È possibile elevarlo alla potenza zero? Elevare al potere zero - zero in diverse lingue

Risposte:

Nessun nome

se consideriamo che a^x=e^x*ln(a), allora risulta che 0^0=1 (limite, per x->0)
sebbene anche la risposta “incertezza” sia accettabile

Lo zero in matematica non è il vuoto, è un numero molto vicino al “nulla”, proprio come l’infinito solo al contrario

Scrivi:
0^0 = 0^(a-a) = 0^a * 0^(-a) = 0^a / 0^a = 0 / 0
Risulta che in questo caso stiamo dividendo per zero, e questa operazione sul campo dei numeri reali non è definita.

6 anni fa

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A cosa sarà uguale lo zero se elevato a zero?

Perché un numero elevato a 0 è uguale a 1? Esiste una regola a cui viene elevato qualsiasi numero diverso da zero grado zero, sarà uguale a uno: 20 = 1; 1,50 = 1; 100000 = 1 Ma perché è così? Quando un numero viene elevato a una potenza con esponente naturale, significa che viene moltiplicato per se stesso tante volte quanto è l'esponente: 43 = 4 × 4 × 4; 26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 Quando l'esponente è uguale a 1, allora durante la costruzione c'è un solo fattore (se si può parlare di fattori), e quindi il risultato della costruzione uguale alla base gradi: 181 = 18; (–3,4)1 = –3,4 Ma che dire dell’indicatore zero in questo caso? Cosa viene moltiplicato per cosa? Proviamo ad andare in una direzione diversa. È noto che se due gradi motivi identici, ma esponenti diversi, allora la base può essere lasciata la stessa, e gli esponenti possono essere sommati tra loro (se le potenze sono moltiplicate), oppure sottrarre l'esponente del divisore dall'esponente del dividendo (se le potenze sono diviso): 32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27 45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16 E ora consideriamo questo esempio: 82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ? E se non usiamo la proprietà dei gradi con la stessa base ed effettuiamo i calcoli nell'ordine in cui appaiono: 82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1 Quindi abbiamo l'unità preziosa. Pertanto, l'esponente zero sembra indicare che il numero non viene moltiplicato per se stesso, ma diviso per se stesso. E da qui diventa chiaro perché l'espressione 00 non ha senso. Dopotutto non puoi dividere per 0. Puoi ragionare diversamente. Se esiste, ad esempio, una moltiplicazione di potenze di 52 × 50 = 52+0 = 52, ne consegue che 52 è stato moltiplicato per 1. Pertanto, 50 = 1.

Dalle proprietà delle potenze: a^n / a^m = a^(n-m) se n=m, il risultato sarà uno tranne naturalmente a=0, in questo caso (poiché da zero a qualsiasi potenza sarà zero) divisione per verrebbe effettuato lo zero, quindi 0 ^ 0 non esiste

Contabilità in diverse lingue

Nomi dei numeri da 0 a 9 in poi lingue popolari pace.

Lingua	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Inglese	zero	uno	due	tre	quattro	cinque	sei	Sette	otto	nove
bulgaro	zero	una cosa	due	tre	quattro	animale domestico	palo	ci stiamo preparando	assi	devet
ungherese	nulla	egia	chetto	harom	négy	ot	cappello	het	nyolc	kilonc
Olandese	nulla	een	stupido	asciugare	vier	vijf	zes	zeven	acht	negen
danese	nulla	en	A	tre	fuoco	fem	seks	syv	ottava	no
spagnolo	cero	uno	fare	tres	quatro	cinque	seis	siete	ocho	nuovo
Italiano	zero	uno	dovuto	tre	quattro	cinque	sei	sette	otto	nove
lituano	nullis	Vienna	du	ci provo	keturi	penki	ðeði	settini	aðtuoni	devyni
tedesco	nullo	uno	zwei	drei	vier	fünf	sec	sieben	acht	neun
russo	zero	uno	due	tre	quattro	cinque	sei	Sette	otto	nove
Polacco	zero	bene	dwa	trzy	cztery	piêæ	sze¶æ	siedem	osiema	dziewiêæ
portoghese	ehm	fare	tres	quattro	cinque	seis	set	oito	nove
francese	zero	un	due	trois	quatre	cinquecento	sei	settembre	ehi	nuovo
ceco	nula	jedna	dva	tu	ètyøi	fossa	¹est	sedm	osm	devit
svedese	niente	ecc	tva	tre	fyra	fem	sesso	sju	atta	nio
Estone	nullo	ok	kaks	kolm	neli	viis	complimenti	seitse	kaheksa	üheksa

Potenze negative e nulle di un numero

Poteri zero, negativi e frazionari

Indicatore zero

Elevare un dato numero ad una certa potenza significa ripeterlo di un fattore tante volte quante sono le unità dell'esponente.

Secondo questa definizione, l’espressione: UN 0 non ha senso. Ma affinché la regola di ripartizione delle potenze di uno stesso numero abbia significato anche nel caso in cui l'esponente del divisore sia uguale all'esponente del dividendo, è stata introdotta una definizione:

La potenza zero di qualsiasi numero sarà uguale a uno.

Indicatore negativo

Espressione Sono, di per sé non ha alcun significato. Ma affinché la regola della divisione di potenze di uno stesso numero valga anche nel caso in cui l'esponente del divisore sia maggiore dell'esponente del dividendo, è stata introdotta una definizione:

Esempio 1. Se un dato numero è composto da 5 centinaia, 7 decine, 2 unità e 9 centesimi, può essere rappresentato come segue:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 = 572,09

Esempio 2. Se un dato numero è composto da a decine, b unità, c decimi e d millesimi, allora può essere rappresentato come segue:

UN× 10 1 + B× 10 0 + C×10-1+ D× 10-3

Azioni su potenze con esponenti negativi

Quando si moltiplicano le potenze dello stesso numero, gli esponenti si sommano.

