Ayaqları məlumdursa, hipotenuzun uzunluğunu necə tapmaq olar. Hipotenuza məlumdursa, ayaqları necə tapmaq olar

İki tərəfə tərəflər deyilir düz üçbucaq düz bucaq əmələ gətirir. Düzbucağa qarşı olan üçbucağın ən uzun tərəfi hipotenuza adlanır. Hipotenuzu aşkar etmək üçün ayaqların uzunluğunu bilmək lazımdır.

Təlimatlar

1. Ayaqların və hipotenuzun uzunluqları Pifaqor teoremi ilə təsvir olunan əlaqə ilə əlaqələndirilir. Cəbri düstur: “Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı məbləğinə bərabərdir ayaqların uzunluqlarının kvadratları.” Pifaqor düsturu belə görünür: c2 = a2 + b2, burada c hipotenuzun uzunluğu, a və b ayaqların uzunluqlarıdır.

2. Ayaqların uzunluqlarını bilməklə, Pifaqor teoreminə görə düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu tapmaq olar: c = ?(a2 + b2).

3. Misal. Ayaqların birinin uzunluğu 3 sm, digərinin uzunluğu 4 sm-dir Onların kvadratlarının cəmi 25 sm?: 9 sm? + 16 sm? = 25 sm?.Bizim halda hipotenuzanın uzunluğu 25 sm-in kvadrat kökünə bərabərdir? – 5 sm, buna görə də hipotenuzun uzunluğu 5 sm-dir.

Hipotenuza düzbucaqlı üçbucağın 90 dərəcə bucağa qarşı olan tərəfidir. Onun uzunluğunu hesablamaq üçün ayaqlardan birinin uzunluğunu və üçbucağın iti bucaqlarından birinin ölçüsünü bilmək kifayətdir.

Təlimatlar

1. Düzbucaqlı üçbucağın məşhur ayağı və iti bucağı ilə hipotenuzanın ölçüsü ayağın bu bucağın kosinusu/sinusuna nisbətinə bərabər ola bilər, əgər verilmiş bucaq ona qarşıdır/bitişikdir: h = C1 (və ya C2)/cos? Nümunə: AB və düz bucağı olan ABC üçbucağı verilsin B 60 dərəcəyə bərabər, A bucağı isə 30 dərəcədir BC ayağının uzunluğu AB hipotenuzunun uzunluğunu tapmaq lazımdır. Bunu etmək üçün yuxarıda təklif olunan üsullardan hər hansı birini istifadə edə bilərsiniz: AB = BC/cos60 = 8 sm AB = BC/sin30 = 8 sm.

Hipotenuza düzbucaqlının ən uzun tərəfidir üçbucaq. Düzgün bucağın qarşısında yerləşir. Düzbucaqlının hipotenuzunu tapmaq üsulu üçbucaq ilkin məlumatlarınızdan asılıdır.

Təlimatlar

1. Düzbucaqlı ayaqlarımız varsa üçbucaq, onda düzbucaqlının hipotenuzasının uzunluğu üçbucaq Pifaqor teoreminin köməyi ilə kəşf edilə bilər - hipotenuzanın uzunluğunun kvadratı ayaqların uzunluqlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir: c2 = a2 + b2, burada a və b ayaqların uzunluqlarıdır. düzbucaqlı üçbucaq .

2. Ayaqlardan birini və iti bucağı çəksək, onda hipotenuzanın tapılması düsturu idarə olunan ayaqla bağlı hansı bucaqdan asılı olacaq - bitişik (ayağın yaxınlığında yerləşir) və ya əks (onun qarşısında yerləşir. bitişik bucaq, hipotenuz bu bucağın kosinusu ilə ayağın nisbətinə bərabərdir: c = a/cos? E əks bucaq, hipotenuz ayağın bucağın sinusuna nisbətinə bərabərdir: c = a/sin?.

Mövzu ilə bağlı video

Hipotenuza düzbucağın əks tərəfində yerləşən düzbucaqlı üçbucağın tərəfidir. Odur ən böyük tərəfi düz üçbucaq. Pifaqor teoremindən istifadə edərək və ya düsturların dəstəyi ilə hesablana bilər triqonometrik funksiyalar.

Təlimatlar

1. Düzbucaqlı üçbucağın düz bucağa bitişik olan tərəflərinə ayaqlar deyilir. Şəkildə ayaqlar AB və BC olaraq təyin edilmişdir. Hər iki ayağın uzunluğu verilsin. Onları |AB| kimi işarə edək və |BC|. |AC| hipotenuzunun uzunluğunu tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edirik. Bu teoremə görə, ayaqların kvadratlarının cəmi hipotenuzanın kvadratına bərabərdir, yəni. fiqurumuzun qeydində |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Düsturdan tapırıq ki, AC hipotenuzunun uzunluğu |AC| şəklində tapılır = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Bir nümunəyə baxaq. Ayaqların uzunluqları |AB| verilsin. = 13, |BC| = 21. Pifaqor teoremi ilə biz |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610 olduğunu tapırıq. Hipotenuzanın uzunluğunu almaq üçün çıxarmaq lazımdır. kvadrat kök ayaqların kvadratlarının cəmindən, yəni. 610 nömrəsindən: |AC| =?610. Tam ədədlərin kvadratları cədvəlindən istifadə edərək, 610 ədədinin heç bir tam ədədin mükəmməl kvadratı olmadığını öyrənirik. Hipotenuzanın uzunluğunun yekun qiymətini əldə etmək üçün tam kvadratı kök işarəsinin altından köçürməyə çalışaq. Bunun üçün 610 rəqəmini çarpazlara ayıraq. 610 = 2 * 5 * 61. İbtidai ədədlər cədvəlinə baxdıqda 61-in ibtidai ədəd olduğunu görürük. Nəticə etibarı ilə, 610 rəqəminin sonradan azalması real deyil. Son nəticəni |AC| alırıq = ?610 Əgər hipotenuzun kvadratı, məsələn, 675-ə bərabər idisə, onda?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Bənzər bir azalma məqbul olarsa, əks yoxlama aparın - cəmini kvadrat edin və ilkin dəyərlə müqayisə edin.

3. Ayaqlardan birini və ona bitişik bucağı bizə bildirin. Konkret olmaq üçün bunlar |AB| tərəfi olsun və bucaq?. Sonra kosinus triqonometrik funksiyası üçün düsturdan istifadə edə bilərik - bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuza nisbətinə bərabərdir. Bunlar. bizim notation cos? = |AB| / |AC|. Buradan hipotenuzanın uzunluğunu |AC| alırıq = |AB| / cos ?.Əgər |BC| tərəfi ilə tanış olsaq və bucaq?, onda bucağın sinüsünü hesablamaq üçün düsturdan istifadə edəcəyik - bucağın sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir: sin? = |BC| / |AC|. Hipotenuzun uzunluğunun |AC| olduğunu tapırıq = |BC| /cos?.

4. Aydınlıq üçün bir nümunəyə baxaq. Ayağın uzunluğu |AB| verilsin. = 15. Və bucaq? = 60°. |AC| alırıq = 15 / cos 60° = 15 / 0.5 = 30. Pifaqor teoremindən istifadə edərək nəticənizi necə yoxlaya biləcəyinizi nəzərdən keçirək. Bunun üçün ikinci ayağın |BC| uzunluğunu hesablamalıyıq. tg bucağının tangensi düsturundan istifadə etməklə? = |BC| / |AC|, biz |BC| alırıq = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. Sonra Pifaqor teoremini tətbiq edirik, 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900 alırıq. Yoxlama tamamlandı.

Faydalı məsləhət
Hipotenuzanı hesabladıqdan sonra alınan qiymətin Pifaqor teoreminə uyğun olub-olmadığını yoxlayın.

Təlimatlar

Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarından biri məlum olsun. Fərz edək ki, |BC| = b. Sonra Pifaqor teoremindən istifadə edə bilərik, hipotenuzaya görə ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir: a^2 + b^2 = c^2. Bu tənlikdən naməlum tərəfi |AB| tapırıq = a = √ (c^2 - b^2).

Düzbucaqlı üçbucağın bucaqlarından biri məlum olsun, fərz edək ki, ∟α. Sonra triqonometrik funksiyalardan istifadə edərək ABC düzbucağının AB və BC-lərini tapmaq olar. Beləliklə, əldə edirik: sinus ∟α qarşı tərəfin nisbətinə bərabərdir sin α = b / c, kosinus ∟α qonşu tərəfin hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir cos α = a / c. Buradan tələb olunan yan uzunluqları tapırıq: |AB| = a = c * cos α, |BC| = b = c * sin α.

Ayaqların nisbəti k = a / b məlum olsun. Biz də məsələni triqonometrik funksiyalardan istifadə edərək həll edirik. a / b nisbəti ∟α kotangentindən başqa bir şey deyil: bitişik tərəf ctg α = a / b. Bu halda bu bərabərlikdən a = b * ctg α ifadə edirik. Və biz Pifaqor teoreminə a^2 + b^2 = c^2 əvəz edirik:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Mötərizədə b^2 çıxarsaq, b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2 alırıq. Və buradan b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1) ayağının uzunluğunu asanlıqla əldə edirik, burada k ayaqların verilmiş nisbətidir.

