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Steven Strogatz - Il piacere di X. Un affascinante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti al mondo

Problema principale la matematica scolastica è che non ci sono problemi. Sì, lo so cosa passano per problemi in classe: quegli esercizi insipidi e noiosi. “Ecco la sfida. Ecco come risolverlo. Sì, ci sono cose del genere nell'esame. Problemi con i compiti 1-15.” Che modo deprimente di imparare la matematica: diventare uno scimpanzé ammaestrato.
Paolo Lockhard
dal saggio “Il grido di un matematico”

La matematica è probabilmente una delle branche più strane della scienza. Nessun'altra materia unisce così tanti opposti: dal rigore delle dimostrazioni formali alla capacità di “vedere” certe costruzioni. La matematica ha bellezza sia interiore che esteriore. Non c'è niente di più divertente che risolvere problemi di matematica. E nessun'altra materia viene insegnata così male a scuola.

Dove inizi di solito a studiare matematica a scuola? Dal dare ai bambini di 7-8 anni un insieme incomprensibile di simboli e definizioni e un sistema di algoritmi per applicare questo pasticcio. Alcune cose, ad esempio la tavola pitagorica, vengono memorizzate.

Nelle lezioni successive basate su questo sistema, agli studenti verrà detto e costretto a memorizzare una serie di rituali sciamanici che consentiranno loro di risolvere problemi tormentati. Sorgeranno nuove definizioni, come "frazione propria" e " frazione impropria"senza la minima spiegazione da dove provenisse e, soprattutto, perché. Particolare attenzione sarà posta alla risoluzione di problemi testuali inutili e noiosi che hanno lo stesso rapporto con la realtà degli algoritmi stessi.

Come piccolo test, puoi chiederti di ricordare: quante volte nella tua vita hai avuto bisogno di determinare una frazione propria o impropria?

Sono stato costretto a impararlo a memoria: il quadrato della somma di due numeri pari alla somma i loro quadrati, aumentati del loro doppio prodotto. Non avevo la minima idea di cosa potesse significare; quando non riuscivo a ricordare queste parole, l'insegnante mi ha colpito in testa con un libro, che però non ha stimolato per niente il mio intelletto.
Bertrand Russell
Filosofo, logico e matematico inglese

Allo stesso tempo, gli insegnanti reprimeranno senza pietà ogni dissenso. Prova a scrivere 5/2 invece di 2 1/2 (a cui voglio sempre obiettare: se ho tre mele, ognuna delle quali è divisa a metà, allora prenderò 5 metà, non 2 mele e 1 metà).

Questo argomento può essere continuato per molto tempo. Del resto, ciò è già stato fatto nel saggio di Paul Lockhart “Il lamento di un matematico”. Mostra abbastanza bene "Who's to Blame". Ma la risposta alla seconda importante domanda – “Cosa fare” – non è stata data.

Una variante della risposta a questa domanda è data in un meraviglioso libro, recentemente tradotto in russo. Il libro si intitola "Il piacere di X".

Piacere da x

Se non sai spiegare qualcosa a un bambino di sei anni, non la capisci neanche tu.
Albert Einstein

Questo è il libro che deve diventare desktop per qualsiasi insegnante di qualsiasi materia tecnica, sia essa matematica o informatica.

L'autore di questa trattazione, Steven Strogatz, è un matematico di livello mondiale e insegnante di matematica applicata alla Cornell University negli Stati Uniti (una delle principali università tecniche al mondo). E, a giudicare dal libro, quest'uomo ha combinato due meravigliose qualità che hanno reso quest'opera un bestseller: Steven Strogatz è un forte matematico e insegnante riuniti in uno solo.

Puoi essere in grado di insegnare, ma non conoscere bene la materia. Puoi conoscere bene una materia, ma non essere in grado di insegnarla. Puoi fare entrambe le cose, ma in modo mediocre. Steven Strogatz è un tipo diverso: sa e sa insegnare correttamente.

Di cosa parla questo libro? In effetti, su tutto ciò che è in qualche modo legato alla matematica. A prima vista, le sezioni del libro sono scelte in modo caotico (Numeri, Rapporti, Figure, Tempo di cambiamento, Molti volti dei dati, Confini possibili), ma man mano che leggi inizi a capire cosa voleva trasmettere l'autore. Il libro è basato sulla ricerca. Ricerca condotta dall'autore insieme al lettore.

