Tangensin kosinusdan asılılığı. Əsas triqonometrik eyniliklər, onların formalaşdırılması və törəmələri

Triqonometrik eyniliklər- bunlar sinus, kosinus, tangens və bir bucağın kotangensi arasında əlaqə quran bərabərliklərdir ki, bu da hər hansı digərini bilmək şərtilə bu funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verir.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Bu eynilik bir bucağın sinusunun kvadratının və bir bucağın kosinusunun kvadratının cəminin birə bərabər olduğunu söyləyir ki, bu da praktikada bir bucağın sinusunu onun kosinusu məlum olduqda və əksinə hesablamağa imkan verir. .

Triqonometrik ifadələri çevirərkən bu eynilik çox tez-tez istifadə olunur ki, bu da bir bucağın kosinusu və sinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə və eyni zamanda tərs qaydada dəyişdirmə əməliyyatını yerinə yetirməyə imkan verir.

Sinus və kosinusdan istifadə edərək tangens və kotangensin tapılması

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Bu eyniliklər sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əmələ gəlir. Axı, ona baxsanız, tərifinə görə y ordinatı sinusdur, absis x isə kosinusdur. Onda tangens nisbətə bərabər olacaq \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), və nisbət \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- kotangent olacaq.

Əlavə edək ki, yalnız onlara daxil olan triqonometrik funksiyaların məna kəsb etdiyi \alfa bucaqları üçün eyniliklər, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Məsələn: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-dən fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-dən başqa \alfa bucağı üçün z tam ədəddir.

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Bu eynilik yalnız fərqli olan \alpha bucaqları üçün etibarlıdır \frac(\pi)(2) z. Əks halda nə kotangens, nə də tangens təyin olunmayacaq.

Yuxarıdakı məqamlara əsaslanaraq, bunu əldə edirik tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Bundan belə çıxır tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Beləliklə, məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi qarşılıqlı tərs ədədlərdir.

Tangens və kosinus, kotangens və sinus arasındakı əlaqələr

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- \alpha və 1 bucağının tangensinin kvadratının cəmi bu bucağın kosinusunun tərs kvadratına bərabərdir. Bu identiklik bütün \alpha xaricində etibarlıdır \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- 1-in cəmi və \alfa bucağının kotangentinin kvadratı sinusun tərs kvadratına bərabərdir verilmiş bucaq. Bu eynilik \pi z-dən fərqli hər hansı \alpha üçün etibarlıdır.

Triqonometrik eyniliklərdən istifadə edərək problemlərin həlli ilə bağlı nümunələr

Misal 1

\sin \alpha və tg \alpha if tapın \cos \alpha=-\frac12 Və \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Həllini göstərin

Həll

\sin \alpha və \cos \alpha funksiyaları düsturla əlaqələndirilir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu düsturla əvəz edilməsi \cos \alpha = -\frac12, alırıq:

\sin^(2)\alpha + \sol (-\frac12 \sağ)^2 = 1

Bu tənliyin 2 həlli var:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə sinus müsbətdir, buna görə də \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Misal 2

\cos \alpha və əgər və əgər ctg \alpha tapın \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Həllini göstərin

Həll

Formulda əvəz edilməsi \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilmiş nömrə \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alırıq \sol (\frac(\sqrt3)(2)\sağ)^(2) + \cos^(2) \alfa = 1. Bu tənliyin iki həlli var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Şərtlə \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci rübdə kosinus mənfi olur, yəni \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

ctg \alpha tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Müvafiq dəyərləri bilirik.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Tangens (tg x) və kotangent (ctg x) üçün istinad məlumatları. Həndəsi tərif, xassələr, qrafiklər, düsturlar. Tangens və kotangenslər cədvəli, törəmələr, inteqrallar, silsilələr genişlənməsi. Kompleks dəyişənlər vasitəsilə ifadələr. Hiperbolik funksiyalarla əlaqə.

Həndəsi tərif

|BD|
- mərkəzi A nöqtəsində olan dairənin qövsünün uzunluğu.

