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Applicazione di costruzioni geometriche. Principali compiti per la costruzione

La capacità di dividere qualsiasi angolo con una bisettrice è necessaria non solo per ottenere una “A” in matematica. Questa conoscenza sarà molto utile per costruttori, designer, geometri e sarte. Nella vita bisogna saper dividere molte cose a metà. Tutti a scuola...

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La coniugazione è una transizione graduale da una riga all'altra. I coniugati sono molto spesso utilizzati in una varietà di disegni quando si collegano angoli, cerchi, archi e linee rette. Costruire una sezione è un compito piuttosto difficile, per il quale devi...

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Una mediana è un segmento tracciato da un certo angolo di un poligono a uno dei suoi lati in modo tale che il punto di intersezione della mediana con il lato sia il punto medio di questo lato. Avrai bisogno di - un compasso - un righello - una matita Istruzioni 1 Lascia che il dato...

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Istruzioni

Un angolo è formato da due rette che partono da un punto. Questo punto sarà chiamato vertice dell'angolo e le linee saranno i lati dell'angolo.
Usa tre lettere per rappresentare gli angoli: una in alto, due ai lati. L'angolo viene nominato iniziando con la lettera che sta su un lato, poi viene nominata la lettera che sta al vertice e poi la lettera sull'altro lato. Usa altri modi per indicare gli angoli se preferisci diversamente. A volte viene nominata solo una lettera, che è in alto. E puoi denotare gli angoli con lettere greche, ad esempio α, β, γ.
Ci sono situazioni in cui è necessario disegnare un angolo in modo che sia uguale all'angolo già dato. Se non è possibile utilizzare un goniometro durante la costruzione di un disegno, puoi farlo solo con un righello e un compasso. Diciamo che su una retta segnata nel disegno con le lettere MN, bisogna costruire nel punto K un angolo in modo che sia uguale all'angolo B. Cioè dal punto K bisogna tracciare una retta che formi un angolo con la linea MN che sarà uguale all'angolo B.
Per prima cosa, segna un punto su ciascun lato di un dato angolo, ad esempio i punti A e C, quindi collega i punti C e A con una linea retta. Ottieni il triangolo ABC.
Ora costruisci lo stesso triangolo sulla retta MN in modo che il suo vertice B sia sulla retta nel punto K. Usa la regola per costruire un triangolo su tre lati. Lasciare il segmento KL dal punto K. Deve essere uguale al segmento BC. Ottieni il punto L.
Dal punto K tracciare una circonferenza di raggio pari al segmento BA. Da L tracciare una circonferenza di raggio CA. Collega il punto risultante (P) di intersezione di due cerchi con K. Ottieni il triangolo KPL, che sarà uguale al triangolo ABC. In questo modo otterrai l'angolo K. Sarà uguale all'angolo B. Per rendere più comoda e veloce questa costruzione, parti dal vertice B segmenti uguali, utilizzando un'apertura del compasso, senza muovere le gambe, descrivi un cerchio con lo stesso raggio dal punto K.

Per costruire qualsiasi disegno o eseguire marcature planari di un pezzo prima di elaborarlo, è necessario eseguire una serie di operazioni grafiche: costruzioni geometriche.

Nella fig. La Figura 2.1 mostra una parte piatta: un piatto. Per disegnarne il disegno o segnare un contorno su un nastro di acciaio per la successiva lavorazione, è necessario farlo sul piano di costruzione, i principali sono numerati con numeri scritti sulle frecce del puntatore. In numeri 1 indica la costruzione di linee tra loro perpendicolari, che deve essere eseguita in più punti, con il numero 2 – disegnare linee parallele, in numeri 3 – accoppiando queste linee parallele con un arco di un certo raggio, un numero 4 – coniugazione di un arco e un arco rettilineo di un dato raggio, che in questo caso è 10 mm, numero 5 – coniugazione di due archi con un arco di un certo raggio.

Come risultato dell'esecuzione di queste e altre costruzioni geometriche, verrà disegnato il contorno della parte.

Costruzione geometricaè un metodo per risolvere un problema in cui la risposta viene ottenuta graficamente senza alcun calcolo. Le costruzioni vengono eseguite con strumenti di disegno (o marcatura) con la massima attenzione possibile, poiché da questo dipende l'accuratezza della soluzione.

Le linee specificate dalle condizioni del problema, così come le costruzioni, sono rese solide e sottili, e i risultati della costruzione sono solidi e principali.

Quando inizi a realizzare un disegno o una marcatura, devi prima determinare quale delle costruzioni geometriche deve essere applicata in questo caso, ad es. analizzare la composizione grafica dell'immagine.

Riso. 2.1.

Analisi della composizione grafica dell'immagine chiamato il processo di divisione dell'esecuzione di un disegno in operazioni grafiche separate.