Quando si dividono potenze dello stesso numero, l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

Per elevare un prodotto a una potenza è sufficiente elevare ciascun fattore separatamente a questa potenza:

Per elevare una frazione a potenza è sufficiente elevare separatamente a questa potenza entrambi i termini della frazione:

Quando una potenza viene elevata a un'altra potenza, gli esponenti vengono moltiplicati.

Indicatore frazionario

Se k non è un multiplo di N, allora l'espressione: non ha senso. Ma affinché la regola per estrarre la radice di un grado avvenga per qualsiasi valore dell'esponente, è stata introdotta una definizione:

Grazie all'introduzione di un nuovo simbolo, l'estrazione della radice può sempre essere sostituita dall'elevamento a potenza.

Azioni su potenze con esponenti frazionari

Le azioni sulle potenze con esponenti frazionari vengono eseguite secondo le stesse regole stabilite per gli esponenti interi.

Per dimostrare questa proposizione, supporremo innanzitutto che i termini delle frazioni: e , che servono come esponenti, siano positivi.

In un caso speciale N O Q può essere uguale a uno.

Quando si moltiplicano le potenze dello stesso numero, vengono aggiunti gli esponenti frazionari:

Quando si dividono potenze dello stesso numero con esponenti frazionari, l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo:

Per elevare una potenza a un'altra potenza nel caso di esponenti frazionari è sufficiente moltiplicare gli esponenti:

Per estrarre la radice di una potenza frazionaria è sufficiente dividere l'esponente per l'esponente della radice:

Le regole d'azione si applicano non solo a positivo indicatori frazionari, ma anche a negativo.

Esiste una regola secondo cui qualsiasi numero diverso da zero elevato allo zero sarà uguale a uno:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
Tuttavia, perché è così?
Quando un numero viene elevato a una potenza con esponente naturale, significa che viene moltiplicato per se stesso tante volte quanto è l'esponente:
4 3 = 4×4×4; 2 6 = 2×2×2×2×2 x 2
Quando l'esponente è uguale a 1, durante la costruzione c'è un solo fattore (se si può parlare di fattori qui), e quindi il risultato della costruzione è uguale alla base del grado:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
Ma che dire dell'indicatore zero in questo caso? Cosa viene moltiplicato per cosa?
Proviamo ad andare in una direzione diversa.

Perché un numero elevato a 0 è uguale a 1?

È noto che se due potenze hanno le stesse basi, ma esponenti diversi, allora la base può essere lasciata la stessa e gli esponenti possono essere sommati tra loro (se le potenze vengono moltiplicate), oppure l'esponente del divisore può essere sottratto all’esponente del dividendo (se le potenze sono divisibili):
3 2 ×3 1 = 3^(2+1) = 3 3 = 3×3×3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4^(5−3) = 4 2 = 4×4 = 16
Ora diamo un'occhiata a questo esempio:
8 2 ÷ 8 2 = 8^(2−2) = 8 0 = ?
Cosa succede se non usiamo la proprietà delle potenze con la stessa base ed eseguiamo i calcoli nell'ordine in cui appaiono:
8 2 ÷ 8 2 = 64 ÷ 64 = 1
Quindi abbiamo ricevuto l'ambita unità. Pertanto, l'esponente zero sembra indicare che il numero non viene moltiplicato per se stesso, ma diviso per se stesso.
E da qui diventa chiaro perché l'espressione 0 0 non ha senso. Non puoi dividere per 0.

Esiste una regola secondo cui qualsiasi numero diverso da zero elevato allo zero sarà uguale a uno:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

Tuttavia, perché è così?

Quando un numero viene elevato a una potenza con esponente naturale, significa che viene moltiplicato per se stesso tante volte quanto è l'esponente:
43 = 4...

0 0

In algebra, l'elevazione alla potenza zero è comune. Cos'è il grado 0? Quali numeri possono essere elevati allo zero e quali no?

Definizione.

Qualsiasi numero elevato a zero, eccetto zero, è uguale a uno:

Pertanto, qualunque sia il numero elevato alla potenza di 0, il risultato sarà sempre lo stesso: uno.

E 1 elevato alla potenza di 0 e 2 elevato alla potenza di 0, e qualsiasi altro numero - intero, frazionario, positivo, negativo, razionale, irrazionale - quando elevato alla potenza di zero dà uno.

L'unica eccezione è zero.

Lo zero alla zero non è definito, tale espressione non ha significato.

Cioè, qualsiasi numero tranne lo zero può essere elevato a zero.

Se, semplificando un'espressione con potenze, il risultato è un numero elevato a zero, è possibile sostituirlo con uno:

Se...

0 0

Nell'ambito del curriculum scolastico, il valore dell'espressione $%0^0$% è considerato indefinito.

Dal punto di vista della matematica moderna, è conveniente assumere che $%0^0=1$%. L'idea qui è la seguente. Sia presente un prodotto di $%n$% numeri nella forma $%p_n=x_1x_2\ldots x_n$%. Per ogni $%n\ge2$% vale l'uguaglianza $%p_n=x_1x_2\ldots x_n=(x_1x_2\ldots x_(n-1))x_n=p_(n-1)x_n$%. È conveniente considerare questa uguaglianza significativa anche per $%n=1$%, assumendo $%p_0=1$%. La logica qui è questa: quando calcoliamo i prodotti, prendiamo prima 1, quindi moltiplichiamo in sequenza per $%x_1$%, $%x_2$%, ..., $%x_n$%. Questo è l'algoritmo utilizzato per trovare i prodotti quando vengono scritti i programmi. Se per qualche motivo le moltiplicazioni non sono avvenute, il prodotto rimane uguale a uno.

