Düz xəttə nisbətən simmetrik nöqtələr hansılardır? "Simmetriya növləri" layihəsi

Qədim dövrlərdən bəri insan gözəllik haqqında fikirlər inkişaf etdirmişdir. Təbiətin bütün yaratdıqları gözəldir. İnsanlar özlərinə görə gözəldirlər, heyvanlar və bitkilər heyrətamizdir. Görünüşü gözə xoş gəlir qiymətli daş və ya bir duz kristalı, bir qar dənəciyi və ya kəpənəyi heyran etməmək çətindir. Bəs bu niyə baş verir? Bizə elə gəlir ki, cisimlərin görünüşü düzgün və tamdır, sağ və sol yarısı eyni görünür, sanki güzgü təsvirindədir.

Görünür, gözəlliyin mahiyyəti haqqında ilk düşünən sənət adamları olub. Quruluşunu tədqiq edən qədim heykəltəraşlar insan bədəni, eramızdan əvvəl 5-ci əsrdə. “Simmetriya” anlayışı istifadə olunmağa başladı. Bu söz var Yunan mənşəli və komponent hissələrinin düzülüşündə harmoniya, mütənasiblik və oxşarlıq deməkdir. Platon iddia edirdi ki, yalnız simmetrik və mütənasib olan gözəl ola bilər.

Həndəsə və riyaziyyatda simmetriyanın üç növü nəzərdən keçirilir: eksenel simmetriya (düz xəttə nisbətən), mərkəzi (nöqtəyə nisbətən) və güzgü simmetriyası (müstəviyə nisbətən).

Əgər cismin hər bir nöqtəsinin onun mərkəzinə nisbətən onun daxilində öz dəqiq xəritəsi varsa, mərkəzi simmetriya var. Onun nümunələri silindr, top kimi həndəsi cisimlərdir. düzgün prizma və s.

Düz xəttə nisbətən nöqtələrin ox simmetriyası bu düz xəttin nöqtələri birləşdirən seqmentin ortasını kəsdiyini və ona perpendikulyar olmasını təmin edir. Buna misal olaraq ikitərəfli üçbucağın inkişaf etməmiş bucağının bissektrisasını, çevrənin mərkəzindən keçən istənilən xətti və s. Eksenel simmetriya xarakterikdirsə, güzgü nöqtələrinin tərifi onu sadəcə ox boyunca əyərək və bərabər yarıları "üz-üzə" qoymaqla vizuallaşdırıla bilər. İstədiyiniz nöqtələr bir-birinə toxunacaq.

Güzgü simmetriyası ilə cismin nöqtələri onun mərkəzindən keçən müstəviyə nisbətən bərabər yerləşdirilir.

Təbiət müdrik və rasionaldır, ona görə də onun demək olar ki, bütün yaradıcılığı ahəngdar bir quruluşa malikdir. Bu həm canlılara, həm də cansız cisimlərə aiddir. Əksər həyat formalarının quruluşu üç növ simmetriyadan biri ilə xarakterizə olunur: ikitərəfli, radial və ya sferik.

Çox vaxt eksenel torpaq səthinə perpendikulyar inkişaf edən bitkilərdə müşahidə edilə bilər. Bu halda simmetriya eyni elementlərin mərkəzdə yerləşən ümumi ox ətrafında fırlanmasının nəticəsidir. Onların yerləşmə bucağı və tezliyi fərqli ola bilər. Buna misal olaraq ağacları göstərmək olar: ladin, ağcaqayın və başqaları. Bəzi heyvanlarda eksenel simmetriya da baş verir, lakin bu daha az yaygındır. Təbii ki, təbiət nadir hallarda riyazi dəqiqliklə xarakterizə olunur, lakin orqanizmin elementlərinin oxşarlığı hələ də diqqəti çəkir.

Bioloqlar çox vaxt eksenel simmetriya deyil, ikitərəfli (ikitərəfli) simmetriya hesab edirlər. Buna misal olaraq kəpənəyin və ya iynəcənin qanadlarını, bitki yarpaqlarını, çiçək ləçəklərini və s. Hər bir halda canlı obyektin sağ və sol hissələri bərabərdir və bir-birinin güzgü şəkilləridir.

Sferik simmetriya bir çox bitkilərin, bəzi balıqların, mollyuskaların və virusların meyvələri üçün xarakterikdir. Radial simmetriya nümunələri qurdların və exinodermlərin bəzi növləridir.

İnsan gözündə asimmetriya ən çox nizamsızlıq və ya aşağılıq ilə əlaqələndirilir. Buna görə də, insan əllərinin yaradıcılığının əksəriyyətində simmetriya və harmoniya müşahidə edilə bilər.

İnsanların həyatı simmetriya ilə doludur. Rahatdır, gözəldir və yeni standartlar icad etməyə ehtiyac yoxdur. Bəs o, əslində nədir və təbiətdə hamının inanıldığı qədər gözəldirmi?

Simmetriya

Qədim dövrlərdən bəri insanlar ətrafdakı dünyanı təşkil etməyə çalışdılar. Buna görə də bəzi şeylər gözəl sayılır, bəziləri isə o qədər də çox deyil. Estetik nöqteyi-nəzərdən qızıl və gümüş nisbətləri, təbii ki, simmetriya kimi cəlbedici hesab olunur. Bu termin yunan mənşəlidir və hərfi mənası “mütənasiblik” deməkdir. Təbii ki, söhbət təkcə bu əsasda təsadüfdən deyil, bəzi başqalarından da gedir. Ümumi mənada, simmetriya, müəyyən formalaşmalar nəticəsində nəticə ilkin məlumatlara bərabər olduqda bir obyektin xüsusiyyətidir. Bu həm yaşayışda, həm də həyatda olur cansız təbiət, eləcə də insan tərəfindən hazırlanmış əşyalarda.

