GirişSadə sözlərlə funksiyanın həddi nədir. Cauchy funksiyası limiti
Limitləri hesablayarkən nəzərə almaq lazımdır aşağıdakı əsas qaydalar:
1. Funksiyaların cəminin (fərqinin) həddi məbləğinə bərabərdirşərtlərin hüdudları (fərqləri):
2. Funksiyaların hasilinin həddi amillərin hədlərinin hasilinə bərabərdir:
3. İki funksiyanın nisbətinin həddi bu funksiyaların hədlərinin nisbətinə bərabərdir:
.
4. Sabit əmsal həddi işarədən kənarda götürülə bilər:
.
5. Sabitin həddi sabitin özünə bərabərdir:
6. Davamlı funksiyalar üçün limit və funksiya simvolları dəyişdirilə bilər:
.
Funksiya limitinin tapılması dəyəri funksiyanın ifadəsində əvəz etməklə başlamalıdır. Üstəlik, ortaya çıxsa ədədi dəyər 0 və ya ¥, onda tələb olunan limit tapılır.
Misal 2.1. Limiti hesablayın.
Həll.
.
, , , , , formasının ifadələri deyilir qeyri-müəyyənliklər.
Əgər formada qeyri-müəyyənlik əldə etsəniz, limiti tapmaq üçün bu qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün funksiyanı çevirməlisiniz.
Formanın qeyri-müəyyənliyi adətən iki çoxhədlinin nisbət həddi verildikdə alınır. Bu zaman həddi hesablamaq üçün çoxhədliləri faktorlarla azaltmaq və onları azaltmaq tövsiyə olunur ümumi çarpan. Bu amil sıfır olduqda limit dəyəri X .
Misal 2.2. Limiti hesablayın.
Həll.
Əvəz etməklə qeyri-müəyyənlik əldə edirik:
.
Gəlin say və məxrəci faktorlara ayıraq:
;
Ümumi əmsalla azaldaq və alaq
Formanın qeyri-müəyyənliyi iki çoxhədlinin nisbətinin həddi verildikdə alınır. Bu halda, onu hesablamaq üçün hər iki çoxhədlini bölmək tövsiyə olunur X ali pillədə.
Misal 2.3. Limiti hesablayın.
Həll.∞ əvəz edərkən biz formanın qeyri-müəyyənliyini əldə edirik, ona görə də ifadənin bütün şərtlərini aşağıdakılara bölürük. x 3.
.
Burada nəzərə alınır ki.
Tərkibində kökləri olan funksiyanın hədlərini hesablayarkən, funksiyanı onun konyuqatına vurub bölmək tövsiyə olunur.
Misal 2.4. Limiti hesablayın
Həll.
Formanın və ya (1) ∞ qeyri-müəyyənliyini aşkar etmək üçün hədləri hesablayarkən birinci və ikinci əlamətdar hədlər tez-tez istifadə olunur:
Müəyyən bir kəmiyyətin davamlı artımı ilə bağlı bir çox problemlər ikinci əlamətdar həddə gətirib çıxarır.
Nömrənin təfsirini verərək Ya I. Perelmanın misalını nəzərdən keçirək e mürəkkəb faiz problemində. Əmanət kassalarında faiz pulları hər il əsas kapitala əlavə edilir. Qoşulma daha tez-tez edilirsə, kapital daha sürətli böyüyür, çünki marağın formalaşmasında daha böyük məbləğ iştirak edir. Sırf nəzəri, çox sadələşdirilmiş bir nümunə götürək.
100 inkar banka yatırılsın. vahidlər illik 100% əsasında. Faiz pulu əsas kapitala yalnız bir ildən sonra əlavə olunarsa, bu müddət ərzində 100 den. vahidlər 200 pul vahidinə çevriləcək.
İndi görək 100 dəniz nəyə çevriləcək. vahid, əgər faiz pulu hər altı aydan bir əsas kapitala əlavə edilirsə. Altı aydan sonra 100 den. vahidlər 100 × 1,5 = 150, daha altı aydan sonra - 150 × 1,5 = 225 (den. vahid) artacaq. Qoşulma ilin hər 1/3-də aparılırsa, bir ildən sonra 100 den. vahidlər 100 × (1 +1/3) 3 »237 (den. vahid) çevriləcək.
Faiz pulunun əlavə edilməsi şərtlərini 0,1 ilə, 0,01 ilə, 0,001 ilə və s. artıracağıq. Sonra 100 den. vahidlər bir ildən sonra belə olacaq:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. vahid),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. vahid),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. vahid).
Faizlərin əlavə edilməsi şərtlərinin qeyri-məhdud azalması ilə yığılmış kapital qeyri-müəyyən müddətə artmır, təqribən 271-ə bərabər olan müəyyən həddə yaxınlaşır. İllik 100% ilə qoyulmuş kapital, hesablanmış faiz olsa belə, 2,71 dəfədən çox arta bilməz. çünki hər saniyədə paytaxta əlavə olunurdu
Misal 2.5. Funksiya limitini hesablayın
Həll.
Misal 2.6. Funksiya limitini hesablayın 
.
Həll.Əvəz etməklə qeyri-müəyyənliyi əldə edirik:
.
İstifadə triqonometrik düstur, ədədi məhsula çevirin:
Nəticədə alırıq
Burada ikincisi nəzərə alınır gözəl hədd.
Misal 2.7. Funksiya limitini hesablayın
Həll.
.
Formanın qeyri-müəyyənliyini aşkar etmək üçün və ya aşağıdakı teoremə əsaslanan L'Hopital qaydasından istifadə edə bilərsiniz.
Teorem.İki sonsuz və ya sonsuz kiçiklərin nisbətinin həddi əla funksiyalar onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir
Qeyd edək ki, bu qayda ardıcıl olaraq bir neçə dəfə tətbiq oluna bilər.
Misal 2.8. Tapın
Həll.Əvəz edərkən formada qeyri-müəyyənlik yaranır. L'Hopital qaydasını tətbiq edərək, əldə edirik
Funksiyanın davamlılığı
Əhəmiyyətli əmlak funksiyası davamlılıqdır.
Tərif. Funksiya nəzərə alınır davamlı, arqumentin dəyərindəki kiçik dəyişiklik funksiyanın qiymətində kiçik bir dəyişikliyə səbəb olarsa.
Riyazi olaraq bu belə yazılır: nə vaxt 
və dedikdə dəyişənlərin artımı, yəni sonrakı və əvvəlki qiymətlər arasındakı fərq nəzərdə tutulur: , (Şəkil 2.3)
 Şəkil 2.3 – Dəyişənlərin artımı |
Nöqtədə fasiləsiz funksiyanın tərifindən belə nəticə çıxır ki 
. Bu bərabərlik üç şərtin yerinə yetirildiyini bildirir: 
Həll. Funksiya üçün nöqtə fasiləsizlik üçün şübhəlidir, gəlin bunu yoxlayaq və birtərəfli limitlər tapaq
Beləliklə, 
, deməkdir - qırılma nöqtəsi
Funksiya törəməsi
Biz hədlər nəzəriyyəsinə hazır cavabları təhlil etməyə davam edirik və bu gün biz yalnız funksiyadakı dəyişənin və ya ardıcıllıqdakı ədədin sonsuzluğa meylli olması halına diqqət yetirəcəyik. Sonsuzluğa meylli dəyişən üçün həddi hesablamaq üçün təlimatlar əvvəllər verilmişdi;
Misal 35. Bizdə kəsr şəklində ardıcıllıq var, burada pay və məxrəcdə kök funksiyaları var.
Rəqəm sonsuzluğa meyl etdikdə limiti tapmalıyıq.
Burada saydakı irrasionallığı aşkarlamağa ehtiyac yoxdur, ancaq kökləri diqqətlə təhlil edin və daha çox harada olduğunu tapın. yüksək dərəcə nömrələr.
Birincidə, paylayıcının kökləri n^4 çarpanıdır, yəni n^2 mötərizədən çıxarıla bilər.
Gəlin məxrəclə də eyni şeyi edək.
Sonra, həddi keçəndə radikal ifadələrin mənasını qiymətləndiririk.
Sıfır bölgüsü aldıq, bu, məktəb kursunda səhvdir, lakin limitə keçiddə məqbuldur.
Yalnız "funksiyanın hara getdiyini qiymətləndirmək üçün" düzəlişi ilə.
Buna görə də, bütün müəllimlər yuxarıdakı qeydi düzgün şərh edə bilməz, baxmayaraq ki, nəticədə nəticə dəyişməyəcəkdir.
Nəzəriyyəyə uyğun olaraq müəllimlərin tələblərinə uyğun tərtib edilmiş cavaba baxaq.
Sadələşdirmək üçün kök altında yalnız əsas əlavə elementləri qiymətləndirəcəyik 
Bundan əlavə, paylayıcıda güc 2-ə bərabərdir, məxrəcdə 2/3, buna görə də pay daha sürətli böyüyür, yəni limit sonsuzluğa meyllidir.
