Xətti bərabərsizliklər sistemləri və qabarıq çoxluqlar. Bərabərsizlik

Quruluş baxımından oxşar olan bərabərsizlikləri necə həll edəcəyini hamı bilmir fərqləndirici xüsusiyyətlər tənliklərlə. Tənlik iki hissədən ibarət bir məşqdir, onların arasında bərabərlik işarəsi var və bərabərsizliyin hissələri arasında "çox" və ya "kiçik" işarəsi ola bilər. Beləliklə, müəyyən bərabərsizliyin həllini tapmazdan əvvəl başa düşməliyik ki, hər iki tərəfi hər hansı bir ifadə ilə çoxaltmaq lazımdırsa, ədədin işarəsini (müsbət və ya mənfi) nəzərə almağa dəyər. Bərabərsizliyi həll etmək üçün kvadratlaşdırma tələb olunarsa, eyni fakt nəzərə alınmalıdır, çünki kvadratlaşdırma vurma yolu ilə həyata keçirilir.

Bərabərsizliklər sistemini necə həll etmək olar

Bərabərsizliklər sistemlərini həll etmək adi bərabərsizliklərdən qat-qat çətindir. Bərabərsizlikləri necə həll etmək olar 9 sinif, gəlin baxaq konkret misallar. Başa düşmək lazımdır ki, kvadrat bərabərsizlikləri (sistemləri) və ya hər hansı digər bərabərsizlik sistemini həll etməzdən əvvəl hər bir bərabərsizliyi ayrıca həll etmək, sonra onları müqayisə etmək lazımdır. Bərabərsizlik sisteminin həlli ya müsbət, ya da mənfi cavab olacaq (sistemin həlli var və ya həlli yoxdur).

Tapşırıq bir sıra bərabərsizlikləri həll etməkdir:

Hər bərabərsizliyi ayrıca həll edək

Bir sıra həlləri təsvir etdiyimiz bir sıra xətti qururuq

Çoxluq həllər çoxluqlarının birliyi olduğundan, say xəttindəki bu çoxluğun altı ən azı bir sətirlə çəkilməlidir.

Modulla bərabərsizliklərin həlli

Bu nümunə modul ilə bərabərsizliklərin necə həll olunacağını göstərəcəkdir. Beləliklə, bir tərifimiz var:

Bərabərsizliyi həll etməliyik:

Belə bərabərsizliyi həll etməzdən əvvəl moduldan (işarədən) xilas olmaq lazımdır.

Tərif məlumatlarına əsaslanaraq yazaq:

İndi sistemlərin hər birini ayrıca həll etməlisiniz.

Həll dəstlərini təsvir etdiyimiz bir ədəd xətti quraq.

Nəticədə, bir çox həlləri birləşdirən kolleksiyamız var.

Kvadrat bərabərsizliklərin həlli

Say xəttindən istifadə edərək kvadrat bərabərsizliklərin həlli nümunəsinə baxaq. Bizdə bərabərsizlik var:

Kvadrat üçhəmin qrafikinin parabola olduğunu bilirik. Parabolanın budaqlarının a>0 olduqda yuxarıya doğru yönəldiyini də bilirik.

x 2 -3x-4< 0

Vyeta teoremindən istifadə edərək x 1 = - 1 köklərini tapırıq; x 2 = 4

Gəlin parabolanı, daha doğrusu, onun eskizini çəkək.

Beləliklə, kvadrat üçbucağın qiymətlərinin – 1-dən 4-ə qədər olan intervalda 0-dan az olacağını öyrəndik.

Bir çox insanın g(x) kimi ikiqat bərabərsizlikləri həll edərkən sualları olur.< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.

Əslində, bərabərsizliklərin həlli üçün bir neçə üsul var, buna görə də mürəkkəb bərabərsizlikləri həll etmək üçün qrafik metoddan istifadə edə bilərsiniz.

Kəsrə bərabərsizliklərin həlli

Fraksiyalı bərabərsizliklər daha diqqətli yanaşma tələb edir. Bu onunla bağlıdır ki, bəzi kəsr bərabərsizliklərinin həlli prosesində işarə dəyişə bilər. Kəsrə bərabərsizlikləri həll etməzdən əvvəl onları həll etmək üçün interval üsulundan istifadə olunduğunu bilmək lazımdır. Kəsr bərabərsizliyi elə təqdim edilməlidir ki, işarənin bir tərəfi kəsr rasional ifadəyə, digər tərəfi isə “- 0” olsun. Bərabərsizliyi bu şəkildə çevirərək, nəticədə f(x)/g(x) > ( alırıq.

İnterval üsulu ilə bərabərsizliklərin həlli

İnterval texnikası tam induksiya metoduna əsaslanır, yəni bərabərsizliyin həllini tapmaq üçün bütün yollardan keçmək lazımdır. mümkün variantlar. Bu həll üsulu 8-ci sinif şagirdləri üçün lazım olmaya bilər, çünki onlar sadə məşqlər olan 8-ci sinif bərabərsizliklərinin həllini bilməlidirlər. Ancaq köhnə siniflər üçün bu üsul əvəzolunmazdır, çünki fraksiya bərabərsizliklərini həll etməyə kömək edir. Bu texnikadan istifadə edərək bərabərsizliklərin həlli, 0-a çevrildiyi dəyərlər arasında işarəni qorumaq kimi davamlı bir funksiyanın belə bir xüsusiyyətinə əsaslanır.

