Loqarifmin alınması. Loqarifm

a (a > 0, a ≠ 1) üçün b (b > 0) ədədinin loqarifmi– b əldə etmək üçün a rəqəminin yüksəldilməli olduğu göstərici.

b-nin əsas 10 loqarifmini belə yazmaq olar log(b), və əsas e (təbii loqarifm) üçün loqarifmdir ln(b).

Loqarifmlərlə bağlı məsələləri həll edərkən tez-tez istifadə olunur:

Loqarifmlərin xassələri

Dörd əsas var loqarifmlərin xassələri.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 və y > 0 olsun.

Xüsusiyyət 1. Məhsulun loqarifmi

Məhsulun loqarifmi məbləğinə bərabərdir loqarifmlər:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Xüsusiyyət 2. Hissənin loqarifmi

Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir:

log a (x / y) = log a x – log a y

Xüsusiyyət 3. Gücün loqarifmi

Dərəcənin loqarifmi gücün və loqarifmin hasilinə bərabərdir:

Loqarifmin əsası dərəcədədirsə, başqa bir düstur tətbiq olunur:

Xüsusiyyət 4. Kökün loqarifmi

Bu xassə gücün loqarifminin xassəsindən əldə edilə bilər, çünki n-ci dərəcənin kökü gücə bərabərdir 1/n:

Bir əsasdakı loqarifmadan digər əsasdakı loqarifmaya çevrilmə düsturu

Bu düstur loqarifmlər üzrə müxtəlif tapşırıqları həll edərkən də tez-tez istifadə olunur:

Xüsusi hal:

Loqarifmlərin (bərabərsizliklərin) müqayisəsi

Eyni əsaslara malik loqarifmlər altında 2 f(x) və g(x) funksiyası olsun və onların arasında bərabərsizlik işarəsi var:

Onları müqayisə etmək üçün əvvəlcə a loqarifmlərinin əsasına baxmaq lazımdır:

• Əgər a > 0 olarsa, f(x) > g(x) > 0 olar
• Əgər 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Loqarifmlərlə bağlı problemləri necə həll etmək olar: nümunələr

Loqarifmlərlə bağlı problemlər 5-ci və 7-ci tapşırıqda 11-ci sinif üçün riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanına daxil edilmiş, veb saytımızda müvafiq bölmələrdə həlləri olan tapşırıqları tapa bilərsiniz. Həmçinin, loqarifmləri olan tapşırıqlar riyaziyyat tapşırıqlar bankında tapılır. Saytda axtarış edərək bütün nümunələri tapa bilərsiniz.

Loqarifm nədir

Loqarifmlər məktəb riyaziyyat kurslarında həmişə çətin mövzu hesab olunub. Loqarifmin çoxlu müxtəlif tərifləri var, lakin nədənsə əksər dərsliklərdə onların ən mürəkkəbi və uğursuzu istifadə olunur.

Loqarifmanı sadə və aydın şəkildə müəyyən edəcəyik. Bunun üçün cədvəl yaradaq:

Beləliklə, bizim iki səlahiyyətimiz var.

Loqarifmlər - xassələri, düsturları, həlli yolları

Nömrəni alt sətirdən götürsəniz, bu rəqəmi əldə etmək üçün iki artırmalı olduğunuz gücü asanlıqla tapa bilərsiniz. Məsələn, 16-nı almaq üçün ikini dördüncü gücə qaldırmaq lazımdır. Və 64-ü almaq üçün ikidən altıncı gücə yüksəltmək lazımdır. Bunu cədvəldən görmək olar.

İndi - əslində, loqarifmin tərifi:

x arqumentinin a əsası x ədədini əldə etmək üçün a rəqəminin qaldırılmalı olduğu gücdür.

Təyinat: log a x = b, burada a əsasdır, x arqumentdir, b loqarifmin əslində bərabər olduğu şeydir.

Məsələn, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (8-in əsas 2 loqarifmi üçdür, çünki 2 3 = 8). Eyni müvəffəqiyyətlə, log 2 64 = 6, çünki 2 6 = 64.

Verilmiş bazaya ədədin loqarifmini tapmaq əməliyyatı adlanır. Beləliklə, cədvəlimizə yeni bir sətir əlavə edək:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Təəssüf ki, bütün loqarifmlər o qədər də asan hesablanmır. Məsələn, log 2 5-i tapmağa çalışın. 5 rəqəmi cədvəldə yoxdur, lakin məntiq loqarifmin intervalda haradasa yatacağını diktə edir. Çünki 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Belə ədədlərə irrasional deyilir: onluq nöqtədən sonrakı rəqəmlər sonsuz yazıla bilər və onlar heç vaxt təkrarlanmır. Loqarifmin irrasional olduğu ortaya çıxarsa, onu belə tərk etmək daha yaxşıdır: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Loqarifmin iki dəyişəni (əsas və arqument) olan bir ifadə olduğunu başa düşmək vacibdir. Əvvəlcə bir çox insanlar əsasın harada və arqumentin harada olduğunu çaşdırırlar. Narahat anlaşılmazlıqların qarşısını almaq üçün şəklə baxmaq kifayətdir:

Qarşımızda loqarifmin tərifindən başqa bir şey yoxdur. Unutmayın: loqarifm gücdür, arqument əldə etmək üçün baza qurulmalıdır. Bir gücə qaldırılan əsasdır - şəkildə qırmızı rənglə vurğulanır. Belə çıxır ki, baza həmişə altdadır! Mən tələbələrimə bu gözəl qaydanı elə ilk dərsdə deyirəm - və heç bir çaşqınlıq yaranmır.

Loqarifmləri necə saymaq olar

Biz tərifi anladıq - qalan yalnız loqarifmləri necə saymağı öyrənməkdir, yəni. "log" işarəsindən qurtulun. Başlamaq üçün qeyd edirik ki, tərifdən iki mühüm fakt gəlir:

1. Arqument və əsas həmişə sıfırdan böyük olmalıdır. Bu, loqarifmin tərifinin azaldıldığı rasional göstərici ilə dərəcənin tərifindən irəli gəlir.
2. Baza birindən fərqli olmalıdır, çünki biri istənilən dərəcədə bir qalır. Buna görə də “iki almaq üçün hansı gücə yüksəlmək lazımdır” sualı mənasızdır. Belə dərəcə yoxdur!

Belə məhdudiyyətlər deyilir məqbul dəyərlər diapazonu(ODZ). Belə çıxır ki, loqarifmin ODZ-si belə görünür: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Qeyd edək ki, b sayına (loqarifmin dəyəri) heç bir məhdudiyyət yoxdur. Məsələn, loqarifm mənfi ola bilər: log 2 0.5 = −1, çünki 0,5 = 2 −1.

Ancaq indi biz yalnız ədədi ifadələri nəzərdən keçiririk, burada loqarifmin VA-sını bilmək tələb olunmur. Bütün məhdudiyyətlər artıq tapşırıqların müəllifləri tərəfindən nəzərə alınıb. Lakin loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər işə düşəndə ​​DL tələbləri məcburi olacaq. Axı, əsas və arqument yuxarıda göstərilən məhdudiyyətlərə mütləq uyğun gəlməyən çox güclü konstruksiyalardan ibarət ola bilər.

İndi düşünək ümumi sxem loqarifmlərin hesablanması. Üç addımdan ibarətdir:

1. a əsasını və x arqumentini minimum mümkün baza birdən böyük olan güc kimi ifadə edin. Yolda ondalıq hissələrdən qurtulmaq daha yaxşıdır;
2. b dəyişəni üçün tənliyi həll edin: x = a b ;
3. Nəticədə çıxan ədəd b cavab olacaq.

Budur! Loqarifmin irrasional olduğu ortaya çıxarsa, bu, artıq ilk addımda görünəcək. Bazanın birdən böyük olması tələbi çox vacibdir: bu, səhv ehtimalını azaldır və hesablamaları xeyli asanlaşdırır. Eyni ilə ondalıklar: onları dərhal adi olanlara çevirsəniz, daha az səhv olacaq.

Xüsusi nümunələrdən istifadə edərək bu sxemin necə işlədiyini görək:

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 5 25

1. Baza və arqumenti beşin gücü kimi təsəvvür edək: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2;

Tənliyi yaradaq və həll edək:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Cavab aldıq: 2.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın:

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 4 64

1. Baza və arqumenti ikinin qüvvəsi kimi təsəvvür edək: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6;
2. Tənliyi yaradaq və həll edək:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Cavab aldıq: 3.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 16 1

1. Baza və arqumenti ikinin qüvvəsi kimi təsəvvür edək: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
2. Tənliyi yaradaq və həll edək:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Cavab aldıq: 0.

Tapşırıq. Loqarifmi hesablayın: log 7 14

1. Baza və arqumenti yeddinin gücü kimi təsəvvür edək: 7 = 7 1 ; 14 yeddinin gücü kimi göstərilə bilməz, çünki 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Əvvəlki bənddən belə çıxır ki, loqarifm sayılmır;
3. Cavab dəyişiklik yoxdur: log 7 14.

