GirişTörəmə exp x 2. Birinci sifariş onlayn törəmə
Funksiya törəməsi. Son Bələdçi (2019)
Təsəvvür edək ki, dağlıq ərazidən keçən düz yol. Yəni yuxarı-aşağı gedir, amma sağa-sola dönmür. Ox yol boyunca üfüqi və şaquli olaraq yönəldilərsə, yol xətti bəzi davamlı funksiyanın qrafikinə çox oxşar olacaq:
Ox müəyyən bir səviyyədir sıfır hündürlük, həyatda dəniz səviyyəsindən istifadə edirik.
Belə bir yolda irəlilədikcə biz də yuxarı və ya aşağı hərəkət edirik. Həmçinin deyə bilərik: arqument dəyişdikdə (absis oxu boyunca hərəkət), funksiyanın qiyməti dəyişir (ordinat oxu boyunca hərəkət). İndi yolumuzun "sıldırım"ını necə müəyyənləşdirəcəyimizi düşünək? Bu hansı dəyər ola bilər? Çox sadədir: müəyyən bir məsafədə irəliləyərkən hündürlüyün nə qədər dəyişəcəyi. Həqiqətən, yolun müxtəlif hissələrində, bir kilometr irəli (x oxu boyunca) irəliləyərək, biz yüksələcəyik və ya aşağı düşəcəyik. müxtəlif miqdarlar metr dəniz səviyyəsinə nisbətən (ordinat oxu boyunca).
Tərəqqi işarə edək (“delta x” oxuyun).
Yunan hərfi (delta) riyaziyyatda "dəyişiklik" mənasını verən prefiks kimi istifadə olunur. Yəni - bu kəmiyyət dəyişikliyidir, - dəyişiklik; onda bu nədir? Düzdür, miqyasda dəyişiklik.
Vacibdir: ifadə tək tam, bir dəyişəndir. Heç vaxt “deltanı” “x” və ya başqa hərfdən ayırmayın!
Yəni, məsələn, .
Beləliklə, biz üfüqi olaraq irəlilədik. Əgər yolun xəttini funksiyanın qrafiki ilə müqayisə etsək, onda yüksəlişi necə işarə edək? Şübhəsiz ki, . Yəni biz irəlilədikcə daha da yüksəlirik.
Dəyəri hesablamaq asandır: əgər başlanğıcda hündürlükdə idiksə və hərəkət etdikdən sonra özümüzü yüksəklikdə tapdıqsa, o zaman. Bitmə nöqtəsi başlanğıc nöqtəsindən aşağı olarsa, mənfi olacaq - bu, biz yüksələn deyil, aşağı endiyimiz deməkdir.
Tutaq ki, yolun hansısa hissəsində bir kilometr irəli gedəndə yol bir kilometr qalxır. Sonra bu yerdəki yamac bərabərdir. Bəs yol m irəliləyərkən km azalıbsa? Sonra yamac bərabərdir.
İndi bir təpənin başına baxaq. Zirvədən yarım kilometr əvvəl hissənin əvvəlini, ondan yarım kilometr sonra sonunu götürsəniz, hündürlüyün demək olar ki, eyni olduğunu görə bilərsiniz.
Yəni bizim məntiqimizə görə, belə çıxır ki, buradakı maillik demək olar ki, sıfıra bərabərdir, bu, açıq-aşkar doğru deyil. Bir neçə kilometr məsafədə çox şey dəyişə bilər. Sıldırımın daha adekvat və dəqiq qiymətləndirilməsi üçün daha kiçik sahələri nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, bir metr hərəkət edərkən hündürlüyün dəyişməsini ölçsəniz, nəticə çox daha dəqiq olacaqdır. Amma bu dəqiqlik də bizə çatmaya bilər - axı yolun ortasında dirək varsa, onu sadəcə keçə bilərik. O zaman hansı məsafəni seçməliyik? Santimetr? Millimetr? Daha azdır!
IN real həyat Məsafələri ən yaxın millimetrə qədər ölçmək kifayətdir. Amma riyaziyyatçılar həmişə mükəmməlliyə can atırlar. Buna görə də konsepsiya icad edildi sonsuz kiçik, yəni mütləq qiymət ad verə biləcəyimiz istənilən ədəddən kiçikdir. Məsələn, siz deyirsiniz: trilyonda biri! Nə qədər azdır? Və bu rəqəmi bölünürsən - və daha da az olacaq. Və s. Əgər kəmiyyətin sonsuz kiçik olduğunu yazmaq istəsək, belə yazırıq: (“x sıfıra meyllidir” oxuyuruq). Anlamaq çox vacibdir ki, bu rəqəm sıfır deyil! Amma çox yaxındır. Bu o deməkdir ki, siz onu bölə bilərsiniz.
Sonsuz kiçikin əksi olan anlayış sonsuz böyükdür (). Yəqin ki, siz bərabərsizliklər üzərində işləyərkən buna artıq rast gəlmisiniz: bu rəqəm ağlınıza gələn istənilən rəqəmdən modul olaraq böyükdür. Mümkün olan ən böyük rəqəmi tapsanız, sadəcə onu ikiyə vurun və daha da böyük rəqəm əldə edəcəksiniz. Sonsuzluq isə baş verənlərdən daha böyükdür. Əslində, sonsuz böyük və sonsuz kiçik bir-birinin tərsidir, yəni at və əksinə: at.
İndi yolumuza qayıdaq. İdeal hesablanmış yamac yolun sonsuz kiçik seqmenti üçün hesablanmış yamacdır, yəni:
Qeyd edim ki, sonsuz kiçik yerdəyişmə ilə hündürlüyün dəyişməsi də sonsuz kiçik olacaqdır. Amma sizə xatırlatım ki, sonsuz kiçik sıfıra bərabər demək deyil. Sonsuz kiçik ədədləri bir-birinə bölsəniz, kifayət qədər əldə edə bilərsiniz müntəzəm nömrə, Məsələn, . Yəni bir kiçik dəyər digərindən tam dəfələrlə böyük ola bilər.
Bütün bunlar nə üçündür? Yol, sıldırım... Biz avtomobil yürüşünə çıxmırıq, amma riyaziyyatdan dərs deyirik. Riyaziyyatda isə hər şey tam eynidir, yalnız fərqli adlanır.
Törəmə anlayışı
Funksiyanın törəməsi funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbətidir.
