Sinus (sin x) və kosinus (cos x) – xassələr, qrafiklər, düsturlar. Əsas triqonometrik eyniliklər

Triqonometrik eyniliklər- bunlar bir bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens arasında əlaqə quran bərabərliklərdir ki, bu da hər hansı digərini bilmək şərtilə bu funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verir.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu eynilik bir bucağın sinusunun kvadratının və bir bucağın kosinusunun kvadratının cəminin birə bərabər olduğunu söyləyir ki, bu da praktikada bir bucağın sinusunu onun kosinusu məlum olduqda və əksinə hesablamağa imkan verir. .

Triqonometrik ifadələri çevirərkən bu eynilik çox tez-tez istifadə olunur ki, bu da bir bucağın kosinusu və sinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə və eyni zamanda tərs qaydada dəyişdirmə əməliyyatını yerinə yetirməyə imkan verir.

Sinus və kosinusdan istifadə edərək tangens və kotangensin tapılması

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu eyniliklər sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Axı, ona baxsanız, tərifə görə y ordinatı sinusdur, absis x isə kosinusdur. Onda tangens nisbətə bərabər olacaq \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), və nisbət \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent olacaq.

Əlavə edək ki, yalnız onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi \alfa bucaqları üçün eyniliklər, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Məsələn: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-dən fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-dən başqa \alfa bucağı üçün z tam ədəddir.

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu eynilik yalnız fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2) z. Əks halda nə kotangens, nə də tangens təyin olunmayacaq.

Yuxarıdakı məqamlara əsaslanaraq, bunu əldə edirik tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Bundan belə çıxır tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Beləliklə, məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi qarşılıqlı tərs ədədlərdir.

Tangens və kosinus, kotangens və sinus arasındakı əlaqələr

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- \alpha və 1 bucağının tangensinin kvadratının cəmi bu bucağın kosinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu identiklik bütün \alpha xaricində etibarlıdır \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1-in cəmi və \alfa bucağının kotangentinin kvadratı sinusun tərs kvadratına bərabərdir verilmiş bucaq. Bu eynilik \pi z-dən fərqli hər hansı \alpha üçün etibarlıdır.

Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr

Misal 1

\sin \alpha və tg \alpha if tapın \cos \alpha=-\frac12 Və \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Həllini göstərin

Həll

\sin \alpha və \cos \alpha funksiyaları düsturla əlaqələndirilir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu düsturla əvəz edilməsi \cos \alpha = -\frac12, alırıq:

\sin^(2)\alpha + \sol (-\frac12 \sağ)^2 = 1

Bu tənliyin 2 həlli var:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə sinus müsbətdir, buna görə də \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Misal 2

\cos \alpha və əgər və əgər ctg \alpha tapın \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Həllini göstərin

Həll

Formulda əvəz edilməsi \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilmiş nömrə \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alırıq \sol (\frac(\sqrt3)(2)\sağ)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Bu tənliyin iki həlli var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə kosinus mənfi olur, yəni \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Müvafiq dəyərləri bilirik.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Sinus (sin x) və kosinus (cos x) triqonometrik funksiyaları haqqında istinad məlumatı. Həndəsi tərif, xassələr, qrafiklər, düsturlar. Sinuslar və kosinuslar cədvəli, törəmələr, inteqrallar, silsilələr genişlənmələri, sekant, kosekant. Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr. Hiperbolik funksiyalarla əlaqə.

Sinus və kosinusun həndəsi tərifi

|BD|- mərkəzi bir nöqtədə olan dairənin qövsünün uzunluğu A.
α - radyanla ifadə olunan bucaq.

Tərif
Sinus (sin α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq qarşı ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Kosinus (cos α) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| hipotenuzanın uzunluğuna |AC|.

Qəbul edilmiş qeydlər

;
;
.

;
;
.

Sinus funksiyasının qrafiki, y = sin x

Kosinus funksiyasının qrafiki, y = cos x

Sinus və kosinusun xassələri

Dövrilik

Funksiyalar y = günah x və y = cos x dövri ilə dövri 2π.

Paritet

Sinus funksiyası qəribədir. Kosinus funksiyası cütdür.

Tərif və dəyərlər sahəsi, ekstremal, artım, azalma

Sinus və kosinus funksiyaları öz tərif sahəsində davamlıdır, yəni bütün x üçün (davamlılığın sübutuna bax). Onların əsas xassələri cədvəldə verilmişdir (n - tam ədəd).

Əsas düsturlar

Sinus və kosinusun kvadratlarının cəmi

Cəm və fərqdən sinus və kosinus üçün düsturlar

;
;

Sinusların və kosinusların hasilinin düsturları

Cəm və fərq düsturları

Kosinus vasitəsilə sinus ifadəsi

;
;
;
.

Kosinusu sinus vasitəsilə ifadə etmək

;
;
;
.

Tangens vasitəsilə ifadə

; .