Son misalda kiçik bir qeyd. Bir ədədin başqa bir ədədin dəqiq gücü olmadığına necə əmin olmaq olar? Çox sadədir - sadəcə onu parçalayın əsas amillər. Genişlənmənin ən azı iki fərqli faktoru varsa, rəqəm dəqiq bir güc deyil.

Tapşırıq. Rəqəmlərin dəqiq güc olub-olmadığını öyrənin: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - dəqiq dərəcə, çünki yalnız bir çarpan var;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - dəqiq güc deyil, çünki iki amil var: 3 və 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - dəqiq dərəcə;
35 = 7 · 5 - yenə dəqiq bir güc deyil;
14 = 7 · 2 - yenə dəqiq dərəcə deyil;

Onu da qeyd edək ki, biz özümüz sadə ədədlər həmişə özlərinin dəqiq dərəcələridir.

Onluq loqarifm

Bəzi loqarifmlər o qədər geniş yayılmışdır ki, onların xüsusi adı və simvolu var.

x arqumentinin 10-cu bazanın loqarifmidir, yəni. X sayını əldə etmək üçün 10 rəqəminin qaldırılmalı olduğu güc. Təyinat: lg x.

Məsələn, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - və s.

Bundan sonra dərslikdə “Find lg 0.01” kimi bir ifadə görünəndə bilin ki, bu, hərf səhvi deyil. Bu, onluq loqarifmdir. Lakin, bu qeydlə tanış deyilsinizsə, onu həmişə yenidən yaza bilərsiniz:
log x = log 10 x

Adi loqarifmlər üçün doğru olan hər şey onluq loqarifmlər üçün də doğrudur.

Təbii loqarifm

Öz təyinatı olan başqa bir loqarifm var. Bəzi cəhətdən bu, onluqdan daha vacibdir. Söhbət təbii loqarifmdan gedir.

x arqumentinin e əsasının loqarifmidir, yəni. x ədədini əldə etmək üçün e ədədinin qaldırılmalı olduğu güc. Təyinat: ln x.

Bir çox insan soruşacaq: e rəqəmi nədir? Bu irrasional ədəd, onun dəqiq dəyər tapmaq və qeyd etmək mümkün deyil. Mən yalnız ilk rəqəmləri verəcəyəm:
e = 2,718281828459…

Bu rəqəmin nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu ətraflı izah etməyəcəyik. Unutmayın ki, e təbii loqarifmin əsasıdır:
ln x = log e x

Beləliklə, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - və s. Digər tərəfdən, ln 2 irrasional ədəddir. Ümumiyyətlə, istənilən rasional ədədin natural loqarifmi irrasionaldır. Əlbəttə ki, birlik istisna olmaqla: ln 1 = 0.

Təbii loqarifmlər üçün adi loqarifmlər üçün doğru olan bütün qaydalar etibarlıdır.

Həmçinin baxın:

Loqarifm. Loqarifmin xassələri (loqarifmin gücü).

Bir ədədi loqarifm kimi necə təqdim etmək olar?

Loqarifmin tərifindən istifadə edirik.

Loqarifm, loqarifm işarəsi altında olan ədədi əldə etmək üçün əsasının qaldırılmalı olduğu göstəricidir.

Beləliklə, müəyyən c ədədini a əsasına loqarifm kimi təqdim etmək üçün loqarifmin əsası ilə eyni bazaya malik bir qüvvəni loqarifmin işarəsi altına qoymalı və bu c ədədini eksponent olaraq yazmalısınız:

Tamamilə hər hansı bir ədəd loqarifm kimi təqdim edilə bilər - müsbət, mənfi, tam, kəsr, rasional, irrasional:

Stressli sınaq və ya imtahan şəraitində a və c-ni qarışdırmamaq üçün aşağıdakı yadda saxlama qaydasından istifadə edə bilərsiniz:

aşağıda olan aşağı düşür, yuxarıda olan yüksəlir.

Məsələn, 2 rəqəmini 3 bazasına loqarifm kimi təqdim etməlisiniz.

Bizim iki ədədimiz var - 2 və 3. Bu ədədlər loqarifmin işarəsi altında yazacağımız əsas və göstəricidir. Bu rəqəmlərdən hansının gücün əsasına, hansının isə yuxarıya, eksponentə qədər yazılmalı olduğunu müəyyən etmək qalır.

Loqarifmin qeydində 3-cü əsas aşağıdadır, yəni ikini 3-cü bazaya loqarifm kimi təqdim etdikdə, biz də bazaya 3-ü yazacağıq.

