Xətti tənliklərin təyinediciləri və sistemləri. Köməkçi təyinedici - sənəd

1.1. İki xətti tənliklər və ikinci dərəcəli determinantlar sistemləri

İki naməlum olan iki xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

Oranlar naməlumlarla Və iki indeks var: birincisi tənliyin nömrəsini, ikincisi isə dəyişənlərin sayını göstərir.

Kramer qaydası: Sistemin həlli köməkçi determinantları sistemin əsas determinantına bölmək yolu ilə tapılır.

,

Qeyd 1. Sistemin determinantı olduqda Cramer qaydasından istifadə etmək mümkündür sıfıra bərabər deyil.

Qeyd 2. Kramer düsturları daha yüksək səviyyəli sistemlər üçün ümumiləşdirilmişdir.

Misal 1. Sistemi həll edin:
.

Həll.

;
;

;

İmtahan:

Nəticə: Sistem düzgün həll olunur:
.

1.2. Üç xətti tənliklər və üçüncü dərəcəli determinantlar sistemləri

Üç naməlum olan üç xətti tənlik sistemini nəzərdən keçirək:

Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət müəyyənedici deyilir sistem determinantı və ya əsas determinantı:

.

Əgər
onda sistem var yeganə həll yolu Kramer düsturları ilə müəyyən edilir:

təyinedicilər haradadır
– köməkçi adlanır və təyinedicidən alınır onun birinci, ikinci və ya üçüncü sütununu sistemin sərbəst üzvlərinin sütunu ilə əvəz etməklə.

Misal 2. Sistemi həll edin
.

Əsas və köməkçi determinantları formalaşdıraq:

Üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması qaydalarını nəzərdən keçirmək qalır. Bunlardan üçü var: sütunların əlavə edilməsi qaydası, Sarrus qaydası, parçalanma qaydası.

a) Əsas təyinediciyə ilk iki sütunun əlavə edilməsi qaydası:

Hesablama aparılır aşağıdakı kimi: əsas diaqonalın elementlərinin hasilləri və ona paralellər boyunca işarəsi ilə gedir, əks işarə ilə ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsullarını və ona paralellər boyunca.

b) Sarrus qaydası:

İşarəsi ilə onlar əsas diaqonalın elementlərinin məhsullarını və ona paralellər boyunca götürürlər və çatışmayan üçüncü element qarşı küncdən götürülür. Əks işarə ilə ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsulları və ona paralellər alınır, üçüncü element qarşı küncdən götürülür.

c) sətir və ya sütunun elementləri üzrə parçalanma qaydası:

Əgər
, Sonra.

Cəbri tamamlayıcı müvafiq sətir və sütunun üstündən xətt çəkmək və işarəni nəzərə almaqla alınan aşağı dərəcəli determinantdır
, Harada - sətir nömrəsi, - sütun nömrəsi.

Məsələn,

,
,
və s.

Bu qaydadan istifadə edərək köməkçi determinantları hesablayırıq Və , onları birinci sıranın elementlərinə görə genişləndirmək.

Bütün determinantları hesabladıqdan sonra Cramer qaydasından istifadə edərək dəyişənləri tapırıq:

İmtahan:

Nəticə: sistem düzgün həll olunub: .

Determinantların əsas xassələri

Yadda saxlamaq lazımdır ki, determinantdır nömrə, bəzi qaydalara əsasən tapılır. Hər hansı bir nizamın təyinediciləri üçün etibarlı olan əsas xassələrdən istifadə etsək, onun hesablanması sadələşdirilə bilər.

Mülk 1. Determinantın bütün sətirləri ədədə uyğun sütunlarla və əksinə əvəz edilərsə, onun dəyəri dəyişməyəcək.

Sətirlərin sütunlarla əvəzlənməsi əməliyyatına transpozisiya deyilir. Bu xassədən belə nəticə çıxır ki, determinantın sətirləri üçün doğru olan hər hansı müddəa onun sütunları üçün də doğru olacaqdır.

Əmlak 2. Determinantda iki cərgə (sütun) dəyişdirilərsə, təyinedicinin işarəsi əksinə dəyişəcəkdir.

Əmlak 3. Əgər müəyyənedicinin hər hansı sətirinin bütün elementləri 0-a bərabərdirsə, onda determinant 0-a bərabərdir.

Əmlak 4. Determinant sətirinin elementləri hansısa ədədə vurularsa (bölünsə). , onda determinantın qiyməti in artacaq (azalacaq). bir dəfə.

Əgər cərgənin elementlərinin ümumi amili varsa, onu təyinedici işarədən çıxarmaq olar.

Əmlak 5. Əgər müəyyənedicinin iki eyni və ya mütənasib cərgəsi varsa, onda belə müəyyənedici 0-a bərabərdir.

Əmlak 6. Əgər müəyyənedicinin hər hansı cərgəsinin elementləri iki həddinin cəmidirsə, onda determinant iki təyinedicinin cəminə bərabərdir.

Əmlak 7. Əgər sətir elementləri başqa sətirin elementlərinə əlavə edilərsə, eyni ədədə vurularsa, determinantın qiyməti dəyişməyəcək.

Bu determinantda əvvəlcə üçüncü sətir ikinci sıraya əlavə edildi, 2-yə vuruldu, sonra ikinci sütun üçüncü sütundan çıxarıldı, bundan sonra ikinci sətir birinci və üçüncüyə əlavə edildi, nəticədə çox şey əldə etdik. sıfırlar və hesablamanı sadələşdirdi.

İbtidaiçevrilmələr determinant göstərilən xassələrdən istifadə etməklə onun sadələşdirilməsi adlanır.

Misal 1. Determinant hesablayın

Yuxarıda müzakirə edilən qaydalardan birinə əsasən birbaşa hesablama çətin hesablamalara gətirib çıxarır. Buna görə də, xüsusiyyətləri istifadə etmək məsləhətdir:

a) 1-ci sətirdən 2-yə vurulan ikincini çıxarın;

b) II sətirdən üçüncünü çıxarın, 3-ə vurun.

Nəticədə əldə edirik:

Gəlin bu determinantı yalnız bir sıfırdan fərqli elementi ehtiva edən birinci sütunun elementlərinə genişləndirək.

.

Daha yüksək səviyyəli sistemlər və determinantlar

sistemi ilə xətti tənliklər naməlumlar aşağıdakı kimi yazıla bilər:

Bu halda Kramer qaydasından istifadə etməklə əsas və köməkçi təyinediciləri tərtib etmək, naməlumları təyin etmək də mümkündür. Problem ondadır ki, daha yüksək dərəcəli determinantları yalnız sıranı aşağı salmaqla və üçüncü dərəcəli determinantlara endirməklə hesablamaq olar. Bu, birbaşa sətir və ya sütun elementlərinə parçalanma, həmçinin ilkin elementar çevrilmələrdən və sonrakı parçalanmadan istifadə etməklə edilə bilər.

Misal 4. Dördüncü dərəcəli determinantı hesablayın

Həll iki yolla tapa bilərik:

a) birinci sıranın elementlərinə birbaşa genişlənmə yolu ilə:

b) ilkin transformasiyalar və sonrakı parçalanma yolu ilə

	a) I sətirdən III çıxılır
	b) IV-ə II sətir əlavə edilsin

Misal 5. Dördüncü sütundan istifadə edərək üçüncü sıradakı sıfırları əldə edərək beşinci dərəcəli determinantı hesablayın

birinci sətirdən ikincini, üçüncüdən ikincini, dördüncüdən ikincini 2-yə vururuq.

ikinci sütundan üçüncünü çıxarın:

ikinci sətirdən üçüncünü çıxarın:

Misal 6. Sistemi həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tərtib edək və determinantların xassələrindən istifadə edərək onu hesablayaq:

(birinci cərgədən üçüncünü çıxarırıq, sonra üçüncü sütundan əldə edilən üçüncü dərəcəli determinantda birincini 2-yə vururuq). Müəyyənedici
, buna görə də, Kramer düsturları tətbiq olunur.

Qalan determinantları hesablayaq:

Dördüncü sütun 2-yə vuruldu və qalanlardan çıxarıldı

Birinci sütundan dördüncü sütun çıxarıldı, sonra isə 2-yə vurularaq ikinci və üçüncü sütunlardan çıxarıldı.

.

Burada olduğu kimi eyni transformasiyaları həyata keçirdik
.

.

tapanda birinci sütun 2-yə vuruldu və qalanlardan çıxıldı.

Kramer qaydasına görə bizdə:

Tapılan dəyərləri tənliklərdə əvəz etdikdən sonra sistemin həllinin düzgün olduğuna əmin oluruq.

2. MATRİSALAR VƏ ONLARIN İSTİFADƏSİ

XƏTTİ TƏNLİKLƏRİN HƏLL SİSTEMLERİNDƏ

Matris ədədlərdən ibarət düzbucaqlı cədvəldir.

2-ci dərəcəli kvadrat matrisa verilsin:

Verilmiş matrisə uyğun gələn 2-ci dərəcəli determinant (və ya determinant) ədəddir

Matrisə uyğun gələn 3-cü dərəcəli determinant (və ya determinant) ədəddir

Nümunə 1: Matrislərin təyinedicilərini tapın və

Xətti cəbri tənliklər sistemi

3 naməlumlu 3 xətti tənlik sistemi verilsin

Sistem (1) matris-vektor şəklində yazıla bilər

burada A əmsal matrisidir

B - uzadılmış matris

X tələb olunan komponent vektorudur;

Kramer üsulu ilə tənliklər sistemlərinin həlli

İki naməlum xətti tənliklər sistemi verilsin:

Kramer düsturlarından istifadə etməklə iki və üç naməlumlu xətti tənliklər sistemlərinin həllini nəzərdən keçirək. Teorem 1. Sistemin əsas determinantı sıfırdan fərqlidirsə, sistemin həlli var və unikaldır. Sistemin həlli düsturlarla müəyyən edilir:

burada x1, x2 tənliklər sisteminin kökləridir,

Sistemin əsas determinantı olan x1, x2 köməkçi determinantlardır.

Köməkçi seçicilər:

Kramer üsulu ilə üç naməlum xətti tənlik sistemlərinin həlli.

Üç naməlum xətti olan tənliklər sistemi verilsin:

Teorem 2. Sistemin əsas determinantı sıfırdan fərqlidirsə, sistemin həlli var və unikaldır. Sistemin həlli düsturlarla müəyyən edilir:

burada x1, x2, x3 tənliklər sisteminin kökləridir,

Sistemin əsas determinantı,

x1, x2, x3 köməkçi təyinedicilərdir.

Sistemin əsas determinantı aşağıdakılarla müəyyən edilir:

Köməkçi seçicilər:

• 1. Naməlumlar üçün əmsallar cədvəlini (matrisini) tərtib edin və əsas təyinedicini hesablayın.
• 2. Tap - birinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə alınan x-in əlavə təyinedicisi.
• 3. Tap - y-nin əlavə təyinedicisi, ikinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilir.
• 4. Tapın - z-nin əlavə təyinedicisi, üçüncü sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə əldə edilir. Sistemin əsas təyinedicisi sıfıra bərabər deyilsə, 5-ci addım yerinə yetirilir.
• 5. x / düsturundan istifadə edərək x dəyişəninin qiymətini tapın.
• 6. y / düsturundan istifadə edərək y dəyişəninin qiymətini tapın.
• 7. z / düsturundan istifadə edərək z dəyişəninin qiymətini tapın.
• 8. Cavabı yazın: x=...; y=…, z=… .

Mühazirə 1.1.Ədədi matrislər və onlar üzərində əməliyyatlar.

Xülasə:Xətti cəbr və analitik həndəsənin təbiət elmində yeri. Bu elmlərin inkişafında yerli alimlərin rolu. Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməliyyatlar və onların xassələri.

Formanın nömrələri cədvəlinə düzbucaqlı deyilir matris ölçüləri. Matrislər böyük hərflərlə göstərilir latın hərfləri ilə A, B, C, ...Cədvəli təşkil edən rəqəmlər çağırılır elementləri matrislər. Hər bir elementdə elementin yerləşdiyi sıra nömrəsini () və sütun nömrəsini () göstərən iki indeks və . İstifadə olunub aşağıdakı təyinatlar matrislər

İki matris deyilir bərabərdir , əgər onlar eyni ölçüyə malikdirlərsə (məs. eyni nömrə sətirlər və sütunlar) və bu matrislərin uyğun yerlərindəki ədədlər bərabərdirsə.

Bir matrisin sətirlərinin sayı onun sütunlarının sayına bərabərdirsə, matris adlanır. kvadrat . Kvadrat matrisdə sətirlərin (və ya sütunların) sayı matrisin sırası adlanır. Xüsusilə, birinci dərəcəli kvadrat matris sadəcə olaraq real ədəddir. Buna uyğun olaraq belə deyirlər vektor xətti ölçü matrisidir və sütun vektoru ölçüsü var.

Kvadrat matrisin əsas diaqonalında (yuxarı soldan aşağı sağ küncə doğru gedən) elementlər adlanır. diaqonal .

Əsas diaqonalda olmayan elementlərinin hamısı 0 olan kvadrat matrisa deyilir diaqonal .

Diaqonal elementlərinin hamısı 1, diaqonaldan kənar elementləri isə 0 olan diaqonal matrisə deyilir. subay və və ya ilə işarələnir, burada n onun sırasıdır.

Matrislər üzərində əsas əməliyyatlar matrisləri əlavə etmək və matrisi ədədə vurmaqdır.

iş matrislər A ədəd matrislə eyni ölçülü matrisdir A, hər bir elementi bu ədədə vurulur.

Məsələn: ; .

Bir matrisin ədədə vurulması əməliyyatının xüsusiyyətləri:

1.l(m A )=(lm) A (assosiativlik)

2.l( A +IN )=l A +l IN (matris əlavəsinə görə paylanma)

3. (l+m) A =)=l A +m A (rəqəmlərin toplanması ilə bağlı paylama)

Matrislərin xətti birləşməsi A Və IN eyni ölçülü formanın ifadəsi adlanır: a A +b IN , burada a,b ixtiyari ədədlərdir

Cəm matrisi Və IN (bu hərəkət yalnız eyni ölçülü matrislərə aiddir) matris adlanır İLƏ eyni ölçülü, elementləri müvafiq matris elementlərinin cəminə bərabərdir A Və IN .

Matris əlavəsinin xüsusiyyətləri:

1)A +IN =IN +A (kommutativlik)

2)(A +IN )+İLƏ =A +(IN +İLƏ )=A +IN +İLƏ (assosiativlik)

Fərq matrisi Və IN (bu hərəkət yalnız eyni ölçülü matrislərə aiddir) elementləri müvafiq matris elementlərinin fərqinə bərabər olan eyni ölçülü C matrisi adlanır. A Və IN .

Transpoze edin. Ölçülər matrisinin hər bir cərgəsinin elementləri yeni matrisin sütunlarına eyni qaydada yazılıbsa və sütun nömrəsi sətir nömrəsinə bərabərdirsə, o zaman yeni matrisa uyğun olaraq köçürülmüş adlanır və işarələnmişdir. Ölçüdür. -dən -ə keçid transpozisiya adlanır. Bu da aydındır ki. ,

Matrisin vurulması. Matris vurma əməliyyatı yalnız birinci amilin sütunlarının sayı ikincinin sətirlərinin sayına bərabər olduqda mümkündür. Çarpma nəticəsində sətirlərin sayı birinci amilin sətirlərinin sayı ilə, sütunların sayı isə ikincinin sütunlarının sayı ilə üst-üstə düşən bir matris əldə edirik:

Matrisin vurulması qaydası: iki matrisin hasilinin ci sətir və ci sütununda element əldə etmək üçün birinci matrisin ci sətirinin elementlərini ikinci matrisin ci sütununun elementlərinə vurub əlavə etmək lazımdır. əldə edilən məhsullar. Riyazi jarqonda bəzən deyirlər: matrisin ci cərgəsini matrisin ci sütununa vurmaq lazımdır. Aydındır ki, birinci matrisin sətirində və ikinci matrisin sütununda eyni sayda element olmalıdır.

Bu əməliyyatlardan fərqli olaraq, matris-matris vurma əməliyyatını müəyyən etmək daha çətindir. İki matris verilsin A Və IN , və onlardan birincisinin sütunlarının sayı ikincinin sətirlərinin sayına bərabərdir: məsələn, matris A ölçüsü və matrisi var IN - ölçü. Əgər

, , sonra ölçülər matrisi

, burada (i=1,…,m;j=1,…,k)

matris məhsulu adlanır A matrisə IN və təyin edilir AB .

Matris vurma əməliyyatının xüsusiyyətləri:

1. (AB)C=A(BC)=ABC (assosiativlik)

2. (A+B)C=AC+BC (paylanma)

3. A(B+C)=AB+A (paylanma)

4. Matrisin vurulması qeyri-kommutativdir: AB bərabər deyil VA ., bərabərdirsə, bu matrislər kommutativ adlanır.

Matrislər üzərində elementar çevrilmələr:

1. İki sıra (sütun) dəyişdirin

2. Sətirin (sütunun) sıfırdan fərqli rəqəmə vurulması

3. Bir sətrin (sütunun) elementlərinə başqa sətrin (sütun) elementlərinin istənilən ədədə vurulması

Mühazirə 1.2.Həqiqi əmsallı təyinedicilər. Tərs matrisin tapılması.

Xülasə:Determinantlar və onların xassələri. Həqiqi əmsallı determinantların hesablanması üsulları. Üçüncü dərəcəli matrislər üçün tərs matrisin tapılması.

