiamo parlando di pizza della stessa dimensione. Pertanto il valore dell'espressione è

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta era una frazione impropria. Evidenziamo l'intera parte:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

Moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione:

La risposta si è rivelata una frazione regolare, ma sarebbe opportuno se fosse abbreviata. Per ridurre questa frazione, devi dividere il numeratore e il denominatore di questa frazione per il massimo comun divisore (MCD) dei numeri 105 e 450.

Quindi, troviamo il MCD dei numeri 105 e 450:

Ora dividiamo numeratore e denominatore della nostra risposta per il mcd che abbiamo ora trovato, cioè per 15

Rappresentare un numero intero come frazione

Qualsiasi numero intero può essere rappresentato come una frazione. Ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato come . Ciò non cambierà il significato di cinque, poiché l'espressione significa “il numero cinque diviso uno”, e questo, come sappiamo, è uguale a cinque:

Numeri reciproci

Ora faremo conoscenza con molto argomento interessante in matematica. Si chiama "numeri inversi".

Definizione. Invertire il numeroUN è un numero che, se moltiplicato perUN ne dà uno.

Sostituiamo in questa definizione invece della variabile UN numero 5 e prova a leggere la definizione:

Invertire il numero 5 è un numero che, se moltiplicato per 5 ne dà uno.

È possibile trovare un numero che moltiplicato per 5 dia uno? Si scopre che è possibile. Immaginiamo cinque come una frazione:

Quindi moltiplica questa frazione per se stessa, scambiando semplicemente numeratore e denominatore. In altre parole, moltiplichiamo la frazione per se stessa, solo capovolta:

Cosa accadrà di conseguenza? Se continuiamo a risolvere questo esempio, ne otteniamo uno:

Ciò significa che l'inverso del numero 5 è il numero , poiché moltiplicando 5 per ottieni uno.

Il reciproco di un numero può essere trovato anche per qualsiasi altro numero intero.

Puoi anche trovare il reciproco di qualsiasi altra frazione. Per fare questo, basta capovolgerlo.

Dividere una frazione per un numero

Diciamo che abbiamo mezza pizza:

Dividiamolo equamente tra due. Quanta pizza riceverà ogni persona?

Si può notare che dopo aver diviso metà della pizza si sono ottenuti due pezzi uguali, ognuno dei quali costituisce una pizza. Quindi tutti prendono una pizza.

La divisione delle frazioni viene eseguita utilizzando i reciproci. I numeri reciproci consentono di sostituire la divisione con la moltiplicazione.

Per dividere una frazione per un numero, devi moltiplicare la frazione per l'inverso del divisore.

Usando questa regola annoteremo la divisione della nostra metà della pizza in due parti.

Quindi devi dividere la frazione per il numero 2. Qui il dividendo è la frazione e il divisore è il numero 2.

Per dividere una frazione per il numero 2, devi moltiplicare questa frazione per il reciproco del divisore 2. Il reciproco del divisore 2 è la frazione. Quindi devi moltiplicare per

Quindi, se un'espressione numerica è composta da numeri e dai segni +, −, · e:, allora in ordine da sinistra a destra devi prima eseguire la moltiplicazione e la divisione, quindi l'addizione e la sottrazione, che ti permetteranno di trovare il valore desiderato dell'espressione.

Facciamo alcuni esempi per chiarimenti.

Esempio.

Calcola il valore dell'espressione 14−2·15:6−3.

Soluzione.

Per trovare il valore di un'espressione, è necessario eseguire tutte le azioni in essa specificate in conformità con secondo la procedura accettata eseguendo queste azioni. Per prima cosa, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo la moltiplicazione e la divisione, otteniamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Ora eseguiamo anche le restanti azioni in ordine da sinistra a destra: 14−5−3=9−3=6. Ecco come abbiamo trovato il valore dell'espressione originale, è uguale a 6.

Risposta:

14−2·15:6−3=6.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione.

Soluzione.

IN in questo esempio dobbiamo prima fare la moltiplicazione 2·(−7) e la divisione con la moltiplicazione nell'espressione . Ricordando come , troviamo 2·(−7)=−14. E per eseguire prima le azioni nell'espressione , dopo di che ed eseguire: .

Sostituiamo i valori ottenuti nell'espressione originale: .

Ma cosa succede se sotto il segno della radice c'è un'espressione numerica? Per ottenere il valore di tale radice, è necessario prima trovare il valore dell'espressione radicale, aderendo all'ordine accettato di esecuzione delle azioni. Per esempio, .

Nelle espressioni numeriche, le radici dovrebbero essere percepite come alcuni numeri, ed è consigliabile sostituire immediatamente le radici con i loro valori, quindi trovare il valore dell'espressione risultante senza radici, eseguendo le azioni nella sequenza accettata.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione con le radici.

Soluzione.

Per prima cosa troviamo il valore della radice . Per fare ciò, in primo luogo, calcoliamo il valore dell'espressione radicale che abbiamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. E in secondo luogo, troviamo il valore della radice.

Ora calcoliamo il valore della seconda radice dall'espressione originale: .

Infine possiamo ritrovare il significato dell'espressione originale sostituendo le radici con il loro significato: .

Risposta:

Molto spesso, per trovare il significato di un'espressione con radici, è prima necessario trasformarla. Mostriamo la soluzione dell'esempio.