Tədricən riyaziyyatda dəyişiklik deyirlər. Arqumentin () ox boyu hərəkət etdikcə dəyişmə dərəcəsi deyilir arqument artımı və ox boyunca bir məsafə irəliləyərkən funksiyanın (hündürlüyün) nə qədər dəyişdiyi deyilir funksiya artımı və təyin edilir.
Deməli, funksiyanın törəməsi nə vaxta nisbətdir. Törəməni funksiya ilə eyni hərflə, yalnız yuxarı sağda əsas işarə ilə işarə edirik: və ya sadəcə. Beləliklə, bu qeydlərdən istifadə edərək törəmə düsturunu yazaq:
Yolun analoqunda olduğu kimi burada da funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur.
Törəmənin sıfıra bərabər olması mümkündürmü? Əlbəttə. Məsələn, düz üfüqi yolda sürürüksə, sıldırım sıfırdır. Və doğrudur, hündürlük heç dəyişmir. Törəmə ilə belədir: sabit funksiyanın törəməsi (sabit) sıfıra bərabərdir:
belə bir funksiyanın artımı hər hansı bir üçün sıfıra bərabər olduğundan.
Bir təpənin nümunəsini xatırlayaq. Məlum oldu ki, seqmentin uclarını təpənin əks tərəflərində elə tənzimləmək mümkün olub ki, uclarındakı hündürlük eyni olsun, yəni seqment oxa paralel olsun:
Lakin böyük seqmentlər qeyri-dəqiq ölçmə əlamətidir. Seqmentimizi özünə paralel yuxarı qaldıracağıq, sonra uzunluğu azalacaq.
Nəhayət, zirvəyə sonsuz yaxın olduğumuz zaman, seqmentin uzunluğu sonsuz kiçik olacaqdır. Ancaq eyni zamanda, oxa paralel olaraq qaldı, yəni uclarında hündürlüklər fərqi sıfıra bərabərdir (meyil etmir, lakin bərabərdir). Beləliklə, törəmə
Bunu belə başa düşmək olar: ən zirvədə dayandığımız zaman sola və ya sağa kiçik bir sürüşmə bizim boyumuzu cüzi dərəcədə dəyişir.
Sırf cəbri izahı da var: təpənin solunda funksiya artır, sağda isə azalır. Daha əvvəl öyrəndiyimiz kimi, funksiya artdıqda törəmə müsbət, azaldıqda isə mənfi olur. Ancaq rəvan, sıçrayış olmadan dəyişir (çünki yol heç bir yerdə yamacını kəskin şəkildə dəyişmir). Buna görə mənfi və müsbət dəyərlər arasında olmalıdır. Bu, funksiyanın nə artdığı, nə də azaldığı yerdə olacaq - təpə nöqtəsində.
Eyni şey nov üçün də keçərlidir (solda funksiyanın azaldığı və sağda artdığı sahə):
Artımlar haqqında bir az daha.
Beləliklə, biz arqumenti böyüklüklə dəyişdiririk. Hansı dəyərdən dəyişirik? Bu (arqument) indi nə oldu? İstənilən nöqtəni seçə bilərik və indi oradan rəqs edəcəyik.
Koordinatı olan bir nöqtəni nəzərdən keçirin. Ondakı funksiyanın dəyəri bərabərdir. Sonra eyni artımı edirik: koordinatı artırırıq. İndi arqument nədir? Çox asan: . İndi funksiyanın dəyəri nədir? Arqument hara gedirsə, funksiya da gedir: . Bəs funksiya artımı? Yeni heç nə yoxdur: bu hələ də funksiyanın dəyişdiyi məbləğdir:
Artımları tapmaq üçün məşq edin:
- Arqumentin artımının bərabər olduğu nöqtədə funksiyanın artımını tapın.
- Eyni şey bir nöqtədəki funksiyaya da aiddir.
Həll yolları:
Eyni arqument artımı ilə fərqli nöqtələrdə funksiya artımı fərqli olacaq. Bu o deməkdir ki, hər bir nöqtədə törəmə fərqlidir (bunu əvvəldə müzakirə etdik - müxtəlif nöqtələrdə yolun sıldırımlılığı fərqlidir). Buna görə də, törəmə yazarkən hansı nöqtəni göstərməliyik:
Güc funksiyası.
Güc funksiyası arqumentin müəyyən dərəcədə olduğu funksiyadır (məntiqi, elə deyilmi?).
Üstəlik - istənilən dərəcədə: .
Ən sadə hal eksponent olduqda olur:
Bir nöqtədə onun törəməsini tapaq. Törəmə tərifini xatırlayaq:
Beləliklə, arqument -dən dəyişir. Funksiyanın artımı nədir?
Artım budur. Lakin istənilən nöqtədə funksiya öz arqumentinə bərabərdir. Buna görə də:
Törəmə bərabərdir:
törəməsi bərabərdir:
b) İndi düşünün kvadrat funksiya (): .
İndi bunu xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, artımın dəyəri laqeyd edilə bilər, çünki o, sonsuz kiçikdir və buna görə də digər terminin fonunda əhəmiyyətsizdir:
Beləliklə, başqa bir qayda ilə gəldik:
c) Məntiqi silsiləyə davam edirik: .
Bu ifadə müxtəlif yollarla sadələşdirilə bilər: cəminin kubunun qısaldılmış vurulması düsturundan istifadə edərək birinci mötərizəni açın və ya kubların fərqindən istifadə edərək bütün ifadəni faktorlara ayırın. Təklif olunan üsullardan hər hansı birini istifadə edərək bunu özünüz etməyə çalışın.
Beləliklə, aşağıdakıları aldım:
Və bunu bir daha xatırlayaq. Bu o deməkdir ki, biz aşağıdakıları ehtiva edən bütün şərtləri laqeyd edə bilərik:
Alırıq: .
d) Oxşar qaydalar böyük dövlətlər üçün də əldə edilə bilər:
e) Belə çıxır ki, bu qayda ixtiyari eksponentli, hətta tam ədədi olmayan dərəcə funksiyası üçün ümumiləşdirilə bilər:
| (2) |
Qayda belə ifadə edilə bilər: "dərəcə əmsal kimi irəli sürülür, sonra isə azaldılır."
