Log 1 in base 2. Proprietà dei logaritmi ed esempi delle loro soluzioni

(dal greco λόγος - "parola", "relazione" e ἀριθμός - "numero") numeri B basato su UN(log α B) è chiamato tale numero C, E B= un c, cioè registra il log α B=C E b=aC sono equivalenti. Il logaritmo ha senso se a > 0, a ≠ 1, b > 0.

In altre parole logaritmo numeri B basato su UN formulato come esponente al quale deve essere elevato un numero UN per ottenere il numero B(il logaritmo esiste solo per i numeri positivi).

Da questa formulazione segue che il calcolo x= log α B, equivale a risolvere l'equazione a x =b.

Per esempio:

log 2 8 = 3 perché 8 = 2 3 .

Sottolineiamo che la formulazione indicata del logaritmo consente di determinarlo immediatamente valore del logaritmo, quando il numero sotto il segno del logaritmo funge da potenza della base. In effetti, la formulazione del logaritmo permette di giustificare questo se b=un c, quindi il logaritmo del numero B basato su UNè uguale Con. È anche chiaro che l'argomento dei logaritmi è strettamente correlato all'argomento potenze di un numero.

Viene chiamato il calcolo del logaritmo logaritmo. Il logaritmo è operazione matematica prendendo il logaritmo. Quando si prendono i logaritmi, i prodotti dei fattori vengono trasformati in somme di termini.

Potenziamentoè l'operazione matematica inversa del logaritmo. Durante il potenziamento, una determinata base viene elevata al grado di espressione su cui viene eseguito il potenziamento. In questo caso, le somme dei termini si trasformano in un prodotto di fattori.

Molto spesso, i logaritmi reali vengono utilizzati con le basi 2 (binario), il numero di Eulero e ≈ 2,718 (logaritmo naturale) e 10 (decimale).

In questa fase è opportuno riflettere campioni logaritmici ceppo7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

E le voci lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 non hanno senso, poiché nella prima viene posto un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nella seconda - numero negativo nella base e nel terzo: sia un numero negativo sotto il segno del logaritmo che un'unità nella base.

Condizioni per determinare il logaritmo.

Vale la pena considerare separatamente le condizioni a > 0, a ≠ 1, b > 0. sotto le quali otteniamo definizione di logaritmo. Diamo un'occhiata al motivo per cui sono state adottate queste restrizioni. Un'uguaglianza della forma x = log α ci aiuterà in questo B, chiamata identità logaritmica di base, che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Prendiamo la condizione a≠1. Poiché uno a qualsiasi potenza è uguale a uno, l'uguaglianza x=log α B può esistere solo quando b=1, ma log 1 1 sarà un numero reale qualsiasi. Per eliminare questa ambiguità, prendiamo a≠1.

Dimostriamo la necessità della condizione a>0. A a=0 secondo la formulazione del logaritmo può esistere solo quando b=0. E di conseguenza allora ceppo 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. Questa ambiguità può essere eliminata dalla condizione a≠0. E quando UN<0 dovremmo rifiutare l’analisi dei valori razionali e irrazionali del logaritmo, poiché un grado con esponente razionale e irrazionale è definito solo per basi non negative. È per questo motivo che viene posta la condizione a>0.

E l'ultima condizione b>0 segue dalla disuguaglianza a>0, poiché x=log α B e il valore del grado con base positiva UN sempre positivo.

Caratteristiche dei logaritmi.

Logaritmi caratterizzato da distintivo caratteristiche, che ha portato al loro uso diffuso per facilitare notevolmente calcoli scrupolosi. Quando ci si sposta “nel mondo dei logaritmi”, la moltiplicazione si trasforma in un'addizione molto più semplice, la divisione si trasforma in sottrazione e l'elevamento a potenza e l'estrazione della radice si trasformano, rispettivamente, in moltiplicazione e divisione per l'esponente.

Formulazione dei logaritmi e tabella dei loro valori (per funzioni trigonometriche) fu pubblicato per la prima volta nel 1614 dal matematico scozzese John Napier. Le tavole logaritmiche, ampliate e dettagliate da altri scienziati, furono ampiamente utilizzate nei calcoli scientifici e ingegneristici e rimasero rilevanti fino all'uso di calcolatrici elettroniche e computer.