Esempio.

Qual è il significato dell'espressione .

Soluzione.

Non possiamo sostituire la radice di tre con il suo valore esatto, il che ci impedisce di calcolare il valore di questa espressione nel modo sopra descritto. Tuttavia, possiamo calcolare il valore di questa espressione eseguendo semplici trasformazioni. Applicabile formula della differenza quadrata: . Tenendo conto , otteniamo . Pertanto, il valore dell'espressione originale è 1.

Risposta:

.

Con i gradi

Se la base e l'esponente sono numeri, il loro valore viene calcolato determinando il grado, ad esempio 3 2 =3·3=9 oppure 8 −1 =1/8. Ci sono anche voci in cui la base e/o l'esponente sono alcune espressioni. In questi casi è necessario trovare il valore dell'espressione nella base, il valore dell'espressione nell'esponente e poi calcolare il valore del grado stesso.

Esempio.

Trovare il valore di un'espressione con potenze della forma 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Soluzione.

Nell'espressione originale ci sono due potenze 2 3·4−10 e (1−1/2) 3.5−2·1/4. I loro valori devono essere calcolati prima di eseguire altre azioni.

Cominciamo con la potenza 2 3·4−10. Il suo indicatore contiene un'espressione numerica, calcoliamo il suo valore: 3·4−10=12−10=2. Ora puoi trovare il valore del grado stesso: 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base e l'esponente (1−1/2) 3,5−2 1/4 contengono espressioni; calcoliamo i loro valori per poi trovare il valore dell'esponente. Abbiamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Ora torniamo all'espressione originale, sostituiamo i gradi in essa contenuti con i loro valori e troviamo il valore dell'espressione di cui abbiamo bisogno: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Risposta:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Vale la pena notare che ci sono casi più comuni in cui è consigliabile eseguire i preliminari semplificazione espressiva con poteri alla base.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

A giudicare dagli esponenti di questa espressione, valori esatti Non potrai conseguire lauree. Proviamo a semplificare l'espressione originale, forse questo aiuterà a trovarne il significato. Abbiamo

Risposta:

.

Le potenze nelle espressioni spesso vanno di pari passo con i logaritmi, ma parleremo di come trovare il significato delle espressioni con logaritmi in uno dei.

Trovare il valore di un'espressione con le frazioni

Le espressioni numeriche possono contenere frazioni nella loro notazione. Quando è necessario trovare il valore di tale espressione, le frazioni diverse dalle frazioni dovrebbero essere sostituite dai rispettivi valori prima di procedere con il resto dei passaggi.

Il numeratore e il denominatore delle frazioni (che sono diverse dalle frazioni ordinarie) possono contenere sia alcuni numeri che espressioni. Per calcolare il valore di tale frazione, è necessario calcolare il valore dell'espressione al numeratore, calcolare il valore dell'espressione al denominatore e quindi calcolare il valore della frazione stessa. Questo ordine è spiegato dal fatto che la frazione a/b, dove aeb sono alcune espressioni, rappresenta essenzialmente un quoziente della forma (a):(b), poiché .

Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio.

Trova il significato di un'espressione con le frazioni .

Soluzione.

Ci sono tre frazioni nell'espressione numerica originale E . Per trovare il valore dell'espressione originale, dobbiamo prima sostituire queste frazioni con i loro valori. Facciamolo.

Il numeratore e il denominatore di una frazione contengono numeri. Per trovare il valore di tale frazione, sostituisci la barra della frazione con un segno di divisione ed esegui questa azione: .

Al numeratore della frazione c'è l'espressione 7−2·3, il suo valore è facile da trovare: 7−2·3=7−6=1. Così, . Puoi procedere alla ricerca del valore della terza frazione.

La terza frazione al numeratore e al denominatore contiene espressioni numeriche, quindi devi prima calcolarne i valori e questo ti consentirà di trovare il valore della frazione stessa. Abbiamo .

Resta da sostituire i valori trovati nell'espressione originale ed eseguire le azioni rimanenti: .

Risposta:

.

Spesso, quando si trovano i valori delle espressioni con le frazioni, è necessario eseguire semplificazione delle espressioni frazionarie, basato sull'esecuzione di operazioni con frazioni e sulla riduzione delle frazioni.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

La radice di cinque non può essere estratta completamente, quindi per trovare il valore dell’espressione originale, semplifichiamola prima. Per questo liberiamoci dell'irrazionalità nel denominatore prima frazione: . Successivamente, l'espressione originale assumerà la forma . Dopo aver sottratto le frazioni, le radici scompariranno, il che ci permetterà di trovare il valore dell'espressione data inizialmente: .

Risposta:

.

Con i logaritmi

Se un'espressione numerica contiene , ed è possibile eliminarli, ciò viene fatto prima di eseguire altre azioni. Ad esempio, quando si trova il valore dell'espressione log 2 4+2·3, il logaritmo log 2 4 viene sostituito dal suo valore 2, dopodiché le restanti azioni vengono eseguite nell'ordine consueto, ovvero log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Quando sono presenti espressioni numeriche sotto il segno del logaritmo e/o alla sua base, vengono prima rilevati i loro valori, dopodiché viene calcolato il valore del logaritmo. Ad esempio, considera un'espressione con un logaritmo della forma . Alla base del logaritmo e sotto il suo segno troviamo le espressioni numeriche: . Ora troviamo il logaritmo, dopodiché completiamo i calcoli: .

