Formule per trovare l'area di un triangolo utilizzando vari dati. Come calcolare l'area di un triangolo

Come forse ricorderai dal tuo curriculum scolastico di geometria, un triangolo è una figura formata da tre segmenti collegati da tre punti che non giacciono sulla stessa linea retta. Un triangolo forma tre angoli, da qui il nome della figura. La definizione potrebbe essere diversa. Un triangolo può anche essere chiamato poligono con tre angoli, anche la risposta sarà corretta. I triangoli sono divisi in base al numero di lati uguali e alla dimensione degli angoli nelle figure. Pertanto, i triangoli si distinguono rispettivamente in isosceli, equilateri e scaleni, nonché rettangolari, acuti e ottusi.

Esistono molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Scegli come trovare l'area di un triangolo, ad es. Quale formula utilizzare dipende da te. Ma vale la pena notare solo alcune delle notazioni utilizzate in molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Quindi, ricorda:

S è l'area del triangolo,

a, b, c sono i lati del triangolo,

h è l'altezza del triangolo,

R è il raggio del cerchio circoscritto,

p è il semiperimetro.

Ecco le notazioni di base che potrebbero esserti utili se hai completamente dimenticato il corso di geometria. Di seguito sono riportate le opzioni più comprensibili e semplici per calcolare l'area sconosciuta e misteriosa di un triangolo. Non è difficile e sarà utile sia per le vostre necessità domestiche che per aiutare i vostri figli. Ricordiamo come calcolare l'area di un triangolo nel modo più semplice possibile:

Nel nostro caso l'area del triangolo è: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cmq. Ricorda che l'area si misura in centimetri quadrati (cmq).

Triangolo rettangolo e sua area.

Un triangolo rettangolo è un triangolo in cui un angolo è uguale a 90 gradi (da qui chiamato retto). Un angolo retto è formato da due rette perpendicolari (nel caso di un triangolo, due segmenti perpendicolari). In un triangolo rettangolo può esserci un solo angolo retto, perché... la somma di tutti gli angoli di un qualsiasi triangolo è uguale a 180 gradi. Risulta che altri 2 angoli dovrebbero dividere i restanti 90 gradi, ad esempio 70 e 20, 45 e 45, ecc. Quindi, ricordi la cosa principale, non resta che scoprire come trovare l'area di un triangolo rettangolo. Immaginiamo di avere davanti a noi un triangolo rettangolo e dobbiamo trovare la sua area S.

1. Il modo più semplice per determinare l'area di un triangolo rettangolo è calcolato utilizzando la seguente formula:

Nel nostro caso l'area del triangolo rettangolo è: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cmq.

In linea di principio non è più necessario verificare l'area del triangolo in altri modi, perché Solo questo sarà utile e aiuterà nella vita di tutti i giorni. Ma ci sono anche opzioni per misurare l'area di un triangolo attraverso angoli acuti.

2. Per altri metodi di calcolo è necessario disporre di una tabella di coseni, seni e tangenti. Giudica tu stesso, ecco alcune opzioni per calcolare l'area di un triangolo rettangolo che può ancora essere utilizzata:

Abbiamo deciso di utilizzare la prima formula e con qualche piccola macchia (l'abbiamo disegnata su un quaderno e utilizzato un vecchio righello e un goniometro), ma abbiamo ottenuto il calcolo corretto:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Abbiamo ottenuto i seguenti risultati: 3,6=3,7, ma tenendo conto dello spostamento delle celle, possiamo perdonare questa sfumatura.

Triangolo isoscele e sua area.

Se ti trovi di fronte al compito di calcolare la formula per un triangolo isoscele, il modo più semplice è utilizzare la formula principale e quella che è considerata la formula classica per l'area di un triangolo.

Ma prima, prima di trovare l’area di un triangolo isoscele, scopriamo di che figura si tratta. Un triangolo isoscele è un triangolo in cui due lati hanno la stessa lunghezza. Questi due lati si chiamano laterali, il terzo lato si chiama base. Non confondere un triangolo isoscele con un triangolo equilatero, cioè un triangolo regolare con tutti e tre i lati uguali. In un triangolo del genere non vi sono particolari tendenze negli angoli, o meglio nella loro dimensione. Tuttavia, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, ma diversi dall'angolo compreso tra lati uguali. Quindi, conosci già la prima e principale formula; resta da scoprire quali altre formule sono note per determinare l'area di un triangolo isoscele:

Il triangolo è una figura familiare a tutti. E questo nonostante la ricca varietà delle sue forme. Rettangolare, equilatero, acuto, isoscele, ottuso. Ognuno di loro è diverso in qualche modo. Ma per chiunque sia necessario scoprire l'area di un triangolo.