Əvvəla, "simmetriya" termini həndəsədə istifadə olunur, lakin bir çox elmi sahələrdə tətbiq tapır və mənası ümumiyyətlə dəyişməz qalır. Bu fenomen olduqca tez-tez baş verir və maraqlı hesab olunur, çünki onun bir neçə növü, eləcə də elementləri fərqlənir. Simmetriyanın istifadəsi də maraqlıdır, çünki o, təkcə təbiətdə deyil, həm də parça üzərində naxışlarda, binaların haşiyələrində və bir çox başqalarında rast gəlinir. süni obyektlər. Bu fenomeni daha ətraflı nəzərdən keçirməyə dəyər, çünki bu, son dərəcə maraqlıdır.

Termin digər elmi sahələrdə istifadəsi

Aşağıda simmetriya həndəsə nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçiriləcək, lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu söz təkcə burada deyil. Biologiya, virusologiya, kimya, fizika, kristalloqrafiya - bütün bunlar bu fenomenin öyrənildiyi sahələrin natamam siyahısıdır. müxtəlif tərəflər və içində müxtəlif şərtlər. Məsələn, təsnifat bu terminin hansı elmə aid olmasından asılıdır. Beləliklə, növlərə bölünmə çox dəyişir, baxmayaraq ki, bəzi əsaslar, bəlkə də, dəyişməz qalır.

Təsnifat

Simmetriyanın bir neçə əsas növü var, onlardan üçü ən çox yayılmışdır:

Bundan əlavə, həndəsədə aşağıdakı növlər də fərqlənir, onlar daha az yayılmışdır, lakin daha az maraqlı deyil:

• sürüşmə;
• fırlanma;
• nöqtə;
• mütərəqqi;
• vida;
• fraktal;
• və s.

Biologiyada bütün növlər bir qədər fərqli adlanır, baxmayaraq ki, mahiyyətcə eyni ola bilərlər. Müəyyən qruplara bölünmə simmetriyanın mərkəzləri, müstəviləri və oxları kimi müəyyən elementlərin mövcudluğu və ya olmaması, həmçinin kəmiyyəti əsasında baş verir. Onlar ayrıca və daha ətraflı nəzərdən keçirilməlidir.

Əsas elementlər

Bu fenomen müəyyən xüsusiyyətlərə malikdir, onlardan biri mütləq mövcuddur. Əsas elementlər deyilənlərə təyyarələr, mərkəzlər və simmetriya oxları daxildir. Onların varlığına, yoxluğuna və miqdarına uyğun olaraq növü müəyyən edilir.

Simmetriya mərkəzi, bütün tərəfləri bir-birinə paralel olaraq cüt-cüt birləşdirən xətlərin birləşdiyi bir fiqur və ya kristalın içərisindəki nöqtədir. Əlbəttə ki, həmişə mövcud deyil. Paralel cüt olmayan tərəflər varsa, o zaman belə bir nöqtə tapıla bilməz, çünki o, mövcud deyil. Tərifə görə, aydındır ki, simmetriya mərkəzi fiqurun öz üzərində əks oluna bilməsidir. Məsələn, bir dairə və ortasında bir nöqtə ola bilər. Bu element adətən C kimi təyin olunur.

Simmetriya müstəvisi, əlbəttə ki, xəyalidir, lakin rəqəmi bir-birinə bərabər olan iki hissəyə bölən məhz budur. Bir və ya bir neçə tərəfdən keçə bilər, ona paralel ola bilər və ya onları ayıra bilər. Eyni rəqəm üçün bir neçə təyyarə eyni anda mövcud ola bilər. Bu elementlər adətən P kimi təyin olunur.

Ancaq bəlkə də ən çox yayılmışı "simmetriya oxu" adlanan şeydir. Bu, həm həndəsədə, həm də təbiətdə görünə bilən ümumi bir hadisədir. Və ayrıca nəzərdən keçirməyə layiqdir.

Oxlar

Çox vaxt fiqurun simmetrik adlandırıla biləcəyi elementdir

düz xətt və ya seqment görünür. Hər halda, söhbət nöqtədən və ya təyyarədən getmir. Sonra rəqəmlər nəzərə alınır. Onların bir çoxu ola bilər və onlar hər hansı bir şəkildə yerləşdirilə bilər: tərəfləri bölmək və ya onlara paralel olmaq, eləcə də küncləri kəsmək və ya etməmək. Simmetriya oxları adətən L kimi təyin olunur.

Nümunələr isosceles daxildir və Birinci halda olacaq şaquli ox simmetriya, hər iki tərəfində bərabər üzlər var və ikincidə xətlər hər bucağı kəsəcək və bütün bisektorlar, medianlar və yüksəkliklərlə üst-üstə düşəcək. Adi üçbucaqlarda bu yoxdur.

Yeri gəlmişkən, kristalloqrafiya və stereometriyada yuxarıda göstərilən bütün elementlərin cəminə simmetriya dərəcəsi deyilir. Bu göstərici baltaların, təyyarələrin və mərkəzlərin sayından asılıdır.

Həndəsə nümunələri

Şərti olaraq, biz riyaziyyatçıların öyrəndiyi bütün obyektlər toplusunu simmetriya oxuna malik olan və olmayan fiqurlara ayıra bilərik. Bütün dairələr, ovallar, eləcə də bəzi xüsusi hallar avtomatik olaraq birinci kateqoriyaya, qalanları isə ikinci qrupa düşür.

Üçbucağın simmetriya oxundan danışdığımız vəziyyətdə olduğu kimi, bu element həmişə dördbucaqlı üçün mövcud deyil. Kvadrat, düzbucaqlı, romb və ya paraleloqram üçün belədir, nizamsız bir fiqur üçün isə, müvafiq olaraq, belə deyil. Bir dairə üçün simmetriya oxları onun mərkəzindən keçən düz xətlər toplusudur.

Bundan əlavə, bu baxımdan üçölçülü fiqurları nəzərdən keçirmək maraqlıdır. Bütün müntəzəm çoxbucaqlılara və toplara əlavə olaraq, bəzi konuslar, həmçinin piramidalar, paraleloqramlar və bəzi başqaları, ən azı bir simmetriya oxuna sahib olacaqlar. Hər bir işə ayrıca baxılmalıdır.

Təbiətdəki nümunələr

Həyatda buna ikitərəfli deyilir, ən çox rast gəlinir
tez-tez. İstənilən insan və bir çox heyvan buna misaldır. Eksenel radial adlanır və daha az yaygındır, adətən flora. Və hələ də mövcuddurlar. Məsələn, bir ulduzun neçə simmetriya oxuna sahib olduğunu düşünməyə dəyər və ümumiyyətlə varmı? Təbii ki, söhbət gedir dəniz canlıları, və astronomların öyrənilməsi mövzusu haqqında deyil. Düzgün cavab belə olardı: ulduzun şüalarının sayından asılıdır, məsələn, beş guşəlidirsə.

Bundan əlavə, bir çox çiçəkdə radial simmetriya müşahidə olunur: çobanyastığı, qarğıdalı, günəbaxan və s. Çox sayda nümunə var, onlar sanki hər yerdədir.

Aritmiya

Bu termin, ilk növbədə, tibb və kardiologiyanın əksəriyyətini xatırladır, lakin əvvəlcə bir az fərqli məna daşıyır. Bu vəziyyətdə sinonim "asimmetriya", yəni bu və ya digər formada qanunauyğunluğun olmaması və ya pozulması olacaqdır. Bu, qəza kimi tapıla bilər və bəzən gözəl bir texnikaya çevrilə bilər, məsələn, geyim və ya memarlıqda. Axı simmetrik binalar çoxdur, lakin məşhur olanı bir az əyilmişdir və tək olmasa da, ən məşhur nümunədir. Bunun təsadüfən baş verdiyi məlumdur, lakin bunun öz cazibəsi var.

Bundan əlavə, insanların və heyvanların üz və bədənlərinin də tam simmetrik olmadığı göz qabağındadır. Hətta "düzgün" üzlərin cansız və ya sadəcə cəlbedici olmadığı kimi araşdırmalar aparılıb. Yenə də simmetriyanın qavranılması və bu fenomen özlüyündə heyrətamizdir və hələ tam öyrənilməmişdir və buna görə də son dərəcə maraqlıdır.

Elmi-praktik konfrans

“23 nömrəli tam orta məktəb” bələdiyyə təhsil müəssisəsi

Vologda şəhəri

bölmə: təbiətşünaslıq

dizayn və tədqiqat işləri

SİMMETRİYA NÖVLƏRİ

İşi 8-ci sinif şagirdi tamamladı

Kreneva Marqarita

Rəhbər: ali riyaziyyat müəllimi

2014

Layihənin strukturu:

1. Giriş.

2. Layihənin məqsəd və vəzifələri.

3. Simmetriyanın növləri:

3.1. mərkəzi simmetriya;

3.2. eksenel simmetriya;

3.3. Güzgü simmetriyası (müstəvidə simmetriya);

3.4. fırlanma simmetriyası;

3.5. Portativ simmetriya.

4. Nəticələr.

Simmetriya insanın əsrlər boyu nizamı, gözəlliyi və kamilliyi dərk etməyə və yaratmağa çalışdığı ideyadır.

G. Weil

Giriş.

İşimin mövzusu “8-ci sinif Həndəsə” kursunda “Ox və mərkəzi simmetriya” bölməsini öyrəndikdən sonra seçilmişdir. Bu mövzu mənə çox maraqlı idi. Bilmək istədim: simmetriyanın hansı növləri var, onlar bir-birindən necə fərqlənir, hər bir növdə simmetrik fiqurların qurulması prinsipləri hansılardır.

İşin məqsədi : Müxtəlif simmetriya növlərinə giriş.

Tapşırıqlar:

Bu mövzuda ədəbiyyatı öyrənin.

Öyrənilən materialı ümumiləşdirin və sistemləşdirin.

Təqdimat hazırlayın.

Qədim dövrlərdə “SİMMETRİYA” sözü “harmoniya”, “gözəllik” mənasında işlədilirdi. Yunan dilindən tərcümədə bu söz “mütənasiblik, mütənasiblik, nöqtənin, düz xəttin və ya müstəvinin əks tərəflərində bir şeyin hissələrinin düzülüşündə eynilik deməkdir.

İki qrup simmetriya var.

Birinci qrupa mövqelərin, formaların, strukturların simmetriyası daxildir. Bu birbaşa görünə bilən simmetriyadır. Bunu həndəsi simmetriya adlandırmaq olar.

İkinci qrup simmetriyanı xarakterizə edir fiziki hadisələr və təbiət qanunları. Bu simmetriya dünyanın təbii elmi mənzərəsinin əsasını təşkil edir: onu fiziki simmetriya adlandırmaq olar.

Təhsilimi dayandıracağamhəndəsi simmetriya .

Öz növbəsində, həndəsi simmetriyanın bir neçə növü də var: mərkəzi, eksenel, güzgü (müstəviyə nisbətən simmetriya), radial (və ya fırlanan), portativ və s. Bu gün simmetriyanın 5 növünə baxacağam.

Mərkəzi simmetriya

İki nöqtə A və A 1 O nöqtəsindən keçən düz xətt üzərində yerləşirsə və eyni məsafədə onun əks tərəflərindədirsə, O nöqtəsinə nisbətən simmetrik adlanır. O nöqtəsi simmetriyanın mərkəzi adlanır.

Fiqurun nöqtəyə görə simmetrik olduğu deyilirHAQQINDA , əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün nöqtəyə nisbətən ona simmetrik bir nöqtə varsaHAQQINDA da bu rəqəmə aiddir. NöqtəHAQQINDA fiqurun simmetriya mərkəzi adlanır, fiqurun olduğunu deyirlər mərkəzi simmetriya.

