Təyyarələrin paralelliyi: işarəsi, vəziyyəti. Paralel təyyarələr

Nə vaxtsa məktəbdə təhsil almış və ya hazırda təhsil alan hər bir şəxs Təhsil Nazirliyinin hazırladığı proqrama daxil olan fənləri öyrənməkdə müxtəlif çətinliklərlə üzləşməli olub.

Hansı çətinliklərlə üzləşirsiniz?

Dilləri öyrənmək mövcud olanları yadda saxlamaqla müşayiət olunur qrammatika qaydaları və onlar üçün əsas istisnalar. Bədən tərbiyəsi tələbələrdən çox səy, yaxşı fiziki hazırlıq və böyük səbr tələb edir.

Bununla belə, heç bir şey dəqiq fənləri öyrənərkən yaranan çətinliklərlə müqayisə edilə bilməz. Elementar məsələlərin həllinin mürəkkəb yollarını ehtiva edən cəbr. Fiziki qanunların zəngin düsturları ilə fizika. Mürəkkəb teoremlərə və aksiomalara əsaslanan həndəsə və onun sahələri.

Buna misal olaraq, müstəvilərin paralellik nəzəriyyəsini izah edən aksiomaları göstərmək olar ki, onlar yadda saxlanmalıdır, çünki onlar stereometriya üzrə bütün məktəb kurikulumunun əsasını təşkil edir. Bunu necə daha asan və daha sürətli edəcəyinizi anlamağa çalışaq.

Nümunələr ilə paralel təyyarələr

Təyyarələrin paralelliyini göstərən aksioma səslənir aşağıdakı kimi: « İstənilən iki müstəvi yalnız ortaq nöqtələri ehtiva etmədikdə paralel sayılır“, yəni bir-biri ilə kəsişmir. Bu mənzərəni daha ətraflı təsəvvür etmək üçün elementar nümunə olaraq bir binada tavan və döşəmə və ya əks divarlar arasındakı əlaqəni götürə bilərik. Nəyin nəzərdə tutulduğu dərhal aydın olur və normal vəziyyətdə bu təyyarələrin heç vaxt kəsişməyəcəyini təsdiqləyir.

Başqa bir nümunə, şüşə təbəqələrin təyyarə rolunu oynadığı ikiqat şüşəli bir pəncərədir. Onlar həmçinin heç bir halda bir-biri ilə kəsişmə nöqtələri yaratmayacaqlar. Əlavə olaraq, kitab rəfləri, təyyarələrin əks üzləri olduğu Rubik kubunu və digər gündəlik elementləri əlavə edə bilərsiniz.

Baxılan təyyarələr təyyarələrin paralelliyini aydın şəkildə göstərən iki düz xətt “||” şəklində xüsusi işarə ilə təyin olunur. Beləliklə, istifadə real nümunələr, mövzu haqqında daha aydın qavrayış formalaşdıra bilərsiniz və buna görə də daha mürəkkəb anlayışları nəzərdən keçirməyə davam edə bilərsiniz.

Paralel müstəvilər nəzəriyyəsi harada və necə tətbiq olunur?

Məktəb həndəsə kursunu oxuyarkən tələbələr çox vaxt xətlərin paralelliyini, bir düz xətti və bir müstəvini və ya təyyarələrin bir-birindən asılılığını müəyyən etmək lazım olan müxtəlif problemlərlə məşğul olmalıdırlar. Mövcud vəziyyəti təhlil edərək, hər bir tapşırıq stereometriyanın dörd əsas sinfi ilə əlaqələndirilə bilər.

Birinci sinfə düz xəttin və müstəvinin bir-birinə paralelliyini müəyyən etmək lazım olan məsələlər daxildir. Onun həlli eyniadlı teoremin isbatına gəlir. Bunu etmək üçün, nəzərdən keçirilən müstəviyə aid olmayan bir xətt üçün bu müstəvidə uzanan paralel xəttin olub olmadığını müəyyən etməlisiniz.

Problemlərin ikinci sinfinə paralel müstəvilər xüsusiyyətindən istifadə olunanlar daxildir. Sübut prosesini sadələşdirmək üçün istifadə olunur və bununla da həll yolu tapmaq üçün vaxtı əhəmiyyətli dərəcədə azaldır.

Növbəti sinif düz xətlərin müstəvilərin paralelliyinin əsas xassələrinə uyğunluğuna dair bir sıra məsələləri əhatə edir. Dördüncü sinfə aid məsələlərin həlli paralel müstəvilərin şərtinin təmin edilib-edilmədiyini müəyyən etməkdir. Müəyyən bir problemin sübutunun necə baş verdiyini dəqiq bilməklə, həndəsi aksiomların mövcud arsenalından istifadə edərkən şagirdlərin naviqasiyaları asanlaşır.

Beləliklə, şərtləri düz xətlərin, düz xəttin və müstəvinin və ya bir-biri arasında olan iki müstəvinin paralelliyini müəyyən etməyi və sübut etməyi tələb edən məsələlərə qədər azaldılır. düzgün seçim mövcud qaydalar toplusuna uyğun olaraq teorem və həll.

Xətt və müstəvi paralelliyi haqqında

Düz xətt və müstəvi paralelliyi stereometriyada xüsusi bir mövzudur, çünki məhz bu əsas konsepsiya, həndəsi fiqurların paralelliyinin bütün sonrakı xassələrinin əsaslandığı.

Mövcud aksiomalara görə, xəttin iki nöqtəsi müəyyən bir müstəviyə aid olduqda, bu xəttin də onun içində olduğu qənaətinə gələ bilərik. Bu vəziyyətdə aydın olur ki, kosmosda bir müstəviyə nisbətən düz xəttin yerləşməsi üçün üç mümkün variant var:

1. Düz xətt təyyarəyə aiddir.
2. Xətt və müstəvi bir ümumi kəsişmə nöqtəsinə malikdir.
3. Düz xətt və müstəvi üçün kəsişmə nöqtələri yoxdur.

Bizi, xüsusən də, kəsişmə nöqtələrinin olmadığı sonuncu variant maraqlandırır. Yalnız bundan sonra düz xətt və müstəvi bir-birinə nisbətən paralel olduğunu deyə bilərik. Beləliklə, xəttin və müstəvinin paralellik əlaməti haqqında əsas teorem şərti təsdiqlənir ki, burada deyilir: “Əgər baxılan müstəviyə aid olmayan xətt bu müstəvidəki hər hansı bir xəttə paraleldirsə, baxılan xətt də verilmiş müstəviyə paraleldir.”