Se i logaritmi non vengono calcolati accuratamente, è necessario semplificarli preventivamente utilizzando . In questo caso, è necessario avere una buona padronanza del materiale dell'articolo conversione di espressioni logaritmiche.

Esempio.

Trova il valore di un'espressione con i logaritmi .

Soluzione.

Iniziamo calcolando log 2 (log 2 256) . Poiché 256=2 8, allora log 2 256=8, quindi, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

I logaritmi log 6 2 e log 6 3 possono essere raggruppati. Somma registro dei logaritmi 6 2+log 6 3 è uguale al logaritmo del prodotto log 6 (2 3), quindi log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Ora diamo un'occhiata alla frazione. Per cominciare, riscriveremo la base del logaritmo al denominatore sotto forma di frazione ordinaria come 1/5, dopodiché utilizzeremo le proprietà dei logaritmi, che ci permetteranno di ottenere il valore della frazione:
.

Non resta che sostituire i risultati ottenuti nell'espressione originale e finire di trovarne il valore:

Risposta:

Come trovare il valore di un'espressione trigonometrica?

Quando un'espressione numerica contiene o, ecc., i loro valori vengono calcolati prima di eseguire altre azioni. Se sotto il segno funzioni trigonometriche Se sono presenti espressioni numeriche, vengono prima calcolati i loro valori, dopodiché vengono trovati i valori delle funzioni trigonometriche.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

Passando all'articolo, otteniamo e cosπ=−1 . Sostituiamo questi valori nell'espressione originale, prende forma . Per trovare il suo valore, devi prima eseguire l'elevamento a potenza, quindi completare i calcoli: .

Risposta:

.

Vale la pena notare che il calcolo dei valori delle espressioni con seno, coseno, ecc. spesso richiede prima convertire un'espressione trigonometrica.

Esempio.

Qual è il valore dell'espressione trigonometrica .

Soluzione.

Trasformiamo l'espressione originale utilizzando , in questo caso avremo bisogno della formula del doppio angolo del coseno e della formula della somma del coseno:

Le trasformazioni che abbiamo apportato ci hanno aiutato a trovare il significato dell'espressione.

Risposta:

.

Caso generale

In generale, un'espressione numerica può contenere radici, potenze, frazioni, alcune funzioni e parentesi. Trovare i valori di tali espressioni consiste nell'eseguire le seguenti azioni:

• prime radici, potenze, frazioni, ecc. sono sostituiti dai loro valori,
• ulteriori azioni tra parentesi,
• e in ordine da sinistra a destra, vengono eseguite le restanti operazioni: moltiplicazione e divisione, seguite da addizione e sottrazione.

Le azioni elencate vengono eseguite fino all'ottenimento del risultato finale.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

La forma di questa espressione è piuttosto complessa. In questa espressione vediamo frazioni, radici, potenze, seno e logaritmi. Come trovarne il valore?

Muovendosi attraverso il record da sinistra a destra, ci imbattiamo in una frazione della forma . Sappiamo che quando lavoriamo con frazioni complesse, dobbiamo calcolare separatamente il valore del numeratore, separatamente il denominatore e infine trovare il valore della frazione.

Al numeratore abbiamo la radice della forma . Per determinarne il valore, devi prima calcolare il valore dell'espressione radicale . C'è un seno qui. Possiamo trovare il suo valore solo dopo aver calcolato il valore dell'espressione . Questo possiamo fare: . Poi dove e da .

Il denominatore è semplice: .

Così, .

Dopo aver sostituito questo risultato nell'espressione originale, assumerà la forma . L'espressione risultante contiene il grado . Per trovare il suo valore, dobbiamo prima trovare il valore dell'indicatore che abbiamo .

COSÌ, .

Risposta:

.

Se non è possibile calcolare i valori esatti di radici, potenze, ecc., Puoi provare a sbarazzartene utilizzando alcune trasformazioni, quindi tornare a calcolare il valore secondo lo schema specificato.

Modi razionali per calcolare i valori delle espressioni

Il calcolo dei valori delle espressioni numeriche richiede coerenza e accuratezza. Sì, è necessario attenersi alla sequenza di azioni registrate nei paragrafi precedenti, ma non è necessario farlo ciecamente e meccanicamente. Ciò che intendiamo con questo è che spesso è possibile razionalizzare il processo di ricerca del significato di un'espressione. Ad esempio, alcune proprietà delle operazioni con i numeri possono accelerare e semplificare notevolmente la ricerca del valore di un'espressione.

Ad esempio, conosciamo questa proprietà della moltiplicazione: se uno dei fattori del prodotto è uguale a zero, il valore del prodotto è uguale a zero. Utilizzando questa proprietà, possiamo immediatamente dire che il valore dell'espressione 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) è uguale a zero. Se seguissimo l’ordine standard delle operazioni, dovremmo prima calcolare i valori delle scomode espressioni tra parentesi, il che richiederebbe molto tempo e il risultato sarebbe comunque zero.

È anche conveniente utilizzare la proprietà di sottrarre i numeri uguali: se sottrai un numero uguale da un numero, il risultato è zero. Questa proprietà può essere considerata in modo più ampio: la differenza tra due espressioni numeriche identiche è zero. Ad esempio, senza calcolare il valore delle espressioni tra parentesi, è possibile trovare il valore dell'espressione (54 6-12 47362:3)−(54 6-12 47362:3), è uguale a zero, poiché l'espressione originale è la differenza di espressioni identiche.

Le trasformazioni di identità possono facilitare il calcolo razionale dei valori di espressione. Ad esempio, può essere utile raggruppare termini e fattori; non meno spesso si usa mettere il fattore comune fuori parentesi. Quindi il valore dell'espressione 53·5+53·7−53·11+5 si trova molto facilmente dopo aver tolto il fattore 53 tra parentesi: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Il calcolo diretto richiederebbe molto più tempo.

Per concludere questo punto, prestiamo attenzione ad un approccio razionale al calcolo dei valori delle espressioni con frazioni: i fattori identici nel numeratore e nel denominatore della frazione vengono cancellati. Ad esempio, riducendo le stesse espressioni al numeratore e al denominatore di una frazione ti permette di trovare immediatamente il suo valore, che è pari a 1/2.

Trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili

Il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili si trova per valori specifici di lettere e variabili. Cioè, stiamo parlando di trovare il valore di un'espressione letterale per determinati valori di lettere o di trovare il valore di un'espressione con variabili per valori di variabili selezionati.

Regola trovare il valore di un'espressione letterale o di un'espressione con variabili per determinati valori di lettere o valori selezionati di variabili è il seguente: è necessario sostituire i valori forniti di lettere o variabili nell'espressione originale e calcolare il valore dell'espressione numerica risultante; è il valore desiderato.

Esempio.

Calcola il valore dell'espressione 0,5·x−y in x=2,4 e y=5.

Soluzione.

Per trovare il valore richiesto dell'espressione, devi prima sostituire i valori indicati delle variabili nell'espressione originale, quindi eseguire i seguenti passaggi: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Risposta:

−3,8 .

Come nota finale, a volte l'esecuzione di trasformazioni su espressioni letterali e variabili produrrà i loro valori, indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili. Ad esempio, l'espressione x+3−x può essere semplificata, dopodiché assumerà la forma 3. Da ciò possiamo concludere che il valore dell'espressione x+3−x è uguale a 3 per qualsiasi valore della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti (APV). Altro esempio: il valore dell'espressione è uguale a 1 per tutti i valori positivi di x, quindi l'intervallo di valori consentiti della variabile x nell'espressione originale è l'insieme numeri positivi, e l’uguaglianza vale in questa regione.

Riferimenti.

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• Algebra: 9° grado: educativo. per l'istruzione generale istituzioni / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16a ed. - M.: Educazione, 2009. - 271 p. : malato. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. istruzione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14a ed. - M.: Educazione, 2004. - 384 pp.: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.

Io stesso mi sono trovato di fronte al fatto che le frazioni si sono rivelate un argomento piuttosto difficile per i miei figli.

Ce ne sono molti bel gioco Le frazioni di Nikitin sono destinate ai bambini in età prescolare, ma anche a scuola aiuteranno perfettamente il bambino a capire cosa sono: le frazioni, il loro rapporto reciproco..., e tutto in una forma accessibile, visiva ed emozionante.

Si compone di dodici cerchi multicolori. Un cerchio è intero e tutto il resto è diviso in parti uguali: due, tre... (fino a dodici).

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Come si chiamano le parti dei cerchi? O

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Questa tecnica mi ha aiutato. In generale, mi dispiace davvero che tutti questi sviluppi di Nikitin non abbiano attirato la mia attenzione quando i bambini erano ancora neonati.

Puoi creare il gioco da solo o acquistarne uno già pronto e scoprire di più su tutto -.

La risoluzione delle frazioni può essere spiegata anche utilizzando i mattoncini Lego. Sviluppa non solo l'immaginazione, ma anche la creatività e pensiero logico, il che significa che può essere utilizzato anche come supporto didattico.

Alicia Zimmerman ha avuto l'idea di utilizzare i blocchi del famoso designer per insegnare ai bambini le basi della matematica.

Ed ecco come spiegare le frazioni usando i Lego.





La pratica mostra che le maggiori difficoltà sorgono quando si aggiungono (sottraggono) frazioni con denominatori diversi e quando si dividono le frazioni.

Le difficoltà sorgono a causa di istruzioni storte nel libro di testo, come la divisione di una frazione per una frazione.

Per dividere una frazione per una frazione, moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima frazione.

Può un bambino di quarta elementare capirlo e non confondersi? NO!

E la maestra ce lo ha spiegato in modo elementare: bisogna capovolgere la seconda frazione e poi moltiplicarla!

Stessa cosa con l'addizione.

Per sommare due frazioni, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e moltiplicare il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima frazione, sommare i numeri risultanti e scriverli al numeratore. E nel denominatore devi scrivere il prodotto dei denominatori delle frazioni. Successivamente, la frazione risultante può (o dovrebbe) essere ridotta.

Ed è più semplice: riduci le frazioni a un denominatore comune, che è uguale al MCM dei denominatori, e poi aggiungi i numeratori.