Çoxhədlinin qrafikini quraq. Bu, 0 qiymətini 3 dəfə alan fasiləsiz funksiyadır, yəni polinomun kökləri olan x 1, x 2 və x 3 nöqtələrində f(x) 0-a bərabər olacaqdır. Bu nöqtələr arasındakı intervallarda funksiyanın işarəsi saxlanılır.

f(x)>0 bərabərsizliyini həll etmək üçün funksiyanın işarəsi lazım olduğundan qrafiki tərk edərək koordinat xəttinə keçirik.

x(x 1 ; x 2) və x(x 3 ;) üçün f(x)>0

f(x)x(- ; x 1) və x-də (x 2 ; x 3)

Qrafikdə f(x)f(x)>0 bərabərsizliklərinin həlli aydın şəkildə göstərilir (birinci bərabərsizliyin həlli mavi, ikincinin həlli isə qırmızı rəngdədir). Bir intervalda funksiyanın işarəsini təyin etmək üçün nöqtələrdən birində funksiyanın işarəsini bilmək kifayətdir. Bu texnika sol tərəfin faktorlara bölündüyü bərabərsizlikləri tez həll etməyə imkan verir, çünki belə bərabərsizliklərdə kökləri tapmaq olduqca asandır.

Bu məqalə bərabərsizliklər sistemləri haqqında ilkin məlumat verir. Burada bərabərsizliklər sisteminin tərifi və bərabərsizliklər sisteminin həllinin tərifi verilmişdir. Məktəbdə cəbr dərslərində ən çox işləməli olan əsas sistem növləri də sadalanır və nümunələr verilir.

Səhifə naviqasiyası.

Bərabərsizliklər sistemi nədir?

Bərabərsizlik sistemlərini, tənliklər sisteminin tərifini təqdim etdiyimiz kimi, yəni qeyd növünə və ona daxil edilmiş mənaya görə təyin etmək rahatdır.

Tərif.

Bərabərsizliklər sistemi sol tərəfdə əyri mötərizə ilə birləşdirilmiş və bir-birinin altında yazılmış bir sıra bərabərsizlikləri təmsil edən və sistemin hər bir bərabərsizliyinə eyni vaxtda həll olan bütün həllər çoxluğunu ifadə edən qeyddir.

Gəlin bərabərsizliklər sisteminə misal verək. İki ixtiyari olanı götürək, məsələn, 2 x−3>0 və 5−x≥4 x−11, birini digərinin altına yazın.
2 x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
və sistem işarəsi ilə birləşin - buruq mötərizə, nəticədə aşağıdakı formada bərabərsizliklər sistemi əldə edirik:

Məktəb dərsliklərində bərabərsizliklər sistemləri haqqında da oxşar fikir verilir. Onların təriflərinin daha dar verildiyini qeyd etmək lazımdır: bir dəyişənli bərabərsizliklər üçün və ya iki dəyişən ilə.

Bərabərsizlik sistemlərinin əsas növləri

Aydındır ki, sonsuz sayda müxtəlif bərabərsizliklər sistemi yaratmaq mümkündür. Bu müxtəliflikdə itməmək üçün onları özlərinə məxsus qruplarda nəzərdən keçirmək məsləhətdir fərqləndirici xüsusiyyətlər. Bütün bərabərsizliklər sistemlərini aşağıdakı meyarlara görə qruplara bölmək olar:

• sistemdəki bərabərsizliklərin sayına görə;
• qeyddə iştirak edən dəyişənlərin sayına görə;
• bərabərsizliklərin növünə görə.

Qeydə daxil edilən bərabərsizliklərin sayına əsasən iki, üç, dörd və s. sistemlər fərqləndirilir. bərabərsizliklər Əvvəlki paraqrafda iki bərabərsizlik sistemi olan bir sistem nümunəsi verdik. Dörd bərabərsizlik sisteminin başqa bir nümunəsini göstərək .

Ayrı-ayrılıqda deyəcəyik ki, bu halda təkcə bərabərsizlik sistemindən danışmağın mənası yoxdur, mahiyyət etibarı ilə biz sistemdən deyil, bərabərsizliyin özündən danışırıq;

Dəyişənlərin sayına baxsanız, onda bir, iki, üç və s olan bərabərsizliklər sistemləri var. dəyişənlər (yaxud da dedikləri kimi naməlumlar). Yuxarıda iki paraqrafda yazılmış sonuncu bərabərsizlik sisteminə baxın. Bu, üç dəyişəni x, y və z olan bir sistemdir. Nəzərə alın ki, onun ilk iki bərabərsizliyi hər üç dəyişəni deyil, onlardan yalnız birini ehtiva edir. Bu sistemin kontekstində onlar üç ilə bərabərsizliklər kimi başa düşülməlidir formanın dəyişənləri müvafiq olaraq x+0·y+0·z≥−2 və 0·x+y+0·z≤5. Qeyd edək ki, məktəb bir dəyişənli bərabərsizliklərə diqqət yetirir.

Qeyd sistemlərində hansı növ bərabərsizliklərin iştirak etdiyini müzakirə etmək qalır. Məktəbdə onlar əsasən bir və ya iki dəyişəni olan iki bərabərsizlik (daha az - üç, hətta daha az - dörd və ya daha çox) sistemini nəzərdən keçirirlər və bərabərsizliklərin özləri də adətən olur. bütün bərabərsizliklər birinci və ya ikinci dərəcə (daha az - daha çox). yüksək dərəcələr və ya kəsr rasional). Ancaq Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq materiallarınızda irrasional, loqarifmik, eksponensial və digər bərabərsizlikləri ehtiva edən bərabərsizlik sistemləri ilə rastlaşsanız, təəccüblənməyin. Nümunə olaraq bərabərsizliklər sistemini veririk , -dən götürülür.

