Eksenel simmetriya nisbətən düzdür. Simmetriya oxları

Bu dərsdə bəzi fiqurların başqa bir xüsusiyyətinə - eksenel və mərkəzi simmetriyaya baxacağıq. Hər gün güzgüyə baxdığımız zaman eksenel simmetriya ilə qarşılaşırıq. Mərkəzi simmetriya canlı təbiətdə çox yaygındır. Eyni zamanda, simmetriyaya malik olan fiqurlar bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir. Bundan əlavə, daha sonra öyrənəcəyik ki, eksenel və mərkəzi simmetriyalar bütün sinif problemlərin həll olunduğu hərəkət növləridir.

Bu dərs eksenel və mərkəzi simmetriyaya həsr edilmişdir.

Tərif

İki nöqtə deyilir simmetrik nisbətən düz, əgər:

Şəkildə. 1 düz xəttə nisbətən simmetrik olan nöqtələrin nümunələrini göstərir və , və .

düyü. 1

Bir faktı da qeyd edək ki, xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir.

Fiqurlar düz xəttə nisbətən simmetrik də ola bilər.

Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir düzə nisbətən simmetrikdir, əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün bu düz xəttə nisbətən ona simmetrik olan nöqtə də fiqura aiddir. Bu vəziyyətdə xətt çağırılır simmetriya oxu. Fiqur var eksenel simmetriya.

Eksenel simmetriyaya malik olan fiqurların və onların simmetriya oxlarının bir neçə nümunəsinə baxaq.

Misal 1

Bucaq eksenel simmetriyaya malikdir. Bucağın simmetriya oxu bissektrisadır. Həqiqətən: bucağın hər hansı bir nöqtəsindən bissektrisa perpendikulyarını aşağı salaq və onu bucağın digər tərəfi ilə kəsişənə qədər uzataq (bax şək. 2).

düyü. 2

(çünki - ümumi tərəf, (bissektrisin xassəsi) və üçbucaqlar düzbucaqlıdır). O deməkdir ki, . Buna görə də nöqtələr bucağın bissektrisasına nisbətən simmetrikdir.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ikitərəfli üçbucaq da bazaya çəkilmiş bissektrisa (yüksəklik, median) ilə bağlı ox simmetriyasına malikdir.

Misal 2

Bərabərtərəfli üçbucağın üç simmetriya oxu var (üç bucağın hər birinin bissektrisaları/medianları/yüksəklikləri (bax. Şəkil 3).

düyü. 3

Misal 3

Düzbucaqlıda iki simmetriya oxu var, onların hər biri onun iki əks tərəfinin orta nöqtələrindən keçir (bax şək. 4).

düyü. 4

Misal 4

Rombun da iki simmetriya oxu var: onun diaqonallarını ehtiva edən düz xətlər (bax. Şəkil 5).

düyü. 5

Misal 5

Həm romb, həm də düzbucaqlı olan kvadrat 4 simmetriya oxuna malikdir (bax şək. 6).

düyü. 6

Misal 6

Bir dairə üçün simmetriya oxu onun mərkəzindən keçən hər hansı bir düz xəttdir (yəni dairənin diametrini ehtiva edir). Buna görə də çevrə sonsuz sayda simmetriya oxlarına malikdir (bax şək. 7).

düyü. 7

İndi konsepsiyaya nəzər salaq mərkəzi simmetriya.

Tərif

Nöqtələr deyilir simmetrik nöqtəsinə nisbətən əgər: - seqmentin ortası.

Bir neçə nümunəyə baxaq: Şek. 8 nöqtəsinə görə simmetrik olan və , eləcə də və nöqtələrini və bu nöqtəyə görə simmetrik olmayan nöqtələri göstərir.

düyü. 8

Bəzi fiqurlar müəyyən bir nöqtəyə görə simmetrikdir. Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir nöqtəyə görə simmetrikdir, əgər fiqurun hər hansı nöqtəsi üçün ona simmetrik olan nöqtə də bu fiqura aiddirsə. Nöqtə deyilir simmetriya mərkəzi, və rəqəm var mərkəzi simmetriya.

