11340 rəqəmini əsas amillərə ayırmaq. Baş və mürəkkəb ədədlər

Hər biri natural ədəd, birindən başqa, iki və ya daha çox bölən var. Məsələn, 7 rəqəmi yalnız 1 və 7-yə qalıqsız bölünür, yəni iki bölən var. 8 rəqəminin isə 1, 2, 4, 8-ə bölənləri var, yəni eyni anda 4-ə qədər bölən var.

Sadə və mürəkkəb ədədlər arasındakı fərq nədir?

İkidən çox bölənləri olan ədədlərə mürəkkəb ədədlər deyilir. Yalnız iki bölən: bir və ədədin özü olan ədədlərə sadə ədədlər deyilir.

1 rəqəminin yalnız bir bölməsi var, yəni nömrənin özü. Biri nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir.

• Məsələn, 7 rəqəmi sadə, 8 rəqəmi isə mürəkkəbdir.

İlk 10 sadə ədəd: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. 2 rəqəmi yeganə cüt sadə ədəddir, qalan bütün sadə ədədlər təkdir.

78 rəqəmi mürəkkəbdir, çünki 1 və özündən əlavə 2-yə də bölünür. 2-yə bölünəndə 39 alınır. Yəni 78 = 2*39. Belə hallarda deyirlər ki, rəqəm 2 və 39 faktorlarına hesablanıb.

İstənilən mürəkkəb ədədi hər biri 1-dən böyük olan iki amilə bölmək olar. C əsas nömrə belə bir hiylə işləməyəcək. Belə şeylər.

Ədədin əsas amillərə daxil edilməsi

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, hər hansı bir mürəkkəb ədəd iki amilə parçalana bilər. Məsələn, 210 rəqəmini götürək. Bu ədədi 21 və 10-a ayırmaq olar. Amma 21 və 10 ədədləri də birləşmiş rəqəmlərdir, gəlin onları iki amilə parçalayaq. 10 = 2*5, 21=3*7 alırıq. Və nəticədə 210 rəqəmi 4 amilə parçalandı: 2,3,5,7. Bu rəqəmlər artıq əsasdır və onları genişləndirmək mümkün deyil. Yəni 210 rəqəmini əsas amillərə ayırdıq.

Mürəkkəb ədədləri sadə amillərə ayırarkən, onlar adətən artan qaydada yazılır.

Yadda saxlamaq lazımdır ki, hər hansı bir kompozit ədəd sadə amillərə bölünə bilər və təkrarlanmaya qədər unikal şəkildə.

• Adətən, bir ədədi əsas amillərə parçalayarkən, bölünmə meyarlarından istifadə olunur.

378 rəqəmini sadə amillərə ayıraq

Rəqəmləri şaquli xəttlə ayıraraq yazacağıq. 378 rəqəmi 8 ilə bitdiyi üçün 2-yə bölünür. Böldükdə biz 189 rəqəmini alırıq. 189 rəqəminin rəqəmlərinin cəmi 3-ə bölünür, yəni 189 rəqəminin özü 3-ə bölünür. Nəticə 63-dür.

63 rəqəmi də bölünmə qabiliyyətinə görə 3-ə bölünür. 21 alırıq, 21 rəqəmini yenə 3-ə bölmək olar, 7-ni alırıq. Yeddi yalnız özünə bölünür, bir alırıq. Bu bölməni tamamlayır. Xəttdən sonra sağda 378 rəqəminin parçalandığı əsas amillər var.

378|2
189|3
63|3
21|3

Faktorinq nə deməkdir? Bunu necə etmək olar? Ədədi əsas amillərə ayırmaqdan nə öyrənə bilərsiniz? Bu sualların cavabları konkret misallarla təsvir edilmişdir.

Təriflər:

Tam iki fərqli bölən olan ədədə sadə deyilir.

İkidən çox bölən olan ədədə mürəkkəb deyilir.

Natural ədədi faktorlara ayırmaq onu natural ədədlərin hasili kimi göstərmək deməkdir.

Natural ədədi sadə amillərə ayırmaq onu sadə ədədlərin hasili kimi göstərmək deməkdir.

Qeydlər:

• Sadə ədədin genişlənməsində amillərdən biri birinə bərabərdir, digəri isə bu nömrənin özünə.
• Faktorinq birliyindən danışmağın mənası yoxdur.
• Mürəkkəb ədəd, hər biri 1-dən fərqli olan faktorlara bölünə bilər.

	Gəlin 150 ədədini çarpazlayaq. Məsələn, 150 15-in 10-a bərabərdir. 15 mürəkkəb ədəddir. Onu 5 və 3-ün əsas amillərinə aid etmək olar. 10 mürəkkəb ədəddir. Onu 5 və 2-nin əsas amillərinə aid etmək olar. Onların parçalanmalarını 15 və 10 əvəzinə sadə amillərə yazmaqla 150 ədədinin parçalanmasını əldə etdik.
	150 rəqəmi başqa bir şəkildə faktorlara bölünə bilər. Məsələn, 150 5 və 30 rəqəmlərinin məhsuludur. 5 sadə ədəddir. 30 mürəkkəb ədəddir. 10 və 3-ün hasili kimi düşünülə bilər. 10 mürəkkəb ədəddir. Onu 5 və 2-nin əsas amillərinə aid etmək olar. 150-nin əsas amillərə bölünməsini fərqli bir şəkildə əldə etdik.
	Qeyd edək ki, birinci və ikinci genişlənmələr eynidir. Onlar yalnız amillərin sırasına görə fərqlənirlər. Faktorları artan ardıcıllıqla yazmaq adətdir.
Hər bir mürəkkəb ədəd, amillərin sırasına qədər unikal şəkildə sadə amillərə bölünə bilər.

Parçalanma zamanı böyük rəqəmlərƏsas amillər üçün sütun qeydindən istifadə edin:

	216-ya bölünən ən kiçik sadə ədəd 2-dir. 216-nı 2-yə bölün. 108-i alırıq.
	Nəticədə alınan 108 ədədi 2-yə bölünür. Bölməni edək. Nəticə 54-dür.
	2-yə bölünmə testinə görə 54 rəqəmi 2-yə bölünür. Böldükdən sonra 27 alırıq.
	27 rəqəmi 7 tək rəqəmi ilə bitir. Bu 2-yə bölünmür. Növbəti sadə ədəd 3-dür. 27-ni 3-ə bölün. 9-u alırıq. Ən az əsas 9-a bölünən ədəd 3-dür. Üç özü sadə ədəddir və birə bölünür. 3-ü özümüzə bölək. Sonda 1 aldıq.