Nə vaxt, bizdə:
; .

Burada:
; .

Sinuslar və kosinuslar, tangenslər və kotangentlər cədvəli

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün sinus və kosinusların dəyərlərini göstərir.

Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr

;

Eyler düsturu

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Tərs funksiyalar

Sinus və kosinusun tərs funksiyaları müvafiq olaraq arksinüs və arkkosindir.

Arksin, arksin

Arkkosin, arkkos

İstifadə olunmuş ədəbiyyat:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.

“Get an A” video kursu sizə lazım olan bütün mövzuları ehtiva edir uğurla başa çatması 60-65 bal üçün riyaziyyat üzrə vahid dövlət imtahanı. Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 1-13-cü tapşırıqlarını tamamlayın. Riyaziyyatdan Əsas Vahid Dövlət İmtahanından keçmək üçün də uyğundur. Vahid Dövlət İmtahanından 90-100 balla keçmək istəyirsinizsə, 1-ci hissəni 30 dəqiqə ərzində və səhvsiz həll etməlisiniz!

10-11-ci siniflər, eləcə də müəllimlər üçün Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq kursu. Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanının 1-ci hissəsini (ilk 12 məsələ) və 13-cü məsələni (triqonometriya) həll etmək üçün lazım olan hər şey. Və bu, Vahid Dövlət İmtahanında 70 baldan çoxdur və nə 100 ballıq tələbə, nə də humanitar fənlər tələbəsi onlarsız edə bilməz.

Bütün zəruri nəzəriyyə. Sürətli yollar Vahid Dövlət İmtahanının həlləri, tələləri və sirləri. FIPI Tapşırıq Bankından 1-ci hissənin bütün cari tapşırıqları təhlil edilmişdir. Kurs 2018-ci il Vahid Dövlət İmtahanının tələblərinə tam cavab verir.

Kurs hər biri 2,5 saat olmaqla 5 böyük mövzudan ibarətdir. Hər bir mövzu sıfırdan, sadə və aydın şəkildə verilir.

Yüzlərlə Vahid Dövlət İmtahan tapşırığı. Söz problemləri və ehtimal nəzəriyyəsi. Problemlərin həlli üçün sadə və yaddaqalan alqoritmlər. Həndəsə. nəzəriyyə, istinad materialı, Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarının bütün növlərinin təhlili. Stereometriya. Çətin həllər, faydalı fırıldaq vərəqləri, məkan təxəyyülünün inkişafı. Sıfırdan problemə triqonometriya 13. Sıxmaq əvəzinə başa düşmək. Mürəkkəb anlayışların aydın izahları. Cəbr. Köklər, səlahiyyətlər və loqarifmlər, funksiya və törəmə. Vahid Dövlət İmtahanının 2-ci hissəsinin mürəkkəb problemlərinin həlli üçün əsas.

Tangens (tg x) və kotangent (ctg x) üçün istinad məlumatları. Həndəsi tərif, xassələr, qrafiklər, düsturlar. Tangens və kotangenslər cədvəli, törəmələr, inteqrallar, silsilələr genişlənməsi. Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr. Hiperbolik funksiyalarla əlaqə.

Həndəsi tərif

|BD|
- mərkəzi A nöqtəsində olan dairənin qövsünün uzunluğu.

α radyanla ifadə olunan bucaqdır. tangent () tan α

düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq qarşı tərəfin uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC| bitişik ayağın uzunluğuna |AB| .) kotangent (

ctg α

düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| qarşı ayağın uzunluğuna |BC| . Tangens

Harada
.
;
;
.

n

- bütöv.

düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB| qarşı ayağın uzunluğuna |BC| . Tangens

Qərb ədəbiyyatında tangens aşağıdakı kimi qeyd olunur:
.
Tangens funksiyasının qrafiki, y = tan x
;
;
.

Kotangent

Qərb ədəbiyyatında kotangens aşağıdakı kimi işarələnir:

Dövrilik

Funksiyalar y = Aşağıdakı qeydlər də qəbul edilir: və y = Kotangens funksiyasının qrafiki, y = ctg x Tangens və kotangensin xassələri

Paritet

tg x

ctg x

π dövrü ilə dövri olur. qarşı ayağın uzunluğuna |BC| . Tangens və kotangens funksiyaları təkdir.

Tangens və kotangens funksiyaları öz təyinat sahəsində davamlıdır (davamlılığın sübutuna baxın). Tangens və kotangensin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir (

- bütöv).

; ;
; ;
;

İfrat

Formulalar

Sinus və kosinusdan istifadə edən ifadələr

Cəm və fərqdən tangens və kotangens üçün düsturlar

Qalan düsturları, məsələn, əldə etmək asandır

Tangenslərin məhsulu

Tangenslərin cəmi və fərqi üçün düstur

;
;

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün tangens və kotangentlərin dəyərlərini təqdim edir.

; .