Bu qaydanı sonra (demək olar ki, ən sonunda) sübut edəcəyik. İndi bir neçə nümunəyə baxaq. Funksiyaların törəmələrini tapın:
- (iki yolla: düsturla və törəmənin tərifindən istifadə etməklə - funksiyanın artımını hesablamaqla);
- . İnanın ya inanmayın, bu güc funksiyasıdır. “Bu necədir? Diplom haradadır?”, “” mövzusunu xatırlayın!
Bəli, bəli, kök də dərəcədir, yalnız kəsrdir: .
Bu o deməkdir ki, kvadrat kökümüz sadəcə eksponentli gücdür:
.
Bu yaxınlarda öyrənilmiş düsturdan istifadə edərək törəməni axtarırıq:Bu nöqtədə yenə də aydın deyilsə, “” mövzusunu təkrarlayın!!! (ilə dərəcə haqqında mənfi göstərici)
- . İndi eksponent:
İndi tərif vasitəsilə (hələ də unutmusunuz?):
;
.
İndi, həmişə olduğu kimi, aşağıdakıları ehtiva edən termini laqeyd edirik:
. - . Əvvəlki halların birləşməsi: .
Triqonometrik funksiyalar.
Burada ali riyaziyyatdan bir faktdan istifadə edəcəyik:
İfadə ilə.
Siz institutun birinci ilində sübutu öyrənəcəksiniz (və oraya çatmaq üçün Vahid Dövlət İmtahanından yaxşı keçməlisiniz). İndi onu sadəcə qrafik olaraq göstərəcəyəm:
Görürük ki, funksiya mövcud olmadıqda - qrafikdəki nöqtə kəsilir. Lakin dəyərə nə qədər yaxın olsa, funksiya bir o qədər də “məqsəd”dir.
Bundan əlavə, kalkulyatordan istifadə edərək bu qaydanı yoxlaya bilərsiniz. Bəli, bəli, utanma, kalkulyator götür, biz hələ Vahid Dövlət İmtahanında deyilik.
Beləliklə, cəhd edək: ;
Kalkulyatorunuzu Radians rejiminə keçirməyi unutmayın!
və s. Görürük ki, nə qədər kiçik olsa, nisbət dəyəri bir o qədər yaxındır.
a) funksiyanı nəzərdən keçirin. Həmişə olduğu kimi, onun artımını tapaq:
Sinusların fərqini məhsula çevirək. Bunun üçün düsturdan istifadə edirik (“” mövzusunu xatırlayın): .
İndi törəmə:
Gəlin bir əvəz edək: . Onda sonsuz kiçik üçün də sonsuz kiçikdir: . ifadəsi formanı alır:
İndi biz bunu ifadə ilə xatırlayırıq. Həm də, əgər cəmində (yəni, at) sonsuz kiçik bir kəmiyyəti laqeyd etmək olarsa nə olar.
Beləliklə, alırıq növbəti qayda:sinusun törəməsi kosinusa bərabərdir:
Bunlar əsas (“cədvəl”) törəmələrdir. Onlar bir siyahıdadır:
Daha sonra onlara bir neçə daha əlavə edəcəyik, lakin bunlar ən vacibdir, çünki onlar ən çox istifadə olunur.
Təcrübə:
- Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın;
- Funksiyanın törəməsini tapın.
Həll yolları:
- Əvvəlcə törəməni tapaq ümumi görünüş, və sonra dəyərini əvəz edin:
;
. - Burada güc funksiyasına bənzər bir şey var. Gəlin onu gətirməyə çalışaq
normal görünüş:
.
Əla, indi formuladan istifadə edə bilərsiniz:
.
. - . Eeeeeee..... Bu nədir????
Tamam, haqlısan, biz hələ belə törəmələri necə tapacağımızı bilmirik. Burada bir neçə növ funksiyaların birləşməsinə sahibik. Onlarla işləmək üçün daha bir neçə qayda öyrənməlisiniz:
Eksponent və natural loqarifm.
Riyaziyyatda elə funksiya var ki, onun hər hansı bir dəyər üçün törəməsi eyni zamanda funksiyanın özünün qiymətinə bərabərdir. O, "eksponent" adlanır və eksponensial funksiyadır
Bu funksiyanın əsası - sabit - sonsuz onluq kəsrdir, yəni irrasional ədəddir (məsələn). O, "Euler nömrəsi" adlanır, buna görə də hərflə işarələnir.
Beləliklə, qayda:
Yadda saxlamaq çox asandır.
Yaxşı, uzağa getməyək, dərhal tərs funksiyanı nəzərdən keçirək. Hansı funksiya eksponensial funksiyanın tərsidir? Loqarifm:
Bizim vəziyyətimizdə əsas rəqəmdir:
Belə bir loqarifmə (yəni əsası olan loqarifmə) "təbii" deyilir və biz bunun üçün xüsusi qeyddən istifadə edirik: əvəzinə yazırıq.
Nəyə bərabərdir? Əlbəttə.
Təbii loqarifmin törəməsi də çox sadədir:
Nümunələr:
- Funksiyanın törəməsini tapın.
- Funksiyanın törəməsi nədir?
Cavablar: Sərgi iştirakçısı və təbii loqarifm- funksiyalar törəmə baxımından bənzərsiz sadədir. İstənilən digər baza ilə eksponensial və loqarifmik funksiyalar fərqli törəmələrə sahib olacaqlar ki, biz diferensiasiya qaydalarından keçdikdən sonra onu daha sonra təhlil edəcəyik.
Fərqləndirmə qaydaları
Nəyin qaydaları? Yenə yeni termin, yenə?!...
Fərqləndirmə törəmənin tapılması prosesidir.
Hamısı budur. Bu prosesi bir sözlə başqa nə adlandırmaq olar? Törəmə deyil... Riyaziyyatçıların diferensialı funksiyanın eyni artımıdır. Bu termin Latın diferensiyası - fərqdən gəlir. Burada.
Bütün bu qaydaları çıxararkən iki funksiyadan istifadə edəcəyik, məsələn, və. Onların artımları üçün düsturlara da ehtiyacımız olacaq:
Ümumilikdə 5 qayda var.
Sabit törəmə işarədən çıxarılır.
Əgər - bəzi sabit ədəd (sabit), onda.
Aydındır ki, bu qayda fərq üçün də işləyir: .
Gəlin bunu sübut edək. Qoy olsun, ya da daha sadə.
Nümunələr.
Funksiyaların törəmələrini tapın:
- bir nöqtədə;
- bir nöqtədə;
- bir nöqtədə;
- nöqtədə.
Həll yolları:
- (törəmə bütün nöqtələrdə eynidir, çünki xətti funksiyadır, yadınızdadır?);
Məhsulun törəməsi
Burada hər şey oxşardır: gəlin yeni bir funksiya təqdim edək və onun artımını tapaq:
Törəmə:
Nümunələr:
- və funksiyalarının törəmələrini tapın;
- Bir nöqtədə funksiyanın törəməsini tapın.
Həll yolları:
Eksponensial funksiyanın törəməsi
İndi sizin bilikləriniz sadəcə eksponentləri deyil, hər hansı eksponensial funksiyanın törəməsini necə tapmağı öyrənmək üçün kifayətdir (bunun nə olduğunu hələ unutmusunuz?).
Beləliklə, bir nömrə haradadır.
Biz artıq funksiyanın törəməsini bilirik, ona görə də funksiyamızı yeni bazaya gətirməyə çalışaq:
Bunun üçün istifadə edəcəyik sadə qayda: . Sonra:
Yaxşı, işlədi. İndi törəməni tapmağa çalışın və bu funksiyanın mürəkkəb olduğunu unutmayın.
Bu işlədi?
Budur, özünüzü yoxlayın:
Düstur bir eksponentin törəməsinə çox bənzədi: olduğu kimi, eyni qalır, yalnız bir amil meydana çıxdı, bu sadəcə bir rəqəmdir, lakin dəyişən deyil.
Nümunələr:
Funksiyaların törəmələrini tapın:
Cavablar:
Bu, sadəcə olaraq, kalkulyator olmadan hesablana bilməyən bir rəqəmdir, yəni bir daha yazmaq mümkün deyil. sadə formada. Ona görə də cavabda onu bu formada qoyuruq.
Loqarifmik funksiyanın törəməsi
Burada da oxşardır: təbii loqarifmin törəməsini artıq bilirsiniz:
Buna görə də, fərqli əsaslı ixtiyari loqarifm tapmaq üçün, məsələn:
Bu loqarifmi bazaya endirməliyik. Loqarifmin əsasını necə dəyişdirmək olar? Ümid edirəm ki, bu formulu xatırlayırsınız:
Yalnız indi əvəzinə yazacağıq:
Məxrəc sadəcə olaraq sabitdir (dəyişənsiz sabit ədəddir). Törəmə çox sadə şəkildə alınır:
Eksponensial və loqarifmik funksiyaların törəmələri Vahid Dövlət İmtahanında demək olar ki, tapılmır, lakin onları bilmək artıq olmaz.
Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
"Mürəkkəb funksiya" nədir? Xeyr, bu loqarifm deyil, arktangent deyil. Bu funksiyaları başa düşmək çətin ola bilər (baxmayaraq ki, loqarifmi çətin hesab edirsinizsə, “Loqarifmlər” mövzusunu oxuyun və yaxşı olacaqsınız), lakin riyazi baxımdan “mürəkkəb” sözü “çətin” mənasını vermir.
Kiçik bir konveyer kəmərini təsəvvür edin: iki nəfər oturub bəzi əşyalarla bəzi hərəkətlər edir. Məsələn, birincisi şokolad çubuğunu paketə bükür, ikincisi isə lentlə bağlayır. Nəticə kompozit bir obyektdir: bir şokolad çubuğu bükülmüş və lentlə bağlanmışdır. Şokolad çubuğu yemək üçün tərs ardıcıllıqla tərs addımları yerinə yetirmək lazımdır.
Bənzər bir riyazi boru xətti yaradaq: əvvəlcə ədədin kosinusunu tapacağıq, sonra isə alınan ədədin kvadratını alacağıq. Beləliklə, bizə bir nömrə (şokolad) verilir, mən onun kosinusunu (bağımını) tapıram, sonra mənim aldığımı kvadrat edirsən (lentlə bağla). Nə oldu? Funksiya. Bu, mürəkkəb funksiyaya misaldır: onun dəyərini tapmaq üçün ilk hərəkəti birbaşa dəyişənlə, sonra isə birincinin nəticəsi ilə ikinci hərəkəti yerinə yetirdikdə.
Eyni addımları tərs qaydada asanlıqla yerinə yetirə bilərik: əvvəlcə siz onun kvadratını çəkirsiniz, sonra isə çıxan ədədin kosinusunu axtarıram: . Nəticənin demək olar ki, həmişə fərqli olacağını təxmin etmək asandır. Mürəkkəb funksiyaların mühüm xüsusiyyəti: hərəkətlərin sırası dəyişdikdə funksiya dəyişir.
Başqa sözlə, mürəkkəb funksiya arqumenti başqa funksiya olan funksiyadır: .
Birinci misal üçün, .
İkinci misal: (eyni şey). .
Ən son etdiyimiz hərəkət çağırılacaq "xarici" funksiya, və ilk həyata keçirilən hərəkət - müvafiq olaraq "daxili" funksiya(bunlar qeyri-rəsmi adlardır, mən onlardan yalnız materialı sadə dildə izah etmək üçün istifadə edirəm).
Hansı funksiyanın xarici və hansı daxili olduğunu özünüz müəyyənləşdirməyə çalışın:
Cavablar: Daxili və xarici funksiyaları ayırmaq dəyişənləri dəyişməyə çox bənzəyir: məsələn, funksiyada
- Əvvəlcə hansı hərəkəti edəcəyik? Əvvəlcə sinusu hesablayaq və yalnız bundan sonra onu kublara ayıraq. Bu o deməkdir ki, o, daxili funksiyadır, lakin xarici funksiyadır.
Və orijinal funksiyası onların tərkibidir: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: . - Daxili: ; xarici: .
İmtahan: .
Dəyişənləri dəyişirik və funksiya alırıq.
Yaxşı, indi şokolad çubuğumuzu çıxaracağıq və törəməni axtaracağıq. Prosedur həmişə tərsinə çevrilir: əvvəlcə xarici funksiyanın törəməsini axtarırıq, sonra nəticəni daxili funksiyanın törəməsi ilə çarpırıq. Orijinal nümunə ilə əlaqədar olaraq, belə görünür:
Başqa bir misal:
Beləliklə, nəhayət rəsmi qaydanı formalaşdıraq:
Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:
Sadə görünür, elə deyilmi?
Nümunələrlə yoxlayaq:
Həll yolları:
1) Daxili: ;
Xarici: ;
2) Daxili: ;
(Yalnız indiyə qədər onu kəsməyə çalışmayın! Kosinusun altından heç nə çıxmır, xatırlayırsınız?)
3) Daxili: ;
Xarici: ;
Dərhal aydın olur ki, bu, üç səviyyəli mürəkkəb funksiyadır: axı, bu, artıq özlüyündə mürəkkəb funksiyadır və biz də ondan kök çıxarırıq, yəni üçüncü hərəkəti edirik (şokoladı qoyuruq. sarğı və portfeldə lentlə). Ancaq qorxmaq üçün heç bir səbəb yoxdur: biz yenə də bu funksiyanı həmişəki kimi eyni qaydada "açacağıq": sondan.
Yəni əvvəlcə kökü, sonra kosinusu və yalnız bundan sonra mötərizədə ifadəni fərqləndiririk. Və sonra hamısını çoxaldırıq.
Belə hallarda hərəkətləri nömrələmək rahatdır. Yəni bildiyimizi təsəvvür edək. Bu ifadənin dəyərini hesablamaq üçün hərəkətləri hansı ardıcıllıqla yerinə yetirəcəyik? Bir misala baxaq:
Hərəkət nə qədər gec yerinə yetirilərsə, müvafiq funksiya bir o qədər “xarici” olacaqdır. Hərəkətlərin ardıcıllığı əvvəlki kimidir:
Burada yuvalama ümumiyyətlə 4 səviyyəlidir. Fəaliyyət qaydasını müəyyən edək.
1. Radikal ifadə. .
2. Kök. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Hamısını bir yerə toplamaq:
TÖRƏVVƏ. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA
Funksiya törəməsi- funksiyanın artımının arqumentin sonsuz kiçik artımı üçün arqumentin artımına nisbəti:
Əsas törəmələr:
Fərqləndirmə qaydaları:
Sabit törəmə işarədən çıxarılır:
Cəmin törəməsi:
Məhsulun törəməsi:
Hissənin törəməsi:
Kompleks funksiyanın törəməsi:
Mürəkkəb funksiyanın törəməsinin tapılması alqoritmi:
- “Daxili” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
- “Xarici” funksiyanı təyin edirik və onun törəməsini tapırıq.
- Birinci və ikinci nöqtələrin nəticələrini çoxaldırıq.
Tarix: 05/10/2015
Törəməni necə tapmaq olar?
Fərqləndirmə qaydaları.
Hər hansı bir funksiyanın törəməsini tapmaq üçün yalnız üç anlayışı mənimsəmək lazımdır:
2. Diferensiasiya qaydaları.
3. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi.
Məhz bu qaydada. Bu bir işarədir.)
Təbii ki, ümumiyyətlə törəmələr haqqında fikir sahibi olmaq yaxşı olardı). Törəmə nədir və törəmələr cədvəli ilə necə işləmək əvvəlki dərsdə aydın şəkildə izah edilmişdir. Burada fərqləndirmə qaydaları ilə məşğul olacağıq.
Fərqləndirmə törəmənin tapılması əməliyyatıdır. Bu terminin arxasında daha gizli bir şey yoxdur. Bunlar. ifadələr "funksiyanın törəməsini tapın" Və "funksiyanı fərqləndirmək"- eyni şeydir.
İfadə "diferensiallaşdırma qaydaları" törəmənin tapılmasına aiddir arifmetik əməliyyatlardan. Bu anlayış başınızdakı qarışıqlığın qarşısını almağa çox kömək edir.
Bütün, hamısını, bütün hesab əməliyyatlarını cəmləyək və xatırlayaq. Onlardan dördü var). Toplama (cəm), çıxma (fərq), vurma (məhsul) və bölmə (bölmə). Budur, fərqləndirmə qaydaları:
Plitə göstərir beş haqqında qaydalar dörd arifmetik əməliyyatlar. Qısa dəyişiklik etmədim.) Sadəcə olaraq 4-cü qayda 3-cü qaydanın elementar nəticəsidir. Amma o qədər məşhurdur ki, onu müstəqil düstur kimi yazmaq (və yadda saxlamaq!) mənasızdır.
Təyinatlar altında U Və V bəzi (tamamilə hər hansı!) funksiyalar nəzərdə tutulur U(x) Və V(x).
Gəlin bir neçə nümunəyə baxaq. Birincisi - ən sadələri.
y=sinx - x 2 funksiyasının törəməsini tapın
Budur bizdə fərq iki elementar funksiya. Biz 2-ci qaydanı tətbiq edirik. Sinx-in funksiya olduğunu fərz edəcəyik U, və x 2 funksiyadır V. Yazmağa tam hüququmuz var:
y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"
Bu daha yaxşıdır, elə deyilmi?) Qalır ki, sinusun törəmələrini və x-in kvadratını tapmaqdır. Bunun üçün törəmələr cədvəli var. Biz sadəcə cədvəldə bizə lazım olan funksiyaları axtarırıq ( sinx Və x 2), onların hansı törəmələri olduğuna baxın və cavabı yazın:
y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x
bu qədər. Məbləğin diferensiallaşdırılmasının 1-ci qaydası tam olaraq eyni işləyir.
Bir neçə şərtimiz olsa nə olar? Böyük bir şey yoxdur.) Biz funksiyanı şərtlərə bölürük və digərlərindən asılı olmayaraq hər bir terminin törəməsini axtarırıq. Məsələn:
y=sinx - x 2 +cosx - x +3 funksiyasının törəməsini tapın
Cəsarətlə yazırıq:
y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3))"
Dərsin sonunda fərqləndirmə zamanı həyatı asanlaşdırmaq üçün məsləhətlər verəcəyəm.)
1. Fərqləndirmədən əvvəl orijinal funksiyanı sadələşdirməyin mümkün olub-olmadığına baxın.
2. Mürəkkəb nümunələrdə həlli bütün mötərizə və tirelərlə ətraflı təsvir edirik.
3. Məxrəcində sabit ədədi olan kəsrləri diferensiallaşdırarkən bölməni vurmaya çeviririk və 4-cü qaydadan istifadə edirik.
Törəmə tapma əməliyyatına diferensiasiya deyilir.
Artımın arqumentin artımına nisbətinin həddi kimi törəməni təyin etməklə ən sadə (və çox sadə olmayan) funksiyaların törəmələrinin tapılması problemlərinin həlli nəticəsində törəmələr cədvəli və dəqiq müəyyən edilmiş diferensiallaşdırma qaydaları meydana çıxdı. . Törəmələrin tapılması sahəsində ilk iş görənlər İsaak Nyuton (1643-1727) və Qotfrid Vilhelm Leybnizdir (1646-1716).
Odur ki, bizim dövrümüzdə hər hansı funksiyanın törəməsini tapmaq üçün funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin yuxarıda qeyd olunan həddini hesablamağa ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq, cədvəldən istifadə etmək kifayətdir. törəmələr və diferensiallaşma qaydaları. Törəmə tapmaq üçün aşağıdakı alqoritm uyğundur.
Törəmə tapmaq üçün, əsas işarənin altında bir ifadə lazımdır sadə funksiyaları komponentlərə ayırın və hansı hərəkətləri müəyyənləşdirin (məhsul, cəmi, əmsal) bu funksiyalar əlaqəlidir. Sonra, elementar funksiyaların törəmələrini törəmələr cədvəlində, hasil, cəmi və hissənin törəmələri üçün düsturları isə diferensiasiya qaydalarında tapırıq. Törəmə cədvəli və fərqləndirmə qaydaları ilk iki nümunədən sonra verilmişdir.
Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Diferensiasiya qaydalarından məlum olur ki, funksiyaların cəminin törəməsi funksiyaların törəmələrinin cəmidir, yəni.
Törəmələr cədvəlindən öyrənirik ki, “X” törəməsi birə, sinusun törəməsi isə kosinusa bərabərdir. Bu dəyərləri törəmələrin cəmində əvəz edirik və problemin şərti ilə tələb olunan törəməni tapırıq:
Misal 2. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Törəmə işarəsindən çıxarıla bilən ikinci terminin sabit əmsalı olduğu cəminin törəməsi kimi fərqləndiririk:
Bir şeyin haradan gəldiyi ilə bağlı suallar hələ də yaranarsa, adətən törəmələr cədvəli və ən sadə fərqləndirmə qaydaları ilə tanış olduqdan sonra aydınlaşdırılır. Biz hazırda onlara gedirik.
Sadə funksiyaların törəmələri cədvəli
| 1. Sabitin (ədədin) törəməsi. Funksiya ifadəsində olan istənilən ədəd (1, 2, 5, 200...). Həmişə sıfıra bərabərdir. Bunu xatırlamaq çox vacibdir, çünki çox vaxt tələb olunur | |
| 2. Müstəqil dəyişənin törəməsi. Çox vaxt "X". Həmişə birə bərabərdir. Bunu uzun müddət xatırlamaq da vacibdir | |
| 3. Dərəcənin törəməsi. Problemləri həll edərkən kvadrat olmayan kökləri güclərə çevirmək lazımdır. | |
| 4. Dəyişənin -1 gücünə törəməsi | |
| 5. Törəmə kvadrat kök | |
| 6. Sinusun törəməsi | |
| 7. Kosinusun törəməsi |  |
| 8. Tangensin törəməsi |  |
| 9. Kotangensin törəməsi |  |
| 10. Arksinusun törəməsi |  |
| 11. Arkkosinin törəməsi |  |
| 12. Arktangensin törəməsi |  |
| 13. Qövs kotangensinin törəməsi |  |
| 14. Natural loqarifmin törəməsi | |
| 15. Loqarifmik funksiyanın törəməsi |  |
| 16. Göstəricinin törəməsi | |
| 17. Eksponensial funksiyanın törəməsi |
Fərqləndirmə qaydaları
| 1. Cəmin və ya fərqin törəməsi |  |
| 2. Məhsulun törəməsi |  |
| 2a. Sabit əmsala vurulan ifadənin törəməsi | |
| 3. Bölmənin törəməsi |  |
| 4. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi |  |
Qayda 1.Əgər funksiyaları
müəyyən nöqtədə diferensiallanır, sonra funksiyalar eyni nöqtədə diferensiallanır
və
olanlar. funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir.
Nəticə. İki diferensiallanan funksiya sabit bir həddi ilə fərqlənirsə, onların törəmələri bərabərdir, yəni.
Qayda 2.Əgər funksiyaları
müəyyən nöqtədə diferensiallana bilirlər, sonra onların məhsulu eyni nöqtədə diferensiallaşır
və
olanlar. İki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin hasilinin və digərinin törəməsinin cəminə bərabərdir.
Nəticə 1. Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar:
Nəticə 2. Bir neçə diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi hər bir amilin və bütün digərlərinin törəməsinin hasillərinin cəminə bərabərdir.
Məsələn, üç çarpan üçün:
Qayda 3.Əgər funksiyaları
müəyyən bir nöqtədə fərqlənə bilər Və , onda bu nöqtədə onların nisbəti də diferensiallaşıru/v , və
olanlar. iki funksiyanın bölgüsünün törəməsi kəsrə bərabərdir ki, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın törəməsi və payın və məxrəcin törəməsi arasındakı fərqdir, məxrəc isə onun kvadratıdır. keçmiş say.
Başqa səhifələrdə şeyləri harada axtarmaq lazımdır
Həqiqi məsələlərdə məhsulun törəməsini və nisbətini taparkən həmişə eyni vaxtda bir neçə fərqləndirmə qaydasını tətbiq etmək lazımdır, ona görə də məqalədə bu törəmələrə dair daha çox nümunə var."Funksiyaların hasilinin və əmsalının törəməsi".
Şərh. Sabiti (yəni rəqəmi) cəmdəki terminlə sabit faktor kimi qarışdırmamalısınız! Termin halında onun törəməsi sıfıra bərabərdir, sabit əmsalda isə törəmələrin işarəsindən çıxarılır. Bu tipik səhv, bu, törəmələrin öyrənilməsinin ilkin mərhələsində baş verir, lakin orta tələbə bir və iki hissədən ibarət bir neçə nümunəni həll etdiyi üçün artıq bu səhvə yol vermir.
Bir məhsulu və ya əmsalı fərqləndirərkən bir termininiz varsa u"v, hansında u- bir ədəd, məsələn, 2 və ya 5, yəni sabit, onda bu ədədin törəməsi sıfıra bərabər olacaq və buna görə də bütün müddət sıfıra bərabər olacaqdır (bu hal 10-cu misalda müzakirə olunur).
Digər ümumi səhv, mürəkkəb funksiyanın törəməsinin sadə funksiyanın törəməsi kimi mexaniki yolla həll edilməsidir. Buna görə mürəkkəb funksiyanın törəməsi ayrıca məqalə həsr olunub. Ancaq əvvəlcə törəmələri tapmağı öyrənəcəyik sadə funksiyalar.
Yolda, ifadələri dəyişdirmədən edə bilməzsiniz. Bunu etmək üçün təlimatı yeni pəncərələrdə açmalı ola bilərsiniz. Gücləri və kökləri olan hərəkətlər Və Kəsrlərlə əməliyyatlar .
Güclü və köklü kəsrlərin törəmələrinin həlli yollarını axtarırsınızsa, yəni funksiya belə göründüyü zaman 
, sonra “Kəsrlərin cəmlərinin hədləri və kökləri olan törəməsi” dərsini izləyin.
kimi bir vəzifəniz varsa 
, sonra “Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri” dərsini keçəcəksiniz.
Addım-addım nümunələr - törəməni necə tapmaq olar
Misal 3. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Funksiya ifadəsinin hissələrini müəyyənləşdiririk: bütün ifadə məhsulu təmsil edir və onun amilləri cəmidir, ikincisində isə şərtlərdən biri sabit amildən ibarətdir. Məhsulun fərqləndirmə qaydasını tətbiq edirik: iki funksiyanın hasilinin törəməsi bu funksiyaların hər birinin digərinin törəməsi ilə hasillərinin cəminə bərabərdir:
Daha sonra biz cəmi diferensiallaşdırma qaydasını tətbiq edirik: funksiyaların cəbri cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəbri cəminə bərabərdir. Bizim vəziyyətimizdə hər cəmdə ikinci hədd mənfi işarəyə malikdir. Hər bir cəmdə həm törəməsi birə bərabər olan müstəqil dəyişən, həm də törəməsi sıfıra bərabər olan sabit (ədəd) görürük. Beləliklə, “X” birinə, mənfi 5 isə sıfıra çevrilir. İkinci ifadədə "x" 2-yə vurulur, ona görə də ikisini "x"-in törəməsi ilə eyni vahidə vururuq. Aşağıdakı törəmə dəyərləri əldə edirik:
Tapılmış törəmələri hasillərin cəmində əvəz edirik və məsələnin şərti ilə tələb olunan bütün funksiyanın törəməsini alırıq:
Misal 4. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bizdən hissənin törəməsini tapmaq tələb olunur. Hissənin diferensiallaşdırılması düsturunu tətbiq edirik: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi kəsrə bərabərdir, onun payı məxrəcin hasilləri ilə payın və payın törəməsi və törəməsi arasındakı fərqdir. məxrəc, məxrəc isə əvvəlki payın kvadratıdır. Biz əldə edirik:
Artıq 2-ci misalda payda olan amillərin törəməsini tapmışıq. Onu da unutmayaq ki, indiki misaldakı payda ikinci amil olan hasil mənfi işarə ilə alınır:
Əgər siz köklərin və güclərin davamlı yığınının olduğu funksiyanın törəməsini tapmağınız lazım olan problemlərin həlli yollarını axtarırsınızsa, məsələn, 
, sonra sinifə xoş gəldiniz "Kəsrlərin gücü və kökləri olan cəminin törəməsi" .
Sinusların, kosinusların, tangenslərin və başqalarının törəmələri haqqında daha çox öyrənmək lazımdırsa triqonometrik funksiyalar, yəni funksiyanın göründüyü zaman , onda sizin üçün bir dərs "Sadə triqonometrik funksiyaların törəmələri" .
Misal 5. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bu funksiyada faktorlarından biri müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan hasil görürük, törəməsi ilə törəmələr cədvəlində tanış olduq. Məhsulu və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərini fərqləndirmək qaydasından istifadə edərək əldə edirik:
Misal 6. Funksiyanın törəməsini tapın
Həll. Bu funksiyada dividend müstəqil dəyişənin kvadrat kökü olan bir hissəni görürük. 4-cü misalda təkrar etdiyimiz və tətbiq etdiyimiz əmsalların diferensiallaşdırılması qaydasından və kvadrat kökün törəməsinin cədvəl dəyərindən istifadə edərək əldə edirik:
Hissədə kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci ilə vurun.
Törəmə və onun hesablanması üsullarını bilmədən riyaziyyatda fiziki məsələlərin və ya nümunələrin həlli tamamilə mümkün deyil. Törəmə riyazi analizdə ən vacib anlayışlardan biridir. Bugünkü məqaləmizi bu əsas mövzuya həsr etmək qərarına gəldik. Törəmə nədir, onun fiziki və həndəsi mənası nədir, funksiyanın törəməsi necə hesablanır? Bütün bu suallar bir yerdə birləşdirilə bilər: törəməni necə başa düşmək olar?
Törəmənin həndəsi və fiziki mənası
Qoy bir funksiya olsun f(x) , müəyyən intervalla müəyyən edilir (a, b) . x və x0 nöqtələri bu intervala aiddir. X dəyişdikdə, funksiyanın özü də dəyişir. Arqumentin dəyişdirilməsi - onun dəyərlərindəki fərq x-x0 . Bu fərq kimi yazılır delta x və arqument artımı adlanır. Bir funksiyanın dəyişməsi və ya artması bir funksiyanın iki nöqtədəki dəyərləri arasındakı fərqdir. Törəmə tərifi:
Bir nöqtədə funksiyanın törəməsi, sonuncu sıfıra meyl etdikdə, verilmiş nöqtədə funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin həddidir.
Əks halda belə yazıla bilər:
Belə bir hədd tapmağın nə mənası var? Və budur:
nöqtədə funksiyanın törəməsi OX oxu arasındakı bucağın tangensi ilə verilmiş nöqtədə funksiyanın qrafikinə olan tangensə bərabərdir.
Törəmənin fiziki mənası: yolun zamana görə törəməsi düzxətli hərəkətin sürətinə bərabərdir.