Bərabərsizliklər sisteminin həlli nədir?

Bərabərsizlik sistemləri ilə əlaqəli başqa bir tərifi - bərabərsizliklər sisteminin həllinin tərifini təqdim edək:

Tərif.

Bir dəyişənli bərabərsizliklər sisteminin həlli sistemin hər bir bərabərsizliyini doğruya çevirən dəyişənin elə qiyməti adlanır, başqa sözlə, sistemin hər bir bərabərsizliyinin həllidir.

Bir misalla izah edək. Bir dəyişənli iki bərabərsizlik sistemi götürək. Gəlin x dəyişəninin qiymətini 8-ə bərabər götürək, bu, bizim bərabərsizliklər sistemimizin tərifinə görə həllidir, çünki onun sistemin bərabərsizliklərinə əvəz edilməsi iki düzgün ədədi bərabərsizlik 8>7 və 2−3·8≤0 verir. Əksinə, birlik sistemin həlli deyil, çünki onu x dəyişəni ilə əvəz etdikdə birinci bərabərsizlik 1>7 səhv ədədi bərabərsizliyə çevriləcək.

Eynilə, iki, üç və olan bərabərsizliklər sisteminə həllin tərifini təqdim edə bilərik böyük rəqəm dəyişənlər:

Tərif.

İki, üç və s olan bərabərsizliklər sisteminin həlli. dəyişənlər cüt, üç və s. eyni zamanda sistemin hər bərabərsizliyinə həll olan, yəni sistemin hər bir bərabərsizliyini düzgün ədədi bərabərsizliyə çevirən bu dəyişənlərin qiymətləri.

Məsələn, x=1, y=2 və ya başqa qeyddə (1, 2) bir cüt qiymət iki dəyişəni olan bərabərsizliklər sisteminin həllidir, çünki 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Bərabərsizlik sistemlərinin həlli olmaya bilər, məhdud sayda həlli ola bilər və ya sonsuz sayda həlli ola bilər. İnsanlar tez-tez bərabərsizliklər sisteminin həlli yolları haqqında danışırlar. Bir sistemin həlli yoxdursa, onun həllərinin boş dəsti var. Sonlu sayda həll olduqda, həllər çoxluğu məhdud sayda elementləri ehtiva edir və sonsuz sayda həll olduqda, həllər çoxluğu sonsuz sayda elementdən ibarətdir.

Bəzi mənbələr, məsələn, Mordkoviçin dərsliklərində olduğu kimi, bərabərsizliklər sisteminin xüsusi və ümumi həllinin təriflərini təqdim edir. Altında bərabərsizliklər sisteminin özəl həlli onun tək bir qərarını başa düş. Öz növbəsində bərabərsizliklər sisteminin ümumi həlli- bütün bunlar onun şəxsi qərarlarıdır. Bununla belə, bu terminlər yalnız hansı həll yolu haqqında danışdığımızı xüsusi vurğulamaq lazım olduqda məna kəsb edir, lakin adətən bu, kontekstdən aydın olur, buna görə də daha tez-tez sadəcə “bərabərsizliklər sisteminin həlli” deyirlər.

Bu məqalədə təqdim olunan bərabərsizliklər sisteminin təriflərindən və onun həllərindən belə nəticə çıxır ki, bərabərsizliklər sisteminin həlli bu sistemin bütün bərabərsizliklərinin həlli dəstlərinin kəsişməsidir.

İstinadlar.

1. Cəbr: dərslik 8-ci sinif üçün. ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Cəbr: 9-cu sinif: təhsil. ümumi təhsil üçün qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; red. S. A. Telyakovski. - 16-cı nəşr. - M.: Təhsil, 2009. - 271 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkoviç A.G. Cəbr. 9-cu sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 13-cü nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkoviç A.G. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcları. 11-ci sinif. 2 saatda 1-ci hissə. Ümumi təhsil müəssisələrinin tələbələri üçün dərslik (profil səviyyəsi) / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 2-ci nəşr, silinib. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Vahid Dövlət İmtahanı-2013. Riyaziyyat: standart imtahan variantları: 30 variant / red. A. L. Semenova, I. V. Yaşçenko. – M.: “Milli təhsil” nəşriyyatı, 2012. – 192 s. – (USE-2013. FIPI - məktəb).

Tərif 1 . Kosmosdakı nöqtələr dəsti R koordinatları tənliyi təmin edən n A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n = b, adlanır ( n - 1 )-ölçülü hiperplan n-ölçülü məkan.

Teorem 1. Hiperplan bütün məkanı iki yarım fəzaya bölür. Yarım boşluq qabarıq çoxluqdur.

Sonlu sayda yarım fəzanın kəsişməsi qabarıq çoxluqdur.

Teorem 2 . ilə xətti bərabərsizliyin həlli n naməlum

A 1 X 1 + a 2 X 2 +…+ a n x n b

bütün fəzanın hipermüstəvi ilə bölündüyü yarım fəzalardan biridir

A 1 X 1 + A 2 X 2 +…+a n x n= b.

sistemini nəzərdən keçirək m ilə xətti bərabərsizliklər n naməlum.