Il focus di questo articolo è logaritmo. Qui daremo una definizione di logaritmo, mostreremo la notazione accettata, forniremo esempi di logaritmi e parleremo di logaritmi naturali e decimali. Successivamente considereremo l'identità logaritmica di base.

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Definizione di logaritmo

Il concetto di logaritmo nasce quando si risolve un problema in un certo senso inverso, quando è necessario trovare un esponente in valore conosciuto grado e base conosciuta.

Ma basta prefazioni, è ora di rispondere alla domanda “cos’è un logaritmo”? Diamo la definizione corrispondente.

Definizione.

Logaritmo di b in base a, dove a>0, a≠1 e b>0 è l'esponente a cui devi elevare il numero a per ottenere come risultato b.

A questo punto, notiamo che la parola “logaritmo” dovrebbe immediatamente sollevare due domande successive: “quale numero” e “su quale base”. In altre parole, semplicemente non esiste il logaritmo, ma solo il logaritmo di un numero in qualche base.

Entriamo subito notazione logaritmica: il logaritmo di un numero b in base a è solitamente indicato come log a b. Il logaritmo di un numero b in base e e il logaritmo in base 10 hanno rispettivamente le loro designazioni speciali lnb e logb, cioè non scrivono log e b, ma lnb, e non log 10 b, ma lgb.

Ora possiamo dare: .
E i record non hanno senso, poiché nel primo c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo, nel secondo c'è un numero negativo in base, e nel terzo c'è un numero negativo sotto il segno del logaritmo e un'unità in la base.

Ora parliamo di regole per la lettura dei logaritmi. Il log a b viene letto come "il logaritmo di b in base a". Ad esempio, log 2 3 è il logaritmo di tre in base 2 ed è il logaritmo di due virgola due terzi in base 2 radice quadrata su cinque. Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale, e la notazione lnb si legge "logaritmo naturale di b". Ad esempio, ln7 è il logaritmo naturale di sette e lo leggeremo come logaritmo naturale di pi greco. Anche il logaritmo in base 10 ha un nome speciale: logaritmo decimale e lgb viene letto come "logaritmo decimale di b". Ad esempio, lg1 è il logaritmo decimale di uno e lg2,75 è il logaritmo decimale di due virgola sette cinque centesimi.

Vale la pena soffermarsi separatamente sulle condizioni a>0, a≠1 eb>0, sotto le quali è data la definizione di logaritmo. Spieghiamo da dove provengono queste restrizioni. In questo ci aiuterà un'uguaglianza della forma chiamata , che segue direttamente dalla definizione di logaritmo data sopra.

Cominciamo con a≠1. Poiché uno a qualsiasi potenza è uguale a uno, l'uguaglianza può essere vera solo quando b=1, ma log 1 1 può essere qualsiasi numero reale. Per evitare questa ambiguità, si assume a≠1.

Giustifichiamo l'opportunità della condizione a>0. Con a=0, per definizione di logaritmo, avremmo un'uguaglianza possibile solo con b=0. Ma allora log 0 0 può essere qualsiasi numero reale diverso da zero, poiché da zero a qualsiasi potenza diversa da zero è zero. La condizione a≠0 ci permette di evitare questa ambiguità. E quando a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Infine, dalla disuguaglianza a>0 segue la condizione b>0, poiché , e il valore di una potenza con base a positiva è sempre positivo.

Per concludere questo punto diciamo che la definizione di logaritmo riportata permette di indicare immediatamente il valore del logaritmo quando il numero sotto il segno del logaritmo è una certa potenza della base. Infatti, la definizione di logaritmo ci permette di affermare che se b=a p, allora il logaritmo del numero b in base a è uguale a p. Cioè, il log di uguaglianza a a p = p è vero. Ad esempio, sappiamo che 2 3 =8, quindi log 2 8=3. Ne parleremo più approfonditamente nell'articolo.