Mostrateli con un chiaro esempio. Ad esempio, taglia una mela in 4 parti, mettila in 8 parti, aggiungi 12 parti in un tutto, aggiungi più parti, sottrai. Allo stesso tempo, spiega su carta usando le regole. Regole per addizioni e sottrazioni. dividere le frazioni e come isolare un intero da una frazione impropria: impara tutto questo manipolando una mela. Non mettete fretta ai bambini; lasciate che siano loro a sistemare attentamente le fette con il vostro aiuto.

Insegnare ai bambini a risolvere le frazioni, in particolare, è abbastanza comune e non creerà molti problemi. La cosa più semplice che puoi fare è prendere qualcosa di intero, ad esempio un mandarino, o qualsiasi altro frutto, dividerlo in parti e usare un esempio per mostrare sottrazioni, addizioni e altre operazioni con pezzi di questo frutto, che saranno frazioni del Totale. Tutto deve essere spiegato e mostrato, e l'ultimo fattore sarà spiegare e risolvere insieme i problemi utilizzando esempi matematici finché il bambino non imparerà a svolgere questi compiti da solo.

La figura mostra chiaramente cosa corrisponde a cosa e come appare la frazione su un oggetto reale, è esattamente così che deve essere spiegato.



È necessario affrontare questo problema in modo approfondito, poiché risolvere le frazioni tornerà utile nella vita. È necessario in questa materia, come si suol dire, essere su un piano di parità con i bambini e spiegare la teoria in una lingua che capiscono, ad esempio nella lingua della torta o del mandarino. Devi dividere la torta in fare e darla agli amici, dopodiché il bambino inizierà a comprendere l'essenza della risoluzione delle frazioni. Non iniziare con le frazioni pesanti, inizia con i concetti di 1/2, 1/3, 1/10. Innanzitutto, sottrai e aggiungi, quindi passa a concetti più complessi come la moltiplicazione e la divisione.

Esistono diversi tipi di problemi con le frazioni. Un bambino non riesce a capire che un secondo e cinque decimi sono la stessa cosa, altri sono perplessi portando frazioni diverse allo stesso denominatore, altri ancora sono confusi dalla divisione delle frazioni. Pertanto non esiste una regola valida per tutte le occasioni.

La cosa principale nei problemi che coinvolgono le frazioni è non perdere il momento in cui ciò che è comprensibile cessa di esserlo. Ritorna ai fornelli e ripeti tutto da capo, anche se sembra miseramente primitivo. Ad esempio, torna a cos'è un secondo.

Il bambino deve capire che i concetti matematici sono astratti, che lo stesso fenomeno può essere descritto con parole diverse ed espresso con numeri diversi.

Mi piace la risposta data da Mefody66. Aggiungo da molti anni di pratica personale: insegnare a risolvere problemi con le frazioni (e non risolvere le frazioni; risolvere le frazioni è impossibile, così come è impossibile risolvere i numeri) è abbastanza facile, basta essere vicino al bambino quando inizia a risolvere tali problemi per la prima volta, e correggere la sua soluzione in tempo, in modo che gli errori, che sono inevitabili in ogni apprendimento, non abbiano il tempo di prendere piede nella mente del bambino. Reimparare è più difficile che imparare qualcosa di nuovo. E risolvi questi problemi il più possibile. Sarebbe bene rendere automatica la soluzione di tali compiti. Capacità di risolvere problemi con frazioni ordinarie In termini di importanza nel corso di matematica scolastica, occupa lo stesso posto della conoscenza della tavola pitagorica. Quindi devi prenderti il ​​tempo per vedere come tuo figlio risolve questi problemi.

E non affidatevi troppo al libro di testo: gli insegnanti nelle scuole spiegano esattamente come ha scritto Mefody66 nella sua risposta. È meglio parlare con l'insegnante, scoprire con quali parole l'insegnante ha spiegato questo argomento. E se possibile, usa le stesse parole e frasi (per non confondere troppo il bambino)

Inoltre: ti consiglio di utilizzare esempi visivi solo nella fase iniziale della spiegazione, quindi astrarli rapidamente e passare all'algoritmo della soluzione. Altrimenti, la chiarezza potrebbe essere dannosa quando si risolvono problemi più complessi. Ad esempio, se devi sommare frazioni con denominatori 29 e 121, che tipo di aiuto visivo ti aiuterà? Creerà soltanto confusione.

Le frazioni sono uno di quei benedetti argomenti matematici in cui non esistono astrazioni che non siano applicabili. Dovrebbero essere usati dei prodotti (sulle torte, come Juanita Solis in Desperate Housewives - un metodo di spiegazione davvero interessante). Tutti questi numeratori-denominatori vengono dopo. Quindi è necessario che il bambino capisca che la divisione per una frazione non è più una diminuzione e la moltiplicazione non è un aumento. Qui è meglio mostrare come dividere per una frazione sotto forma di moltiplicazione per inversione. IN forma di gioco fai una riduzione, se sono divisibili per un numero, poi dividi, è quasi un Sudoku, se ti interessa. L'importante è accorgersi per tempo delle incomprensioni, perché più avanti ci saranno argomenti più interessanti e di non facile comprensione. Pertanto, fai più pratica nella risoluzione delle frazioni e tutto migliorerà rapidamente. Per me, l'umanista più puro, lontano dal minimo grado di astrazione, le frazioni sono sempre state più chiare di altri argomenti.