In altre parole, è conveniente considerare significativo un concetto come il “prodotto di 0 fattori”, considerandolo uguale a 1 per definizione. In questo caso si può parlare anche di “prodotto vuoto”. Se moltiplichiamo un numero per questo...

0 0

Zero: è zero. In parole povere, qualsiasi potenza di un numero è il prodotto di uno per l'esponente moltiplicato per questo numero. Due nel terzo, diciamo, è 1*2*2*2, due nel meno del primo è 1/2. E poi è necessario che non vi sia alcun buco nel passaggio dai gradi positivi a quelli negativi e viceversa.

x^n * x^(-n) = 1 = x^(n-n) = x^0

questo è il punto.

semplice e chiaro, grazie

x^0=(x^1)*(x^(-1))=(1/x)*(x/1)=1

Ad esempio, devi solo assicurarti che alcune formule valide per esponenti positivi, ad esempio x^n*x^m=x^(m+n), siano ancora valide.
Lo stesso vale, tra l'altro, sia per la definizione di grado negativo che di grado razionale (cioè, ad esempio, 5 alla potenza di 3/4).

> e perché è necessario?
Ad esempio, in statistica e teoria spesso si gioca con zero gradi.

I gradi negativi ti danno fastidio?
...

0 0

Continuiamo a considerare le proprietà dei gradi, prendiamo ad esempio 16:8 = 2. Poiché 16=24 e 8=23, quindi, la divisione può essere scritta in forma esponenziale come 24:23=2, ma se sottraiamo gli esponenti, allora 24:23=21. Dobbiamo quindi ammettere che 2 e 21 sono la stessa cosa, quindi 21 = 2.

La stessa regola vale per qualsiasi altro numero esponenziale, quindi, la regola può essere formulata in visione generale:

qualsiasi numero elevato alla prima potenza rimane invariato

Questa conclusione potrebbe averti lasciato sbalordito. In qualche modo puoi ancora capire il significato dell'espressione 21 = 2, anche se l'espressione “un numero due moltiplicato per se stesso” suona piuttosto strana. Ma l’espressione 20 significa “non un solo numero due,...

0 0

Definizioni di laurea:

1. grado zero

Qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a uno. Lo zero alla zero potenza non è definito

2. grado naturale diverso da zero

Qualsiasi numero x elevato a una potenza naturale n diversa da zero equivale a moltiplicare n numeri x insieme

3.1 radice di una potenza naturale pari diversa da zero

La radice di una potenza naturale pari n, diversa da zero, di qualsiasi numero positivo x è un numero positivo y che, elevato alla potenza n, dà il numero originale x

3.2 radice di grado naturale dispari

La radice di una potenza naturale dispari n di qualsiasi numero x è un numero y che, elevato alla potenza n, dà il numero originale x

3.3 radice di qualsiasi potere naturale come potere frazionario

Estrarre la radice di qualsiasi potenza naturale n, diversa da zero, da qualsiasi numero x equivale a elevare questo numero x alla potenza frazionaria 1/n

0 0

Ciao, caro RUSSEL!

Quando si introduce il concetto di grado, si trova la seguente voce: “Il valore dell'espressione a^0 =1” ! Ciò è dovuto al concetto logico di laurea e nient'altro!
È lodevole quando un giovane cerca di andare a fondo delle cose! Ma ci sono alcune cose che dovrebbero essere semplicemente date per scontate!
Puoi costruire nuova matematica solo quando studi ciò che è già stato scoperto secoli fa!
Certo, se escludiamo che tu “non sei di questo mondo” e ti è stato dato molto di più di noi peccatori!

Nota: Anna Misheva ha tentato di dimostrare l'indimostrabile! Anche lodevole!
Ma c'è un grande “MA”: manca nella sua dimostrazione elemento essenziale: Caso di divisione per ZERO!

Guarda tu stesso cosa può succedere: 0^1 / 0^1 = 0 / 0!!!

Ma NON PUOI DIVIDERE PER ZERO!

Per favore, stai più attento!

Con tanti auguri e tanta felicità nella tua vita personale...

0 0

LAUREA CON INDICATORE RAZIONALE,

FUNZIONE POTENZA IV

§ 71. Potenze con esponente zero ed esponenti negativi

Nel § 69 abbiamo dimostrato (vedi Teorema 2) che per t > pag

(UN =/= 0)

È del tutto naturale voler estendere questa formula al caso in cui T < N . Ma poi il numero t-p sarà negativo o uguale a zero. R. Finora abbiamo parlato solo di lauree con esponenti naturali. Ci troviamo quindi di fronte alla necessità di considerare le potenze dei numeri reali con esponente zero e negativo.

Definizione 1. Qualsiasi numero UN , non uguale a zero, alla potenza zero uguale a uno, cioè, quando UN =/= 0

UN 0 = 1. (1)

Ad esempio, (-13,7) 0 = 1; π 0 = 1; (√2 ) 0 = 1. Il numero 0 non ha grado zero, cioè l'espressione 0 0 non è definita.

Definizione 2. Se UN=/= 0 e N - numero naturale, Quello

UN - N = 1 /UN N (2)

questo è potenza di qualsiasi numero diverso da zero con un numero intero indicatore negativoè uguale a una frazione, il cui numeratore è uno, e il denominatore è una potenza dello stesso numero a, ma con esponente opposto a quello della potenza data.