Həqiqətən, məktəb günlərindən hər kəs sürətin xüsusi bir yol olduğunu bilir x=f(t) və vaxt t . Orta sürət müəyyən bir müddət üçün:
Bir anda hərəkət sürətini tapmaq üçün t0 limiti hesablamaq lazımdır:
Birinci qayda: sabiti təyin edin
Sabit törəmə işarədən çıxarıla bilər. Üstəlik, bu edilməlidir. Riyaziyyatda nümunələri həll edərkən, bir qayda olaraq götürün - Əgər ifadəni sadələşdirə bilirsinizsə, onu sadələşdirməyə əmin olun .
Misal. Törəməni hesablayaq:
İkinci qayda: funksiyaların cəminin törəməsi
İki funksiyanın cəminin törəməsi bu funksiyaların törəmələrinin cəminə bərabərdir. Eyni şey funksiyalar fərqinin törəməsi üçün də keçərlidir.
Biz bu teoremin isbatını verməyəcəyik, əksinə praktiki bir nümunəyə baxacağıq.
Funksiyanın törəməsini tapın:
Üçüncü qayda: funksiyaların hasilinin törəməsi
İki diferensiallanan funksiyanın hasilinin törəməsi düsturla hesablanır:
Nümunə: funksiyanın törəməsini tapın:
Həlli: 
Burada mürəkkəb funksiyaların törəmələrinin hesablanmasından danışmaq vacibdir. Mürəkkəb funksiyanın törəməsi bu funksiyanın aralıq arqumentə görə törəməsinin və müstəqil dəyişənə görə aralıq arqumentin törəməsinin hasilinə bərabərdir.
Yuxarıdakı misalda ifadə ilə rastlaşırıq:
Bu halda, ara arqument beşinci gücə 8x-dir. Belə ifadənin törəməsini hesablamaq üçün əvvəlcə aralıq arqumentə görə xarici funksiyanın törəməsini hesablayırıq, sonra isə müstəqil dəyişənə nisbətən ara arqumentin özünün törəməsi ilə vururuq.
Dördüncü qayda: iki funksiyanın bölünməsinin törəməsi
İki funksiyanın bölünməsinin törəməsini təyin etmək üçün düstur:
Biz sıfırdan dummies üçün törəmələr haqqında danışmağa çalışdıq. Bu mövzu göründüyü qədər sadə deyil, ona görə də xəbərdar olun: misallarda tez-tez tələlər olur, ona görə də törəmələri hesablayarkən diqqətli olun.
Bu və digər mövzularla bağlı hər hansı sualınız varsa, tələbə xidmətinə müraciət edə bilərsiniz. Qısa müddətdə, əvvəllər heç vaxt törəmə hesablamalar etməmisinizsə belə, ən çətin testi həll etməyə və tapşırıqları başa düşməyə kömək edəcəyik.
Eksponensialın (e-nin x qüvvəsinə) və eksponensial funksiyanın (a-nın x qüvvəsinə) törəməsi üçün düsturların isbatı və törəməsi. e^2x, e^3x və e^nx törəmələrinin hesablanması nümunələri. Daha yüksək dərəcəli törəmələr üçün düsturlar.
Göstəricinin törəməsi eksponentin özünə bərabərdir (e-nin x qüvvəsinin törəməsi e-nin x qüvvəsinə bərabərdir):
(1)
(e x )′ = e x.
Əsası a olan eksponensial funksiyanın törəməsi funksiyanın özünün a-nın natural loqarifminə vurulmasına bərabərdir:
(2)
.
Eksponensialın, e-nin x dərəcəsinin törəməsi üçün düsturun törəməsi
Eksponensial, güc bazası aşağıdakı hədd olan e ədədinə bərabər olan eksponensial funksiyadır:
.
Burada ya natural ədəd, ya da həqiqi ədəd ola bilər. Sonra eksponensialın törəməsi üçün düstur (1) alırıq.
Eksponensial törəmə düsturunun törəməsi
Eksponensialı, e-nin x gücünə hesablayın:
y = e x .
Bu funksiya hər kəs üçün müəyyən edilmişdir.
(3)
.
Onun x dəyişəninə görə törəməsini tapaq.
Tərifə görə, törəmə aşağıdakı hədddir: Gəlin bu ifadəni məlum riyazi xassələrə və qaydalara endirmək üçün çevirək. Bunun üçün bizə aşağıdakı faktlar lazımdır:
(4)
;
A) Eksponent xassə:
(5)
;
B) Loqarifmin xassəsi:
(6)
.
IN)
Loqarifmin davamlılığı və fasiləsiz funksiya üçün limitlərin xassəsi: Burada limiti olan funksiya var və bu limit müsbətdir.
(7)
.
G)
;
.
İkinci əlamətdar həddin mənası:
Gəlin bu faktları öz limitimizə tətbiq edək (3). Əmlakdan istifadə edirik (4):
.
Gəlin əvəzetmə edək.
.
Sonra; .
.
Eksponensiyanın davamlılığına görə,
Buna görə də, nə vaxt, .
.
Nəticədə əldə edirik:
.
Gəlin əvəzetmə edək. Sonra . , . Və bizdə: Loqarifm xassəsini tətbiq edək (5):
.
.
Sonra
Mülkiyyəti tətbiq edək (6). Müsbət hədd olduğundan və loqarifm davamlı olduğundan, onda:
(8)
Burada ikincidən də istifadə etdik
diqqətəlayiq həddi (7). Sonra Beləliklə, eksponensialın törəməsi üçün (1) düsturu əldə etdik.
;
.
Eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düsturun törəməsi
.
İndi a dərəcəsi olan eksponensial funksiyanın törəməsi üçün düstur (2) əldə edirik.
İndi daha yüksək dərəcəli törəmələri tapaq. Əvvəlcə eksponentə baxaq:
(14)
.
(1)
.
(14) funksiyasının törəməsinin (14) funksiyasının özünə bərabər olduğunu görürük. (1) diferensiallaşdıraraq, ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələri əldə edirik:
;
.
Bu, n-ci dərəcəli törəmənin də orijinal funksiyaya bərabər olduğunu göstərir:
.
Eksponensial funksiyanın daha yüksək dərəcəli törəmələri
İndi düşünək eksponensial funksiya güc bazası ilə a:
.
Onun birinci dərəcəli törəməsini tapdıq:
(15)
.
Fərqləndirərək (15) ikinci və üçüncü dərəcəli törəmələri əldə edirik:
;
.
Görürük ki, hər bir diferensiasiya ilkin funksiyanın -ə vurulmasına gətirib çıxarır.
.