Mərkəzi simmetriyaya malik fiqurların nümunələrinə baxaq.

Misal 7

Bir dairə üçün simmetriyanın mərkəzi çevrənin mərkəzidir (bunu çevrənin diametri və radiusunun xassələrini xatırlamaqla sübut etmək asandır) (bax. Şəkil 9).

düyü. 9

Misal 8

Paraleloqram üçün simmetriyanın mərkəzi diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir (bax. Şəkil 10).

düyü. 10

Eksenel və mərkəzi simmetriya ilə bağlı bir neçə məsələni həll edək.

Tapşırıq 1.

Seqmentin neçə simmetriya oxu var?

Seqmentin iki simmetriya oxu var. Bunlardan birincisi seqmenti ehtiva edən xəttdir (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). İkincisi, seqmentə perpendikulyar bisektor, yəni seqmentə perpendikulyar olan və onun ortasından keçən düz xəttdir.

Cavab: 2 simmetriya oxu.

Tapşırıq 2.

Düz xəttin neçə simmetriya oxu var?

Düz xəttin sonsuz sayda simmetriya oxları var. Onlardan biri xəttin özüdür (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). Həm də simmetriya oxları verilmiş xəttə perpendikulyar olan istənilən xətlərdir.

Cavab: sonsuz sayda simmetriya oxları var.

Tapşırıq 3.

Şüanın neçə simmetriya oxu var?

Şüa bir simmetriya oxuna malikdir, o, şüanı ehtiva edən xəttlə üst-üstə düşür (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir).

Cavab: bir simmetriya oxu.

Tapşırıq 4.

Rombun diaqonallarını ehtiva edən xətlərin onun simmetriya oxları olduğunu sübut edin.

Sübut:

Bir romb düşünün. Məsələn, düz xəttin onun simmetriya oxu olduğunu sübut edək. Aydındır ki, nöqtələr bu xətt üzərində yerləşdiyi üçün özlərinə simmetrikdirlər. Bundan əlavə, və nöqtələri bu xəttə nisbətən simmetrikdir, çünki . İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də romba aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 11).

düyü. 11

Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar çəkin və ilə kəsişənə qədər uzatın. Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bu üçbucaqlar düzbucaqlıdır (konstruksiyasına görə), əlavə olaraq, bunlar var: - ümumi ayaq və (çünki rombun diaqonalları onun bissektrisalarıdır). Beləliklə, bu üçbucaqlar bərabərdir: . Bu o deməkdir ki, onların bütün uyğun elementləri bərabərdir, buna görə də: . Bu seqmentlərin bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, və nöqtələri düz xəttə nisbətən simmetrikdir. Bu o deməkdir ki, o, rombun simmetriya oxudur. Bu faktı ikinci diaqonal üçün də eyni şəkildə sübut etmək olar.

Sübut edilmişdir.

Tapşırıq 5.

Sübut edin ki, paraleloqramın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir.

Sübut:

Paraleloqramı nəzərdən keçirək. Nöqtənin onun simmetriya mərkəzi olduğunu sübut edək. Aydındır ki, paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə yarıya bölündüyü üçün və , və nöqtələri nöqtəsinə görə qoşa simmetrikdir. İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də paraleloqrama aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 12).

g sabit xətt olsun (şək. 191). İxtiyari X nöqtəsini götürək və AX perpendikulyarını g düz xəttinə alaq. A nöqtəsindən kənara perpendikulyarın davamında biz AX seqmentinə bərabər olan AX" seqmentini çəkirik. X nöqtəsi g düz xəttinə nisbətən X nöqtəsinə simmetrik adlanır.

Əgər X nöqtəsi g xətti üzərində yerləşirsə, onda onun simmetrik nöqtəsi X nöqtəsinin özüdür simmetrik nöqtə X" X nöqtəsidir.