Individuare le operazioni necessarie per costruire un disegno facilita la scelta della modalità di esecuzione. Se devi disegnare, ad esempio, la piastra mostrata in Fig. 2.1, allora l'analisi del contorno della sua immagine ci porta alla conclusione che dobbiamo applicare le seguenti costruzioni geometriche: in cinque casi, tracciare linee centrali reciprocamente perpendicolari (figura 1 in un cerchio), in quattro casi disegna linee parallele(numero 2 ), disegnare due cerchi concentrici (0 50 e 70 mm), in sei casi costruire accoppiamenti di due rette parallele con archi di dato raggio (figura 3 ), e in quattro - l'accoppiamento di un arco e di un arco rettilineo di raggio 10 mm (figura 4 ), in quattro casi, costruire una coppia di due archi con un arco di raggio 5 mm (numero 5 in un cerchio).

Per eseguire queste costruzioni, è necessario ricordare o ripetere dal libro di testo le regole per disegnarle.

In questo caso, è consigliabile scegliere un modo razionale per completare il disegno. Scegliere un modo razionale per risolvere un problema riduce il tempo dedicato al lavoro. Ad esempio, quando si costruisce un triangolo equilatero inscritto in un cerchio, un metodo più razionale è costruirlo utilizzando una traversa e un quadrato con un angolo di 60° senza prima determinare i vertici del triangolo (vedi Fig. 2.2, un, b). Un modo meno razionale per risolvere lo stesso problema è utilizzare un compasso e una traversa con determinazione preliminare dei vertici del triangolo (vedi Fig. 2.2, V).

Dividere segmenti e costruire angoli

Costruzione di angoli retti

È razionale costruire un angolo di 90° utilizzando una traversa e una squadra (Fig. 2.2). Per fare ciò è sufficiente tracciare una linea retta e restituirle una perpendicolare utilizzando una squadra (Fig. 2.2, UN). È razionale costruire una perpendicolare al segmento inclinato spostandosi (Fig. 2.2, B) o girando (Fig. 2.2, V) piazza.

Riso. 2.2.

Costruzione degli angoli ottusi e acuti

I metodi razionali per costruire angoli di 120, 30 e 150, 60 e 120, 15 e 165, 75 e 105,45 e 135° sono mostrati in Fig. 2.3, che mostra le posizioni dei quadrati per la costruzione di questi angoli.

Riso. 2.3.

Dividere un angolo in due parti uguali

Dal vertice dell'angolo, descrivi un arco di cerchio di raggio arbitrario (Fig. 2.4).

Riso. 2.4.

Dai punti ΜηΝ intersezione di un arco con i lati di un angolo con una soluzione compasso maggiore della metà dell'arco ΜΝ, crearne due che si intersecano in un punto UN serif.

Attraverso il punto ricevuto UN e il vertice dell'angolo traccia una linea retta (la bisettrice dell'angolo).

Dividere un angolo retto in tre parti uguali

Dall'alto angolo retto descrivi un arco di cerchio di raggio arbitrario (Fig. 2.5). Senza modificare l'angolo del compasso, realizzare delle tacche dai punti di intersezione dell'arco con i lati dell'angolo. Attraverso i punti ricevuti M E Ν e il vertice dell'angolo sono disegnati da linee rette.

Riso. 2.5.

In questo modo solo gli angoli retti possono essere divisi in tre parti uguali.

Costruire un angolo uguale ad uno dato. Dall'alto DI dato un angolo, disegna un arco di raggio arbitrario R, intersecano i lati dell'angolo nei punti M E N(Fig. 2.6, UN). Quindi disegna un segmento dritto, che servirà come uno dei lati del nuovo angolo. Dal punto DI 1 su questa retta con lo stesso raggio R traccia un arco per ottenere un punto Ν 1 (figura 2.6, B). Da questo punto, descrivi un arco di raggio R 1, uguale all'accordo MN. L'intersezione degli archi dà un punto Μ 1, che è collegata da una linea retta al vertice del nuovo angolo (Fig. 2.6, B).

Riso. 2.6.

Dividere un segmento di linea in due parti uguali. Gli archi vengono tracciati dalle estremità di un dato segmento con un'apertura del compasso maggiore della metà della sua lunghezza (Fig. 2.7). Retta che collega i punti ottenuti M E Ν, divide un segmento in due parti uguali ed è ad esso perpendicolare.

Riso. 2.7.

Costruzione di una perpendicolare all'estremità di un segmento di retta. Da un punto arbitrario O preso sopra il segmento AB, descrivere una circonferenza passante per un punto UN(fine di un segmento di linea) e interseca la linea nel punto M(Fig. 2.8).

Riso. 2.8.