Paralellik xüsusiyyətindən istifadə ehtiyacı

Təyyarələrin paralellik əlaməti adətən təyyarələrlə bağlı məsələlərin sadələşdirilmiş həllini tapmaq üçün istifadə olunur. Bu xüsusiyyətin mahiyyəti belədir: “ Eyni müstəvidə başqa müstəviyə aid iki xəttə paralel olan kəsişən iki xətt varsa, belə müstəviləri paralel adlandırmaq olar.».

Əlavə teoremlər

Təyyarələrin paralelliyini sübut edən işarədən istifadə etməklə yanaşı, praktikada daha iki əlavə teoremdən istifadə ilə qarşılaşmaq olar. Birincisi təqdim olunur aşağıdakı forma: « Əgər iki paralel müstəvidən biri üçüncüyə paraleldirsə, ikinci müstəvi də üçüncüyə paraleldir və ya onunla tamamilə üst-üstə düşür.».

Verilmiş teoremlərdən istifadə əsasında müstəvilərin baxılan fəzaya görə paralelliyini sübut etmək həmişə mümkündür. İkinci teorem müstəvilərin perpendikulyar xəttdən asılılığını göstərir və formaya malikdir: “ Əgər iki fərqli müstəvi müəyyən bir xəttə perpendikulyardırsa, onda onlar bir-birinə paralel sayılırlar».

Zəruri və kafi şərtlər anlayışı

Müstəvilərin paralelliyini sübuta yetirmə məsələlərini dəfələrlə həll etməklə, müstəvilərin paralelliyi üçün zəruri və kafi şərt çıxarılmışdır. Məlumdur ki, istənilən müstəvi aşağıdakı formanın parametrik tənliyi ilə verilir: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Şərtimiz kosmosda təyyarələrin yerini təyin edən tənliklər sisteminin istifadəsinə əsaslanır və aşağıdakı formula ilə təmsil olunur: " İki müstəvinin paralelliyini sübut etmək üçün bu müstəviləri təsvir edən tənliklər sisteminin uyğunsuz olması, yəni həllinin olmaması zəruri və kifayətdir.».

Əsas xüsusiyyətlər

Ancaq qərar verərkən həndəsi məsələlər Paralellik funksiyasından istifadə həmişə kifayət deyil. Bəzən müxtəlif müstəvilərdə iki və ya daha çox xəttin paralelliyini və ya bu xətlərdə olan seqmentlərin bərabərliyini sübut etmək lazım gəldikdə vəziyyət yaranır. Bunun üçün müstəvilərin paralellik xassələrindən istifadə edin. Həndəsədə onlardan yalnız ikisi var.

Birinci xüsusiyyət müəyyən müstəvilərdə xətlərin paralelliyini mühakimə etməyə imkan verir və aşağıdakı formada təqdim olunur: İki paralel müstəvi üçüncü ilə kəsişirsə, kəsişmə xətlərinin yaratdığı düz xətlər də bir-birinə paralel olacaqdır.».

İkinci xassənin mənası paralel xətlər üzərində yerləşən seqmentlərin bərabərliyini sübut etməkdir. Onun təfsiri aşağıda təqdim olunur. " İki paralel müstəvini nəzərdən keçirsək və onların arasına bir bölgə bağlasaq, bu bölgənin yaratdığı seqmentlərin uzunluğunun eyni olacağını söyləyə bilərik.».

Müstəvilərin paralellik əlaqəsi, onun xassələri və tətbiqləri nəzərdən keçirilir.

İkisinin yerinin vizual təsviri

təyyarələr bitişik divarların səthlərinin təyyarələrindən, otağın tavanından və döşəməsindən, ikiqat çarpayılardan, iki bərkidilmiş kağız vərəqlərindən istifadə edərək modelləşdirmə verir.

sehrbazlar və s. (Şəkil 242–244).

Müxtəlif təyyarələrin nisbi mövqeyinin sonsuz sayda variantı olmasına baxmayaraq, gələcəkdə bucaqların və məsafələrin hansı ölçülərinin istifadə ediləcəyini təyin etmək və xarakterizə etmək üçün biz ilk növbədə təsnifatın (həmçinin təyyarələri olan düz xətlərin) olduğu yerlərə diqqət yetirəcəyik. ) onların ümumi nöqtələrinin sayına əsaslanır.

1. İki müstəvidə eyni xətt üzərində olmayan ən azı üç ümumi nöqtə var. Belə təyyarələr üst-üstə düşür (aksiom C 2, §7).

2. İki təyyarənin ortaq nöqtələri bu müstəvilərin kəsişmə xətti olan bir düz xətt üzərində yerləşir (aksiom C 3, §7). Belə təyyarələr kəsişir.

3. İki təyyarənin ortaq nöqtələri yoxdur.

IN bu halda onlar çağırılır paralel-

Əgər ortaq nöqtələri yoxdursa, iki təyyarə paralel adlanır.

Təyyarələrin paralelliyi || işarəsi ilə göstərilir: α || β.

Həmişə olduğu kimi, həndəsi anlayışların tətbiqi ilə

Onların mövcudluğu ilə bağlı heç bir problem yoxdur. kəsişmənin mövcudluğu-

Xia təyyarələridir xarakterik xüsusiyyət boşluq,

və biz bundan dəfələrlə istifadə etmişik. Daha az aydındır

Paralel müstəvilərin mövcudluğu aşkar edilir. yoxdur

şübhə edir ki, məsələn, əks qrafiklərin müstəviləri

Kublar paraleldir, yəni kəsişmir. Amma birbaşa

Həqiqətən, tərifə görə, bu müəyyən edilə bilməz. Həll etmək üçün

qoyulan sualın başa düşülməsi, eləcə də əlaqəli digər məsələlər

müstəvilərin paralelliyi, paralellik əlamətinin olması lazımdır.

Bir işarə axtarmaq üçün bir təyyarəni nəzərdən keçirmək məsləhətdir,

düz xətlərdən "toxunmuş". Aydındır ki, hər bir düz xətt onlardan biridir

paralel müstəvilər digərinə paralel olmalıdır.

Əks halda, təyyarələrin ortaq nöqtəsi olacaq. Yetər

β müstəvisi eyni α düz xəttinə tam paraleldirmi?

belə ki, α və β müstəviləri paraleldir? Tamamilə

lakin, yox (bunu əsaslandırın!). Praktiki təcrübə bunu göstərir

iki belə kəsişən xətt kifayətdir. Təhlükəsiz olmaq üçün

mastda yerə paralel bir platforma var, sadəcə yerləşdirin

Əgər müstəvilər ikinci müstəviyə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir.

 α müstəvisinin kəsişən a və b xətləri β müstəvisinə paralel olsun. α və β müstəvilərinin ziddiyyətlə paralel olduğunu sübut edək. Bunun üçün α və β müstəvilərinin düz xətt boyunca kəsişdiyini fərz edək

t (Şəkil 246). a və b xətləri şərtə uyğun olaraq xətləri kəsə bilməz. Bununla belə, α müstəvisində düz xəttlə kəsişməyən, yəni ona paralel bir nöqtədən iki düz xətt çəkilir. Bu ziddiyyətdir

və teoremin isbatını tamamlayır.

Təyyarələrin paralellik əlaməti kəsişən düz xətlər üzərində konstruksiya müstəvisində yerləşdirilən iki səviyyədən istifadə etməklə düz konstruksiyaların (beton plitələr, döşəmələr, qoniometr cihazlarının diski və s.) üfüqi şəkildə yerləşdirilməsi zamanı istifadə olunur. Bu xüsusiyyətə əsasən, buna paralel bir təyyarə qurmaq mümkündür.

Məsələ 1. Verilmiş müstəvidən kənarda yerləşən nöqtə vasitəsilə verilmiş müstəviyə paralel müstəvi çəkin.

 müstəvi β və müstəvidən kənarda yerləşən M nöqtəsi verilsin (şək. 247, a). M nöqtəsindən β müstəvisinə paralel iki kəsişən a və b xətti çəkək. Bunun üçün β müstəvisində kəsişən iki c və d düz xətti götürmək lazımdır (şəkil 247, b). Sonra M nöqtəsindən müvafiq olaraq c və d xətlərinə paralel a və b xətlərini çəkin.

lakin (şək. 247, c).

a və b xətlərinin kəsişməsi xəttin və müstəvinin paralelliyinə əsaslanaraq β müstəvisinə paralel (Teorem 1 §11). Onlar α müstəvisini unikal şəkildə təyin edirlər. Sübut edilmiş meyara görə α || β.

Nümunə 1. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubu verildikdə, M , N , P nöqtələri müvafiq olaraq BC , B 1 C 1 , A 1 D 1 kənarlarının orta nöqtələridir. Təyyarələrin nisbi mövqeyini təyin edin: 1) ABB 1 və PNM; 2) NMA və A 1 C 1 C ; 3) A 1 NM

və PC 1 C; 4) MAD 1 və DB 1 C.

 1) ABB 1 və РNM müstəviləri (şək. 248) müstəvilərin paralelliyinə əsaslanaraq paraleldir (Teorem 1). Həqiqətən də PN və NM xətləri xəttin və müstəvinin paralelliyinə əsaslanaraq (Teorem 1 §11) ABB 1 müstəvisi ilə kəsişir və ona paraleldir, çünki PN və NM seqmentləri kvadratların əks tərəflərinin orta nöqtələrini birləşdirir. , buna görə də onlar kvadratların tərəflərinə paraleldirlər:

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) NMA və A 1 C 1 C müstəviləri AA 1 düz xətti boyunca kəsişir (şək. 249). Həqiqətən də, AA 1 və CC 1 xətləri xətlərin paralelliyinə əsaslanaraq paraleldir (AA 1 ||ВB 1,ВB 1 ||СC 1). Deməli, AA 1 düz xətti A 1 C 1 C müstəvisində yerləşir. AA 1 düz xəttinin NMA müstəvisinə mənsubluğu da eyni şəkildə əsaslandırılmışdır.

3) A 1 NM və РС 1 C müstəviləri (şək. 250) müstəvilərin paralelliyinə əsaslanaraq paraleldir. Həqiqətən də, NM ||С 1 C . Buna görə də NM düz xətti PC 1 C müstəvisinə paraleldir. PC 1 və A 1 N seqmentləri də paraleldir, çünki dördbucaqlı PC 1 NA 1 paraleloqramdır (A 1 P ||NC 1, A 1 P = NC 1). Beləliklə, A 1 N xətti PC 1 C müstəvisinə paraleldir. A 1 N və NM xətləri kəsişir.

4) MAD 1 və DB 1 C müstəviləri kəsişir (şək. 251). Onların kəsişmə xəttini qurmaq asan olmasa da, bu xəttin bir nöqtəsini göstərmək çətin deyil. Həqiqətən də, A 1 D və B 1 C xətləri paraleldir, çünki A 1 B 1 CD dördbucaqlı paraleloqramdır (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB , AB || CD ). Buna görə də A 1 D xətti DB 1 C müstəvisinə aiddir. A 1 D və AD 1 xətləri MAD 1 və DB 1 C müstəviləri üçün ümumi nöqtədə kəsişir.

Bir müstəvinin kəsişən iki xətti müvafiq olaraq digər müstəvinin iki xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr paraleldir.

Xəttin və müstəvinin paralellik meyarından (Teorem 1 §11) istifadə edərək, asanlıqla müəyyən etmək olar ki, Teorem 1-in şərti Teorem 1-in şərtlərindən irəli gəlir. xətt və müstəvi (Teorem 2 §11) 1 və 1 ′ teoremlərinin şərtlərinin ekvivalentliyinin əsaslandırılmasını tamamlayır.

Təbii ki, məsələ 1-də verilmiş konstruksiyanın unikallığı ilə bağlı sual yaranır. Bu xassədən bir neçə dəfə istifadə etməli olacağımız üçün onu ayrıca teorem kimi vurğulayacağıq. Ancaq əvvəlcə başqa bir ifadəyə nəzər salaq.

Teorem 2 (iki paralel müstəvinin üçüncü ilə kəsişməsi haqqında).

İki paralel müstəvi üçüncü müstəvi ilə kəsişirsə, müstəvilərin kəsişmə xətləri paraleldir.

 Paralel α, β müstəviləri və onları kəsən γ müstəvisi verilsin (şək. 252). Kəsişmə xətlərini qeyd edək

a və b vasitəsilə. Bu xətlər γ müstəvisində yerləşir və kəsişmir, çünki α və β müstəvilərinin ortaq nöqtələri yoxdur. Buna görə də birbaşa

a və b paraleldir.

Teorem 3 (buna paralel müstəvinin mövcudluğu və unikallığı haqqında).

Verilmiş müstəvidən kənarda yerləşən nöqtə vasitəsilə verilmiş müstəviyə paralel tək müstəvi çəkmək olar.

 Belə bir təyyarənin tikintisi 1-ci məsələdə aparılmışdır. Konstruksiyanın unikallığını ziddiyyətlə sübut edəcəyik. Fərz edək ki, iki müxtəlif α və γ müstəvisi M nöqtəsindən, pa-

paralel müstəvilər β (şək. 253), düz xətt isə t onların kəsişmə xəttidir. M nöqtəsi ilə xətti kəsən δ müstəvisini çəkək

m və β müstəvisi (bunu necə etmək olar?). a və b ilə işarə edək

δ müstəvisinin α və γ müstəviləri ilə kəsişmə xətti, c vasitəsilə isə δ və β müstəvilərinin kəsişmə xətti (şək. 253). 2,a ||c teoreminə əsasən

və b ||s. Yəni δ müstəvisində

düz xətlərə paralel iki düz xətt M nöqtəsindən keçir. Ziddiyyət fərziyyənin yanlış olduğunu göstərir.

Təyyarələrin paralellik əlaqəsi planimetriyada analoqları olan bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir.

Teorem 4 (paralel müstəvilər arasında paralel xətlərin seqmentləri haqqında).

Paralel müstəvilərlə kəsilmiş paralel xətlərin seqmentləri bir-birinə bərabərdir.

 İki paralel müstəvi α və β və seqmentlər verilsin AB

və bu müstəvilərlə kəsilmiş paralel a və d düz xətlərinin CD-si (şək. 254, a). a və d düz xətləri vasitəsilə γ müstəvisini çəkək (şək. 254, b). O, α və β müstəvilərini Teorem 2-yə uyğun olaraq paralel olan AC və BD düz xətləri boyunca kəsir. Buna görə də, ABCD dördbucaqlı paraleloqramdır, onun əks tərəfləri AC və BD bərabərdir.

Yuxarıdakı xassədən belə nəticə çıxır ki, əgər müstəvinin bütün nöqtələrindən xətt çəksək

Təyyarənin bir tərəfində eyni uzunluqda paralel seqmentlər var, sonra bu seqmentlərin ucları iki paralel müstəvi təşkil edir. Seqmentlərin çökdürülməsindən istifadə edərək paralelepipedin qurulması məhz bu xassə əsaslanır (şək. 255).

Teorem 5 (müstəvilərin paralellik əlaqəsinin keçidliliyi haqqında).

Əgər iki təyyarənin hər biri üçüncüyə paraleldirsə, onda iki müstəvi bir-birinə paraleldir.

 α və β müstəviləri γ müstəvisinə paralel olsun. Fərz edək ki

α və β paralel deyil. Onda α və β müstəvilərinin ortaq nöqtəsi olur və bu nöqtədən teorem 3-ə zidd olan γ müstəvisinə paralel iki müxtəlif müstəvi keçir.Ona görə də α və β müstəvilərinin ortaq nöqtələri yoxdur, yəni paraleldirlər. .

Teorem 5 müstəvilərin paralelliyinin başqa əlamətidir. Həm həndəsədə, həm də geniş istifadə olunur praktik fəaliyyətlər. Məsələn, çoxmərtəbəli binada hər mərtəbədə döşəmə və tavan təyyarələrinin paralelliyi onların müxtəlif mərtəbələrdə paralelliyinə zəmanət verir.

Məsələ 2. Sübut edin ki, düz xətt α müstəvisi ilə kəsişirsə, o da α müstəvisinə paralel hər bir müstəvi ilə kəsişir.

 α və β müstəviləri paralel olsun və a düz xətti α müstəvisini A nöqtəsində kəssin. Onun da müstəvi ilə kəsişdiyini sübut edək

β. Tutaq ki, belə deyil. Onda a düz xətti β müstəvisinə paraleldir. γ müstəvisini düz xətt və β müstəvisinin ixtiyari nöqtəsi vasitəsilə çəkək (şək. 256).

Bu müstəvi α və β paralel müstəvilərini b düz xətləri boyunca kəsir. ortaq

2-ci teoremə görə, b || c, yəni γ müstəvisində c xəttinə paralel iki a və b xətti A nöqtəsindən keçir . Bu ziddiyyət ifadəni sübut edir.

Özünüz sübut etməyə çalışın ki, α müstəvisi β müstəvisi ilə kəsişirsə, deməli o, β müstəvisinə paralel olan hər bir müstəvi ilə də kəsişir.

Misal 2. ABCD tetraedrində K, F, E nöqtələri müvafiq olaraq DA, DC, DB, aM və P kənarlarının orta nöqtələri - ABD və ВСD üzlərinin kütlə mərkəzləridir.

1) KEF və ABC təyyarələrinin nisbi mövqeyini təyin edin;

DEF və ABC.

2) AFB və KEC təyyarələrinin kəsişmə xəttini qurun.

3) ABD müstəvisinə paralel olan və tetraedrin bütün kənarları bərabər olarsa, P nöqtəsindən keçən müstəvi ilə tetraedrin en kəsiyinin sahəsini tapın.

 Şərtə cavab verən çertyoj quraq (şək. 257, a). 1) KEF və ABC müstəviləri müstəvilərin paralelliyinə əsaslanaraq paraleldirlər (Teorem 1'): KEF müstəvisinin kəsişən KE və KF xətləri ABC müstəvisinin AB və AC kəsişən xətlərinə paraleldir (şəkillərin orta xətləri). müvafiq

mövcud üçbucaqlar).

DEF və ABC müstəviləri BC düz xətti boyunca kəsişir, çünki BC düz xətti hər iki müstəviyə aiddir və onlar üst-üstə düşə bilməzlər - A, B, C, D nöqtələri eyni müstəvidə yatmır.

2) AFB müstəvisi KEC müstəvisi ilə P nöqtəsi olan düz xətt boyunca kəsişir, çünki bu müstəvilərdə uzanan CE və BF xətləri BCD müstəvisindədir və P nöqtəsində kəsişir. Başqa bir nöqtə ACD müstəvisində AF və CK düz xətlərinin Q kəsişmə nöqtəsidir (şək. 257, b). Aydındır ki, bu nöqtə ACD üzünün kütlə mərkəzidir. Tələb olunan kəsişmə PQ xəttidir.

3) Müstəvilərin paralellik işarəsindən istifadə edərək şərtdə göstərilən kəsiyi qurun. P və Q nöqtələrindən müvafiq olaraq DB və DA xətlərinə paralel xətlər çəkək (şək. 257, c). Bu xətlər CD seqmentini L nöqtəsində kəsir. Sonuncu, üçbucağın kütlə mərkəzinin xüsusiyyətindən irəli gəlir - təpədən hesablanaraq üçbucağın medianlarını 2: 1 nisbətində bölür. Thales teoremini tətbiq etmək qalır. Beləliklə, PLQ və BDA təyyarələri paraleldir. Tələb olunan hissə LSN üçbucağıdır.

Tikintisinə görə, BCD və SCL üçbucaqları oxşarlıq əmsalı CE CP =3 2 ilə oxşardır. Buna görə də LS =3 2 BD . Qurulmuşa bənzəyir

aşağıdakı bərabərliklər əlavə olunur: LN =3 2 AD,NS =3 2 AB. Buradan belə çıxır ki, LSN və ABD üçbucaqları oxşarlıq əmsalı 3 2 ilə oxşardır. Bənzər üçbucaqların sahələrinin xüsusiyyətlərinə görə,

S LNS =4 9 S ABD . ABŞ üçbucağının sahəsini tapmaq qalır. By-

çünki şərtə görə tetraedrin bütün kənarları a-ya bərabərdir, onda S ABD =4 3 a 2.

Tələb olunan sahə 3 1 3 a 2-dir.

Qeyd etmək yerinə düşər ki, cavab yalnız ABD üzünün sahəsindən asılıdır. Buna görə də bütün kənarların bərabərliyi yalnız bu sahəni tapmaq üçün bir vasitədir. Beləliklə, bu problem əhəmiyyətli dərəcədə ümumiləşdirilə bilər.

Cavab verin. 1)KEF ||ABC ; 3)3 1 3 a 2 .

 Test sualları

1. Bir müstəvidə uzanan hər bir xətt digər müstəviyə paralel olarsa, iki müstəvi paralel olduğu doğrudurmu?

2. α və β müstəviləri paraleldir. Bu təyyarələrdə əyri xətlər varmı?

3. Üçbucağın iki tərəfi müəyyən bir müstəviyə paraleldir. Üçbucağın üçüncü tərəfi bu müstəviyə paraleldirmi?

4. Paraleloqramın iki tərəfi müəyyən bir müstəviyə paraleldir. Paraleloqramın müstəvisinin verilmiş müstəviyə paralel olması doğrudurmu?

5. Paralel müstəvilərlə kəsilmiş iki düz xəttin seqmentləri qeyri-bərabər ola bilərmi?

6. Kubun en kəsiyi ikitərəfli trapesiya ola bilərmi? Kubun en kəsiyi düzgün beşbucaqlı ola bilərmi? Eyni xəttə paralel olan iki təyyarənin bir-birinə paralel olması doğrudurmu?

α və β müstəvilərinin γ müstəvisi ilə kəsişmə xətləri bir-birinə paraleldir. α və β təyyarələri paraleldirmi?

Bir kubun üç üzü eyni müstəviyə paralel ola bilərmi?

Qrafik məşqlər

1. Şəkil 258-də ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubu, M, N, K, L, P nöqtələri müvafiq kənarların orta nöqtələridir. α və β müstəvilərinin lazımi yerini seçərək verilən nümunəyə uyğun olaraq cədvəli doldurun.

Qarşılıqlı

yer

α || β α = β

α × β α || β α = β

2. Şek. 259 ABCD tetraedrini göstərir, K, F, M, N, Q nöqtələri müvafiq kənarların orta nöqtələridir. Zəhmət olmasa qeyd edin:

1) ABC müstəvisinə paralel K nöqtəsindən keçən müstəvi;

2) MNQ müstəvisinə paralel BD xəttindən keçən müstəvi.

3. Şəkildə göstərilən üç nöqtədən keçən müstəvi ilə fiqurun hansı kəsiyi olduğunu müəyyən edin.

kah 260, a)–e) və 261, a)–d).

4. Verilmiş məlumatlar əsasında çertyoj qurun.

1) İki paralel müstəvidən birində yerləşən ABCD paraleloqramının təpələrindən ikinci müstəvini müvafiq olaraq A 1 , B 1 , C 1 , D 1 nöqtələrində kəsən paralel xətlər çəkilir.

2) A 1 B 1 C 1 üçbucağı ABC üçbucağının ona paralel α müstəvisinə proyeksiyasıdır. M nöqtəsi günəşin ortasıdır, M 1 M nöqtəsinin α müstəvisinə proyeksiyasıdır.

207. ABCDA 1 B 1 C 1 D kubunda O, O 1 nöqtələri müvafiq olaraq ABCD və A 1 B 1 C 1 D 1 üzlərinin mərkəzləridir, M AB kənarının ortasıdır.

1°) MO 1 O müstəvilərinin nisbi mövqeyini təyin edin

və ADD 1, ABD 1 və CO 1 C 1.

2°) DCC 1 müstəvisi ilə MO 1 düz xəttinin kəsişmə nöqtəsini və MCC 1 və A 1 D 1 C 1 müstəvilərinin kəsişmə xəttini qurun.

3) AD 1 C 1 müstəvisinə paralel olan və kubun kənarı a-ya bərabərdirsə, O 1 nöqtəsindən keçən müstəvi ilə kubun kəsişmə sahəsini tapın.

208. ABCD tetraedrində K, L, P nöqtələri müvafiq olaraq ABD, BDC, ABC üzlərinin kütlə mərkəzləri, aM isə AD kənarının ortasıdır.

1°) ACD müstəvilərinin nisbi mövqeyini təyin edin

və KLP; MLK və ABC;

2°) ABC müstəvisi ilə ML xəttinin kəsişmə nöqtəsini və MKL və ABC müstəvilərinin kəsişmə xəttini qurun.

3) Tetraedrin bütün kənarları bərabər olarsa, AD düz xəttinə paralel K, L və M nöqtələrindən keçən müstəvi ilə tetraedrin kəsişmə sahəsini tapın.

209. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubu verilmişdir. L, M, M 1 nöqtələri müvafiq olaraq AB, AD və A 1 D 1 kənarlarının orta nöqtələridir.

1°) B 1 D 1 D müstəvilərinin nisbi mövqeyini təyin edin

və LMM1.

2) M nöqtəsindən ACC 1 müstəvisinə paralel keçən müstəvi qurun.

3) M 1 nöqtəsindən CDD 1 müstəvisinə paralel keçən müstəvi ilə kubun kəsiyini qurun.

4) MA 1 B 1 müstəvilərinin nisbi mövqeyini təyin edin

və CDM1.

5) CDM 1 müstəvisinə paralel C 1 D 1 xəttindən keçən müstəvi qurun.

210. Müntəzəm dördbucaqlıSABCD piramidasında bütün kənarları bir-birinə bərabərdir. L, M və N nöqtələri müvafiq olaraq AS, BS, CS kənarlarının orta nöqtələridir.

1°) Aşağıdakıların nisbi mövqeyini təyin edin: LM və BC düz xətlərinin; düz xətt LN və ABŞ müstəvisi; LMN və BDC təyyarələri.

2°) ABC və LMN üçbucaqlarının oxşar olduğunu sübut edin.

3) AMN müstəvisindən istifadə edərək piramidanın kəsiyini qurun; LMN təyyarəsi; təyyarəLBC.

4*) Piramidanın S təpəsindən keçən bölmələrindən hansının sahəsi ən böyükdür?

Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi

SABC tetraedrində bütün üzlər düzgün üçbucaqlardır. L, M və N nöqtələri müvafiq olaraq AS, BS, CS kənarlarının orta nöqtələridir. 1°) LM və BC düz xətlərinin nisbi mövqeyini təyin edin. 2°) LN düz xətti ilə ABC müstəvisinin nisbi mövqeyini təyin edin.

3) LMN və ABC üçbucaqlarının oxşar olduğunu sübut edin.

Kubun kəsiyini qurun: 1°) bərabərtərəfli üçbucaq; 2) beşbucaqlı.

217. Tetraedrin paraleloqram olan bir hissəsini qurun.

218°. Paralelepipedin əks üzlərinin paralel olduğunu sübut edin.

219. Verilmiş nöqtədən keçən və verilmiş müstəviyə paralel olan bütün xətlərin çoxluğunun verilmiş müstəviyə paralel müstəvi əmələ gətirdiyini sübut edin.

220. Eyni müstəvidə uzanmayan dörd A, B, C, D nöqtələri verilmişdir. Sübut edin ki, AB və CD xətlərinə paralel olan hər bir müstəvi paraleloqramın təpələrində AC, AD, BD, BC xətlərini kəsir.

221. Sübut edin ki, müstəvi ilə bu müstəviyə aid olmayan xəttin hər ikisi eyni müstəviyə paraleldirsə, bir-birinə paraleldir.

222. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kubunun diaqonallarının kəsişməsinin O nöqtəsindən ABCD üzünə paralel müstəvi çəkilir. Bu müstəvi BB 1 və CC 1 kənarlarını müvafiq olaraq M və N nöqtələrində kəsir. MON bucağının düz bucaq olduğunu sübut edin.

223. İki müstəvinin bir-birinə paralel olduğunu sübut edin ki, müstəvilərdən birini kəsən hər bir düz xətt ikinci ilə də kəsişsin.

224*. Üçbucaqlı SABC piramidasında, AD və CE seqmentləri vasitəsilə, burada D SB orta nöqtəsi və E SA orta nöqtəsidir, piramidanın bir-birinə paralel hissələrini çəkin.

225. Həndəsi yerləri tapın:

1) iki məlumatda ucları olan bütün seqmentlərin orta nöqtələri paralel təyyarələr; 2*) verilmiş iki kəsişən xətt üzərində ucları olan seqmentlərin orta nöqtələri.

226*. α müstəvisində yerləşən ABC üçbucağının AB tərəfi β müstəvisinə paraleldir. 1 B 1 C 1 bərabərtərəfli üçbucağı ABC üçbucağının β müstəvisinə paralel proyeksiyasıdır AB = 5, BC = 6, AC = 9;

1) AB və A 1 B 1 düz xətlərinin nisbi mövqeyini təyin edin,

BC və B1 C1, A1 C1 və AC.

2) A 1 B 1 C 1 üçbucağının sahəsini tapın.

227*. İki kəsişən xətt verilmişdir. Verilmiş iki xəttin hər birini kəsən xəttin çəkilə biləcəyi fəzada bütün nöqtələrin çoxluğunu göstərin.

Əsas tərif

İki təyyarə çağırılır

paraleldir,

əgər onların ortaq nöqtələri yoxdursa.

Əsas ifadələr

Paralel işarəsi - Əgər müstəvinin bir müstəvisinin kəsişən iki düz xətti müvafiq olaraq ikinci müstəvinin iki düz xəttinə paraleldirsə, bu təyyarələr

sümüklər paraleldir.

Kəsişmə haqqında teorem Əgər iki paralel kəsişən iki qeyri-paralel müstəvi üçüncü müstəvi ilə kəsişirsə, onda müstəvinin üçüncü kəsişməsinin xətləri

paraleldirlər.

a α,b α,a ×b ,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

Mα

β: α || β,M β

Tematik üçün hazırlaşır

“Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi” mövzusunda qiymətləndirmə üçün

Özünə nəzarət vəzifələri

1. Dörd nöqtə eyni müstəviyə aid deyil. Onlardan üçü eyni düz xətt üzərində uzana bilərmi?

2. Üç fərqli təyyarənin tam olaraq iki ortaq nöqtəsi ola bilərmi?

3. İki əyri xətt eyni anda üçüncü xəttə paralel ola bilərmi?

4. Doğrudanmı düzdür a və b-yə paralel c xətti yoxdursa, a və b paralel deyil?

5. Bərabər seqmentlərin qeyri-bərabər proyeksiyaları ola bilərmi?

6. Şüa xəttin paralel proyeksiyası ola bilərmi?

7. Kvadrat kubun şəkli ola bilərmi?

8. Doğrudanmı, fəzada verilmiş bir nöqtə vasitəsilə verilmiş xəttə paralel yalnız bir müstəvi çəkmək olar?

9. Verilmiş nöqtədən bu nöqtəni ehtiva etməyən iki verilmiş müstəviyə paralel xətt çəkmək həmişə mümkündürmü?

10. İki kəsişən xətt vasitəsilə paralel müstəvilər çəkmək olarmı?

Özünə nəzarət üçün tapşırıqlara cavablar

Test nümunəsi

İki paraleloqram ABCD və ABC 1 D 1 müxtəlif müstəvilərdə yerləşir.

1°) CD və C 1 D 1 düz xətlərinin nisbi mövqeyini təyin edin.

2°) C 1 D 1 düz xəttinin və müstəvinin nisbi mövqeyini təyin edin

3°) DD 1 C 1 və ВСС 1 müstəvilərinin kəsişmə xəttini qurun.

4°) ADD 1 və BCC 1 təyyarələrinin nisbi mövqeyini təyin edin.

5) AB seqmentini 2:1 nisbətində bölən M nöqtəsi vasitəsilə A nöqtəsindən sayaraq C 1 BC müstəvisinə paralel α müstəvisi çəkin. 6) AC düz xəttinin α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsini qurun və bu nöqtənin AC seqmentini böldüyü nisbəti tapın.

Düz xətlərin və müstəvilərin fəzada nisbi mövqeyi

Triqonometrik

Siz artıq həndəsə dərslərində triqonometrik funksiyalarla məşğul olmusunuz. İndiyə qədər onların tətbiqi əsasən üçbucaqların həlli ilə məhdudlaşırdı, yəni üçbucağın bəzi elementlərini digərlərindən tapmaqdan danışırdıq. Riyaziyyat tarixindən məlumdur ki, triqonometriyanın yaranması uzunluqların və bucaqların ölçülməsi ilə bağlıdır. Ancaq indi sfera

onun tətbiqləri qədim dövrlərə nisbətən daha genişdir.

"Triqonometriya" sözü yunanca τριγωνον sözündən gəlir.

(triqonon) – üçbucaq və µετρεω (metreo) – ölçü, ölçü-

hürürəm. Hərfi mənada üçbucaqları ölçmək deməkdir.

IN Bu fəsil həndəsə kursundan sizə məlum olan materialı sistemləşdirir və öyrənməyə davam edir triqonometrik funksiyalar və onların dövri prosesləri, xüsusən də fırlanma hərəkətini, salınım proseslərini və s.

Triqonometriyanın əksər tətbiqləri xüsusi olaraq dövri proseslərə, yəni müəyyən vaxt intervalları ilə təkrarlanan proseslərə aiddir. Günəşin çıxması və batması, fəsillərin dəyişməsi, təkərin fırlanması - bu cür proseslərin ən sadə nümunələridir. Mexaniki və elektromaqnit vibrasiyaları da dövri proseslərin mühüm nümunələridir. Buna görə də dövri proseslərin öyrənilməsi mühüm vəzifədir. Və onun həllində riyaziyyatın rolu həlledicidir.

“Triqonometrik funksiyalar” mövzusunu öyrənməyə hazırlaşır

Üçbucaqların bucaqlarının triqonometrik funksiyalarının təriflərini və xassələrini və onların həm düz, həm də ixtiyari üçbucaqların həlli üçün tətbiqlərini nəzərdən keçirməklə “Triqonometrik funksiyalar” mövzusunun öyrənilməsinə başlamaq məqsədəuyğundur.

Düzbucaqlı bucaqların sinus, kosinus, tangens, kotangens

üçbucaq

Cədvəl 24

Kəskin bucağın sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir:

sin α = a c .

Kəskin bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir:

cosα = b c .

Kəskin bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir:

tg α =a b .

Kəskin bucağın kotangensi bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir:

ctgα = a b .

0°-dən 180°-ə qədər olan bucaqların sinus, kosinus, tangens, kotangensi

Cədvəl 25

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; cotga = x y.

(X;saat) - nöqtə koordinatları A yuxarı yarımdairədə yerləşir, α - radiusun yaratdığı bucaq OA ox ilə dairə X.

Sinus, kosinus, tangens, kotangens dəyərləri

bəzi künclər

Cədvəl 26

Künc t

İxtiyari üçbucaqların həlli

Cədvəl 27

Sinuslar teoremi

Üçbucağın tərəfləri əks bucaqların sinuslarına mütənasibdir:

günah aα = günah bβ = günah cγ .

Kosinus teoremi

Üçbucağın ixtiyari tərəfinin kvadratı, bu tərəflərin aralarındakı bucağın kosinusuna hasilinin iki qatı olmayan digər iki tərəfin kvadratlarının cəminə bərabərdir:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 e.ə cos α .

Üçbucağın sahəsi onun iki tərəfinin məhsulunun yarısına və aralarındakı bucağın sinusuna bərabərdir:

S=1 2 abgünahγ = 1 2 acgünahβ = 1 2 e.əgünahα .

Əsas triqonometrik eyniliklər

5. Sinusların cəmini müqayisə edin kəskin künclər ixtiyari düzbucaqlı üçbucaq (onu ilə işarə edirikA) biri ilə.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Müqayisə etmək mümkün deyil. Rəqəmləri artan ardıcıllıqla düzün: A= günah 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b<c.B.a<c<b

15. Nöqtənin koordinatlarını təyin edinA, radius 1 olan bir dairədə uzanır (şəklə bax).

(−1; 0).B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.IN.

e mülkiyyəti pa paralel xətlər, keçid adlanırparalellik:

• Əgər a və b iki xətti üçüncü c xəttinə paraleldirsə, onda onlar paraleldirlər bir-birimizə.

Amma bu xassəni stereometriyada sübut etmək daha çətindir. Müstəvidə paralel olmayan xətlər kəsişməlidir və buna görə də eyni zamanda üçüncü xəttə paralel ola bilməz (əks halda paralel aksiom pozulur). Pro olaraqkosmosda paralel olmayan və varayrılmış xətlərin həcmiəgər onlar müxtəlif müstəvilərdə yatırlarsa. Belə düz xətlərin kəsişdiyi deyilir.

Şəkildə. 4 bir kub göstərir; AB və BC düz xətləri kəsişir, AB və CDparaleldir və AB və B İLƏ qarışmaq. Gələcəkdə tez-tez təsvir etmək üçün bir kubun köməyinə müraciət edəcəyikstereometriya anlayışları və faktları triajı. Kubumuz altı kvadrat üzdən yapışdırılıb. Buna əsaslanaraq, onun digər xüsusiyyətlərini əldə edəcəyik. Məsələn, deyə bilərik ki, AB xətti C-yə paraleldirD,çünki onların hər ikisi CD-nin ümumi tərəfinə paraleldironları tutan kvadratlar.

Stereometriyada paralellik əlaqəsi müstəvilər üçün də nəzərə alınır: iki müstəviBir xətt və ya xətt və müstəvi ortaq nöqtələrə malik deyilsə, paraleldir. Düz xətt və müstəvi müstəvidə olanda belə paralel hesab etmək rahatdır. Təyyarələr və düz xətlər üçün keçidlə bağlı aşağıdakı teoremlər etibarlıdır:

• Əgər iki təyyarə üçüncü müstəviyə paraleldirsə, deməli, onlar bir-birinə paraleldirlər.
• Əgər xətt və müstəvi hansısa xəttə (və ya müstəviyə) paraleldirlərsə, onda onlar bir-birinə paraleldirlər.

