Ev / Dərmanlar/ Paralel müstəvilərin xassələri. Təyyarələrin paralelliyi: vəziyyət və xassələri

Paralel müstəvilərin xassələri. Təyyarələrin paralelliyi: vəziyyət və xassələri

Bu dərsdə biz paralel müstəvilərin üç xassəsinə baxacağıq: iki paralel müstəvinin üçüncü müstəvi ilə kəsişməsi; paralel müstəvilər arasında bağlanmış paralel seqmentlər haqqında; və bucağın tərəflərini paralel müstəvilərlə kəsmək haqqında. Sonra, bu xüsusiyyətlərdən istifadə edərək bir neçə problemi həll edəcəyik.

Mövzu: Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi

Dərs: Paralel müstəvilərin xassələri

İki paralel təyyarə üçdə biri ilə kəsişirsə, onların kəsişmə xətləri paraleldir.

Sübut

Paralel müstəvilər verilsin və müstəviləri və düz xətlər boyunca kəsən bir müstəvi olsun A Və b müvafiq olaraq (Şəkil 1.).

Birbaşa A Və b eyni müstəvidə, yəni γ müstəvisində yatır. Düz xətlərin olduğunu sübut edək A Və b kəsişməyin.

Düzdürsə A Və b kəsişir, yəni ortaq nöqtə olardı, onda bu ümumi nöqtə iki müstəviyə aid olardı və , və - şərti ilə paralel olduqları üçün bu mümkün deyil.

Beləliklə, düz A Və b paraleldir, bunun sübuta yetirilməsi lazım idi.

Paralel müstəvilər arasında yerləşən paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir.

Sübut

Paralel müstəvilər və paralel xətlər verilsin AB Və İLƏD bu təyyarələri kəsən (şək. 2.). Seqmentlər olduğunu sübut edək AB Və İLƏD bərabərdirlər.

İki paralel xətt AB Və İLƏD vahid müstəvi təşkil edir γ, γ = ABDİLƏ. γ müstəvisi paralel müstəviləri və paralel xətlər boyunca (birinci xüsusiyyətə görə) kəsişir. Deməli düzdür AC Və IND paralel.

Birbaşa AB Və İLƏD də paraleldir (şərtə görə). Beləliklə, dördbucaqlıdır ABDİLƏ- paraleloqram, çünki onun əks tərəfləri cüt-cüt paraleldir.

Paraleloqramın xassələrindən belə çıxır ki, seqmentlər AB Və İLƏD sübut etmək üçün tələb olunduğu kimi bərabərdirlər.

Paralel təyyarələr bucağın tərəflərini mütənasib hissələrə kəsin.

Sübut

Bizə bucağın tərəflərini kəsən paralel müstəvilər verilsin A(Şəkil 3.). Bunu sübut etmək lazımdır.

Paralel təyyarələr və bir bucaq müstəvisi ilə kəsilir A. Bucaq müstəvisinin kəsişmə xəttini adlandıraq A və təyyarələr - günəş, və bucaq müstəvisinin kəsişmə xətti A və təyyarələr - B 1 C 1. Birinci xassə görə, kəsişmə xətləri Günəş Və B 1 C 1 paralel.

Belə ki, üçbucaqlar ABC Və AB 1 C 1 oxşar. Biz əldə edirik:

3. Vitali Stanislavoviç Tsegelnının riyaziyyat saytı ()

4. "Açıq dərs" pedaqoji ideyalar festivalı ()

1. Nöqtə HAQQINDA- hər seqmentin ümumi orta nöqtəsi AA 1, BB 1, SS 1, eyni müstəvidə yatmayan. Təyyarələr olduğunu sübut edin ABC Və A 1 B 1 C 1 paralel.

2. İki əyri xətt vasitəsilə paralel müstəvilərin çəkilə biləcəyini sübut edin.

3. İki paralel müstəvidən birini kəsən xəttin ikinci ilə də kəsişdiyini sübut edin.

4. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (əsas və ixtisas səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, düzəldilmiş və genişləndirilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Tapşırıqlar 6, 8, 9 s

Təyyarələrin paralelliyi iki min ildən çox əvvəl Evklid həndəsəsində ilk dəfə ortaya çıxan anlayışdır.

Klassik həndəsənin əsas xüsusiyyətləri

Bu elmi intizamın yaranması eramızdan əvvəl III əsrdə “Elementlər” broşüratını yazan qədim yunan mütəfəkkiri Evklidin məşhur əsəri ilə bağlıdır. On üç kitaba bölünən Principia bütün qədim riyaziyyatın ən yüksək nailiyyəti idi və müstəvi fiqurların xassələri ilə bağlı fundamental postulatları ortaya qoydu.

Paralel müstəvilər üçün klassik şərt tərtib edilmişdir aşağıdakı kimi: iki müstəvi bir-biri ilə ortaq nöqtələrə malik deyilsə, paralel adlandırıla bilər. Bu, Evklid əməyinin beşinci postulatında ifadə edilmişdir.

Paralel müstəvilərin xassələri

Evklid həndəsəsində adətən bunlardan beşi var:

Mülk bir(təyyarələrin paralelliyini və onların unikallığını təsvir edir). Müəyyən bir müstəvidən kənarda yerləşən bir nöqtə vasitəsilə ona paralel bir və yalnız bir müstəvi çəkə bilərik

Mülkiyyət üç(başqa sözlə, müstəvilərin paralelliyini kəsən xəttin xassəsi deyilir). Əgər tək düz xətt bu paralel müstəvilərdən birini kəsərsə, o, digərini də kəsəcəkdir.

Dördüncü əmlak(bir-birinə paralel müstəvilərdə kəsilmiş düz xətlərin xassəsi). İki paralel müstəvi üçüncü ilə (istənilən bucaqda) kəsişdikdə, onların kəsişmə xətləri də paralel olur

Mülkiyyət beş(bir-birinə paralel təyyarələr arasında olan müxtəlif paralel xətlərin seqmentlərini təsvir edən xüsusiyyət). İki paralel müstəvi arasında olan paralel xətlərin seqmentləri mütləq bərabərdir.

Qeyri-Evklid həndəsələrində müstəvilərin paralelliyi

Bu cür yanaşmalar, xüsusən də Lobaçevski və Rimann həndəsəsidir. Evklidin həndəsəsi düz fəzalarda həyata keçirilirdisə, Lobaçevskidə mənfi əyri fəzalarda (əyri, sadəcə olaraq), Rimannda isə müsbət əyri fəzalarda (başqa sözlə, kürələrdə) reallaşmasını tapır. Lobaçevskinin paralel müstəvilərində (və xətlərin də) kəsişdiyi barədə çox geniş yayılmış stereotipik fikir var.

Lakin bu doğru deyil. Həqiqətən də, hiperbolik həndəsənin doğulması Evklidin beşinci postulatının sübutu və ona baxışların dəyişməsi ilə bağlı idi, lakin paralel müstəvilərin və düz xətlərin tərifinin özü o deməkdir ki, onlar nə Lobaçevskidə, nə də Rimanda hansı fəzalarda kəsişə bilməzlər. həyata keçirilirlər. Baxışlarda və formalarda dəyişiklik aşağıdakı kimi oldu. Verilmiş müstəvidə olmayan bir nöqtədən yalnız bir paralel müstəvi çəkilə biləcəyinə dair postulat başqa bir düsturla əvəz edilmişdir: verilmiş xüsusi müstəvidə olmayan nöqtə vasitəsilə, ən azı iki düz xətt. verilmiş müstəvi ilə eyni müstəvi və onu kəsməyin.

Nə vaxtsa məktəbdə təhsil almış və ya hazırda təhsil alan hər kəs Təhsil Nazirliyinin hazırladığı proqrama daxil olan fənləri öyrənməkdə müxtəlif çətinliklərlə üzləşməli olub.

Hansı çətinliklərlə üzləşirsiniz?