Determinant anlayışı yalnız kvadrat matris üçün təqdim olunur. Müəyyənedici - Bu nömrə, yaxşı müəyyən edilmiş qaydalara əsasən tapılır və və ya det ilə işarələnir A .

Müəyyənedici matrislər ikinci sifariş belədir: və ya

Üçüncü dərəcəli determinant nömrə deyilir:

.

Bu çətin düsturu xatırlamaq üçün “üçbucaqlar qaydası” var:

Siz həmçinin başqa bir metoddan istifadə edərək hesablaya bilərsiniz - satır və ya sütun üzrə parçalanma üsulu. Bəzi tərifləri təqdim edək:

Kiçik kvadrat matris A matrisin təyinedicisi adlanır A , ci sətir və sütunun üstündən xətt çəkməklə əldə edilir: məsələn, kiçik üçün - .

Cəbri tamamlayıcı determinantın elementi onun minoru adlanır, elementin yerləşdiyi sətir və sütunun ədədlərinin cəmi cüt olduqda öz işarəsi ilə, ədədlərin cəmi tək olduqda isə əks işarə ilə alınır: .

Sonra: Üçüncü dərəcəli determinant məbləğinə bərabərdir hər hansı sütunun (sətirin) elementlərinin cəbri tamamlamalarına görə hasilləri.

PR: Determinantı hesablayaq: onu birinci sıranın elementlərinə genişləndirməklə.

Determinantların xüsusiyyətləri:

1. Tərkibində iki eyni sətir (sütun) və ya sıfır sətir (sütun) varsa, determinant 0-a bərabərdir.

2. İki sıra (sütun) yenidən düzüldükdə determinant öz işarəsini dəyişir.

3. Sıradakı (sütundakı) ümumi amil təyinedicinin işarəsindən kənara çıxarıla bilər.

4. Sətirə (sütun) ixtiyari ədədə vurulan hər hansı başqa sətir (başqa sütun) əlavə edilərsə, determinant dəyişmir.

5. Matris köçürüldükdə determinant dəyişmir.

6. Şəxsiyyət matrisinin determinantı 1-dir:

7. Matrislərin hasilinin təyinedicisi təyinedicilərin hasilinə bərabərdir

Tərs matris.

Kvadrat matrisa deyilir qeyri-degenerativ, əgər onun təyinedicisi sıfırdan fərqlidirsə.

Əgər, kvadrat matrisləri vurarkən A Və IN istənilən qaydada şəxsiyyət matrisi alınır ( AB=BA=E ), sonra matris IN matrisin tərsi adlanır A və ilə işarələnir, yəni. .

Teorem.Hər bir tək olmayan matrisin tərsi var.

Tərs matrisin tapılması alqoritmi:

Tərs matris. Kvadrat matrisin determinantı sıfırdan fərqli olarsa, o, qeyri-tək olmayan deyilir. Əks halda buna degenerasiya deyilir .

Bir matrisin tərsi ilə işarələnir. Əgər tərs matris varsa, o, unikaldır və

j cəbri əlavələrdən ibarət əlavə (birlik) haradadır:

Sonra tərs matrisin təyinedicisi bu matrisin təyinedicisi ilə aşağıdakı əlaqə ilə əlaqələndirilir: . Əslində, , bu bərabərlik ondan irəli gəlir.

Tərs matrisin xassələri:

1. , burada eyni tərtibli qeyri-tək kvadrat matrislərdir.

3. .

4.

Mühazirə 1.3.Kramer metodundan, Qauss metodlarından və matris hesabından istifadə etməklə xətti tənlik sistemlərinin həlli.

Xülasə:Xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün Kramer üsulu və Qauss metodu. Tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulu. Matris dərəcəsi. Kroneker-Kapelli teoremi. Əsas sistem qərarlar. Homojen və heterojen sistemlər.

Tənliklər sistemi aşağıdakı kimidir:

(*) , burada , ‑ əmsallar, ‑ dəyişənlər adlanır xətti tənliklər sistemi. Xətti tənliklər sistemini həll etmək sistemin bütün həllərini göstərmək deməkdir, yəni. sistemin tənliklərini eyniliyə çevirən belə dəyişənlərin dəyər dəstləri. Xətti tənliklər sistemi adlanır.

Naməlum olan N xətti cəbri tənliklər (SLAE) sistemi verilmişdir, əmsalları matrisin elementləri, sərbəst şərtləri isə ədədlərdir.

Əmsalların yanındakı birinci indeks əmsalın hansı tənlikdə yerləşdiyini, ikincisi isə naməlumlardan hansında tapıldığını göstərir.

Əgər matrisin təyinedicisi sıfır deyilsə

onda xətti cəbri tənliklər sisteminin unikal həlli var.

Xətti cəbri tənliklər sisteminin həlli, sistemin hər tənliyini düzgün bərabərliyə çevirən sifarişli ədədlər toplusudur.

Sistemin bütün tənliklərinin sağ tərəfləri sıfıra bərabərdirsə, tənliklər sistemi homojen adlanır. Bəziləri sıfırdan fərqli olduqda - heterojendir

Əgər xətti cəbri tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, o zaman uyğun, əks halda isə uyğunsuz adlanır.

Sistemin həlli unikaldırsa, xətti tənliklər sistemi müəyyən adlanır. Birgə sistemin həlli unikal olmadığı halda, tənliklər sistemi qeyri-müəyyən adlanır.

Bir sistemin bütün həlləri ikincinin həlli olarsa və əksinə iki xətti tənlik sistemi ekvivalent (və ya ekvivalent) adlanır. Ekvivalent çevrilmələrdən istifadə edərək ekvivalent (və ya ekvivalent) sistemlər əldə edirik.

SLAE-lərin ekvivalent çevrilmələri

1) tənliklərin yenidən təşkili;

2) tənliklərin sıfırdan fərqli ədədə vurulması (və ya bölünməsi);

3) ixtiyari sıfırdan fərqli ədədə vurulan bəzi tənliyə başqa bir tənliyin əlavə edilməsi.

SLAE-nin həlli müxtəlif yollarla tapıla bilər.

CRAMER METODU

KRAMER TEOREMİ. Əgər naməlum xətti cəbri tənliklər sisteminin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, bu sistemin Kramer düsturlarından istifadə etməklə tapılan unikal həlli var:

— ci sütunun sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edilməsi ilə formalaşan müəyyənedicilər.

Əgər , və onlardan ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, SLAE-nin həlli yoxdur. Əgər , onda SLAE-nin bir çox həlli var. Kramer metodundan istifadə edərək nümunələrə baxaq.

—————————————————————

Üç naməlum olan üç xətti tənliklər sistemi verilmişdir. Sistemi Kramer metodundan istifadə edərək həll edin

Naməlumlar üçün əmsal matrisinin determinantını tapaq

O vaxtdan verilmiş sistem tənliklər uyğun gəlir və unikal həlli var. Determinantları hesablayaq:

Kramer düsturlarından istifadə edərək naməlumları tapırıq

Beləliklə sistemin yeganə həlli.

Dörd xətti cəbri tənliklər sistemi verilmişdir. Sistemi Kramer metodundan istifadə edərək həll edin.

Naməlumlar üçün əmsal matrisinin təyinedicisini tapaq. Bunu etmək üçün onu birinci sətir boyunca genişləndirək.

Determinantın komponentlərini tapaq:

Tapılan dəyərləri determinantla əvəz edək

Determinant, buna görə də tənliklər sistemi ardıcıldır və unikal həlli var. Kramer düsturlarından istifadə edərək təyinediciləri hesablayaq:

Determinantların hər birini daha çox sıfır olan sütuna görə parçalayaq.

Cramer düsturlarından istifadə edərək tapırıq

Sistem həlli

Bu nümunə riyazi kalkulyatordan istifadə etməklə həll edilə bilər YukhymCALC. Proqramın bir hissəsi və hesablamaların nəticələri aşağıda göstərilmişdir.