.
Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr
.
Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

Törəmələr

Funksiyanın x dəyişəninə münasibətdə n-ci dərəcəli törəmə:

X-in güclərində tangensin genişlənməsini əldə etmək üçün funksiyalar üçün güc seriyasında genişlənmənin bir neçə şərtini götürməlisiniz. günah x Və cos x və bu çoxhədliləri bir-birinə bölmək, .

Bu, aşağıdakı formulları yaradır.

.
at. Harada Bn
;
;
- Bernoulli nömrələri. Onlar ya təkrarlanma əlaqəsindən müəyyən edilir:
Harada.

Tərs funksiyalar

Və ya Laplas düsturuna görə:

Tangens və kotangensin tərs funksiyaları müvafiq olaraq arktangens və arktangensdir.

Arktangens, arctg qarşı ayağın uzunluğuna |BC| . Tangens

, Harada

Arktangens, arctg qarşı ayağın uzunluğuna |BC| . Tangens

İstifadə olunmuş ədəbiyyat:
İ.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühəndislər və kollec tələbələri üçün riyaziyyat kitabçası, "Lan", 2009.
Arkkotangent, arkctg

G. Korn, Alimlər və Mühəndislər üçün Riyaziyyat Kitabı, 2012. Bu məqalənin əvvəlində konsepsiyanı araşdırdıq triqonometrik funksiyalar . Onların əsas məqsədi triqonometriyanın əsaslarını öyrənmək və dövri prosesləri öyrənməkdir. Və əbəs yerə triqonometrik çevrəni çəkməmişik, çünki əksər hallarda triqonometrik funksiyalar vahid dairədə üçbucağın tərəflərinin və ya onun müəyyən seqmentlərinin nisbəti kimi müəyyən edilir. Mən triqonometriyanın danılmaz böyük əhəmiyyətini də qeyd etdim müasir həyat

. Ancaq elm hələ də dayanmır, nəticədə triqonometriyanın əhatə dairəsini əhəmiyyətli dərəcədə genişləndirə və onun müddəalarını həqiqi və bəzən mürəkkəb ədədlərə köçürə bilərik. Triqonometriya düsturları

1. Bir neçə növ var. Gəlin onlara ardıcıllıqla baxaq.

Eyni bucaqlı triqonometrik funksiyaların nisbətləri Burada belə bir anlayışı nəzərdən keçirməyə gəlirik əsas .

triqonometrik eyniliklər

Triqonometrik eynilik, triqonometrik əlaqələrdən ibarət olan və ona daxil olan bucaqların bütün qiymətləri üçün təmin edilən bərabərlikdir.

Ən vacib triqonometrik eyniliklərə və onların sübutlarına baxaq:

Birinci eynilik tangensin tərifindən irəli gəlir. götürək düz üçbucaq , olan kəskin bucaq



x təpəsində A.

Şəxsiyyətləri sübut etmək üçün Pifaqor teoremindən istifadə etməlisiniz:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

İndi bərabərliyin hər iki tərəfini (AB) 2-yə bölürük və sin və cos bucağının təriflərini xatırlayaraq, ikinci eyniliyi əldə edirik:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Üçüncü və dördüncü şəxsiyyətləri sübut etmək üçün əvvəlki sübutdan istifadə edirik.

Bunu etmək üçün ikinci eyniliyin hər iki tərəfini cos 2 x-ə bölün:

sin 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Birinci şəxsiyyətə əsaslanaraq tg x = sin x /cos x üçüncünü əldə edirik:

İndi ikinci eyniliyi sin 2 x-ə bölək:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x 1/tg 2 x-dən başqa bir şey deyil, ona görə də dördüncü eyniliyi alırıq:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Üçbucağın bucaqlarının cəminin = 180 0 olduğunu bildirən üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi haqqında teoremi xatırlamağın vaxtı gəldi. Belə çıxır ki, üçbucağın B təpəsində qiyməti 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x olan bucaq var.



Günah və cos üçün tərifləri bir daha xatırlayaq və beşinci və altıncı eynilikləri əldə edək:

(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

İndi aşağıdakıları edək:

sin x = (BC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Gördüyünüz kimi, burada hər şey elementardır.

Riyazi eyniliklərin həllində istifadə olunan başqa eyniliklər var, onları sadəcə formada verəcəyəm. istinad məlumatı, çünki onların hamısı yuxarıdakılardan qaynaqlanır.



2. Triqonometrik funksiyaların bir-biri ilə ifadə edilməsi

   (kökün qarşısında işarənin seçimi küncün dairənin dörddə hansında yerləşməsi ilə müəyyən edilir?)







3. Bucaqları toplamaq və çıxmaq üçün düsturlar aşağıdakılardır:



4. İkiqat, üçlü və yarım bucaqlar üçün düsturlar.

   Qeyd edim ki, onların hamısı əvvəlki düsturlardan qaynaqlanır.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)









5. Triqonometrik ifadələri çevirmək üçün düsturlar: