Rumah / Masalah wanita/ Rumus trigonometri, apakah sama dengan sinus. Jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus: terbitan formula, contoh

Rumus trigonometri, apakah sama dengan sinus. Jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus: terbitan formula, contoh

Kosinus hasil tambah dan beza dua sudut

Dalam bahagian ini dua formula berikut akan dibuktikan:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Kosinus hasil tambah (beza) dua sudut adalah sama dengan hasil darab kosinus sudut-sudut ini tolak (tambah) hasil darab sinus sudut-sudut ini.

Ia akan menjadi lebih mudah bagi kita untuk memulakan dengan bukti formula (2). Untuk kesederhanaan persembahan, mari kita anggap dahulu bahawa sudut α Dan β memenuhi syarat berikut:

1) setiap sudut ini bukan negatif dan kurang 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Biarkan bahagian positif paksi 0x menjadi sisi permulaan sepunya bagi sudut α Dan β .

Kami menandakan sisi akhir sudut ini dengan 0A dan 0B, masing-masing. Jelas sekali sudutnya α - β boleh dianggap sebagai sudut di mana rasuk 0B perlu diputar di sekitar titik 0 lawan jam supaya arahnya bertepatan dengan arah rasuk 0A.

Pada sinar 0A dan 0B kita menandakan titik M dan N, terletak pada jarak 1 dari asal koordinat 0, supaya 0M = 0N = 1.

Dalam sistem koordinat x0y, titik M mempunyai koordinat ( cos α, sin α), dan titik N ialah koordinat ( cos β, sin β). Oleh itu, kuasa dua jarak antara mereka ialah:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Dalam pengiraan kami, kami menggunakan identiti

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Sekarang pertimbangkan satu lagi sistem koordinat B0C, yang diperoleh dengan memutarkan paksi 0x dan 0y mengelilingi titik 0 lawan jam mengikut sudut β .

Dalam sistem koordinat ini, titik M mempunyai koordinat (cos ( α - β ), dosa ( α - β )), dan titik N ialah koordinat (1,0). Oleh itu, kuasa dua jarak antara mereka ialah:

d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ sin 2 (α - β) = 2 .

Tetapi jarak antara titik M dan N tidak bergantung pada sistem koordinat mana kita sedang mempertimbangkan titik-titik ini berhubung dengannya. sebab tu

d 1 2 = d 2 2

2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .

Di sinilah formula (2) mengikuti.

Sekarang kita harus ingat dua sekatan yang kita kenakan untuk kesederhanaan persembahan pada sudut α Dan β .

Keperluan bahawa setiap sudut α Dan β bukan negatif, tidak begitu ketara. Lagipun, pada mana-mana sudut ini anda boleh menambah sudut yang merupakan gandaan 2, yang tidak akan menjejaskan kesahihan formula (2). Dengan cara yang sama, daripada setiap sudut ini anda boleh menolak sudut yang merupakan gandaan 2π. Oleh itu kita boleh mengandaikan bahawa 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Keadaan itu juga ternyata tidak penting α > β . Sesungguhnya, jika α < β , Itu β >α ; oleh itu, diberi pariti fungsi cos X , kita dapat:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

yang pada asasnya bertepatan dengan formula (2). Jadi formulanya

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

benar untuk semua sudut α Dan β . Khususnya, menggantikan di dalamnya β pada - β dan memandangkan fungsi itu cosX adalah genap, dan fungsinya dosaX ganjil, kita dapat:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

= cos α cos β - sin α sin β,

yang membuktikan formula (1).

Jadi, formula (1) dan (2) terbukti.

Contoh.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =

2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Senaman

1 . Kira tanpa menggunakan jadual trigonometri:

a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;

b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;

c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;

d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;

e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;

e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .

2.Permudahkan ungkapan:

a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .

b). cos (36° + α ) cos (24° - α ) + dosa (36° + α ) dosa ( α - 24°).

V). dosa(π/4 - α ) dosa (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )

d) cos 2 α + tg α dosa 2 α .

3 . Kira :

a) cos(α - β), Jika

cos α = - 2 / 5 , dosa β = - 5 / 13 ;

90°< α < 180°, 180° < β < 270°;

b) cos ( α + π / 6), jika cos α = 0,6;

3π/2< α < 2π.

4 . Cari cos(α + β) dan cos (α - β) ,jika diketahui dosa itu α = 7 / 25, cos β = - 5 / 13 dan kedua-dua sudut ( α Dan β ) berakhir pada suku yang sama.

5 .Kira:

A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]

b). cos [ arcsin 1 / 3 - arccos (- 2 / 3)] .