• Ədəd yalnız onun parçalanmasının bir hissəsi olan sadə ədədlərə bölünür.
• Ədəd yalnız o mürəkkəb ədədlərə bölünür ki, onların əsas amillərə parçalanması tamamilə onun tərkibindədir.

Nümunələrə baxaq:

	4900 2, 5 və 7 sadə rəqəmlərinə bölünür (onlar 4900 rəqəminin genişlənməsinə daxildir), lakin məsələn, 13-ə bölünmür.
	11 550 75. Bu belədir, çünki 75 rəqəminin parçalanması 11550 rəqəminin parçalanmasında tamamilə öz əksini tapmışdır. Bölmənin nəticəsi 2, 7 və 11 amillərinin məhsulu olacaqdır. 11550 4-ə bölünmür, çünki dördün genişlənməsində əlavə iki var.

Əgər bu ədədləri faktorlara ayırmaq olarsa, a ədədinin b ədədinə bölünən hissəsini tapın aşağıdakı kimi a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	b ədədinin parçalanması a ədədinin parçalanmasında tamamilə yer alır.
	a-nın b-yə bölünməsinin nəticəsi a-nın genişlənməsində qalan üç ədədin hasilidir. Beləliklə, cavab: 30.

İstinadlar

1. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Riyaziyyat 6 sinif. - Gimnaziya. 2006.
3. Depman İ.Ya., Vilenkin N.Ya. Riyaziyyat dərsliyinin səhifələrinin arxasında. - M.: Təhsil, 1989.
4. Rurukin A.N., Çaykovski İ.V. Riyaziyyat kursu 5-6-cı siniflər üçün tapşırıqlar. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Çaykovski K.G. Riyaziyyat 5-6. MEPhI qiyabi məktəbin 6-cı sinif şagirdləri üçün dərslik. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Şevrin L.N., Gein A.G., Koryakov İ.O., Volkov M.V. Riyaziyyat: 5-6-cı siniflər üçün dərslik-həmsöhbət orta məktəb. - M.: Təhsil, Riyaziyyat müəllimi kitabxanası, 1989.

1. İnternet portalı Matematika-na.ru ().
2. Math-portal.ru internet portalı ().

Ev tapşırığı

1. Vilenkin N.Ya., Jokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Riyaziyyat 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No 127, No 129, No 141.
2. Digər tapşırıqlar: No 133, No 144.

Bu yazıda suala cavab vermək üçün bütün lazımi məlumatları tapa bilərsiniz, ədədi əsas amillərə necə amil etmək olar. Əvvəlcə verilmişdir ümumi fikir bir sıranın əsas amillərə parçalanması haqqında, parçalanma nümunələri verilir. Aşağıda ədədin əsas amillərə parçalanmasının kanonik forması göstərilir. Bundan sonra ixtiyari ədədlərin sadə amillərə parçalanması alqoritmi verilir və bu alqoritmdən istifadə edərək ədədlərin parçalanmasına dair nümunələr verilir. Həmçinin nəzərə alınır alternativ yollar, bölünmə testləri və vurma cədvəllərindən istifadə edərək kiçik tam ədədləri tez bir zamanda əsas amillərə çevirməyə imkan verir.

Səhifə naviqasiyası.

Ədədi əsas amillərə ayırmaq nə deməkdir?

Əvvəlcə əsas amillərin nə olduğuna baxaq.

Aydındır ki, bu ifadədə “amillər” sözü olduğu üçün bəzi ədədlərin hasili var və “sadə” seçmə sözü hər bir faktorun sadə ədəd olduğunu bildirir. Məsələn, 2·7·7·23 formasında hasildə dörd sadə amil var: 2, 7, 7 və 23.

Ədədi əsas amillərə ayırmaq nə deməkdir?

Bu o deməkdir ki, bu ədəd əsas amillərin hasili kimi göstərilməlidir və bu məhsulun dəyəri ilkin ədədə bərabər olmalıdır. Nümunə olaraq üç sadə ədədin hasilini nəzərdən keçirək 2, 3 və 5, o, 30-a bərabərdir, beləliklə, 30 ədədinin sadə amillərə parçalanması 2·3·5-dir. Adətən ədədin sadə amillərə parçalanması bizim nümunəmizdə bərabərlik kimi yazılır: 30=2·3·5; Genişlənmədə əsas amillərin təkrarlana biləcəyini ayrıca vurğulayırıq. Bunu aşağıdakı misal aydın şəkildə göstərir: 144=2·2·2·2·3·3. Lakin 45=3·15 formasının təsviri sadə amillərə parçalanma deyil, çünki 15 ədədi mürəkkəb ədəddir.

Oyanır növbəti sual: "Hansı ədədləri əsas amillərə bölmək olar?"

Buna cavab axtarmaq üçün aşağıdakı əsaslandırmanı təqdim edirik. Sadə ədədlər tərifinə görə birdən böyük olanlar arasındadır. Bu faktı nəzərə alaraq və iddia etmək olar ki, bir neçə sadə amilin hasili tam ədəddir. müsbət rəqəm, birdən çoxdur. Buna görə də, faktorizasiya yalnız 1-dən böyük olan müsbət tam ədədlər üçün baş verir.

Ancaq birdən böyük bütün tam ədədləri əsas amillərə aid etmək olarmı?

Aydındır ki, sadə tam ədədləri sadə amillərə ayırmaq mümkün deyil. Bunun səbəbi, sadə ədədlərin yalnız iki müsbət amili var - bir və özü, ona görə də onları iki və ya daha çox sadə ədədin hasili kimi təqdim etmək olmaz. Əgər z tam ədədini a və b sadə ədədlərinin hasili kimi təqdim etmək mümkün olsaydı, onda bölünmə anlayışı z-nin həm a, həm də b-yə bölünməsi qənaətinə gəlməyə imkan verərdi ki, bu da z ədədinin sadəliyinə görə qeyri-mümkündür. Bununla belə, onlar hesab edirlər ki, istənilən sadə ədədin özü bir parçalanmadır.