F fiqurunun hər bir X nöqtəsinin verilmiş g düz xəttinə nisbətən simmetrik X nöqtəsinə getdiyi F fiquruna çevrilməsi g düz xəttinə nisbətən simmetriya çevrilməsi adlanır. Bu zaman F və F" fiqurları g düz xəttinə nisbətən simmetrik adlanır (şək. 192).

Əgər g xəttinə münasibətdə simmetriyanın çevrilməsi F fiqurunu özünə götürürsə, bu rəqəm g xəttinə nisbətən simmetrik, g xətti isə fiqurun simmetriya oxu adlanır.

Məsələn, düzbucaqlının kənarlarına paralel olan diaqonallarının kəsişmə nöqtəsindən keçən düz xətlər düzbucağın simmetriya oxlarıdır (şək. 193). Rombun diaqonallarının yerləşdiyi düz xətlər onun simmetriya oxlarıdır (şək. 194).

Teorem 9.3. Düz xətt ətrafında simmetriyanın çevrilməsi bir hərəkətdir.

Sübut. Bu düz xətti Dekart koordinat sisteminin y oxu kimi götürək (şək. 195). F fiqurunun ixtiyari A (x; y) nöqtəsi F" fiqurunun A" (x"; y") nöqtəsinə getsin. Düz xəttə münasibətdə simmetriyanın tərifindən belə çıxır ki, A və A" nöqtələri bərabər ordinatlara malikdir və absislər yalnız işarə ilə fərqlənir:

x"= -x.
İki ixtiyari nöqtəni götürək A(x 1; y 1) və B (x 2; y 2) - Onlar A" (- x 1, y 1) və B" (-x 2; y 2) nöqtələrinə gedəcəklər.

AB 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
A"B" 2 =(-x 2 + x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2.

Buradan aydın olur ki, AB = A "B". Bu isə o deməkdir ki, simmetriyanın düz xətt ətrafında çevrilməsi hərəkətdir. Teorem sübut edilmişdir.

Qədim dövrlərdən bəri insan gözəllik haqqında fikirlər inkişaf etdirmişdir. Təbiətin bütün yaratdıqları gözəldir. İnsanlar özünəməxsus şəkildə gözəldir, heyvanlar və bitkilər heyrətamizdir. Görünüşü gözə xoş gəlir qiymətli daş və ya bir duz kristalı, bir qar dənəciyi və ya kəpənəyi heyran etməmək çətindir. Bəs bu niyə baş verir? Bizə elə gəlir ki, cisimlərin görünüşü düzgün və tamdır, sağ və sol yarısı eyni görünür, sanki güzgü təsvirindədir.

Görünür, gözəlliyin mahiyyəti haqqında ilk düşünən sənət adamları olub. Quruluşunu tədqiq edən qədim heykəltəraşlar insan bədəni, eramızdan əvvəl 5-ci əsrdə. “Simmetriya” anlayışı istifadə olunmağa başladı. Bu söz var Yunan mənşəli və komponent hissələrinin düzülüşündə harmoniya, mütənasiblik və oxşarlıq deməkdir. Platon iddia edirdi ki, yalnız simmetrik və mütənasib olan gözəl ola bilər.

Həndəsə və riyaziyyatda simmetriyanın üç növü nəzərə alınır: eksenel simmetriya(düz xəttə nisbətən), mərkəzi (nöqtəyə nisbətən) və güzgü (müstəvi ilə müqayisədə).

Əgər cismin hər bir nöqtəsinin onun mərkəzinə nisbətən onun daxilində öz dəqiq xəritəsi varsa, mərkəzi simmetriya var. Onun nümunələri silindr, top kimi həndəsi cisimlərdir. düzgün prizma və s.

Düz xəttə nisbətən nöqtələrin ox simmetriyası bu düz xəttin nöqtələri birləşdirən seqmentin ortasını kəsdiyini və ona perpendikulyar olmasını təmin edir. Buna misal olaraq ikitərəfli üçbucağın inkişaf etməmiş bucağının bissektrisasını, dairənin mərkəzindən çəkilmiş istənilən xətti və s. Eksenel simmetriya xarakterikdirsə, güzgü nöqtələrinin tərifi onu sadəcə ox boyunca əyərək və bərabər yarıları "üz-üzə" qoymaqla vizuallaşdırıla bilər. İstədiyiniz nöqtələr bir-birinə toxunacaq.