İkinci teoremin ən mühüm xüsusi halı xətt və müstəvi paralellik əlamətidir:

• Xət bu müstəvidə hansısa xəttə paraleldirsə, müstəviyə paraleldir.

Və burada paralel təyyarələrin əlaməti:

• Bir müstəvidə kəsişən iki xətt digər müstəvidəki kəsişən iki xəttə müvafiq olaraq paraleldirsə, müstəvilər paraleldir.

Aşağıdakı sadə teorem tez-tez istifadə olunur:

• İki paralel təyyarənin üçüncü ilə kəsişdiyi xətlər bir-birinə paraleldir.

Yenidən kuba baxaq (şək. 4). Xətlə müstəvi arasındakı paralellik əlamətindən, məsələn, A düz xətti çıxır IN ABCD müstəvisinə paralel (bu müstəvidə AB xəttinə paralel olduğu üçün) və kubun əks üzləri, xüsusən də A IN İLƏ D və ABCD, müstəvilərin paralelliyinə əsaslanan paralel: düz xətlər A B və B İLƏ bir üzündə müvafiq olaraq digərində AB və BC düz xətlərinə paraleldir. Və bir az daha sadə bir nümunə. AA paralel xətləri olan müstəvi və SS, ABCD və A paralel müstəvilərini kəsirlər B C D AC və A düz xətləri boyunca İLƏ, bu o deməkdir ki, bu xətlər paraleldir: eynilə paralel xətlər B C və A D. Buna görə paralel müstəvilər AB C və A Üçbucaq şəklində kubu kəsən DC.

III. Məkan fiqurlarının təsviri.

Həndəsə belə bir aforizm varbu bir vəsvəsədirsəhv rəsm üzərində düzgün mülahizə yürütmək bacarığı. Həqiqətən, əgər geri dönsəkYuxarıdakı əsaslandırmaya əsasən belə çıxır:

kubun müşayiət olunan rəsmindən əldə etdiyimiz yeganə fayda o idi ki, bu, bizə izah etmək üçün bir az yer saxladı.NI qeydləri. Şəkildəki bədən kimi asanlıqla təsvir edilə bilər. 4, mən, baxmayaraq ki, açıq-aydın, üzərində təsvir olunan bir şey təkcə kub deyil, həm də çoxüzlü deyil. Və yenə də yuxarıdakı aforizm həqiqətin yalnız bir hissəsini ehtiva edir. Axı, müzakirə etməzdən əvvəltam sübut təqdim et, olmalıdırdüşün. Bunun üçün isə verilmiş rəqəmi, onun elementləri arasındakı əlaqələri aydın təsəvvür etmək lazımdır. Yaxşı bir rəsm belə bir fikri inkişaf etdirməyə kömək edir. Üstəlik, görəcəyimiz kimi, stereometriyada uğurlu bir rəsm çəkə bilərsadəcə bir illüstrasiya deyil, problemin həlli üçün əsas ola bilər.

Rəssam (daha doğrusu realist rəssam).kubumuzu gördüyümüz kimi çəkir (Şəkil 5, b), yəni perspektivdə və ya mərkəziproyeksiya yoxdur. O nöqtəsindən (proyeksiya mərkəzi) a müstəvisinə mərkəzi proyeksiya ilə,ixtiyari X nöqtəsi a-nın OX düz xəttini kəsdiyi X nöqtəsi ilə təmsil olunur (şək. 6). Mərkəzi proyeksiya düzlüyünü qoruyurnöqtələrin xətti düzülüşü, lakin, bir qayda olaraq, paralel xətləri kəsişmələrə çevirirdəyişən, məsafələri və bucaqları dəyişdirdiyini qeyd etməmək. Onun xassələrinin öyrənilməsihəndəsənin mühüm bölməsinin yaranmasına səbəb oldu (bax: Proyektiv həndəsə məqaləsi).

Ancaq həndəsi təsvirlərdə fərqli bir proyeksiyadan istifadə olunur. Deyə bilərik ki, O mərkəzi sonsuza qədər uzaqlaşdıqda və OX düz xətləri pa olduqda mərkəzi olandan alınır.paralel.

a müstəvisini və onu kəsən l düz xəttini seçək. X, pa nöqtəsindən düz xətt çəkəkparalel l. Bu xəttin a ilə kəsişdiyi X nöqtəsi X-in müstəviyə paralel proyeksiyasıdır, l düz xətti boyunca a (şək. 7). Haqqındafiqurun proyeksiyası onun bütün nöqtələrinin proyeksiyalarından ibarətdir. Həndəsədə fiqurun təsviri onun paralel proyeksiyasıdır.

Konkret olaraq, düz xəttin şəklidüz xəttdir, yoxsa (istisna hallarda)çay, xətt proyeksiya istiqamətinə paralel olduqda) nöqtəsi. Şəkildə paralellik var

Bu dərsdə biz paralel müstəviləri təyin edəcəyik və iki müstəvinin kəsişməsi haqqında aksiomanı xatırladacağıq. Sonra bir teoremi - müstəvilərin paralellik əlamətini sübut edəcəyik və ona əsaslanaraq, müstəvilərin paralelliyinə dair bir neçə məsələni həll edəcəyik.

Mövzu: Xətlərin və müstəvilərin paralelliyi

Dərs: Paralel təyyarələr

Bu dərsdə biz paralel müstəviləri təyin edəcəyik və iki müstəvinin kəsişməsi haqqında aksiomanı xatırladacağıq.

Tərif.Əgər kəsişmirsə, iki təyyarə paralel adlanır.

Təyinat: .

Paralel müstəvilərin təsviri(Şəkil 1.)

1. Hansı təyyarələrə paralel deyilir?

2. Paralel olmayan xətlərdən keçən müstəvilər paralel ola bilərmi?

3. Hər biri iki müxtəlif paralel müstəvidən birində yerləşən iki düz xəttin nisbi mövqeyi necə ola bilər?

4. Həndəsə. 10-11-ci siniflər: ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (əsas və ixtisas səviyyələri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-ci nəşr, düzəldilmiş və genişləndirilmiş - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill.

Tapşırıqlar 1, 2, 5 s