2 üçdən yüksəkdir. Və iki dərəcənin qeydində üçdən yuxarı, yəni eksponent olaraq yazırıq:

Loqarifmlər. Giriş səviyyəsi.

Loqarifmlər

Loqarifm müsbət rəqəm bəsasında a, Harada a > 0, a ≠ 1, ədədin qaldırılmalı olduğu eksponent adlanır a almaq b.

Loqarifmin tərifi qısaca belə yazmaq olar:

Bu bərabərlik üçün etibarlıdır b > 0, a > 0, a ≠ 1. Adətən adlanır loqarifmik eynilik.
Ədədin loqarifmini tapmaq hərəkəti adlanır loqarifmlə.

Loqarifmlərin xüsusiyyətləri:

Məhsulun loqarifmi:

Hissənin loqarifmi:

Loqarifm əsasının dəyişdirilməsi:

Dərəcə loqarifmi:

Kökün loqarifmi:

Güc bazası ilə loqarifm:

Onluq və natural loqarifmlər.

Ondalıq loqarifmədədlər bu ədədin loqarifmini 10 əsasına çağırır və   lg yazır b
Təbii loqarifmədədlərə həmin ədədin bazaya loqarifmi deyilir e, Harada e- təxminən 2,7-yə bərabər olan irrasional ədəd. Eyni zamanda ln yazırlar b.

Cəbr və həndəsə üzrə digər qeydlər

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Lakin loqarifmlər dəqiq olmadığı üçün müntəzəm nömrələr, burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Siz mütləq bu qaydaları bilməlisiniz - onlarsız heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: log a x və log a y. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hesablamanıza kömək edəcək loqarifmik ifadə hətta onun ayrı-ayrı hissələri hesablanmadıqda belə (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Log 6 4 + log 6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 2 48 − log 2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 3 135 − log 3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Çoxları bu fakt üzərində qurulub testlər. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz.

Loqarifmləri necə həll etmək olar

Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 7 49 6 .

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log 2 7. log 2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

log a x loqarifmi verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara ənənəvi olaraq nadir hallarda rast gəlinir ədədi ifadələr. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 5 16 log 2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log 9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır.

Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz edilmiş tərifdir. Buna belə deyilir: .

Əslində, b ədədini elə bir qüvvəyə qaldırsalar ki, bu qüvvəyə verilən b ədədi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçid üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, log 25 64 = log 5 8 - biz sadəcə olaraq loqarifmin əsasından və arqumentindən kvadrat götürdük. Güclərin vurulması qaydalarını nəzərə alaraq eyni əsas, alırıq:

Kimsə bilmirsə, belə idi əsl problem Vahid Dövlət İmtahanından :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. log a a = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu bazanın özünün istənilən a əsasının loqarifmini birinə bərabərdir.
2. log a 1 = 0 olur. a bazası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki 0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Loqarifmləri öyrənməyə davam edirik. Bu yazıda biz danışacağıq loqarifmlərin hesablanması, bu proses adlanır loqarifm. Əvvəlcə loqarifmlərin tərifinə görə hesablanmasını başa düşəcəyik. Sonra, xassələrindən istifadə edərək loqarifmlərin qiymətlərinin necə tapıldığına baxaq. Bundan sonra, biz digər loqarifmlərin ilkin müəyyən edilmiş qiymətləri vasitəsilə loqarifmlərin hesablanmasına diqqət yetirəcəyik. Nəhayət, loqarifm cədvəllərindən necə istifadə edəcəyimizi öyrənək. Bütün nəzəriyyə ətraflı həlləri olan nümunələrlə təmin edilmişdir.

Səhifə naviqasiyası.

Loqarifmlərin tərifinə görə hesablanması

Ən sadə hallarda kifayət qədər tez və asanlıqla yerinə yetirmək mümkündür loqarifmin tərifinə görə tapılması. Bu prosesin necə baş verdiyinə daha yaxından nəzər salaq.

Onun mahiyyəti b ədədini a c şəklində təmsil etməkdir ki, ondan loqarifmin tərifinə görə c ədədi loqarifmin qiymətidir. Yəni tərifinə görə aşağıdakı bərabərlik zənciri loqarifmin tapılmasına uyğundur: log a b=log a a c =c.

Beləliklə, loqarifmin tərifinə görə hesablanması, c ədədinin tapılmasına gəlir ki, a c = b olsun və c ədədinin özü loqarifmin istənilən qiymətidir.

Əvvəlki bəndlərdəki məlumatları nəzərə alaraq, loqarifm işarəsi altındakı ədəd loqarifm əsasının müəyyən gücü ilə verildikdə, dərhal loqarifmin nəyə bərabər olduğunu göstərə bilərsiniz - bu eksponentə bərabərdir. Nümunələrə həll yollarını göstərək.

Misal.

log 2 2 −3 tapın, həmçinin e 5,3 ədədinin natural loqarifmini hesablayın.

Həll.

Loqarifmin tərifi dərhal log 2 2 −3 =−3 olduğunu söyləməyə imkan verir. Həqiqətən, loqarifm işarəsi altındakı ədəd −3 gücünə 2 bazasına bərabərdir.

Eynilə, ikinci loqarifmi tapırıq: lne 5.3 =5.3.

Cavab:

log 2 2 −3 =−3 və lne 5,3 =5,3.

Əgər loqarifm işarəsinin altındakı b rəqəmi loqarifmin əsasının gücü kimi göstərilməyibsə, onda siz b rəqəminin a c şəklində təsvirini tapmağın mümkün olub-olmadığını diqqətlə araşdırmaq lazımdır. Tez-tez bu təmsil olduqca açıqdır, xüsusən loqarifm işarəsi altındakı rəqəm 1, və ya 2 və ya 3, ... gücünə əsasa bərabər olduqda.

Misal.

log 5 25 və loqarifmlərini hesablayın.

Həll.

25=5 2 olduğunu görmək asandır, bu, birinci loqarifmi hesablamağa imkan verir: log 5 25=log 5 5 2 =2.

İkinci loqarifmin hesablanmasına keçək. Rəqəm 7-nin gücü ilə təmsil oluna bilər: (lazım olduqda baxın). Beləliklə, .

Üçüncü loqarifmanı aşağıdakı formada yenidən yazaq. İndi bunu görə bilərsiniz , bundan belə nəticəyə gəlirik . Buna görə də, loqarifmin tərifi ilə .

Qısaca həlli belə yazmaq olar: .

Cavab:

log 5 25=2 , Və .

Loqarifm işarəsi altında kifayət qədər böyük olduqda natural ədəd, onda onu əsas amillərə daxil etmək zərər verməz. Çox vaxt belə bir ədədi loqarifmin əsasının bəzi gücü kimi təqdim etməyə kömək edir və buna görə də bu loqarifmanı təriflə hesablayın.

Misal.

Loqarifmin qiymətini tapın.

Həll.

Loqarifmlərin bəzi xassələri dərhal loqarifmaların qiymətini təyin etməyə imkan verir. Bu xassələrə vahidin loqarifminin xassələri və ədədin loqarifminin xassələri, bazaya bərabərdir: log 1 1=log a a 0 =0 və log a a=log a a 1 =1 . Yəni loqarifmin işarəsi altında 1 rəqəmi və ya loqarifmin əsasına bərabər a rəqəmi olduqda, bu hallarda loqarifmlər müvafiq olaraq 0 və 1-ə bərabər olur.

Misal.

Loqarifmlər və log10 nəyə bərabərdir?

Həll.

-dən bəri loqarifmin tərifindən belə çıxır .

İkinci misalda loqarifm işarəsinin altındakı 10 rəqəmi onun bazası ilə üst-üstə düşür, ona görə də onluq loqarifmi birə bərabərdir, yəni lg10=lg10 1 =1.

Cavab:

VƏ lg10=1 .

Qeyd edək ki, loqarifmlərin tərif üzrə hesablanması (bunu əvvəlki bənddə müzakirə etdik) loqarifmlərin xassələrindən biri olan log a a p =p bərabərliyinin istifadəsini nəzərdə tutur.

Təcrübədə loqarifm işarəsi altında olan ədəd və loqarifmin əsası asanlıqla müəyyən ədədin gücü kimi təqdim edildikdə, düsturdan istifadə etmək çox rahatdır. , loqarifmlərin xassələrindən birinə uyğundur. Bu düsturun istifadəsini təsvir edən loqarifmin tapılması nümunəsini nəzərdən keçirək.

Misal.

Loqarifmi hesablayın.

Həll.

Cavab:

.

Hesablamalarda yuxarıda qeyd olunmayan loqarifmlərin xassələrindən də istifadə olunur, lakin bu barədə növbəti paraqraflarda danışacağıq.

Digər məlum loqarifmlər vasitəsilə loqarifmlərin tapılması

Bu paraqrafdakı məlumatlar loqarifmlərin xassələrinin hesablanması zamanı istifadə mövzusunu davam etdirir. Amma burada əsas fərq ondan ibarətdir ki, loqarifmlərin xassələri orijinal loqarifmanı dəyəri məlum olan başqa bir loqarifmlə ifadə etmək üçün istifadə olunur. Aydınlıq üçün bir misal verək. Tutaq ki, log 2 3≈1.584963 olduğunu bilirik, onda loqarifmin xassələrindən istifadə edərək kiçik bir transformasiya edərək, məsələn, log 2 6-nı tapa bilərik: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

Yuxarıdakı misalda məhsulun loqarifminin xassəsindən istifadə etmək kifayət idi. Bununla birlikdə, orijinal loqarifmanı verilmiş olanlar vasitəsilə hesablamaq üçün daha çox loqarifmlərin xüsusiyyətlərinin daha geniş arsenalından istifadə etmək lazımdır.

Misal.

log 60 2=a və log 60 5=b olduğunu bilirsinizsə, 27-nin 60-a loqarifmini hesablayın.

Həll.

Beləliklə, log 60 27 tapmalıyıq. Asanlıqla görmək olar ki, 27 = 3 3 və orijinal loqarifm, gücün loqarifm xüsusiyyətinə görə, 3·log 60 3 kimi yenidən yazıla bilər.

İndi gəlin log 60 3-ün məlum loqarifmlərlə necə ifadə olunacağına baxaq. Əsasına bərabər olan ədədin loqarifminin xassəsi 60 60=1 bərabərliyini yazmağa imkan verir. Digər tərəfdən, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Beləliklə, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Beləliklə, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Nəhayət, orijinal loqarifmi hesablayırıq: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Cavab:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Formanın loqarifminin yeni bazasına keçid üçün düsturun mənasını ayrıca qeyd etmək lazımdır. . İstənilən əsaslı loqarifmlərdən qiymətləri məlum olan və ya onları tapmaq mümkün olan konkret əsaslı loqarifmlərə keçməyə imkan verir. Adətən, orijinal loqarifmdan, keçid düsturundan istifadə edərək, 2, e və ya 10 əsaslarından birində loqarifmlərə keçirlər, çünki bu əsaslar üçün onların dəyərlərini müəyyən dərəcədə hesablamağa imkan verən loqarifm cədvəlləri var. dəqiqlik. Növbəti paraqrafda bunun necə edildiyini göstərəcəyik.

Loqarifm cədvəlləri və onların istifadəsi

Loqarifm dəyərlərinin təxmini hesablanması üçün istifadə edilə bilər loqarifm cədvəlləri. Ən çox istifadə olunan əsas 2 loqarifm cədvəli, natural loqarifm cədvəli və onluq loqarifm cədvəli. İşləyərkən onluq sistemi Hesablama üçün on bazaya əsaslanan loqarifmlər cədvəlindən istifadə etmək rahatdır. Onun köməyi ilə loqarifmlərin dəyərlərini tapmağı öyrənəcəyik.

Təqdim olunan cədvəl 1000-dən 9999-a (üç onluq yerlə) on mində bir dəqiqliklə ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmağa imkan verir. Onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək loqarifmin dəyərini tapmaq prinsipini təhlil edəcəyik konkret misal- bu şəkildə daha aydın olur. log1.256-nı tapaq.

Onluq loqarifmlər cədvəlinin sol sütununda biz 1.256 rəqəminin ilk iki rəqəmini tapırıq, yəni 1.2-ni tapırıq (aydınlıq üçün bu rəqəm mavi rənglə əhatə olunub). 1.256 rəqəminin üçüncü rəqəmi (rəqəm 5) qoşa sətrin solunda birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu rəqəm qırmızı rənglə əhatə olunub). İlkin 1.256 rəqəminin dördüncü rəqəmi (6 rəqəmi) qoşa xəttin sağındakı birinci və ya sonuncu sətirdə yerləşir (bu nömrə yaşıl xətt ilə dövrələnmişdir). İndi loqarifm cədvəlinin xanalarında qeyd olunan cərgə və işarələnmiş sütunların kəsişməsində (bu nömrələr narıncı rənglə vurğulanır) rəqəmləri tapırıq. İşarələnmiş ədədlərin cəmi dördüncü onluq yerinə qədər dəqiq olan onluq loqarifmin istənilən dəyərini verir, yəni log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Yuxarıdakı cədvəldən istifadə edərək, ondalık nöqtədən sonra üçdən çox rəqəmi olan, habelə 1-dən 9.999-a qədər olan diapazondan kənara çıxan ədədlərin onluq loqarifmlərinin dəyərlərini tapmaq mümkündürmü? Bəli, edə bilərsiniz. Bunun necə edildiyini bir nümunə ilə göstərək.

lg102.76332-ni hesablayaq. Əvvəlcə yazmaq lazımdır standart formada nömrə: 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra, mantissa üçüncü onluq yerinə yuvarlaqlaşdırılmalıdır, bizdə var 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, orijinal onluq loqarifm təxminən nəticədə çıxan ədədin loqarifminə bərabər olduğu halda, yəni log102.76332≈lg1.028·10 2 alırıq. İndi loqarifmin xüsusiyyətlərini tətbiq edirik: lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nəhayət, lg1.028 onluq loqarifmlər cədvəlindən lg1.028-in qiymətini tapırıq lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Nəticədə, loqarifmin hesablanmasının bütün prosesi belə görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Sonda qeyd etmək lazımdır ki, onluq loqarifmlər cədvəlindən istifadə edərək istənilən loqarifmin təxmini dəyərini hesablaya bilərsiniz. Bunu etmək üçün, ondalık loqarifmlərə keçmək, cədvəldə onların dəyərlərini tapmaq və qalan hesablamaları yerinə yetirmək üçün keçid düsturundan istifadə etmək kifayətdir.

Məsələn, log 2 3 hesablayaq. Loqarifmin yeni bazasına keçid düsturuna görə bizdə . Onluq loqarifmlər cədvəlindən log3≈0,4771 və log2≈0,3010 tapırıq. Beləliklə, .

İstinadlar.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. və başqaları cəbr və təhlilin başlanğıcları: Ümumi təhsil müəssisələrinin 10-11-ci sinifləri üçün dərslik.
• Qusev V.A., Mordkoviç A.G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik).

Loqarifm nədir?

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki materiallar.
Çox "çox deyil..." olanlar üçün.
Və "çox ..." olanlar üçün)

Loqarifm nədir? Loqarifmləri necə həll etmək olar? Bu suallar bir çox məzunları çaşdırır. Ənənəvi olaraq, loqarifmlər mövzusu mürəkkəb, anlaşılmaz və qorxulu hesab olunur. Xüsusilə loqarifmli tənliklər.

Bu, qətiyyən doğru deyil. Mütləq! Mənə inanmırsan? Yaxşı. İndi cəmi 10-20 dəqiqə ərzində siz:

1. Anlayacaqsınız loqarifm nədir.

2. Bütün sinfi həll etməyi öyrənin eksponensial tənliklər. Onlar haqqında heç nə eşitməmiş olsanız belə.

3. Sadə loqarifmləri hesablamağı öyrənin.

Üstəlik, bunun üçün sadəcə vurma cədvəlini və ədədi gücə necə yüksəltməyi bilməlisiniz...

Hiss edirəm ki, şübhəniz var... Yaxşı, yaxşı, vaxtı qeyd edin! gedək!

Əvvəlcə bu tənliyi başınızda həll edin:

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Bu gün haqqında danışacağıq loqarifmik düsturlar və göstərici verəcəyik həll nümunələri.

Onlar özləri loqarifmlərin əsas xassələrinə görə həll nümunələrini nəzərdə tuturlar. Həll etmək üçün loqarifmik düsturları tətbiq etməzdən əvvəl sizə bütün xüsusiyyətləri xatırladaq:

İndi bu düsturlara (xüsusiyyətlərə) əsaslanaraq göstərəcəyik loqarifmlərin həlli nümunələri.

Düsturlar əsasında loqarifmlərin həlli nümunələri.

Loqarifm a bazası üçün müsbət b ədədi (log a b ilə işarələnir) b > 0, a > 0 və 1 ilə b əldə etmək üçün a qaldırılmalı olan göstəricidir.

Tərifə görə, log a b = x, a x = b ilə bərabərdir, ona görə də log a a x = x.

Loqarifmlər, misallar:

log 2 8 = 3, çünki 2 3 = 8

log 7 49 = 2, çünki 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, çünki 5 -1 = 1/5

Onluq loqarifm- bu, adi loqarifmdir, əsası 10. lg kimi işarələnir.

log 10 100 = 2, çünki 10 2 = 100

Təbii loqarifm- həm də adi loqarifm, loqarifm, lakin e əsası ilə (e = 2,71828... - irrasional ədəd). ln kimi qeyd olunur.

Loqarifmlərin düsturlarını və ya xassələrini əzbərləmək məqsədəuyğundur, çünki onlara sonradan loqarifmlər, loqarifmik tənliklər və bərabərsizliklər həll edilərkən ehtiyacımız olacaq. Gəlin hər bir düstur üzərində nümunələrlə yenidən işləyək.

• Əsas loqarifmik eynilik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Məhsulun loqarifmi loqarifmlərin cəminə bərabərdir
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Hissənin loqarifmi loqarifmlərin fərqinə bərabərdir
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Loqarifmik ədədin gücü və loqarifmin əsasının xassələri

  log a b m = mloq a b loqarifmik ədədinin göstəricisi

  Baza eksponenti loqarifm jurnalı a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  m = n olarsa, log a n b n = log a b alırıq

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Yeni bir təmələ keçid
  log a b = log c b/log c a,

  c = b olarsa, log b b = 1 alırıq

  sonra log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Gördüyünüz kimi, loqarifmlər üçün düsturlar göründüyü qədər mürəkkəb deyil. İndi loqarifmlərin həlli nümunələrinə baxaraq, loqarifmik tənliklərə keçə bilərik. Məqalədə loqarifmik tənliklərin həlli nümunələrinə daha ətraflı baxacağıq: "". Bunu qaçırmayın!

Həll yolu ilə bağlı hələ də suallarınız varsa, onları məqalənin şərhlərində yazın.

Qeyd: seçim olaraq fərqli bir təhsil sinfi almaq və xaricdə təhsil almaq qərarına gəldik.

İSTƏLİ VƏ LOQARİFMİK FUNKSİYALAR VIII

§ 184. Dərəcə və kökün loqarifmi

Teorem 1. Müsbət ədədin qüdrətinin loqarifmi bu qüvvənin eksponentinin və əsasının loqarifmasının hasilinə bərabərdir.

Başqa sözlə, əgər A Və X müsbət və A =/= 1, onda istənilən real ədəd üçün k

log a x k = k log a x . (1)

Bu düsturu sübut etmək üçün bunu göstərmək kifayətdir

= a k log a x . (2)

= x k

a k log a x = (a log a x ) k = x k .

Bu, (2) düsturunun etibarlılığını nəzərdə tutur və buna görə də (1).

Qeyd edək ki, əgər nömrə k təbiidir ( k = n ), onda (1) düsturun xüsusi halıdır

log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ...log a x n .

əvvəlki bənddə sübut edilmişdir. Həqiqətən, bu düsturda fərz etsək

x 1 = x 2 = ... = x n = x ,

alırıq:

log a x n = n log a x .

1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;

2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.

At mənfi dəyərlər X düstur (1) mənasını itirir. Məsələn, log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4) yaza bilməzsiniz, çünki log 2 (-4) ifadəsi qeyri-müəyyəndir. Qeyd edək ki, bu düsturun sol tərəfindəki ifadənin mənası var:

log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.

Ümumiyyətlə, əgər nömrə X mənfi, sonra ifadə jurnalı a x 2k = 2k log a x çünki müəyyən edilir x 2k > 0. İfadə 2-dir k log a x bu halda heç bir mənası yoxdur. Buna görə yazın

Giriş a x 2k = 2k log a x

qadağandır. Bununla belə, yaza bilərsiniz

log a x 2k = 2k log a | x | (3)

Bu düstur (1)-dən asanlıqla əldə edilir, nəzərə alınmaqla

x 2k = | x | 2k

Məsələn,

log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.

Teorem 2. Müsbət ədədin kökünün loqarifmi kökün göstəricisinə bölünən radikal ifadənin loqarifmasına bərabərdir.

Başqa sözlə, əgər rəqəmlər A Və X müsbətdirlər A =/= 1 və n natural ədəddir, onda

log a n √x = 1 / n log a x

Həqiqətən, n √x =. Beləliklə, Teorem 1-ə görə

log a n √x =log a = 1 / n log a x .

1) log 3 √8 = 1/2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.

Məşqlər

1408. Əsasını dəyişmədən ədədin loqarifmi necə dəyişəcək?

a) ədədin kvadratı;

b) nömrədən çıxarış kvadrat kök?

1409. Fərq jurnalı 2 necə dəyişəcək? a - qeyd 2 b , əgər nömrələr A Və b müvafiq olaraq dəyişdirin:

A) A 3 və b 3; b) 3 A və 3 b ?

1410. log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771 olduğunu bilərək, 10 bazasına loqarifmləri tapın:

8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9

1411. Sübut edin ki, həndəsi proqresiyanın ardıcıl üzvlərinin loqarifmləri arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

1412. Funksiyalar bir-birindən fərqlidirmi?

saat = log 3 X 2 və saat = 2 log 3 X

Bu funksiyaların qrafiklərini qurun.

1413. Aşağıdakı çevrilmələrdə xətanı tapın:

log 2 1/3 = log 2 1/3

2log 2 1/3 > log 2 1/3;

log 2 (1/3) 2 > log 2 1/3

(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;