Mərkəzi simmetriyaya malik fiqurlara misal olaraq dairə və paraleloqramı göstərmək olar.

Slaydda təsvir olunan fiqurlar müəyyən bir nöqtəyə nisbətən simmetrikdir

2. Eksenel simmetriya

İki xalX Və Y düz xəttə görə simmetrik adlanırt , əgər bu xətt XY seqmentinin ortasından keçirsə və ona perpendikulyardırsa. Onu da demək lazımdır ki, hər bir nöqtə düz xəttdirt özünə simmetrik hesab olunur.

Düzt - simmetriya oxu.

Fiqurun düz xəttə nisbətən simmetrik olduğu deyilirt, fiqurun hər bir nöqtəsi üçün düz xəttə nisbətən ona simmetrik bir nöqtə varsat da bu rəqəmə aiddir.

Düztfiqurun simmetriya oxu adlanan fiqurun eksenel simmetriyaya malik olduğu deyilir.

İnkişaf etməmiş bucaq, ikitərəfli və bərabərtərəfli üçbucaqlar, düzbucaqlı və romb eksenel simmetriyaya malikdir.məktublar (təqdimata bax).

Güzgü simmetriyası (təyyarə simmetriya)

İki xal P 1 Və Əgər a müstəvisinə perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşir və ondan eyni məsafədədirsə, P a müstəvisinə nisbətən simmetrik adlanır.

Güzgü simmetriyası hər bir insana yaxşı məlumdur. Hər hansı bir obyekti və onun düz güzgüdəki əksini birləşdirir. Deyirlər ki, bir fiqur digərinə simmetrik güzgüdür.

Təyyarədə saysız-hesabsız simmetriya oxları olan bir fiqur dairə idi. Kosmosda topun saysız-hesabsız simmetriya müstəviləri var.

Ancaq bir dairə bir növdürsə, onda üçölçülü dünyada sonsuz sayda simmetriya müstəvisinə malik cisimlərin bütöv bir seriyası var: təməlində bir dairə olan düz silindr, dairəvi əsaslı konus, bir top.

Güzgüdən istifadə edərək hər bir simmetrik müstəvi fiqurun özünə uyğunlaşdırıla biləcəyini müəyyən etmək asandır. kimi mürəkkəb rəqəmlərin olması təəccüblüdür beş guşəli ulduz və ya bərabərtərəfli beşbucaqlılar da simmetrikdir. Bu, baltaların sayından irəli gələn kimi, onlar yüksək simmetriya ilə fərqlənirlər. Və əksinə: niyə belə göründüyünü başa düşmək o qədər də asan deyil düzgün rəqəm, əyri paraleloqram kimi, asimmetrikdir.

4. P fırlanma simmetriyası (və ya radial simmetriya)

Fırlanma simmetriyası - bu simmetriya, obyektin formasının qorunmasıdırmüəyyən bir ox ətrafında 360°/-ə bərabər bir açı ilə fırlandıqdan(və ya bu dəyərin çoxluğu), haradan= 2, 3, 4, … Göstərilən ox fırlanan ox adlanırn-ci sifariş.

Atn=2 fiqurun bütün nöqtələri 180 bucaq altında fırlanır 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) ox ətrafında, fiqurun forması qorunarkən, yəni. fiqurun hər bir nöqtəsi eyni fiqurun nöqtəsinə keçir (şəkil özünə çevrilir). Oxa ikinci dərəcəli ox deyilir.

Şəkil 2 üçüncü dərəcəli oxu göstərir, Şəkil 3 - 4-cü sıra, Şəkil 4 - 5-ci sıra.

Bir cisim birdən çox fırlanma oxuna malik ola bilər: Şəkil 1 - 3 fırlanma oxu, Şəkil 2 - 4 ox, Şəkil 3 - 5 ox, Şək. 4 - yalnız 1 ox

Tanınmış "I" və "F" hərfləri fırlanma simmetriyasına malikdir, əgər "I" hərfini hərfin müstəvisinə perpendikulyar oxu ətrafında 180° döndərsəniz və onun mərkəzindən keçsəniz, hərf özü ilə düzləşəcəkdir. Başqa sözlə, “I” hərfi 180°, 180°= 360° fırlanmaya görə simmetrikdir: 2,n=2, yəni ikinci dərəcəli simmetriya var.

Qeyd edək ki, “F” hərfi də ikinci dərəcəli fırlanma simmetriyasına malikdir.

Bundan əlavə, hərfin simmetriya mərkəzi, F hərfinin isə simmetriya oxu var.

Həyatdan nümunələrə qayıdaq: bir stəkan, dondurma ilə konus formalı bir funt tort, bir parça tel, bir boru.

Bu cisimlərə daha yaxından nəzər salsaq, görərik ki, onların hamısı bu və ya digər şəkildə dairədən ibarətdir, sonsuz sayda simmetriya oxları vasitəsilə saysız-hesabsız simmetriya müstəviləri mövcuddur. Bu cisimlərin əksəriyyətində (onlara fırlanma cisimləri deyilir) əlbəttə ki, simmetriya mərkəzi (dairənin mərkəzi) var ki, oradan ən azı bir fırlanma simmetriya oxu keçir.

Məsələn, dondurma çubuğunun oxu aydın görünür. Dairənin ortasından (dondurmadan yapışaraq!) huni konusunun kəskin ucuna qədər uzanır. Biz cismin simmetriya elementlərinin məcmusunu bir növ simmetriya ölçüsü kimi qəbul edirik. Top, şübhəsiz ki, simmetriya baxımından mükəmməlliyin misilsiz təcəssümü, idealdır. Qədim yunanlar bunu ən çox qəbul etdilər mükəmməl bədən, və dairə, təbii olaraq, ən mükəmməl düz fiqur kimi.