La gamma di problemi in esame è enorme. Chiunque, anche chi conosce molto bene la matematica, imparerà qualcosa di nuovo da essa. In questo caso, sono considerati come problemi pratici(ad esempio, calcolo degli interessi ricevuti dalle azioni investite nel mercato azionario) e assolutamente astratto.

Molti problemi sono posti in un contesto storico. Qui vorrei soffermarmi separatamente: ormai la storia dello sviluppo della matematica è stata eliminata da quasi tutti i libri di testo. Nel frattempo, solo comprendendo il contesto storico si può arrivare fino in fondo, dalla semplice aritmetica alle moderne teorie matematiche.

Ricordiamo, ad esempio, equazioni quadratiche. Quante lacrime sono state versate sia dagli studenti che dagli insegnanti nel tentativo di ricordare l'incantesimo: x uno-due è uguale a meno be più o meno la radice di be al quadrato meno quattro a-ce e dividi tutto per due a.

A proposito, questo modo di scrivere non è più corretto secondo i nuovi standard matematici - ca. editore.

Le persone con una buona memoria e/o “che sanno” possono ancora ricordare il teorema di Vieta. Ma invece di tutto questo, Stephen Strogatz dà un'elegante spiegazione, inventata da al-Khwarizmi, con l'aiuto della quale, senza alcuna formula, si può facilmente e naturalmente trovare una soluzione (anche se incompleta: a quei tempi numeri negativi non sono ancora stati ampiamente utilizzati). E, vi assicuro, chiunque legga questa decisione la ricorderà per sempre. Giusto la prima volta.

Di capitolo in capitolo la complessità dei compiti aumenta. Ma non si perde la comprensione, che è il piacere speciale di leggere “Il piacere di X”. Il lettore è immerso nell'atmosfera che l'autore ha creato per lui, praticamente in un mondo nuovo e coraggioso.

Non so a cosa possa essere paragonato questo libro. Forse con le famose lezioni di fisica di Feyman o con “Mi stai prendendo in giro, signor Feyman”. Ma una cosa è certa: questo libro lascerà il segno nell'animo di chi lo leggerà.

Questo libro è ben completato da:

Quanti

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Coscienza flessibile

Carol Dweck

Fisica del mercato azionario

James Weatherall

La gioia di X

Un tour guidato della matematica, dall'Uno all'Infinito

Stefano Strogatz

Il piacere di X

Un viaggio emozionante nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti del mondo

Informazioni dall'editore

Pubblicato in russo per la prima volta

Pubblicato con il permesso di Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

Il piacere di X. Un affascinante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti al mondo / Stephen Strogatz; sentiero dall'inglese - M.: Mann, Ivanov e Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Questo libro può cambiare radicalmente il tuo atteggiamento nei confronti della matematica. Si compone di brevi capitoli, in ognuno dei quali scoprirai qualcosa di nuovo. Imparerai quanto sono utili i numeri per studiare il mondo che ti circonda, comprenderai la bellezza della geometria, conoscerai la grazia del calcolo integrale, ti convincerai dell'importanza della statistica ed entrerai in contatto con l'infinito . L'autore spiega i concetti matematici fondamentali in modo semplice ed elegante, con esempi brillanti che tutti possono comprendere.

Nessuna parte di questo libro può essere riprodotta in qualsiasi forma senza il permesso scritto dei detentori del copyright.

Il supporto legale per la casa editrice è fornito da studio legale"Vegas-Lex"

Prefazione

Ho un amico che, nonostante il suo mestiere (è un artista), è appassionato di scienza. Ogni volta che ci riuniamo, parla con entusiasmo degli ultimi sviluppi in psicologia o meccanica quantistica. Ma appena cominciamo a parlare di matematica, sente un tremore alle ginocchia, che lo turba molto. Si lamenta che non solo questi strani simboli matematici sfidano la sua comprensione, ma che a volte non sa nemmeno come pronunciarli.

In realtà, la ragione del suo rifiuto della matematica è molto più profonda. Non avrà idea di cosa fanno i matematici in generale e cosa intendono quando dicono che una data dimostrazione è elegante. A volte scherziamo dicendo che devo semplicemente sedermi e iniziare a insegnargli dalle basi, letteralmente 1 + 1 = 2, e approfondire quanto più possibile la matematica.