Dilləri öyrənmək mövcud olanları yadda saxlamaqla müşayiət olunur qrammatika qaydaları və onlar üçün əsas istisnalar. Bədən tərbiyəsi tələbələrdən çox səy, yaxşı fiziki hazırlıq və böyük səbr tələb edir.

Bununla belə, heç bir şey dəqiq fənləri öyrənərkən yaranan çətinliklərlə müqayisə edilə bilməz. Elementar məsələlərin həllinin mürəkkəb yollarını ehtiva edən cəbr. Fiziki qanunların zəngin düsturları ilə fizika. Mürəkkəb teoremlərə və aksiomalara əsaslanan həndəsə və onun sahələri.

Buna misal olaraq, müstəvilərin paralellik nəzəriyyəsini izah edən aksiomaları göstərmək olar, onlar yadda saxlanmalıdır, çünki onlar stereometriya üzrə bütün məktəb kurikulumunun əsasını təşkil edir. Bunu necə daha asan və daha sürətli edəcəyinizi anlamağa çalışaq.

Nümunələr ilə paralel təyyarələr

Təyyarələrin paralelliyini göstərən aksioma belədir: “ İstənilən iki müstəvi yalnız ortaq nöqtələri ehtiva etmədikdə paralel sayılır“, yəni bir-biri ilə kəsişmir. Bu mənzərəni daha ətraflı təsəvvür etmək üçün elementar nümunə olaraq bir binada tavan və döşəmə və ya əks divarlar arasındakı əlaqəni götürə bilərik. Nəyin nəzərdə tutulduğu dərhal aydın olur və normal vəziyyətdə bu təyyarələrin heç vaxt kəsişməyəcəyini təsdiqləyir.

Başqa bir nümunə, şüşə təbəqələrin təyyarə rolunu oynadığı ikiqat şüşəli bir pəncərədir. Onlar həmçinin heç bir halda bir-biri ilə kəsişmə nöqtələri yaratmayacaqlar. Bundan əlavə, kitab rəfləri, təyyarələrin əks üzləri olduğu Rubik kubunu və digər gündəlik elementləri əlavə edə bilərsiniz.

Baxılan təyyarələr təyyarələrin paralelliyini aydın şəkildə göstərən iki düz xətt “||” şəklində xüsusi işarə ilə təyin olunur. Beləliklə, istifadə real nümunələr, mövzu haqqında daha aydın qavrayış formalaşdıra bilərsiniz və buna görə də daha mürəkkəb anlayışları nəzərdən keçirməyə davam edə bilərsiniz.

Paralel müstəvilər nəzəriyyəsi harada və necə tətbiq olunur?

Məktəb həndəsə kursunu oxuyarkən tələbələr çox vaxt xətlərin paralelliyini, bir düz xətti və bir müstəvini və ya təyyarələrin bir-birindən asılılığını müəyyən etmək lazım olan müxtəlif problemlərlə məşğul olmalıdırlar. Mövcud vəziyyəti təhlil edərək, hər bir tapşırıq stereometriyanın dörd əsas sinfi ilə əlaqələndirilə bilər.

Birinci sinfə düz xəttin və müstəvinin bir-birinə paralelliyini müəyyən etmək lazım olan məsələlər daxildir. Onun həlli eyniadlı teoremin isbatına gəlir. Bunu etmək üçün, nəzərdən keçirilən müstəviyə aid olmayan bir xətt üçün bu müstəvidə uzanan paralel xəttin olub olmadığını müəyyən etməlisiniz.

Problemlərin ikinci sinfinə paralel müstəvilər xüsusiyyətinin istifadə olunduğu məsələlər daxildir. Sübut prosesini sadələşdirmək üçün istifadə olunur və bununla da həll yolu tapmaq üçün vaxtı əhəmiyyətli dərəcədə azaldır.

Növbəti sinif düz xətlərin müstəvilərin paralelliyinin əsas xassələrinə uyğunluğuna dair bir sıra məsələləri əhatə edir. Dördüncü sinfə aid məsələlərin həlli paralel müstəvilərin şərtinin təmin edilib-edilmədiyini müəyyən etməkdir. Müəyyən bir problemin sübutunun necə baş verdiyini dəqiq bilməklə, həndəsi aksiomların mövcud arsenalından istifadə edərkən şagirdlərin naviqasiyaları asanlaşır.

Beləliklə, şərtləri düz xətlərin, düz xəttin və müstəvinin və ya bir-biri arasında olan iki müstəvinin paralelliyini müəyyən etməyi və sübut etməyi tələb edən məsələlərə qədər azaldılır. düzgün seçim mövcud qaydalar toplusuna uyğun olaraq teorem və həll.

Xətt və müstəvi paralelliyi haqqında

Düz xətt və müstəvi paralelliyi stereometriyada xüsusi bir mövzudur, çünki məhz bu əsas konsepsiya, həndəsi fiqurların paralelliyinin bütün sonrakı xassələrinin əsaslandığı.

Mövcud aksiomalara görə, xəttin iki nöqtəsi müəyyən bir müstəviyə aid olduqda, bu xəttin də onun içində olduğu qənaətinə gələ bilərik. Bu vəziyyətdə aydın olur ki, kosmosda bir müstəviyə nisbətən düz xəttin yerləşməsi üçün üç mümkün variant var:

Düz xətt təyyarəyə aiddir.
Xət və müstəvi bir ümumi kəsişmə nöqtəsinə malikdir.
Düz xətt və müstəvi üçün kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Bizi, xüsusən də, kəsişmə nöqtələrinin olmadığı sonuncu variant maraqlandırır. Yalnız bundan sonra düz xətt və müstəvi bir-birinə nisbətən paralel olduğunu deyə bilərik. Beləliklə, xəttin və müstəvinin paralellik əlaməti haqqında əsas teorem şərti təsdiqlənir ki, burada deyilir: “Əgər baxılan müstəviyə aid olmayan xətt bu müstəvidəki hər hansı bir xəttə paraleldirsə, baxılan xətt də verilmiş müstəviyə paraleldir.”

Paralellik xüsusiyyətindən istifadə ehtiyacı

Təyyarələrin paralellik əlaməti adətən təyyarələrlə bağlı məsələlərin sadələşdirilmiş həllini tapmaq üçün istifadə olunur. Bu xüsusiyyətin mahiyyəti belədir: “ Eyni müstəvidə başqa müstəviyə aid iki xəttə paralel olan kəsişən iki xətt varsa, belə müstəviləri paralel adlandırmaq olar.».

Əlavə teoremlər

Təyyarələrin paralelliyini sübut edən işarədən istifadə etməklə yanaşı, praktikada daha iki əlavə teoremdən istifadə ilə qarşılaşmaq olar. Birincisi təqdim olunur aşağıdakı forma: « Əgər iki paralel müstəvidən biri üçüncüyə paraleldirsə, ikinci müstəvi də üçüncüyə paraleldir və ya onunla tamamilə üst-üstə düşür.».

Verilmiş teoremlərdən istifadə əsasında müstəvilərin baxılan fəzaya görə paralelliyini sübut etmək həmişə mümkündür. İkinci teorem müstəvilərin perpendikulyar xəttdən asılılığını göstərir və formaya malikdir: “ Əgər iki fərqli müstəvi müəyyən bir xəttə perpendikulyardırsa, onda onlar bir-birinə paralel sayılırlar».

Zəruri və kafi şərtlər anlayışı

Müstəvilərin paralelliyini sübuta yetirmə məsələlərini dəfələrlə həll etməklə müstəvilərin paralelliyi üçün zəruri və kafi şərt çıxarılmışdır. Məlumdur ki, istənilən müstəvi aşağıdakı formanın parametrik tənliyi ilə verilir: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Şərtimiz kosmosda təyyarələrin yerini təyin edən tənliklər sisteminin istifadəsinə əsaslanır və aşağıdakı formula ilə təmsil olunur: " İki müstəvinin paralelliyini sübut etmək üçün bu müstəviləri təsvir edən tənliklər sisteminin uyğunsuz olması, yəni həllinin olmaması zəruri və kifayətdir.».