Müəyyən bir obyektin simmetriyasını təsvir etmək üçün bütün fırlanma oxlarını və onların sırasını, eləcə də bütün simmetriya müstəvilərini göstərmək lazımdır.

Məsələn, iki eyni düzgün dördbucaqlı piramidadan ibarət həndəsi cismi nəzərdən keçirək.

Onun 4-cü dərəcəli bir fırlanan oxu (ox AB), 2-ci dərəcəli dörd fırlanan oxu (oxlar CE,DF, millət vəkili, N.Q.), beş simmetriya müstəvisi (təyyarəCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Portativ simmetriya

Simmetriyanın başqa bir növüportativ ilə simmetriya.

Belə bir simmetriyadan o zaman danışılır ki, bir fiqur düz xətt boyunca müəyyən bir “a” məsafəsinə və ya bu dəyərin qatına bərabər olan məsafəyə hərəkət edərkən o, özü ilə üst-üstə düşür. Köçürmənin baş verdiyi düz xəttə ötürmə oxu, “a” məsafəsi isə elementar köçürmə, dövr və ya simmetriya pilləsi adlanır.

A

Uzun bir zolaqda vaxtaşırı təkrarlanan naxış haşiyə adlanır. Təcrübədə haşiyələrə müxtəlif formalarda (divar rəsmləri, çuqunlar, gips barelyefləri və ya keramika) rast gəlinir. Sərhədlər otağı bəzəyərkən rəssamlar və rəssamlar tərəfindən istifadə olunur. Bu ornamentləri hazırlamaq üçün trafaret hazırlanır. Biz trafareti hərəkət etdiririk, onu çevirib çevirmirik, konturu izləyirik, nümunəni təkrar edirik və bir ornament alırıq (vizual nümayiş).

Haşiyəni trafaretdən (başlanğıc element) istifadə edərək, onu hərəkət etdirmək və ya çevirmək və nümunəni təkrarlamaq asandır. Şəkildə beş növ trafaret göstərilir:A ) asimmetrik;b, c ) bir simmetriya oxuna malik olan: üfüqi və ya şaquli;G ) mərkəzi simmetrik;d ) iki simmetriya oxuna malik olan: şaquli və üfüqi.

Sərhədləri qurmaq üçün aşağıdakı çevrilmələrdən istifadə olunur:

A ) paralel köçürmə;b ) şaquli ox üzərində simmetriya;V ) mərkəzi simmetriya;G ) üfüqi ox haqqında simmetriya.

Eyni şəkildə rozetkalar qura bilərsiniz. Bunun üçün dairə bölünürn bərabər sektorlar, onlardan birində nümunə nümunəsi hazırlanır və sonra ikincisi ardıcıl olaraq dairənin qalan hissələrində təkrarlanır, naxışı hər dəfə 360 ° / bucaq ilə fırlanır.n .

Eksenel və portativ simmetriyanın istifadəsinin bariz nümunəsi fotoşəkildə göstərilən hasardır.

Nəticə: Beləliklə, var müxtəlif növlər simmetriyalar, bu simmetriya növlərinin hər birində simmetrik nöqtələr müəyyən qanunlara əsasən qurulur. Həyatda biz hər yerdə bu və ya digər simmetriya növünə rast gəlirik və çox vaxt bizi əhatə edən obyektlərdə eyni anda bir neçə simmetriya növünü qeyd etmək olar. Bu, bizi əhatə edən dünyada nizam, gözəllik və mükəmməllik yaradır.

ƏDƏBİYYAT:

İbtidai Riyaziyyat Təlimatı. M.Ya. Vıqodski. – “Nauka” nəşriyyatı. - Moskva 1971 – 416 səhifə.

Müasir lüğət xarici sözlər. - M.: Rus dili, 1993.

Məktəbdə riyaziyyatın tarixiIX - Xsiniflər. G.İ. Qleyzer. – “Prosveşçeniye” nəşriyyatı. - Moskva 1983 – 351 səhifə.

Vizual həndəsə 5-6-cı siniflər. İ.F. Sharygin, L.N. Erqanjiyeva. – “Drofa” nəşriyyatı, Moskva 2005. – 189 səhifə

Uşaqlar üçün ensiklopediya. Biologiya. S. İsmayılova. – Avanta+ nəşriyyatı. - Moskva 1997 – 704 səhifə.

Urmantsev Yu.A. Təbiətin simmetriyası və simmetriyanın təbiəti - M.: Mysl arxitekt / arhkomp2. htm, , ru.wikipedia.org/wiki/

Bu dərsdə bəzi fiqurların başqa bir xüsusiyyətinə - eksenel və mərkəzi simmetriyaya baxacağıq. Hər gün güzgüyə baxdığımız zaman eksenel simmetriya ilə qarşılaşırıq. Mərkəzi simmetriya canlı təbiətdə çox yaygındır. Eyni zamanda, simmetriyaya malik olan fiqurlar bir sıra xüsusiyyətlərə malikdir. Bundan əlavə, daha sonra öyrənəcəyik ki, eksenel və mərkəzi simmetriyalar bütün sinif problemlərin həll olunduğu hərəkət növləridir.

Bu dərs eksenel və mərkəzi simmetriyaya həsr edilmişdir.

Tərif

İki nöqtə deyilir simmetrik nisbətən düz, əgər:

Şəkildə. 1 düz xəttə nisbətən simmetrik olan nöqtələrin nümunələrini göstərir və , və .

düyü. 1

Bir faktı da qeyd edək ki, xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir.

Fiqurlar düz xəttə nisbətən simmetrik də ola bilər.

Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir düzə nisbətən simmetrikdir, əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün bu düz xəttə nisbətən ona simmetrik olan nöqtə də fiqura aiddir. Bu vəziyyətdə xətt çağırılır simmetriya oxu. Fiqur var eksenel simmetriya.

Eksenel simmetriyaya malik olan fiqurların və onların simmetriya oxlarının bir neçə nümunəsinə baxaq.

Misal 1

Bucaq eksenel simmetriyaya malikdir. Bucağın simmetriya oxu bissektrisadır. Həqiqətən: bucağın hər hansı bir nöqtəsindən bissektrisa perpendikulyarını aşağı salaq və onu bucağın digər tərəfi ilə kəsişənə qədər uzataq (bax şək. 2).

düyü. 2

(çünki - ümumi tərəf, (bissektrisin xassəsi) və üçbucaqlar düzbucaqlıdır). O deməkdir ki, . Buna görə də nöqtələr bucağın bissektrisasına nisbətən simmetrikdir.

Buradan belə nəticə çıxır ki, ikitərəfli üçbucaq da bazaya çəkilmiş bissektrisa (yüksəklik, median) ilə bağlı ox simmetriyasına malikdir.

Misal 2

Bərabərtərəfli üçbucağın üç simmetriya oxu var (üç bucağın hər birinin bissektrisaları/medianları/yüksəklikləri (bax. Şəkil 3).

düyü. 3

Misal 3

Düzbucaqlıda iki simmetriya oxu var, hər biri onun iki əks tərəfinin orta nöqtələrindən keçir (bax. Şəkil 4).

düyü. 4

Misal 4

Rombun da iki simmetriya oxu var: onun diaqonallarını ehtiva edən düz xətlər (bax. Şəkil 5).

düyü. 5

Misal 5

Həm romb, həm də düzbucaqlı olan kvadrat 4 simmetriya oxuna malikdir (bax şək. 6).

düyü. 6

Misal 6

Bir dairə üçün simmetriya oxu onun mərkəzindən keçən hər hansı bir düz xəttdir (yəni dairənin diametrini ehtiva edir). Buna görə də çevrə sonsuz sayda simmetriya oxlarına malikdir (bax şək. 7).

düyü. 7

İndi konsepsiyaya nəzər salaq mərkəzi simmetriya.

Tərif

Nöqtələr deyilir simmetrik nöqtəsinə nisbətən əgər: - seqmentin ortası .

Bir neçə nümunəyə baxaq: Şek. 8 nöqtəsinə görə simmetrik olan və , eləcə də və nöqtələrini və bu nöqtəyə görə simmetrik olmayan nöqtələri göstərir.

düyü. 8

Bəzi fiqurlar müəyyən bir nöqtəyə görə simmetrikdir. Gəlin ciddi bir tərif tərtib edək.

Tərif

Fiqur deyilir nöqtəsinə görə simmetrikdir, əgər fiqurun hər hansı nöqtəsi üçün ona simmetrik olan nöqtə də bu rəqəmə aiddirsə. Nöqtə deyilir simmetriya mərkəzi, və rəqəm var mərkəzi simmetriya.

Mərkəzi simmetriyaya malik fiqurların nümunələrinə baxaq.

Misal 7

Bir dairə üçün simmetriyanın mərkəzi çevrənin mərkəzidir (bunu çevrənin diametri və radiusunun xassələrini xatırlamaqla sübut etmək asandır) (bax. Şəkil 9).

düyü. 9

Misal 8

Paraleloqram üçün simmetriyanın mərkəzi diaqonalların kəsişmə nöqtəsidir (bax. Şəkil 10).

düyü. 10

Eksenel və mərkəzi simmetriya ilə bağlı bir neçə məsələni həll edək.

Tapşırıq 1.

Seqmentin neçə simmetriya oxu var?

Seqmentin iki simmetriya oxu var. Bunlardan birincisi seqmenti ehtiva edən xəttdir (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). İkincisi, seqmentə perpendikulyar bisektor, yəni seqmentə perpendikulyar olan və onun ortasından keçən düz xəttdir.

Cavab: 2 simmetriya oxu.

Tapşırıq 2.

Düz xəttin neçə simmetriya oxu var?

Düz xəttin sonsuz sayda simmetriya oxları var. Onlardan biri xəttin özüdür (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir). Həm də simmetriya oxları verilmiş xəttə perpendikulyar olan istənilən xətlərdir.

Cavab: sonsuz sayda simmetriya oxları var.

Tapşırıq 3.

Şüanın neçə simmetriya oxu var?

Şüa bir simmetriya oxuna malikdir, o, şüanı ehtiva edən xəttlə üst-üstə düşür (çünki xəttin istənilən nöqtəsi bu xəttə nisbətən özünə simmetrikdir).

Cavab: bir simmetriya oxu.

Tapşırıq 4.

Rombun diaqonallarını ehtiva edən xətlərin onun simmetriya oxları olduğunu sübut edin.

Sübut:

Bir romb düşünün. Məsələn, düz xəttin onun simmetriya oxu olduğunu sübut edək. Aydındır ki, nöqtələr bu xətt üzərində yerləşdiyi üçün özlərinə simmetrikdirlər. Bundan əlavə, və nöqtələri bu xəttə nisbətən simmetrikdir, çünki . İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də romba aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 11).

düyü. 11

Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar çəkin və ilə kəsişənə qədər uzatın. Üçbucaqları nəzərdən keçirin və . Bu üçbucaqlar düzbucaqlıdır (konstruksiyasına görə), əlavə olaraq, bunlar var: - ümumi ayaq və (çünki rombun diaqonalları onun bissektrisalarıdır). Beləliklə, bu üçbucaqlar bərabərdir: . Bu o deməkdir ki, onların bütün uyğun elementləri bərabərdir, buna görə də: . Bu seqmentlərin bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, və nöqtələri düz xəttə nisbətən simmetrikdir. Bu o deməkdir ki, o, rombun simmetriya oxudur. Bu faktı ikinci diaqonal üçün də eyni şəkildə sübut etmək olar.

Sübut edilmişdir.

Tapşırıq 5.

Sübut edin ki, paraleloqramın diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir.

Sübut:

Paraleloqramı nəzərdən keçirək. Nöqtənin onun simmetriya mərkəzi olduğunu sübut edək. Aydındır ki, paraleloqramın diaqonalları kəsişmə nöqtəsi ilə yarıya bölündüyü üçün və , və nöqtələri nöqtəsinə görə qoşa simmetrikdir. İndi ixtiyari bir nöqtə seçək və ona nisbətən simmetrik nöqtənin də paraleloqrama aid olduğunu sübut edək (bax. şək. 12).

simmetriya memarlıq fasad binası

Simmetriya təbiətdə mövcud olan nizamı, hər hansı bir sistemin və ya təbiət obyektinin elementləri arasında mütənasibliyi və mütənasibliyi, nizamlılığı, sistemin tarazlığını, dayanıqlığını, yəni. harmoniyanın bəzi elementləri.

Keçmiş minilliklər bəşəriyyət öz ictimai-istehsal fəaliyyəti zamanı ilk növbədə təbiətdə qoyduğu iki meyli: ciddi nizam-intizamın mövcudluğu, mütənasiblik, tarazlıq və onların pozulmasını müəyyən anlayışlarla ifadə etmək zərurətini dərk etdi. İnsanlar çoxdan kristalların düzgün formasına, pətəklərin quruluşunun həndəsi ciddiliyinə, ağaclarda, ləçəklərdə, çiçəklərdə, bitki toxumlarında budaq və yarpaqların düzülməsinin ardıcıllığına və təkrarlanmasına diqqət yetirmiş və bu səliqə-sahmanı öz cizgilərində əks etdirmişdir. praktik fəaliyyətlər, düşüncə və sənət.

Canlı təbiətin cisimləri və hadisələri simmetriyaya malikdir. Bu, nəinki gözü sevindirir və bütün dövrlərin və xalqların şairlərini ruhlandırır, həm də canlı orqanizmlərin ətraf mühitə daha yaxşı uyğunlaşmasına və sadəcə sağ qalmasına imkan verir.

Canlı təbiətdə canlı orqanizmlərin böyük əksəriyyəti müxtəlif simmetriya növləri (forma, oxşarlıq, nisbi yerləşmə) nümayiş etdirir. Üstəlik, müxtəlif orqanizmlər anatomik quruluş eyni tip xarici simmetriyaya malik ola bilər.

Simmetriya prinsipi bildirir ki, fəza homojendirsə, sistemin bütövlükdə kosmosa köçürülməsi sistemin xassələrini dəyişmir. Əgər fəzada bütün istiqamətlər ekvivalentdirsə, onda simmetriya prinsipi sistemin bütövlükdə fəzada fırlanmasına imkan verir. Zamanın mənşəyi dəyişdirilərsə, simmetriya prinsipinə riayət olunur. Prinsipə uyğun olaraq, sabit sürətlə bu sistemə nisbətən hərəkət edən başqa bir istinad sisteminə keçid etmək mümkündür. Cansız dünya çox simmetrikdir. Tez-tez simmetriya pozuntuları kvant fizikası elementar hissəciklər- bu, daha da dərin simmetriyanın təzahürüdür. Asimmetriya həyatın strukturu formalaşdıran və yaradıcı prinsipidir. Canlı hüceyrələrdə funksional əhəmiyyətli biomolekullar asimmetrikdir: zülallar levorotator amin turşularından (L-forma) və nuklein turşuları Onların tərkibində heterosiklik əsaslara əlavə olaraq, dekstrorotator karbohidratlar - şəkərlər (D-forma), əlavə olaraq, DNT-nin özü - irsiyyətin əsasını sağ əlli ikiqat sarmal təşkil edir.

Nisbilik nəzəriyyəsinin, kvant mexanikasının, bərk cisim fizikasının, atom və nüvə fizikasının, hissəciklər fizikasının əsasında simmetriya prinsipləri dayanır. Bu prinsiplər təbiət qanunlarının dəyişməzlik xüsusiyyətlərində ən aydın şəkildə ifadə olunur. Söhbət təkcə fiziki qanunlardan deyil, həm də başqalarından, məsələn, bioloji qanunlardan gedir. Bioloji qorunma qanununa misal olaraq irsiyyət qanununu göstərmək olar. Dəyişməzliyə əsaslanır bioloji xassələri bir nəsildən digərinə keçidlə əlaqədar olaraq. Tamamilə aydındır ki, qorunma qanunları olmadan (fiziki, bioloji və s.) dünyamız sadəcə mövcud ola bilməzdi.

Beləliklə, simmetriya bir şeyin bəzi dəyişikliklərə baxmayaraq qorunub saxlanmasını və ya dəyişməyə baxmayaraq bir şeyin qorunmasını ifadə edir. Simmetriya təkcə obyektin özünün deyil, həm də onun hər hansı xassələrinin obyektdə həyata keçirilən çevrilmələrə münasibətdə dəyişməzliyini nəzərdə tutur. Müəyyən obyektlərin dəyişməzliyi müxtəlif əməliyyatlara - fırlanmalara, tərcümələrə, hissələrin qarşılıqlı dəyişdirilməsinə, əks olunmasına və s.

Riyaziyyatda simmetriyanın növlərini nəzərdən keçirək:

• * mərkəzi (nöqtəyə nisbətən)
• * eksenel (nisbətən düz)
• * güzgü (təyyarə nisbətən)
• 1. Mərkəzi simmetriya (Əlavə 1)

Əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün O nöqtəsinə nisbətən simmetrik olan bir nöqtə də bu rəqəmə aiddirsə, fiqur O nöqtəsinə nisbətən simmetrik adlanır. O nöqtəsi fiqurun simmetriya mərkəzi adlanır.

Simmetriya mərkəzi anlayışına ilk dəfə 16-cı əsrdə rast gəlinmişdir. Klavius ​​teoremlərindən birində deyilir: "Əgər paralelepiped mərkəzdən keçən müstəvi ilə kəsilirsə, o, yarıya bölünür və əksinə, paralelepiped yarıya bölünürsə, müstəvi mərkəzdən keçir." Simmetriya doktrinasının elementlərini ilk dəfə elementar həndəsəyə daxil edən Legendre göstərir ki, düz paralelepipedin kənarlarına perpendikulyar olan 3 simmetriya müstəvisi, kubun isə 9 simmetriya müstəvisi var, onlardan 3-ü kənarlara perpendikulyar və digər 6-sı üzlərin diaqonallarından keçir.

Mərkəzi simmetriyaya malik fiqurlara misal olaraq dairə və paraleloqramı göstərmək olar.

Cəbrdə cüt və tək funksiyaları öyrənərkən onların qrafiklərinə baxılır. Qurulduqda cüt funksiyanın qrafiki ordinat oxuna görə simmetrik, tək funksiyanın qrafiki isə başlanğıca görə simmetrik olur, yəni. O nöqtəsi. Bu o deməkdir ki, tək funksiya mərkəzi simmetriyaya, cüt funksiya isə ox simmetriyasına malikdir.

2. Eksenel simmetriya (Əlavə 2)

Əgər fiqurun hər bir nöqtəsi üçün a xəttinə nisbətən simmetrik bir nöqtə də bu fiqura aiddirsə, fiqur a xəttinə simmetrik adlanır. Düz xətti a fiqurun simmetriya oxu adlanır. Fiqurun da eksenel simmetriyaya malik olduğu deyilir.

Daha dar mənada, simmetriya oxu ikinci dərəcəli simmetriya oxu adlanır və aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilən "oxlu simmetriya" haqqında danışır: fiqur (və ya gövdə) müəyyən bir ox ətrafında ox simmetriyasına malikdir, əgər hər biri onun E nöqtələri eyni fiqura aid olan F nöqtəsinə uyğundur ki, EF seqmenti oxa perpendikulyardır, onu kəsir və kəsişmə nöqtəsində yarıya bölünür.

Eksenel simmetriyaya malik fiqurlara misallar verəcəyəm. İnkişaf etməmiş bucaq bir simmetriya oxuna malikdir - bucağın bissektrisasının yerləşdiyi düz xətt. İkitərəfli (amma bərabərtərəfli deyil) üçbucağın da bir simmetriya oxu var və bərabərtərəfli üçbucağın üç simmetriya oxu var. Kvadrat olmayan düzbucaqlı və rombun hər birinin iki simmetriya oxu, kvadratın isə dörd simmetriya oxu var. Dairədə onların sonsuz sayda var - onun mərkəzindən keçən istənilən düz xətt simmetriya oxudur.

Elə fiqurlar var ki, onların vahid simmetriya oxu yoxdur. Belə fiqurlara düzbucaqlıdan fərqli paraleloqram və miqyaslı üçbucaq daxildir.

3. Güzgü simmetriyası (Əlavə 3)

Güzgü simmetriyası (müstəviyə nisbi simmetriya) hər hansı M nöqtəsinin bu müstəviyə nisbətən ona simmetrik olan M1 nöqtəsinə daxil olduğu məkanın öz üzərinə çəkilməsidir.

Güzgü simmetriyası hər bir insana gündəlik müşahidədən yaxşı məlumdur. Adından da göründüyü kimi, güzgü simmetriyası istənilən obyekti və onun müstəvi güzgüdəki əksini birləşdirir. Bir fiqur (və ya gövdə) birlikdə güzgü simmetrik fiqurunu (və ya gövdəsini) əmələ gətirirsə, digərinə simmetrik güzgü deyilir.

Bilyard oyunçuları çoxdan refleks hərəkəti ilə tanışdırlar. Onların “güzgüləri” tərəflərdir oyun sahəsi, və işıq şüasının rolunu topların trayektoriyaları oynayır. Küncün yaxınlığındakı tərəfə dəyən top düz bucaq altında yerləşən tərəfə yuvarlanır və ondan əks olunaraq ilk zərbənin istiqamətinə paralel olaraq geriyə doğru hərəkət edir.

Qeyd etmək lazımdır ki, iki simmetrik fiqurlar və ya bir fiqurun iki simmetrik hissəsi, bütün oxşarlıqlarına baxmayaraq, həcmlərin bərabərliyi və səth sahələri, ümumi halda, qeyri-bərabərdir, yəni. bir-biri ilə birləşdirilə bilməz. Bunlar müxtəlif rəqəmlərdir, bir-biri ilə əvəz edilə bilməz, məsələn, sağ əlcək, çəkmə və s. sol qol və ya ayaq üçün uyğun deyil. Maddələr bir, iki, üç və s. ola bilər. simmetriya müstəviləri. Məsələn, əsası ikitərəfli üçbucaq olan düz piramida bir P müstəvisinə görə simmetrikdir. Eyni əsası olan prizmanın iki simmetriya müstəvisi var. Müntəzəm altıbucaqlı prizmada onlardan yeddisi var. Fırlanma orqanları: top, torus, silindr, konus və s. sonsuz sayda simmetriya müstəviləri var.

Qədim yunanlar Kainatın simmetrik olduğuna inanırdılar, çünki simmetriya gözəldir. Simmetriya mülahizələrinə əsaslanaraq bir sıra təxminlər irəli sürdülər. Beləliklə, Pifaqor (e.ə. V əsr), kürəni ən simmetrik hesab edərək və mükəmməl forma, Yerin sferikliyi və kürə boyu hərəkəti haqqında nəticə çıxardı. Eyni zamanda, o, Yerin müəyyən bir "mərkəzi atəş" sferası boyunca hərəkət etdiyinə inanırdı. Pifaqora görə, o dövrdə məlum olan altı planet, eləcə də Ay, Günəş və ulduzlar eyni “od” ətrafında fırlanmalı idi.