Sistemdəki hər bir bərabərsizliyin həlli müəyyən bir yarım fəzadır. Sistemin həlli bütün yarım fəzaların kəsişməsi olacaq. Bu dəst qapalı və qabarıq olacaq.

Xətti bərabərsizliklər sistemlərinin həlli

iki dəyişən ilə

Bizə bir sistem verilsin m iki dəyişənli xətti bərabərsizliklər.

Hər bir bərabərsizliyin həlli bütün təyyarənin müvafiq düz xəttlə bölündüyü yarımmüstəvilərdən biri olacaqdır. Sistemin həlli bu yarım təyyarələrin kəsişməsi olacaq. Bu problem bir təyyarədə qrafik olaraq həll edilə bilər X 1 0 X 2 .

37. Qabarıq çoxbucaqlının təsviri

Tərif 1. bağlıdır qabarıq məhdud təyinat R n sonlu ədədi olan künc nöqtələri, qabarıq adlanır n-ölçülü çoxüzlü.

Tərif 2 . Qapalı qabarıq sərhədsiz quraşdırılmışdır R Sonlu sayda künc nöqtəsi olan n qabarıq çoxüzlü bölgə adlanır.

Tərif 3 . Çox AR varsa, n məhdud adlanır n-bu dəsti ehtiva edən ölçülü top.

Tərif 4. Nöqtələrin qabarıq xətti kombinasiyası t i , olduğu ifadədir.

Teorem (qabarıq çoxbucaqlının təsviri haqqında teorem). Qabarıq çoxbucaqlının istənilən nöqtəsi onun künc nöqtələrinin qabarıq xətti kombinasiyası kimi təqdim edilə bilər.

38. Tənliklər və bərabərsizliklər sisteminin yol verilən həllər bölgəsi.

Bizə bir sistem verilsin m ilə xətti tənliklər və bərabərsizliklər n naməlum.

Tərif 1 . Nöqtə RƏgər onun koordinatları sistemin tənliklərini və bərabərsizliklərini ödəyirsə, n sistemin mümkün həlli adlanır. Bütün mümkün həllər toplusuna sistemin mümkün həllər sahəsi (PSA) deyilir.

Tərif 2. Koordinatları mənfi olmayan mümkün həllə sistemin mümkün həlli deyilir. Bütün mümkün həllər toplusuna sistemin mümkün həll sahəsi (ADA) deyilir.

Teorem 1 . ODR qapalı, qabarıq, məhdud (və ya qeyri-məhdud) alt çoxluqdur R n.

Teorem 2. Sistemin icazə verilən həlli o halda istinad həllidir ki, bu nöqtə ODS-nin künc nöqtəsi olsun.

Teorem 3 (ODR-in təmsili haqqında teorem). ODS məhdud bir çoxluqdursa, hər hansı bir mümkün həll ODS-nin künc nöqtələrinin qabarıq xətti birləşməsi kimi təqdim edilə bilər (sistemin dayaq həllərinin qabarıq xətti birləşməsi şəklində).

Teorem 4 (sistemin dayaq həllinin mövcudluğu haqqında teorem). Sistemdə ən azı bir məqbul həll (ADS) varsa, o zaman icazə verilən həllər arasında ən azı bir istinad həlli var.

Bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri əhatə olunan mövzulardan biridir orta məktəb cəbrdə. Çətinlik səviyyəsinə gəldikdə, bu, ən çətin deyil, çünki sadə qaydaları var (onlar haqqında bir az sonra). Bir qayda olaraq, məktəblilər bərabərsizlik sistemlərini asanlıqla həll etməyi öyrənirlər. Bu həm də ondan irəli gəlir ki, müəllimlər sadəcə olaraq bu mövzuda şagirdlərinə “məşq edir”. Və bunu etməyə kömək edə bilməzlər, çünki gələcəkdə digər riyazi kəmiyyətlərdən istifadə edərək öyrənilir və Vahid Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanında da sınaqdan keçirilir. Məktəb dərsliklərində bərabərsizliklər və bərabərsizliklər sistemləri mövzusu çox təfərrüatlı şəkildə işıqlandırılır, ona görə də onu öyrənmək niyyətindəsinizsə, onlara müraciət etmək daha yaxşıdır. Bu məqalə yalnız daha böyük materialı ümumiləşdirir və bəzi çatışmazlıqlar ola bilər.

Bərabərsizliklər sistemi anlayışı

Elmi dilə müraciət etsək, “bərabərsizliklər sistemi” anlayışını müəyyən edə bilərik. Bu, bir neçə bərabərsizliyi təmsil edən riyazi modeldir. Bu model, əlbəttə ki, həll tələb edir və bu, tapşırıqda təklif olunan sistemin bütün bərabərsizlikləri üçün ümumi cavab olacaqdır (adətən bu, orada yazılır, məsələn: “4 x + 1 bərabərsizliklər sistemini həll edin > 2 və 30 - x > 6... "). Ancaq həllərin növlərinə və üsullarına keçməzdən əvvəl başqa bir şeyi başa düşməlisiniz.

Bərabərsizliklər sistemləri və tənliklər sistemləri

Yeni mövzu öyrənərkən tez-tez anlaşılmazlıqlar yaranır. Bir tərəfdən hər şey aydındır və siz mümkün qədər tez tapşırıqların həllinə başlamaq istəyirsiniz, amma digər tərəfdən bəzi məqamlar “kölgədə” qalır və tam başa düşülmür. Həmçinin, artıq əldə edilmiş biliklərin bəzi elementləri yeniləri ilə iç-içə ola bilər. Bu “üst-üstə düşmə” nəticəsində tez-tez xətalar baş verir.