Attraverso il punto ricevuto M e centro DI i cerchi disegnano una linea retta finché non incontrano il lato opposto del cerchio in un punto N. Punto e basta N collega una linea retta ad un punto UN.

Dividere un segmento di linea in un numero qualsiasi di parti uguali. Da qualsiasi estremità di un segmento, ad esempio da un punto UN, tracciare una linea retta ad angolo acuto rispetto ad essa. Su di esso, con un compasso, si sdraiarono il numero giusto segmenti uguali di dimensione arbitraria (Fig. 2.9). L'ultimo punto è collegato alla seconda estremità del segmento dato (al punto IN). Da tutti i punti di divisione, utilizzando un righello e una squadra, traccia delle linee rette parallele alla linea retta 9V, che dividerà il segmento AB in un dato numero di parti uguali.

Riso. 2.9.

Nella fig. La Figura 2.10 mostra come applicare questa costruzione per contrassegnare i centri dei fori equidistanti su una linea retta.

Spesso è necessario disegnare (“costruire”) un angolo che sia uguale all'angolo dato, e la costruzione deve essere fatta senza l'ausilio di un goniometro, ma utilizzando solo un compasso e un righello. Sapendo come costruire un triangolo su tre lati, possiamo risolvere questo problema. Lascia che sia su una linea retta MN(Fig. 60 e 61) è necessario costruire nel punto K angolo, uguale all'angolo B. Ciò significa che è necessario dal punto K tracciare una linea retta con un componente MN angolo pari a B.

Per fare ciò, ad esempio, segna un punto su ciascun lato di un determinato angolo UN E CON e connettersi UN E CON linea retta. Otteniamo un triangolo ABC. Costruiamo ora su una linea retta MN questo triangolo in modo che il suo vertice IN era al punto A: allora in questo punto verrà costruito un angolo uguale all'angolo IN. Costruisci un triangolo utilizzando tre lati VS, Virginia E AC sappiamo come: rimandiamo (Fig. 62) dal punto A segmento Kuala Lumpur, pari Sole; otteniamo un punto l; in giro K, poiché vicino al centro, descriviamo un cerchio con un raggio VA e dintorni L- raggio SA. Punto e basta R colleghiamo le intersezioni dei cerchi con A e Z, otteniamo un triangolo KPL, uguale ad un triangolo ABC; c'è un angolo dentro A= ug. IN.

Questa costruzione viene eseguita più velocemente e più comodamente se dall'alto IN stendere segmenti uguali (con una dissoluzione del compasso) e, senza muovere le gambe, descrivere un cerchio attorno al punto con lo stesso raggio A, come vicino al centro.

Come dividere un angolo a metà

Supponiamo di dover dividere un angolo UN(Fig. 63) in due parti uguali utilizzando compasso e riga, senza l'ausilio di un goniometro. Ti mostreremo come farlo.

Dall'alto UN metti segmenti uguali sui lati dell'angolo AB E AC(Diagramma 64; questo si ottiene semplicemente sciogliendo la bussola). Quindi posizioniamo la punta del compasso nei punti IN E CON e descrivere raggi uguali archi che si intersecano in un punto D. Collegamento diretto UN e D divide l'angolo UN a metà.

Spieghiamo perché è così. Se il punto D connettersi con IN e C (Fig. 65), si ottengono due triangoli ADC E ADB, sì che hanno un lato comune A.D; lato AB uguale al lato AC, UN ВD uguale a CD. I triangoli sono uguali su tre lati, il che significa che gli angoli sono uguali. CATTIVO E DAC, giacenti su lati uguali opposti ВD E CD. Quindi, dritto A.D divide l'angolo VOI a metà.

Applicazioni

12. Costruisci un angolo di 45° senza goniometro. A 22°30’. A 67°30'.

Soluzione: Dividendo l'angolo retto a metà, otteniamo un angolo di 45°. Dividendo a metà l’angolo di 45° otteniamo un angolo di 22°30’. Costruendo la somma degli angoli 45° + 22°30’ otteniamo un angolo di 67°30’.

Come costruire un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

Supponiamo che tu debba scoprire sul terreno la distanza tra due pietre miliari UN E IN(Devil 66), separati da una palude invalicabile.

Come farlo?

Possiamo farlo: scegliere un punto lontano dalla palude CON, da dove sono visibili entrambe le pietre miliari e si possono misurare le distanze AC E Sole. Angolo CON misuriamo utilizzando uno speciale dispositivo goniometrico (chiamato str o l b i e). Secondo questi dati, cioè secondo i lati misurati AC E Sole e angolo CON tra loro, costruiamo un triangolo ABC da qualche parte in una posizione conveniente come segue. Ad esempio, dopo aver misurato un lato noto in linea retta (Fig. 67). AC, costruisci con esso al punto CON angolo CON; dall'altro lato di questo angolo si misura il lato noto Sole. finisce partiti conosciuti, cioè punti UN E IN collegati da una linea retta. Il risultato è un triangolo in cui due lati e l'angolo compreso tra loro hanno le dimensioni specificate in anticipo.