Questo articolo esamina le operazioni sulle frazioni. Verranno formate e giustificate le regole per l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, la divisione o l'elevamento a potenza delle frazioni della forma A B, dove A e B possono essere numeri, espressioni numeriche o espressioni con variabili. In conclusione verranno considerati esempi di soluzioni con descrizioni dettagliate.

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Regole per eseguire operazioni con frazioni numeriche generali

Frazioni numeriche visione generale avere un numeratore e un denominatore in cui ci sono numeri naturali o espressioni numeriche. Se consideriamo frazioni come 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, allora è chiaro che al numeratore e al denominatore possono avere non solo numeri, ma anche espressioni di vario tipo.

Definizione 1

Esistono regole in base alle quali vengono eseguite le operazioni con le frazioni ordinarie. È adatto anche per le frazioni generali:

• Quando si sottraggono frazioni con denominatori simili, vengono aggiunti solo i numeratori e il denominatore rimane lo stesso, vale a dire: a d ± c d = a ± c d, i valori a, c e d ≠ 0 sono alcuni numeri o espressioni numeriche.
• Quando si aggiunge o si sottrae una frazione con denominatori diversi, è necessario ridurla a un denominatore comune, quindi aggiungere o sottrarre le frazioni risultanti con gli stessi esponenti. Letteralmente assomiglia a questo: a b ± c d = a · p ± c · r s, dove i valori a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 sono numeri reali, e b · p = d · r = s . Quando p = d e r = b, allora a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Quando si moltiplicano le frazioni, l'operazione viene eseguita con i numeratori, dopodiché con i denominatori, quindi otteniamo a b · c d = a · c b · d, dove a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 agiscono come numeri reali.
• Quando dividiamo una frazione per una frazione, moltiplichiamo la prima per la seconda inversamente, cioè invertiamo numeratore e denominatore: a b: c d = a b · d c.

Motivazione delle regole

Definizione 2

Ci sono i seguenti punti matematici su cui dovresti fare affidamento durante il calcolo:

• la barra indica il segno di divisione;
• la divisione per un numero viene trattata come moltiplicazione per il suo valore reciproco;
• applicazione della proprietà delle operazioni con numeri reali;
• applicazione delle proprietà fondamentali delle frazioni e delle disequazioni numeriche.

Con il loro aiuto, puoi eseguire trasformazioni del modulo:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Esempi

Nel paragrafo precedente si è parlato delle operazioni con le frazioni. È dopo questo che la frazione deve essere semplificata. Questo argomento è stato discusso in dettaglio nel paragrafo sulla conversione delle frazioni.

Per prima cosa, vediamo un esempio di addizione e sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore.

Esempio 1

Date le frazioni 8 2, 7 e 1 2, 7, quindi secondo la regola è necessario aggiungere il numeratore e riscrivere il denominatore.

Soluzione

Quindi otteniamo una frazione della forma 8 + 1 2, 7. Dopo aver eseguito l'addizione, otteniamo una frazione della forma 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Ciò significa 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Risposta: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

C'è un'altra soluzione. Per cominciare, passiamo alla forma di una frazione ordinaria, dopodiché eseguiamo una semplificazione. Sembra questo:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Esempio 2

Sottrai da 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 una frazione della forma 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Poiché vengono forniti denominatori uguali, significa che stiamo calcolando una frazione con lo stesso denominatore. Lo capiamo

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Esistono esempi di calcolo di frazioni con denominatori diversi. Un punto importante è la riduzione a un denominatore comune. Senza questo, non saremo in grado di eseguire ulteriori operazioni con le frazioni.

Il processo ricorda vagamente la riduzione a un denominatore comune. Cioè, viene cercato il minimo comune divisore del denominatore, dopodiché i fattori mancanti vengono aggiunti alle frazioni.

Se le frazioni da aggiungere non hanno fattori comuni, allora può essere il loro lavoro.

Esempio 3

Consideriamo l'esempio della somma delle frazioni 2 3 5 + 1 e 1 2.

Soluzione

In questo caso il denominatore comune è il prodotto dei denominatori. Quindi otteniamo 2 · 3 5 + 1. Quindi, impostando fattori aggiuntivi, abbiamo che per la prima frazione è uguale a 2, e per la seconda è 3 5 + 1. Dopo la moltiplicazione, le frazioni si riducono alla forma 4 2 · 3 5 + 1. La riduzione generale di 1 2 sarà 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Aggiungiamo le espressioni frazionarie risultanti e otteniamo questo

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Risposta: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Quando abbiamo a che fare con frazioni generali, di solito non parliamo del minimo comune denominatore. Non è redditizio prendere il prodotto dei numeratori come denominatore. Per prima cosa devi controllare se c'è un numero che ha un valore inferiore al loro prodotto.

Esempio 4

Consideriamo l'esempio di 1 6 · 2 1 5 e 1 4 · 2 3 5, quando il loro prodotto è uguale a 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Allora prendiamo 12 · 2 3 5 come denominatore comune.

Diamo un'occhiata ad esempi di moltiplicazione di frazioni generali.

Esempio 5

Per fare questo, devi moltiplicare 2 + 1 6 e 2 · 5 3 · 2 + 1.