Buna görə də, mövzumuzu təhlil etməyə başlamazdan əvvəl tənliklər və bərabərsizliklər və onların sistemləri arasındakı fərqləri xatırlamalıyıq. Bunun üçün bu riyazi anlayışların nəyi ifadə etdiyini bir daha izah etməliyik. Tənlik həmişə bərabərlikdir və həmişə nəyəsə bərabərdir (riyaziyyatda bu söz “=" işarəsi ilə işarələnir). Bərabərsizlik, bir dəyərin digərindən böyük və ya kiçik olduğu və ya onların eyni olmadığına dair bir ifadə ehtiva edən bir modeldir. Beləliklə, birinci halda bərabərlikdən, ikincidə isə adın özündən nə qədər açıq səslənsə də, ilkin məlumatların bərabərsizliyindən danışmaq yerinə düşər. Tənliklər və bərabərsizliklər sistemləri praktiki olaraq bir-birindən fərqlənmir və onların həlli üsulları eynidir. Yeganə fərq ondadır ki, birinci halda bərabərliklər, ikinci halda isə bərabərsizliklər istifadə olunur.

Bərabərsizliklərin növləri

İki növ bərabərsizlik var: ədədi və naməlum dəyişənli. Birinci növ bir-birinə bərabər olmayan verilən dəyərləri (rəqəmləri) təmsil edir, məsələn, 8 > 10. İkincisi, naməlum dəyişəni (bəzi hərflə işarələnmiş) olan bərabərsizliklərdir. Latın əlifbası, ən çox X). Bu dəyişəni tapmaq lazımdır. Onların sayından asılı olaraq riyazi model bir ilə bərabərsizlikləri (bir dəyişənli bərabərsizliklər sistemini təşkil edir) və ya bir neçə dəyişənli (bir neçə dəyişənli bərabərsizliklər sistemini təşkil edirlər) ayırır.

iki sonuncu növü Quruluş dərəcəsindən və mürəkkəblik səviyyəsindən asılı olaraq həllər sadə və mürəkkəb bölünür. Sadə olanlara xətti bərabərsizliklər də deyilir. Onlar da öz növbəsində sərt və qeyri-ciddi bölünürlər. Ciddi olanlar xüsusi olaraq "deyirlər" ki, bir kəmiyyət mütləq ya az, ya da çox olmalıdır, buna görə də bu, təmiz forma bərabərsizlik. Bir neçə misal göstərmək olar: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 və s. Qeyri-ciddi olanlara bərabərlik də daxildir. Yəni, bir qiymət digər qiymətdən böyük və ya ona bərabər ola bilər (“≥” işarəsi) və ya digər qiymətdən (“≤” işarəsi) kiçik və ya ona bərabər ola bilər. Hətta xətti bərabərsizliklərdə dəyişən nə kökdə, nə kvadratda, nə də heç bir şeyə bölünmür, buna görə də onlar “sadə” adlanır. Mürəkkəb olanlar tapmaq üçün daha çox riyaziyyat tələb edən naməlum dəyişənləri əhatə edir. Onlar tez-tez kvadratda, kubda və ya kök altında yerləşirlər, modul, loqarifmik, kəsr və s. . Ancaq bundan əvvəl onların xüsusiyyətləri haqqında bir neçə söz söyləmək lazımdır.

Bərabərsizliklərin xassələri

Bərabərsizliklərin xüsusiyyətlərinə aşağıdakılar daxildir:

1. Tərəflərin sırasını dəyişdirmək üçün əməliyyatdan istifadə edilərsə, bərabərsizlik işarəsi tərsinə çevrilir (məsələn, t 1 ≤ t 2, onda t 2 ≥ t 1).
2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni ədədi özünə əlavə etməyə imkan verir (məsələn, t 1 ≤ t 2, onda t 1 + ədəd ≤ t 2 + ədəd).
3. Eyni istiqamətdə işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik onların sol və sağ tərəflərini əlavə etməyə imkan verir (məsələn, əgər t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, onda t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni şeyə vurula və ya bölünə bilər müsbət rəqəm(məsələn, t 1 ≤ t 2 və rəqəm ≤ 0 olarsa, o zaman ədəd · t 1 ≥ ədəd · t 2).
5. Müsbət şərtləri və eyni istiqamətdə işarəsi olan iki və ya daha çox bərabərsizlik özünü bir-birinə vurmağa imkan verir (məsələn, əgər t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 sonra t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
6. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi eyni şeyə vurula və ya bölünə bilər mənfi rəqəm, lakin bu halda bərabərsizliyin işarəsi dəyişir (məsələn, t 1 ≤ t 2 və rəqəm ≤ 0 olarsa, onda · t 1 ≥ ədəd · t 2).
7. Bütün bərabərsizliklər keçid xassəsinə malikdir (məsələn, əgər t 1 ≤ t 2 və t 2 ≤ t 3, onda t 1 ≤ t 3).

İndi bərabərsizliklərlə bağlı nəzəriyyənin əsas prinsiplərini öyrəndikdən sonra birbaşa onların sistemlərinin həlli qaydalarının nəzərdən keçirilməsinə keçə bilərik.

Bərabərsizlik sistemlərinin həlli. Ümumi məlumat. Həll yolları

Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, həll, verilən sistemin bütün bərabərsizlikləri üçün uyğun olan dəyişənin qiymətləridir. Bərabərsizlik sistemlərinin həlli son nəticədə bütün sistemin həllinə gətirib çıxaran və ya onun həlli olmadığını sübut edən riyazi əməliyyatların həyata keçirilməsidir. Bu vəziyyətdə, dəyişənin boş ədədi çoxluğa aid olduğunu söyləyirlər (aşağıdakı kimi yazılır: dəyişəni bildirən hərf∈ (“aiddir” işarəsi) ø (“boş çoxluq” işarəsi), məsələn, x ∈ ø (oxu: “x” dəyişəni boş çoxluğa aiddir”). Bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin bir neçə yolu var: qrafik, cəbri, əvəzetmə üsulu. Onların arasında onların da olduğunu qeyd etmək yerinə düşər riyazi modellər, bir neçə naməlum dəyişənə malikdir. Yalnız birinin olduğu halda, interval üsulu uyğun gəlir.

Qrafik üsul

Bir neçə naməlum kəmiyyətli (iki və yuxarıdan) bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Bu üsul sayəsində xətti bərabərsizliklər sistemi kifayət qədər asan və tez həll oluna bilər, ona görə də ən çox yayılmış üsuldur. Bu onunla izah olunur ki, qrafikin çəkilməsi riyazi əməliyyatların yazılmasının həcmini azaldır. Qələmdən bir az ara vermək, hökmdarla qələm götürmək və çox iş görüləndə və bir az müxtəliflik istəyəndə onların köməyi ilə sonrakı hərəkətlərə başlamaq xüsusilə xoş olur. Lakin bu üsul bəzi insanların xoşuna gəlmir, çünki onlar tapşırığı yerinə yetirməkdən qopub zehni fəaliyyətini rəsmə keçirməli olurlar. Ancaq bu çox təsirli bir üsuldur.

Qrafik metoddan istifadə edərək bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün hər bir bərabərsizliyin bütün şərtlərini onların sol tərəfinə köçürmək lazımdır. İşarələr tərsinə çevriləcək, sıfır sağda yazılmalı, sonra hər bərabərsizliyin ayrıca yazılması lazımdır. Nəticədə bərabərsizliklərdən funksiyalar alınacaq. Bundan sonra bir qələm və bir hökmdar çıxara bilərsiniz: indi əldə edilən hər bir funksiyanın qrafikini çəkmək lazımdır. Onların kəsişmə intervalında olacaq bütün ədədlər dəsti bərabərsizliklər sisteminin həlli olacaqdır.

Cəbri yol

İki naməlum dəyişəni olan bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Həmçinin bərabərsizliklər eyni bərabərsizlik işarəsinə malik olmalıdır (yəni onlar ya yalnız “böyük” işarəsini, ya da “kiçik” işarəsini və s. ehtiva etməlidirlər) Məhdudiyyətlərinə baxmayaraq, bu üsul da daha mürəkkəbdir. İki mərhələdə tətbiq olunur.

Birincisi, naməlum dəyişənlərdən birindən xilas olmaq üçün hərəkətləri əhatə edir. Əvvəlcə onu seçməlisiniz, sonra bu dəyişənin qarşısında nömrələrin olub olmadığını yoxlayın. Əgər onlar yoxdursa (onda dəyişən tək hərf kimi görünəcək), onda biz heç nəyi dəyişmirik, əgər varsa (dəyişənin növü, məsələn, 5y və ya 12y olacaq), onda bunu etmək lazımdır. əmin olun ki, hər bir bərabərsizlikdə seçilmiş dəyişənin qarşısındakı ədəd eynidir. Bunu etmək üçün bərabərsizliklərin hər bir həddini vurmaq lazımdır ümumi çarpan, məsələn, birinci bərabərsizlikdə 3y, ikincidə 5y yazılıbsa, onda birinci bərabərsizliyin bütün şərtlərini 5-ə, ikincisini isə 3-ə vurmaq lazımdır. Nəticə müvafiq olaraq 15y və 15y-dir.

Həllin ikinci mərhələsi. Hər bir bərabərsizliyin sol tərəfini onların sağ tərəflərinə köçürmək, hər bir terminin işarəsini əks tərəfə dəyişdirmək və sağ tərəfə sıfır yazmaq lazımdır. Sonra əyləncəli hissə gəlir: bərabərsizlikləri əlavə edərkən seçilmiş dəyişəndən (başqa şəkildə “azalma” kimi tanınır) xilas olmaq. Bu, həll edilməli olan bir dəyişən ilə bərabərsizliklə nəticələnir. Bundan sonra, eyni şeyi, yalnız başqa bir naməlum dəyişən ilə etməlisiniz. Alınan nəticələr sistemin həlli olacaqdır.

Əvəzetmə üsulu

Yeni dəyişən təqdim etmək mümkün olarsa, bərabərsizliklər sistemini həll etməyə imkan verir. Tipik olaraq, bu üsul bərabərsizliyin bir üzvündə naməlum dəyişən dördüncü dərəcəyə qaldırıldıqda, digər termində isə kvadratlaşdırıldıqda istifadə olunur. Beləliklə, bu üsul sistemdəki bərabərsizliklərin dərəcəsini azaltmağa yönəldilmişdir. Nümunə bərabərsizliyi x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 bu şəkildə həll edilir. Yeni dəyişən təqdim olunur, məsələn t. Onlar yazır: “Qoy t = x 2”, sonra model yeni formada yenidən yazılır. Bizim vəziyyətimizdə t 2 - t - 1 ≤0 alırıq. Bu bərabərsizliyi interval metodundan istifadə etməklə həll etmək lazımdır (bu barədə bir az sonra), sonra X dəyişəninə qayıtmaq, sonra digər bərabərsizliklə eyni şeyi etmək lazımdır. Alınan cavablar sistemin həlli olacaq.

İnterval üsulu

Bu, bərabərsizliklər sistemlərinin həllinin ən sadə yoludur və eyni zamanda universal və geniş yayılmışdır. Orta məktəblərdə və hətta ali məktəblərdə istifadə olunur. Onun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, şagird dəftərdə çəkilmiş ədəd xəttində bərabərsizlik intervallarını axtarır (bu, qrafik deyil, sadəcə ədədlərdən ibarət adi xəttdir). Bərabərsizliklərin intervallarının kəsişdiyi yerdə sistemin həlli tapılır. Interval metodundan istifadə etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirməlisiniz:

1. Hər bərabərsizliyin bütün şərtləri işarəsi əks tərəfə dəyişməklə (sağda sıfır yazılır) sol tərəfə köçürülür.
2. Bərabərsizliklər ayrıca yazılır və onların hər birinin həlli müəyyən edilir.
3. Say xəttində bərabərsizliklərin kəsişmə nöqtələri tapılır. Bu kəsişmələrdə yerləşən bütün nömrələr həll yolu olacaqdır.

Hansı üsuldan istifadə etməliyəm?

Aydındır ki, ən asan və ən rahat görünən, lakin tapşırıqların müəyyən bir üsul tələb etdiyi hallar var. Çox vaxt deyirlər ki, ya qrafikdən, ya da interval metodundan istifadə etməklə həll etmək lazımdır. Cəbri üsul və əvəzetmə çox nadir hallarda istifadə olunur və ya ümumiyyətlə istifadə edilmir, çünki onlar olduqca mürəkkəb və çaşdırıcıdır və bundan əlavə, onlar bərabərsizlikləri deyil, tənliklər sistemlərini həll etmək üçün daha çox istifadə olunur, buna görə də qrafiklər və intervallar çəkməyə müraciət etməlisiniz. Onlar aydınlıq gətirirlər ki, bu da riyazi əməliyyatların səmərəli və sürətli yerinə yetirilməsinə kömək edə bilməz.

Əgər bir şey alınmırsa

Cəbrdə müəyyən bir mövzu öyrənilərkən təbii olaraq onun başa düşülməsində problemlər yarana bilər. Bu da normaldır, çünki beynimiz elə qurulub ki, mürəkkəb materialı bir anda dərk edə bilməyəcək. Tez-tez bir paraqrafı yenidən oxumaq, müəllimdən kömək almaq və ya standart tapşırıqları həll etmək üçün məşq etmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə, məsələn, belə görünürlər: "3 x + 1 ≥ 0 və 2 x - 1 > 3 bərabərsizliklər sistemini həll edin." Beləliklə, şəxsi istək, kənardan kömək və təcrübə istənilən mürəkkəb mövzunu başa düşməyə kömək edir.

Həlledici?

Həll kitabı da çox uyğundur, lakin ev tapşırığını kopyalamaq üçün deyil, özünə kömək etmək üçün. Onlarda bir həlli olan bərabərsizliklər sistemlərini tapa bilərsiniz, onlara (şablon kimi) baxa bilərsiniz, həllin müəllifinin tapşırığın öhdəsindən necə gəldiyini dəqiq anlamağa çalışın və sonra eyni şeyi özünüz etməyə çalışın.

Nəticələr

Cəbr məktəbdə ən çətin fənlərdən biridir. Yaxşı, nə edə bilərsən? Riyaziyyat həmişə belə olub: bəziləri üçün asan, bəziləri üçün isə çətindir. Amma hər halda yadda saxlamaq lazımdır ki, ümumi təhsil proqramı elə qurulub ki, istənilən şagird onun öhdəsindən gələ bilsin. Bundan əlavə, çoxlu sayda köməkçiləri nəzərə almaq lazımdır. Onlardan bəziləri yuxarıda qeyd edilmişdir.

Həmçinin bax: Xətti proqramlaşdırma məsələsinin qrafik şəkildə həlli, Xətti proqramlaşdırma məsələlərinin kanonik forması

Belə bir problem üçün məhdudiyyətlər sistemi iki dəyişəndəki bərabərsizliklərdən ibarətdir:
Və məqsəd funksiyası kimi görünür F = C 1 x + C 2 y hansını maksimuma çatdırmaq lazımdır.

Gəlin suala cavab verək: hansı cüt nömrələr ( x; y) bərabərsizliklər sisteminin həlli yollarıdır, yəni bərabərsizliklərin hər birini eyni vaxtda ödəyirmi? Başqa sözlə, sistemi qrafik şəkildə həll etmək nə deməkdir?
Əvvəlcə iki naməlumlu bir xətti bərabərsizliyin həllinin nə olduğunu başa düşməlisiniz.
İki naməlum olan xətti bərabərsizliyin həlli bərabərsizliyin mövcud olduğu bütün naməlum qiymət cütlərini təyin etmək deməkdir.
Məsələn, bərabərsizlik 3 x – 5y≥ 42 cütləri təmin edir ( x , y): (100, 2); (3, –10) və s. Tapşırıq bütün belə cütləri tapmaqdır.
İki bərabərsizliyi nəzərdən keçirək: balta + tərəfindən≤ c, balta + tərəfindən≥ c. Düz balta + tərəfindən = c müstəvini iki yarım müstəviyə bölür ki, onlardan birinin nöqtələrinin koordinatları bərabərsizliyi təmin etsin. balta + tərəfindən >c, və digər bərabərsizlik balta + +tərəfindən <c.
Həqiqətən, gəlin koordinatı olan bir nöqtəni götürək x = x 0 ; sonra bir xətt üzərində uzanan və absis olan nöqtə x 0, ordinata malikdir

Qoy əminlik üçün a< 0, b>0, c>0. Absis ilə bütün nöqtələr x 0 yuxarıda uzanır P(məsələn, nöqtə M), var y M>y 0 və nöqtənin altındakı bütün nöqtələr P, absis ilə x 0, var y N<y 0 . Çünki x 0 ixtiyari bir nöqtədir, o zaman xəttin bir tərəfində həmişə nöqtələr olacaqdır balta+ tərəfindən > c, yarım müstəvi təşkil edir və digər tərəfdən - bunun üçün nöqtələr balta + tərəfindən< c.

Şəkil 1

Yarım müstəvidə bərabərsizlik işarəsi ədədlərdən asılıdır a, b , c.
Bu, iki dəyişənli xətti bərabərsizliklər sistemlərinin qrafik həlli üçün aşağıdakı metodu nəzərdə tutur. Sistemi həll etmək üçün sizə lazımdır:

1. Hər bərabərsizlik üçün bu bərabərsizliyə uyğun tənliyi yazın.
2. Tənliklərlə müəyyən edilmiş funksiyaların qrafikləri olan düz xətlər qurun.
3. Hər bir xətt üçün bərabərsizliklə verilən yarım müstəvini təyin edin. Bunu etmək üçün bir xətt üzərində olmayan ixtiyari bir nöqtə götürün və onun koordinatlarını bərabərsizliyə əvəz edin. bərabərsizlik doğrudursa, seçilmiş nöqtəni ehtiva edən yarımmüstəvi orijinal bərabərsizliyin həllidir. Əgər bərabərsizlik yanlışdırsa, onda xəttin digər tərəfindəki yarım müstəvi bu bərabərsizliyin həlli çoxluğudur.
4. Bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün sistemin hər bir bərabərsizliyinin həlli olan bütün yarım müstəvilərin kəsişmə sahəsini tapmaq lazımdır.

Bu sahə boş ola bilər, onda bərabərsizliklər sisteminin həlli yoxdur və uyğunsuzdur. Əks halda sistemin ardıcıl olduğu deyilir.
Sonlu sayda və ya sonsuz sayda həll yolu ola bilər. Sahə qapalı çoxbucaqlı və ya sərhədsiz ola bilər.

Gəlin üç müvafiq nümunəyə baxaq.

Nümunə 1. Sistemi qrafik şəkildə həll edin:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x - 2y + 5 ≤ 0.

• bərabərsizliklərə uyğun olan x+y–1=0 və –2x–2y+5=0 tənliklərini nəzərdən keçirin;
• Bu tənliklərin verdiyi düz xətləri quraq.

Şəkil 2

Bərabərsizliklərlə təyin olunan yarımmüstəviləri təyin edək. İxtiyari bir nöqtə götürək, qoy (0; 0). Gəlin nəzərdən keçirək x+ y– 1 0, (0; 0) nöqtəsini əvəz edin: 0 + 0 – 1 ≤ 0. Bu o deməkdir ki, (0; 0) nöqtəsinin yerləşdiyi yarımmüstəvidə, x + y – 1 ≤ 0, yəni. xəttin altında yerləşən yarımmüstəvi birinci bərabərsizliyin həllidir. Bu nöqtəni (0; 0) ikinci ilə əvəz edərək, alırıq: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, yəni. (0; 0) nöqtəsinin yerləşdiyi yarımmüstəvidə, –2 x – 2y+ 5≥ 0 və bizdən harada –2 soruşdular x – 2y+ 5 ≤ 0, buna görə də, digər yarımmüstəvidə - düz xəttin üstündəki birində.
Bu iki yarım müstəvinin kəsişməsini tapaq. Xətlər paraleldir, ona görə də müstəvilər heç bir yerdə kəsişmir, bu o deməkdir ki, bu bərabərsizliklər sisteminin həlli yoxdur və uyğunsuzdur.

Misal 2. Bərabərsizliklər sisteminin qrafik həllərini tapın:

Şəkil 3
1. Bərabərsizliklərə uyğun tənlikləri yazaq və düz xətlər quraq.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. (0; 0) nöqtəsini seçərək yarımmüstəvilərdə bərabərsizliklərin əlamətlərini təyin edirik:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, yəni. x + 2y– düz xəttin altındakı yarımmüstəvidə 2 ≤ 0;
0 – 0 – 1 ≤ 0, yəni. y –x– düz xəttin altındakı yarımmüstəvidə 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, yəni. y Düz xəttin üstündəki yarım müstəvidə + 2 ≥ 0.
3. Bu üç yarımmüstəvilərin kəsişməsi üçbucaqlı bir sahə olacaq. Bölgənin təpələrini müvafiq xətlərin kəsişmə nöqtələri kimi tapmaq çətin deyil


Beləliklə, A(–3; –2), IN(0; 1), İLƏ(6; –2).

Sistemin nəticədə həll sahəsinin məhdud olmadığı başqa bir nümunəyə baxaq.