Per esempio,

Accettate queste definizioni, si può dimostrare che quando UN =/= 0, formula

vero per qualsiasi numero naturale T E N , e non solo per t > pag . Per dimostrarlo è sufficiente limitarci a considerare due casi: t = n E T< .п , dal momento che il caso m >n già discusso nel § 69.

Permettere t = n ; Poi . Ciò significa che il lato sinistro dell'uguaglianza (3) è uguale a 1. Il lato destro a t = n fa appello a

UN m-n = UN n-n = UN 0 .

Ma per definizione UN 0 = 1. Pertanto, anche il membro destro dell'uguaglianza (3) è uguale a 1. Pertanto, quando t = n la formula (3) è corretta.

Ora supponiamolo T< п . Dividi il numeratore e il denominatore della frazione per UN M , otteniamo:

Perché n > t , Quello . Ecco perché . Usando la definizione di potenza con esponente negativo, possiamo scrivere .

Allora, quando , che era ciò che doveva essere dimostrato. La formula (3) è ora stata dimostrata per qualsiasi numero naturale T E N .

Commento. Gli esponenti negativi ti consentono di scrivere frazioni senza denominatori. Per esempio,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - 1; affatto, UN / B = un b - 1

Tuttavia, non dovresti pensare che con questa notazione le frazioni si trasformino in numeri interi. Ad esempio, 3 - 1 è la stessa frazione di 1/3, 2 5 - 1 è la stessa frazione di 2/5, ecc.

Esercizi

529. Calcola:

530. Scrivi una frazione senza denominatori:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. Scrivi queste frazioni decimali sotto forma di espressioni intere utilizzando esponenti negativi:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

Livello base

Grado e sue proprietà. Guida completa (2019)

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Per imparare tutto sui titoli di studio, a cosa servono, come utilizzare le tue conoscenze vita quotidiana leggi questo articolo

E, naturalmente, la conoscenza dei titoli di studio ti avvicinerà al successo superando l'OGE oppure l'Esame di Stato Unificato e l'ammissione all'università dei tuoi sogni.

Andiamo... (Andiamo!)

Nota importante! Se vedi gobbledygook invece delle formule, svuota la cache. Per fare ciò, premi CTRL+F5 (su Windows) o Cmd+R (su Mac).

LIVELLO ENTRATA

Elevare a una potenza è la stessa cosa operazione matematica come addizione, sottrazione, moltiplicazione o divisione.

Adesso ti spiego tutto linguaggio umano molto semplici esempi. Stai attento. Gli esempi sono elementari, ma spiegano cose importanti.

Cominciamo con l'addizione.

Non c'è niente da spiegare qui. Sai già tutto: siamo in otto. Ognuno ha due bottiglie di cola. Quanta cola c'è? Esatto: 16 bottiglie.

Ora la moltiplicazione.

Lo stesso esempio con la cola può essere scritto diversamente: . I matematici sono persone astute e pigre. Prima notano alcuni schemi e poi trovano un modo per “contarli” più velocemente. Nel nostro caso, hanno notato che ciascuna delle otto persone aveva lo stesso numero di bottiglie di cola e hanno escogitato una tecnica chiamata moltiplicazione. D'accordo, è considerato più facile e veloce di.

Quindi, per contare più velocemente, più facilmente e senza errori, devi solo ricordare tabella di moltiplicazione. Certo, puoi fare tutto più lentamente, più difficile e con errori! Ma…

Ecco la tavola pitagorica. Ripetere.

E un altro, più bello:

Quali altri trucchetti intelligenti hanno escogitato i matematici pigri? Giusto - elevando un numero a una potenza.

Elevare un numero a una potenza

Se devi moltiplicare un numero per se stesso cinque volte, i matematici dicono che devi elevare quel numero alla quinta potenza. Per esempio, . I matematici ricordano che due alla quinta potenza è... E risolvono tali problemi nelle loro teste: più velocemente, più facilmente e senza errori.

Tutto quello che devi fare è ricorda cosa è evidenziato a colori nella tabella delle potenze dei numeri. Credimi, questo ti renderà la vita molto più semplice.

A proposito, perché si chiama secondo grado? piazza numeri, e il terzo - cubo? Cosa significa? Molto bella domanda. Ora avrai sia quadrati che cubi.

Esempio di vita reale n. 1

Cominciamo con il quadrato o la seconda potenza del numero.

Immagina una piscina quadrata che misura un metro per un metro. La piscina è nella tua dacia. Fa caldo e ho tanta voglia di nuotare. Ma... la piscina non ha fondo! È necessario coprire il fondo della piscina con piastrelle. Quante piastrelle ti servono? Per determinarlo è necessario conoscere la zona del fondo della piscina.

Puoi calcolare semplicemente puntando il dito che il fondo della piscina è costituito da cubi metro per metro. Se hai piastrelle di un metro per metro, avrai bisogno di pezzi. È facile... Ma dove hai visto piastrelle del genere? Molto probabilmente la tessera sarà cm per cm e poi verrai torturato “contando con il dito”. Allora devi moltiplicare. Quindi, da un lato del fondo della piscina metteremo le piastrelle (pezzi) e dall'altro anche le piastrelle. Moltiplica per e ottieni le tessere ().

Hai notato che per determinare l'area del fondo della piscina abbiamo moltiplicato lo stesso numero per se stesso? Cosa significa? Dato che stiamo moltiplicando lo stesso numero, possiamo usare la tecnica dell’“elevamento a potenza”. (Naturalmente, quando hai solo due numeri, devi comunque moltiplicarli o elevarli a potenza. Ma se ne hai molti, elevarli a potenza è molto più semplice e ci sono anche meno errori nei calcoli Per l'Esame di Stato Unificato questo è molto importante).
Quindi, trenta alla seconda potenza sarà (). Oppure possiamo dire che lo saranno trenta quadrati. In altre parole, la seconda potenza di un numero può sempre essere rappresentata come un quadrato. E viceversa, se vedi un quadrato, è SEMPRE la seconda potenza di qualche numero. Un quadrato è l'immagine della seconda potenza di un numero.

Esempio di vita reale n. 2

Ecco un compito per te: conta quante caselle ci sono sulla scacchiera usando la casella del numero... Da un lato delle celle e anche dall'altro. Per calcolare il loro numero, devi moltiplicare otto per otto oppure... se noti che una scacchiera è un quadrato con un lato, allora puoi elevare otto. Otterrai delle cellule. () COSÌ?

Esempio di vita reale n. 3

Ora il cubo o la terza potenza di un numero. La stessa piscina. Ma ora devi scoprire quanta acqua dovrà essere versata in questa piscina. Devi calcolare il volume. (I volumi e i liquidi, tra l'altro, si misurano in metri cubi. Inaspettato, vero?) Disegna una piscina: il fondo è largo un metro e profondo un metro, e prova a calcolare quanti cubi di un metro per metro ci saranno adattarsi alla tua piscina.

Basta puntare il dito e contare! Uno, due, tre, quattro...ventidue, ventitré...Quanti ne hai ottenuti? Non perso? È difficile contare con il dito? Questo è tutto! Prendiamo un esempio dai matematici. Sono pigri, quindi hanno notato che per calcolare il volume della piscina, è necessario moltiplicarne la lunghezza, la larghezza e l'altezza. Nel nostro caso il volume della piscina sarà pari a cubi... Più facile no?

Ora immagina quanto sarebbero pigri e astuti i matematici se semplificassero anche questo. Abbiamo ridotto tutto ad un'unica azione. Hanno notato che la lunghezza, la larghezza e l'altezza sono uguali e che lo stesso numero si moltiplica per se stesso... Cosa significa? Ciò significa che puoi usufruire della laurea. Quindi, quello che una volta contavi con il dito, lo fanno in un'unica azione: tre cubetti sono uguali. È scritto così: .

Tutto ciò che resta è ricorda la tabella dei gradi. A meno che, ovviamente, tu non sia pigro e astuto come i matematici. Se ti piace lavorare duro e commettere errori, puoi continuare a contare con il dito.

Bene, per convincerti finalmente che i diplomi sono stati inventati da persone che hanno rinunciato e da persone astute per risolversi da soli problemi della vita, e per non crearti problemi, ecco un altro paio di esempi tratti dalla vita.

Esempio di vita reale n. 4

Hai un milione di rubli. All'inizio di ogni anno, per ogni milione che guadagni, ne guadagni un altro milione. Cioè, ogni tuo milione raddoppia all'inizio di ogni anno. Quanti soldi avrai tra anni? Se adesso sei seduto e “conta con il dito”, allora sei una persona molto laboriosa e... stupida. Ma molto probabilmente darai una risposta in un paio di secondi, perché sei intelligente! Quindi, nel primo anno - due moltiplicati per due... nel secondo anno - quello che è successo, per altri due, nel terzo anno... Stop! Hai notato che il numero viene moltiplicato per se stesso volte. Quindi due alla quinta potenza fanno un milione! Ora immagina di avere una competizione e chi riesce a contare più velocemente vincerà questi milioni... Vale la pena ricordare il potere dei numeri, non credi?

Esempio di vita reale n. 5

Ne hai un milione. All'inizio di ogni anno, per ogni milione guadagnato, ne guadagni altri due. Fantastico, vero? Ogni milione viene triplicato. Quanti soldi avrai tra un anno? Contiamo. Il primo anno: moltiplica per, poi il risultato per un altro... È già noioso, perché hai già capito tutto: tre si moltiplica per se stesso volte. Quindi alla quarta potenza è pari a un milione. Devi solo ricordare che tre alla quarta potenza è o.

Ora sai che elevando un numero a potenza ti renderai la vita molto più semplice. Diamo un'ulteriore occhiata a cosa puoi fare con i titoli di studio e cosa devi sapere al riguardo.

Termini e concetti... per non confondersi

Quindi, per prima cosa, definiamo i concetti. Pensi cos'è un esponente? È molto semplice: è il numero che si trova "al vertice" della potenza del numero. Non scientifico, ma chiaro e facile da ricordare...

Ebbene, allo stesso tempo, cosa tale base di laurea? Ancora più semplice: questo è il numero che si trova sotto, alla base.

Ecco un disegno per buona misura.

Beh, in termini generali, per generalizzare e ricordare meglio... Un grado con base “ ” ed esponente “ ” si legge “al grado” e si scrive così:

Potenza di un numero con esponente naturale

Probabilmente hai già indovinato: perché l'esponente è un numero naturale. Sì, ma di cosa si tratta? numero naturale? Elementare! I numeri naturali sono quei numeri che si usano per contare quando si elencano gli oggetti: uno, due, tre... Quando contiamo gli oggetti, non diciamo: “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette”. Inoltre non diciamo: “un terzo” o “zero virgola cinque”. Questi non sono numeri naturali. Che numeri pensi che siano questi?

Numeri come “meno cinque”, “meno sei”, “meno sette” si riferiscono a numeri interi. In generale, gli interi includono tutti i numeri naturali, i numeri opposti ai numeri naturali (cioè presi con il segno meno) e i numeri. Lo zero è facile da capire: è quando non c'è nulla. Cosa significano i numeri negativi (“meno”)? Ma sono stati inventati principalmente per indicare i debiti: se hai un saldo in rubli sul tuo telefono, significa che devi rubli all'operatore.

Tutte le frazioni sono numeri razionali. Come sono nati, secondo te? Molto semplice. Diverse migliaia di anni fa, i nostri antenati scoprirono che non disponevano di numeri naturali per misurare la lunghezza, il peso, l’area, ecc. E hanno inventato numeri razionali...Interessante, vero?

Ce ne sono altri numeri irrazionali. Quali sono questi numeri? Insomma, infinito decimale. Ad esempio, se dividi la circonferenza di un cerchio per il suo diametro, otterrai un numero irrazionale.

Riprendere:

Definiamo il concetto di grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

1. Qualsiasi numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso:
2. Quadrare un numero significa moltiplicarlo per se stesso:
3. Cubare un numero significa moltiplicarlo per se stesso tre volte:

Definizione. Elevare un numero a una potenza naturale significa moltiplicare il numero per se stesso volte:
.

Proprietà dei gradi

Da dove provengono queste proprietà? Te lo mostrerò adesso.

Vediamo: di cosa si tratta E ?

Per definizione:

Quanti moltiplicatori ci sono in totale?

È molto semplice: abbiamo aggiunto i moltiplicatori ai fattori e il risultato sono i moltiplicatori.

Ma per definizione, questa è una potenza di un numero con un esponente, cioè: , che è ciò che doveva essere dimostrato.

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:

Esempio: Semplifica l'espressione.

Soluzione:È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono essere gli stessi motivi!
Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

solo per il prodotto delle potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

2. questo è tutto l'esima potenza di un numero

Come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale:

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere?

Ma questo non è vero, dopotutto.

Potenza con base negativa

Finora abbiamo discusso solo di quale dovrebbe essere l'esponente.

Ma quale dovrebbe essere la base?

Nei poteri di indicatore naturale la base potrebbe essere qualsiasi numero. In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari.

Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno potenze di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ? Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per, funziona.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ci sei riuscito?

Ecco le risposte: Nei primi quattro esempi spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo.

Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice!

6 esempi per esercitarsi

Analisi della soluzione 6 esempi

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati! Otteniamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, la regola potrebbe applicarsi.

Ma come farlo? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi.

Ma è importante ricordare: tutti i segni cambiano contemporaneamente!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Totale chiamiamo i numeri naturali, i loro opposti (cioè presi con il segno " ") e numero.

intero positivo, e non è diverso da quello naturale, quindi tutto appare esattamente come nella sezione precedente.

Ora diamo un'occhiata ai nuovi casi. Cominciamo con un indicatore pari a.

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno:

Come sempre chiediamoci: perché è così?

Consideriamo un certo grado con una base. Prendiamo ad esempio e moltiplichiamo per:

Quindi, abbiamo moltiplicato il numero per e abbiamo ottenuto la stessa cosa: - . Per quale numero dovresti moltiplicare in modo che non cambi nulla? Esatto, avanti. Significa.

Possiamo fare lo stesso con un numero arbitrario:

Ripetiamo la regola:

Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno.

Ma ci sono eccezioni a molte regole. Ed eccolo anche lì: questo è un numero (come base).

Da un lato, deve essere uguale in qualsiasi grado: non importa quanto moltiplichi lo zero per se stesso, otterrai comunque zero, questo è chiaro. Ma d'altra parte, come ogni numero elevato a zero, deve essere uguale. Quindi quale di queste è vera? I matematici decisero di non farsi coinvolgere e rifiutarono di elevare lo zero alla potenza zero. Cioè, ora non solo possiamo dividere per zero, ma anche elevarlo a zero.

Andiamo avanti. Oltre ai numeri naturali e ai numeri, gli interi includono anche i numeri negativi. Per capire cos'è una potenza negativa, facciamo come l'ultima volta: moltiplichiamo un numero normale per lo stesso numero che dà una potenza negativa:

Da qui è facile esprimere ciò che stai cercando:

Ora estendiamo la regola risultante in misura arbitraria:

Quindi formuliamo una regola:

Un numero con potenza negativa è il reciproco dello stesso numero con potenza positiva. Ma allo stesso tempo La base non può essere nulla:(perché non puoi dividere per).

Riassumiamo:

I. L'espressione non è definita nel caso. Se, allora.

II. Qualsiasi numero elevato a zero è uguale a uno: .

III. Un numero diverso da zero elevato a potenza negativa è l'inverso dello stesso numero elevato a potenza positiva: .

Compiti per una soluzione indipendente:

Bene, come al solito, esempi di soluzioni indipendenti:

Analisi dei problemi per una soluzione indipendente:

Lo so, lo so, i numeri fanno paura, ma all'Esame di Stato Unificato devi essere preparato a tutto! Risolvi questi esempi o analizza le loro soluzioni se non riesci a risolverli e imparerai ad affrontarli facilmente durante l'esame!

Continuiamo ad espandere la gamma di numeri “adatti” come esponente.

Ora consideriamo numeri razionali. Quali numeri sono detti razionali?

Risposta: tutto ciò che può essere rappresentato come una frazione, dove e sono numeri interi e.

Per capire di cosa si tratta "grado frazionario", considera la frazione:

Eleviamo entrambi i membri dell'equazione a una potenza:

Ora ricordiamo la regola su "grado per grado":

Quale numero deve essere elevato a una potenza per ottenere?

Questa formulazione è la definizione della radice del esimo grado.

Te lo ricordo: la radice dell'esima potenza di un numero () è un numero che, elevato a potenza, è uguale a.

Cioè la radice della potenza è l'operazione inversa dell'elevazione a potenza: .

Si scopre che. Ovviamente questo caso particolare può essere ampliato: .

Adesso aggiungiamo il numeratore: che cos'è? La risposta è facile da ottenere utilizzando la regola potere-potenza:

Ma la base può essere un numero qualsiasi? Dopotutto, la radice non può essere estratta da tutti i numeri.

Nessuno!

Ricordiamo la regola: qualsiasi numero elevato a una potenza pari è un numero positivo. Cioè, è impossibile estrarre le radici pari dai numeri negativi!

Ciò significa che tali numeri non possono essere elevati a una potenza frazionaria con un denominatore pari, cioè l'espressione non ha senso.

E l'espressione?

Ma qui sorge un problema.

Il numero può essere rappresentato sotto forma di altre frazioni riducibili, ad esempio, o.

E si scopre che esiste, ma non esiste, ma questi sono solo due record diversi dello stesso numero.

Oppure un altro esempio: una volta e poi puoi scriverlo. Ma se scriviamo l'indicatore in modo diverso, ci troveremo di nuovo nei guai: (cioè, abbiamo ottenuto un risultato completamente diverso!).

Per evitare tali paradossi, consideriamo solo esponente di base positivo con esponente frazionario.

Quindi se:

• — numero naturale;
• - intero;

Esempi:

Gli esponenti razionali sono molto utili per trasformare espressioni con radici, ad esempio:

5 esempi per esercitarsi

Analisi di 5 esempi per la formazione

Bene, ora arriva la parte più difficile. Ora lo scopriremo grado con esponente irrazionale.

Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione

Dopotutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (ovvero, i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne quelli razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari.

Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte;

...numero elevato alla potenza zero- questo è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora iniziato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo "numero vuoto" , ovvero un numero;

...grado intero negativo- è come se si fosse verificato un “processo inverso”, ovvero il numero non fosse stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale.

Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

DOVE SIAMO SICURI CHE ANDRAI! (se impari a risolvere questi esempi :))

Per esempio:

Decidi tu stesso:

Analisi delle soluzioni:

1. Cominciamo con la solita regola per elevare una potenza a potenza:

Ora guarda l'indicatore. Non ti ricorda niente? Ricordiamo la formula per la moltiplicazione abbreviata della differenza dei quadrati:

In questo caso,

Si scopre che:

Risposta: .

2. Riduciamo le frazioni in esponenti alla stessa forma: entrambi i decimali o entrambi quelli ordinari. Otteniamo, ad esempio:

Risposta: 16

3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

LIVELLO AVANZATO

Determinazione del titolo di studio

Una laurea è un'espressione della forma: , dove:

• — base di laurea;
• - esponente.

Laurea con indicatore naturale (n = 1, 2, 3,...)

Elevare un numero alla potenza naturale n significa moltiplicare il numero per se stesso volte:

Grado con esponente intero (0, ±1, ±2,...)

Se l'esponente è intero positivo numero:

Costruzione al grado zero:

L'espressione è indefinita, perché, da un lato, qualsiasi grado è questo, e dall'altro, qualsiasi numero fino al decimo grado è questo.

Se l'esponente è intero negativo numero:

(perché non puoi dividere per).

Ancora una volta sugli zeri: l'espressione non è definita nel caso. Se, allora.

Esempi:

Potenza con esponente razionale

• — numero naturale;
• - intero;

Esempi:

Proprietà dei gradi

Per facilitare la risoluzione dei problemi, proviamo a capire: da dove provengono queste proprietà? Dimostriamoli.

Vediamo: cos'è e?

Per definizione:

Quindi, sul lato destro di questa espressione otteniamo il seguente prodotto:

Ma per definizione è una potenza di un numero con esponente, cioè:

Q.E.D.

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : .

Esempio : Semplifica l'espressione.

Soluzione : È importante notare che nella nostra regola Necessariamente devono esserci gli stessi motivi. Quindi uniamo le potenze con la base, ma rimane un fattore a parte:

Un'altra nota importante: questa regola - solo per prodotto di potenze!

In nessun caso puoi scriverlo.

Come per la proprietà precedente, passiamo alla definizione di grado:

Raggruppiamo questo lavoro in questo modo:

Si scopre che l'espressione viene moltiplicata per se stessa volte, cioè, secondo la definizione, questa è l'esima potenza del numero:

In sostanza, questo può essere chiamato “togliere l’indicatore tra parentesi”. Ma non puoi mai farlo in totale: !

Ricordiamo le formule di moltiplicazione abbreviate: quante volte avremmo voluto scrivere? Ma questo non è vero, dopotutto.

Potenza con base negativa.

Finora abbiamo solo discusso di come dovrebbe essere indicatore gradi. Ma quale dovrebbe essere la base? Nei poteri di naturale indicatore la base potrebbe essere qualsiasi numero .

In effetti, possiamo moltiplicare qualsiasi numero tra loro, siano essi positivi, negativi o pari. Pensiamo a quali segni ("" o "") avranno potenze di numeri positivi e negativi?

Ad esempio, il numero è positivo o negativo? UN? ?

Con il primo tutto è chiaro: non importa quanti numeri positivi moltiplichiamo tra loro, il risultato sarà positivo.

Ma quelli negativi sono un po’ più interessanti. Ricordiamo la semplice regola della prima media: "meno per meno dà un più". Cioè, o. Ma se moltiplichiamo per (), otteniamo - .

E così all'infinito: ad ogni moltiplicazione successiva il segno cambierà. Possiamo formulare quanto segue regole semplici:

1. Anche grado, - numero positivo.
2. Numero negativo, incorporato strano grado, - numero negativo.
3. Numero positivo in qualsiasi misura è un numero positivo.
4. Zero a qualsiasi potenza è uguale a zero.

Determina tu stesso quale segno avranno le seguenti espressioni:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ci sei riuscito? Ecco le risposte:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Nei primi quattro esempi, spero che sia tutto chiaro? Guardiamo semplicemente la base e l'esponente e applichiamo la regola appropriata.

Nell'esempio 5) anche tutto non è così spaventoso come sembra: dopotutto, non importa a cosa sia uguale la base: il grado è pari, il che significa che il risultato sarà sempre positivo. Bene, tranne quando la base è zero. La base non è uguale, vero? Ovviamente no, poiché (perché).

Esempio 6) non è più così semplice. Qui devi scoprire quale è meno: o? Se lo ricordiamo, diventa chiaro questo, e quindi la base meno di zero. Applichiamo cioè la regola 2: il risultato sarà negativo.

E ancora usiamo la definizione di grado:

Tutto è come al solito: scriviamo la definizione dei gradi e li dividiamo l'uno per l'altro, li dividiamo in coppie e otteniamo:

Prima di esaminare l'ultima regola, risolviamo alcuni esempi.

Calcola le espressioni:

Soluzioni :

Se ignoriamo l'ottavo potere, cosa vediamo qui? Ricordiamo il programma di 7a elementare. Allora, ti ricordi? Questa è la formula per la moltiplicazione abbreviata, cioè la differenza dei quadrati!

Otteniamo:

Osserviamo attentamente il denominatore. Assomiglia molto a uno dei fattori del numeratore, ma cosa c'è che non va? L'ordine dei termini è sbagliato. Se fossero invertite, si potrebbe applicare la regola 3. Ma come? Si scopre che è molto semplice: il grado pari del denominatore ci aiuta qui.

Se lo moltiplichi per non cambia nulla, giusto? Ma ora risulta così:

Magicamente i termini cambiarono posto. Questo “fenomeno” si applica a qualsiasi espressione in misura uniforme: possiamo facilmente cambiare i segni tra parentesi. Ma è importante ricordare: Tutti i segni cambiano allo stesso tempo! Non puoi sostituirlo modificando solo uno svantaggio che non ci piace!

Torniamo all'esempio:

E ancora la formula:

Quindi ora l'ultima regola:

Come lo dimostreremo? Naturalmente, come al solito: espandiamo il concetto di laurea e semplifichiamolo:

Bene, ora apriamo le parentesi. Quante lettere ci sono in totale? volte per moltiplicatori: cosa ti ricorda questo? Questa non è altro che la definizione di un'operazione moltiplicazione: Lì c'erano solo moltiplicatori. Cioè, questa, per definizione, è una potenza di un numero con un esponente:

Esempio:

Laurea con esponente irrazionale

Oltre alle informazioni sui gradi per il livello medio, analizzeremo il grado con un esponente irrazionale. Tutte le regole e le proprietà dei gradi qui sono esattamente le stesse di un grado con esponente razionale, con l'eccezione che, dopo tutto, per definizione, i numeri irrazionali sono numeri che non possono essere rappresentati come una frazione, dove e sono numeri interi (cioè , i numeri irrazionali sono tutti numeri reali tranne i numeri razionali).

Quando studiavamo le lauree con esponenti naturali, interi e razionali, ogni volta creavamo una certa “immagine”, “analogia” o descrizione in termini più familiari. Ad esempio, un grado con esponente naturale è un numero moltiplicato per se stesso più volte; un numero elevato a zero è, per così dire, un numero moltiplicato per se stesso una volta, cioè non hanno ancora cominciato a moltiplicarlo, il che significa che il numero stesso non è ancora apparso - quindi il risultato è solo un certo “numero vuoto”, ovvero un numero; un grado con un esponente intero negativo: è come se si fosse verificato un "processo inverso", cioè il numero non è stato moltiplicato per se stesso, ma diviso.

È estremamente difficile immaginare un grado con un esponente irrazionale (così come è difficile immaginare uno spazio quadridimensionale). Si tratta piuttosto di un oggetto puramente matematico che i matematici hanno creato per estendere il concetto di grado all'intero spazio dei numeri.

A proposito, nella scienza viene spesso utilizzato un grado con un esponente complesso, cioè l'esponente non è nemmeno un numero reale. Ma a scuola non pensiamo a queste difficoltà; avrai l’opportunità di comprendere questi nuovi concetti all’istituto.

Allora cosa facciamo se vediamo un esponente irrazionale? Stiamo facendo del nostro meglio per sbarazzarcene! :)

Per esempio:

Decidi tu stesso:

1)

2)

3)

Risposte:

1. Ricordiamo la formula della differenza dei quadrati. Risposta: .
2. Riduciamo le frazioni alla stessa forma: entrambe le cifre decimali oppure entrambe le frazioni ordinarie. Otteniamo, ad esempio: .
3. Niente di speciale, usiamo le solite proprietà dei gradi:

RIASSUNTO DELLA SEZIONE E FORMULE BASE

Grado chiamata espressione nella forma: , dove:

Grado con esponente intero

un grado il cui esponente è un numero naturale (cioè intero e positivo).

Potenza con esponente razionale

grado, il cui esponente è un numero negativo e frazionario.

Laurea con esponente irrazionale

un grado il cui esponente è una frazione decimale o radice infinita.

Proprietà dei gradi

Caratteristiche dei gradi.

• Numero negativo elevato a Anche grado, - numero positivo.
• Numero negativo elevato a strano grado, - numero negativo.
• Un numero positivo in qualsiasi grado è un numero positivo.
• Zero è uguale a qualsiasi potenza.
• Qualsiasi numero elevato a zero è uguale.

ORA HAI LA PAROLA...

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