Formule comuni a tutti i triangoli che utilizzano le lunghezze dei lati o delle altezze

Le designazioni adottate in essi: lati - a, b, c; altezze sui lati corrispondenti su a, n in, n con.

1. L'area di un triangolo si calcola come il prodotto di ½, un lato e l'altezza da esso sottratta. S = ½ * a * n a. Le formule per gli altri due lati dovrebbero essere scritte in modo simile.

2. Formula di Erone, in cui compare il semiperimetro (di solito è indicato con la lettera p minuscola, in contrasto con il perimetro completo). Il semiperimetro si calcola così: somma tutti i lati e dividili per 2. La formula per il semiperimetro è: p = (a+b+c) / 2. Quindi l'uguaglianza per l'area di ​​la figura appare così: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Se non vuoi utilizzare un semiperimetro, ti sarà utile una formula che contenga solo le lunghezze dei lati: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). È leggermente più lungo del precedente, ma ti aiuterà se hai dimenticato come trovare il semiperimetro.

Formule generali che coinvolgono gli angoli di un triangolo

Notazioni necessarie per leggere le formule: α, β, γ - angoli. Si trovano rispettivamente sui lati opposti a, b, c.

1. Secondo esso, metà del prodotto di due lati e il seno dell'angolo compreso tra loro è uguale all'area del triangolo. Cioè: S = ½ a * b * sin γ. Le formule per gli altri due casi vanno scritte in modo simile.

2. L'area di un triangolo può essere calcolata da un lato e tre angoli noti. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Esiste anche una formula con uno lato conosciuto e due angoli adiacenti. Sembra questo: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Le ultime due formule non sono le più semplici. È abbastanza difficile ricordarli.

Formule generali per situazioni in cui sono noti i raggi dei cerchi inscritti o circoscritti

Designazioni aggiuntive: r, R - raggi. Il primo viene utilizzato per il raggio del cerchio inscritto. Il secondo è per quello descritto.

1. La prima formula con cui viene calcolata l'area di un triangolo è relativa al semiperimetro. S = r*r. Un altro modo di scriverlo è: S = ½ r * (a + b + c).

2. Nel secondo caso, dovrai moltiplicare tutti i lati del triangolo e dividerli per quadruplicare il raggio del cerchio circoscritto. Nell'espressione letterale appare così: S = (a * b * c) / (4R).

3. La terza situazione ti consente di fare a meno di conoscere i lati, ma avrai bisogno dei valori di tutti e tre gli angoli. S = 2 R 2 * peccato α * peccato β * peccato γ.

Caso particolare: triangolo rettangolo

Questa è la situazione più semplice, poiché è richiesta solo la lunghezza di entrambe le gambe. Sono designati in lettere latine a e c. L'area di un triangolo rettangolo è pari alla metà dell'area del rettangolo ad esso aggiunto.

Matematicamente è così: S = ½ a * b. È il più facile da ricordare. Poiché assomiglia alla formula per l'area di un rettangolo, appare solo una frazione, che indica la metà.

Caso particolare: triangolo isoscele

Dato che ha due lati uguali, alcune formule per la sua area sembrano un po' semplificate. Ad esempio, la formula di Erone, che calcola l'area di un triangolo isoscele, assume la seguente forma:

S = ½ pollice √((a + ½ pollice)*(a - ½ pollice)).

Se lo trasformi, diventerà più corto. In questo caso, la formula di Erone per un triangolo isoscele è scritta come segue:

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

La formula dell'area sembra un po' più semplice di quella di un triangolo arbitrario se si conoscono i lati e l'angolo compreso tra di essi. S = ½ a 2 * sin β.

Caso particolare: triangolo equilatero

Di solito nei problemi il lato a riguardo è noto o può essere scoperto in qualche modo. Quindi la formula per trovare l'area di un tale triangolo è la seguente:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemi per trovare l'area se il triangolo è raffigurato su carta a scacchi

La situazione più semplice è quando viene disegnato un triangolo rettangolo in modo che le sue gambe coincidano con le linee del foglio. Quindi devi solo contare il numero di cellule che si adattano alle gambe. Poi moltiplicateli e divideteli per due.

Quando il triangolo è acuto o ottuso, deve essere disegnato in un rettangolo. Quindi la figura risultante avrà 3 triangoli. Uno è quello indicato nel problema. E gli altri due sono ausiliari e rettangolari. Le aree degli ultimi due devono essere determinate utilizzando il metodo sopra descritto. Calcola quindi l'area del rettangolo e sottrai da essa quella calcolata per quelli ausiliari. L'area del triangolo è determinata.

Molto più complicata risulta la situazione in cui nessuno dei lati del triangolo coincide con le linee del foglio. Quindi deve essere inscritto in un rettangolo in modo che i vertici della figura originale si trovino sui suoi lati. In questo caso, ci saranno tre triangoli rettangoli ausiliari.

Esempio di un problema che utilizza la formula di Erone

Condizione. Alcuni triangoli hanno i lati conosciuti. Sono pari a 3, 5 e 6 cm. Devi scoprire la sua area.

Ora puoi calcolare l'area del triangolo usando la formula sopra. Sotto la radice quadrata c'è il prodotto di quattro numeri: 7, 4, 2 e 1. Cioè, l'area è √(4 * 14) = 2 √(14).

Se non è richiesta una maggiore precisione, puoi prendere la radice quadrata di 14. È uguale a 3,74. Quindi l'area sarà 7.48.

Risposta. S = 2 √14 cm2 o 7,48 cm2.

Esempio di problema con il triangolo rettangolo

Condizione. Una gamba di un triangolo rettangolo è 31 cm più grande della seconda. Devi scoprire la loro lunghezza se l'area del triangolo è 180 cm 2.
Soluzione. Dovremo risolvere un sistema di due equazioni. Il primo è legato al territorio. Il secondo riguarda il rapporto tra le gambe, indicato nel problema.
180 = ½a*b;

a = b + 31.
Innanzitutto, il valore di “a” deve essere sostituito nella prima equazione. Risulta: 180 = ½ (in + 31) * in. Ha una sola incognita, quindi è facile da risolvere. Dopo aver aperto le parentesi otteniamo equazione quadratica: in 2 + 31 in - 360 = 0. Fornisce due valori per "in": 9 e - 40. Il secondo numero non è adatto come risposta, poiché la lunghezza del lato di un triangolo non può essere negativa valore.

Resta da calcolare la seconda tappa: aggiungi 31 al numero risultante. Risulta 40. Queste sono le quantità cercate nel problema.

Risposta. I cateti del triangolo misurano 9 e 40 cm.

Problema di trovare un lato attraverso l'area, il lato e l'angolo di un triangolo

Condizione. L'area di un certo triangolo è 60 cm 2. È necessario calcolare uno dei suoi lati se il secondo lato è di 15 cm e l'angolo tra loro è di 30º.

Soluzione. In base alla notazione accettata, il lato desiderato è “a”, il lato noto è “b”, l’angolo dato è “γ”. Quindi la formula dell'area può essere riscritta come segue:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Qui il seno di 30 gradi è 0,5.

Dopo le trasformazioni, “a” risulta essere uguale a 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Sono le 16.

Risposta. Il lato richiesto è 16 cm.

Problema su un quadrato inscritto in un triangolo rettangolo

Condizione. Il vertice di un quadrato di lato 24 cm coincide con l'angolo retto del triangolo. Gli altri due giacciono sui lati. Il terzo appartiene all'ipotenusa. La lunghezza di una delle gambe è 42 cm. Qual è l'area del triangolo rettangolo?

Soluzione. Consideriamo due triangoli rettangoli. Il primo è quello specificato nell'attività. Il secondo è basato su gamba famosa il triangolo originale. Sono simili perché hanno un angolo in comune e sono formati da rette parallele.

Quindi i rapporti delle loro gambe sono uguali. Le gambe del triangolo più piccolo sono pari a 24 cm (lato del quadrato) e 18 cm (data la gamba 42 cm sottrai al lato del quadrato 24 cm). Le gambe corrispondenti di un grande triangolo sono 42 cm e x cm. È questa "x" che è necessaria per calcolare l'area del triangolo.