Uno degli elementi dell'algebra di livello primitivo è il logaritmo. Il nome deriva da Lingua greca dalla parola “numero” o “potenza” e indica la potenza alla quale bisogna elevare il numero in base per trovare il numero finale.

Tipi di logaritmi

• log a b – logaritmo del numero b in base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• log b – logaritmo decimale (logaritmo in base 10, a = 10);
• ln b – logaritmo naturale (logaritmo in base e, a = e).

Come risolvere i logaritmi?

Il logaritmo di b in base a è un esponente che richiede che b sia elevato in base a. Il risultato ottenuto si pronuncia così: “logaritmo di b in base a”. La soluzione ai problemi logaritmici è che è necessario determinare la potenza data in numeri dai numeri specificati. Esistono alcune regole di base per determinare o risolvere il logaritmo, nonché per convertire la notazione stessa. Usandoli, si risolvono le equazioni logaritmiche, si trovano le derivate, si risolvono gli integrali e si eseguono molte altre operazioni. Fondamentalmente, la soluzione del logaritmo stesso è la sua notazione semplificata. Di seguito sono riportate le formule e le proprietà di base:

Per qualsiasi a ; a > 0; a ≠ 1 e per qualsiasi x ; y > 0.

• a log a b = b – identità logaritmica di base
• registra a 1 = 0
• loga a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• logaritmo a x p = p logaritmo a x
• log a k x = 1/k log a x , per k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – formula per spostarsi su una nuova base
• logaritmo a x = 1/logaritmo x a

Come risolvere i logaritmi: istruzioni passo passo per la risoluzione

• Per prima cosa, annota l'equazione richiesta.

Nota: se il logaritmo di base è 10, la voce viene abbreviata, risultando in un logaritmo decimale. Se ne vale la pena numero naturale e, poi lo scriviamo riducendolo al logaritmo naturale. Ciò significa che il risultato di tutti i logaritmi è la potenza alla quale viene elevato il numero base per ottenere il numero b.

Direttamente, la soluzione sta nel calcolare questo grado. Prima di risolvere un'espressione con un logaritmo, è necessario semplificarla secondo la regola, ovvero utilizzando le formule. Puoi trovare le identità principali tornando un po’ indietro nell’articolo.

Somma e sottrazione di logaritmi con due numeri diversi, ma con per gli stessi motivi, sostituire con un logaritmo con il prodotto o la divisione dei numeri b e c, rispettivamente. In questo caso, puoi applicare la formula per spostarti in un'altra base (vedi sopra).

Se utilizzi le espressioni per semplificare un logaritmo, ci sono alcune limitazioni da considerare. E cioè: la base del logaritmo è unica numero positivo, ma no uguale a uno. Il numero b, come a, deve essere maggiore di zero.

Ci sono casi in cui, semplificando un'espressione, non sarai in grado di calcolare numericamente il logaritmo. Succede che tale espressione non ha senso, perché molte potenze sono numeri irrazionali. In queste condizioni, lascia la potenza del numero come logaritmo.

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Man mano che la società si sviluppava e la produzione diventava più complessa, si sviluppò anche la matematica. Movimento dal semplice al complesso. Dalla contabilità ordinaria utilizzando il metodo dell'addizione e della sottrazione, con la loro ripetuta ripetizione, siamo arrivati ​​al concetto di moltiplicazione e divisione. Ridurre l'operazione ripetuta di moltiplicazione divenne il concetto di esponenziazione. Le prime tabelle sulla dipendenza dei numeri dalla base e sul numero di esponenziazione furono compilate nell'VIII secolo dal matematico indiano Varasena. Da loro puoi contare il tempo in cui si verificano i logaritmi.

Schizzo storico

La rinascita dell'Europa nel XVI secolo stimolò anche lo sviluppo della meccanica. T richiedeva una grande quantità di calcoli relativo alla moltiplicazione e divisione di numeri a più cifre. Le tavole antiche hanno mostrato ottimo servizio. Hanno consentito la sostituzione operazioni complesse a quelli più semplici: addizione e sottrazione. Un grande passo avanti fu il lavoro del matematico Michael Stiefel, pubblicato nel 1544, in cui realizzò l'idea di molti matematici. Ciò ha permesso di utilizzare tabelle non solo per i titoli di studio nel modulo numeri primi, ma anche per quelli razionali arbitrari.

Nel 1614, lo scozzese John Napier, sviluppando queste idee, introdusse per primo il nuovo termine “logaritmo di un numero”. Sono state compilate nuove tabelle complesse per il calcolo dei logaritmi di seno e coseno, nonché delle tangenti. Ciò ha notevolmente ridotto il lavoro degli astronomi.

Cominciarono ad apparire nuove tabelle, che furono utilizzate con successo dagli scienziati per tre secoli. Passò molto tempo prima che la nuova operazione algebra acquisisse la sua forma definitiva. È stata data la definizione del logaritmo e sono state studiate le sue proprietà.

Solo nel XX secolo, con l'avvento della calcolatrice e del computer, l'umanità abbandonò gli antichi tavoli che avevano funzionato con successo per tutto il XIII secolo.

Oggi chiamiamo il logaritmo di b in base a il numero x cioè la potenza di a per formare b. Questo si scrive come una formula: x = log a(b).

Ad esempio, log 3(9) sarebbe uguale a 2. Ciò è ovvio se si segue la definizione. Se eleviamo 3 alla potenza di 2, otteniamo 9.

Pertanto, la definizione formulata pone una sola restrizione: i numeri a e b devono essere reali.

Tipi di logaritmi

La definizione classica si chiama logaritmo reale ed è in realtà la soluzione dell'equazione a x = b. L'opzione a = 1 è borderline e non interessa. Attenzione: 1 a qualsiasi potenza è uguale a 1.

Valore reale del logaritmo definito solo quando la base e l'argomento sono maggiori di 0 e la base non deve essere uguale a 1.

Posto speciale nel campo della matematica riproduci i logaritmi, che verranno nominati a seconda della dimensione della loro base:

Regole e restrizioni

La proprietà fondamentale dei logaritmi è la regola: il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma logaritmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Come variante di questa affermazione sarà: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), la funzione quoziente è uguale alla differenza delle funzioni.

Dalle due regole precedenti è facile vedere che: log a(b p) = p * log a(b).

Altre proprietà includono:

Commento. Non commettere un errore comune: il logaritmo della somma non lo è pari alla somma logaritmi.

Per molti secoli, l'operazione di ricerca di un logaritmo è stata un compito piuttosto dispendioso in termini di tempo. I matematici usarono la famosa formula della teoria logaritmica dell'espansione polinomiale:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), dove n è un numero naturale maggiore di 1, che determina la precisione del calcolo.

I logaritmi con altre basi sono stati calcolati utilizzando il teorema sulla transizione da una base all'altra e la proprietà del logaritmo di un prodotto.

Poiché questo metodo è molto laborioso e al momento di decidere problemi pratici Di difficile implementazione, abbiamo utilizzato tabelle di logaritmi precompilate, che hanno notevolmente velocizzato tutto il lavoro.

In alcuni casi sono stati utilizzati grafici logaritmici appositamente progettati, che hanno fornito meno precisione, ma hanno notevolmente accelerato la ricerca valore desiderato. La curva della funzione y = log a(x), costruita su più punti, consente di utilizzare un normale righello per trovare il valore della funzione in qualsiasi altro punto. Ingegneri a lungo Per questi scopi è stata utilizzata la cosiddetta carta millimetrata.

Nel XVII secolo apparvero le prime condizioni di calcolo analogico ausiliario, che 19esimo secolo ha acquisito un aspetto finito. Il dispositivo di maggior successo si chiamava regolo calcolatore. Nonostante la semplicità del dispositivo, il suo aspetto ha accelerato significativamente il processo di tutti i calcoli ingegneristici ed è difficile sopravvalutarlo. Attualmente poche persone hanno familiarità con questo dispositivo.

L'avvento delle calcolatrici e dei computer ha reso inutile l'uso di qualsiasi altro dispositivo.

Equazioni e disuguaglianze

Per risolvere varie equazioni e disuguaglianze utilizzando i logaritmi, vengono utilizzate le seguenti formule:

• Passando da una base all'altra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Come conseguenza dell'opzione precedente: log a(b) = 1 / log b(a).

Per risolvere le disuguaglianze è utile sapere:

• Il valore del logaritmo sarà positivo solo se base e argomento sono entrambi maggiori o minori di uno; se almeno una condizione viene violata, il valore del logaritmo sarà negativo.
• Se la funzione logaritmo viene applicata ai lati destro e sinistro di una disuguaglianza e la base del logaritmo è maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene preservato; altrimenti cambia.

Problemi di esempio

Consideriamo diverse opzioni per l'utilizzo dei logaritmi e delle loro proprietà. Esempi con la risoluzione di equazioni:

Considera l'opzione di porre il logaritmo in una potenza:

• Problema 3. Calcola 25^log 5(3). Soluzione: nelle condizioni del problema, la voce è simile alla seguente (5^2)^log5(3) o 5^(2 * log 5(3)). Scriviamolo diversamente: 5^log 5(3*2), ovvero il quadrato di un numero come argomento di una funzione può essere scritto come il quadrato della funzione stessa (5^log 5(3))^2. Usando le proprietà dei logaritmi, questa espressione è uguale a 3^2. Risposta: come risultato del calcolo otteniamo 9.

Applicazione pratica

Essendo uno strumento puramente matematico, sembra tutt'altro vita reale che il logaritmo ha improvvisamente acquisito grande valore descrivere oggetti del mondo reale. È difficile trovare una scienza in cui non venga utilizzata. Ciò si applica pienamente non solo ai campi della conoscenza naturale, ma anche a quelli umanitari.

Dipendenze logaritmiche

Ecco alcuni esempi di dipendenze numeriche:

Meccanica e fisica

Storicamente, la meccanica e la fisica si sono sempre sviluppate utilizzando metodi matematici ricerca e allo stesso tempo serviva da incentivo per lo sviluppo della matematica, compresi i logaritmi. La teoria della maggior parte delle leggi della fisica è scritta nel linguaggio della matematica. Diamo solo due esempi di descrizione delle leggi fisiche utilizzando il logaritmo.

Il problema del calcolo di una quantità così complessa come la velocità di un razzo può essere risolto utilizzando la formula di Tsiolkovsky, che ha gettato le basi per la teoria dell'esplorazione spaziale:

V = I * ln (M1/M2), dove

• V è la velocità finale dell'aereo.
• IO - impulso specifico motore.
• M 1 – massa iniziale del razzo.
• M2 – massa finale.

Un altro esempio importante - questo è usato nella formula di un altro grande scienziato Max Planck, che serve a valutare lo stato di equilibrio in termodinamica.

S = k * ln (Ω), dove

• S – proprietà termodinamica.
• k – Costante di Boltzmann.
• Ω è il peso statistico dei diversi stati.

Chimica

Meno ovvio è l'uso di formule in chimica contenenti il ​​rapporto dei logaritmi. Facciamo solo due esempi:

• Equazione di Nernst, condizione del potenziale redox del mezzo in relazione all'attività delle sostanze e alla costante di equilibrio.
• Anche il calcolo di costanti come l'indice di autolisi e l'acidità della soluzione non può essere effettuato senza la nostra funzione.

Psicologia e biologia

E non è affatto chiaro cosa c’entri la psicologia. Si scopre che la forza della sensazione è ben descritta da questa funzione come il rapporto inverso tra il valore dell'intensità dello stimolo e il valore dell'intensità inferiore.

Dopo gli esempi precedenti, non sorprende più che il tema dei logaritmi sia ampiamente utilizzato in biologia. Di forme biologiche, in corrispondenza delle spirali logaritmiche si possono scrivere interi volumi.

Altre aree

Sembra che l'esistenza del mondo sia impossibile senza connessione con questa funzione, ed essa governa tutte le leggi. Soprattutto quando le leggi della natura sono associate alla progressione geometrica. Vale la pena visitare il sito web MatProfi e ci sono molti esempi simili nelle seguenti aree di attività:

L'elenco può essere infinito. Avendo padroneggiato i principi di base di questa funzione, puoi immergerti nel mondo della saggezza infinita.