V). cos [ arctan 1 / 2 + arccos (- 2) ]

Saya tidak akan cuba meyakinkan anda untuk tidak menulis helaian curang. Tulis! Termasuk helaian tipu pada trigonometri. Kemudian saya bercadang untuk menerangkan mengapa helaian cheat diperlukan dan mengapa helaian cheat berguna. Dan inilah maklumat tentang bagaimana untuk tidak belajar, tetapi untuk mengingati beberapa formula trigonometri. Jadi - trigonometri tanpa helaian tipu Kami menggunakan persatuan untuk menghafal.

1. Formula tambahan:

Kosinus sentiasa "datang berpasangan": kosinus-kosinus, sinus-sinus. Dan satu perkara lagi: kosinus adalah "tidak mencukupi". "Semuanya tidak betul" untuk mereka, jadi mereka menukar tanda: "-" kepada "+", dan sebaliknya.

Sinus - "campuran": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formula jumlah dan perbezaan:

kosinus sentiasa "datang berpasangan". Dengan menambah dua kosinus - "kolobok", kita mendapat sepasang kosinus - "koloboks". Dan dengan menolak, kita pasti tidak akan mendapat sebarang kolobok. Kami mendapat beberapa sinus. Juga dengan tolak di hadapan.

Sinus - "campuran" :

3. Formula untuk menukar produk kepada jumlah dan perbezaan.

Bilakah kita mendapat pasangan kosinus? Apabila kita menambah kosinus. sebab tu

Bilakah kita mendapat beberapa sinus? Apabila menolak kosinus. Dari sini:

"Campuran" diperolehi apabila menambah dan menolak sinus. Apa yang lebih menyeronokkan: menambah atau menolak? Betul, lipat. Dan untuk formula mereka mengambil tambahan:

Dalam formula pertama dan ketiga, jumlahnya adalah dalam kurungan. Menyusun semula tempat syarat tidak mengubah jumlahnya. Perintah itu penting hanya untuk formula kedua. Tetapi, untuk tidak keliru, untuk memudahkan mengingati, dalam ketiga-tiga formula dalam kurungan pertama kita mengambil perbezaan

dan kedua - jumlah

Helaian tipu dalam poket anda memberi anda ketenangan fikiran: jika anda terlupa formula, anda boleh menyalinnya. Dan ia memberi anda keyakinan: jika anda gagal menggunakan helaian tipu, anda boleh mengingati formula dengan mudah.

Hubungan antara fungsi trigonometri asas - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan kerana terdapat banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini menerangkan banyaknya formula trigonometri. Sesetengah formula menyambungkan fungsi trigonometri sudut yang sama, yang lain - fungsi sudut berbilang, yang lain - membolehkan anda mengurangkan darjah, keempat - menyatakan semua fungsi melalui tangen sudut separuh, dsb.

Dalam artikel ini kami akan menyenaraikan mengikut susunan semua formula trigonometri asas, yang mencukupi untuk menyelesaikan sebahagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan hafalan dan penggunaan, kami akan mengumpulkannya mengikut tujuan dan memasukkannya ke dalam jadual.

Navigasi halaman.

Identiti asas trigonometri

Identiti asas trigonometri mentakrifkan hubungan antara sinus, kosinus, tangen dan kotangen bagi satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen, serta konsep bulatan unit. Mereka membenarkan anda untuk menyatakan satu fungsi trigonometri melalui mana-mana yang lain.

Untuk penerangan terperinci tentang formula trigonometri ini, terbitan dan contoh penggunaannya, lihat artikel.

Formula pengurangan

Formula pengurangan ikut daripada sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, iaitu, ia mencerminkan sifat berkala fungsi trigonometri, sifat simetri, serta sifat anjakan mengikut sudut yang diberi. Formula trigonometri ini membolehkan anda beralih daripada bekerja dengan sudut sewenang-wenang kepada bekerja dengan sudut antara sifar hingga 90 darjah.

Rasional untuk formula ini, peraturan mnemonik untuk menghafalnya dan contoh aplikasinya boleh dikaji dalam artikel.

Formula tambahan

Formula penambahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri hasil tambah atau beza dua sudut dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi sudut tersebut. Rumus ini berfungsi sebagai asas untuk mendapatkan formula trigonometri berikut.

Formula untuk double, triple, dsb. sudut

Formula untuk double, triple, dsb. sudut (ia juga dipanggil formula berbilang sudut) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi dua, tiga, dsb. sudut () dinyatakan dalam sebutan fungsi trigonometri bagi satu sudut. Derivasi mereka adalah berdasarkan formula penambahan.