——————————

C R A M E R A METODU

|1,1,1,1|

D=|5,-3,2,-8|

|3,5,1,4|

|4,2,3,1|

D=1*(-3*1*1+2*4*2+(-8)*5*3-((-8)*1*2+2*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3) )+1*(5*5*1+(-3)*4*4+(-8)*3*2-((-8)*5*4+(-3)*3*1+5* 4*2))-1*(5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4* 3))= 1*(-3+16-120+16-10+36)-1*(5+32-72+32-6-60)+1*(25-48-48+160+9- 40)-1*(75-12+12-40+27-10)=1*(-65)-1*(-69)+1*58-1*52=-65+69+58-52= 10

|0,1,1,1|

Dx1=|1,-3,2,-8|

|0,5,1,4|

|3,2,3,1|

Dx1=-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3)) +1*(1*5*1+(-3)*4*3+(-8)*0*2-((-8)*5*3+(-3)*0*1+1*4 *2))-1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3 ))= -1*(1+24+0+24+0-12)+1*(5-36+0+120+0-8)-1*(15-9+0-30+0-2 )= -1*(37)+1*81-1*(-26)=-37+81+26=70

|1,0,1,1|

Dx2=|5,1,2,-8|

|3,0,1,4|

|4,3,3,1|

Dx2=1*(1*1*1+2*4*3+(-8)*0*3-((-8)*1*3+2*0*1+1*4*3))+ 1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))-1* (5*1*1+2*4*4+(-8)*3*3-((-8)*1*4+2*3*1+5*4*3))= 1*(1) +24+0+24+0-12)+1*(0+16-72+0-3-60)-1*(0+4+18+0-9-15)= 1*37+1* (-119)-1*(-2)=37-119+2=-80

|1,1,0,1|

Dx3=|5,-3,1,-8|

|3,5,0,4|

|4,2,3,1|

Dx3=1*(-3*0*1+1*4*2+(-8)*5*3-((-8)*0*2+1*5*1+(-3)*4* 3))-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3) )-1*(5*0*1+1*4*4+(-8)*3*3-((-8)*0*4+1*3*1+5*4*3))= 1*(0+8-120+0-5+36)-1*(0+16-72+0-3-60)-1*(75+0+6-20+27+0)= 1* (-81)-1*(-119)-1*88=-81+119-88=-50

|1,1,1,0|

Dx4=|5,-3,2,1|

|3,5,1,0|

|4,2,3,3|

Dx4=1*(-3*1*3+2*0*2+1*5*3-(1*1*2+2*5*3+(-3)*0*3))-1* (5*1*3+2*0*4+1*3*3-(1*1*4+2*3*3+5*0*3))+1*(5*5*3+( -3)*0*4+1*3*2-(1*5*4+(-3)*3*3+5*0*2))= 1*(-9+0+15-2- 30+0)-1*(15+0+9-4-18+0)+1*(75+0+6-20+27+0)= 1*(-26)-1*(2)+ 1*88=-26-2+88=60

x1=Dx1/D=70.0000/10.0000=7.0000

x2=Dx2/D=-80.0000/10.0000=-8.0000

x3=Dx3/D=-50.0000/10.0000=-5.0000

x4=Dx4/D=60.0000/10.0000=6.0000

Materiallara baxın:

(jcomments on)

Ümumi halda, nizamın determinantlarının hesablanması qaydası olduqca çətin olur. İkinci və üçüncü dərəcəli determinantlar üçün onları hesablamaq üçün rasional üsullar mövcuddur.

İkinci dərəcəli determinantların hesablanması

İkinci dərəcəli matrisin determinantını hesablamaq üçün əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsulunu çıxarmaq lazımdır:

Misal

Məşq edin.İkinci dərəcəli determinantı hesablayın

Həll.

Cavab verin.

Üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması üsulları

Üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması üçün aşağıdakı qaydalar mövcuddur.

Üçbucaq qaydası

Sxematik olaraq, bu qayda aşağıdakı kimi təsvir edilə bilər:

Birinci təyinedicidə düz xətlərlə birləşdirilən elementlərin hasili artı işarəsi ilə alınır; oxşar şəkildə, ikinci təyinedici üçün uyğun məhsullar mənfi işarə ilə alınır, yəni.

Misal

Məşq edin. Determinant hesablayın üçbucaq metodundan istifadə etməklə.

Həll.

Cavab verin.

Sarrus qaydası

Determinantın sağ tərəfində ilk iki sütun əlavə edilir və əsas diaqonalda və ona paralel olan diaqonallarda elementlərin hasilləri artı işarəsi ilə götürülür; ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin və ona paralel diaqonalların hasilləri mənfi işarə ilə:

Misal

Məşq edin. Determinant hesablayın Sarrus qaydasından istifadə edir.

Həll.

Cavab verin.

Determinantın sətir və ya sütunla genişləndirilməsi

Determinant determinantın cərgəsinin elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir.

Adətən sıfırları ehtiva edən sətir/sütun seçilir. Parçalanmanın aparıldığı cərgə və ya sütun oxla göstəriləcək.

Misal

Məşq edin. Birinci sıra boyunca genişlənərək, determinantı hesablayın

Həll.

Cavab verin.

Bu üsul müəyyənedicinin hesablanmasını daha aşağı dərəcəli determinantın hesablanmasına endirməyə imkan verir.

Misal

Məşq edin. Determinant hesablayın

Həll. Determinantın sətirləri üzərində aşağıdakı çevrilmələri həyata keçirək: ikinci sətirdən ilk dördü çıxırıq, üçüncü sətirdən isə yeddiyə vurulan birinci sətir, nəticədə təyinedicinin xassələrinə uyğun olaraq müəyyənedicini alırıq. verilənə bərabərdir.

Determinant sıfırdır, çünki ikinci və üçüncü sıralar mütənasibdir.

Cavab verin.

Dördüncü və daha yüksək dərəcəli determinantları hesablamaq üçün ya sətir/sütun genişlənməsi, ya da üçbucaq formaya endirmə və ya Laplas teoremindən istifadə edilir.

Determinantın sətir və ya sütunun elementlərinə parçalanması

Misal

Məşq edin. Determinant hesablayın , onu bəzi sətir və ya sütun elementlərinə ayırmaq.

Həll. Gəlin əvvəlcə determinantın sətirlərində elementar çevrilmələr aparaq, istər sətirdə, istərsə də sütunda mümkün qədər çox sıfır edək. Bunu etmək üçün əvvəlcə birinci sətirdən üçdə doqquzunu, ikincidən üçdə beşini və dördüncüdən üçdə üçü çıxarırıq:

Gəlin əldə olunan determinantı birinci sütunun elementlərinə parçalayaq:

Nəticədə üçüncü dərəcəli determinantı, məsələn, birinci sütunda əvvəllər sıfır əldə edərək, sətir və sütunun elementlərinə genişləndirəcəyik.

Bunu etmək üçün birinci sətirdən ikinci iki sətri, üçüncüdən ikinci sətri çıxarın:

Cavab verin.

Şərh

Son və sondan əvvəlki determinantları hesablamaq mümkün olmadı, lakin dərhal onların sıfıra bərabər olduğu qənaətinə gəlin, çünki onların tərkibində mütənasib sıralar var.

Determinantın üçbucaq formasına endirilməsi

Satırlar və ya sütunlar üzərində elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, determinant üçbucaq formasına endirilir və sonra onun dəyəri, determinantın xüsusiyyətlərinə uyğun olaraq, əsas diaqonaldakı elementlərin məhsuluna bərabərdir.

Misal

Məşq edin. Determinant hesablayın onu üçbucaq formasına gətirir.

Həll.Əvvəlcə əsas diaqonalın altındakı birinci sütunda sıfırları düzəldirik.

4. Determinantların xassələri. Matrislərin hasilinin təyinedicisi.

Element 1-ə bərabər olarsa, bütün çevrilmələri yerinə yetirmək daha asan olacaq. Bunun üçün determinantın birinci və ikinci sütunlarını dəyişdirəcəyik ki, bu da determinantın xassələrinə uyğun olaraq onun işarəsini dəyişməsinə səbəb olacaq. qarşı:

Sonra, ikinci sütunda əsas diaqonalın altındakı elementlərin yerinə sıfırları alırıq. Yenə diaqonal element -ə bərabərdirsə, onda hesablamalar daha sadə olacaqdır. Bunu etmək üçün ikinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin (və eyni zamanda determinantın əks işarəsinə keçin):

Cavab verin.

Laplas teoremi

Misal

Məşq edin. Laplas teoremindən istifadə edərək determinantı hesablayın

Həll. Gəlin bu beşinci dərəcəli determinantda iki cərgə seçək - ikinci və üçüncü, sonra əldə edirik (sıfıra bərabər olan şərtləri buraxırıq):

Cavab verin.

Xətti TƏNLƏR VƏ BƏRABƏRBƏRBƏRBƏRLƏR I

§ 31 Tənliklər sisteminin əsas təyinedicisinin sıfıra bərabər olduğu və köməkçi təyinedicilərdən ən azı birinin sıfırdan fərqli olduğu hal

Teorem.Əgər tənliklər sisteminin əsas təyinedicisi

(1)

sıfıra bərabərdir və köməkçi təyinedicilərdən ən azı biri sıfırdan fərqlidir, onda sistem uyğunsuzdur.

Formal olaraq bu teoremin sübutunu ziddiyyətlə əldə etmək çətin deyil. Fərz edək ki, (1) tənliklər sisteminin həlli ( x 0 , y 0). Sonra, əvvəlki paraqrafda göstərildiyi kimi,

Δ x 0 = Δ x , Δ y 0 = Δ y (2)

Amma şərtə görə Δ = 0 və müəyyənedicilərdən ən azı biri Δ x Və Δ y sıfırdan fərqlidir. Beləliklə, (2) bərabərlikləri eyni vaxtda təmin edilə bilməz. Teorem sübut edilmişdir.

Bununla belə, baxılan halda (1) tənliklər sisteminin niyə uyğunsuz olduğunu daha ətraflı öyrənmək maraqlı görünür.

(1) tənliklər sistemindəki naməlumlar üçün əmsalların mütənasib olması deməkdir. Qoy, məsələn,

a 1 =ka 2 ,b 1 = kb 2 .

üçün əmsallar deməkdir saat və (1) sisteminin tənliklərinin sərbəst şərtləri mütənasib deyil. ildən b 1 = kb 2, onda c 1 =/= kc 2 .

Buna görə də (1) tənliklər sistemi aşağıdakı formada yazıla bilər:

Bu sistemdə naməlumlar üçün əmsallar müvafiq olaraq mütənasibdir, lakin üçün əmsallar saat (və ya nə vaxt X ) və sərbəst şərtlər mütənasib deyil. Belə bir sistem, əlbəttə ki, uyğun deyil. Həqiqətən, onun bir həll yolu olsaydı ( x 0 , y 0), onda ədədi bərabərliklər yerinə yetiriləcəkdir

k (a 2 x 0 + b 2 y 0) = c 1

a 2 x 0 + b 2 y 0 = c 2 .

Lakin bu bərabərliklərdən biri digərinə ziddir: axı, c 1 =/= kc 2 .

Biz yalnız o zaman vəziyyəti nəzərdən keçirdik Δ x =/= 0. Bu halda Δ y =/= 0."

Sübut edilmiş teoremi bu şəkildə tərtib etmək olar.

Əgər naməlumlar üçün əmsallar X Və saat tənliklər sistemində (1) mütənasibdir, lakin bu naməlumlardan və sərbəst şərtlərdən hər hansı birinin əmsalları mütənasib deyilsə, bu tənliklər sistemi uyğunsuzdur.

Məsələn, bu sistemlərin hər birinin uyğun gəlməyəcəyinə əmin olmaq asandır:

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Kramer üsulu

Kramer düsturları

Kramer metodu xətti tənliklər sistemlərinin həllində determinantlardan istifadəyə əsaslanır. Bu həll prosesini əhəmiyyətli dərəcədə sürətləndirir.

Kramer metodu hər bir tənlikdə naməlumlar olduğu qədər xətti tənliklər sistemini həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Kramer üsulu. Xətti tənliklər sistemləri üçün tətbiq

Sistemin determinantı sıfıra bərabər deyilsə, o zaman həlldə Kramer metodundan istifadə edilə bilər, lakin sıfıra bərabərdirsə, mümkün deyil. Bundan əlavə, Kramer metodundan unikal həlli olan xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün istifadə edilə bilər.

Tərif. Naməlumlar üçün əmsallardan təşkil edilən determinant sistemin müəyyənedicisi adlanır və (delta) işarəsi ilə işarələnir.

Müəyyənedicilər

uyğun naməlumların əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə əldə edilir:

;

.

Kramer teoremi. Sistemin determinantı sıfırdan fərqlidirsə, xətti tənliklər sisteminin bir unikal həlli var və naməlum determinantların nisbətinə bərabərdir. Məxrəcdə sistemin determinantı, payda isə bu naməlumun əmsallarını sərbəst şərtlərlə əvəz etməklə sistemin müəyyənedicisindən alınan müəyyənedici var. Bu teorem istənilən düzülüşlü xətti tənliklər sistemi üçün keçərlidir.

Misal 1. Xətti tənliklər sistemini həll edin:

görə Kramer teoremi bizdə:

Beləliklə, sistemin (2) həlli:

Xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı üç hal

dan aydın olduğu kimi Kramer teoremi, xətti tənliklər sistemini həll edərkən üç hal baş verə bilər:

Birinci hal: xətti tənliklər sisteminin unikal həlli var

(sistem ardıcıl və müəyyəndir)

*

İkinci hal: xətti tənliklər sisteminin sonsuz sayda həlli var

(sistem ardıcıl və qeyri-müəyyəndir)

**
,

olanlar. naməlumların və sərbəst şərtlərin əmsalları mütənasibdir.

Üçüncü hal: xətti tənliklər sisteminin həlli yoxdur

(sistem uyğunsuzdur)

Beləliklə, sistem m ilə xətti tənliklər n dəyişənlər adlanır birgə olmayan, onun tək bir həlli yoxdursa və birgə, ən azı bir həlli varsa. Yalnız bir həlli olan eyni vaxtda tənliklər sistemi adlanır müəyyən, və birdən çox - qeyri-müəyyən.

Kramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklərin sistemlərinin həlli nümunələri

Sistem verilsin

.

Kramer teoreminə əsaslanır

………….
,

Harada
—

sistem təyinedicisi. Sütunu müvafiq dəyişənin (naməlum) əmsalları ilə pulsuz şərtlərlə əvəz etməklə qalan müəyyənediciləri əldə edirik:

Misal 2.

.

Ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün determinantları hesablayırıq

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

Beləliklə, (1; 0; -1) sistemin yeganə həllidir.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Əgər xətti tənliklər sistemində bir və ya bir neçə tənlikdə dəyişən yoxdursa, onda determinantda müvafiq elementlər sıfıra bərabərdir! Bu növbəti nümunədir.

Misal 3. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

.

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Tənliklər sisteminə və sistemin determinantına diqqətlə baxın və determinantın bir və ya bir neçə elementinin sıfıra bərabər olduğu sualına cavabı təkrarlayın. Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem müəyyəndir. Onun həllini tapmaq üçün naməlumlar üçün təyinediciləri hesablayırıq

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

Beləliklə, sistemin həlli (2; -1; 1) olur.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Səhifənin yuxarısı

Xətti Tənliklər Sistemləri üzrə testdən keçin

Artıq qeyd edildiyi kimi, sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, naməlumların təyinediciləri isə sıfıra bərabər deyilsə, sistem uyğunsuzdur, yəni onun həlli yoxdur. Gəlin aşağıdakı nümunə ilə izah edək.

Misal 4. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Sistemin təyinedicisi sıfıra bərabərdir, ona görə də xətti tənliklər sistemi ya uyğunsuz və müəyyəndir, ya da uyğunsuzdur, yəni həlli yoxdur. Aydınlaşdırmaq üçün naməlumlar üçün determinantları hesablayırıq

Naməlumların təyinediciləri sıfıra bərabər deyil, ona görə də sistem uyğunsuzdur, yəni həlli yoxdur.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Xətti tənliklər sistemlərinə aid məsələlərdə dəyişənləri bildirən hərflərlə yanaşı, başqa hərflərin də olduğu elələri də var. Bu hərflər çox vaxt real olan bir rəqəmi təmsil edir. Təcrübədə axtarış problemləri belə tənliklərə və tənliklər sistemlərinə gətirib çıxarır ümumi xassələri hər hansı bir hadisə və ya obyekt. Yəni hər hansı ixtira etmisən yeni material və ya cihazı və onun nümunənin ölçüsündən və ya sayından asılı olmayaraq ümumi olan xassələrini təsvir etmək üçün dəyişənlər üçün bəzi əmsalların əvəzinə hərflərin olduğu xətti tənliklər sistemini həll etməlisiniz. Nümunələr axtarmaq lazım deyil.

Aşağıdakı misal oxşar problem üçündir, yalnız müəyyən real ədədi bildirən tənliklərin, dəyişənlərin və hərflərin sayı artır.

Misal 6. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Naməlumlar üçün determinantların tapılması

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

,

,

.

Və nəhayət, dörd naməlum olan dörd tənlik sistemi.

Misal 7. Cramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin:

.

Diqqət! Dördüncü dərəcəli determinantların hesablanması üsulları burada izah edilməyəcək. Bunun üçün saytın müvafiq bölməsinə keçin. Ancaq bəzi kiçik şərhlər olacaq. Həll. Sistemin determinantını tapırıq:

Kiçik bir şərh. İlkin determinantda dördüncü cərgənin elementləri ikinci cərgənin elementlərindən, dördüncü cərgənin elementləri 2-yə vurularaq üçüncü sıranın elementlərindən, birinci cərgənin elementləri isə vurularaq çıxarılmışdır. 2, dördüncü cərgənin elementlərindən ilk üç naməlum olan ilkin determinantların çevrilmələri eyni sxem üzrə aparılmışdır. Naməlumlar üçün determinantların tapılması

Dördüncü naməlum üçün determinantı çevirmək üçün dördüncü sıranın elementləri birinci sıranın elementlərindən çıxarıldı.

Cramer düsturlarından istifadə edərək aşağıdakıları tapırıq:

Beləliklə, sistemin həlli (1; 1; -1; -1) olur.

3 X 3 və 4 X 4 tənlik sistemlərinin həllərini yoxlamaq üçün Kramerin həlli metodundan istifadə edərək onlayn kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz.

Ən diqqətli insanlar yəqin ki, məqalədə xətti tənliklərin qeyri-müəyyən sistemlərinin həllinə dair nümunələrin olmadığını gördülər. Və hamısı ona görə ki, bu cür sistemləri Cramer metodu ilə həll etmək mümkün deyil, yalnız sistemin qeyri-müəyyən olduğunu söyləmək olar; Belə sistemlərin həlli Gauss metodu ilə təmin edilir.

Həllini araşdırmağa vaxtınız yoxdur? İş sifariş edə bilərsiniz!

Səhifənin yuxarısı

Xətti Tənliklər Sistemləri üzrə testdən keçin

“Tənliklər və bərabərsizliklər sistemləri” mövzusunda digər

Kalkulyator - tənlik sistemlərinin onlayn həlli

C++ dilində Cramer metodunun proqram təminatının tətbiqi

Xətti tənlik sistemlərinin əvəzetmə və toplama üsulları ilə həlli

Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli

Xətti tənliklər sistemi üçün ardıcıllıq şərti.

Kroneker-Kapelli teoremi

Matris metodundan istifadə edərək xətti tənlik sistemlərinin həlli (tərs matris)

Xətti bərabərsizliklər sistemləri və qabarıq dəstlər xal

“Xətti cəbr” mövzusunun başlanğıcı

Müəyyənedicilər

Bu yazıda xətti cəbrin determinant adlanan budağından çox mühüm bir anlayışla tanış olacağıq.

Dərhal qeyd etmək istərdim mühüm məqam: determinant anlayışı yalnız kvadrat matrislər üçün keçərlidir (sətirlərin sayı = sütunların sayı), digər matrislərdə bu yoxdur.

Kvadrat matrisin təyinedicisi(determinant) - matrisin ədədi xarakteristikası.

Determinantların təyini: |A|, det A, ∆ A.

Müəyyənedici“n” sırası onun elementlərinin aşağıdakı tələblərə cavab verən bütün mümkün məhsullarının cəbri cəmidir:

1) Hər bir belə məhsul tam olaraq “n” elementdən ibarətdir (yəni, 2-ci dərəcəli determinant - 2 element).

2) Hər bir məhsulda amil kimi hər sətir və hər sütunun nümayəndəsi var.

3) Hər məhsulda hər hansı iki amil eyni sətir və ya sütuna aid ola bilməz.

Məhsulun elementləri sətir nömrələrinin artan sırası ilə düzülürsə, məhsulun işarəsi sütun nömrələrinin növbə sırası ilə müəyyən edilir.

Matrisin determinantını tapmaq üçün bir neçə nümunəyə baxaq:

Birinci dərəcəli matris üçün (məs.

Xətti tənliklər. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli. Kramer üsulu.

yalnız 1 element var), determinant bu elementə bərabərdir:

2. İkinci dərəcəli kvadrat matrisi nəzərdən keçirək:

3. Üçüncü dərəcəli kvadrat matrisi (3×3) nəzərdən keçirək:

4. İndi həqiqi ədədlərlə nümunələrə baxaq:

Üçbucaq qaydası.

Üçbucaq qaydası matrisin determinantının hesablanması üsuludur, onun aşağıdakı sxemə əsasən tapılmasını nəzərdə tutur:

Artıq başa düşdüyünüz kimi, matrisin çoxaldılmış elementləri özünəməxsus üçbucaqlar əmələ gətirdiyinə görə metod üçbucaq qaydası adlanırdı.

Bunu daha yaxşı başa düşmək üçün bir misala baxaq:

İndi üçbucaq qaydasından istifadə edərək real ədədlərlə matrisin determinantının hesablanmasına baxaq:

Əhatə etdiyimiz materialı birləşdirmək üçün başqa bir praktik nümunəni həll edək:

Determinantların xüsusiyyətləri:

1. Əgər sətir və ya sütunun elementləri sıfıra bərabərdirsə, onda determinant sıfıra bərabərdir.

2. Hər hansı 2 sətir və ya sütun dəyişdirilərsə, determinant işarəni dəyişəcək. Buna kiçik bir nümunə ilə baxaq:

3. Köçürülən matrisin determinantı ilkin matrisin determinantına bərabərdir.

4. Bir sətrin elementləri digər sətrin müvafiq elementlərinə bərabərdirsə (sütunlar üçün də) təyinedici sıfıra bərabərdir. Determinantların bu xassəsinin ən sadə nümunəsi:

5. Determinant 2 sıra mütənasibdirsə (sütunlar üçün də) sıfıra bərabərdir. Misal (1 və 2-ci sətirlər mütənasibdir):

6. Sətirin (sütunun) ümumi amili təyinedici işarədən çıxarıla bilər.

7) Əgər sətir (sütun) elementlərinə başqa sətrin (sütun) uyğun elementləri əlavə edilərsə, eyni qiymətə vurularsa, determinant dəyişməyəcək. Buna bir misalla baxaq:

Kiçik və cəbri tamamlama

Misallarla matrislərin toplanması və çıxılması

Matrislərlə hərəkətlər

"matris" anlayışı

Baxış sayı: 57258

Determinant (aka determinant) yalnız kvadrat matrislərdə olur. Determinant matrisin bütün elementlərini birləşdirən dəyərdən başqa bir şey deyil, satırlar və ya sütunlar köçürülərkən saxlanılır. O, det(A), |A|, Δ(A), Δ kimi işarələnə bilər, burada A ya matris, ya da onu bildirən hərf ola bilər. Bunu müxtəlif üsullardan istifadə edərək tapa bilərsiniz:

Yuxarıda təklif olunan metodların hamısı üç və daha yuxarı ölçülü matrislərdə təhlil ediləcəkdir. İki ölçülü matrisin determinantı üç elementardan istifadə etməklə tapılır riyazi əməliyyatlar, buna görə də ikiölçülü matrisin determinantının tapılması heç bir üsula daxil edilməyəcək. Yaxşı, əlavə olaraq istisna olmaqla, lakin daha sonra.

2x2 matrisin determinantını tapaq:

Matrisimizin determinantını tapmaq üçün bir diaqonalın ədədlərinin hasilini digərindən çıxarmalıyıq, yəni

İkinci dərəcəli matrislərin determinantının tapılması nümunələri

Sətir/sütun parçalanması

Matrisdə istənilən sətir və ya sütunu seçin. Seçilmiş sətirdəki hər bir ədəd (-1) i+j ilə vurulur, burada (i,j həmin nömrənin sətirinin, sütununun nömrəsidir) və üstündən xətt çəkildikdən sonra qalan elementlərdən ibarət ikinci dərəcəli determinantla vurulur. i - sətir və j - sütunu. Gəlin bunu matrisdə təhlil edək

1. Sətir/sütun seçin

Məsələn, ikinci xətti götürək.

Qeyd: Determinantı tapmaq üçün hansı sətirdən istifadə olunacağı açıq şəkildə göstərilməyibsə, sıfır olan xətti seçin. Daha az hesablamalar olacaq.

1. İfadə edək

Ədədin işarəsinin hər dəfə dəyişdiyini müəyyən etmək çətin deyil. Beləliklə, vahidlər əvəzinə aşağıdakı cədvəldən istifadə edə bilərsiniz:

1. Nömrələrimizin işarəsini dəyişək

1. Matrislərimizin təyinedicilərini tapaq

1. Hamısını sayaq

Həll yolu belə yazıla bilər:

Satır/sütun genişləndirilməsi ilə determinantın tapılması nümunələri:

Üçbucaqlı formaya endirmə üsulu (elementar çevrilmələrdən istifadə etməklə)

Determinant matrisi üçbucaqlı (addım) formaya endirməklə və əsas diaqonaldakı elementləri çoxaltmaqla tapılır.

Üçbucaqlı matris diaqonalın bir tərəfindəki elementləri sıfıra bərabər olan bir matrisdir.

Matris qurarkən üç sadə qaydanı yadda saxlamalısınız:

1. Sətirlər hər dəfə dəyişdirildikdə, determinant işarəsini əksinə dəyişir.
2. Bir sətri yoxa vurarkən/bölərkən sıfır rəqəm, ona bölünməli (əgər vurularsa)/çoxlanmalıdır (bölünsə) və ya bu hərəkəti nəticədə olan müəyyənedici ilə yerinə yetirməlidir.
3. Ədədlə vurulmuş bir sətri digər sətirə əlavə edərkən determinant dəyişmir (çorpılan sətir ilkin qiymətini alır).

Çalışaq birinci sütunda, sonra ikinci sütunda sıfırları almağa.

Matrisimizə nəzər salaq:

coooo. Hesablamaları daha zövqlü etmək üçün ən yaxın nömrənin yuxarıda olmasını istərdim. Onu tərk edə bilərsən, amma etmə. Yaxşı, ikinci sətirdə iki, birincidə dörd var.

Gəlin bu iki xətti dəyişdirək.

Xətləri dəyişdirdik, indi ya bir xəttin işarəsini dəyişdirməliyik, ya da sonunda determinantın işarəsini dəyişməliyik.

Müəyyənedicilər. Determinantların hesablanması (səhifə 2)

Bunu daha sonra edəcəyik.

İndi birinci sətirdə sıfır almaq üçün birinci sətri 2-yə vurun.

1-ci sətri ikincidən çıxaraq.

3-cü qaydamıza əsasən, orijinal sətiri ilkin vəziyyətinə qaytarırıq.

İndi 3-cü sətirdə sıfır edək. 1-ci sətri 1,5-ə vurub üçüncüdən çıxa bilərik, lakin fraksiyalarla işləmək çox az zövq verir. Buna görə də, hər iki xəttin azaldıla biləcəyi bir ədəd tapaq - bu 6-dır.

3-cü sətri 2-yə vurun.

İndi 1-ci sətri 3-ə vurub 3-cüdən çıxaq.

1-ci sıramızı qaytaraq.

Unutmayın ki, 3-cü sətri 2-yə vurduq, ona görə də determinantı 2-yə böləcəyik.

Bir sütun var. İndi ikincidə sıfırları əldə etmək üçün - 1-ci sətri unut - 2-ci sətirlə işləyirik. İkinci sətri -3-ə vurun və üçüncüyə əlavə edin.

İkinci sətri qaytarmağı unutmayın.

Beləliklə, üçbucaqlı bir matris qurduq. Bizə nə qalıb? Yalnız əsas diaqonaldakı rəqəmləri çoxaltmaq qalır, bunu edəcəyik.

Yaxşı, yadda saxlamaq lazımdır ki, determinantımızı 2-yə bölmək və işarəni dəyişdirmək lazımdır.

Sarrus qaydası (Üçbucaqlar qaydası)

Sarrus qaydası yalnız üçüncü dərəcəli kvadrat matrislərə aiddir.

Determinant matrisin sağındakı ilk iki sütunun toplanması, matrisin diaqonallarının elementlərinin vurulması və toplanması və əks diaqonalların cəminin çıxılması ilə hesablanır. Narıncı diaqonallardan bənövşəyi olanları çıxarın.

Üçbucaqların qaydası eynidir, yalnız şəkil fərqlidir.

Laplas teoremi bax: Sətir/Sütun Ayrışması

Kağızınızı yazmaq nə qədər başa gəlir?

İş növünü seçin tezis(bakalavr/mütəxəssis) Dissertasiyanın bir hissəsi Magistratura diplomu Təcrübə ilə kurs işi Kursun nəzəriyyəsi Abstrakt İnşa Test Məqsədlər Sertifikatlaşdırma işi (VAR/VKR) Biznes plan İmtahanı üçün suallar MBA diplomu Tezis (kollec/texniki məktəb) Digər hallar Laboratoriya işi, RGR Onlayn yardım Təcrübə hesabatı Məlumat axtarın PowerPoint təqdimatı Magistratura üçün referat Diplom üçün müşayiət olunan materiallar Məqalə Test Rəsmləri daha çox »

Təşəkkür edirəm, sizə e-poçt göndərildi. E-poçtunuzu yoxlayın.

15% endirim üçün promo kodu istəyirsiniz?

SMS alın
promosyon kodu ilə

Uğurla!

?Menecerlə söhbət zamanı promosyon kodunu təqdim edin.
Promosyon kodu ilk sifarişinizdə bir dəfə tətbiq oluna bilər.
Promosyon kodunun növü - " tezis".

RCB HƏRBİ UNİVERSİTETİNİN KOSTROMA FİLALI

Qoşunlara nəzarətin avtomatlaşdırılması şöbəsi

Yalnız müəllimlər üçün

"Təsdiq edirəm"

9 saylı şöbə müdiri

Polkovnik YAKOVLEV A.B.

"____"______________ 2004

dosent A.İ.SMİRNOVA

“KALifikatorlar.

Xətti TƏNLƏR SİSTEMLERİNİN HƏLLİ”.

MÜHAZİRƏ № 2 / 1

9 saylı kafedra iclasında müzakirə edilmişdir

"____"___________ 2004

Protokol №__________

Kostroma, 2004.

Giriş

İkinci və üçüncü sıranın təyinediciləri.

Determinantların xassələri.

Parçalanma teoremi.

Kramer teoremi.

Nəticə

Ədəbiyyat V.E. Schneider və başqaları.

Qısa kurs

Ali riyaziyyat, I cild, Ch.

2, 1-ci bənd.

V.S. Shchipachev, Ali Riyaziyyat, 10-cu fəsil, 2-ci bənd. GİRİŞ

Mühazirə ikinci və üçüncü dərəcəli determinantlardan və onların xassələrindən bəhs edir. Həm də determinantlardan istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərini həll etməyə imkan verən Kramer teoremi. Daha sonra “Vektor cəbri” mövzusunda vektorların vektor məhsulunun hesablanması zamanı təyinedicilərdən də istifadə olunur.

1-ci dərs sualı

İKİNCİ VƏ ÜÇÜNCÜLƏRİN MƏYƏNLƏRİ

SİFARİŞ Formanın dörd rəqəmindən ibarət bir cədvəli nəzərdən keçirin Cədvəldəki rəqəmlər iki indeksli hərflə göstərilir. Birinci indeks satır nömrəsini, ikinci sütun nömrəsini göstərir.

(1)

TƏRİF 1.

İkinci dərəcəli determinant

kimi ifadə adlanır:

a11, ..., a22 ədədləri təyinedicinin elementləri adlanır.

a11 elementlərinin yaratdığı diaqonal; a22 əsas adlanır və a12 elementləri ilə formalaşan diaqonal; a21 - yan.

Beləliklə, ikinci dərəcəli determinant əsas və ikinci dərəcəli diaqonalların elementlərinin hasillərinin fərqinə bərabərdir.

Qeyd edək ki, cavab rəqəmdir.NÜMUNƏLƏR. Hesablayın:

İndi üç cərgədə və üç sütunda yazılmış doqquz rəqəmdən ibarət cədvəli nəzərdən keçirək:

TƏRİF 2.

Üçüncü dərəcəli determinant

" + " " – "

Artıya daxildir: əsas diaqonaldakı elementlərin məhsulu, qalan iki şərt əsas diaqonala paralel olan üçbucaqların təpələrində yerləşən elementlərin məhsuludur.

Mənfi şərtlər ikinci dərəcəli diaqonala münasibətdə eyni sxemə uyğun olaraq qurulur.

Üçüncü dərəcəli determinantın hesablanması üçün bu qayda adlanır

Qayda T reugolnikov.

NÜMUNƏLƏR.

Üçbucaq qaydasından istifadə edərək hesablayın:

ŞƏRH. Determinantlara determinant da deyilir. 2-ci dərs sualı

MƏYYƏNDİRƏCƏLƏRİN XÜSUSİYYƏTLƏRİ.

GENİŞLƏMƏ TEOREMİ

.

Xüsusiyyət 1. Determinantın sətirləri müvafiq sütunlarla dəyişdirildikdə onun qiyməti dəyişmir.

Hər iki təyinedicini aşkar etməklə bərabərliyin doğruluğuna əmin oluruq.

1-ci xassə determinantın sətir və sütunlarının bərabərliyini müəyyən edir. Buna görə də, biz həm sətirlər, həm də sütunlar üçün determinantın bütün sonrakı xassələrini formalaşdıracağıq.

.

Xüsusiyyət 2. İki sətir (və ya sütun) yenidən düzüldükdə, determinant mütləq qiymətini saxlayaraq işarəsini əksinə dəyişir.

.

Xüsusiyyət 3. Sətir (və ya sütun) elementlərinin ümumi əmsalı müəyyənedicinin işarəsindən kənarda götürülə bilər.

Xüsusiyyət 4. Əgər determinantın iki eyni sətri (və ya sütunu) varsa, onda o, sıfıra bərabərdir.

Bu əmlak birbaşa yoxlama ilə sübut edilə bilər və ya siz 2-dən istifadə edə bilərsiniz.

Determinantı D ilə işarə edək. İki eyni birinci və ikinci sıra yenidən düzüldükdə, o, dəyişməyəcək, lakin ikinci xassə görə işarəni dəyişməlidir, yəni.

D = - D Yu 2 D = 0 Yu D = 0.

Xassə 5. Əgər sətirin (və ya sütunun) bütün elementləri sıfıra bərabərdirsə, onda determinant sıfıra bərabərdir.

Bu əmlak 3-cü zaman xüsusi hal kimi qəbul edilə bilər

.

Xüsusiyyət 6. Əgər müəyyənedicinin iki sətirinin (və ya sütununun) elementləri mütənasibdirsə, onda determinant sıfıra bərabərdir.

Birbaşa yoxlama və ya 3 və 4-cü xassələrdən istifadə etməklə sübut edilə bilər.

.

Xüsusiyyət 7. Hər hansı bir sətirin (və ya sütunun) elementlərinə eyni ədədə vurulan başqa sətirin (və ya sütunun) uyğun elementləri əlavə edilərsə, determinantın qiyməti dəyişməyəcək.

Birbaşa yoxlama ilə sübut edilmişdir.

Bu xassələrin istifadəsi bəzi hallarda determinantların, xüsusilə üçüncü dərəcəli determinantların hesablanması prosesini asanlaşdıra bilər.

Aşağıdakılar üçün kiçik və cəbri tamamlama anlayışlarına ehtiyacımız olacaq. Üçüncü sıranı müəyyən etmək üçün bu anlayışları nəzərdən keçirək.Kiçiküçüncü dərəcəli determinantın verilmiş elementinin kəsişməsində yerləşdiyi sətir və sütunun üstündən xətt çəkməklə verilmiş elementdən alınan ikinci dərəcəli determinant deyilir.

ai j kiçik elementi Mi j ilə işarələnir. Beləliklə, a11 minor elementi üçün

Üçüncü dərəcəli determinantda birinci sətir və birinci sütunun üstündən xətt çəkməklə əldə edilir.

TƏRİF 4.Determinant elementinin cəbri tamamlaması onlar onu (-1)k-ə vurulan minor adlandırırlar, burada k bu elementin kəsişməsində yerləşən sətir və sütun nömrələrinin cəmidir.

ai j elementinin cəbri tamamlayıcısı Ai j ilə işarələnir.

Beləliklə, Аi j =.

a11 və a12 elementləri üçün cəbri əlavələri yazaq.

.

Qaydanı xatırlamaq faydalıdır: determinantın elementinin cəbri tamamlaması, elementin yerləşdiyi sətir və sütunun nömrələrinin cəmi cüt və mənfi olduqda, üstəlik işarəsi ilə onun minoruna bərabərdir. bu məbləğ təkdirsə işarələyin.

NÜMUNƏ. Determinantın birinci cərgəsinin elementləri üçün kiçik və cəbri tamamlayıcıları tapın:

Aydındır ki, minorlar və cəbri tamamlamalar yalnız işarə ilə fərqlənə bilər.

Sübutsuz mühüm bir teoremi - determinantın parçalanma teoremini nəzərdən keçirək.

GENİŞLƏMƏ TEOREMİ

Determinant istənilən sətir və ya sütunun elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir.

Bu teoremdən istifadə edərək birinci sətirdə üçüncü dərəcəli determinantın genişlənməsini yazırıq.

.

Genişləndirilmiş formada:

.

Üçüncü dərəcəli determinantın hesablanması zamanı sonuncu düstur əsas kimi istifadə edilə bilər.

Genişlənmə teoremi üçüncü dərəcəli determinantın hesablanmasını üç ikinci dərəcəli determinantın hesablanmasına endirməyə imkan verir.

Parçalanma teoremi üçüncü dərəcəli determinantları hesablamaq üçün ikinci üsul təqdim edir.

NÜMUNƏLƏR.

Genişlənmə teoremindən istifadə edərək determinantı hesablayın.

ikinci sıra boyunca genişlənmələrdən istifadə edildi.

Genişlənmə teoremi həm də daha yüksək dərəcəli determinantları hesablamağa imkan verir, onları bir neçə üçüncü və ya ikinci dərəcəli determinantların hesablanmasına qədər azaldır.

Beləliklə, dördüncü dərəcəli determinant dörd üçüncü dərəcəli determinantın hesablanmasına endirilə bilər. 3-cü dərs sualı

KRAMER TEOREMİ

Determinantların nəzərdən keçirilən nəzəriyyəsini xətti tənliklər sistemlərinin həllinə tətbiq edək.

(3)

İki naməlumlu iki xətti tənlik sistemi.

Burada x1, x2 naməlumdur;

a11, ..., a22 – iki indekslə nömrələnmiş naməlumlar üçün əmsallar, burada birinci indeks tənliyin sayını, ikinci indeks isə naməlumun sayını bildirir.

Yada salaq ki, (3) sisteminin həlli x1, x2 qiymətləri cütü kimi başa düşülür ki, onlar hər iki tənliyə əvəz edildikdə onları həqiqi bərabərliyə çevirirlər.

Bir sistemin unikal həlli olduğu halda, bu həll ikinci dərəcəli determinantlardan istifadə etməklə tapıla bilər.

TƏRİF 5. Naməlumlar üçün əmsallardan ibarət müəyyənedici deyilir sistemin determinantıdır.

Sistemin determinantını D ilə işarə edək.

D determinantının sütunları müvafiq olaraq x1 və x2 üçün əmsalları ehtiva edir.

Sütunlardan birini sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etməklə sistemin determinantından əldə edilən iki əlavə determinant təqdim edək:

Aşağıdakı teoremi sübutsuz nəzərdən keçirək:

KRAMER TEOREMİ(n = 2 halı üçün)

Əgər (3) sisteminin D determinantı sıfırdan fərqlidirsə (D No. 0), onda sistemin unikal həlli var və o, düsturlara uyğun olaraq tapılır:

(4)

Düsturlar (4) Kramer düsturları adlanır.

NÜMUNƏ. Kramer qaydasından istifadə edərək sistemi həll edin.

Cavab: x1 = 3; x2 = -1

2. Üç naməlumlu üç xətti tənlik sistemi:

(5)

Unikal həll olması halında sistem (5) üçüncü dərəcəli determinantlardan istifadə etməklə həll edilə bilər.

D sisteminin determinantı formaya malikdir:

Üç əlavə determinant təqdim edək:

Teorem oxşar şəkildə tərtib edilmişdir.

KRAMER TEOREMİ (n = 3 halı üçün)

Əgər (5) sisteminin D determinantı sıfırdan fərqlidirsə, sistemin unikal həlli var və bu düsturlara uyğun olaraq tapılır:

Düsturlar (6) Kramer düsturlarıdır.

ŞƏRH. Q.Kramer (1704 – 1752) – isveçrəli riyaziyyatçı.

Qeyd edək ki, Kramer teoremi tənliklərin sayı naməlumların sayına bərabər olduqda və D sisteminin determinantı sıfırdan fərqli olduqda tətbiq edilir.

Sistemin determinantı sıfıra bərabərdirsə, bu halda sistemin ya həlli ola bilməz, ya da sonsuz sayda həlli ola bilər. Bu hallar ayrıca tədqiq olunur və tövsiyə olunan ədəbiyyatda ətraflı tapıla bilər.

Yalnız bir halı qeyd edək:

Əgər sistemin təyinedicisi sıfıra bərabərdirsə (D = 0), əlavə təyinedicilərdən ən azı biri sıfırdan fərqlidirsə, sistemin həlli yoxdur (yəni uyğunsuzdur).

Kramer teoremi n naməlumlu n xətti tənliklər sisteminə ümumiləşdirilə bilər.

Əgər , o zaman sistemə görə yeganə həll yolu tapılır

Kramer düsturları:

Əlavə kvalifikator naməlum üçün əmsallar sütununu ehtiva edərsə D determinantından alınır

xi pulsuz üzvlər sütunu ilə əvəz olunur.

Qeyd edək ki, D, D1, …, Dn determinantları n sıralıdır.

NƏTİCƏ

Mühazirədə yeni anlayış - determinant araşdırılmış, praktikada tez-tez rast gəlinən ikinci və üçüncü dərəcəli determinantlar ətraflı müzakirə edilmişdir. Üçüncü dərəcəli determinant üçün iki hesablama üsulu verilmişdir. Həllin unikal olduğu hal üçün xətti tənliklər sistemlərinin həllinin praktiki yolunu təmin edən Kramer teoremi nəzərdən keçirilir. Tövsiyə olunan ədəbiyyatda bu mövzu haqqında daha çox məlumat əldə edə bilərsiniz.

Oxşar abstraktlar:

Matris və vektorun hasilinin qaydaları, matrisin tərsinin və onun təyinedicisinin tapılması. Elementar matris çevrilmələri: ədədə vurma, cərgələrin toplanması, yenidən təşkili və silinməsi, transpozisiya. Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sisteminin həlli.

Bu mücərrəd ikinci və üçüncü dərəcəli determinantları araşdırır və determinant metodundan istifadə edərək tənliklər sistemlərinin həllinə dair nümunələr verir.

Determinant elementin cəbri tamamlayıcısının təyini, matrisin ölçüsü və növləri. Xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sistemi. Kramer üsulu ilə tənliklər sisteminin həlli. Skalyar və vektor kəmiyyətlər, onların nümunələri, vektor parçalanması.