Əsas xüsusiyyətlər

Bununla belə, qərar verərkən həndəsi məsələlər Paralellik funksiyasından istifadə həmişə kifayət deyil. Bəzən müxtəlif müstəvilərdə iki və ya daha çox xəttin paralelliyini və ya bu xətlərdə olan seqmentlərin bərabərliyini sübut etmək lazım gəldikdə vəziyyət yaranır. Bunun üçün müstəvilərin paralellik xassələrindən istifadə edin. Həndəsədə onlardan yalnız ikisi var.

Birinci xüsusiyyət müəyyən müstəvilərdə xətlərin paralelliyini mühakimə etməyə imkan verir və aşağıdakı formada təqdim olunur: İki paralel müstəvi üçüncü ilə kəsişirsə, kəsişmə xətlərinin yaratdığı düz xətlər də bir-birinə paralel olacaqdır.».

İkinci xassənin mənası paralel xətlər üzərində yerləşən seqmentlərin bərabərliyini sübut etməkdir. Onun təfsiri aşağıda təqdim olunur. " İki paralel müstəvini nəzərdən keçirsək və onların arasına bir bölgə bağlasaq, bu bölgənin yaratdığı seqmentlərin uzunluğunun eyni olacağını söyləyə bilərik.».

Təyyarələrin paralelliyi.
Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin kəsişən iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir. Sübut. Qoy Və a b - təyyarə məlumatları, a 1 Və a 2 Sübut. Qoy– müstəvidə düz xətlər , A nöqtəsində kəsişən, a 1 b 1 b 2 a müvafiq olaraq müstəvidə onlara paralel xətlər Sübut. Qoy Və a. Təyyarələr olduğunu fərz edək paralel deyil, yəni hansısa düz xətt boyunca kəsişirlər ilə A. Düz a 1 xəttinə paraleldir a 1, yəni təyyarənin özünə paraleldir A(xətlə müstəvi arasında paralellik əlaməti). Düz 2 xəttinə paraleldir b 2, a bu o deməkdir ki, təyyarənin özünə paraleldir paralel deyil, yəni hansısa düz xətt boyunca kəsişirlər(xətlə müstəvi arasında paralellik əlaməti). Düz Sübut. Qoy təyyarəyə aiddir , bu düz xətlərdən ən azı biri deməkdir a 1 Və və ya xətti kəsir ilə, paralel deyil, yəni hansısa düz xətt boyunca kəsişirlər yəni onunla ortaq nöqtə var. Amma düz a də təyyarəyə aiddir , yəni xətti keçmək deməkdir ilə, düz a 1 Və a 1 a təyyarə ilə kəsişir düz a 1 Və, ola bilməz, çünki onlar düzdür a təyyarəyə paralel Sübut. Qoy Və a kəsişmirlər, yəni paraleldirlər.

Teorem 1 . İki paralel təyyarə üçdə bir kəsişirsə, kəsişmənin düz xətləri paraleldir.
Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin kəsişən iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir. Sübut. Qoy Və a- paralel təyyarələr və g - onları kəsən təyyarə. Təyyarə Sübut. Qoy təyyarə ilə kəsişir g düz xəttdə A. Təyyarə a təyyarə ilə kəsişir g düz xəttdə b. Kəsişmə xətləri A Və a eyni müstəvidə yatmaq g və buna görə də kəsişən və ya paralel xətlər ola bilər. Lakin iki paralel müstəviyə aid olduqları üçün onların ortaq nöqtələri ola bilməz. Buna görə də paraleldirlər.