18/42 = 24/x, cioè x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Allora l'area è uguale al prodotto di 56 e 42 diviso due, cioè 1176 cm 2.

Risposta. L'area richiesta è 1176 cm 2.

Concetto di zona

Il concetto di area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per unità di area di qualsiasi figura geometrica prenderemo l'area di un quadrato il cui lato è uguale a uno. Per completezza ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di aree delle figure geometriche.

Proprietà 1: Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Proprietà 2: Qualsiasi figura può essere divisa in più figure. Inoltre, l'area della figura originale è uguale alla somma delle aree di tutte le sue figure costituenti.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 1

Ovviamente, uno dei lati del triangolo è la diagonale di un rettangolo, un lato del quale ha una lunghezza di $5$ (poiché ci sono celle da $5$), e l'altro è $6$ (poiché ci sono celle da $6$). Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo. L'area del rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è uguale a

Risposta: $ 15 $.

Successivamente, considereremo diversi metodi per trovare le aree dei triangoli, vale a dire utilizzando l'altezza e la base, utilizzando la formula di Erone e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo utilizzando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come la metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza di quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

dove $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza che lo raggiunge.

Prova.

Consideriamo un triangolo $ABC$ in cui $AC=α$. Da questo lato viene disegnata l'altezza $BH$, che è uguale a $h$. Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ come nella Figura 2.

L'area del rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$ e l'area del rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$. Poi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Pertanto, l'area richiesta del triangolo, per la proprietà 2, è uguale a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Il teorema è dimostrato.

Esempio 2

Trova l'area del triangolo nella figura seguente se la cella ha un'area uguale a uno

La base di questo triangolo è pari a $9$ (poiché $9$ sono $9$ quadrati). Anche l'altezza è $ 9 $. Quindi, per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Risposta: $ 40,5 $.

La formula di Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Prova.

Considera la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ si ottiene

Dal triangolo $CBH$, secondo il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, che significa

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Un triangolo è la figura geometrica più semplice, composta da tre lati e tre vertici. Per la sua semplicità, il triangolo è stato utilizzato fin dall'antichità per effettuare varie misurazioni, e oggi la figura può essere utile per risolvere problemi pratici e quotidiani.

Caratteristiche di un triangolo

La figura è stata utilizzata per i calcoli fin dall'antichità, ad esempio agrimensori e astronomi utilizzano le proprietà dei triangoli per calcolare aree e distanze. È facile esprimere l'area di qualsiasi n-gon attraverso l'area di questa figura, e questa proprietà veniva utilizzata dagli antichi scienziati per ricavare formule per le aree dei poligoni. Lavoro permanente con triangoli, soprattutto con triangolo rettangolo, divenne la base per un'intera sezione della matematica: la trigonometria.

Geometria del triangolo

Le proprietà della figura geometrica sono state studiate fin dall'antichità: le prime informazioni sul triangolo sono state trovate nei papiri egiziani di 4.000 anni fa. Successivamente la figura è stata studiata Antica Grecia e i maggiori contributi alla geometria del triangolo furono dati da Euclide, Pitagora ed Erone. Lo studio del triangolo non cessò mai e nel XVIII secolo Leonhard Euler introdusse il concetto di ortocentro di una figura e il cerchio di Eulero. A cavallo tra il XIX e il XX secolo, quando sembrava che si sapesse assolutamente tutto sul triangolo, Frank Morley formulò il teorema sui trisettori angolari e Waclaw Sierpinski propose il triangolo frattale.

Esistono diversi tipi di triangoli piatti che ci sono familiari dai corsi di geometria scolastica:

• acuto: tutti gli angoli della figura sono acuti;
• ottuso: la figura ne ha uno angolo ottuso(più di 90 gradi);
• rettangolare: la figura contiene un angolo retto pari a 90 gradi;
• isoscele: un triangolo con due lati uguali;
• equilatero: un triangolo con tutti i lati uguali.
• IN vita reale Esistono triangoli di tutti i tipi e in alcuni casi potrebbe essere necessario calcolare l'area di una figura geometrica.

Area di un triangolo

L'area è una stima della porzione di piano racchiusa da una figura. L'area di un triangolo può essere trovata in sei modi, utilizzando i lati, l'altezza, gli angoli, il raggio del cerchio inscritto o circoscritto, nonché utilizzando la formula di Erone o calcolando l'integrale doppio lungo le linee che delimitano il piano. La formula più semplice per calcolare l'area di un triangolo è:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

Tuttavia, nella pratica non è sempre conveniente per noi trovare l'altezza di una figura geometrica. L'algoritmo del nostro calcolatore permette di calcolare l'area conoscendo:

• tre lati;
• due lati e l'angolo compreso tra loro;
• un lato e due angoli.

Per determinare l'area dei tre lati utilizziamo la formula di Erone:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

dove p è il semiperimetro del triangolo.

L'area su due lati e un angolo viene calcolata utilizzando la formula classica:

S = a × b × peccato(alfa),

dove alfa è l'angolo formato dai lati a e b.

Per determinare l'area in termini di un lato e due angoli, utilizziamo la relazione che:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Utilizzando una proporzione semplice, determiniamo la lunghezza del secondo lato, dopodiché calcoliamo l'area utilizzando la formula S = a × b × sin(alfa). Questo algoritmo è completamente automatizzato e devi solo inserire le variabili specificate e ottenere il risultato. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempi dalla vita

Lastre per pavimentazione

Supponiamo che tu voglia pavimentare il pavimento con piastrelle triangolari e per determinare la quantità di materiale necessario, devi conoscere l'area di una piastrella e l'area del pavimento. Supponiamo di dover lavorare 6 metri quadrati di superficie utilizzando una piastrella le cui dimensioni sono a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Ovviamente, per calcolare l'area di un triangolo, la calcolatrice utilizza la formula di Erone e dà il risultato:

Pertanto, l'area di un elemento della piastrella sarà 0,021 metro quadrato e avrai bisogno di 6/0,021 = 285 triangoli per il miglioramento del pavimento. I numeri 20, 21 e 29 formano una tripla pitagorica che soddisfa . Ed è vero, la nostra calcolatrice ha calcolato anche tutti gli angoli del triangolo e l'angolo gamma è esattamente di 90 gradi.

Compito scolastico

In un problema scolastico, devi trovare l'area di un triangolo, sapendo che il lato a = 5 cm e gli angoli alfa e beta sono rispettivamente di 30 e 50 gradi. Per risolvere questo problema manualmente, dovremmo prima trovare il valore del lato b utilizzando la proporzione tra le proporzioni e i seni degli angoli opposti, quindi determinare l'area utilizzando la semplice formula S = a × b × sin(alfa). Risparmiamo tempo, inseriamo i dati nel modulo della calcolatrice e otteniamo una risposta immediata

Quando si utilizza la calcolatrice è importante indicare correttamente gli angoli e i lati, altrimenti il ​​risultato sarà errato.

Conclusione

Il triangolo è una figura unica che si trova sia nella vita reale che nei calcoli astratti. Utilizza il nostro calcolatore online per determinare l'area dei triangoli di qualsiasi tipo.

Istruzioni

Parti e gli angoli sono considerati elementi base UN. Un triangolo è completamente definito da uno qualsiasi dei suoi seguenti elementi fondamentali: tre lati, oppure un lato e due angoli, oppure due lati e un angolo compreso tra loro. Per l'esistenza triangolo dato da tre lati a, b, c, è necessario e sufficiente per soddisfare le disuguaglianze chiamate disuguaglianze triangolo:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Costruire triangolo sui tre lati a, b, c, è necessario dal punto C del segmento CB = a tracciare con un compasso una circonferenza di raggio b. Quindi, allo stesso modo, dal punto B traccia una circonferenza con raggio uguale al lato c. Il loro punto di intersezione A è il terzo vertice del desiderato triangolo ABC, dove AB=c, CB=a, CA=b - lati triangolo. Il problema si pone se i lati a, b, c soddisfano le disuguaglianze triangolo specificato al punto 1.

Area S costruita in questo modo triangolo L'ABC con i lati noti a, b, c viene calcolato utilizzando la formula di Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
dove a, b, c sono lati triangolo, p – semiperimetro.
p = (a+b+c)/2

Se un triangolo è equilatero, cioè tutti i suoi lati sono uguali (a=b=c).Area triangolo calcolato con la formula:
S=(a^2 v3)/4

Se il triangolo è rettangolo, cioè uno dei suoi angoli è pari a 90°, e i cateti che lo compongono sono cateti, il terzo lato è l'ipotenusa. In questo caso piazzaè uguale al prodotto delle gambe diviso per due.
S=ab/2

Per trovare piazza triangolo, puoi utilizzare una delle tante formule. Scegli una formula in base ai dati già noti.

Ne avrai bisogno

• conoscenza delle formule per trovare l'area di un triangolo

Istruzioni

Se conosci la dimensione di uno dei lati e il valore dell'altezza abbassata su questo lato dall'angolo opposto ad esso, puoi trovare l'area utilizzando quanto segue: S = a*h/2, dove S è l'area del triangolo, a è uno dei lati del triangolo e h è l'altezza del lato a.

Esiste un metodo noto per determinare l'area di un triangolo se si conoscono i suoi tre lati. È la formula di Erone. Per semplificarne la registrazione si introduce un valore intermedio - semiperimetro: p = (a+b+c)/2, dove a, b, c - . Allora la formula di Erone è la seguente: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ esponenziazione.

Supponiamo che tu conosca uno dei lati di un triangolo e tre angoli. Quindi è facile trovare l'area del triangolo: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), dove β è l'angolo opposto al lato a, e α e γ sono gli angoli adiacenti al lato.

Video sull'argomento

notare che

Il massimo formula generale, che è adatta a tutti i casi è la formula di Erone.

Fonti:

Suggerimento 3: come trovare l'area di un triangolo basato su tre lati

Trovare l'area di un triangolo è uno dei problemi più comuni nella planimetria scolastica. Conoscere i tre lati di un triangolo è sufficiente per determinare l'area di qualsiasi triangolo. In casi particolari di triangoli equilateri è sufficiente conoscere rispettivamente la lunghezza di due e di un lato.

Ne avrai bisogno

• lunghezze dei lati dei triangoli, formula di Erone, teorema del coseno

Istruzioni

La formula di Heron per l'area di un triangolo è la seguente: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Se scriviamo il semiperimetro p, otteniamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (quadrato((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Puoi ricavare una formula per l'area di un triangolo da considerazioni, ad esempio, applicando il teorema del coseno.

Per il teorema del coseno, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Usando le notazioni introdotte, queste possono essere scritte anche nella forma: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Quindi, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

L'area di un triangolo si trova anche con la formula S = a*c*sin(ABC)/2 utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro. Il seno dell'angolo ABC può essere espresso in termini di esso utilizzando la base identità trigonometrica: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Sostituendo il seno nella formula per l'area e scrivendolo, puoi arrivare alla formula per l'area del triangolo ABC.

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Da eseguire lavori di riparazione potrebbe essere necessario misurare piazza muri È più facile da calcolare quantità richiesta vernice o carta da parati. Per le misurazioni, è meglio utilizzare un metro a nastro o un metro a nastro. Le misurazioni dovrebbero essere effettuate dopo muri sono stati livellati.

Ne avrai bisogno

• -roulette;
• -scala.

Istruzioni

Contare piazza pareti, è necessario conoscere l'altezza esatta dei soffitti e misurare anche la lunghezza lungo il pavimento. Questo viene fatto come segue: prendi un centimetro e adagialo sul battiscopa. Di solito un centimetro non è sufficiente per tutta la lunghezza, quindi fissatelo nell'angolo, quindi svolgetelo alla massima lunghezza. A questo punto tracciate un segno con una matita, annotate il risultato ottenuto ed effettuate ulteriori misurazioni allo stesso modo, partendo dall'ultimo punto di misurazione.

I soffitti standard sono 2 metri e 80 centimetri, 3 metri e 3 metri e 20 centimetri, a seconda della casa. Se la casa è stata costruita prima degli anni '50, molto probabilmente l'altezza effettiva è leggermente inferiore a quella indicata. Se stai calcolando piazza per i lavori di riparazione, una piccola fornitura non farà male: considerare in base allo standard. Se hai ancora bisogno di conoscere l'altezza reale, prendi le misure. Il principio è simile alla misurazione della lunghezza, ma avrai bisogno di una scala a pioli.