Dal metodo di costruzione è chiaro che solo un triangolo può essere costruito utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro. pertanto, se due lati di un triangolo sono uguali a due lati di un altro e gli angoli tra questi lati sono uguali, allora tali triangoli possono essere sovrapposti l'uno all'altro da tutti i punti, cioè anche il loro terzo lato e gli altri angoli devono essere uguali. Ciò significa che l'uguaglianza di due lati dei triangoli e l'angolo tra loro possono servire come segno della completa uguaglianza di questi triangoli. Insomma:

I triangoli sono uguali su entrambi i lati e formano un angolo tra di loro.

Nei compiti di costruzione considereremo la costruzione di una figura geometrica, che può essere eseguita utilizzando riga e compasso.

Usando un righello puoi:

linea retta arbitraria;

una linea retta arbitraria passante per un dato punto;

una retta passante per due punti dati.

Usando una bussola da cui puoi descrivere di questo centro cerchio di raggio dato.

Usando un compasso puoi tracciare un segmento su una determinata linea da un dato punto.

Consideriamo i principali compiti di costruzione.

Compito 1. Costruisci un triangolo con i lati dati a, b, c (Fig. 1).

Soluzione. Usando un righello, traccia una linea retta arbitraria e prendi un punto arbitrario B su di essa. Usando l'apertura del compasso uguale ad a, descriviamo un cerchio con centro B e raggio a. Sia C il punto di intersezione con la retta. Con un'apertura del compasso uguale a c, descriviamo un cerchio dal centro B, e con un'apertura del compasso uguale a b, descriviamo un cerchio dal centro C. Sia A il punto di intersezione di questi cerchi. Il triangolo ABC ha i lati uguali ad a, b, c.

Commento. Affinché tre segmenti rettilinei servano da lati di un triangolo, è necessario che il maggiore di essi sia minore della somma degli altri due (e< b + с).

Compito 2.

Soluzione. Questo angolo con vertice A e il raggio OM sono mostrati in Figura 2.

Disegniamo un cerchio arbitrario con centro nel vertice A dell'angolo dato. Sia B e C i punti di intersezione del cerchio con i lati dell'angolo (Fig. 3, a). Con il raggio AB disegniamo un cerchio con il centro nel punto O, il punto iniziale di questo raggio (Fig. 3, b). Indichiamo il punto di intersezione di questo cerchio con questo raggio come C 1 . Descriviamo una circonferenza con centro C 1 e raggio BC. Il punto B 1 dell'intersezione di due cerchi si trova sul lato dell'angolo desiderato. Ciò segue dall'uguaglianza Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (il terzo segno di uguaglianza dei triangoli).

Compito 3. Costruisci la bisettrice di questo angolo (Fig. 4).

Soluzione. Dal vertice A di un dato angolo, come dal centro, tracciamo un cerchio di raggio arbitrario. Siano B e C i punti di intersezione con i lati dell'angolo. Dai punti B e C descriviamo cerchi con lo stesso raggio. Sia D il loro punto di intersezione, diverso da A. Il raggio AD divide in due l'angolo A. Ciò deriva dall'uguaglianza Δ ABD = Δ ACD (il terzo criterio per l'uguaglianza dei triangoli).

Compito 4. Disegna una bisettrice perpendicolare a questo segmento (Fig. 5).

Soluzione. Usando un'apertura arbitraria ma identica della bussola (maggiore di 1/2 AB), descriviamo due archi con centri nei punti A e B, che si intersecheranno in alcuni punti C e D. La linea retta CD sarà la perpendicolare desiderata. Infatti, come si vede dalla costruzione, ciascuno dei punti C e D è equidistante da A e B; pertanto, questi punti devono trovarsi sulla bisettrice perpendicolare al segmento AB.

Compito 5. Dividi questo segmento a metà. Si risolve allo stesso modo del problema 4 (vedi Fig. 5).

Compito 6. Per un punto dato tracciare una linea perpendicolare alla retta data.

Soluzione. I casi possibili sono due:

1) un dato punto O giace su una data retta a (Fig. 6).

Dal punto O disegniamo un cerchio con un raggio arbitrario che interseca la retta a nei punti A e B. Dai punti A e B disegniamo cerchi con lo stesso raggio. Sia O 1 il punto della loro intersezione, diverso da O. Otteniamo OO 1 ⊥ AB. Infatti i punti O e O 1 sono equidistanti dagli estremi del segmento AB e, quindi, giacciono sulla bisettrice perpendicolare a tale segmento.