Bənzətmə ilə, b / a ayaqlarının nisbəti məlumdursa, problemi tangent tan α = b / a istifadə edərək həll edirik. Pifaqor teoreminə b = a * tan α qiymətini a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2 əvəz edirik. Deməli, a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), burada k ayaqların verilmiş nisbətidir.

Xüsusi halları nəzərdən keçirək.

∟α = 30°. Sonra |AB| = a = c * cos α = c * √3 / 2; |BC| = b = c * sin α = c / 2.

∟α = 45°. Sonra |AB| = |BC| = a = b = c * √2 / 2.

Mövzu ilə bağlı video

Qeyd edin

Kvadrat köklər çıxarılır müsbət əlamət, çünki uzunluğu mənfi ola bilməz. Bu açıq görünür, lakin problemi avtomatik həll etsəniz, bu səhv çox yaygındır.

Faydalı məsləhət

Düzbucaqlı üçbucağın ayaqlarını tapmaq üçün azaltma düsturlarından istifadə etmək rahatdır: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Mənbələr:

• Triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapmaq üçün Bradis cədvəlləri

Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqələr riyaziyyatın triqonometriya adlı bölməsində müzakirə edilir. Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini tapmaq üçün Pifaqor teoremini, triqonometrik funksiyaların təriflərini bilmək və triqonometrik funksiyaların qiymətlərini tapmaq üçün bəzi vasitələrə, məsələn, kalkulyator və ya Bradis cədvəllərinə sahib olmaq kifayətdir. Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin tapılması məsələlərinin əsas hallarını aşağıda nəzərdən keçirək.

Sizə lazım olacaq

• Kalkulyator, Bradis cədvəlləri.

Təlimatlar

Əgər sizə kəskin açılardan biri verilirsə, məsələn, A və hipotenuza, onda ayaqları əsas triqonometrik olanların təriflərindən tapmaq olar:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

İti bucaqlardan biri, məsələn, A və ayaqlardan biri, məsələn, a verilmişdirsə, hipotenuza və digər ayaq münasibətlərindən hesablanır: b=a*tg(A), c= a*sin(A).

Faydalı məsləhət

Hesablamaq üçün lazım olan hər hansı bir açının sinusunun və ya kosinusunun dəyərini bilmirsinizsə, Bradis cədvəllərindən istifadə edə bilərsiniz, onlar triqonometrik funksiyaların dəyərlərini təqdim edirlər. çox sayda künclər Bundan əlavə, müasir kalkulyatorların əksəriyyəti bucaqların sinuslarını və kosinuslarını hesablamağa qadirdir.

Mənbələr:

• 2019-cu ildə sağ üçbucağın tərəfini necə hesablamaq olar

İpucu 3: Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərini bilirsinizsə, bucağı necə tapmaq olar

Tre kvadrat, bucaqlarından biri düz olan (90°-yə bərabər) düzbucaqlı adlanır. Onun ən uzun tərəfi həmişə düz bucağın qarşısında yerləşir və hipotenuza, digər ikisi isə adlanır tərəflər ayaqları adlanır. Bu üç tərəfin uzunluqları məlumdursa, üçün bütün bucaqlarının qiymətlərini tapın kvadrat və çətin olmayacaq, çünki əslində yalnız açılardan birini hesablamaq lazımdır. Bunu etmək üçün bir neçə üsul var.

Təlimatlar

Düzbucaqlı üçbucaq vasitəsilə triqonometrik funksiyaların təriflərinin kəmiyyətlərini (α, β, γ) hesablamaq üçün istifadə edin. Bu, məsələn, sinus üçün kəskin bucaqəks ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbəti kimi. Bu o deməkdir ki, ayaqların uzunluqları (A və B) və hipotenuza (C), onda məsələn, uzunluğu bölməklə A ayağının qarşısında yerləşən α bucağının sinusunu tapa bilərsiniz. tərəflər Və uzunluq üçün tərəflər C (hipotenuz): sin(α)=A/C. Bu bucağın sinusunun dəyərini bildikdən sonra sinusun tərs funksiyasından - arcsinusdan istifadə edərək onun dəyərini dərəcələrlə tapa bilərsiniz. Yəni α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Eyni şəkildə üçbucaqda iti bucağın ölçüsünü tapa bilərsiniz. kvadrat Bəli, amma bu lazım deyil. Çünki bütün bucaqların cəmi üçdür kvadrat a 180°-dir və üçdə kvadratƏgər bucaqlardan biri 90° olarsa, onda üçüncü bucağın qiymətini 90° ilə tapılan bucağın qiyməti arasındakı fərq kimi hesablamaq olar: β=180°-90°-α=90°-α.