E anche se questa idea sembra folle, è proprio ciò che cercherò di realizzare in questo libro. Ti guiderò attraverso tutte le principali branche della scienza, dall'aritmetica alla matematica superiore, affinché chi desiderava una seconda possibilità possa finalmente trarne vantaggio. E questa volta non dovrai sederti alla scrivania. Questo libro non ti renderà un esperto di matematica. Ma ti aiuterà a capire cosa stai studiando. questa disciplina e perché è così affascinante per chi lo capisce.

Esploreremo come le schiacciate di Michael Jordan possono aiutare a spiegare il calcolo di base. Ti mostrerò un modo semplice e sorprendente per comprendere il teorema fondamentale della geometria euclidea: il teorema di Pitagora. Cercheremo di andare a fondo di alcuni misteri della vita, grandi e piccoli: Jay Simpson ha ucciso sua moglie; come riposizionare un materasso affinché duri il più a lungo possibile; quanti partner devono essere cambiati prima di sposarsi - e vedremo perché alcuni infiniti sono più grandi di altri.

La matematica è ovunque, basta imparare a riconoscerla. Puoi vedere l'onda sinusoidale sul dorso della zebra, sentire gli echi dei teoremi di Euclide nella Dichiarazione di Indipendenza; che dire, anche nelle aride cronache che precedettero la Prima Guerra Mondiale si trovano numeri negativi. Puoi anche vedere come le nuove direzioni della matematica influenzano la nostra vita oggi, ad esempio quando cerchiamo ristoranti usando il computer o cerchiamo almeno di capire, o meglio ancora, sopravvivere alle spaventose fluttuazioni del mercato azionario.

Stefano Strogatz

Il piacere di X. Un affascinante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti al mondo

La gioia di X

Un tour guidato della matematica, dall'Uno all'Infinito

Pubblicato con il permesso di Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Tutti i diritti riservati. Nessuna parte della versione elettronica di questo libro può essere riprodotta in qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo, inclusa la pubblicazione su Internet o reti aziendali, per uso privato o pubblico senza il permesso scritto del proprietario del copyright.

Il supporto legale per la casa editrice è fornito dallo studio legale Vegas-Lex.

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Questo libro è ben completato da:

Quanti

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Coscienza flessibile

Carol Dweck

Fisica del mercato azionario

James Weatherall

Prefazione

E anche se questa idea sembra folle, è proprio ciò che cercherò di realizzare in questo libro. Ti guiderò attraverso tutte le principali branche della scienza, dall'aritmetica alla matematica superiore, affinché chi desiderava una seconda possibilità possa finalmente trarne vantaggio. E questa volta non dovrai sederti alla scrivania. Questo libro non ti renderà un esperto di matematica. Ma ti aiuterà a capire cosa studia questa disciplina e perché è così affascinante per chi la capisce.

La matematica è ovunque, basta imparare a riconoscerla. Puoi vedere l'onda sinusoidale sul dorso della zebra, sentire gli echi dei teoremi di Euclide nella Dichiarazione di Indipendenza; che dire, anche nelle aride cronache che precedettero la Prima Guerra Mondiale si trovano numeri negativi. Si può anche vedere come nuovi ambiti della matematica influenzino la nostra vita oggi, ad esempio quando cerchiamo ristoranti usando il computer o cerchiamo almeno di capire, o meglio ancora, sopravvivere alle spaventose fluttuazioni del mercato azionario.

Una serie di 15 articoli di seguito nome comune“Fondamenti di matematica” è apparso online alla fine di gennaio 2010. In risposta alla loro pubblicazione, sono arrivate lettere e commenti da lettori di tutte le età, inclusi molti studenti e insegnanti. C'erano anche persone semplicemente curiose che, per un motivo o per l'altro, “perdevano la strada” nella comprensione della scienza matematica; ora sentono di aver perso qualcosa di utile e vorrebbero riprovare. Mi ha fatto particolarmente piacere la gratitudine dei miei genitori perché, con il mio aiuto, hanno potuto spiegare la matematica ai loro figli, e loro stessi hanno cominciato a capirla meglio. Sembrava che anche i miei colleghi e compagni, ardenti ammiratori di questa scienza, si divertissero a leggere gli articoli, tranne quei momenti in cui gareggiavano tra loro per offrire ogni sorta di consigli per migliorare la mia idea.