Onun işarəsi n^2, n^(2/3) faktorlarından asılıdır, ona görə də müsbətdir.
Nümunə 36. Bölmə limitinin nümunəsini nəzərdən keçirin eksponensial funksiyalar. Bu cür praktiki nümunələr azdır, buna görə də bütün tələbələr yaranan qeyri-müəyyənlikləri necə açıqlamaq lazım olduğunu asanlıqla görə bilmirlər.
Numerator və məxrəc üçün maksimum amil 8^n-dir və biz bununla sadələşdiririk 
Sonra, hər bir dövrün töhfəsini qiymətləndiririk
Dəyişən sonsuzluğa gedərkən 3/8 terminləri sıfıra meyllidir, çünki 3/8<1
(свойство степенно-показательной функции).
Nümunə 37. Faktoriallarla ardıcıllığın həddi faktorialın pay və məxrəc üçün ən böyük ümumi əmsala yazılması ilə aşkar edilir.
Sonra, onu azaldırıq və pay və məxrəcdəki rəqəm göstəricilərinin dəyərinə əsasən limiti qiymətləndiririk.
Bizim nümunəmizdə məxrəc daha sürətli böyüyür, buna görə də limit sıfırdır. 
Burada aşağıdakılardan istifadə olunur
faktor mülkiyyəti.
Nümunə 38. L'Hopital qaydalarını tətbiq etmədən biz kəsrin pay və məxrəcində dəyişənin maksimum göstəricilərini müqayisə edirik.
Məxrəc 4>2 dəyişəninin ən yüksək göstəricisini ehtiva etdiyi üçün daha sürətli böyüyür.
Buradan belə nəticəyə gəlirik ki, funksiyanın limiti sıfıra meyllidir.
Nümunə 39. Kesrin pay və məxrəcindən x^4-ü çıxarmaqla sonsuzluğun sonsuzluğa bölünməsi formasının özəlliyini aşkar edirik.
Həddinə keçmək nəticəsində sonsuzluğu əldə edirik.
Misal 40. Dəyişən sonsuzluğa meyilli olduğu üçün çoxhədlilərin bölünməsi var;
Paylayıcı və məxrəcdəki dəyişənin ən yüksək dərəcəsi 3-ə bərabərdir, yəni sərhəd mövcuddur və cariyə bərabərdir.
Gəlin x^3-ü çıxaraq və keçidi həddi yerinə yetirək
Nümunə 41. Bizdə sonsuzluğun gücünə birinci tipli təklik var.
Bu o deməkdir ki, mötərizədə olan ifadə və göstəricinin özü ikinci mühüm sərhədin altına salınmalıdır.
Ondakı məxrəclə eyni olan ifadəni vurğulamaq üçün payı yazaq.
Sonra, bir plus termini ehtiva edən ifadəyə keçirik.
Dərəcə 1/(müddət) faktoru ilə fərqlənməlidir.
Beləliklə, kəsr funksiyasının həddinin gücünün göstəricisini alırıq. 
Təkliyi qiymətləndirmək üçün ikinci həddi istifadə etdik: 
Nümunə 42. Sonsuzluğun gücünə birinci tipli bir təklik var.
Bunu aşkar etmək üçün funksiyanı ikinci əlamətdar həddə endirmək lazımdır.
Bunun necə ediləcəyi aşağıdakı düsturda ətraflı şəkildə göstərilmişdir 
Bir çox oxşar problem tapa bilərsiniz. Onların mahiyyəti eksponentdə tələb olunan dərəcəni əldə etməkdir və bu, mötərizə içərisində olan terminin tərs dəyərinə bərabərdir.
Bu üsuldan istifadə edərək eksponenti alırıq. Əlavə hesablama eksponent dərəcəsinin həddinin hesablanmasına endirilir.
Burada eksponensial funksiya sonsuzluğa meyl edir, çünki qiymət birdən böyükdür e=2.72>1.
Misal 43 Kəsrin məxrəcində sonsuzluq mənfi sonsuzluq tipli qeyri-müəyyənliyimiz var ki, bu da əslində sıfıra bölünməyə bərabərdir.
Kökdən xilas olmaq üçün konjugat ifadəsi ilə çarpırıq və sonra məxrəci yenidən yazmaq üçün kvadratlar fərqi üçün düsturdan istifadə edirik.
Sonsuzluğun qeyri-müəyyənliyini sonsuzluğa bölürük, buna görə də dəyişəni ən böyük ölçüdə çıxarırıq və ona görə azaldırıq.
Sonra, hər bir müddətin töhfəsini qiymətləndiririk və sonsuzluqda funksiyanın limitini tapırıq 
Növ və növ qeyri-müəyyənliyi limitləri həll edərkən açıqlanmalı olan ən çox yayılmış qeyri-müəyyənliklərdir.
Şagirdlərin qarşılaşdıqları limit problemlərinin əksəriyyəti məhz belə qeyri-müəyyənlikləri ehtiva edir. Onları aşkar etmək və ya daha dəqiq desək, qeyri-müəyyənliklərdən qaçmaq üçün həddi işarə altında ifadə növünü çevirmək üçün bir neçə süni üsul var. Bu üsullar aşağıdakılardır: payın və məxrəcin dəyişənin ən yüksək gücünə bölünməsi, konyuqativ ifadə ilə vurma və həllərdən istifadə edərək sonrakı azalma üçün faktorlara ayırma kvadrat tənliklər və qısaldılmış vurma düsturları.
Növlərin qeyri-müəyyənliyi
Misal 1.
n 2-ə bərabərdir. Buna görə də, pay və məxrəc həddi hədlərə bölürük:
.
İfadənin sağ tərəfinə şərh yazın. Oxlar və rəqəmlər əvəzetmədən sonra fraksiyaların nəyə meyl etdiyini göstərir n sonsuzluq deməkdir. Burada, misal 2-də olduğu kimi, dərəcə n Məxrəcdə saydan daha çox şey var, bunun nəticəsində bütün fraksiya sonsuz kiçik və ya “super-kiçik” olmağa meyllidir.
Cavab alırıq: sonsuzluğa meylli dəyişən ilə bu funksiyanın həddi bərabərdir.
Misal 2. .
Həll. Burada dəyişənin ən yüksək gücü x 1-ə bərabərdir. Buna görə də say və məxrəci hədlərə bölürük x:
Qərarın icrasına dair şərh. Hesablayıcıda biz üçüncü dərəcənin kökünün altında “x” çəkirik və onun ilkin dərəcəsi (1) dəyişməz qalsın, biz ona köklə eyni dərəcəni təyin edirik, yəni 3. Oxlar və ya əlavə nömrələr yoxdur. bu girişdə bunu əqli olaraq sınayın, lakin əvvəlki nümunə ilə bənzətmə ilə “x” əvəzinə sonsuzluğu əvəz etdikdən sonra pay və məxrəcdəki ifadələrin nəyə meyl etdiyini müəyyənləşdirin.
Cavab aldıq: sonsuzluğa meylli dəyişən ilə bu funksiyanın həddi sıfıra bərabərdir.
Növlərin qeyri-müəyyənliyi
Misal 3. Qeyri-müəyyənliyi üzə çıxarın və həddi tapın.
Həll. Numerator kubların fərqidir. Məktəb riyaziyyatı kursundan qısaldılmış vurma düsturundan istifadə edərək onu faktorlara ayıraq:
Məxrəcdə kvadrat tənliyi həll etməklə faktorlara ayıracağımız kvadrat üçbucaq var (yenidən kvadrat tənliklərin həllinə keçid):
Çevrilmələr nəticəsində alınan ifadəni yazaq və funksiyanın limitini tapaq:
Misal 4. Qeyri-müəyyənliyin kilidini açın və həddi tapın
Həll. Kəskin həddi teoremi burada tətbiq edilmir, çünki
Buna görə də, biz kəsri eyni şəkildə çeviririk: say və məxrəci binom konjugatı ilə məxrəcə vuraraq və azaldırıq. x+1. Teorem 1-in nəticəsinə əsasən, həll edərək istədiyimiz həddi tapdığımız bir ifadə alırıq:
Misal 5. Qeyri-müəyyənliyin kilidini açın və həddi tapın
Həll. Birbaşa dəyərin dəyişdirilməsi x Verilmiş funksiyaya = 0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Bunu aşkar etmək üçün eyni çevrilmələri həyata keçiririk və nəticədə istədiyiniz həddi əldə edirik: 
Misal 6. Hesablayın 
Həlli: Limitlərlə bağlı teoremlərdən istifadə edək
Cavab: 11
Misal 7. Hesablayın 
Həlli: bu misalda say və məxrəcin hədləri 0-a bərabərdir:
; 
. Buna görə də, hissənin həddi ilə bağlı teorem tətbiq edilə bilməz.
Kəsri sıfıra meylli ümumi əmsalla azaltmaq üçün payı və məxrəci çarpazlayaq və buna görə də mümkün istifadə Teorem 3.