Soluzione

Seguendo la regola, è necessario riscrivere e scrivere il prodotto dei numeratori sotto forma di denominatore. Otteniamo che 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Una volta moltiplicata una frazione, puoi fare delle riduzioni per semplificarla. Allora 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Usando la regola per passare dalla divisione alla moltiplicazione per una frazione reciproca, otteniamo una frazione che è il reciproco di quella data. Per fare ciò, il numeratore e il denominatore vengono invertiti. Diamo un'occhiata ad un esempio:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Quindi devono moltiplicare e semplificare la frazione risultante. Se necessario, elimina l'irrazionalità nel denominatore. Lo capiamo

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Risposta: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Questo paragrafo è applicabile quando un numero o un'espressione numerica può essere rappresentato come una frazione con un denominatore uguale a 1, quindi l'operazione con tale frazione è considerata un paragrafo separato. Ad esempio, l'espressione 1 6 · 7 4 - 1 · 3 mostra che la radice di 3 può essere sostituita da un'altra espressione 3 1. Quindi questa voce sembrerà moltiplicare due frazioni della forma 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Esecuzione di operazioni su frazioni contenenti variabili

Le regole discusse nel primo articolo sono applicabili alle operazioni con frazioni contenenti variabili. Considera la regola della sottrazione quando i denominatori sono gli stessi.

È necessario dimostrare che A, C e D (D diverso da zero) possono essere qualsiasi espressione e l'uguaglianza A D ± C D = A ± C D è equivalente al suo intervallo di valori consentiti.

È necessario prendere una serie di variabili ODZ. Allora A, C, D devono assumere i valori corrispondenti a 0 , c 0 e d0. La sostituzione della forma A D ± C D dà come risultato una differenza della forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , dove, utilizzando la regola dell'addizione, otteniamo una formula della forma a 0 ± c 0 d 0 . Se sostituiamo l'espressione A ± C D, otteniamo la stessa frazione della forma a 0 ± c 0 d 0. Da qui concludiamo che il valore selezionato che soddisfa l'ODZ, A±C D e AD±C D sono considerati uguali.

Per qualsiasi valore delle variabili, queste espressioni saranno uguali, cioè saranno chiamate identicamente uguali. Ciò significa che questa espressione è considerata un'uguaglianza dimostrabile della forma A D ± C D = A ± C D .

Esempi di addizione e sottrazione di frazioni con variabili

Quando hai gli stessi denominatori, devi solo aggiungere o sottrarre i numeratori. Questa frazione può essere semplificata. A volte devi lavorare con frazioni identicamente uguali, ma a prima vista questo non è evidente, poiché è necessario eseguire alcune trasformazioni. Ad esempio, x 2 3 x 1 3 + 1 e x 1 3 + 1 2 o 1 2 sin 2 α e sin a cos a. Molto spesso è necessaria una semplificazione dell'espressione originale per vedere gli stessi denominatori.

Esempio 6

Calcolare: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Soluzione

1. Per effettuare il calcolo è necessario sottrarre le frazioni che hanno lo stesso denominatore. Quindi otteniamo che x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Dopodiché puoi espandere le parentesi e aggiungere termini simili. Otteniamo che x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Poiché i denominatori sono gli stessi, non resta che sommare i numeratori, lasciando il denominatore: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x +2)
   L'aggiunta è stata completata. Si può vedere che è possibile ridurre la frazione. Il suo numeratore può essere piegato utilizzando la formula del quadrato della somma, quindi otteniamo (l g x + 2) 2 da formule di moltiplicazione abbreviate. Allora lo capiamo
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Date frazioni della forma x - 1 x - 1 + x x + 1 con denominatori diversi. Dopo la trasformazione si può procedere all'addizione.

Consideriamo una duplice soluzione.

Il primo metodo prevede che il denominatore della prima frazione venga fattorizzato utilizzando i quadrati, con la sua successiva riduzione. Otteniamo una frazione del modulo

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Quindi x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In questo caso è necessario eliminare l'irrazionalità nel denominatore.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Il secondo metodo consiste nel moltiplicare il numeratore e il denominatore della seconda frazione per l'espressione x - 1. Pertanto, ci liberiamo dell'irrazionalità e passiamo all'addizione di frazioni con lo stesso denominatore. Poi

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - xx-1

Risposta: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

Nell'ultimo esempio abbiamo scoperto che la riduzione a un denominatore comune è inevitabile. Per fare ciò, è necessario semplificare le frazioni. Quando aggiungi o sottrai, devi sempre cercare un denominatore comune, che assomiglia al prodotto dei denominatori con ulteriori fattori aggiunti ai numeratori.

Esempio 7

Calcola i valori delle frazioni: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Soluzione

1. Il denominatore non richiede calcoli complessi, quindi devi scegliere il prodotto nella forma 3 x 7 + 2 · 2, quindi scegliere x 7 + 2 · 2 per la prima frazione come fattore aggiuntivo e 3 per la seconda. Moltiplicando otteniamo una frazione nella forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Si può vedere che i denominatori sono presentati sotto forma di prodotto, il che significa che non sono necessarie ulteriori trasformazioni. Il denominatore comune sarà considerato un prodotto della forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Quindi x4 è un fattore aggiuntivo alla prima frazione e ln(x + 1) al secondo. Quindi sottraiamo e otteniamo:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4 )
3. Questo esempio ha senso quando si lavora con i denominatori delle frazioni. È necessario applicare le formule della differenza dei quadrati e del quadrato della somma, poiché permetteranno di passare ad un'espressione della forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Si può vedere che le frazioni sono ridotte a un denominatore comune. Otteniamo che cos x - x · cos x + x 2 .

Allora lo capiamo

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Risposta:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Esempi di moltiplicazione di frazioni con variabili

Quando si moltiplicano le frazioni, il numeratore viene moltiplicato per il numeratore e il denominatore per il denominatore. Quindi puoi applicare la proprietà di riduzione.

Esempio 8

Moltiplica le frazioni x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 e 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Soluzione

Bisogna fare la moltiplicazione. Lo capiamo

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 peccato (2 x - x)

Il numero 3 viene spostato al primo posto per comodità dei calcoli e puoi ridurre la frazione di x 2, quindi otteniamo un'espressione della forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Risposta: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · peccato (2 · x - x) .

Divisione

La divisione delle frazioni è simile alla moltiplicazione, poiché la prima frazione viene moltiplicata per la seconda reciproca. Se prendiamo ad esempio la frazione x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e la dividiamo per 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, allora può essere scritta come

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , quindi sostituire con un prodotto della forma x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Esponenziazione

Passiamo a considerare le operazioni con frazioni generali con esponenziazione. Se esiste una potenza con esponente naturale, l'azione è considerata come una moltiplicazione di frazioni uguali. Ma si consiglia di utilizzare un approccio generale basato sulle proprietà dei gradi. Qualsiasi espressione A e C, dove C non è identicamente uguale a zero, e qualsiasi r reale sull'ODZ per un'espressione della forma A C r è valida l'uguaglianza A C r = A r C r. Il risultato è una frazione elevata a potenza. Ad esempio, considera:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Procedura per eseguire operazioni con le frazioni

Le operazioni sulle frazioni vengono eseguite secondo determinate regole. In pratica notiamo che un'espressione può contenere più frazioni o espressioni frazionarie. Quindi è necessario eseguire tutte le azioni in rigoroso ordine: elevare a potenza, moltiplicare, dividere, quindi aggiungere e sottrarre. Se sono presenti parentesi, la prima azione viene eseguita al loro interno.

Esempio 9

Calcola 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Soluzione

Poiché abbiamo lo stesso denominatore, quindi 1 - x cos x e 1 c o s x, ma le sottrazioni non possono essere eseguite secondo la regola, prima vengono eseguite le azioni tra parentesi, quindi la moltiplicazione e quindi l'addizione; Quindi quando calcoliamo lo otteniamo

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Sostituendo l'espressione con quella originale, otteniamo 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Moltiplicando le frazioni abbiamo: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Dopo aver effettuato tutte le sostituzioni, otteniamo 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Ora devi lavorare con frazioni che hanno denominatori diversi. Otteniamo:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos xx

Risposta: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

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In questo articolo, un tutor di matematica e fisica parla di come eseguire operazioni elementari con le frazioni ordinarie: addizione e sottrazione, moltiplicazione e divisione. Impara come rappresentare un numero misto come frazione impropria e viceversa, e come ridurre le frazioni.

Addizione e sottrazione di frazioni comuni

Lascia che te lo ricordiamo denominatore la frazione è il numero che è dal basso, UN numeratore- il numero che si trova Sopra dalla linea frazionaria. Ad esempio, in una frazione, il numero è il numeratore e il numero è il denominatore.

Denominatore comuneè il numero più piccolo possibile divisibile sia per il denominatore della prima frazione che per il denominatore della seconda frazione.

Esempio 1. Aggiungi due frazioni: .

Usiamo l'algoritmo sopra descritto:

1) Il numero più piccolo divisibile sia per il denominatore della prima frazione che per il denominatore della seconda frazione è uguale a . Questo numero sarà il denominatore comune. Ora devi portare entrambe le frazioni a un denominatore comune.

2) Aggiungi le frazioni risultanti: .

Moltiplicazione delle frazioni comuni

In altre parole, per tutti i numeri reali , , , , vale la seguente uguaglianza:

Esempio 2. Moltiplicare le frazioni: .

Per risolvere questo problema, utilizziamo la formula presentata sopra: .

Dividere le frazioni

In altre parole, per tutti i numeri reali , , , , , vale la seguente uguaglianza:

Esempio 3. Dividere le frazioni: .

Per risolvere questo problema, utilizziamo la formula sopra: .

Rappresentare un numero misto come frazione impropria

Vediamo ora cosa fare se è necessario eseguire qualsiasi operazione con le frazioni presentate sotto forma di numeri misti. In questo caso, devi prima rappresentare i numeri misti come frazioni improprie, quindi eseguire l'operazione necessaria.

Lascia che te lo ricordiamo sbagliato Si chiama frazione il cui numeratore è maggiore o uguale al denominatore.

Ricordiamo inoltre che un numero misto ha parte frazionaria E intera parte. Ad esempio, un numero misto ha una parte frazionaria uguale a e una parte intera uguale a .

Esempio 4. Esprimi un numero misto come frazione impropria.

Usiamo l'algoritmo presentato sopra: .

Esempio 5. Immaginare frazione impropria come numero misto.