Güzgü simmetriyası ilə cismin nöqtələri onun mərkəzindən keçən müstəviyə nisbətən bərabər yerləşdirilir.

Təbiət müdrik və rasionaldır, ona görə də onun demək olar ki, bütün yaradıcılığı ahəngdar bir quruluşa malikdir. Bu həm canlılara, həm də cansızlara aiddir. Əksər həyat formalarının quruluşu üç növ simmetriyadan biri ilə xarakterizə olunur: ikitərəfli, radial və ya sferik.

Çox vaxt eksenel torpaq səthinə perpendikulyar inkişaf edən bitkilərdə müşahidə edilə bilər. Bu halda simmetriya eyni elementlərin mərkəzdə yerləşən ümumi ox ətrafında fırlanmasının nəticəsidir. Onların yerləşmə bucağı və tezliyi fərqli ola bilər. Buna misal olaraq ağacları göstərmək olar: ladin, ağcaqayın və başqaları. Bəzi heyvanlarda eksenel simmetriya da baş verir, lakin bu daha az yaygındır. Əlbəttə ki, təbiət nadir hallarda riyazi dəqiqliklə xarakterizə olunur, lakin orqanizmin elementlərinin oxşarlığı hələ də diqqəti çəkir.

Bioloqlar çox vaxt eksenel simmetriya deyil, ikitərəfli (ikitərəfli) simmetriya hesab edirlər. Buna misal olaraq kəpənəyin və ya iynəcənin qanadlarını, bitki yarpaqlarını, çiçək ləçəklərini və s. Hər bir halda canlı obyektin sağ və sol hissələri bərabərdir və bir-birinin güzgü şəkilləridir.

Sferik simmetriya bir çox bitkilərin, bəzi balıqların, mollyuskaların və virusların meyvələri üçün xarakterikdir. Radial simmetriya nümunələri qurdların və exinodermlərin bəzi növləridir.

İnsan gözündə asimmetriya ən çox nizamsızlıq və ya aşağılıq ilə əlaqələndirilir. Buna görə də, insan əllərinin yaradıcılığının əksəriyyətində simmetriya və harmoniya müşahidə edilə bilər.

İnsanların həyatı simmetriya ilə doludur. Rahatdır, gözəldir və yeni standartlar icad etməyə ehtiyac yoxdur. Bəs o, əslində nədir və təbiətdə hamının inanıldığı qədər gözəldirmi?

Simmetriya

Qədim dövrlərdən bəri insanlar ətrafdakı dünyanı təşkil etməyə çalışdılar. Buna görə də bəzi şeylər gözəl sayılır, bəziləri isə o qədər də çox deyil. Estetik nöqteyi-nəzərdən qızıl və gümüş nisbətləri, təbii ki, simmetriya kimi cəlbedici hesab olunur. Bu termin yunan mənşəlidir və hərfi mənası “mütənasiblik” deməkdir. Təbii ki, söhbət təkcə bu əsasda təsadüfdən deyil, bəzi başqalarından da gedir. Ümumi mənada, simmetriya, müəyyən formalaşmalar nəticəsində nəticə ilkin məlumatlara bərabər olduqda bir obyektin xüsusiyyətidir. Bu həm yaşayışda, həm də həyatda olur cansız təbiət, eləcə də insan tərəfindən hazırlanmış əşyalarda.

Əvvəla, "simmetriya" termini həndəsədə istifadə olunur, lakin bir çox elmi sahələrdə tətbiq tapır və mənası ümumiyyətlə dəyişməz qalır. Bu fenomen olduqca tez-tez baş verir və maraqlı hesab olunur, çünki onun bir neçə növü, eləcə də elementləri fərqlənir. Simmetriyanın istifadəsi də maraqlıdır, çünki o, təkcə təbiətdə deyil, həm də parça üzərində naxışlarda, binaların haşiyələrində və bir çox başqalarında rast gəlinir. süni obyektlər. Bu fenomeni daha ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər, çünki bu, son dərəcə maraqlıdır.