α radyanla ifadə olunan bucaqdır. tangent () tan α

düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq qarşı ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |BC| bitişik ayağın uzunluğuna |AB| .) düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzası ilə ayağı arasındakı α bucağından asılı olaraq bitişik ayağın uzunluğunun nisbətinə bərabər olan triqonometrik funksiyadır |AB|

qarşı ayağın uzunluğuna |BC| .

Tangens Harada n

- bütöv.
.
;
;
.

Qərb ədəbiyyatında tangens aşağıdakı kimi qeyd olunur:

Tangens funksiyasının qrafiki, y = tan x

Tangens Harada n

Kotangent
.
Qərb ədəbiyyatında kotangens aşağıdakı kimi işarələnir:
;
;
.

Aşağıdakı qeydlər də qəbul edilir:

Kotangens funksiyasının qrafiki, y = ctg x

Tangens və kotangensin xassələri

Dövrilik Funksiyalar y = tg x və y = ctg x

π dövrü ilə dövri olur.

Paritet

Tangens və kotangens funksiyaları təkdir.

Tərif sahələri və dəyərlər, artan, azalan Tangens və kotangens funksiyaları tərif sahəsində davamlıdır (bax. davamlılığın sübutu Harada). Tangens və kotangensin əsas xüsusiyyətləri cədvəldə verilmişdir (

Ordinat oxu ilə kəsişən nöqtələr, x =

Formulalar

; ;
; ;
;

Sinus və kosinusdan istifadə edən ifadələr

Cəm və fərqdən tangens və kotangens üçün düsturlar

Qalan düsturları, məsələn, əldə etmək asandır

Tangenslərin məhsulu

Tangenslərin cəmi və fərqi üçün düstur

Bu cədvəl arqumentin müəyyən dəyərləri üçün tangens və kotangentlərin dəyərlərini təqdim edir.

Kompleks ədədlərdən istifadə edən ifadələr

;
;

Hiperbolik funksiyalar vasitəsilə ifadələr

; .

.
Törəmələr
.
Funksiyanın x dəyişəninə münasibətdə n-ci dərəcəli törəmə: ; Tangens üçün düsturların alınması > > >

kotangens üçün > > >

İnteqrallar

Serialın genişləndirilməsi X-in güclərində tangensin genişlənməsini əldə etmək üçün funksiyalar üçün güc seriyasında genişlənmənin bir neçə şərtini götürməlisiniz. Və günah x Və cos x bu çoxhədliləri bir-birinə bölün

, .

Bu, aşağıdakı formulları yaradır.
. at. Harada
;
;
Bn
- Bernoulli nömrələri. Onlar ya təkrarlanma əlaqəsindən müəyyən edilir:

Harada.

Və ya Laplas düsturuna görə: Tərs funksiyalar Tangens və kotangensin tərs funksiyalarıdır

arktangens və arktangens

, müvafiq olaraq. Harada n

Arktangens, arctg

, müvafiq olaraq. Harada n

, Harada
Arkkotangent, arkctg
İstifadə olunmuş ədəbiyyat:

Riyaziyyatın şagirdlərin ən çox mübarizə apardığı sahələrindən biri də triqonometriyadır. Təəccüblü deyil: bu bilik sahəsini sərbəst mənimsəmək üçün fəza təfəkkürü, düsturlardan istifadə edərək sinusları, kosinusları, tangensləri, kotangentləri tapmaq, ifadələri sadələşdirmək və pi rəqəmindən istifadə etmək bacarığı lazımdır. hesablamalar. Bundan əlavə, teoremləri sübut edərkən triqonometriyadan istifadə etməyi bacarmalısınız və bunun üçün ya inkişaf etmiş riyazi yaddaş, ya da mürəkkəb məntiqi zəncirlər çıxarmaq bacarığı tələb olunur.

Triqonometriyanın mənşəyi

Bu elmlə tanış olmaq sinus, kosinus və bucağın tangens tərifindən başlamalıdır, lakin əvvəlcə triqonometriyanın ümumiyyətlə nə etdiyini başa düşməlisiniz.