Bəs kompozit ədədlər? Mürəkkəb ədədlər sadə amillərə parçalanırmı və bütün mürəkkəb ədədlər belə parçalanmaya məruz qalırmı? Hesabın əsas teoremi bu sualların bir sırasına müsbət cavab verir. Arifmetikanın əsas teoremində deyilir ki, 1-dən böyük olan istənilən a tam ədədi p 1, p 2, ..., p n əsas amillərinin hasilinə parçalana bilər və parçalanma a = p 1 · p 2 · formasına malikdir. … · p n və bu genişlənmə unikaldır, əgər amillərin sırasını nəzərə almasanız

Ədədin əsas amillərə kanonik faktorlara bölünməsi

Bir sıra genişlənməsində əsas amillər təkrarlana bilər. Təkrarlanan əsas amillərdən istifadə edərək daha yığcam yazmaq olar. Ədədin parçalanmasında p 1 baş amili s 1 dəfə, baş amili p 2 – s 2 dəfə və s. p n – s n dəfə baş versin. Onda a ədədinin sadə çarpayılara bölünməsi belə yazıla bilər a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Bu qeyd forması sözdə deyilir ədədin əsas amillərə kanonik faktorlaşdırılması.

Ədədin əsas amillərə kanonik parçalanmasına misal verək. Bizə parçalanmanı bildirin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, onun kanonik qeyd forması var 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Ədədin əsas amillərə kanonik bölünməsi ədədin bütün bölənlərini və ədədin bölənlərinin sayını tapmağa imkan verir.

Ədədin əsas amillərə bölünməsi alqoritmi

Ədədin əsas amillərə parçalanması vəzifəsinin öhdəsindən uğurla gəlmək üçün sadə və mürəkkəb ədədlər məqaləsindəki məlumatı çox yaxşı bilməlisiniz.

Birdən çox olan müsbət a tam ədədinin parçalanması prosesinin mahiyyəti hesabın əsas teoreminin sübutundan aydın olur. Məsələ a, a 1, a 2, ..., a n-1 ədədlərinin p 1, p 2, ..., p n ən kiçik sadə bölənlərini ardıcıl olaraq tapmaqdır ki, bu da bərabərliklər silsiləsi almağa imkan verir. a=p 1 ·a 1, burada a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , burada a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , burada a n =a n-1:p n . a n =1 çıxdıqda, a=p 1 ·p 2 ·…·p n bərabərliyi bizə a ədədinin sadə amillərə istənilən parçalanmasını verəcəkdir. Burada onu da qeyd etmək lazımdır ki p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Hər addımda ən kiçik əsas amilləri necə tapmaq lazım olduğunu anlamaq qalır və biz bir ədədi əsas amillərə parçalamaq üçün alqoritmimiz olacaq. Sadə ədədlər cədvəli bizə əsas amilləri tapmağa kömək edəcək. Gəlin z ədədinin ən kiçik sadə bölənini əldə etmək üçün ondan necə istifadə edəcəyimizi göstərək.

Sadə ədədlər cədvəlindən ardıcıl olaraq sadə ədədləri götürürük (2, 3, 5, 7, 11 və s.) və verilmiş z ədədini onlara bölürük. z-nin bərabər bölündüyü ilk sadə ədəd onun ən kiçik sadə bölməsi olacaqdır. Əgər z ədədi sadədirsə, onda onun ən kiçik sadə bölməsi z ədədinin özü olacaqdır. Burada xatırlatmaq lazımdır ki, z sadə ədəd deyilsə, onun ən kiçik sadə bölməsi z-dən olan ədədi keçmir. Beləliklə, -dən çox olmayan sadə ədədlər arasında z ədədinin bir dənə də bölməsi yox idisə, o zaman belə nəticəyə gəlmək olar ki, z sadə ədəddir (bu barədə ətraflı nəzəriyyə bölməsində Bu ədəd sadə və ya mürəkkəbdir başlığı altında yazılmışdır). ).

Nümunə olaraq 87 ədədinin ən kiçik baş bölənini necə tapacağını göstərəcəyik. 2 nömrəsini götürək. 87-ni 2-yə bölün, 87:2=43 alırıq (qalan 1) (lazım olduqda, məqaləyə baxın). Yəni 87-ni 2-yə böləndə qalıq 1-dir, ona görə də 2 87-nin böləni deyil. Sadə ədədlər cədvəlindən növbəti sadə ədədi götürürük, bu 3 rəqəmidir. 87-ni 3-ə bölün, 87:3=29 alırıq. Beləliklə, 87 3-ə bölünür, buna görə də 3 rəqəmi 87 rəqəminin ən kiçik sadə bölənidir.

Qeyd edək ki, ümumi halda a sayını sadə amillərə ayırmaq üçün bizə -dən az olmayan bir ədədə qədər sadə ədədlər cədvəli lazımdır. Hər addımda bu cədvələ müraciət etməli olacağıq, ona görə də əlimizdə olmalıdır. Məsələn, 95 rəqəmini sadə amillərə ayırmaq üçün bizə yalnız 10-a qədər sadə ədədlər cədvəlinə ehtiyacımız olacaq (çünki 10-dan böyükdür). 846,653 ədədini parçalamaq üçün artıq 1000-ə qədər sadə ədədlər cədvəlinə ehtiyacınız olacaq (çünki 1000 -dən böyükdür).

İndi yazmaq üçün kifayət qədər məlumatımız var ədədi əsas amillərə ayırma alqoritmi. a sayının parçalanması alqoritmi aşağıdakı kimidir:

• Sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıllıqla çeşidləyərək, a ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 1 tapırıq, bundan sonra 1 =a:p 1 hesablayırıq. Əgər a 1 =1 olarsa, onda a ədədi sadədir və özü də onun əsas amillərə parçalanmasıdır. Əgər a 1 1-ə bərabər deyilsə, onda a=p 1 ·a 1 olur və növbəti mərhələyə keçirik.
• a 1 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 2 tapırıq, bunun üçün p 1 ilə başlayaraq sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıl olaraq çeşidləyirik və sonra a 2 =a 1:p 2 hesablayırıq. Əgər a 2 =1 olarsa, onda a ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması a=p 1 ·p 2 formasına malikdir. Əgər a 2 1-ə bərabər deyilsə, onda a=p 1 ·p 2 ·a 2 olur və növbəti mərhələyə keçirik.
• Sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri keçərək p 2-dən başlayaraq a 2 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p 3 tapırıq, bundan sonra a 3 =a 2:p 3 hesablayırıq. Əgər a 3 =1 olarsa, onda a ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması a=p 1 ·p 2 ·p 3 formasına malikdir. Əgər 3 1-ə bərabər deyilsə, onda biz a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3-ə sahibik və növbəti mərhələyə keçirik.
• A n-1 ədədinin ən kiçik sadə bölənini p n tapırıq, p n-1-dən başlayaraq sadə ədədlər, eləcə də a n =a n-1:p n və a n 1-ə bərabərdir. Bu addım alqoritmin son pilləsidir; burada a ədədinin sadə amillərə parçalanması əldə edilir: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Aydınlıq üçün ədədi sadə amillərə bölmək alqoritminin hər addımında əldə edilən bütün nəticələr aşağıdakı cədvəl şəklində təqdim olunur ki, burada a, a 1, a 2, ..., a n ədədləri ardıcıllıqla yazılır. şaquli xəttin solunda və xəttin sağında bir sütunda - müvafiq ən kiçik baş bölücülər p 1, p 2, ..., p n.

Yalnız ədədlərin əsas amillərə parçalanması üçün nəticə alqoritminin tətbiqinə dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirmək qalır.

Baş faktorlara ayırma nümunələri

İndi ətraflı baxacağıq ədədlərin sadə amillərə çevrilməsi nümunələri. Parçalayarkən, əvvəlki paraqrafdakı alqoritmdən istifadə edəcəyik. Sadə hallardan başlayaq və ədədləri əsas amillərə parçalayan zaman yaranan bütün mümkün nüanslarla qarşılaşmaq üçün onları tədricən mürəkkəbləşdirək.

Misal.

78 rəqəmini əsas amillərə daxil edin.

Həll.

a=78 ədədinin p 1 ilk ən kiçik sadə bölənini axtarmağa başlayırıq. Bunun üçün sadə ədədlər cədvəlindən sadə ədədləri ardıcıl olaraq çeşidləməyə başlayırıq. 2 rəqəmini götürüb 78-i ona bölürük, 78:2=39 alırıq. 78 ədədi 2-yə qalıqsız bölünür, ona görə də p 1 =2 78 ədədinin ilk tapılan sadə bölənidir. Bu halda, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Beləliklə, 78=2·39 formasına malik olan a=p 1 ·a 1 bərabərliyinə gəlirik. Aydındır ki, 1 =39 1-dən fərqlidir, ona görə də alqoritmin ikinci pilləsinə keçirik.

İndi a 1 =39 ədədinin ən kiçik sadə bölən p 2-ni axtarırıq. Biz p 1 =2 ilə başlayan sadə ədədlər cədvəlindən ədədləri sadalamağa başlayırıq. 39-u 2-yə bölün, 39:2=19 alırıq (qalan 1). 39 2-yə bərabər bölünmədiyi üçün 2 onun böləni deyil. Sonra sadə ədədlər cədvəlindən (3 ədəd) növbəti ədədi götürüb 39-u ona bölürük, 39:3=13 alırıq. Buna görə də, p 2 =3 39 ədədinin ən kiçik sadə bölənidir, a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. 78=2·3·13 şəklində a=p 1 ·p 2 ·a 2 bərabərliyinə sahibik. 2 =13 1-dən fərqli olduğu üçün alqoritmin növbəti mərhələsinə keçirik.

Burada a 2 =13 ədədinin ən kiçik baş bölənini tapmaq lazımdır. 13 ədədinin ən kiçik sadə böləni p 3-ün axtarışında, biz p 2 =3 ilə başlayaraq sadə ədədlər cədvəlindəki ədədləri ardıcıllıqla çeşidləyəcəyik. 13 rəqəmi 3-ə bölünmür, çünki 13:3=4 (qalan. 1), həmçinin 13 5, 7 və 11-ə bölünmür, 13:5=2 (qalan. 3), 13:7=1 olduğundan (istirahət. 6) və 13:11=1 (istirahət. 2). Növbəti sadə ədəd 13-dür və 13 ona qalıqsız bölünür, buna görə də 13-ün ən kiçik sadə bölən p 3 13 ədədinin özüdür və 3 =a 2:p 3 =13:13=1. 3 =1 olduğundan alqoritmin bu addımı sonuncudur və 78 ədədinin sadə amillərə tələb olunan parçalanması 78=2·3·13 formasına malikdir (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Cavab:

78=2·3·13.

Misal.

83.006 ədədini sadə amillərin hasili kimi ifadə edin.

Həll.

Ədədin sadə amillərə parçalanması alqoritminin ilk addımında biz p 1 =2 və 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503 tapırıq ki, bunlardan 83,006=2·41,503.

İkinci addımda 2, 3 və 5-in a 1 =41.503 ədədinin sadə bölənləri olmadığını, 41.503:7=5.929 olduğundan 7 rəqəminin olduğunu öyrənirik. Bizdə p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Beləliklə, 83,006=2 7 5 929.

5 929:7 = 847 olduğundan a 2 =5 929 ədədinin ən kiçik baş böləni 7 ədədidir. Beləliklə, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, ondan 83 006 = 2·7·7·847.

Sonra a 3 =847 ədədinin p 4 ən kiçik sadə böləninin 7-yə bərabər olduğunu tapırıq. Onda a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, deməli 83 006=2·7·7·7·121.

İndi a 4 =121 ədədinin ən kiçik sadə bölənini tapırıq, bu, p 5 =11 ədədidir (çünki 121 11-ə bölünür, 7-yə bölünmür). Onda a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, və 83 006=2·7·7·7·11·11.

Nəhayət, a 5 =11 ədədinin ən kiçik sadə böləni p 6 =11 ədədidir. Onda a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. 6 =1 olduğundan, ədədi sadə amillərə parçalamaq üçün alqoritmin bu addımı sonuncudur və istədiyiniz parçalanma 83 006 = 2·7·7·7·11·11 formasına malikdir.

Alınan nəticə ədədin 83 006 = 2·7 3 ·11 2 sadə amillərə kanonik parçalanması kimi yazıla bilər.

Cavab:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 sadə rəqəmdir. Həqiqətən də, onun (təxminən 991-dən çox olmayan) əsas bölməsi yoxdur, çünki aydındır ki, 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Cavab:

897 924 289 = 937 967 991 .