Sinusu müəyyən etmək əvəzinə, istədiyiniz bucağa bitişik ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbəti kimi formalaşan kəskin bucağın kosinusunun tərifindən istifadə edə bilərsiniz: cos(α)=B/ C. Və burada dərəcə ilə bucağı tapmaq üçün tərs triqonometrik funksiyadan (arkkosinus) istifadə edin: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Bundan sonra, əvvəlki addımda olduğu kimi, yalnız itkin bucağın qiymətini tapmaq qalır: β=90°-α.

Bənzər bir tangensdən istifadə edə bilərsiniz - bu, istədiyiniz bucağın əksinə olan ayağın uzunluğunun bitişik ayağın uzunluğuna nisbəti ilə ifadə edilir: tan(α)=A/B. Yenə tərs triqonometrik funksiyadan istifadə edərək bucağı dərəcələrlə təyin edin -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Çatışmayan bucaq düsturu dəyişməz qalacaq: β=90°-α.

Mövzu ilə bağlı video

İpucu 4: Düzbucaqlı üçbucağın yan uzunluğunu necə tapmaq olar

Bucaqlarından biri düzdürsə, üçbucaq düzbucaqlı sayılır. Yan üçbucaq düz bucağın qarşısında yerləşən hipotenuza, digər ikisi isə adlanır tərəflər- ayaqları. Düzbucaqlının tərəflərinin uzunluqlarını tapmaq üçün üçbucaq, bir neçə üsuldan istifadə edə bilərsiniz.

Təlimatlar

Üçüncüsü tapa bilərsiniz tərəflər, digər iki tərəfin uzunluqlarını bilmək üçbucaq. Bu, düzbucaqlı bir kvadratın olduğunu bildirən Pifaqor teoremindən istifadə etməklə edilə bilər. üçbucaq onun ayaqlarının kvadratlarının cəmi. (a² = b²+ c²). Buradan düzbucaqlının bütün tərəflərinin uzunluqlarını ifadə edə bilərik üçbucaq:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Məsələn, düzbucaqlı üçün üçbucaq hipotenuzanın uzunluğu a (18 sm) və ayaqlarından birinin, məsələn, c (14 sm) məlumdur. Kimə uzunluq digər tərəfdən, 2 cəbri əməliyyatı yerinə yetirməlisiniz:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 sm
c = √128 sm
Cavab: ayağın uzunluğu √128 sm və ya təxminən 11,3 sm-dir

Hipotenuzanın uzunluğunu və verilmiş düzbucaqlının kəskin nöqtələrindən birinin ölçüsünü bilirsinizsə, müraciət edə bilərsiniz. üçbucaq. Uzunluğu c və iti bucaqlardan biri α-ya bərabər olsun. Bu halda, başqa 2 tapın tərəflər düzbucaqlı üçbucaq aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə mümkün olacaq:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Verə bilərsiniz: hipotenuzun uzunluğu 15 sm, kəskin açılardan biri 30 dərəcədir. Digər iki tərəfin uzunluğunu tapmaq üçün 2 addım yerinə yetirməlisiniz:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 sm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 sm (təxminən)

Tapmağın ən qeyri-trivial yolu uzunluq tərəflər düzbucaqlı üçbucaq- onu verilmiş fiqurun perimetrindən ifadə etməkdir:
P = a + b + c, burada P düzbucaqlının perimetridir üçbucaq. Bu ifadədən ifadə etmək asandır uzunluq düzbucaqlının istənilən tərəfi üçbucaq.

İpucu 5: Düzbucaqlı üçbucağın bütün tərəflərini bilməklə bucağını necə tapmaq olar

Hər üç tərəfi birbaşa bilmək kömürüçbucaq onun hər hansı bucağını hesablamaq üçün kifayətdir. O qədər çox məlumat var ki, hətta sizə ən uyğun olan triqonometrik funksiyadan istifadə etmək üçün hesablamalarda hansı tərəflərdən istifadə edəcəyinizi seçmək imkanınız var.

Təlimatlar

Arcsine ilə məşğul olmağı üstün tutursanız, hipotenuzun uzunluğunu (C) istifadə edin - ən uzun tərəflər- və istədiyiniz bucağa (α) qarşı olan ayaq (A). Bu ayağın uzunluğunu hipotenuzanın uzunluğuna bölmək istədiyiniz bucağın sinusunun qiymətini verəcək və nəticədə alınan qiymətdən sinusun tərs funksiyası - arksinus - -dəki bucağın qiymətini bərpa edəcəkdir. Buna görə də hesablamalarınızda aşağıdakılardan istifadə edin: α = arcsin(A/C).