Tarixən riyaziyyat elminin bu sahəsində əsas tədqiqat obyekti düzbucaqlı üçbucaqlar olmuşdur. 90 dərəcə bir bucağın olması, iki tərəfdən və bir bucaqdan və ya iki bucaqdan və bir tərəfdən istifadə edərək, sözügedən fiqurun bütün parametrlərinin dəyərlərini təyin etməyə imkan verən müxtəlif əməliyyatları həyata keçirməyə imkan verir. Keçmişdə insanlar bu nümunəni gördülər və binaların tikintisində, naviqasiyada, astronomiyada və hətta sənətdə fəal şəkildə istifadə etməyə başladılar.

İlkin mərhələ

Əvvəlcə insanlar bucaqlar və tərəflər arasındakı əlaqə haqqında yalnız düz üçbucaq nümunəsindən istifadə edərək danışırdılar. Sonra istifadə sərhədlərini genişləndirməyə imkan verən xüsusi düsturlar kəşf edildi gündəlik həyat riyaziyyatın bu sahəsi.

Bu gün məktəbdə triqonometriyanın öyrənilməsi düz üçbucaqlardan başlayır, bundan sonra şagirdlər orta məktəbdə başlayan fizika və abstrakt triqonometrik tənliklərin həllində əldə etdikləri biliklərdən istifadə edirlər.

Sferik triqonometriya

Sonralar elm növbəti inkişaf səviyyəsinə çatdıqda, müxtəlif qaydaların tətbiq olunduğu və üçbucağın bucaqlarının cəminin həmişə 180 dərəcədən çox olduğu sferik həndəsədə sinus, kosinus, tangens və kotangensi olan düsturlardan istifadə olunmağa başlandı. Bu bölmə məktəbdə öyrənilmir, lakin onun mövcudluğu haqqında ən azı ona görə bilmək lazımdır yer səthi, və hər hansı digər planetin səthi qabarıqdır, yəni hər hansı səth işarəsi üçölçülü məkanda “qövsvari” olacaq.

Qlobusu və ipi götürün. İpi dünyanın istənilən iki nöqtəsinə bərkidin ki, dartılsın. Diqqət yetirin - o, qövs şəklini almışdır. Sferik həndəsə geodeziya, astronomiya və digər nəzəri və tətbiqi sahələrdə istifadə olunan belə formalarla məşğul olur.

Sağ üçbucaq

Triqonometriyadan istifadə yollarını bir az öyrəndikdən sonra sinusun, kosinusun, tangensin nə olduğunu, onların köməyi ilə hansı hesablamaların aparıla biləcəyini və hansı düsturlardan istifadə olunacağını daha yaxşı başa düşmək üçün əsas triqonometriyaya qayıdaq.

İlk addım əlaqəli anlayışları başa düşməkdir düz üçbucaq. Birincisi, hipotenuza 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfdir. Ən uzunudur. Xatırlayırıq ki, Pifaqor teoreminə görə onun ədədi qiyməti digər iki tərəfin kvadratlarının cəminin kökünə bərabərdir.

Məsələn, hər iki tərəf müvafiq olaraq 3 və 4 santimetrdirsə, hipotenuzanın uzunluğu 5 santimetr olacaqdır. Yeri gəlmişkən, qədim misirlilər bu barədə təxminən dörd min yarım il əvvəl bilirdilər.

Düzgün bucaq meydana gətirən iki qalan tərəfə ayaqlar deyilir. Bundan əlavə, düzbucaqlı bir koordinat sistemindəki üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcəyə bərabər olduğunu xatırlamalıyıq.

Tərif

Nəhayət, həndəsi əsası möhkəm başa düşməklə, bucağın sinus, kosinus və tangens tərifinə müraciət etmək olar.

Bucağın sinusu əks ayağın (yəni arzu olunan bucağın əks tərəfi) hipotenuzaya nisbətidir. Bucağın kosinusu bitişik tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.

Unutmayın ki, nə sinus, nə də kosinus birdən böyük ola bilməz! Niyə? Hipotenuz standart olaraq ən uzun olduğundan, ayaq nə qədər uzun olsa da, hipotenuzdan daha qısa olacaq, yəni onların nisbəti həmişə birdən az olacaq. Beləliklə, bir problemə cavabınızda 1-dən çox dəyəri olan bir sinus və ya kosinus alırsınızsa, hesablamalarda və ya əsaslandırmada səhv axtarın. Bu cavab açıq şəkildə yanlışdır.

Nəhayət, bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir. Sinisin kosinusuna bölünməsi eyni nəticəni verəcəkdir. Baxın: düstura görə tərəfin uzunluğunu hipotenuzaya bölürük, sonra ikinci tərəfin uzunluğuna bölürük və hipotenuzaya vururuq. Beləliklə, tangensin tərifində olduğu kimi eyni əlaqəni əldə edirik.

Kotangent, müvafiq olaraq, küncə bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir. Biri tangensə bölməklə eyni nəticəni alırıq.

Beləliklə, biz sinus, kosinus, tangens və kotangensin nə olduğunun təriflərinə baxdıq və düsturlara keçə bilərik.

Ən sadə düsturlar

Triqonometriyada düsturlar olmadan edə bilməzsiniz - onlarsız sinus, kosinus, tangens, kotangensi necə tapmaq olar? Ancaq problemləri həll edərkən məhz bu tələb olunur.

Triqonometriyanı öyrənməyə başlayarkən bilməli olduğunuz ilk düstur, bir bucağın sinüsünün və kosinusunun kvadratlarının cəminin birə bərabər olduğunu söyləyir. Bu formula Pifaqor teoreminin birbaşa nəticəsidir, lakin tərəfi deyil, bucağın ölçüsünü bilmək lazımdırsa, vaxta qənaət edir.

Bir çox şagird məktəb problemlərini həll edərkən çox məşhur olan ikinci düsturu xatırlaya bilmir: birinin cəmi və bucağın tangensinin kvadratı bucağın kosinusunun kvadratına bölünən birinə bərabərdir. Daha yaxından baxın: bu, birinci düsturdakı kimi eyni ifadədir, eyniliyin yalnız hər iki tərəfi kosinusun kvadratına bölünür. Belə çıxır ki, sadə riyazi əməliyyat triqonometrik düsturu tamamilə tanınmaz hala gətirir. Unutmayın: sinusun, kosinusun, tangensin və kotangensin nə olduğunu, çevrilmə qaydalarını və bir neçə əsas düsturları bilməklə, istənilən vaxt bir vərəqdə tələb olunan daha mürəkkəb düsturları əldə edə bilərsiniz.

İkiqat bucaq üçün düsturlar və arqumentlərin əlavə edilməsi

Öyrənməli olduğunuz daha iki düstur bucaqların cəmi və fərqi üçün sinus və kosinus dəyərləri ilə bağlıdır. Onlar aşağıdakı şəkildə təqdim olunur. Nəzərə alın ki, birinci halda sinus və kosinus hər iki dəfə vurulur, ikincidə isə sinus və kosinusun qoşa hasili əlavə edilir.

İkiqat bucaqlı arqumentlərlə əlaqəli düsturlar da var. Onlar tamamilə əvvəlkilərdən əldə edilir - bir məşq olaraq alfa bucağını götürərək özünüz əldə etməyə çalışın bucağa bərabərdir beta.

Nəhayət, ikiqat bucaq düsturlarının sinus, kosinus, tangens alfa gücünü azaltmaq üçün yenidən təşkil edilə biləcəyini qeyd edin.

Teoremlər

Əsas triqonometriyada iki əsas teorem sinus teoremi və kosinus teoremidir. Bu teoremlərin köməyi ilə sinus, kosinus və tangensi, buna görə də fiqurun sahəsini və hər tərəfin ölçüsünü və s.

Sinus teoremində deyilir ki, üçbucağın hər tərəfinin uzunluğunu əks bucağa bölməklə, eyni nömrə. Üstəlik, bu ədəd məhdud dairənin iki radiusuna, yəni verilmiş üçbucağın bütün nöqtələrini ehtiva edən dairəyə bərabər olacaqdır.

Kosinus teoremi Pifaqor teoremini ümumiləşdirir, onu istənilən üçbucaqlara proyeksiya edir. Məlum olub ki, iki tərəfin kvadratlarının cəmindən onların məhsulunu bitişik bucağın ikiqat kosinusuna vuraraq çıxarın - nəticədə alınan dəyər üçüncü tərəfin kvadratına bərabər olacaqdır. Beləliklə, Pifaqor teoremi kosinus teoreminin xüsusi halı olur.

Diqqətsiz səhvlər

Sinusun, kosinusun və tangensin nə olduğunu bilə-bilə, təfəkkür və ya ən sadə hesablamalardakı səhv səbəbindən səhv etmək asandır. Bu cür səhvlərə yol verməmək üçün ən məşhur olanlara nəzər salaq.

Birincisi, son nəticəni əldə etməyincə kəsrləri ondalığa çevirməməlisiniz - cavabı belə tərk edə bilərsiniz. adi fraksiya, şərtlərdə başqa hal nəzərdə tutulmayıbsa. Belə bir çevrilmə səhv adlandırıla bilməz, lakin yadda saxlamaq lazımdır ki, problemin hər mərhələsində müəllifin fikrincə, azaldılmalı olan yeni köklər yarana bilər. Bu vəziyyətdə vaxtınızı lazımsız şeylərə sərf etmiş olacaqsınız riyazi əməliyyatlar. Bu, xüsusən üçün kökü və ya ikinin kökü kimi dəyərlər üçün doğrudur, çünki onlar hər addımda problemlərdə olur. Eyni şey "çirkin" nömrələrin yuvarlaqlaşdırılmasına da aiddir.

Bundan əlavə, qeyd edin ki, kosinus teoremi istənilən üçbucağa aiddir, lakin Pifaqor teoreminə deyil! Əgər səhvən tərəflərin ikiqat məhsulunu aralarındakı bucağın kosinusuna vurmağı unutsanız, nəinki tamamilə səhv nəticə əldə edəcəksiniz, həm də mövzunu tam başa düşmədiyinizi nümayiş etdirəcəksiniz. Bu, diqqətsiz bir səhvdən daha pisdir.

Üçüncüsü, sinuslar, kosinuslar, tangenslər, kotangentlər üçün 30 və 60 dərəcə bucaqlar üçün dəyərləri qarışdırmayın. Bu dəyərləri xatırlayın, çünki 30 dərəcə sinus 60 kosinusuna bərabərdir və əksinə. Onları çaşdırmaq asandır, bunun nəticəsində qaçılmaz olaraq səhv bir nəticə əldə edəcəksiniz.

Ərizə

Bir çox tələbələr triqonometriyanı öyrənməyə tələsmirlər, çünki onun praktik mənasını başa düşmürlər. Mühəndis və ya astronom üçün sinus, kosinus, tangens nədir? Bunlar uzaq ulduzlara olan məsafəni hesablaya biləcəyiniz, meteoritin düşməsini proqnozlaşdıra biləcəyiniz və ya başqa bir planetə tədqiqat zondu göndərə biləcəyiniz anlayışlardır. Onlarsız bina tikmək, avtomobil layihələndirmək, səthdəki yükü və ya obyektin trayektoriyasını hesablamaq mümkün deyil. Və bunlar ən bariz nümunələrdir! Axı bu və ya digər formada triqonometriya musiqidən tutmuş tibbə qədər hər yerdə istifadə olunur.

Yekun olaraq

Beləliklə, siz sinüs, kosinus, tangenssiniz. Onları hesablamalarda istifadə edə və məktəb problemlərini uğurla həll edə bilərsiniz.

Triqonometriyanın bütün məqamı ondan ibarətdir ki, üçbucağın məlum parametrlərindən istifadə edərək naməlumları hesablamaq lazımdır. Ümumilikdə altı parametr var: üç tərəfin uzunluğu və üç bucağın ölçüsü. Tapşırıqlardakı yeganə fərq, müxtəlif giriş məlumatlarının verilməsindədir.

Sinus, kosinus, tangensi necə tapmaq olar məlum uzunluqlar ayaqları və ya hipotenuzası, indi bilirsiniz. Bu terminlər nisbətdən başqa bir şey ifadə etmir və nisbət kəsr olduğundan, əsas məqsəd Triqonometrik problem adi tənliyin və ya tənliklər sisteminin köklərinin tapılmasına çevrilir. Və burada adi məktəb riyaziyyatı sizə kömək edəcəkdir.

Bu yazıda hərtərəfli nəzərdən keçirəcəyik. Əsas triqonometrik eyniliklər bir bucağın sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi arasında əlaqə yaradan və məlum digəri vasitəsilə bu triqonometrik funksiyalardan hər hansı birini tapmağa imkan verən bərabərliklərdir.

Bu məqalədə təhlil edəcəyimiz əsas triqonometrik şəxsiyyətləri dərhal sadalayaq. Gəlin onları cədvəldə yazaq və aşağıda bu düsturların çıxışını verəcəyik və lazımi izahatları verəcəyik.

Səhifə naviqasiyası.

Bir bucağın sinüsü ilə kosinusu arasında əlaqə

Bəzən yuxarıdakı cədvəldə sadalanan əsas triqonometrik eyniliklər haqqında deyil, bir tək haqqında danışırlar əsas triqonometrik eynilik mehriban . Bu faktın izahı olduqca sadədir: bərabərliklər əsas triqonometrik eynilikdən onun hər iki hissəsini müvafiq olaraq və bərabərliklərə böldükdən sonra əldə edilir. Və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən əməl edin. Bu barədə növbəti paraqraflarda daha ətraflı danışacağıq.

Yəni, əsas triqonometrik şəxsiyyətin adı verilən bərabərlik xüsusi maraq doğurur.

Əsas triqonometrik eyniliyi sübut etməzdən əvvəl onun formulunu veririk: bir bucağın sinusunun və kosinusunun kvadratlarının cəmi eyni şəkildə birinə bərabərdir. İndi bunu sübut edək.

Əsas triqonometrik şəxsiyyət çox vaxt istifadə olunur triqonometrik ifadələrin çevrilməsi. Bu, bir bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmini bir ilə əvəz etməyə imkan verir. Daha az tez-tez əsas triqonometrik eynilik tərs qaydada istifadə olunur: vahid istənilən bucağın sinus və kosinusunun kvadratlarının cəmi ilə əvəz olunur.

Sinus və kosinus vasitəsilə tangens və kotangens

Tangens və kotangensi bir baxış bucağının sinus və kosinusu ilə birləşdirən eyniliklər və sinus, kosinus, tangens və kotangensin təriflərindən dərhal əməl edin. Həqiqətən də, tərifə görə sinus y-nin ordinatıdır, kosinus x-in absisidir, tangens ordinatın absissə nisbətidir, yəni. , kotangens isə absislərin ordinata nisbətidir, yəni .

Kimliklərin belə aşkarlığı sayəsində və Tangens və kotangens çox vaxt absis və ordinat nisbəti ilə deyil, sinus və kosinus nisbəti ilə müəyyən edilir. Deməli, bucağın tangensi sinusun bu bucağın kosinusuna, kotangens isə kosinusun sinusuna nisbətidir.

Bu bəndin sonunda qeyd etmək lazımdır ki, şəxsiyyətlər və elementlərin daxil olduğu bütün bucaqlar üçün baş verir triqonometrik funksiyalar məna kəsb etmək. Beləliklə, düstur (əks halda məxrəc sıfır olacaq və biz sıfıra bölməni təyin etməmişik) və düsturdan başqa hər hansı biri üçün etibarlıdır. - hamı üçün , fərqli , burada z hər hansıdır .

Tangens və kotangens arasındakı əlaqə

Əvvəlki ikisindən daha aydın triqonometrik eynilik, formanın bir bucağının tangensini və kotangensini birləşdirən eynilikdir. . Aydındır ki, -dən başqa hər hansı bucaqlar üçün uyğundur, əks halda ya tangens, ya da kotangens müəyyən edilmir.

Düsturun sübutu çox sadə. Tərifinə görə və haradan . Sübut bir az fərqli həyata keçirilə bilərdi. ildən , Bu .

Beləliklə, onların məna verdiyi eyni bucağın tangensi və kotangensi .