Nonostante la credenza popolare, esiste un chiaro interesse per la matematica nella società, anche se viene prestata poca attenzione a questo fenomeno. Tutto ciò di cui sentiamo parlare è la paura della matematica, eppure molti vorrebbero provare a capirla meglio. E una volta che ciò accadrà, sarà difficile strapparli via.

Questo libro ti introdurrà alle idee più complesse e avanzate del mondo della matematica. I capitoli sono piccoli, facili da leggere e non particolarmente dipendenti l'uno dall'altro. Tra questi ci sono quelli inclusi in quella prima serie di articoli del New York Times. Quindi, non appena senti una leggera fame matematica, non esitare a passare al capitolo successivo. Se vuoi capire più in dettaglio una domanda che ti interessa, alla fine del libro ci sono delle note con informazioni aggiuntive e consigli su cos'altro puoi leggere a riguardo.

Per comodità dei lettori che preferiscono un approccio passo passo, ho diviso il materiale in sei parti secondo l'ordine tradizionale di studio degli argomenti.

La prima parte "Numeri" inizia il nostro viaggio con l'aritmetica scuola materna E scuola elementare. Mostra quanto possano essere utili i numeri e quanto siano magicamente efficaci nel descrivere il mondo che ci circonda.

La Parte II, “Rapporti”, sposta l’attenzione dai numeri stessi alle relazioni tra loro. Queste idee sono al centro dell'algebra e sono i primi strumenti per descrivere come una cosa influenza un'altra, mostrando la relazione di causa-effetto di una varietà di cose: domanda e offerta, stimolo e risposta - in breve, tutti i tipi di relazioni che rendono il mondo così ricco e vario.

La parte III "Figure" non parla di numeri e simboli, ma di figure e spazio: il dominio della geometria e della trigonometria. Questi argomenti, insieme alla descrizione di tutti gli oggetti osservabili attraverso forme, con l'aiuto del ragionamento logico e della dimostrazione, sollevano la matematica a nuovo livello precisione.

Nella Parte IV, È tempo di cambiare, esamineremo il calcolo infinitesimale, il ramo più interessante e diversificato della matematica. Il calcolo consente di prevedere la traiettoria dei pianeti, i cicli delle maree e consente di comprendere e descrivere tutti i processi e i fenomeni che cambiano periodicamente nell'Universo e dentro di noi. Un posto importante in questa parte è dato allo studio dell'infinito, la cui pacificazione divenne una svolta che permise ai calcoli di funzionare. L'informatica ha contribuito a risolvere molti problemi sorti nel mondo antico e questo alla fine ha portato a una rivoluzione nella scienza e nel mondo moderno.

La parte V, "I molti volti dei dati", tratta di probabilità, statistica, reti e scienza dei dati, campi ancora relativamente giovani nati dagli aspetti meno ordinati della nostra vita, come opportunità e fortuna, incertezza, rischio , variabilità, caos, interdipendenza. Utilizzando i giusti strumenti matematici e i tipi di dati appropriati, impareremo a rilevare modelli nel flusso della casualità.

Al termine del nostro viaggio nella Parte VI, “I limiti del possibile”, ci avvicineremo ai limiti della conoscenza matematica, la regione di confine tra ciò che è già noto e ciò che è ancora sfuggente e sconosciuto. Esamineremo nuovamente gli argomenti nell'ordine che già conosciamo: numeri, rapporti, figure, cambiamenti e infinito, ma allo stesso tempo esamineremo ciascuno di essi in modo più approfondito, nella sua incarnazione moderna.

Spero che tutte le idee descritte in questo libro ti sembrino affascinanti e ti facciano esclamare più di una volta: "Wow!" Ma da qualche parte bisogna sempre iniziare, quindi iniziamo con un'attività semplice ma affascinante come contare.

Parte I. Numeri

1. Nozioni di base sui numeri: addizione di pesci

La migliore dimostrazione dei concetti di numero che abbia mai visto (la spiegazione più chiara e divertente di cosa sono i numeri e perché ne abbiamo bisogno) è stata in un episodio del popolare programma per bambini Sesame Street intitolato 123: Counting Together "(123 Counter with Me). Humphrey, un personaggio bonario ma ottuso con la pelliccia rosa e il naso verde che lavora al Furry Foot Hotel, prende gli ordini telefonici dai pinguini ospiti all'ora di pranzo. Dopo averli ascoltati attentamente, Humphrey passa l’ordine alla cucina: “Pesce, pesce, pesce, pesce, pesce, pesce”. Ciò che vede spinge Ernie a parlare a Humphrey delle virtù del numero sei.

La matematica è il linguaggio scientifico più accurato e universale, ma è possibile spiegare i sentimenti umani con l'aiuto dei numeri? Formule d'amore, semi del caos ed equazioni differenziali romantiche - T&P pubblica un capitolo del libro di uno dei migliori insegnanti di matematica al mondo, Stephen Strogatz, Il piacere di X, edito da Mann, Ivanov e Ferber.

In primavera, scriveva Tennyson, l'immaginazione giovane si rivolge facilmente a pensieri d'amore. Sfortunatamente, il potenziale partner di un giovane può avere le sue idee sull'amore, e quindi la loro relazione sarà piena di alti e bassi tempestosi che rendono l'amore così eccitante e così doloroso. Alcuni che soffrono di amori non corrisposti cercano una spiegazione per queste oscillazioni amorose nel vino, altri nella poesia. E consulteremo il calcolo.

L’analisi che segue sarà ironica, ma tocca argomenti seri. Inoltre, mentre comprendere le leggi dell’amore può sfuggirci, le leggi del mondo inanimato sono ormai ben studiate. Prendono la forma di equazioni differenziali che descrivono come le variabili correlate cambiano di momento in momento a seconda dei loro valori attuali. Tali equazioni potrebbero avere poco a che fare con il romanticismo, ma possono almeno far luce sul perché, secondo le parole di un altro poeta, “il percorso del vero amore non è mai liscio”. Per illustrare il metodo delle equazioni differenziali, supponiamo che Romeo ami Giulietta, ma nella nostra versione della storia Giulietta è un'amante volubile. Più Romeo la ama, più lei vuole nascondersi da lui. Ma quando Romeo diventa freddo nei suoi confronti, comincia a sembrarle insolitamente attraente. Tuttavia, il giovane amante tende a riflettere i suoi sentimenti: si illumina quando lei lo ama e si raffredda quando lei lo odia.

Cosa succede ai nostri sfortunati amanti? In che modo l'amore li consuma e svanisce nel tempo? È qui che il calcolo differenziale viene in soccorso. Creando equazioni che riassumono i sentimenti crescenti e calanti di Romeo e Giulietta, e poi risolvendoli, possiamo prevedere il corso della relazione della coppia. La prognosi finale per lei sarà un ciclo tragicamente infinito di amore e odio. Almeno un quarto di questo tempo avranno amore reciproco.

Per giungere a questa conclusione, ho ipotizzato che il comportamento di Romeo potesse essere modellato utilizzando un'equazione differenziale,

che descrive come il suo amore ® cambia nel momento successivo (dt). Secondo questa equazione, la quantità di cambiamento (dR) è direttamente proporzionale (con coefficiente di proporzionalità a) all'amore di Giulietta (J). Questa relazione riflette ciò che già sappiamo: l'amore di Romeo aumenta quando Giulietta lo ama, ma suggerisce anche che l'amore di Romeo aumenta in maniera direttamente proporzionale a quanto Giulietta lo ama. Questa ipotesi di una relazione lineare è emotivamente non plausibile, ma rende molto più semplice la risoluzione dell’equazione.

Al contrario, il comportamento di Giulietta può essere modellato utilizzando l'equazione

Il segno negativo davanti alla costante b riflette che il suo amore si sta raffreddando mentre l'amore di Romeo si intensifica.

L’unica cosa che resta da determinare sono le loro sensazioni iniziali (cioè i valori di R e J al tempo t = 0). Successivamente verranno impostati tutti i parametri necessari. Possiamo usare il computer per andare avanti lentamente, passo dopo passo, modificando i valori di R e J secondo le equazioni differenziali sopra descritte. Infatti, utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo trovare la soluzione analiticamente. Poiché il modello è semplice, il calcolo integrale produce una coppia di formule complete che ci dicono quanto Romeo e Giulietta si ameranno (o odieranno) a vicenda in qualsiasi momento del futuro.

Le equazioni differenziali presentate sopra dovrebbero essere familiari agli studenti di fisica: Romeo e Giulietta si comportano come semplici oscillatori armonici. Pertanto, il modello prevede che le funzioni R (t) e J (t), che descrivono il cambiamento dei loro rapporti nel tempo, saranno sinusoidi, ciascuna crescente e decrescente, ma i loro valori massimi non coincidono.

"È un'idea stupida da descrivere relazione d'amore l'uso delle equazioni differenziali mi è venuto in mente quando mi sono innamorato per la prima volta e cercavo di capire il comportamento incomprensibile della mia ragazza"

Il modello può essere reso più realistico in diversi modi. Ad esempio, Romeo può reagire non solo ai sentimenti di Giulietta, ma anche ai propri. E se fosse uno di quei ragazzi che ha così tanta paura di essere abbandonato che inizia a raffreddare i suoi sentimenti? Oppure appartiene a un altro tipo di ragazzo che ama soffrire: ecco perché la ama.

Aggiungete a questi scenari altri due comportamenti di Romeo: risponde all'affetto di Giulietta aumentando o indebolendo il proprio affetto - e vedrete che ci sono quattro diversi stili di comportamento in una relazione d'amore. I miei studenti e gli studenti del gruppo di Peter Christopher al Worcester Polytechnic Institute hanno suggerito di chiamare rappresentanti di questi tipi in questo modo: l'Eremita o il Misantropo Malvagio per il Romeo che raffredda i suoi sentimenti e prende le distanze da Giulietta, e il Narcisista Blockhead e Flirting Fink per quello che scalda il suo ardore, ma rifiutato da Giulietta. (Puoi pensare nomi propri per tutte queste tipologie).

Sebbene gli esempi forniti siano fantastici, i tipi di equazioni che li descrivono sono piuttosto penetranti. Rappresentano gli strumenti di comprensione più potenti che l’umanità abbia mai creato mondo materiale. Sir Isaac Newton usò le equazioni differenziali per scoprire il segreto del movimento planetario. Utilizzando queste equazioni, unificò la sfera terrestre e quella celeste, dimostrando che ad entrambe si applicano le stesse leggi del movimento.

Quasi 350 anni dopo Newton, l'umanità ha capito che le leggi della fisica sono sempre espresse nel linguaggio delle equazioni differenziali. Questo vale per le equazioni che descrivono i flussi di calore, aria e acqua, per le leggi dell'elettricità e del magnetismo, perfino per l'atomo, dove regna la meccanica quantistica.

In tutti i casi, la fisica teorica deve trovare le equazioni differenziali corrette e risolverle. Quando Newton scoprì questa chiave per i segreti dell'Universo e ne realizzò il grande significato, la pubblicò sotto forma di anagramma latino. Tradotto in modo approssimativo, suona così: “È utile risolvere equazioni differenziali”.

La stupida idea di descrivere le relazioni amorose utilizzando le equazioni differenziali mi è venuta quando mi sono innamorato per la prima volta e stavo cercando di capire il comportamento incomprensibile della mia ragazza. È stata una storia d'amore estiva alla fine del mio secondo anno di college. Allora assomigliavo molto al primo Romeo, e lei alla prima Giulietta. La natura ciclica del nostro rapporto mi ha fatto impazzire finché non ho realizzato che entrambi agivamo per inerzia, in conformità con regola semplice"Tira-spingi." Ma verso la fine dell’estate, la mia equazione cominciò a sgretolarsi e diventai ancora più confuso. Si è scoperto che è successo evento importante, di cui non avevo tenuto conto: il suo ex amante la voleva indietro.

In matematica chiamiamo questo problema il problema dei tre corpi. È ovviamente irrisolvibile, soprattutto nel contesto dell'astronomia, dove è nato per la prima volta. Dopo aver risolto le equazioni differenziali per il problema dei due corpi (che spiega perché i pianeti si muovono in orbite ellittiche attorno al Sole), Newton rivolse la sua attenzione al problema dei tre corpi per Sole, Terra e Luna. Né lui né altri scienziati sono stati in grado di risolverlo. Successivamente si scoprì che il problema dei tre corpi conteneva i semi del caos, il che significava che a lungo termine il loro comportamento era imprevedibile.

Newton non sapeva nulla della dinamica del caos, ma, secondo il suo amico Edmund Halley, si lamentava del fatto che il problema dei tre corpi causava mal di testa e lo tiene sveglio così spesso che non ci pensa più.

Eccomi qui con te, Sir Isaac.

La gioia di X

Un tour guidato della matematica, dall'Uno all'Infinito

Pubblicato con il permesso di Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Il supporto legale per la casa editrice è fornito dallo studio legale Vegas-Lex.

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Questo libro è ben completato da:

Quanti

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Moneyball

Michael Lewis

Coscienza flessibile

Carol Dweck

Fisica del mercato azionario

James Weatherall

Prefazione

E anche se questa idea sembra folle, è proprio ciò che cercherò di realizzare in questo libro. Ti guiderò attraverso tutte le principali branche della scienza, dall'aritmetica alla matematica superiore, affinché chi desiderava una seconda possibilità possa finalmente trarne vantaggio. E questa volta non dovrai sederti alla scrivania. Questo libro non ti renderà un esperto di matematica. Ma ti aiuterà a capire cosa studia questa disciplina e perché è così affascinante per chi la capisce.

Per chiarire cosa intendo per vita dei numeri e il loro comportamento che non possiamo controllare, torniamo al Furry Paws Hotel. Supponiamo che Humphrey stesse per consegnare l'ordine, ma poi i pinguini di un'altra stanza lo chiamarono inaspettatamente e gli chiesero anche la stessa quantità di pesce. Quante volte Humphrey deve gridare la parola "pesce" dopo aver ricevuto due ordini? Se non imparasse nulla sui numeri, dovrebbe urlare tante volte quanti sono i pinguini in entrambe le stanze. Oppure, usando i numeri, poteva spiegare al cuoco che gli servivano sei pesci per un numero e sei per un altro. Ma ciò di cui ha veramente bisogno è un nuovo concetto: l’addizione. Una volta imparato, dirà con orgoglio che gli servono sei più sei (o, se è un poser, dodici) pesci.

Questo è lo stesso processo creativo, proprio come quello in cui stavamo tirando fuori i numeri. Proprio come i numeri facilitano il conteggio piuttosto che elencarli uno alla volta, l'addizione rende più semplice calcolare qualsiasi importo. Allo stesso tempo, chi fa i calcoli si sviluppa come matematico. Scientificamente, questa idea può essere formulata come segue: l’uso delle giuste astrazioni porta ad una comprensione più profonda dell’essenza del problema e ad un maggiore potere nel risolverlo.

Presto, forse, anche Humphrey si renderà conto che adesso può sempre contare.

Tuttavia, nonostante una prospettiva così infinita, la nostra creatività ha sempre dei limiti. Possiamo decidere cosa intendiamo con 6 e +, ma una volta fatto, i risultati di espressioni come 6 + 6 sono fuori dal nostro controllo. Qui la logica non ci lascerà scelta. In questo senso la matematica comprende sempre sia l’invenzione, così e apertura: noi inventare concetto, ma aprire le loro conseguenze. Come chiariranno i capitoli successivi, in matematica la nostra libertà risiede nella capacità di porre domande e persistere nella ricerca di risposte senza doverle inventare noi stessi.

2. Aritmetica delle pietre

Come ogni fenomeno della vita, l'aritmetica ha due aspetti: formale e divertente (o giocoso).

Abbiamo studiato la parte formale a scuola. Lì ci hanno spiegato come lavorare con colonne di numeri, sommandole e sottraendole, come spalarle quando si eseguono calcoli nei fogli di calcolo durante la compilazione dichiarazioni dei redditi e preparazione relazioni annuali. Questo lato dell'aritmetica sembra importante a molti da un punto di vista pratico, ma del tutto privo di gioia.

Puoi conoscere il lato divertente dell'aritmetica solo nel processo di studio della matematica superiore {3}. Tuttavia, è naturale come la curiosità di un bambino {4}.

Nel saggio “Il lamento del matematico”, Paul Lockhart suggerisce di studiare i numeri con esempi più concreti del solito: ci chiede di pensarli come un numero di pietre. Ad esempio, il numero 6 corrisponde al seguente insieme di ciottoli:

È improbabile che tu veda qualcosa di insolito qui. E' così. Finché non iniziamo a manipolare i numeri, sembrano più o meno gli stessi. Il gioco inizia quando riceviamo un compito.

Ad esempio, diamo un'occhiata ai set che contengono da 1 a 10 pietre e proviamo a ricavarne dei quadrati. Questo può essere fatto solo con due serie di 4 e 9 pietre, poiché 4 = 2 × 2 e 9 = 3 × 3. Otteniamo questi numeri elevando al quadrato un altro numero (cioè disponendo le pietre in un quadrato).