Arksini arkosin ilə əvəz etmək üçün hesablamalarda istədiyiniz bucağı (α) təşkil edən tərəflərin uzunluqlarından istifadə edin. Onlardan biri hipotenuz (C), digəri isə ayaq (B) olacaqdır. Tərifinə görə, kosinus hipotenuzanın uzunluğuna olan bucağa bitişik ayağın uzunluğudur və kosinus dəyərindən bucaq qövs kosinusu funksiyasıdır. Aşağıdakı hesablama düsturundan istifadə edin: α = arccos(B/C).

Hesablamalarda istifadə edilə bilər. Bunu etmək üçün iki qısa tərəfin uzunluğuna ehtiyacınız var - ayaqları. Düz xəttdə iti bucağın (α) tangensi kömürüçbucaq onun qarşısında uzanan ayağın (A) uzunluğunun bitişik ayağın (B) uzunluğuna nisbəti ilə müəyyən edilir. Yuxarıda təsvir edilən variantlara bənzətməklə, aşağıdakı düsturdan istifadə edin: α = arktan(A/B).

Formula

Hansı üçbucaq düzbucaqlı adlanır?

Bir neçə növ üçbucaq var. Bəzilərinin bütün iti bucaqları var, digərlərində bir küt və iki iti, digərlərində isə iki iti və bir düz var. Buna əsaslanaraq, bu həndəsi fiqurların hər bir növü adlandırıldı: iti bucaqlı, küt bucaqlı və düzbucaqlı. Yəni bucaqlarından biri 90° olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Birinciyə bənzər başqa bir şey var. İki tərəfi perpendikulyar olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir.

Hipotenuz və ayaqlar

Kəskin və küt üçbucaqlarda bucaqların təpələrini birləşdirən seqmentlər sadəcə olaraq tərəflər adlanır. Yan tərəfin başqa adları da var. Düzgün bucağa bitişik olanlara ayaqlar deyilir. Düz bucağa qarşı olan tərəfə hipotenuz deyilir. Yunan dilindən tərcümədə "hipotenuz" sözü "sıx", "cathetus" isə "perpendikulyar" deməkdir.

Hipotenuz və ayaqlar arasındakı əlaqə

Düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri hesablamaları xeyli asanlaşdıran müəyyən əlaqələrlə bağlanır. Məsələn, ayaqların ölçülərini bilməklə, hipotenuzun uzunluğunu hesablaya bilərsiniz. Onu kəşf edən şəxsin adını daşıyan bu əlaqə Pifaqor teoremi adlanır və belə görünür:

c2=a2+b2, burada c hipotenuza, a və b ayaqlarıdır. Yəni, hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminin kvadrat kökünə bərabər olacaqdır. Ayaqlardan hər hansı birini tapmaq üçün hipotenuzanın kvadratından digər ayağın kvadratını çıxarmaq və yaranan fərqdən kvadrat kökü çıxarmaq kifayətdir.

Bitişik və əks ayaq

DİA düzbucaqlı üçbucağını çəkin. C hərfi adətən düz bucağın təpəsini, A və B - kəskin bucaqların təpələrini bildirir. Hər bir bucağın qarşı tərəflərini a, b və c, onlara qarşı olan bucaqların adlarından sonra çağırmaq rahatdır. A bucağını nəzərə alın. a tərəfi onun üçün əks, b tərəfi bitişik olacaq. Qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbəti deyilir. Bu triqonometrik funksiyanı aşağıdakı düsturla hesablamaq olar: sinA=a/c. Qonşu ayağın hipotenuzaya nisbətinə kosinus deyilir. Bu düsturla hesablanır: cosA=b/c.

Beləliklə, bucağı və tərəflərdən birini bilməklə, digər tərəfi hesablamaq üçün bu düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Hər iki tərəf də triqonometrik əlaqələrlə bağlıdır. Qarşısının qonşuya nisbətinə tangens, bitişikin əksinə nisbətinə isə kotangens deyilir. Bu əlaqələri tgA=a/b və ya ctgA=b/a düsturları ilə ifadə etmək olar.

Bildiyiniz kimi, həndəsə çətin bir elmdir, məsələlərin həllində xüsusi diqqət və dəqiqlik tələb edir. Sonradan daha mürəkkəb hesablamalarda istifadə etdiyimiz bir çox ifadə və düsturlar 6-7-ci siniflər üçün riyaziyyat dərsliklərində verilmişdir. Triqonometrik funksiyaları öyrənmək prosesini asanlaşdırmaq və daha zövqlü etmək üçün bu məqalədə bir neçəsinə baxacağıq qısa yol Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzasının hesablanması.