Moltiplica gli indicatori risultanti: questo è piazza il tuo muri. È vero, quando si dipinge o si dipinge è necessario sottrarre piazza aperture di porte e finestre. Per fare questo, stendi un centimetro lungo l'apertura. Se stiamo parlando di una porta che cambierai successivamente, procedi con la rimozione del telaio della porta, tenendo conto solo piazza direttamente all'apertura stessa. L'area della finestra è calcolata lungo il perimetro del suo telaio. Dopo piazza finestra e porta calcolate, sottrarre il risultato dall'area totale risultante della stanza.

Tieni presente che due persone dovrebbero misurare la lunghezza e la larghezza della stanza, questo rende più facile fissare un centimetro o un metro a nastro e, di conseguenza, ottenere di più risultato esatto. Prendi la stessa misura più volte per assicurarti che i numeri ottenuti siano accurati.

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Trovare il volume di un triangolo è davvero un compito non banale. Il fatto è che un triangolo è una figura bidimensionale, cioè giace interamente su un piano, il che significa che semplicemente non ha volume. Naturalmente non è possibile trovare qualcosa che non esiste. Ma non molliamo! Possiamo accettare il seguente presupposto: il volume di una figura bidimensionale è la sua area. Cercheremo l'area del triangolo.

Ne avrai bisogno

• foglio di carta, matita, righello, calcolatrice

Istruzioni

Disegna su un pezzo di carta usando un righello e una matita. Esaminando attentamente il triangolo, puoi assicurarti che in realtà non ha un triangolo, poiché è disegnato su un piano. Etichetta i lati del triangolo: lascia che un lato sia il lato "a", l'altro lato "b" e il terzo lato "c". Etichetta i vertici del triangolo con le lettere "A", "B" e "C".

Misura qualsiasi lato del triangolo con un righello e annota il risultato. Successivamente, ripristinare una perpendicolare al lato misurato dal vertice opposto ad esso, tale perpendicolare sarà l'altezza del triangolo. Nel caso rappresentato in figura, la perpendicolare "h" viene ripristinata al lato "c" dal vertice "A". Misura l'altezza risultante con un righello e annota il risultato della misurazione.

Potrebbe essere difficile per te ripristinare la perpendicolare esatta. In questo caso dovresti usare una formula diversa. Misura tutti i lati del triangolo con un righello. Successivamente, calcola il semiperimetro del triangolo “p” sommando le lunghezze risultanti dei lati e dividendo la loro somma a metà. Avendo a disposizione il valore del semiperimetro, puoi utilizzare la formula di Erone. Per fare questo è necessario estrarre radice quadrata dal seguente: p(p-a)(p-b)(p-c).

Hai ottenuto l'area richiesta del triangolo. Il problema di trovare il volume di un triangolo non è stato risolto ma, come accennato in precedenza, il volume no. Puoi trovare un volume che è essenzialmente un triangolo nel mondo tridimensionale. Se immaginiamo che il nostro triangolo originale sia diventato una piramide tridimensionale, il volume di tale piramide sarà il prodotto della lunghezza della sua base per l'area del triangolo che abbiamo ottenuto.

notare che

Quanto più attentamente misuri, tanto più accurati saranno i tuoi calcoli.

Fonti:

• Calcolatrice "Tutto a tutto" - un portale per valori di riferimento
• volume del triangolo nel 2019

I tre punti che definiscono univocamente un triangolo nel sistema di coordinate cartesiane sono i suoi vertici. Conoscendo la loro posizione rispetto a ciascuno degli assi delle coordinate, puoi calcolare qualsiasi parametro di questa figura piatta, compresi quelli limitati dal suo perimetro piazza. Questo può essere fatto in diversi modi.

Istruzioni

Utilizza la formula di Erone per calcolare l'area triangolo. Implica le dimensioni dei tre lati della figura, quindi inizia i calcoli con . La lunghezza di ciascun lato deve essere uguale alla radice della somma dei quadrati delle lunghezze delle sue proiezioni sugli assi coordinati. Se indichiamo le coordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) e C(X₃,Y₃,Z₃), le lunghezze dei loro lati possono essere espresse come segue: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Per semplificare i calcoli, introdurre una variabile ausiliaria: semiperimetro (P). Dal fatto che questa è la metà della somma delle lunghezze di tutti i lati: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).