Düsturdan istifadə edərək saydakı kvadrat üçhəcmini genişləndiririk, burada x 1 və x 2 trinomialın kökləridir. Faktorlara və məxrəcə görə kəsri (x-2) azaldırıq, sonra 3-cü teoremi tətbiq edirik.
Cavab:
Misal 8. Hesablayın
Həlli: Sayım və məxrəc sonsuzluğa meyl etdikdə, 3-cü Teoremi birbaşa tətbiq edərkən qeyri-müəyyənliyi ifadə edən ifadəni alırıq. Bu tip qeyri-müəyyənlikdən qurtulmaq üçün pay və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölmək lazımdır. IN bu misalda ilə bölmək lazımdır X:
Cavab:
Misal 9. Hesablayın 
Həlli: x 3:
Cavab: 2
Misal 10. Hesablayın 
Həlli: Say və məxrəc sonsuzluğa meyl etdikdə. Gəlin pay və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölək, yəni. x 5:
= 
Kəsrin payı 1-ə, məxrəci 0-a, buna görə də kəsr sonsuzluğa meyllidir.
Cavab:
Misal 11. Hesablayın
Həlli: Say və məxrəc sonsuzluğa meyl etdikdə. Gəlin pay və məxrəci arqumentin ən yüksək gücünə bölək, yəni. x 7:
Cavab: 0
törəmə.
y = f(x) funksiyasının x arqumentinə görə törəməsi arqumentin artımı sıfıra meyl etdikdə onun y artımının x arqumentinin x artımına nisbətinin həddi adlanır: . Bu hədd sonludursa, o zaman funksiya y = f(x) x-də diferensiallana bildiyi deyilir. Əgər bu hədd varsa, o zaman funksiya deyirlər y = f(x) x nöqtəsində sonsuz törəmə var.
Əsas elementar funksiyaların törəmələri:
1. (const)=0 9. 
3. 11. 
4. 
12. 
Fərqləndirmə qaydaları:
a) 
Misal 1. Funksiyanın törəməsini tapın 
Həlli:Əgər ikinci həddin törəməsi kəsrlərin diferensiallaşdırılması qaydası ilə tapılarsa, onda birinci hədd mürəkkəb funksiyadır, törəməsi düsturla tapılır:
Harada 
, Sonra
Həll edərkən aşağıdakı düsturlardan istifadə edilmişdir: 1,2,10,a,c,d.
Cavab:
Misal 21. Funksiyanın törəməsini tapın 
Həlli: hər iki termin mürəkkəb funksiyalardır, burada birinci üçün , , ikincisi üçün , , onda
Cavab: 
Törəmə tətbiqləri.
1. Sürət və sürətlənmə
s(t) funksiyası təsvir olunsun mövqe t zamanında hansısa koordinat sistemindəki obyekt. Onda s(t) funksiyasının birinci törəməsi ani olur sürət obyekt:
v=s′=f′(t)
s(t) funksiyasının ikinci törəməsi aniliyi təmsil edir sürətlənmə obyekt:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Tangens tənliyi
y−y0=f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) toxunan nöqtənin koordinatları, f′(x0) f(x) funksiyasının toxunan nöqtədəki törəməsinin qiymətidir.
3. Normal tənlik
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
burada (x0,y0) normalın çəkildiyi nöqtənin koordinatları, f′(x0) f(x) funksiyasının bu nöqtədəki törəməsinin qiymətidir.
4. Artan və azalan funksiya
Əgər f′(x0)>0 olarsa, funksiya x0 nöqtəsində artır. Aşağıdakı şəkildə funksiya x kimi artır
Əgər f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Funksiyanın yerli ekstremalları
f(x) funksiyası var yerli maksimum x1 nöqtəsində, əgər x1 nöqtəsinin elə qonşuluğu varsa ki, bu qonşuluqdan olan bütün x üçün f(x1)≥f(x) bərabərsizliyi yerinə yetirilsin.
Eynilə, f(x) funksiyası var yerli minimum x2 nöqtəsində, əgər x2 nöqtəsinin elə qonşuluğu varsa ki, bu qonşuluqdan olan bütün x üçün f(x2)≤f(x) bərabərsizliyi yerinə yetirilsin.
6. Kritik nöqtələr
x0 nöqtəsidir kritik nöqtə f(x) funksiyası, onda f′(x0) törəməsi sıfıra bərabərdirsə və ya mövcud deyilsə.
7. Ekstremumun mövcudluğunun ilk kifayət qədər əlaməti
Əgər f(x) funksiyası müəyyən intervalda (a,x1] bütün x üçün artarsa (f′(x)>0) və azalarsa (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) intervaldan bütün x üçün)