Ayaqlarla hipotenuzanı necə tapmaq olar?

Bir az nəzəriyyəni xatırlayaq: düz üçbucaq üç bucağı olan düz bir fiqurdur. Onlardan biri 90º böyüklüyünə malikdir və tərəflərə ayaqlar və hipotenuz deyilir. Düzgün bucağın qarşı tərəfi hipotenuzdur, digər ikisi isə bitişik ayaqlardır. Əsas oyun tərəflər Pifaqor teoremində təzahür edir, ona görə hipotenuza ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir. Ancaq bu, yalnız çaşqın görünür, çünki əslində hər şey daha sadədir.

Həndəsi fiqurun xassələri

Üçbucağın hipotenuzunu tapmazdan əvvəl bu rəqəmin hansı xüsusiyyətlərə malik olduğunu başa düşməlisiniz. Əsas olanları nəzərdən keçirək:

1. Düzbucaqlı üçbucaqda hər iki iti bucaq 90º-ə qədər toplanır.
2. 30º bucaq qarşısında uzanan ayaq hipotenuzanın ½ ölçüsünə bərabər olacaqdır.
3. Ayaq hipotenuzanın ½ hissəsinə bərabərdirsə, ikinci bucaq eyni dəyərə sahib olacaq - 30º.

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzanı tapmağın bir neçə yolu var. Ən çox sadə həll ayaqlar vasitəsilə hesablamadır. Deyək ki, siz A və B tərəflərinin ayaqlarının qiymətlərini bilirsiniz. Sonra Pifaqor teoremi köməyə gəlir və bizə deyir ki, ayağın hər bir dəyərini kvadratlaşdırsaq və əldə edilən məlumatları ümumiləşdirsək, bunun nə olduğunu öyrənəcəyik. hipotenuza bərabərdir. Beləliklə, biz sadəcə kvadrat kök dəyərini çıxarmalıyıq:

Məsələn, ayaq A = 3 sm və ayaq B = 4 sm olarsa, hesablama belə görünəcəkdir:

Bucaq vasitəsilə hipotenuzanı necə tapmaq olar?

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun nə olduğunu öyrənməyin başqa bir yolu verilmiş bucaq vasitəsilə hesablamaqdır. Bunun üçün sinus düsturu vasitəsilə dəyəri əldə etməliyik. Tutaq ki, ayağın ölçüsünü (A) və əks bucağın qiymətini (α) bilirik. Onda bütün həll bir düsturda olur: C=A/sin(α).

Məsələn, ayağın uzunluğu 40 sm və bucaq 45 ° olarsa, hipotenuzanın uzunluğunu çıxarmaq olar. aşağıdakı kimi:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Tələb olunan dəyər verilən bucağın kosinusu vasitəsilə də müəyyən edilə bilər. Tutaq ki, biz bir ayağın (B) və iti bitişik bucağın (α) dəyərini bilirik. Sonra problemi həll etmək üçün sizə bir düstur lazımdır: C=B/ cos(α).

Məsələn, ayağın uzunluğu 50 sm və bucaq 45 ° olarsa, hipotenuzanı aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Beləliklə, üçbucaqda hipotenuzanı tapmağın əsas yollarına baxdıq. Problemi həll edərkən, mövcud məlumatlara diqqət yetirmək vacibdir, sonra naməlum kəmiyyəti tapmaq olduqca sadə olacaqdır. Yalnız bir neçə düstur bilmək lazımdır və problemlərin həlli prosesi sadə və xoş olacaq.

Həndəsə sadə bir elm deyil. Bu, xüsusi diqqət və dəqiq düsturlar haqqında bilik tələb edir. Bu riyaziyyat növü bizə haradan gəldi Qədim Yunanıstan və bir neçə min ildən sonra da öz aktuallığını itirmir. Əbəs yerə düşünməyin ki, bu, tələbələri, məktəbliləri narahat edən boş bir mövzudur. Əslində, həndəsə həyatın bir çox sahələrində tətbiq olunur. Həndəsə biliyi olmadan heç bir memarlıq quruluşu tikilmir, avtomobillər yaradılmır, kosmik gəmilər və təyyarələr. Mürəkkəb və çox mürəkkəb olmayan yol qovşaqları və çuxurlar - bütün bunlar həndəsi hesablamalar tələb edir. Bəli, hətta bəzən əsas düsturları bilmədən otağınızda təmir edə bilməzsiniz. Odur ki, bu mövzunun əhəmiyyətini qiymətləndirməyin. Məktəbdə bir çox həllərdə istifadə etməli olduğumuz ən ümumi düsturları öyrənirik. Onlardan biri düz üçbucaqda hipotenuzanı tapmaqdır. Bunu anlamaq üçün aşağıda oxuyun.

Təcrübəyə başlamazdan əvvəl gəlin əsaslardan başlayaq və düz üçbucaqda hipotenuzun nə olduğunu müəyyən edək.

Hipotenuz düz üçbucağın 90 dərəcə bucağa (düz bucaq) qarşı olan və həmişə ən uzun olan tərəflərindən biridir.

Verilmiş düzbucaqlı üçbucaqda istədiyiniz hipotenuzun uzunluğunu tapmaq üçün bir neçə üsul var.

Ayaqlar bizə artıq məlum olduqda, Pifaqor teoremindən istifadə edirik, burada hipotenuzanın kvadratına bərabər olacaq iki ayağın kvadratlarının cəmini əlavə edirik.

a və b ayaqları, c hipotenuzdur.

Bizim vəziyyətimizdə düz üçbucaq üçün müvafiq olaraq düstur aşağıdakı kimi olacaq:

Əgər a və b ayaqlarının məlum ədədlərini əvəz etsək, a=3 və b=4 olsun, onda c=√32+42, onda c=√25, c=5 alarıq.

Yalnız bir ayağın uzunluğunu bildiyimiz zaman, ikincinin uzunluğunu tapmaq üçün düstur çevrilə bilər. Bu belə görünür:

Məsələnin şərtlərinə görə, biz A ayağını və C hipotenuzunu bildiyimiz halda, üçbucağın düzgün bucağını hesablaya bilərik, ona α deyək.

Bunu etmək üçün formuladan istifadə edirik:

Hesablamalı olduğumuz ikinci bucaq β olsun. 180° olan üçbucağın bucaqlarının cəmini bildiyimizi nəzərə alsaq, onda: β= 180°-90°-α

Ayaqların dəyərlərini bildiyimiz halda, üçbucağın iti bucağının dəyərini tapmaq üçün düsturdan istifadə edə bilərik:

Məlum ümumi qəbul edilmiş dəyərlərdən asılı olaraq, bir düzbucağın tərəfləri bir çox müxtəlif düsturlardan istifadə etməklə tapıla bilər. Onlardan bəzilərini təqdim edirik:

Düzbucaqlı üçbucaqda naməlumların tapılması ilə bağlı problemləri həll edərkən, artıq bildiyiniz dəyərlərə diqqət yetirmək və buna əsaslanaraq onları istədiyiniz formulla əvəz etmək çox vacibdir. Onları dərhal xatırlamaq çətin olacaq, ona görə də sizə kiçik bir əlyazma işarəsi etməyi və onu dəftərinizə yapışdırmağı məsləhət görürük.

Gördüyünüz kimi, bu formulun bütün incəliklərini araşdırsanız, asanlıqla başa düşə bilərsiniz. Bu düstur əsasında bir neçə problemi həll etməyə çalışmağı tövsiyə edirik. Nəticənizi gördükdən sonra bu mövzunu başa düşüb-düşmədiyiniz sizə aydın olacaq. Yadda saxlamamağa çalışın, ancaq materialı dərinləşdirin, bu, daha faydalı olacaq. Yadda saxlanan material ilk sınaqdan sonra unudulur və siz bu düsturla kifayət qədər tez-tez qarşılaşacaqsınız, ona görə də əvvəlcə onu anlayın, sonra isə əzbərləyin. Əgər bu tövsiyələr verilmirsə müsbət təsir göstərir, yəni bu mövzuda əlavə dərslər keçməyin mənası var. Və unutmayın: öyrətmək işıqdır, öyrətmək qaranlıqdır!

Müxtəlif kəmiyyətləri hesablamaq üçün aparılan çoxsaylı hesablamalar arasında üçbucağın hipotenuzunu tapmaq da var. Xatırladaq ki, üçbucaq üç bucağı olan çoxüzlüdür. Aşağıda müxtəlif üçbucaqların hipotenuzunu hesablamaq üçün bir neçə üsul verilmişdir.