Maklumat yang lebih terperinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dsb. sudut

Formula separuh sudut

Formula separuh sudut tunjukkan bagaimana fungsi trigonometri bagi separuh sudut dinyatakan dalam sebutan kosinus bagi sudut keseluruhan. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut berganda.

Kesimpulan dan contoh aplikasi mereka boleh didapati dalam artikel.

Formula pengurangan darjah

Formula trigonometri untuk mengurangkan darjah direka untuk memudahkan peralihan daripada kuasa semula jadi fungsi trigonometri kepada sinus dan kosinus dalam darjah pertama, tetapi berbilang sudut. Dalam erti kata lain, ia membolehkan anda mengurangkan kuasa fungsi trigonometri kepada yang pertama.

Formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri

Tujuan utama formula untuk jumlah dan perbezaan fungsi trigonometri adalah untuk pergi ke hasil darab fungsi, yang sangat berguna apabila memudahkan ungkapan trigonometri. Formula ini juga digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, kerana ia membolehkan anda memfaktorkan jumlah dan perbezaan sinus dan kosinus.

Formula untuk hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus

Peralihan daripada hasil darab fungsi trigonometri kepada jumlah atau perbezaan dijalankan menggunakan formula hasil darab sinus, kosinus dan sinus dengan kosinus.

Bashmakov M. I. Algebra dan permulaan analisis: Buku teks. untuk gred 10-11. purata sekolah - ed ke-3. - M.: Pendidikan, 1993. - 351 p.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra dan permulaan analisis: Proc. untuk gred 10-11. pendidikan am institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn dan lain-lain; Ed. A. N. Kolmogorov - ed ke-14 - M.: Pendidikan, 2004. - 384 ms. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Hak cipta oleh pelajar pandai

Semua hak terpelihara.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tiada bahagian dari www.site, termasuk bahan dalaman dan reka bentuk luaran, tidak boleh diterbitkan semula dalam sebarang bentuk atau digunakan tanpa kebenaran bertulis terlebih dahulu daripada pemegang hak cipta.

Dalam artikel ini kita akan bercakap tentang penggantian trigonometri sejagat. Ia melibatkan menyatakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen mana-mana sudut melalui tangen separuh sudut. Lebih-lebih lagi, penggantian sedemikian dilakukan secara rasional, iaitu, tanpa akar.

Pertama, kita akan menulis formula yang menyatakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari segi tangen setengah sudut. Seterusnya kami akan menunjukkan terbitan formula ini. Kesimpulannya, mari kita lihat beberapa contoh penggunaan penggantian trigonometri universal.

Navigasi halaman.

Sinus, kosinus, tangen dan kotangen melalui tangen separuh sudut

Mula-mula, mari kita tulis empat formula yang menyatakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut melalui tangen separuh sudut.

Formula yang ditunjukkan adalah sah untuk semua sudut di mana tangen dan kotangen yang termasuk di dalamnya ditakrifkan:

Menerbitkan formula

Marilah kita menganalisis terbitan formula yang menyatakan sinus, kosinus, tangen dan kotangen sudut melalui tangen separuh sudut. Mari kita mulakan dengan formula sinus dan kosinus.

Mari kita wakili sinus dan kosinus menggunakan rumus sudut berganda sebagai Dan masing-masing. Sekarang ungkapan Dan kita menulisnya dalam bentuk pecahan dengan penyebut 1 sebagai Dan . Seterusnya, berdasarkan identiti trigonometri utama, kita menggantikan unit dalam penyebut dengan jumlah kuasa dua sinus dan kosinus, selepas itu kita dapat Dan . Akhir sekali, kita bahagikan pengangka dan penyebut pecahan yang terhasil dengan (nilainya berbeza daripada sifar yang disediakan ). Akibatnya, keseluruhan rangkaian tindakan kelihatan seperti ini:

Dan

Ini melengkapkan terbitan formula yang menyatakan sinus dan kosinus melalui tangen separuh sudut.

Ia kekal untuk mendapatkan formula untuk tangen dan kotangen. Sekarang, dengan mengambil kira formula yang diperolehi di atas, kedua-dua formula dan , kami segera mendapatkan formula yang menyatakan tangen dan kotangen melalui tangen separuh sudut:

Jadi, kami telah memperoleh semua formula untuk penggantian trigonometri universal.

Contoh penggunaan penggantian trigonometri universal

Mula-mula, mari kita lihat contoh penggunaan penggantian trigonometri universal apabila mengubah ungkapan.