Baş faktorlara ayırma üçün bölünmə testlərindən istifadə

Sadə hallarda, bu məqalənin birinci abzasındakı parçalanma alqoritmini istifadə etmədən bir sıra əsas amillərə parçalaya bilərsiniz. Əgər ədədlər böyük deyilsə, onda onları əsas amillərə parçalamaq üçün çox vaxt bölünmə əlamətlərini bilmək kifayətdir. Aydınlaşdırmaq üçün misallar verək.

Məsələn, 10 rəqəmini əsas amillərə ayırmalıyıq. Vurma cədvəlindən bilirik ki, 2·5=10 və 2 və 5 ədədləri açıq-aydın sadədir, ona görə də 10 ədədinin sadə faktorlara ayrılması 10=2·5 kimi görünür.

Başqa bir misal. Çarpma cədvəlindən istifadə edərək 48 rəqəmini sadə amillərə ayıracağıq. Bilirik ki, altı səkkizdir - qırx səkkiz, yəni 48 = 6·8. Bununla belə, nə 6, nə də 8 sadə ədədlər deyil. Amma bilirik ki, iki dəfə üç altı, iki dəfə dörd isə səkkizdir, yəni 6=2·3 və 8=2·4. Onda 48=6·8=2·3·2·4. İki dəfə ikinin dörd olduğunu xatırlamaq qalır, onda biz 48 = 2 · 3 · 2 · 2 · 2 əsas amillərə istədiyiniz parçalanmanı alırıq. Bu genişlənməni kanonik formada yazaq: 48=2 4 ·3.

Lakin 3400 ədədini əsas amillərə ayırarkən, bölünmə meyarlarından istifadə edə bilərsiniz. 10-a, 100-ə bölünmə əlamətləri bildirməyə imkan verir ki, 3.400-ün 100-ə bölünməsi, 3.400=34·100, 100-ün isə 10-a bölünməsi, 100=10·10, deməli, 3.400=34·10·0. Və 2-yə bölünmə testinə əsaslanaraq deyə bilərik ki, 34, 10 və 10 amillərinin hər biri 2-yə bölünür, alırıq 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Nəticədə genişlənmənin bütün amilləri sadədir, ona görə də bu genişlənmə arzu olunandır. Qalır ki, amilləri artan qaydada tənzimləmək lazımdır: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Bu ədədin kanonik parçalanmasını da sadə amillərə yazaq: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Verilmiş ədədi sadə amillərə parçalayarkən, növbə ilə həm bölünmə əlamətlərindən, həm də vurma cədvəlindən istifadə edə bilərsiniz. 75 rəqəmini əsas amillərin hasili kimi təsəvvür edək. 5-ə bölünmə testi 75-in 5-ə bölündüyünü bildirməyə imkan verir və biz 75 = 5·15 alırıq. Və vurma cədvəlindən bilirik ki, 15=3·5, deməli, 75=5·3·5. Bu, 75 rəqəminin əsas amillərə tələb olunan parçalanmasıdır.

İstinadlar.

• Vilenkin N.Ya. və başqaları. 6-cı sinif: Ümumtəhsil müəssisələri üçün dərslik.
• Vinoqradov İ.M. Ədədlər nəzəriyyəsinin əsasları.
• Mixeloviç Ş.H. Say nəzəriyyəsi.
• Kulikov L.Ya. və başqaları cəbr və ədədlər nəzəriyyəsi üzrə məsələlər toplusu: Fizika və riyaziyyat tələbələri üçün dərslik. pedaqoji institutların ixtisasları.

Çox sayda faktorinq asan məsələ deyil.İnsanların çoxu dörd və ya beş rəqəmli rəqəmləri tapmaqda çətinlik çəkir. Prosesi asanlaşdırmaq üçün iki sütunun üstündəki nömrəni yazın.

• Gəlin 6552 rəqəmini çarpazlara ayıraq.

Verilmiş ədədi qalıq qoymadan verilmiş ədədi bölən ən kiçik sadə bölməyə (1-dən başqa) bölün. Bu bölücünü sol sütuna yazın və bölmənin nəticəsini sağ sütuna yazın. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, cüt ədədləri hesablamaq asandır, çünki onların ən kiçik əsas əmsalı həmişə 2 olacaqdır (tək ədədlər müxtəlif ən kiçik sadə amillərə malikdir).

• Bizim nümunəmizdə 6552 cüt ədəddir, ona görə də 2 onun ən kiçik sadə amilidir. 6552 ÷ 2 = 3276. Sol sütuna 2, sağ sütuna isə 3276 yazın.

Sonra, sağ sütundakı ədədi ədədi qalıqsız bölən ən kiçik sadə əmsala (1-dən başqa) bölün.

• Bu bölücünü sol sütuna, sağ sütuna isə bölmənin nəticəsini yazın (sağ sütunda 1-lər qalmayana qədər bu prosesi davam etdirin).

Bizim nümunəmizdə: 3276 ÷ 2 = 1638. Sol sütuna 2, sağ sütuna isə 1638 yazın Sonrakı: 1638 ÷ 2 = 819. Sol sütuna 2, sağ sütuna isə 819 yazın. Tək nömrəniz var; Belə ədədlər üçün ən kiçik sadə bölücü tapmaq daha çətindir.

• Tək ədəd alsanız, onu ən kiçik sadə tək ədədlərə bölməyə çalışın: 3, 5, 7, 11.
• Bizim nümunəmizdə 819 tək rəqəm aldınız. Onu 3-ə bölün: 819 ÷ 3 = 273. Sol sütuna 3, sağ sütuna isə 273 yazın.

Faktorları axtararkən, tapdığınız ən böyük amilin kvadrat kökünə qədər bütün sadə ədədləri sınayın. Əgər heç bir bölən ədədi tam ədədə bölmürsə, çox güman ki, sizin sadə ədədiniz var və hesablamağı dayandıra bilərsiniz.

• Sağ sütunda 1 qalana qədər ədədlərin əsas amillərə bölünməsi prosesini davam etdirin (sağ sütunda sadə ədəd əldə etsəniz, 1 almaq üçün onu özünə bölün).
  • Nümunəmizdə hesablamalara davam edək:
  • 3-ə bölün. 91 qalıqla 3-ə bölünür, ona görə də 5-ə bölün. 91 qalıq ilə 5-ə bölünür, ona görə də 7-yə bölün: 91 ÷ 7 = 13. Qalıq yoxdur. Sol sütuna 7, sağ sütuna isə 13 yazın.
  • 7-yə bölün. 13 qalıqla 7-yə bölünür, ona görə də 11-ə bölün. 13-ə qalıq ilə bölünür, ona görə də 13-ə bölün: 13 ÷ 13 = 1. Qalıq yoxdur. Sol sütuna 13, sağ sütuna isə 1 yazın. Hesablamalarınız tamamlandı.

Sol sütun orijinal ədədin əsas amillərini göstərir. Başqa sözlə, sol sütundakı bütün rəqəmləri çarpdığınız zaman sütunların üstündə yazılmış rəqəmi alacaqsınız. Eyni amil amillər siyahısında bir neçə dəfə görünürsə, onu göstərmək üçün eksponentlərdən istifadə edin. Bizim nümunəmizdə çarpanlar siyahısında 2 4 dəfə görünür; bu amilləri 2*2*2*2 deyil, 2 4 kimi yazın.

• Nümunəmizdə 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Siz 6552-ni əsas amillərə ayırdınız (bu qeyddəki amillərin sırası əhəmiyyət kəsb etmir).

Nə olub faktorizasiya? Bu, əlverişsiz və mürəkkəb nümunəni sadə və sevimli nümunəyə çevirmək üsuludur.) Çox güclü texnika! Həm ibtidai, həm də ali riyaziyyatda hər addımda rast gəlinir.

Riyazi dildə belə çevrilmələrə ifadələrin eyni çevrilmələri deyilir. Bilməyənlər üçün linkə nəzər salın. Orada çox az, sadə və faydalıdır.) Hər hansı bir şəxsiyyət çevrilməsinin mənası ifadənin qeyd edilməsidir. başqa formada mahiyyətini qoruyub saxlayaraq.

Mənası faktorizasiya son dərəcə sadə və aydındır. Adının özündən. Siz çarpanın nə olduğunu unuda bilərsiniz (ya da bilmirsiniz), ancaq bu sözün “çoxalmaq” sözündən gəldiyini anlaya bilərsiniz?) Faktorinq deməkdir: bir şeyi nəyəsə vurmaq şəklində ifadəni təmsil edir. Riyaziyyat və rus dili məni bağışlasın...) Bu qədər.

Məsələn, 12 rəqəmini genişləndirməlisiniz. Təhlükəsiz yaza bilərsiniz:

Beləliklə, biz 12 rəqəmini 3-ün 4-ə vurması kimi təqdim etdik. Nəzərə alın ki, sağdakı (3 və 4) rəqəmlər soldakıdan (1 və 2) tamamilə fərqlidir. Amma biz 12 və 34-ü mükəmməl başa düşürük eyni şey. Transformasiyadan 12 rəqəminin mahiyyəti dəyişməyib.

12-ni fərqli şəkildə parçalamaq mümkündürmü? Asanlıqla!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=.........

Parçalanma variantları sonsuzdur.

Faktorinq nömrələri faydalı bir şeydir. Bu, məsələn, köklərlə işləyərkən çox kömək edir. Lakin cəbri ifadələrin faktorinqi təkcə faydalı deyil, həm də faydalıdır lazımdır! Sadəcə məsələn:

Sadələşdirin:

İfadə faktorunu bilməyənlər kənarda qalır. Necə bilənlər - sadələşdirin və alın:

Təsiri heyrətamizdir, elə deyilmi?) Yeri gəlmişkən, həll yolu olduqca sadədir. Aşağıda özünüz görəcəksiniz. Və ya, məsələn, bu tapşırıq:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 = 0

Yeri gəlmişkən, ağılda qərar verilir. Faktorizasiyadan istifadə. Bu nümunəni aşağıda həll edəcəyik. Cavab: x 1 = 0; x 2 = 1.

Və ya eyni şey, lakin yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Bu nümunələrdə göstərdim əsas məqsəd faktorlara ayırma: kəsr ifadələrinin sadələşdirilməsi və bəzi növ tənliklərin həlli. Budur yadda saxlamaq üçün bir qayda:

Qarşımızda qorxulu kəsr ifadəsi varsa, pay və məxrəci faktorlara ayırmağa cəhd edə bilərik. Çox tez-tez fraksiya azaldılır və sadələşdirilir.

Qarşımızda sağda sıfır və solda olan bir tənlik varsa - nə başa düşmürəm, sol tərəfi faktorlara ayırmağa cəhd edə bilərik. Bəzən kömək edir).

Faktorizasiyanın əsas üsulları.

Budur, ən populyar üsullar:

4. Kvadrat üçhəmin genişlənməsi.

Bu üsulları xatırlamaq lazımdır. Məhz bu qaydada. Kompleks nümunələr yoxlanılır bütün mümkün parçalanma üsulları üçün. Qarışıq olmamaq üçün sıra ilə yoxlamaq daha yaxşıdır... Beləliklə, sıra ilə başlayaq.)

1. Mötərizədə ümumi amilin çıxarılması.

Sadə və etibarlı bir yol. Ondan pis heç nə gəlmir! Bu ya yaxşı olur, ya da heç baş vermir.) Ona görə də birinci gəlir. Gəlin bunu anlayaq.

Hər kəs (inanıram!) qaydanı bilir:

a(b+c) = ab+ac

Və ya daha ümumi olaraq:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Bütün bərabərliklər həm soldan sağa, həm də əksinə, sağdan sola işləyir. Yaza bilərsiniz:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

Mötərizədə ümumi faktoru çıxarmağın bütün məqamı budur.

Sol tərəfdə A - ümumi çarpan bütün şərtlər üçün. Mövcud olan hər şeyə vurulur). Sağda ən çox A artıq yerləşir mötərizələr xaricində.

Metodun praktik tətbiqini nümunələrdən istifadə edərək nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə variant sadədir, hətta primitivdir.) Amma bu variantda hər hansı faktorizasiya üçün çox vacib məqamları (yaşıl rənglə) qeyd edəcəm.

Faktorlara ayırın:

ah+9x

Hansı generalçarpan hər iki şərtdə görünür? X, əlbəttə! Biz onu mötərizələrdən çıxaracağıq. Gəlin bunu edək. Mötərizənin xaricində dərhal X yazırıq:

ax+9x=x(

Və mötərizədə bölmənin nəticəsini yazırıq hər müddət bu barədə X. Sıra ilə:

bu qədər. Təbii ki, bunu belə təfərrüatlı təsvir etməyə ehtiyac yoxdur, bu, ağılla edilir. Ancaq nəyin nə olduğunu başa düşmək məsləhətdir). Yaddaşa qeyd edirik:

Mötərizənin xaricində ümumi faktoru yazırıq. Mötərizədə bütün terminlərin bu ümumi faktora bölünməsinin nəticələrini yazırıq. Sırayla.

Beləliklə, ifadəni genişləndirdik ah+9xçarpanlarla. Onu x-ə vurmağa çevirdi (a+9). Qeyd edim ki, ilkin ifadədə vurma da var idi, hətta iki: a·x və 9·x. Amma o faktorlaşdırılmamışdır!Çünki bu ifadədə vurma ilə yanaşı əlavə, “+” işarəsi də var idi! Və ifadədə x(a+9) Çoxalmaqdan başqa bir şey yoxdur!

necə belə!? - Xalqın qəzəbli səsini eşidirəm - Və mötərizədə!?)

Bəli, mötərizə içərisində əlavə var. Ancaq hiylə budur ki, mötərizələr açılmasa da, biz onları nəzərdən keçiririk bir hərf kimi. Və bütün hərəkətləri mötərizələrlə tamamilə edirik, bir hərflə olduğu kimi. Bu mənada ifadədə x(a+9)Çoxalmadan başqa heç nə yoxdur. Bu faktorizasiyanın bütün nöqtəsidir.

Yeri gəlmişkən, hər şeyi düzgün edib-etmədiyimizi birtəhər yoxlamaq mümkündürmü? Asanlıqla! Çıxardığınızı (x) mötərizədə çoxaltmaq və işlədiyini görmək kifayətdir orijinal ifadə? Əgər işləyirsə, hər şey əladır!)

x(a+9)=ax+9x

İşlədi.)

Bu primitiv nümunədə heç bir problem yoxdur. Amma bir neçə termin olsa və hətta müxtəlif işarələrlə... Bir sözlə, hər üçüncü şagirddən biri qarışır). Buna görə də:

Lazım gələrsə, faktorizasiyanı tərs vurma ilə yoxlayın.

Faktorlara ayırın:

3ax+9x

Biz ümumi amil axtarırıq. Yaxşı, X ilə hər şey aydındır, onu çıxarmaq olar. Daha çox varmı general amil? Bəli! Bu üçdür. İfadəni belə yaza bilərsiniz:

3ax+3 3x

Burada ortaq amilin olacağı dərhal aydın olur 3x. Burada onu çıxarırıq:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Yaymaq.

Çıxarsan nə olar yalnız x? Xüsusi bir şey yoxdur:

3ax+9x=x(3a+9)

Bu da faktorizasiya olacaq. Ancaq bu füsunkar prosesdə fürsət varkən hər şeyi həddi-buluğa çatdırmaq adətdir. Burada mötərizədə üçü çıxarmaq imkanı var. Belə çıxacaq:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Eyni şey, yalnız bir əlavə hərəkətlə.) Unutmayın:

Mötərizədə ümumi faktoru çıxararkən biz çıxarmağa çalışırıq maksimumümumi faktor.

Əylənməyə davam edək?)

İfadə faktoru:

3ax+9х-8а-24

Nə aparacağıq? Üç, X? Xeyr... Bacarmazsan. Xatırladıram ki, yalnız çıxara bilərsiniz generalçarpan yəni hamısında ifadə şərtləri. Ona görə də o general. Burada belə çarpan yoxdur... Nədir, genişləndirmək lazım deyil!? Hə, çox xoşbəxt idik... Tanış:

2. Qruplaşdırma.

Əslində qruplaşdırmanı faktorizasiyanın müstəqil üsulu adlandırmaq olmaz. Bu, daha doğrusu, mürəkkəb nümunədən çıxış yoludur.) Şərtləri elə qruplaşdırmaq lazımdır ki, hər şey düzəlsin. Bunu yalnız nümunə ilə göstərmək olar. Beləliklə, ifadəmiz var:

3ax+9х-8а-24

Bəzi ümumi hərf və rəqəmlərin olduğunu görmək olar. Amma... General bütün şərtlərdə olmaq üçün çarpan yoxdur. Ürəyi itirməyək və ifadəni parçalara ayırın. Qruplaşaq. Beləliklə, hər bir parçanın ortaq bir amili var, götürməli bir şey var. Necə poza bilərik? Bəli, biz sadəcə mötərizə qoyuruq.

Nəzərinizə çatdırım ki, mötərizələr istənilən yerdə və istədiyiniz kimi yerləşdirilə bilər. Sadəcə misalın mahiyyəti dəyişməyib. Məsələn, bunu edə bilərsiniz:

3ax+9х-8а-24=(3ax+9x)-(8a+24)

Zəhmət olmasa ikinci mötərizələrə diqqət yetirin! Onlardan əvvəl mənfi işarə qoyulur və 8a Və 24 müsbət çevrildi! Yoxlamaq üçün mötərizələri geri açsaq, işarələr dəyişəcək və alırıq orijinal ifadə. Bunlar. mötərizədən gələn ifadənin mahiyyəti dəyişməyib.

Ancaq işarənin dəyişməsini nəzərə almadan sadəcə mötərizələri daxil etmisinizsə, məsələn, bu kimi:

3ax+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )

səhv olardı. Sağda - artıq digər ifadə. Mötərizələri açın və hər şey görünəcək. Əlavə qərar vermək lazım deyil, bəli...)

Ancaq faktorizasiyaya qayıdaq. Gəlin ilk mötərizələrə baxaq (3ax+9x) və düşünürük ki, çıxara biləcəyimiz bir şey varmı? Yaxşı, bu nümunəni yuxarıda həll etdik, götürə bilərik 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Gəlin ikinci mötərizələri öyrənək, oraya səkkiz əlavə edə bilərik:

(8a+24)=8(a+3)

Bütün ifadəmiz belə olacaq:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

faktorlu? yox. Parçalanmanın nəticəsi olmalıdır yalnız çarpma Ancaq bizdə mənfi işarə hər şeyi korlayır. Amma... Hər iki terminin ortaq amili var! Bu (a+3). Əbəs yerə deməmişəm ki, bütün mötərizələr sanki bir hərfdir. Bu o deməkdir ki, bu mötərizələr mötərizələrdən çıxarıla bilər. Bəli, tam olaraq belə səslənir.)

Yuxarıda təsvir edildiyi kimi edirik. Ümumi faktoru yazırıq (a+3), ikinci mötərizədə şərtlərin bölünməsinin nəticələrini yazırıq (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Hamısı! Sağda vurmaqdan başqa heç nə yoxdur! Bu o deməkdir ki, faktorizasiya uğurla başa çatıb!) Budur:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Qrupun mahiyyətini qısaca təkrar edək.

Əgər ifadə yoxdursa generalüçün çarpan hamışərtlərlə ifadəni mötərizələrə bölürük ki, mötərizədə ümumi faktor olsun idi. Biz onu çıxarırıq və nə baş verdiyini görürük. Əgər şanslısınızsa və mötərizədə tamamilə eyni ifadələr qalıbsa, biz bu mötərizələri mötərizədən çıxarırıq.

Əlavə edəcəyəm ki, qruplaşma yaradıcı prosesdir). Həmişə ilk dəfə işləmir. Hər şey qaydasındadır. Bəzən şərtləri dəyişdirməli və müvəffəqiyyətli birini tapana qədər müxtəlif qruplaşdırma variantlarını nəzərdən keçirməli olursunuz. Burada əsas şey ruhdan düşməməkdir!)

Nümunələr.

İndi biliklə zənginləşərək, çətin misallar həll edə bilərsiniz.) Dərsin əvvəlində bunlardan üçü var idi...

Sadələşdirin:

Əslində, biz bu nümunəni artıq həll etmişik. Özümüzdən xəbərsiz.) Xatırladıram: əgər bizə dəhşətli kəsr verilirsə, biz pay və məxrəci çarpanlara ayırmağa çalışırıq. Digər sadələşdirmə variantları sadəcə yox.

Yaxşı, burada məxrəc genişlənmir, ancaq pay... Biz artıq dərs zamanı payı genişləndirmişik! Bu kimi:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Genişlənmənin nəticəsini kəsrin payına yazırıq:

Kəsrin azaldılması qaydasına (kəsirin əsas xassəsi) uyğun olaraq (eyni zamanda!) pay və məxrəci eyni ədədə, yaxud ifadəyə bölə bilərik. Bundan fraksiya dəyişmir. Beləliklə, pay və məxrəci ifadə ilə bölürük (3x-8). Və burada və orada olanları alacağıq. Sadələşdirmənin yekun nəticəsi:

Xüsusilə vurğulamaq istərdim: kəsri azaltmaq yalnız və yalnız o halda mümkündür ki, ifadələri çoxaltmaqla yanaşı, pay və məxrəcdə olsun. heç nə yoxdur. Məhz buna görə də cəminin (fərqin) çevrilməsi vurma sadələşdirilməsi üçün çox vacibdir. Təbii ki, əgər ifadələr fərqli, onda heç nə azalmayacaq. Bu baş verəcək. Amma faktorizasiya şans verir. Parçalanmadan bu şans sadəcə olaraq yoxdur.

Tənlik ilə nümunə:

Tənliyi həll edin:

x 5 - x 4 = 0

Ümumi faktoru çıxarırıq x 4 mötərizədə. Biz əldə edirik:

x 4 (x-1)=0

Faktorların hasilinin sıfıra bərabər olduğunu başa düşürük sonra və yalnız bundan sonra, onlardan hər hansı biri sıfır olduqda. Əgər şübhəniz varsa, mənə sıfırdan fərqli bir neçə ədəd tapın ki, onlar vurulduqda sıfır verəcəklər.) Beləliklə, birinci amili yazırıq:

Belə bərabərliklə ikinci amilin bizə aidiyyatı yoxdur. Hər kəs ola bilər, amma sonda yenə də sıfır olacaq. Sıfır dördüncü dərəcəyə hansı rəqəmi verir? Yalnız sıfır! Və başqa heç... Buna görə də:

Birinci faktoru anladıq və bir kök tapdıq. İkinci amilə baxaq. İndi birinci çarpana əhəmiyyət vermirik.):

Burada bir həll tapdıq: x 1 = 0; x 2 = 1. Bu köklərdən hər hansı biri bizim tənliyimizə uyğun gəlir.

Çox vacib qeyd. Nəzərə alın ki, tənliyi həll etdik parça-parça! Hər bir amil sıfıra bərabər idi, digər amillərdən asılı olmayaraq. Yeri gəlmişkən, əgər belə bir tənlikdə bizim kimi iki amil deyil, üç, beş, istədiyiniz qədər amil varsa, həll edəcəyik. tam eyni. Parça-parça. Məsələn:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Mötərizəni açıb hər şeyi vuran hər kəs əbədi olaraq bu tənlikdə ilişib qalacaq.) Düzgün şagird dərhal görəcək ki, solda vurmadan, sağda isə sıfırdan başqa heç nə yoxdur. Və sıfıra bərabər olmaq üçün bütün mötərizələri bərabərləşdirməyə (ağlında!) başlayacaq. Və o (10 saniyə ərzində!) düzgün həlli tapacaq: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Sərin, elə deyilmi?) Belə bir zərif həll tənliyin sol tərəfi olarsa mümkündür faktorlaşdırılmış.İpucu var?)

Yaxşı, son bir nümunə, yaşlılar üçün):

Tənliyi həll edin:

Əvvəlki ilə bir qədər oxşardır, elə deyilmi?) Əlbəttə. Yeddinci sinif cəbrində sinuslar, loqarifmlər və başqa hər şeyin hərflərin altında gizlənə biləcəyini xatırlamağın vaxtı gəldi! Faktorinq riyaziyyat boyu işləyir.

Ümumi faktoru çıxarırıq lg 4 x mötərizədə. Biz əldə edirik:

log 4 x=0

Bu bir kökdür. İkinci amilə baxaq.

Yekun cavab budur: x 1 = 1; x 2 = 10.

Ümid edirəm ki, siz fraksiyaların sadələşdirilməsində və tənliklərin həllində faktorinqin gücünü dərk etmisiniz.)

Bu dərsdə biz ümumi faktorinq və qruplaşdırma haqqında öyrəndik. Qısaldılmış vurma və kvadrat üçbucaq üçün düsturlarla məşğul olmaq qalır.

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Gəlin öyrənək - maraqla!)

Funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.