Ecco un compito che ha numero maggiore soluzioni: devi scoprire quali insiemi formeranno un rettangolo se disponi le pietre su due file con lo stesso numero di elementi. Qui sono adatti set di 2, 4, 6, 8 o 10 pietre; il numero deve essere pari. Se proviamo a disporre i set rimanenti con un numero dispari di pietre su due file, ci ritroveremo invariabilmente con una pietra in più.

Ma non tutto è perduto per questi numeri imbarazzanti! Se prendi due di questi insiemi, gli elementi extra troveranno una coppia e la somma sarà pari: numero dispari + numero dispari = numero pari.

Se estendiamo queste regole ai numeri dopo il 10 e assumiamo che il numero di righe in un rettangolo possa essere più di due, allora alcuni numeri dispari ti permetterà di piegare tali rettangoli. Ad esempio, il numero 15 può formare un rettangolo 3×5.

Pertanto, sebbene 15 sia senza dubbio un numero dispari, è un numero composto e può essere rappresentato come tre file di cinque pietre ciascuna. Allo stesso modo, ogni voce nella tavola pitagorica produce il proprio gruppo rettangolare di ciottoli.

Ma alcuni numeri, come 2, 3, 5 e 7, sono completamente senza speranza. Non puoi disporre nulla da loro se non disporli sotto forma di una semplice linea (una riga). Queste strane persone testarde sono i famosi numeri primi.

Quindi vediamo che i numeri possono avere strutture strane che conferiscono loro un certo carattere. Ma per comprendere l’intera gamma del loro comportamento, è necessario fare un passo indietro dai singoli numeri e osservare cosa succede durante la loro interazione.

Ad esempio, invece di aggiungere solo due numeri dispari, aggiungiamo tutte le possibili sequenze di numeri dispari, a partire da 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Sorprendentemente, queste somme risultano sempre quadrati perfetti. (Abbiamo già detto che 4 e 9 possono essere rappresentati come quadrati, e anche questo è vero per 16 = 4 × 4 e 25 = 5 × 5.) Un rapido calcolo mostra che questa regola è vera anche per i numeri dispari più grandi e , apparentemente , tende all'infinito. Ma qual è la connessione tra i numeri dispari con le loro pietre “extra” e i numeri classicamente simmetrici che formano i quadrati? Posizionando correttamente i ciottoli, possiamo rendere ovvio ciò che è caratteristica distintiva prova elegante. {5}

La chiave sta nell'osservazione che i numeri dispari possono essere rappresentati come angoli equilateri, la cui successiva sovrapposizione forma un quadrato!

Un modo simile di ragionare è presentato in un altro libro pubblicato di recente. L'affascinante romanzo di Yoko Ogawa La governante e il professore racconta la storia di una giovane donna scaltra ma ignorante e di suo figlio di dieci anni. Una donna è stata assunta per prendersi cura di un anziano matematico la cui memoria a breve termine, a causa di un trauma cranico, conserva solo informazioni sugli ultimi 80 minuti della sua vita. Perso nel presente, solo nella sua squallida casetta, con solo numeri, il professore cerca di comunicare con la governante nell'unico modo che conosce: chiedendole il numero di scarpe o la data di nascita e chiacchierando con lei sulle sue spese. Il professore ha una particolare simpatia anche per il figlio della governante, che chiama Ruth (Radice) perché il ragazzo ha la testa piatta in cima, e questo gli ricorda la notazione in matematica radice quadrata √.

Un giorno, il professore affida al ragazzo un compito semplice: trovare la somma di tutti i numeri da 1 a 10. Dopo che Ruth ha sommato attentamente tutti i numeri ed è tornata con la risposta (55), il professore gli chiede di cercare un modo più semplice. Riuscirà a trovare la risposta? senza somma ordinaria di numeri? Ruth prende a calci una sedia e urla: "Non è giusto!"

A poco a poco anche la governante viene attratta dal mondo dei numeri e cerca segretamente di risolvere da sola questo problema. “Non capisco perché mi sono lasciato trasportare così tanto da un problema infantile che non ha beneficio pratico", dice. “All’inizio volevo accontentare il professore, ma gradualmente questa lezione si è trasformata in una battaglia tra me e i numeri. Quando mi sono svegliato la mattina, l’equazione già mi aspettava:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Steven Strogatz - Il piacere di X. Un affascinante viaggio nel mondo della matematica da uno dei migliori insegnanti al mondo

Piacere da x

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Questo libro è ben completato da:

Prefazione

2. Aritmetica delle pietre

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