Teorem 2. İki paralel müstəvi arasında bağlanmış paralel xətlərin seqmentləri bərabərdir.
Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin kəsişən iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir. Sübut. Qoy Və a- paralel təyyarələr və A Və a- onları kəsən paralel xətlər. Düz xətlər vasitəsilə A Və a aparacağıq təyyarə g (bu xətlər paraleldir, yəni bir təyyarə təyin edin və yalnız bir). Təyyarə Sübut. Qoy təyyarə ilə kəsişir g AB düz xəttində . Təyyarə a təyyarə ilə kəsişir g düz xətti boyunca SD Əvvəlki teoremə görə düz xətt paralel deyil, yəni hansısa düz xətt boyunca kəsişirlər xəttinə paralel d. Birbaşa A,b, AB a 1 SD təyyarəyə aiddir g Bu xətlərlə hüdudlanan dördbucaqlı paraleloqramdır (onun əks tərəfləri paraleldir). Və bu paraleloqram olduğundan, onun əks tərəfləri bərabərdir, yəni AD = BC

Dərsin məqsədləri:

Paralel müstəvilər anlayışını təqdim edin.
Müstəvilərin paralellik əlamətini və paralel müstəvilərin xassələrini ifadə edən teoremləri nəzərdən keçirin və sübut edin.
Problemlərin həllində bu teoremlərin tətbiqini izləyin.

Dərs planı (lövhədə yazın):

I. Hazırlıq şifahi iş.

II. Yeni materialın öyrənilməsi:

1. İki təyyarənin fəzada nisbi mövqeyi.
2. Paralel müstəvilərin təyini.
3. Paralel müstəvilərin işarəsi.
4. Paralel müstəvilərin xassələri.

III. Dərsin xülasəsi.

IV. Ev tapşırığı.

DƏRSİN GÖRÜŞÜ

I. Şifahi iş

Dərsi Çaadayevin fəlsəfi məktubundan bir sitatla başlamaq istərdim:

“Riyaziyyatda analizin bu möcüzəvi gücü haradan gəlir? Fakt budur ki, burada ağıl bu qaydaya tam tabe olaraq hərəkət edir”.

Qaydaya bu itaətə növbəti tapşırıqda baxacağıq. Yeni materialı öyrənmək üçün bəzi sualları təkrarlamaq lazımdır. Bunu etmək üçün bu ifadələrdən irəli gələn bir bəyanat yaratmalı və cavabınızı əsaslandırmalısınız:

II. Yeni materialın öyrənilməsi

1. İki təyyarə kosmosda necə yerləşə bilər? Hər iki müstəviyə aid olan nöqtələr çoxluğu nədir?

Cavab:

a) üst-üstə düşür (onda bir təyyarə ilə məşğul olacağıq, bu, qənaətbəxş deyil);
b) kəsişmək, ;
c) kəsişməyin (ümumiyyətlə ortaq nöqtələr yoxdur).

2. Tərif: Əgər iki müstəvi kəsişmirsə, onlara paralel deyilir

3. Təyinat:

4. Ətraf mühitdən paralel müstəvilərə nümunələr verin

5. Kosmosda hər hansı iki təyyarənin paralel olub olmadığını necə tapmaq olar?

Cavab:

Tərifdən istifadə edə bilərsiniz, lakin bu, yersizdir, çünki Təyyarələrin kəsişməsini qurmaq həmişə mümkün deyil. Buna görə də, təyyarələrin paralel olduğunu təsdiqləmək üçün kifayət qədər şərti nəzərə almaq lazımdır.

6. Vəziyyətləri nəzərdən keçirək:

b) əgər ?

c) əgər ?

Nə üçün a) və b) bəndlərindəki cavab “həmişə deyil”, c) “hə”dir? (Kəsişən xətlər müstəvini unikal şəkildə müəyyənləşdirir, yəni onlar unikal şəkildə müəyyən edilir!)

3-cü vəziyyət iki müstəvinin paralelliyinə işarədir.

7. Teorem: Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir.

Verildi:

Sübut edin:

Sübut:

(Tələbələr rəsmə təyinat tətbiq edirlər.)

1. Qeyd: . Eynilə:
2. Qoy: .
3. Bizdə: Eynilə:
4. Alırıq: M vasitəsilə planimetriya aksiomu ilə ziddiyyət yaranır.
5. Deməli: düzgün deyil, deməkdir və s.

8. 51 nömrəli həll (Şagirdlər rəsmə simvollar tətbiq edirlər).

Verildi: