GirişFunksiya limitini necə tapmaq olar. Sonsuz böyük funksiyalar
Limitlərin tapılması ilə bağlı məsələlərin həlli Limitlərin tapılması ilə bağlı məsələləri həll edərkən, hər dəfə onları yenidən hesablamamaq üçün bəzi limitləri yadda saxlamaq lazımdır. Bu məlum hədləri birləşdirərək, § 4-də göstərilən xassələrdən istifadə edərək yeni limitlər tapacağıq. Rahatlıq üçün ən çox rast gəlinən məhdudiyyətləri təqdim edirik: Limitlər 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), əgər f (x) fasiləsizdirsə x a Funksiyanın fasiləsiz olduğu məlumdursa, onda həddi tapmaq əvəzinə funksiyanın qiymətini hesablayırıq. Nümunə 1. Lim tapın (x*-6l:+ 8). Çoxmüddətli X->2 müddətli funksiya kəsilməz olduğundan lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Misal 2. Tapın. lim -G. . Əvvəlcə məxrəcin həddi tapırıq: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; X-Y1 sıfıra bərabər deyil, yəni 4 § 4 xassəsini tətbiq edə bilərik, sonra x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. məxrəc X X sıfıra bərabərdir, buna görə də § 4-ün 4 xassəsi tətbiq edilə bilməz. mütləq dəyər, yəni lim "1 X-*- - 1 x* + x Nümunə 4. Tapın lim \-ll*"!"" "Məxrəcin həddi sıfırdır: lim (xr-6lg+ 8) = 2*-6 - 2 + 8 = 0, buna görə də X xassəsi 4 § 4 tətbiq olunmur, lakin payın həddi də sıfırdır: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. payın və məxrəcin hədləri sıfıra bərabərdir, lakin 2 rəqəmi həm payın, həm də məxrəcin köküdür, buna görə də kəsr x-2 fərqi ilə azaldıla bilər (Bezout teoreminə görə, x*-5x). + 6 (x-2) (x-3)). x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4 "deməli, xr--f- 6 g x -3 -1 1 Nümunə 5. lim xn tapın (n tam , müsbət n tam ədəddir, lim *n= + oo (n cütdürsə). *-* -о Tək dərəcə olduqda məhsulun mütləq qiyməti artır, lakin mənfi olaraq qalır, yəni lim xn = - oo (n tək üçün). p -- 00 Nümunə 7. lim tapın. x x-*- co * Əgər m>pu olarsa, onda yaza bilərik: m = n + kt burada k>0. Buna görə də xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x -x> A x yu 6-cı misala gəldik. Əgər ti uTL xm I lim lim t X - O x-* yu L X ->co Burada pay sabit qalır, məxrəc isə mütləq qiymətdə artır. buna görə də lim -ь = 0. Х-*оо X* Bu nümunənin nəticəsini aşağıdakı formada yadda saxlamaq tövsiyə olunur: Güc funksiyası daha sürətlə böyüyürsə, eksponent bir o qədər böyükdür. $хв_Зхг + 7 Nümunə 8. Bu misalda lim g L -г-= tapın x-*® «J* "Г bХ -ох-о və pay və məxrəc məhdudiyyətsiz artır. Gəlin həm payı, həm də payı bölək. məxrəci x-in ən yüksək gücü ilə, yəni xb-də, sonra 3 7_ Nümunə 9. lirəni tapın. Çevrilmələri yerinə yetirərək lirəni alırıq ^ = lim X CO + 3 7 3 lim -5 = 0, lim -, = 0. , onda məxrəcin həddi 1-ə bərabərdir.Ona görə də bütün kəsr hədsiz artır, yəni t lim cos*-funksiyasının davamlı olduğunu xatırladaraq, məxrəcin S limitini hesablayaq: lirə (2 + cos x) = 2. + rahat =2 Sonra x->- S lim (l-fsin*) Misal 15. Lim * tapın.<*-e>2 və lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO basın (l: - a)2 = z; çünki (l;-a)2 həmişə x ilə qeyri-mənfi və məhdudiyyətsiz böyüyür, onda x üçün - ±oo yeni dəyişən z-*oc. Beləliklə, biz qt £ alırıq<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (§5 qeydinə baxın). g -*■ co Eynilə, lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, çünki x ± oo g m - (x- a)z x ->±oo kimi məhdudiyyətsiz azalır (§ qeydinə baxın).
Elementar funksiyalar və onların qrafikləri.
Əsas elementar funksiyalar bunlardır: güc funksiyası, eksponensial funksiya, loqarifmik funksiya, triqonometrik funksiyalar və tərs triqonometrik funksiyalar, həmçinin çoxhədli və iki çoxhədlinin nisbəti olan rasional funksiya.
Elementar funksiyalara əsas dördün tətbiqi ilə elementar funksiyalardan alınan funksiyalar da daxildir arifmetik əməliyyatlar və mürəkkəb funksiyanın formalaşması.
Elementar funksiyaların qrafikləri
| Düz xətt- xətti funksiyanın qrafiki y = balta + b. y funksiyası a > 0 üçün monoton şəkildə artır və a üçün azalır< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| Parabola- kvadrat üçhəcmli funksiyanın qrafiki y = ax 2 + bx + c. Var şaquli ox simmetriya. Əgər a > 0 olarsa, minimuma malikdir, əgər a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего kvadrat tənlik ax 2 + bx +c =0 | |
 | Hiperbola- funksiyanın qrafiki. a > O olduqda I və III kvartallarda yerləşir, a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) və ya y - - x(a< 0). |
 | Eksponensial funksiya. Sərgi iştirakçısı(e bazasına eksponensial funksiya) y = e x. (Başqa bir yazım y = exp(x)). Asimptot absis oxudur. |
 | Loqarifmik funksiya y = log a x(a > 0) |
 | y = sinx. Sinus dalğası- dövrü T = 2π olan dövri funksiya |
Funksiya həddi.
Əgər hər hansı ε › 0 ədədi üçün δ › 0 ədədi varsa, y=f(x) funksiyası x-in a-ya meyl etdiyi üçün limit olaraq A rəqəminə malikdir ki, | y – A | ‹ ε əgər |x - a| ‹ δ,
və ya lim y = A
Funksiyanın davamlılığı.
y=f(x) funksiyası x = a nöqtəsində fasiləsizdir, əgər lim f(x) = f(a), yəni.
x = a nöqtəsində funksiyanın həddi verilmiş nöqtədəki funksiyanın qiymətinə bərabərdir.
Funksiyaların hədlərinin tapılması.
Funksiyaların hədləri haqqında əsas teoremlər.
1. Sabit qiymətin həddi bu sabit qiymətə bərabərdir:
2. Cəbri cəminin həddi bu funksiyaların hədlərinin cəbri cəminə bərabərdir:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. Bir neçə funksiyanın hasilinin həddi bu funksiyaların hədlərinin hasilinə bərabərdir:
lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. Məxrəcin həddi 0-a bərabər deyilsə, iki funksiyanın bölünməsinin həddi bu funksiyaların hədlərinin bölünməsinə bərabərdir:
lim------ = ----------
Birinci gözəl hədd: lim --------- = 1
İkinci əlamətdar hədd: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
Funksiyaların hədlərinin tapılması nümunələri.
5.1. Misal:
İstənilən limit üç hissədən ibarətdir:
1) Tanınmış limit simvolu.
2) Limit işarəsi altındakı girişlər. Girişdə "X birinə meyllidir" deyilir. Çox vaxt bu x olur, baxmayaraq ki, “x” əvəzinə hər hansı başqa dəyişən ola bilər. Birin yerinə tamamilə istənilən ədəd ola bilər, həmçinin sonsuzluq 0 və ya .
3) Bu halda limit işarəsi altında funksiyalar .
Qeydin özü belə oxunur: "x kimi funksiyanın həddi birliyə meyllidir."
Çox vacib bir sual - "x" ifadəsi nə deməkdir? çalışır birinə"? "x" ifadəsi çalışır birinə” aşağıdakı kimi başa düşülməlidir: “x” ardıcıl olaraq dəyərləri qəbul edir yaxınlaşan birliyə sonsuz yaxın və praktik olaraq üst-üstə düşür.
Yuxarıdakı nümunəni necə həll etmək olar? Yuxarıdakılara əsasən, limit işarəsi altındakı funksiyaya sadəcə birini əvəz etməlisiniz:
Beləliklə, birinci qayda : Limit verildikdə siz sadəcə olaraq nömrəni funksiyaya qoşursunuz.
5.2. Sonsuzluğa misal:
Gəlin bunun nə olduğunu anlayaq? Bu, məhdudiyyətsiz artdıqda belədir.
Beləliklə: əgər , sonra funksiya mənfi sonsuzluğa meyllidir:
Birinci qaydamıza görə, funksiyada “X” əvəzinə əvəz edirik sonsuzluq və cavabı alırıq.
5.3. Sonsuzluğu olan başqa bir nümunə:
Yenə sonsuzluğa yüksəlməyə başlayırıq və funksiyanın davranışına baxırıq.
Nəticə: funksiya qeyri-məhdud şəkildə artır
5.4. Bir sıra nümunələr:
Aşağıdakı nümunələri özünüz zehni olaraq təhlil etməyə və ən sadə məhdudiyyət növlərini həll etməyə çalışın:
, , , , 
, , , , 
,
Yuxarıdakılardan nəyi xatırlamalı və başa düşməlisiniz?
Hər hansı bir limit verildikdə, əvvəlcə nömrəni funksiyaya qoşun. Eyni zamanda, kimi ən sadə məhdudiyyətləri başa düşməli və dərhal həll etməlisiniz , , və s.
6. Növün qeyri-müəyyənliyi ilə limitlər və onların həlli üsulu.
İndi biz hədlər qrupunu nəzərdən keçirəcəyik, o zaman ki, funksiyası payı və məxrəci çoxhədli olan kəsrdir.
6.1. Misal:
Limiti hesablayın 
Qaydamıza görə, funksiyada sonsuzluğu əvəz etməyə çalışırıq. Yuxarıda nə əldə edirik? Sonsuzluq. Və aşağıda nə baş verir? Həm də sonsuzluq. Beləliklə, növ qeyri-müəyyənliyi adlanan şeyə sahibik. Kimsə düşünə bilər ki, = 1 və cavab hazırdır, lakin ümumi halda bu, heç də belə deyil və indi nəzərdən keçirəcəyimiz bəzi həll texnikasını tətbiq etməlisiniz.
Bu tip məhdudiyyətləri necə həll etmək olar?
Əvvəlcə paylayıcıya baxırıq və ən yüksək gücü tapırıq: 
Numeratorda aparıcı güc ikidir.
İndi məxrəcə baxırıq və onu ən yüksək gücə tapırıq: 
Məxrəcin ən yüksək dərəcəsi ikidir.
Sonra payın və məxrəcin ən yüksək gücünü seçirik: in bu misaldaüst-üstə düşür və ikiyə bərabərdir.
Beləliklə, həll yolu aşağıdakı kimidir: qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək say və məxrəci bölmək lazımdır ali pillədə.
Beləliklə, cavab 1 deyil.
Misal
Həddini tapın 
Yenə say və məxrəcdə ən yüksək dərəcədə tapırıq:
Maksimum dərəcə sayda: 3
Məxrəcdə maksimum dərəcə: 4
seçin ən böyük dəyər, bu halda dörd.
Alqoritmimizə uyğun olaraq qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün pay və məxrəci -ə bölürük.
Misal
Həddini tapın 
Hissədə maksimum “X” dərəcəsi: 2
Məxrəcdə maksimum “X” dərəcəsi: 1 (şəklində yazıla bilər)
Qeyri-müəyyənliyi aşkar etmək üçün pay və məxrəci bölmək lazımdır. Son həll belə görünə bilər:
Pay və məxrəci bölün
siz payı və məxrəci çarpanlara ayırmalısınız
İndi limit işarəsi altında qalan ifadədə -1 əvəz edirik:
Misal
Limiti hesablayın 
Əvvəlcə həllin “palıd” versiyasını x=2 ilə əvəz edək:
Gəlin say və məxrəci faktorlara ayıraq.
Hesablayıcı:
Məxrəc: 
, 
Riyaziyyat dünyanı quran elmdir. Həm alim, həm də adi insan - onsuz heç kim edə bilməz. Əvvəlcə kiçik uşaqlara saymaq, sonra toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək, -ə öyrədilir orta məktəb Hərf təyinatları işə düşür və köhnə oyunda onsuz edə bilməzsiniz.
Ancaq bu gün bütövlükdə nə haqqında danışacağıq məşhur riyaziyyat. “Ardıcıllıq limitləri” adlanan nömrələr icması haqqında.
Ardıcıllıq nədir və onların həddi haradadır?
“Ardıcıllıq” sözünün mənasını şərh etmək çətin deyil. Bu, kiminsə və ya bir şeyin müəyyən bir sıra və ya növbədə yerləşdiyi əşyaların düzülüşüdür. Məsələn, zooparka biletlərin növbəsi ardıcıldır. Və yalnız bir ola bilər! Məsələn, mağazadakı növbəyə baxsanız, bu bir ardıcıllıqdır. Və bu növbədən bir nəfər qəfil çıxıb gedirsə, bu başqa növbədir, başqa sifarişdir.
"Limit" sözü də asanlıqla şərh olunur - bu, bir şeyin sonu. Bununla belə, riyaziyyatda ardıcıllığın hüdudları ədədlər ardıcıllığının meyl etdiyi say xəttindəki dəyərlərdir. Niyə çalışır və bitmir? Bu sadədir, say xəttinin sonu yoxdur və əksər ardıcıllıqlar, şüalar kimi, yalnız başlanğıcı var və belə görünür:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Beləliklə, ardıcıllığın tərifi təbii arqumentin funksiyasıdır. Daha çox sadə sözlərlə müəyyən çoxluğun üzvləri silsiləsi.
Nömrələrin ardıcıllığı necə qurulur?
Ən sadə misal nömrə ardıcıllığı belə görünə bilər: 1, 2, 3, 4, …n…
Əksər hallarda praktiki məqsədlər üçün ardıcıllıqlar ədədlərdən qurulur və seriyanın hər bir növbəti üzvü, onu X ilə işarə edək, öz adı var. Məsələn:
x 1 ardıcıllığın birinci üzvüdür;
x 2 ardıcıllığın ikinci həddidir;
x 3 üçüncü şərtdir;
x n n-ci hədddir.
Praktik üsullarda ardıcıllıq verilir ümumi formula, hansı bir dəyişən var. Məsələn:
X n =3n, onda ədədlər silsiləsi özü belə görünəcək:
Nə vaxt olduğunu xatırlamağa dəyər ümumi qeyd istənilən ardıcıllıqdan istifadə etmək olar latın hərfləri, və təkcə X deyil. Məsələn: y, z, k və s.
Ardıcıllığın bir hissəsi kimi arifmetik irəliləyiş
Ardıcıllığın hüdudlarını axtarmaqdan əvvəl, hər kəsin orta məktəbdə olarkən qarşılaşdığı belə bir sıra seriyası anlayışına daha dərindən girmək məsləhətdir. Arifmetik irəliləyiş qonşu terminlər arasındakı fərqin sabit olduğu bir sıra ədədlərdir.
Məsələ: “A 1 = 15, d ədədi seriyasının irəliləmə addımı isə = 4 olsun. Bu seriyanın ilk 4 şərtini qurun"
Həlli: a 1 = 15 (şərtə görə) proqresiyanın birinci həddidir (ədədlər seriyası).
2 = 15+4=19 isə irəliləyişin ikinci həddidir.
və 3 =19+4=23 üçüncü hədddir.
və 4 =23+4=27 dördüncü həddir.
Lakin bu metoddan istifadə etməklə böyük dəyərlərə çatmaq çətindir, məsələn, 125-ə qədər. Xüsusilə belə hallar üçün təcrübə üçün əlverişli düstur alındı: a n =a 1 +d(n-1). Bu halda, a 125 =15+4(125-1)=511.
Ardıcıllığın növləri
Ardıcıllıqların çoxu sonsuzdur, bunu bütün ömrün boyu xatırlamağa dəyər. İki var maraqlı görünüş nömrə seriyası. Birinci a n =(-1) n düsturu ilə verilir. Riyaziyyatçılar bu ardıcıllığı tez-tez flaş adlandırırlar. Niyə? Onun nömrə seriyasını yoxlayaq.
1, 1, -1, 1, -1, 1 və s. Belə bir nümunə ilə ardıcıllıqdakı ədədlərin asanlıqla təkrarlana biləcəyi aydın olur.
Faktor ardıcıllığı. Təxmin etmək asandır - ardıcıllığı təyin edən düstur faktorial ehtiva edir. Məsələn: a n = (n+1)!
Sonra ardıcıllıq belə görünəcək:
a 2 = 1x2x3 = 6;
və 3 = 1x2x3x4 = 24 və s.
Verilən ardıcıllıq arifmetik irəliləyiş, -1 bərabərsizliyi onun bütün şərtləri üçün müşahidə edilirsə, sonsuz azalan adlanır və 3 = - 1/8 və s. Hətta eyni nömrədən ibarət ardıcıllıq da var. Deməli, n =6 sonsuz sayda altılıqdan ibarətdir. Riyaziyyatda ardıcıllıq məhdudiyyətləri çoxdan mövcuddur. Əlbəttə ki, onlar öz səlahiyyətli dizaynlarına layiqdirlər. Beləliklə, ardıcıllıq məhdudiyyətlərinin tərifini öyrənmək vaxtıdır. Əvvəlcə xətti funksiyanın limitinə ətraflı nəzər salaq: Ardıcıllığın həddinin tərifinin aşağıdakı kimi ifadə oluna biləcəyini başa düşmək asandır: bu, ardıcıllığın bütün üzvlərinin sonsuz yaxınlaşdığı müəyyən bir rəqəmdir. Sadə bir misal: a x = 4x+1. Sonra ardıcıllığın özü belə görünəcək. 5, 9, 13, 17, 21…x… Beləliklə, bu ardıcıllıq qeyri-müəyyən artacaq, yəni onun həddi sonsuzluğa bərabərdir x→∞ və belə yazılmalıdır: Bənzər bir ardıcıllığı götürsək, lakin x 1-ə meyl edərsə, alırıq: Rəqəmlər seriyası isə belə olacaq: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 və s. Bu seriyadan aydın olur ki, funksiyanın limiti beşdir. Bu hissədən ədədi ardıcıllığın limitinin nə olduğunu, sadə məsələlərin həlli üçün tərif və metodu xatırlamağa dəyər. Nömrə ardıcıllığının həddi, onun tərifi və nümunələrini araşdırdıqdan sonra daha mürəkkəb mövzuya keçə bilərsiniz. Tamamilə bütün ardıcıllıq hədləri adətən birinci semestrdə təhlil edilən bir düsturla tərtib edilə bilər. Beləliklə, bu hərflər, modullar və bərabərsizlik işarələri dəsti nə deməkdir? ∀ universal kəmiyyət göstəricisidir, “hamı üçün”, “hər şey üçün” və s. ifadələri əvəz edir. ∃ ekzistensial kvantivatordur, bu halda natural ədədlər çoxluğuna aid olan bəzi N qiymətinin olduğunu bildirir. N-dən sonra uzun şaquli çubuq, verilmiş N çoxluğunun “belə” olduğunu bildirir. Praktikada "belə", "belə" və s. Materialı möhkəmləndirmək üçün düsturu yüksək səslə oxuyun. Yuxarıda müzakirə edilən ardıcıllıq həddini tapmaq üsulu, istifadəsi sadə olsa da, praktikada o qədər də rasional deyil. Bu funksiya üçün limit tapmağa çalışın: Əgər “x” nin müxtəlif qiymətlərini əvəz etsək (hər dəfə artır: 10, 100, 1000 və s.), onda biz payda ∞, həm də məxrəcdə ∞ alırıq. Bu olduqca qəribə bir fraksiya ilə nəticələnir: Amma bu həqiqətən belədirmi? Bu halda nömrə ardıcıllığının limitini hesablamaq olduqca asan görünür. Hər şeyi olduğu kimi qoymaq olardı, çünki cavab hazırdır və ağlabatan şərtlərlə alındı, amma konkret olaraq belə hallar üçün başqa bir yol var. Əvvəlcə kəsrin payında ən yüksək dərəcəni tapaq - bu 1-dir, çünki x x 1 kimi göstərilə bilər. İndi məxrəcdə ən yüksək dərəcəni tapaq. Həmçinin 1. Gəlin həm payı, həm də məxrəci dəyişənə ən yüksək dərəcəyə bölək. Bu halda kəsri x 1-ə bölün. Sonra, dəyişəni ehtiva edən hər bir terminin hansı dəyərə meyl etdiyini tapacağıq. Bu zaman kəsrlər nəzərə alınır. x→∞ kimi, hər kəsrin qiyməti sıfıra meyl edir. İşinizi yazılı şəkildə təqdim edərkən aşağıdakı qeydləri etməlisiniz: Bu, aşağıdakı ifadə ilə nəticələnir: Təbii ki, tərkibində x olan kəsrlər sıfıra çevrilmədi! Lakin onların dəyəri o qədər kiçikdir ki, hesablamalarda onu nəzərə almamaq tamamilə icazəlidir. Əslində, bu halda x heç vaxt 0-a bərabər olmayacaq, çünki siz sıfıra bölmək olmaz. Tutaq ki, professorun ixtiyarında eyni dərəcədə mürəkkəb düsturla verilmiş mürəkkəb ardıcıllıq var. Professor cavab tapdı, amma düzdür? Axı bütün insanlar səhv edirlər. Auguste Cauchy bir dəfə ardıcıllığın hüdudlarını sübut etmək üçün əla bir yol tapdı. Onun metodu qonşuluq manipulyasiyası adlanırdı. Tutaq ki, müəyyən a nöqtəsi var, onun say xəttində hər iki istiqamətdə qonşuluğu ε-ə (“epsilon”) bərabərdir. Son dəyişən məsafə olduğundan onun dəyəri həmişə müsbətdir. İndi bəzi x n ardıcıllığını təyin edək və hesab edək ki, ardıcıllığın onuncu üzvü (x 10) a-nın qonşuluğundadır. Bu faktı riyazi dildə necə yaza bilərik? Tutaq ki, x 10 a nöqtəsinin sağındadır, onda x 10 -a məsafəsi<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. İndi yuxarıda müzakirə olunan formulun praktikada izah edilməsinin vaxtıdır. Müəyyən bir nömrəni ardıcıllığın son nöqtəsi adlandırmaq ədalətlidir, əgər onun hər hansı bir həddi üçün ε>0 bərabərsizliyi yerinə yetirilirsə və bütün məhəllə öz natural nömrəsinə malikdirsə, beləliklə ardıcıllığın bütün üzvləri daha yüksək rəqəmlərə sahib olacaqlar. |x n - a| ardıcıllığının daxilində olun< ε. Belə biliklərlə ardıcıllıq hədlərini həll etmək və hazır cavabı sübut etmək və ya təkzib etmək asandır. Ardıcıllığın hüdudları haqqında teoremlər nəzəriyyənin mühüm tərkib hissəsidir, onsuz təcrübə mümkün deyil. Yalnız dörd əsas teorem var, hansının həllini və ya sübutunu asanlaşdıra biləcəyini xatırlamaq: Bəzən tərs məsələni həll etmək, ədədi ardıcıllığın verilmiş həddini sübut etmək lazımdır. Bir nümunəyə baxaq. Düsturla verilən ardıcıllığın limitinin sıfır olduğunu sübut edin. Yuxarıda müzakirə edilən qaydaya görə, istənilən ardıcıllıq üçün |x n - a| bərabərsizliyi<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Müəyyən ədədin mövcudluğunu göstərmək və ardıcıllığın limitinin mövcudluğunu sübut etmək üçün n-i “epsilon” vasitəsilə ifadə edək. Bu məqamda yadda saxlamaq lazımdır ki, “epsilon” və “en” müsbət ədədlərdir və sıfıra bərabər deyil. İndi orta məktəbdə bərabərsizliklər haqqında əldə edilən biliklərdən istifadə edərək sonrakı transformasiyaları davam etdirmək mümkündür. Necə olur ki, n > -3 + 1/ε. Təbii ədədlərdən danışdığımızı xatırlamağa dəyər olduğundan, nəticə kvadrat mötərizədə qoyularaq yuvarlaqlaşdırıla bilər. Beləliklə, sübut edilmişdir ki, a = 0 nöqtəsinin “epsilon” qonşuluğunun istənilən qiyməti üçün ilkin bərabərsizliyin təmin olunduğu qiymət tapılmışdır. Buradan əminliklə deyə bilərik ki, a rəqəmi verilmiş ardıcıllığın həddidir. Q.E.D. Bu rahat üsul ilk baxışda nə qədər mürəkkəb olsa da, ədədi ardıcıllığın limitini sübut etmək üçün istifadə edilə bilər. Əsas odur ki, tapşırığı görəndə təlaşa düşməyin. Ardıcıllıq limitinin mövcudluğu praktikada zəruri deyil. Həqiqətən sonu olmayan nömrələr seriyasına asanlıqla rast gələ bilərsiniz. Məsələn, eyni "yanıb-sönən işıq" x n = (-1) n. aydındır ki, yalnız iki rəqəmdən ibarət olan, tsiklik təkrarlanan ardıcıllığın limiti ola bilməz. Eyni hekayə, hesablamalar zamanı hər hansı bir qaydada qeyri-müəyyənlik (0/0, ∞/∞, ∞/0 və s.) olan bir ədəddən, kəsrdən ibarət ardıcıllıqla təkrarlanır. Bununla belə, səhv hesablamaların da baş verdiyini xatırlamaq lazımdır. Bəzən öz həllinizi iki dəfə yoxlamaq sizə ardıcıllıq həddini tapmağa kömək edəcək. Ardıcıllığın bir neçə nümunəsi və onların həlli üsulları yuxarıda müzakirə edildi və indi daha konkret bir işi götürməyə və onu "monotonik ardıcıllıq" adlandırmağa çalışaq. Tərif: hər hansı ardıcıllığı düzgün olaraq monoton artan adlandırmaq olar, əgər onun üçün ciddi bərabərsizlik x n olarsa< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Bu iki şərtlə yanaşı, eyni dərəcədə sərt olmayan bərabərsizliklər də mövcuddur. Müvafiq olaraq, x n ≤ x n +1 (azalmayan ardıcıllıq) və x n ≥ x n +1 (artan olmayan ardıcıllıq). Ancaq bunu nümunələrlə başa düşmək daha asandır. x n = 2+n düsturu ilə verilən ardıcıllıq aşağıdakı ədədlər seriyasını əmələ gətirir: 4, 5, 6 və s. Bu monoton artan ardıcıllıqdır. Və əgər x n =1/n götürsək, seriyanı alarıq: 1/3, ¼, 1/5 və s. Bu monoton şəkildə azalan ardıcıllıqdır. Məhdud ardıcıllıq limiti olan ardıcıllıqdır. Konvergent ardıcıllıq sonsuz kiçik həddi olan bir sıra ədədlərdir. Beləliklə, məhdud ardıcıllığın həddi istənilən real və ya kompleks ədəddir. Unutmayın ki, yalnız bir məhdudiyyət ola bilər. Konvergent ardıcıllığın həddi sonsuz kiçik (həqiqi və ya mürəkkəb) kəmiyyətdir. Ardıcıllıq diaqramını çəkirsinizsə, o zaman müəyyən bir nöqtədə birləşəcək, müəyyən bir dəyərə çevriləcək. Beləliklə, ad - konvergent ardıcıllıq. Belə bir ardıcıllığın sərhədi ola bilər, olmaya da bilər. Birincisi, bunun nə vaxt olduğunu başa düşmək faydalıdır, buradan bir limitin olmadığını sübut etməyə başlaya bilərsiniz. Monoton ardıcıllıqlar arasında konvergent və divergent fərqlənir. Konvergent x çoxluğu ilə əmələ gələn və bu çoxluqda həqiqi və ya mürəkkəb həddi olan ardıcıllıqdır. Divergent çoxluğunda heç bir məhdudiyyəti olmayan ardıcıllıqdır (nə real, nə də mürəkkəb). Bundan əlavə, həndəsi təsvirdə onun yuxarı və aşağı hədləri yaxınlaşdıqda ardıcıllıq birləşir. Konvergent ardıcıllığın həddi bir çox hallarda sıfır ola bilər, çünki istənilən sonsuz kiçik ardıcıllığın məlum həddi (sıfır) vardır. Hansı konvergent ardıcıllığı götürsəniz, hamısı məhduddur, lakin bütün məhdud ardıcıllıqlar birləşmir. İki yaxınlaşan ardıcıllığın cəmi, fərqi, hasili də yaxınlaşan ardıcıllıqdır. Bununla belə, müəyyən olunarsa, hissə də yaxınlaşa bilər! Ardıcıllıq hədləri rəqəmlər və rəqəmlər qədər əhəmiyyətlidir (əksər hallarda): 1, 2, 15, 24, 362 və s. Məlum olur ki, bəzi əməliyyatları limitlərlə yerinə yetirmək olar. Birincisi, rəqəmlər və rəqəmlər kimi istənilən ardıcıllığın hədləri əlavə və çıxıla bilər. Ardıcıllıqların hədləri haqqında üçüncü teorem əsasında aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: ardıcıllıqların cəminin həddi onların hədlərinin cəminə bərabərdir. İkincisi, ardıcıllıqların hədləri haqqında dördüncü teorem əsasında aşağıdakı bərabərlik doğrudur: n-ci ardıcıllığın hasilinin həddi onların hədlərinin hasilinə bərabərdir. Bölünmə üçün də eynidir: iki ardıcıllığın bölünməsinin həddi, həddi sıfır olmamaq şərti ilə onların hədlərinin bölünməsinə bərabərdir. Axı, ardıcıllığın həddi sıfıra bərabərdirsə, sıfıra bölünmə nəticələnəcək, bu mümkün deyil. Görünür ki, ədədi ardıcıllığın həddi artıq bir qədər ətraflı müzakirə olunub, lakin “sonsuz kiçik” və “sonsuz böyük” kimi ifadələr bir dəfədən çox xatırlanır. Aydındır ki, 1/x ardıcıllığı varsa, burada x→∞, onda belə kəsr sonsuz kiçikdir və eyni ardıcıllıq, lakin həddi sıfıra meyllidirsə (x→0), onda kəsr sonsuz böyük qiymətə çevrilir. Və belə miqdarların öz xüsusiyyətləri var. Hər hansı kiçik və ya böyük dəyərə malik ardıcıllığın limitinin xüsusiyyətləri aşağıdakılardır: Əslində, sadə bir alqoritm bilirsinizsə, ardıcıllığın limitini hesablamaq o qədər də çətin iş deyil. Amma ardıcıllığın hədləri maksimum diqqət və əzm tələb edən mövzudur. Təbii ki, bu cür ifadələrin həllinin mahiyyətini sadəcə olaraq qavramaq kifayətdir. Kiçikdən başlayaraq, zamanla böyük zirvələrə çata bilərsiniz. Mövzu 4.6 Limitlərin hesablanması Funksiyanın limiti onun limit nöqtəsində müəyyən edilib-edilməməsindən asılı deyil. Lakin elementar funksiyaların hədlərinin hesablanması praktikasında bu hal mühüm əhəmiyyət kəsb edir. 1. Əgər funksiya elementardırsa və arqumentin məhdudlaşdırıcı qiyməti onun təyinetmə sahəsinə aiddirsə, o zaman funksiyanın limitinin hesablanması arqumentin məhdudlaşdırıcı dəyərinin sadə əvəzlənməsinə qədər azaldılır, çünki elementar f (x) funksiyasının həddi at x üçün çalışırıqA
tərif oblastına daxil olan , x =-də funksiyanın qismən qiymətinə bərabərdir A, yəni. lim f(x)=f( a) . 2. Əgər x sonsuzluğa meyllidir və ya arqument funksiyanın təyini sahəsinə aid olmayan ədədə meyl edir, onda hər bir belə halda funksiyanın həddini tapmaq xüsusi araşdırma tələb edir. Aşağıda düsturlar kimi istifadə edilə bilən limitlərin xassələrinə əsaslanan ən sadə həddlər verilmişdir: Funksiya limitinin tapılmasının daha mürəkkəb halları: hər biri ayrıca nəzərdən keçirilir. Bu bölmə qeyri-müəyyənlikləri açıqlamağın əsas yollarını təsvir edəcəkdir. 1. Bu halda x üçün çalışırıqA
f(x) funksiyası iki sonsuz kiçik kəmiyyətin nisbətini ifadə edir a) Əvvəlcə əmin olmalısınız ki, funksiyanın həddi birbaşa əvəzetmə ilə tapıla bilməz və arqumentdə göstərilən dəyişikliklə o, iki sonsuz kiçik kəmiyyətin nisbətini təmsil edir. Kəsiri 0-a meyl edən əmsalla azaltmaq üçün transformasiyalar edilir. Funksiyanın həddinin tərifinə əsasən, x arqumenti heç vaxt onunla üst-üstə düşməyən öz həddi qiymətinə meyl edir. Ümumiyyətlə, əgər biri funksiyanın limitini axtarırsa x üçün çalışırıqA
, onda yadda saxlamaq lazımdır ki, x qiymət almır A, yəni. x a-a bərabər deyil. b) Bezout teoremi tətbiq edilir. Əgər siz payı və məxrəci x = hədd nöqtəsində itən çoxhədli olan kəsrin limitini axtarırsınızsa A, onda yuxarıdakı teoremə görə hər iki çoxhədli x-ə bölünür. A. c) Sax və ya məxrəcdəki irrasionallıq irrasional ifadəyə qoşma ilə vurulmaqla məhv edilir, sonra kəsr sadələşdirildikdən sonra azaldılır. d) 1-ci əlamətdar hədd (4.1) istifadə olunur. e) Sonsuz kiçiklərin ekvivalentliyi haqqında teorem və aşağıdakı prinsiplərdən istifadə olunur: 2. Bu halda x üçün çalışırıqA
f(x) funksiyası iki sonsuz böyük kəmiyyətin nisbətini təmsil edir a) Kəsirin payını və məxrəcini naməlumun ən yüksək gücünə bölmək. b) Ümumiyyətlə, qaydadan istifadə edə bilərsiniz 3. Bu halda x üçün çalışırıqA
f (x) funksiyası sonsuz kiçik və sonsuz böyük bir kəmiyyətin məhsulunu təmsil edir Kəsrin payı və məxrəci eyni vaxtda 0-a və ya sonsuzluğa meylli olan formaya çevrilir, yəni. 3-cü hal 1-ə və ya 2-yə endirilir. 4. Bu halda x üçün çalışırıqA
f (x) funksiyası iki müsbət sonsuz böyük kəmiyyətin fərqini təmsil edir Bu hal aşağıdakı yollardan biri ilə 1 və ya 2-yə endirilir: a) kəsrlərin ortaq məxrəcə gətirilməsi; b) funksiyanın kəsrə çevrilməsi; c) irrasionallıqdan qurtulmaq. 5. Bu halda x üçün çalışırıqA
f(x) funksiyası bazası 1-ə, eksponenti isə sonsuzluğa meyl edən qüvvəni təmsil edir. Funksiya 2-ci əlamətdar həddi (4.2) istifadə edəcək şəkildə çevrilir. Misal. Tapın Çünki x 3-ə meyl edir, onda kəsrin payı 3 2 +3 *3+4=22, məxrəc isə 3+8=11 rəqəminə meyl edir. Beləliklə, Misal Burada kəsrin payı və məxrəci var x 2-ə meyl edir 0-a meyl edir (növün qeyri-müəyyənliyi), biz payı və məxrəci faktorlara ayırırıq, lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5) alırıq. Misal Numeratoru və məxrəci paylayıcı ilə birləşmə ifadəsi ilə vursaq, əldə edirik Numeratorda mötərizələri açaraq, alırıq Misal Səviyyə 2.
Misal. Funksiya həddi anlayışının iqtisadi hesablamalarda tətbiqinə misal verək. Adi bir maliyyə əməliyyatını nəzərdən keçirək: məbləği borc vermək S 0 şərti ilə müəyyən müddətdən sonra T məbləğ geri qaytarılacaq S T. Dəyərini təyin edək r nisbi artım düstur r=(S T -S 0)/S 0 (1) Nisbi artım, nəticədə alınan dəyəri vurmaqla faizlə ifadə edilə bilər r 100 ilə. Düsturdan (1) dəyəri müəyyən etmək asandır S T: S T= S 0 (1 + r) Bir neçə tam ili əhatə edən uzunmüddətli kreditlərin hesablanması zamanı mürəkkəb faiz sxemindən istifadə edilir. Bu ondan ibarətdir ki, əgər 1-ci il üçün məbləğ S 0 artır (1 + r) dəfə, sonra ikinci il üçün (1 + r) dəfə artır S 1 = S 0 (1 + r), yəni S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Oxşar şəkildə çıxır S 3 = S 0 (1 + r) 3. Yuxarıdakı nümunələrdən, biz üçün məbləğin artımını hesablamaq üçün ümumi bir düstur əldə edə bilərik n Mürəkkəb faiz sxemindən istifadə etməklə hesablanan illər: S n= S 0 (1 + r) n. Maliyyə hesablamalarında mürəkkəb faizlərin ildə bir neçə dəfə hesablandığı sxemlərdən istifadə olunur. Bu halda nəzərdə tutulur illik dərəcəsi r Və illik hesablamaların sayı k. Bir qayda olaraq, hesablamalar bərabər intervallarla, yəni hər bir intervalın uzunluğu ilə aparılır Tk ilin bir hissəsini təşkil edir. Sonra dövr üçün T illər (burada T mütləq tam ədəd deyil) məbləği S T düsturla hesablanır ədədin özü ilə üst-üstə düşən tam hissəsi haradadır, məsələn, əgər T? tam ədəd. İllik tarif belə olsun r və istehsal olunur n müntəzəm fasilələrlə ildə hesablamalar. Sonra il üçün məbləğ S 0 düsturla müəyyən edilmiş dəyərə qədər artırılır Nəzəri təhlildə və maliyyə fəaliyyətinin praktikasında “davamlı hesablanmış faiz” anlayışına tez-tez rast gəlinir. Davamlı hesablanmış faizlərə keçmək üçün müvafiq olaraq (2) və (3) düsturlarında rəqəmləri qeyri-müəyyən artırmalısınız. k Və n(yəni yönləndirmək k Və n sonsuza qədər) və funksiyaların hansı limitə meyl edəcəyini hesablayın S T Və S 1. Bu proseduru (3) düsturuna tətbiq edək: Qeyd edək ki, qıvrımlı mötərizələrdəki limit ikinci diqqətəlayiq həddi ilə üst-üstə düşür. Bundan belə çıxır ki, illik nisbətdə r davamlı hesablanmış faizlə, məbləğ S 1 ildə 0 dəyərinə yüksəlir S düsturdan müəyyən edilən 1 * S 1 * = S 0 e r (4) Qoy indi cəmi S 0 faiz hesablanmaqla kredit kimi verilir n ildə bir dəfə müntəzəm olaraq. işarə edək r e ilin sonunda məbləğin olduğu illik dərəcə S 0 dəyərinə qədər artır S 1 * düsturdan (4). Bu halda biz bunu deyəcəyik r e- Bu illik faiz dərəcəsi n ildə bir dəfə, illik faizə bərabərdir r davamlı hesablama ilə.(3) düsturundan alırıq S* 1 =S 0 (1+r e /n) n Sonuncu düsturun və düsturun (4) sağ tərəflərini bərabərləşdirmək, sonuncunu qəbul etmək T= 1, kəmiyyətlər arasında əlaqələr çıxara bilərik r Və r e: Bu düsturlar maliyyə hesablamalarında geniş istifadə olunur. Bu onlayn riyaziyyat kalkulyatoru sizə lazım olsa kömək edəcək funksiyanın limitini hesablayın. Proqram həll məhdudiyyətləri nəinki problemin cavabını verir, həm də yol göstərir izahatlarla ətraflı həll, yəni. limit hesablama prosesini göstərir. Bu proqram ümumtəhsil məktəblərinin yuxarı sinif şagirdləri üçün sınaq və imtahanlara hazırlaşarkən, Vahid Dövlət İmtahanından əvvəl bilikləri yoxlayarkən, riyaziyyat və cəbr fənlərindən bir çox məsələlərin həllinə nəzarət etmək üçün valideynlər üçün faydalı ola bilər. Bu yolla siz öz təliminizi və/yaxud kiçik qardaş və ya bacılarınızın təlimini həyata keçirə bilərsiniz, eyni zamanda problemlərin həlli sahəsində təhsil səviyyəsi yüksəlir. Məlum olub ki, bu problemi həll etmək üçün lazım olan bəzi skriptlər yüklənməyib və proqram işləməyə bilər. Çünki Problemi həll etmək istəyənlər çoxdur, sorğunuz növbəyə alınıb. Əgər sən həllində səhv olduğunu gördü, sonra bu barədə Əlaqə Formunda yaza bilərsiniz. Oyunlarımız, bulmacalarımız, emulyatorlarımız: Bəzi X çoxluğunda f(x) funksiyası müəyyən edilsin və \(x_0 \in X\) və ya \(x_0 \X deyil) nöqtəsi olsun. X-dən x 0-dan fərqli nöqtələr ardıcıllığını götürək: Tərif. A rəqəmi x = x 0 (və ya x -> x 0) nöqtəsində f(x) funksiyasının həddi adlanır, əgər x arqumentinin x 0-dan fərqli dəyərlərinin hər hansı ardıcıllığı (1) üçün olarsa x 0-a yaxınlaşdıqda, dəyər funksiyasının müvafiq ardıcıllığı (2) A nömrəsinə yaxınlaşır. f(x) funksiyasının x 0 nöqtəsində yalnız bir limiti ola bilər. Bu, ardıcıllığın olmasından irəli gəlir Funksiya limitinin başqa bir tərifi var. Tərif Hər hansı \(\varepsilon > 0\) ədədi üçün \(\delta > 0\) ədədi varsa, A rəqəmi f(x) funksiyasının x = x 0 nöqtəsindəki həddi adlanır. (x \in X, \; x \neq x_0 \), bərabərsizliyini təmin edən \(|x-x_0| Məntiqi simvollardan istifadə edərək bu tərifi belə yazmaq olar. Qeyd edək ki, “ardıcıllıqların dilində” funksiyanın həddinin təyini həm də Heineyə görə funksiyanın limitinin təyini, funksiyanın limitinin isə “dilində \(\varepsilon -) adlanır. \delta \)” Koşiyə görə funksiyanın limitinin tərifi də adlanır. Bundan sonra funksiyanın birtərəfli hədləri anlayışlarından istifadə edəcəyik ki, bunlar aşağıdakı kimi müəyyən edilir. Tərif X 0-a yaxınlaşan, x n elementləri x 0-dan böyük (kiçik) olan hər hansı ardıcıllıq üçün (1) x 0 nöqtəsində A rəqəmi f(x) funksiyasının sağ (sol) həddi adlanır. müvafiq ardıcıllıq (2) A-ya yaxınlaşır. Simvolik olaraq belə yazılır: “\(\varepsilon - \delta \) dilində” funksiyanın birtərəfli hədlərinin ekvivalent tərifini verə bilərik: Tərif hər hansı bir \(\varepsilon > 0\) üçün \(\delta > 0\) varsa, x 0 nöqtəsində f(x) funksiyasının sağ (sol) həddi A rəqəmi adlanır ki, bütün x üçün qaneedici olsun. bərabərsizliklər \(x_0 Simvolik qeydlər: Ardıcıllıq limitinin müəyyən edilməsi
Ardıcıllıq həddi üçün ümumi təyinat
Həddinin qeyri-müəyyənliyi və müəyyənliyi
Qonşuluq nədir?
Teoremlər
Ardıcıllığın sübutu
Yoxsa bəlkə o yoxdur?
Monoton ardıcıllıq
Konvergent və məhdud ardıcıllığın həddi
Monoton ardıcıllığın həddi
Məhdudiyyətli müxtəlif hərəkətlər
Ardıcıl kəmiyyətlərin xassələri
.
(2)
(3)
Limiti hesablayın
Sizdə AdBlock aktiv ola bilər.
Bu halda onu söndürün və səhifəni yeniləyin.
Həllin görünməsi üçün JavaScript-i aktiv etməlisiniz.
Brauzerinizdə JavaScript-i necə aktivləşdirmək barədə təlimatlar buradadır.
Bir neçə saniyədən sonra həll aşağıda görünəcək.
Zəhmət olmasa gözləyin san...
unutma hansı tapşırığı göstərin nə qərar verərsən sahələrə daxil olun.Bir az nəzəriyyə.
x->x 0-da funksiyanın limiti
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*-a yaxınlaşır. Bu ardıcıllığın nöqtələrindəki funksiya dəyərləri də ədədi ardıcıllıq təşkil edir
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
və onun hüdudunun mövcudluğu məsələsini qaldırmaq olar.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
(f(x n)) yalnız bir limitə malikdir.
\((\forall \varepsilon > 0) (\mövcud \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Qeyd edək ki, bərabərsizliklər \(x \neq x_0) , \; |x-x_0|. Birinci tərif ədəd ardıcıllığının həddi anlayışına əsaslanır, buna görə də onu çox vaxt “ardıcıllıqların dilində” tərifi adlandırırlar \(\varepsilon - \delta \)”.
Funksiya limitinin bu iki tərifi ekvivalentdir və müəyyən bir problemin həlli üçün hansının daha əlverişli olmasından asılı olaraq onlardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz.x->x 0 - və x->x 0 +-da funksiyanın limiti
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \sağ) $$