Termin digər elmi sahələrdə istifadəsi

Aşağıda simmetriya həndəsə nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçiriləcək, lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu söz təkcə burada deyil. Biologiya, virusologiya, kimya, fizika, kristalloqrafiya - bütün bunlar bu fenomenin öyrənildiyi sahələrin natamam siyahısıdır. müxtəlif tərəflər və içində müxtəlif şərtlər. Məsələn, təsnifat bu terminin hansı elmə aid olmasından asılıdır. Beləliklə, növlərə bölünmə çox dəyişir, baxmayaraq ki, bəzi əsaslar, bəlkə də, dəyişməz qalır.

Təsnifat

Simmetriyanın bir neçə əsas növü var, onlardan üçü ən çox yayılmışdır:

Bundan əlavə, həndəsədə aşağıdakı növlər də fərqlənir, onlar daha az yayılmışdır, lakin daha az maraqlı deyil:

• sürüşmə;
• fırlanma;
• nöqtə;
• mütərəqqi;
• vida;
• fraktal;
• və s.

Biologiyada bütün növlər bir qədər fərqli adlanır, baxmayaraq ki, mahiyyətcə eyni ola bilərlər. Müəyyən qruplara bölünmə, mərkəzlər, müstəvilər və simmetriya oxları kimi müəyyən elementlərin mövcudluğu və ya olmaması, həmçinin kəmiyyəti əsasında baş verir. Onlar ayrıca və daha ətraflı nəzərdən keçirilməlidir.

Əsas elementlər

Bu fenomen müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir, onlardan biri mütləq mövcuddur. Əsas elementlər deyilənlərə təyyarələr, mərkəzlər və simmetriya oxları daxildir. Onların varlığına, yoxluğuna və miqdarına uyğun olaraq növü müəyyən edilir.

Simmetriya mərkəzi, bütün tərəfləri bir-birinə paralel olaraq cüt-cüt birləşdirən xətlərin birləşdiyi bir fiqur və ya kristalın içərisindəki nöqtədir. Təbii ki, həmişə mövcud deyil. Paralel cüt olmayan tərəflər varsa, o zaman belə bir nöqtə tapıla bilməz, çünki o, mövcud deyil. Tərifə görə, aydındır ki, simmetriya mərkəzi fiqurun öz üzərində əks oluna bilməsidir. Məsələn, bir dairə və ortasında bir nöqtə ola bilər. Bu element adətən C kimi təyin olunur.

Simmetriya müstəvisi, əlbəttə ki, xəyalidir, lakin rəqəmi bir-birinə bərabər iki hissəyə bölən məhz budur. Bir və ya bir neçə tərəfdən keçə bilər, ona paralel ola bilər və ya onları ayıra bilər. Eyni rəqəm üçün bir neçə təyyarə eyni anda mövcud ola bilər. Bu elementlər adətən P kimi təyin olunur.

Ancaq bəlkə də ən çox yayılmışı "simmetriya oxu" adlanan şeydir. Bu, həm həndəsədə, həm də təbiətdə görünə bilən ümumi bir hadisədir. Və ayrıca nəzərdən keçirməyə layiqdir.

Oxlar

Çox vaxt fiqurun simmetrik adlandırıla biləcəyi elementdir

düz xətt və ya seqment görünür. Hər halda, söhbət nöqtədən və ya təyyarədən getmir. Sonra rəqəmlər nəzərə alınır. Onların bir çoxu ola bilər və onlar hər hansı bir şəkildə yerləşdirilə bilər: tərəfləri bölmək və ya onlara paralel olmaq, eləcə də küncləri kəsmək və ya etməmək. Simmetriya oxları adətən L kimi təyin olunur.

Nümunələr arasında ikitərəfli düzülmələr və Birinci halda, hər iki tərəfində bərabər üzlər olan şaquli simmetriya oxu olacaq, ikincidə isə xətlər hər bir bucaqla kəsişir və bütün bissektrisalar, medianlar və yüksəkliklərlə üst-üstə düşəcəkdir. Adi üçbucaqlarda bu yoxdur.

Yeri gəlmişkən, kristalloqrafiya və stereometriyada yuxarıda göstərilən bütün elementlərin cəminə simmetriya dərəcəsi deyilir. Bu göstərici baltaların, təyyarələrin və mərkəzlərin sayından asılıdır.

Həndəsə nümunələri

Şərti olaraq, biz riyaziyyatçıların öyrəndiyi bütün obyektlər toplusunu simmetriya oxuna malik olan və olmayan fiqurlara ayıra bilərik. Bütün dairələr, ovallar, eləcə də bəzi xüsusi hallar avtomatik olaraq birinci kateqoriyaya, qalanları isə ikinci qrupa düşür.

Üçbucağın simmetriya oxundan danışdığımız vəziyyətdə olduğu kimi, bu element həmişə dördbucaqlı üçün mövcud deyil. Kvadrat, düzbucaqlı, romb və ya paraleloqram üçün belədir, nizamsız bir fiqur üçün isə, müvafiq olaraq, belə deyil. Bir dairə üçün simmetriya oxu onun mərkəzindən keçən düz xətlər toplusudur.

Bundan əlavə, bu baxımdan üçölçülü fiqurları nəzərdən keçirmək maraqlıdır. Bütün müntəzəm çoxbucaqlılara və toplara əlavə olaraq, bəzi konuslar, həmçinin piramidalar, paraleloqramlar və bəzi başqaları, ən azı bir simmetriya oxuna sahib olacaqlar. Hər bir işə ayrıca baxılmalıdır.

Təbiətdəki nümunələr

Həyatda buna ikitərəfli deyilir, ən çox rast gəlinir
tez-tez. İstənilən insan və bir çox heyvan buna misaldır. Eksenel radial adlanır və daha az yaygındır, adətən flora. Və hələ də mövcuddurlar. Məsələn, bir ulduzun neçə simmetriya oxuna sahib olduğunu düşünməyə dəyər və ümumiyyətlə varmı? Təbii ki, söhbət gedir dəniz canlıları, və astronomların öyrənilməsi mövzusu haqqında deyil. Düzgün cavab belə olardı: bu, ulduzun şüalarının sayından asılıdır, məsələn, beşguşəlidirsə, beş.

Bundan əlavə, bir çox çiçəkdə radial simmetriya müşahidə olunur: çobanyastığı, qarğıdalı, günəbaxan və s. Çox sayda nümunə var, onlar sanki hər yerdədir.

Aritmiya

Bu termin, ilk növbədə, tibb və kardiologiyanın əksəriyyətini xatırladır, lakin əvvəlcə bir az fərqli məna daşıyır. Bu vəziyyətdə sinonim "asimmetriya", yəni bu və ya digər formada qanunauyğunluğun olmaması və ya pozulması olacaqdır. Bu, qəza kimi tapıla bilər və bəzən gözəl bir texnikaya çevrilə bilər, məsələn, geyim və ya memarlıqda. Axı simmetrik binalar çoxdur, lakin məşhur olanı bir az əyilmişdir və tək olmasa da, ən məşhur nümunədir. Bunun təsadüfən baş verdiyi məlumdur, lakin bunun öz cazibəsi var.

Bundan əlavə, insanların və heyvanların üz və bədənlərinin də tam simmetrik olmadığı göz qabağındadır. Hətta “düzgün” üzlərin cansız və ya sadəcə cəlbedici olmadığına dair araşdırmalar aparılıb. Yenə də simmetriyanın qavranılması və bu fenomen özlüyündə heyrətamizdir və hələ tam öyrənilməmişdir və buna görə də son dərəcə maraqlıdır.