Əvvəlcə düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu necə tapacağına baxaq. Unudanlar üçün bucağı 90 dərəcə olan üçbucağa düzbucaqlı üçbucaq deyilir. Üçbucağın düz bucağın əks tərəfində yerləşən tərəfinə hipotenuz deyilir. Bundan əlavə, bu, üçbucağın ən uzun tərəfidir. Məlum qiymətlərdən asılı olaraq hipotenuzanın uzunluğu aşağıdakı kimi hesablanır:

• Ayaqların uzunluqları məlumdur. Bu vəziyyətdə hipotenuz Pifaqor teoremindən istifadə edərək hesablanır, bu da aşağıdakı kimi oxunur: hipotenuzun kvadratı ayaqların kvadratlarının cəminə bərabərdir. BK və KF ayaqları, FB isə hipotenuza olduğu BKF düzbucağını nəzərə alsaq, onda FB2= BK2+ KF2. Yuxarıdakılardan belə nəticə çıxır ki, hipotenuzanın uzunluğunu hesablayarkən ayaqların hər biri növbə ilə kvadratlaşdırılmalıdır. Sonra öyrənilən ədədləri əlavə edin və nəticədən kvadrat kök çıxarın.

Bir misala nəzər salaq: Düzbucaqlı üçbucaq verilmişdir. Bir ayağı 3 sm, digəri 4 sm-dir. Hipotenuzanı tapın. Həll belə görünür.

FB2= BK2+ KF2= (3sm)2+(4sm)2= 9sm2+16sm2=25sm2. Çıxarın və FB = 5 sm alın.

• Hipotenuz və bu ayaqdan əmələ gələn ayaq (BK) və ona bitişik bucaq məlumdur. Üçbucağın hipotenuzunu necə tapmaq olar? işarə edək məlum bucaqα. Ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbətinin bu ayaqla hipotenuza arasındakı bucağın kosinusuna bərabər olduğunu bildirən xassə görə. Üçbucağı nəzərə alsaq, bunu aşağıdakı kimi yazmaq olar: FB= BK*cos(α).
• Ayaq (KF) və eyni bucaq α məlumdur, yalnız indi əks olacaq. Bu vəziyyətdə hipotenuzanı necə tapmaq olar? Düzbucaqlı üçbucağın eyni xassələrinə müraciət edək və tapaq ki, ayağın uzunluğunun hipotenuzanın uzunluğuna nisbəti ayağın qarşısındakı bucağın sinusuna bərabərdir. Yəni FB= KF * sin (α).

Bir nümunəyə baxaq. Hipotenuz FB ilə eyni düzbucaqlı BKF üçbucağı verilmişdir. F bucağı 30 dərəcəyə bərabər olsun, ikinci B bucağı 60 dərəcəyə uyğundur. BK ayağı da məlumdur, uzunluğu 8 sm-ə uyğundur, tələb olunan dəyər aşağıdakı kimi hesablana bilər:

FB = BK /cos60 = 8 sm.
FB = BK /sin30 = 8 sm.

• Məlum (R), düz bucaqlı üçbucaq ətrafında təsvir edilmişdir. Belə bir problemi nəzərdən keçirərkən hipotenuzu necə tapmaq olar? Düzbucaqlı üçbucağın ətrafına çəkilmiş çevrənin xassəsindən məlum olur ki, belə dairənin mərkəzi hipotenuzanın nöqtəsi ilə üst-üstə düşür və onu yarıya bölür. Sadə sözlərlə- radius hipotenuzanın yarısına uyğundur. Beləliklə, hipotenuz iki radiusa bərabərdir. FB=2*R. Əgər sizə radiusun deyil, medianın məlum olduğu oxşar bir problem verilirsə, onda radiusun çəkilmiş mediana bərabər olduğunu söyləyən düz bucaqlı üçbucağın ətrafında dövrələnmiş dairənin xüsusiyyətinə diqqət yetirməlisiniz. hipotenuzaya. Bütün bu xüsusiyyətlərdən istifadə edərək problem eyni şəkildə həll olunur.

Əgər sual ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu necə tapmaq olarsa, o zaman eyni Pifaqor teoreminə müraciət etməlisiniz. Ancaq hər şeydən əvvəl xatırlayın ki, ikitərəfli üçbucaq iki eyni tərəfi olan üçbucaqdır. Düzbucaqlı üçbucaq vəziyyətində tərəflər bərabərdir. Bizdə FB2= BK2+ KF2 var, lakin BK= KF olduğundan aşağıdakılara sahibik: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Gördüyünüz kimi, Pifaqor teoremini və düzbucaqlı üçbucağın xassələrini bilmək, hipotenuzanın uzunluğunu hesablamaq lazım olan məsələləri həll etmək çox sadədir. Bütün xüsusiyyətləri xatırlamaq çətindirsə, öyrənin hazır düsturlar, hansını əvəz edir məlum dəyərlər hipotenuzanın tələb olunan uzunluğunu hesablamaq mümkün olacaq.